Introdução à Economia - fe.uc.pt · Acompanhamento do livro com programas de exposição e de exercícios para o Mathematica* Início em Abril de 1998 (Versão provisória ) João

Introdução à Economia

Acompanhamento do livro com programas de exposição e de exercícios

para o Mathematica*

Início em Abril de 1998(Versão provisória)

João Sousa AndradeFaculdade de Economia

Universidade de Coimbra

* Programa existente para múltiplos sistemas operativos, com versão parta estudante, da Wolfram

Research.

A utilização do Mathematica na aprendizagem da economia corresponde a um

projecto de alguns docentes da FEUC. Não se trata de uma iniciativa isolada ou origi-

nal, porque noutras Universidades espalhadas pelo mundo exitem projectos semelhan-

tes.

A nossa ideia consiste em fazer do Mathematica um apoio a diferentes discipli-

nas da economia que mais uso fazem do cálculo, seja ele formal ou numérico.

O GEMF* ao disponibilizar verbas para a aquisição de uma versão para OS2 e

outra para Windows95 possibilitou o arranque do projecto.

Em frente a cada tema indicamos o nome do ficheiro correspondente aos blo-

cos de comandos e comentários aí descritos. Por exemplo, “x. ... (int_e_x.ma)”, signi-

fica que o ficheiro com todas as instruções e comentários, salvo as que estão em caixa,

se designa por “int_e_x.ma”.

* Grupo de Estudos Monetários e Financeiros, da FEUC, apoiado pela JNICT.

Acompanhamento do livro INTRODUÇÃO À ECONOMIA

com programas destinados ao Mathematica [ 2 ]_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________João Sousa Andrade, 02-06-1998

1. A Curva da Fronteira das Possibilidades de Produção (int_e_1.ma)

A forma mais simples de representar a curva que delimita as possibilidades de pro-dução de dois bens, quando se utilizam plenamente os factores de produção de umadada economia, consiste na utilização de uma função como a que se utiliza em 1.1.Indicamos a curva da fronteira de forma implícita e obtemo-la de forma explícita.

"[1.1]""Equação que representa a Fronteira das Possibilidades de Produção:"x^2+y^2-a==0" (onde 'x' e 'y' representam dois bens)."" Que pode ser indicada em termos de função explícita"" em termos de x:"Solve[y^2+x^2-a==0,x]" em termos de y:"Solve[y^2+x^2-a==0,y]" Onde o parâmetro 'a' toma uma dado valor, por ex., 200"y^2+x^2-200==0Solve[y^2+x^2-200==0,x]Solve[y^2+x^2-200==0,y]

Utilizamos duas funções explícitas que dependem de um parâmetro, ‘a’ e ‘b’, aosquais são atribuidos valores precisos. Naturalmente que agora apenas tomamos umafunção com valores positivos para ‘y’ e para ‘x’.

"[1.2]""Tomemos duas funções explícitas: y = Sqrt(100-x^2) e y = Sqrt(196-x^2)"f[x_]:={Sqrt[a-x^2]};g[x_]:={Sqrt[b-x^2]};a=100;b=196;f[x]g[x]

Trata-se agora de fazer a representação gráfica das curvas da FPP acima definidas.Utilizámos uma curva ‘carregada’ para um melhor contraste. Os dois últimos gráfi-cos lembram-nos o “papel” em que tais figuras eram habitualmente representadas eque nos permitem uma leitura mais adequada.

"[1.3]""Façamos os respectivos gráficos"




" y = Sqrt(100-x^2)"fpp1=Plot[f[x],{x,0,10},AxesLabel->{"Bem x","Bemy"},PlotStyle->{{Thickness[0.01]}}]" y = Sqrt(196-x^2)"fpp2=Plot[g[x],{x,0,14},AxesLabel->{"Bem x","Bemy"},PlotStyle->{{Thickness[0.01]}}]" Ou outros gráficos, talvez mais interessantes:"Show[fpp1,GridLines->Automatic,AspectRatio->1]Show[fpp2,GridLines->Automatic,AspectRatio->1]

Depois de definidas as curvas, fpp1 e fpp2, facilmente se podem representar no mes-mo gráfico, onde as podemos comparar.

"[1.4]""Reprentemos as curvas FPP num só gráfico:"Show[fpp1,fpp2,GridLines->Automatic,AspectRatio->1]

Se tivermos uma dada função, com facilidade podemos obter a expressão da sua de-rivada, a expressão do valor dessa derivada num dado ponto, no caso ‘x=2’, e aindao valor que ela toma nesse ponto.

