Introducao a Geometria Algebrica Complexa

5/26/2018 Introducao a Geometria Algebrica Complexa

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Introducao a Geometria algebrica Complexa

Michely de Oliveira e Maurcio Correa


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Sumario

1 Preliminares 11.1 Funcoes Holomorfas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Funcoes Holomorfas em uma variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Funcoes Holomorfas em varias variaveis. . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Variedades Complexas 52.1 Aplicacoes diferenciaveis entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Imersoes, Submersoes, Mergulhos e Subvariedades . . . . . . . . . . 72.2 Variedades Kahler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Fibrados Vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Operacoes entre fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Complexificacao de fibrados vetoriais reais . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Campos de vetores e formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Feixes 173.0.4 Grupos Ext e Feixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.0.5 Feixes Coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Esquemas Algebricos 294.1 Esquema Afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Esquema Projetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Diferenciais Kahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3.1 Feixes de Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Variedades Nao-Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4.1 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Mapas Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Esquemas Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.7 Feixe Dualizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.8 Feixes localmente livres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.8.1 Correspondencia entre Feixes localmente livres e Fibrados vetoriais 57

5 Cohomologia de Cech 595.1 Classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1 Propriedades das Classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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iv SUM ARIO

5.1.2 O Princpio da decomponibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Estabilidade de fibrados vetoriais 736.1 Fibrado Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Fibrados Vetoriais Estaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.1 Sobre a correpondencia de HitchinKobayashi . . . . . . . . . . . . 896.3 Fibrados vetoriais em espacos projetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7 Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch 91

A Algebra Multilinear 93Aplicacoes multilineares e tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Formas Exteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Produto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Algebra de Grasmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B Funtor Derivado 103

C Localizacao 109

D Limite Direto 113

Referencias Bibliograficas 117


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Captulo 1

Preliminares

1.1 Funcoes Holomorfas

1.1.1 Funcoes Holomorfas em uma variavel

Definicao 1.1 SejamU aberto deC ef :U C uma funcao contnua. Dizemos quefe umafuncao holomorfa emz0 C se existe o limite

f(z0) = limh0

f(z0+h) f(z0)h

, (1.1)

e o numero f(z0) e dito derivada def emz0.

Observe que a Equacao1.1equivale a

limh0

f(z0+h) f(z0) hf(z0)h

= 0.

Assim, fazendoo(h) =f(z0 + h) f(z0) hf(z0),h = k + il,z0= x0 + iy0 ef(z0) =aib,temos

f(z0+h) =f(z0) +h f(z0) +o(h)e

u(z0+h) =u(x0+k, y0+l) =u(x0, y0) +ak bl+o1(h),v(z0+h) =v(x0+k, y0+l) =v(x0, y0) +al

bk+o2(h),

onde limh0

o1(h)|h|

= 0 e limh0

o2(h)|h|

= 0.

Facilmente percebemos que a matriz da transformacao f e dada por

a bb a

.

Entao temos as seguintes relacoes ux (x0, y0) =a=

vy (x0, y0),

uy (x0, y0) = b= vx (x0, y0),

chamadasRelacoes de Cauchy-Riemann.Com isso, temos uma prova para o teorema que segue.

1


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2 CAP ITULO 1. PRELIMINARES

Teorema 1.1 SejamU C aberto ef :U C uma funcao contnua. S ao equivalentes:

(a) a funcao f e holomorfa emz0 U.(b) As partes real e imaginaria def satisfazem as condicoes de Cauchy-Riemann.

Definicao 1.2 SejamU C aberto ef :U C uma aplicacao diferenciavel. Dizemosquef e umdifeomorfismo sobref(U), sef(U) e aberto ef :U f(U) e um homeo-morfismo com inversaf1 diferenciavel. Sef ef1 sao holomorfas, entao dizemos quef e umbiholomorfismo.

Definicao 1.3 SejaUaberto deC. Dizemos que uma funcao f :U C eanaltica se,para todo z0 U, existe uma serie de potencias

n=0an(z0)w

n, com raio de convergencia

>0 tal que

f(z) =n=0

an(z0)(z z0)n,

para todo z Usatisfazendo|z z0| < .Teorema 1.2 Toda funcao analtica e holomorfa.

Demonstracao: Ver [15,Teorema 8, pag. 76]

Proposicao 1.1 (Princpio de Identidade) Sejam f, g : U C funcoes analticasemU, em queU e aberto e conexo. Sef eg coincidem num subconjunto A deU, entaof g emU.

