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Introdução à análise Vetorial. Prof. Luis S. B. Marques. A derivada. Mas qual o significado da derivada?. A derivada. A derivada pode ser interpretada como a medida da inclinação ou coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto específico. A derivada. - PowerPoint PPT Presentation
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Introdução à análise Vetorial
Prof. Luis S. B. Marques
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOSECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINACAMPUS JOINVILLE
DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINOCOORDENAÇÃO ACADÊMICAEletroEletronica
A derivada23 25 xxy xxy 415 2'
A derivada
• A derivada pode ser interpretada como a medida da inclinação ou coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto específico.
A derivada
• A derivada pode também ser interpretada como a taxa de variação instantânea de uma função.
A Integral
?)( dxxf
xxxf 415)( 2
Cxxdxxf 24
315)(
23
Cxxdxxf 23 25)(
A Integral• A integral definida representa a área sob uma
determinada curva.
A Integral
8
0
4)( dxdxxf
4)( xf
804)( xdxxf
3284)( dxxf
A Integral
8
0 83)( dxxdxxf83)( xxf
80
2
283)( xdxxf
12283
28643)(
dxxf
A Integral
4
0 3)( dxxdxxf
3)( xxf
40
2
6)( xdxxf
38
616
64)(
2
dxxf
y = x/3
Vetores e escalares
• Algumas grandezas físicas são totalmente definidas por um número e uma unidade. Quando dizemos, por exemplo, que a temperatura de uma pessoa é 38oC a informação está completa.
• Escalar
• Entretanto, ao informarmos que a velocidade de um carro é igual a 100km/h, não foi dito em que direção e em qual sentido este carro se movimenta.
• Vetor
Vetores e escalares• Os vetores representam grandezas que
possuem módulo, direção e sentido e são representados por setas.
• O deslocamento entre os pontos A e B pode ser representado por um vetor.
• O vetor, no plano, pode ser decomposto em duas componentes: ax e ay.
Vetores e escalares
• Pode-se representar um vetor através de suas componentes em um dado sistema de coordenadas.
cosaax
senaay
jaiaa yx
• Sendo i e j vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Adição de Vetores
jaiaA yx
jbibB yx
jbaibaBA yyxx
)()(
Produto escalar
cosabba
• O produto escalar entre dois vetores a e b resulta em um escalar e é definido através da equação:
• módulo do primeiro multiplicado pela componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro.
• Uma aplicação é encontrada na definição de trabalho, em que a força e a distância estão sobre o mesmo eixo de referência.
dFW
EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo:
SOLUÇÃO : O trabalho é definido como sendo o produto Escalar
entre o Vetor Força e o vetor Deslocamento , portanto :
F
r
zyx aaaF 432 zyx aaar
754
zyxzyx aaaaaarFW
754432
JoulesrFW 357.45.3)4.(2
EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo:
SOLUÇÃO 2 : O ângulo entre os dois vetores é definido:
F
r
zyx aaaF 432 zyx aaar
754
rFrFCos
Rad816,0
cosrFrF
JoulesrF 35816,0cos5,94,5
Produto vetorial
absenba
• O produto vetorial entre dois vetores a e b é definido através da equação:
• O resultado do produto vetorial entre dois vetores a e b é um vetor c perpendicular ao plano formado pelos dois vetores a e b.
• Uma aplicação é a definição de força que atua em um condutor em condução.
)( BVQF
PRODUTO VETORIAL :
Dado os Vetores
Definido como:
zyx
zyx
fffzyxaaa
Fr
zxyyxzxyz afyfxafzfxafzfyFr
....)..(
zzyyxx afafafF
zyx azayaxr
Produto vetorial
EXERCÍCIO : Calcule o Torque em relação à origem realizado pela força aplicado ao ponto (4,5,6) .
SOLUÇÃO : O Torque é definido como sendo o produto Vetortial
entre o vetor Posição do ponto de aplicação e o vetor Força, portanto :
zyx aaaF 32
zyx aaar 654
zyx
zyx
aaaaaa
Fr
363
321654
F
Vetor posição• A localização de um ponto no espaço pode ser
descrita através das suas coordenadas cartesianas (x,y,z).
• O vetor da origem ao ponto (x,y,z) é definido como Vetor Posição r.
Campo escalar Para definir um campo basta atribuir a cada ponto do espaço uma propriedade. Assim, quando definirmos que cada ponto de uma sala possui uma temperatura estamos definindo um campo escalar.
Campo vetorialÉ definido pelo conjunto dos Pontos do ESPAÇO caracterizados por uma FUNÇÃO VETORIAL. Quando observamos um escoamento de água e dizemos que cada partícula possui uma velocidade, estamos definindo um campo vetorial.Exemplos : Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Elétrico, Campo Magnético.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
x
yxa
z
ya
za
r
zyx azayaxr
zyx adzadyadxrd
zyxP ,,
x y zdS dydz a dxdz a dxdy a
x x y y z zdS dS a dS a dS a
dV dxdydz
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
x
y
z
r
a
a
zadzadadrd
zazaar
zP ,,
Cosx Seny zz
zdS d dz a d dz a d d a
z zdS dS a dS a dS a
dV d d dz
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
adrSenardadrrd r
arSenararr r
CosSenrx .
SenSenry .
.z r Cos2222 zyxr
x
y
z
a
ra
r
,,rP
Senr
2rdS r Sen d d a rSen drd a rdrd a
r rdS dS a dS a dS a
2dV r Sen drd d
SISTEMAS DE COORDENADAS
0
20