"[1.5]""Retenhamos uma das funções"" E determinemos a sua derivada para x=2"f[x_]D[{f[x]},x] D[{f[x]},x] /. x->2 N[%]

Os valores da derivada daquela função representam a taxa marginal de substituiçãodo bem ‘x’ pelo bem ‘y’. Tendo duas curvas da FPP podemos obter duas tabelascom aqueles valores. Isto é, temos os valores do bem ‘x’ e da quantidade proporcio-nal de ‘y’ que temos de prescindir quando aumentamos marginalmente aquela quan-tidade de ‘x’.

"[1.6]""Vamos obter os valores da taxa marginal de substituição"" associados à primeira curva f(x)"tx1[x_]=D[{f[x]},x];margsub1=Table[{x,N[tx1[x]]},{x,0,9}];ColumnForm[margsub1]"... e também à segunda curva g(x)"




tx2[x_]=D[{g[x]},x];margsub2=Table[{x,N[tx2[x]]},{x,8,13,.5}];ColumnForm[margsub2]

Os valores das TMS são diferentes para uma e outra das curvas da FPP.

"[1.7]""Façamos o gráfico com os valores das tms"Plot[{tx1[x],tx2[x]},{x,0,9},PlotLabel->"TMS para f(x) e g(x)",AxesLabel->{"x","y"}]

Como os valores da TMS eram diferentes fazemos agora a representação única deum dos casos.

"[1.8]""Façamos um gráfico com valores da tms de g(x)"Plot[tx2[x],{x,0,13},PlotLabel->"TMS para g(x)",AxesLabel->{"x","y"}]




2. Operações com índices e taxas (int_e_2.ma)

Conhecendo o valor do crescimento dos salários nominais podemos atribuir-lhes va-riáveis que nos tornam o seu uso em cálculo mais fácil. Façamos ainda um gráficocom a evolução dos seus valores.

"[2.1]"W[1]=0.035; W[2]=0.039; W[3]=0.046;W[4]=0.035;" Evolução dos Salários Nominais, Total s/SPA, anual:"" Janeiro de 1997 a Abril de 1997"indw=Table[{x,W[x]},{x,1,4}];ColumnForm[indw]ListPlot[indw,PlotJoined->True,PlotLabel->"Evol Salár. Nominais, Jan-Abril,1997"]

Com os valores do IPC podemos representar a evolução dos preços no consumo -sem rendas.

"[2.2]"IPC[1]=128.4;IPC[2]=129.2;IPC[3]=129.7;IPC[4]=130.9;IPC[13]=132.6;IPC[14]=132.9;IPC[15]=133.0;IPC[16]=133.3;" Evolução dos Preços s/Rendas - valores em índice de 1991(continente):"" Janeiro a Abril de 1996"indp1=Table[{x,IPC[x]},{x,1,4}];ColumnForm[indp1]" Janeiro a Abril de 1997"indp2=Table[{x,IPC[x]},{x,13,16}];ColumnForm[indp2]ListPlot[indp1,PlotJoined->True,PlotLabel->"IPC, Jan-Abril,1996",AxesLabel->{"T","IPC"}]ListPlot[indp2,PlotJoined->True,PlotLabel->"IPC, Jan-Abril,1997",AxesLabel->{"T","IPC"}]

A partir dos valores do índice dos preços calculamos as taxas de crescimento homó-logas anuais. Representamos em gráfico esses valores da inflação.

"[2.3]"txp[x_]:=(IPC[x+12]/IPC[x])-1;"Crescimento dos preços de Janeiro a Abril de 1997"indptx=Table[{x,txp[x]},{x,1,4}];ColumnForm[indptx]ListPlot[indptx,PlotJoined->True,PlotLabel->"Inf., Jan-Abril,1997",AxesLabel->{"T","Infl."}]

Os valores da moeda alemã (DEM), avaliados em Escudos (PTE), podem levar-nos




a conhecer a valorização ou desvalorização da nossa moeda.

"[2.4]"marco[1]=103.752; marco[2]=103.913; marco[3]=105.520;marco[4]=102.693;marco[13]=99.963; marco[14]=100.462; marco[15]=100.494;marco[16]=100.332;txm[x_]:=(marco[x+12]/marco[x])-1;" Evolução da desvalorização do PTE(DEM)- anual:"" Janeiro a Abril de 1997"indmarco=Table[{x,txm[x]},{x,1,4}];ColumnForm[indmarco]ListPlot[indmarco,PlotJoined->True]" .............. Confirme se se trata de desvalorização ou de valorização"

Com a moeda norte-americana, dólar (USD), fizemos o mesmo exercício que acimapara o DEM.

"[2.5]"dolar[1]=151.607; dolar[2]=152.433; dolar[3]=152.943;dolar[4]=154.537;dolar[13]=160.354; dolar[14]=168.262; dolar[15]=170.536;dolar[16]=171.622;txd[x_]:=(dolar[x+12]/dolar[x])-1;" Evolução da desvalorização do PTE(USD)- anual:"" Janeiro a Abril de 1997"inddolar=Table[{x,txd[x]},{x,1,4}];ColumnForm[inddolar]ListPlot[inddolar,PlotJoined->True]" .............. Confirme se estamos perante uma desvalorização ou uma valorização"

Convenhamos que a dada altura será conveniente relembrar as variáveis e as funçõesque estamos a utilizar. Foi o que fizemos. Depois disso obtivémos os valores do sa-lário deflacionado pela evolução dos preços no consumo, pelo valor do marco e pelovalor do dólar. Repare-se nos valores tão diferentes que acabamos por obter.

"[2.6]"(*Reacapitulemos as variáveis/funções que temos definidas: W(x): evolução do salário nominal txp(x): " dos preços txm(x): " do marco em escudos txd(x): " do dólar em escudos.*)txwr[x_]=((1+W[x])/(1+txp[x]))-1;txwmarco[x_]=((1+W[x])/(1+txm[x]))-1;txwdolar[x_]=((1+W[x])/(1+txd[x]))-1;




wreal=Table[{x,txwr[x]},{x,1,4}];salmarco=Table[{x,txwmarco[x]},{x,1,4}];saldolar=Table[{x,txwdolar[x]},{x,1,4}];" Janeiro a Abril de 1997""Evolução do salário real:"ColumnForm[wreal]"Evolução do salário em Marcos"ColumnForm[salmarco]"Evolução do salário em Dólares"ColumnForm[saldolar]

Do Relatório da OCDE para Portugal, de 1998, retirámos os valores do PIB a pre-ços de 1990. Com esses valores construímos um gráfico para os anos de 1988 a1996.

"[2.7]"PIBR[1988]=8766;PIBR[1989]=9197;PIBR[1990]=9621;PIBR[1991]=9844;PIBR[1992]=10025;PIBR[1993]=10056;PIBR[1994]=10127;PIBR[1995]=10315;PIBR[1996]=10627;" Evolução dos PIB a preços de 1990, milhares de escudos:"" 1988 - 1996"produto=Table[{x,PIBR[x]},{x,1988,1996}];ColumnForm[produto]ListPlot[produto,PlotJoined->True,PlotLabel->"PIB, preços 1990, 1988-96"]

A partir dos valores do PIB a preços de 1990 construímos a série dos valores dataxa de crescimento e representámos esses valores num gráfico. Calculámos tambéma taxa média de crescimento para o período de 1988 a 1996.

"[2.8]"txpibr[x_]=(PIBR[x]/PIBR[x-1])-1txproduto=Table[{x,N[txpibr[x]]},{x,1989,1996}];ColumnForm[txproduto]ListPlot[txproduto,PlotJoined->True,PlotLabel->"Evolução PIB real, 1989-96"]"Taxa de cresimento médio de 1988 a 1996:"txcrescmedio=N[((PIBR[1996]/PIBR[1988])^(1/8))-1]




3. Ricardo, a Determinação da Renda e o Estado Estacionário (int_e_3.ma)

Começamos por definir um bloco introdutório ao modelo de Ricardo de determina-ção dos lucros e da renda fundiária. Para isso indicamos as variáveis que caracteri-zam a economia que queremos estudar. Como podemos estar interessados em ensai-ar o modelo para uma outra economia, com outros valores dos parâmetros, retira-mos da memória do programa os valores anteriores das variáveis que foram utiliza-das.

"[3.1]"(*Bloco definidor das variáveis do modelo de "Ricardo"*)Clear[Trabalho,Salario,ProdutoA,ProdutoB,ProdutoC,PLA]Clear[PLB,PLC,Capital, R1,R2,R3,LAF1,LAF2,LAF3,LBF2,LBF3,LCF3]Clear[RDAF1,RDAF2,RDAF3,RDBF2,RDBF3,RDCF3,LUCTF2,LUCTF3]Clear[RENDTF2,RENDTF3](* Aqui estão elas: *)Trabalho=40; Salario=15; ProdutoA=1000; ProdutoB=800; ProdutoC=650;(* Não se assuste: quando correr pela primeira vez este bloco, o Mathematica vai chamar-lhe a atenção para erros possíveis de definição de variáveis, ... é que o Mathematica, como sabe, não gosta de nomes parecidos. *)

Após a indicação dos valores com os quais queremos caracterizar a economia nassuas diferentes fases, é útil termos a representação do que acabámos de fazer.

"[3.2]""Características da economia em termos de lucros e rendas." Capital = Trabalho*Salario;PLA = ProdutoA - Capital;" Terras A". "Trabalho". Trabalho" Terras A". "Salário". Salario" Terras A". "Capital". Capital" Terras A". "Produção". ProdutoA" Terras A". "Produto Líquido". PLAPLB = ProdutoB - Capital;" Terras B". "Trabalho". Trabalho" Terras B". "Salário". Salario" Terras B". "Capital". Capital" Terras B". "Produção". ProdutoB" Terras B". "Produto Líquido". PLBPLC = ProdutoC - Capital;" Terras C". "Trabalho". Trabalho" Terras C". "Salário". Salario" Terras C". "Capital". Capital




" Terras C". "Produção". ProdutoC" Terras C". "Produto Líquido". PLC

Um dos passos necessários no modelo de Ricardo consiste na determinação do valordas taxas de lucro associadas às terras menos férteis em cada uma das fases.

"[3.3]""Obtenção das Taxas de Lucro"R1=PLA/Capital;R2=PLB/Capital;R3=PLC/Capital;"Taxa de lucro da Fase 1". R1. N[R1] "Taxa de lucro da Fase 2". R2. N[R2] "Taxa de lucro da Fase 3". R3. N[R3]

Fazemos aqui a caracterização completa da economia nas suas diferentes fases emtermos de renda e de lucro originados em cada tipo de terra.

"[3.4]"(*De notar que é aqui inútil calcular o valor do lucro para as diferentes terras em cadafase. Insitimos em fazê-lo porque assim podemos mais facilmente alterar a hipótese deum montante de capital idêntico em cada tipo de terra*)LAF1=Capital*R1; RDAF1=PLA-LAF1;LAF2=Capital*R2; RDAF2=PLA-LAF2; LBF2=Capital*R2; RDBF2=PLB-LBF2;LAF3=Capital*R3; RDAF3=PLA-LAF3; LBF3=Capital*R3; RDBF3=PLB-LBF3;LCF3=Capital*R3; RDCF3=PLC-LBF3;"Resumamos a situação final:"" Fase 1, terras A". "Produto Líquido". PLA" Lucro". LAF1" Renda". RDAF1" Fase 2, terras A". "Produto Líquido". PLA" Lucro". LAF2" Renda". RDAF2" terras B". "Produto Líquido". PLB" Lucro". LBF2" Renda". RDBF2" Fase 3, terras A". "Produto Líquido". PLA" Lucro". LAF3" Renda". RDAF3" terras B". "Produto Líquido". PLB" Lucro". LBF3" Renda". RDBF3" terras C". "Produto Líquido". PLC




" Lucro". LCF3" Renda". RDCF3

O resumo dos valores do lucro e da renda para cada fase dá-nos afinal a ideia do ob-jectivo de Ricardo. Depois de ter corrido todos estes blocos experimente alterar oprimeiro de forma a ter uma outra economia. Por exemplo, uma das alterações po-deria ser com a seguinte linha de instruções:Trabalho=40; Salario=15; ProdutoA=1000; ProdutoB=800; ProdutoC=620;E outra ainda:Trabalho=40; Salario=15; ProdutoA=1000; ProdutoB=950; ProdutoC=610;Seria interessante comentar cada um dos resultados obtidos.

"[3.5]"LUCTF2=LAF2+LBF2;LUCTF3=LAF3+LBF3+LCF3;RENDTF2=RDAF2;RENDTF3=RDAF3+RDBF3;"Fase 1". "Renda Total". RDAF1. " Lucro Total". LAF1"Fase 2". "Renda Total". RENDTF2. "Lucro Total". LUCTF2"Fase 3"."Renda Total". RENDTF3. "Lucro Total". LUCTF3




4. Valores e Preços de Produção em Marx. Processo de Mais-valia Absoluta e Rela-tiva (int_e_4.ma)

Com estes três blocos pretendemos exemplificar a determinação dos valores e dospreços de produção em Marx. Também aqui facilmente podemos alterar os valoresdos parâmetros envolvidos e assim reproduzir diferentes exemplos.

"[4.1]"Clear[CONST,VARIAVEL,VALOR,EXPL,CAPITAL,TAXAL]Clear[PPRODU,VALRELATIVO,PRERELATIVO]CONST[1]=10;VARIAVEL[1]=200;CONST[2]=334;VARIAVEL[2]=20;EXPL=0.80;MAISVALIA[1]=EXPL*VARIAVEL[1];MAISVALIA[2]=EXPL*VARIAVEL[2];VALOR[1]:=CONST[1]+VARIAVEL[1]+MAISVALIA[1];VALOR[2]:=CONST[2]+VARIAVEL[2]+MAISVALIA[2];CAPITAL[1]=CONST[1]+VARIAVEL[1];CAPITAL[2]=CONST[2]+VARIAVEL[2];TAXAL=(EXPL*(VARIAVEL[1]+VARIAVEL[2]))/(CAPITAL[1]+CAPITAL[2]);PPRODU[1]=(1+TAXAL)*CAPITAL[1];PPRODU[2]=(1+TAXAL)*CAPITAL[2];VALRELATIVO=VALOR[2]/VALOR[1];PRERELATIVO=PPRODU[2]/PPRODU[1];"Merc 1:". "Valor". VALOR[1]. "Preço Produção:". PPRODU[1]"Merc 2:". "Valor". VALOR[2]. "Preço Produção:". PPRODU[2] "Valor Relativo". VALRELATIVO"Preço Relativo". PRERELATIVO"Taxa de Lucro". TAXAL

Mostramos como o processo de mais valia absoluta, pelo aumento da mais-valiacorrespondente ao aumento do tempo de trabalho, leva a alterar os valores, os pre-ços de produção, a relação entre estes e ainda a taxa de lucro.

"[4.2]""Processo de mais valia absoluta:""------------------------------------------"EXPL=1.0;MAISVALIA[3]=EXPL*VARIAVEL[1];MAISVALIA[4]=EXPL*VARIAVEL[2];VALOR[3]:=CONST[1]+VARIAVEL[1]+MAISVALIA[3];VALOR[4]:=CONST[2]+VARIAVEL[2]+MAISVALIA[4];CAPITAL[3]=CONST[1]+VARIAVEL[1];




CAPITAL[4]=CONST[2]+VARIAVEL[2];TAXAL=(EXPL*(VARIAVEL[1]+VARIAVEL[2]))/(CAPITAL[3]+CAPITAL[4]);PPRODU[3]=(1+TAXAL)*CAPITAL[3];PPRODU[4]=(1+TAXAL)*CAPITAL[4];VALRELATIVO=VALOR[2]/VALOR[1];PRERELATIVO=PPRODU[2]/PPRODU[1];VALRELATIVO=VALOR[4]/VALOR[3];PRERELATIVO=PPRODU[4]/PPRODU[3];"Merc. 1:". "Valor". VALOR[3]. "Preço Produção:". PPRODU[3]"Merc. 2:". "Valor". VALOR[4]. "Preço Produção:". PPRODU[4]"Valor Relativo". VALRELATIVO"Preço Relativo". PRERELATIVO"Taxa de Lucro". TAXAL

Terminamos com exemplificação do processo designado de mais-valia relativa. Op-támos por referir este último processo ao primeiro caso apresentado, reduzindo ovalor do capital variável a 60% daquele valor acima e mantendo o tempo total detrabalho inalterado.

"[4.3]""Processo de mais valia relativa:""------------------------------------------"VARIAVEL[5]=.6*VARIAVEL[1];VARIAVEL[6]=.6*VARIAVEL[2];MAISVALIA[5]=VARIAVEL[1]+MAISVALIA[1]-VARIAVEL[5];MAISVALIA[6]=VARIAVEL[2]+MAISVALIA[2]-VARIAVEL[6];VALOR[5]:=CONST[1]+VARIAVEL[5]+MAISVALIA[5];VALOR[6]:=CONST[2]+VARIAVEL[6]+MAISVALIA[6];CAPITAL[5]=CONST[1]+VARIAVEL[5];CAPITAL[6]=CONST[2]+VARIAVEL[6];TAXAL=(MAISVALIA[5]+MAISVALIA[6])/(CAPITAL[5]+CAPITAL[6]);PPRODU[5]=(1+TAXAL)*CAPITAL[5];PPRODU[6]=(1+TAXAL)*CAPITAL[6];VALRELATIVO=VALOR[6]/VALOR[5];PRERELATIVO=PPRODU[6]/PPRODU[5];"Merc. 1:". "Valor". VALOR[5]. "Preço Produção:". PPRODU[5]"Merc. 2:". "Valor". VALOR[6]. "Preço Produção:". PPRODU[6]"Valor Relativo". VALRELATIVO"Preço Relativo". PRERELATIVO"Taxa de Lucro". TAXAL




5. Obtenção da Matriz de Coeficientes Técnicos e Coerência do Quadro de Input- -output (int_e_5.ma)

Veremos como o Mathematica é especialmente adaptado ao cálculo matricial. Deforma bastante simples calculamos a matriz dos coeficientes técnicos e calculamos amatriz inversa de Leontief. A coerência na construção do quadro é facilmente verifi-cada pela obtenção da matriz dos fornecimentos intermédios sendo dados os valoresda procura final e da produção bruta.

"[5.1]"(* Construção dos coeficientes da matriz: para indicar os seus elementos escrevemos conjuntos de linhas, {1ªlinha},{2ªlinha},... Ramos da Matriz: Agricultura,I.Ligeira,I.Pesada e Serviços - A matriz de fluxos é representada por X, e as Produções Brutas por XP.*)Clear["@*"];X={{100,150,20,85},{200,500,200,300},{50,400,600,80},{80,300,100,400}};XP=DiagonalMatrix[630,1850,1320,1615];Q={{630},{1850},{1320},{1615}};(*A partir daqui trata-se de fazer os cálculos adequados*)

Depois de eliminarmos qualquer valor atribuido a qualquer variável e de darmos osvalores da matriz dos fluxos e da produção bruta, podemos fazer os cálculos princi-pais na aplicação do modelo de Leontief.

"[5.2]"(* Operações com a inversa *)A=X.Inverse[XP];Indentidade=IdentityMatrix[4];Leontief=Indentidade-A;InvLeontief=Inverse[Leontief];

Obviamente que é de toda a conveniência conhecermos os valores que afinal carac-terizam a nossa economia na forma matricial apropriada.

"[5.3]""Valores da Produção Bruta:". MatrixForm[XP]"Valores da Matriz de Fluxos:". MatrixForm[X]"Valores dos coeficientes técnicos:". MatrixForm[N[A]]"Valores dos coeficientes da inversa de Leontief:". MatrixForm[N[InvLeont]]




A reconstrução do quadro de fluxos é assim obtida de forma imediata.

"[5.4]"PFinal=Leontief.Q;FInterm=A.Q;"Valores dos Fornec Interm". MatrixForm[FInterm]"Valores da Procura Final". MatrixForm[PFinal]




6. Utilização da Matriz de Coeficientes Técnicos para Obtenção de Valores da Pro-dução a Partir do Conhecimento da Procura Final (int_e_6.ma)

Vamos construir directamente a matriz dos coeficientes técnicos e admitir diferenteshipóteses quanto à procura final. Num primeiro momento tomamos o vector da pro-cura final definido para apenas um bem de cada vez. Desta forma podemos obter osvalores das produções brutas destinados à produção de uma unidade de cada um dosbens da procura final. Obviamente que esses valores correspondem aos valores decada uma das colunas da matriz inversa de Leontief. Pela pré-multiplicação por vec-tor soma obtemos o valor da produção total. Num segundo momento passamos atomar valores da procura final para todos os bens. Na terceira hipótese, aqui toma-da, admitimos que a procura final cresceu 15% relativamente à primeira.

"[6.1]"(* Bloco de construção da matriz de coeficientes técnicos (Agricultura,I.Ligeira,I.Pesada e Serviços) e de diferentes hipóteses de procura final*)Clear["@*"];A={{.12048,.07317,.01316,.04683},{.24096,.29268,.13158,.16529},{.06024,.19512,.52631,.04408},{0.09638,0.14634,0.06579,0.33058}};PFinalum={{500},{750},{400},{800}};PFinaldois={{1},{1},{1},{1}};PFinaltres=(1.15)PFinalum;PRamoum={{1},{0},{0},{0}};PRamodois={{0},{1},{0},{0}};PRamotres={{0},{0},{1},{0}};PRamoquatro={{0},{0},{0},{1}};Vectorsoma={1,1,1,1};"Matriz dos coef técnicos". MatrixForm[A]"Procura Final H=1". MatrixForm[PFinalum]"Procura Final H=2". MatrixForm[PFinaldois]"Procura Final H=3". MatrixForm[PFinaltres]

Como vemos, as intruções para cálculo da inversa de Leontief são intuitivas.

"[6.2]"Indentidade=IdentityMatrix[4];Leontief=Indentidade-A;InvLeontief=Inverse[Leontief];

A multiplicação de uma matriz por um vector não é menos intuitiva. Pelo que apenasnos resta escrever o resultado, ou seja, os valores da produção bruta que correspon-




dem à produção de uma unidade com destino à procura final de cada um dos ramos.Esses valores forma calculados em termos de descriminação por ramos e de total.

"[6.3]"PBrutaRamo1=InvLeontief.PRamoum;PBrutaRamo2=InvLeontief.PRamodois;PBrutaRamo3=InvLeontief.PRamotres;PBrutaRamo4=InvLeontief.PRamoquatro;"Produção Bruta para 1 un. da PF o ramo 1".MatrixForm[PBrutaRamo1]"Produção Bruta para 1 un. da PF o ramo 2".MatrixForm[PBrutaRamo2]"Produção Bruta para 1 un. da PF o ramo 3".MatrixForm[PBrutaRamo3]"Produção Bruta para 1 un. da PF o ramo 4".MatrixForm[PBrutaRamo4]PBrutaTRamo1=Vectorsoma.InvLeontief.PRamoum;PBrutaTRamo2=Vectorsoma.InvLeontief.PRamodois;PBrutaTRamo3=Vectorsoma.InvLeontief.PRamotres;PBrutaTRamo4=Vectorsoma.InvLeontief.PRamoquatro;"Produção Bruta Total p/ 1 un. da PF o ramo 1".PBrutaTRamo1"Produção Bruta Total p/ 1 un. da PF o ramo 2".PBrutaTRamo2"Produção Bruta Total p/ 1 un. da PF o ramo 3".PBrutaTRamo3

As produções brutas, por ramo, em termos de diferentes hipóteses da procura finalsão aqui também obtidas.

"[6.4]"Q1=InvLeontief.PFinalum;Q2=InvLeontief.PFinaldois;Q3=InvLeontief.PFinaltres;"Valores da Produção Bruta H=1". MatrixForm[Q1]"Valores da Produção Bruta H=2". MatrixForm[Q2]"Valores da Produção Bruta H=3". MatrixForm[Q3]




7. Comportamento e Representação da Utilidade Total e Marginal (int_e_7.ma)

Tomemos como hipótese de partida o conhecimento da utilidade total. Podemos verque a utilidade total apresenta o comportamento considerado normal. Através da de-rivada desta função obtemos a utilidade marginal. As duas funções são representadasutilizando “linhas” mais carregadas que o normal.

"[7.1]"(* Conhecemos a utilidade total mas não a marginal *)U1[x_]:=800 x - 30 x^2 + .3 x^3D[U1[x],x];Um1[x_]=%;"Utilidade total". U1[x]"Utilidade marginal". N[Um1[x]]Plot[{U1[x],Um1[x]},{x,1,20},PlotStyle->{{Thickness[0.01]}}, AxesLabel->{"Quant","U e Um"}]

No que se segue iremos fazer o caminho inverso ao seguido em cima. Conhecendo ocomportamento da utilidade marginal passamos, por integração, ao conhecimento dautilidade total. No final representamos de novo as duas funções utilidade, total emarginal.

"[7.2]"(* Conhecemos a utilidade marginal mas não a total *)Um[x_]:=(x-10)(x-25)+10;Integrate[Um[x],x];U[x_]=%;"Utilidade marginal". Expand[Um[x]]"Utilidade total". N[U[x]]Plot[{Um[x],U[x]},{x,1,15},PlotStyle->{{Thickness[0.01]}}, AxesLabel->{"Quant","U e Um"}]

Partindo de uma função utilidade total obtemos a utilidade marginal associada aoconsumo de 5 e 20 unidades e construímos os segmentos de recta tangentes à curvada utilidade total para esses valores do consumo. Obtemos ainda a quantidade con-sumida para a qual a utilidade marginal se anula.

"[7.3]"(* Representação da utilidade marginal num ponto da curva da utilidade total *)Clear[U1,U,Um1,Um]U[x_]:= 15 x - .5 x^2 + .005 x^3;




um1[x_]:=U[5]+U'[5]*(x-5);um2[x_]:=U[20]+U'[20]*(x-20);Plot[{U[x],um1[x],um2[x]},{x,1,25},AxesLabel->{"Quant","U"}]Solve[U'[x]==0,x]

Partindo de uma função de utilidade total podemos obter o número de unidades con-sumidas, a utilidade margianl e a utilidade total. Com esses valores construímos umatabela descritiva.

"[7.4]"U1[x_]:= 15 x - .5 x^2 + .005 x^3;Um1[x_]:=U1'[x];utilidades=Table[{x,Um1[x],U1[x]},{x,1,24}];"Unidades - Util Marginal - Util Total"" ". ColumnForm[utilidades]




8. Comportamento e Representação da Procura de Bens (int_e_8.ma)

Apresentamos duas funções lineares de procura de um dado bem. A sua representa-ção não apresenta dificuldades de maior.

"[8.1]"(* Apresentação de duas funções de procura *)Pa[Q_]:=20-.5 Q;Pb[Q_]:=25-.8 Q;Plot[{Pa[Q],Pb[Q]},{Q,0,30},AxesLabel->{"Quant.","Preço"}, PlotStyle->{{},{Dashing[{.01}]}}]

Utilizamos ainda duas funções lineares para representar a procura de um dado bem.Mas agora vamos obter a função inversa de cada uma daquelas funções procura.Dispomos assim dos pares de valores (P,Q) e (Q,P) que representam o comporta-mento da procura.

"[8.2]"(* Função procura normal e inversa *)Clear[Pa,Pb,Q];Pa[Q_]:=50-.53 Q;E1=(P==Pa[Q]);"Função Procura". Pa[Q]"Função Inversa". Solve[E1,Q]Pb[Q_]:=10-.25 Q;E2=(P==Pb[Q]);"Função Procura". Pb[Q]"Função Inversa". Solve[E2,Q]

Basicamente vamos fazer o mesmo que em cima. Simplesmente, agora dispomos deduas funções procura que não são lineares. A única diferença refere-se à indicaçãona instrução para obtenção da função inversa que apenas estamos interessados naprimeira solução. O facto de aquelas funções apresentarem várias soluções para umafunção inversa leva-nos, em geral, a reter apenas a primeira das soluções para a fun-ção inversa.

"[8.3]"(* Funções procura gerais e suas inversas *)Clear[Pa,Pb,Q,E1,E2]PP1[Q_]:=35 Q^-0.35;PP2[Q_]:=30 - .85 Q;PP3[Q_]:=25 Q ^-.45;




Plot[{PP1[Q],PP2[Q],PP3[Q]},{Q,1,35},AxesLabel->{"Q","P"}, PlotLabel->"Proc-Agente A e B", PlotStyle->{{},{Dashing[{.01}]},{Dashing[{.02}]}}]E1=(P==PP1[Q]);E2=(P==PP2[Q]);E3=(P==PP3[Q]);"Função Procura P=". PP1[Q]"Função Inversa". Solve[E1,Q][[1]]"Função Procura P=". PP2[Q]"Função Inversa". Solve[E2,Q]"Função Procura P=". PP3[Q]"Função Inversa". Solve[E3,Q][[1]]

O exercício aqui feito difere do que temos vindo a fazer. Começamos pela identifica-ção de duas funções procura de dois agentes (a). Passamos à obtenção das suas in-versas e damos instruções para o seu reconhecimento (b). Desta forma podemos fa-zer a agregação dos comportamentos individuais e a partir daí construírmos umafunção procura agregada, que caracteriza o comportamento da procura no mercado.Finalmente representamos as três curvas da procura, as individuais e a agregada.

"[8.4]"(* Agregação de comportamentos de procura *)Clear[PP1,PP2,PP3,Q,E1,E2,E3]"(a)"P1[Q_]:=30-.5 Q;E1=(P==P1[Q]);"Função Inversa do agente (1)". Solve[E1,Q]P2[Q_]:=50-.25 Q;E2=(P==P2[Q]);"Função Inversa do agente (2)". Solve[E2,Q]"(b)"Q1[P_]:=-2(-30+P); "Qagente (1)=". Q1[P]Q2[P_]:=-4(-50+P); "Qagente (2)=". Q2[P]QT[P_]:=Q1[P]+Q2[P]; "Função Inversa do mercado Q=". Simplify[QT[P]]ET=(Q==QT[P]);"Função Procura do Mercado". Solve[ET,P]PT[Q_]:= (260-Q)/6;Plot[{P1[Q],P2[Q],PT[Q]},{Q,0,20},PlotLabel->"Mercado", AxesLabel->{"Quant.","Preço"}]




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Introdução à Economia - fe.uc.pt · Acompanhamento do livro com programas de exposição e de exercícios para o Mathematica* Início em Abril de 1998 (Versão provisória ) João