Demonstracao: Ver [15,Corolario 2, pag. 111]

1.1.2 Funcoes Holomorfas em varias variaveis

Definicao 1.4 SejamU Cn aberto, f :U Cm uma aplicacao ep U. Dizemos quef ediferenciavel emp se existe uma aplicacao C-linearL: Cn Cm satisfazendo

f(z) =f(p) +L(zp) +(z),

em que limzp

(z)||zp||

= 0.

A aplicacaoL e chamada diferencial de f emp e denotada por df(p).

Proposicao 1.2 Sejam U Cn aberto, p U e a aplicacao f : U Cm. Entao fe diferenci avel em p se, e somente se, ela e diferenciavel vista como uma aplicacao deR2n emR2m e sua diferencial realL: R2n R2m emp eC-linear vista como aplicacaoL: Cn Cm.

Demonstracao: Analogo ao caso de uma variavel.


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1.1. FUNCOES HOLOMORFAS 3

Definicao 1.5 Dizemos que uma aplicacao f : U Cn Cm eholomorfa em pUse ela e diferenciavel em todo ponto de uma vizinhanca dep. Sef e holomorfa em todo

ponto p deU, entao dizemos quef eholomorfa.

No sentido de provarmos que toda funcao analtica e holomorfa e vice-versa, vamosdefinir serie de potencia em varias variaveis.

Definicao 1.6 Uma serie de potencias em p Cn com coeficientes em Cm e umaserie da forma

1=0,,n=0

A1,,n(z1 p1)1 (zn an)n ,

ondeA1,,n Cm. Dizemos que a serieconverge se existe um polidisco de centro emp e raio r = (p, r) = {z Cn; |zi pi| < ri, i= 1, , n},tal que a serie converge em cada ponto de.

Definicao 1.7 Uma funcao em varias variaveisf e ditaanaltica em p se existe umaserie de potencias emp com coeficientes emCm que converge em um polidisco (p, r) Cn cuja soma coincide com o valor def emp.

Definicao 1.8 Sejam U Cn aberto, f : U Cm uma aplicacao contnua e a U.A aplicacao f e holomorfa na variavel zj no ponto a se a funcao em uma variavelf(a1,

, zj,

, an) e deriv avel no ponto zj = aj, e denotamos sua derivada por

f

zj

(a).

Dizemos simplesmente quef eholomorfa emzj quando ela for derivavel emzj em todosos pontos do aberto U.

Lema 1.1 Sef e analtica ema Cn, entao f e analtica em uma vizinhanca dea.

Demonstracao: Ver [22,Lema I.1.2, pag. 9].O Lema acima nos permite enunciar um resultado forte no estudo de aplica coes holo-

morfas:

Teorema 1.3 Sejam U Cn ef : U Cm uma aplicacao contnua. A aplicacao f eholomorfa em cada variavel se, e somente se, f e analtica emU.

Demonstracao: Sem perda de generalidade, suponhamos a = 0. Tome r >0 tal que

(0, r, , r nvezes

) U.

Como f e holomorfa em cada variavel, podemos aplicar n vezes a formula integral deCauchy para uma variavel, isto e,

f(z) =

1

2in

|n|=rdn

n

zn |n1|=r

dn1n1

zn1

|1|=rf(1, , n)

1

z1

d1,


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4 CAP ITULO 1. PRELIMINARES

para todoz (0, r, , r).Seja j = re

2itj , com 0 tj 1 e 1 j n. Pela continuidade de f podemosreescrever a integral acima como

f(z) = rn[0,1]n

e2i(t1++tn)f(re2it1 , , re2itn)(re2it1 z1) (re2itn zn)dt1 dtn

=

[0,1]n

f(re2it1, , re2itn)1 z1

re2it1

1 znre2itn

dt1 dtn.Como|zj | < r, para cada j = 1, , n, segue

1

1

zj

re2it

j

= 1 + zjre2itj

+z2j

(re2itj)2+

e a serie

1

1 zj

re2itj

e absolutamente convergente se 0 tj 1. Assim, fazendo o produtodas series para cada j = 1, , n, teremos o desenvolvimento de f em serie de potenciaconvergente dentro do polidisco . Portanto, f e analtica em 0.

A recproca segue do Lema1.1.

Enunciaremos alguns resultados importantes no estudo de aplicacoes holomorfas. Asprovas serao omitidas e podem ser encontradas em[22].

Teorema 1.4 Sejaf :U

Cn

C uma funcao analtica. Se

|f

| tem um valor maximo

emU, entao f e constante.

Teorema 1.5 Sef : U Cn Cm e uma aplicacao analtica n ao identicamente nula,entao f1(0) tem interior vazio. Em outras palavras, os zeros de uma funcao analticasao isolados.


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Captulo 2

Variedades Complexas

Definicao 2.1 SejamU eV Cn aberto. Uma carta local de dimensao n e umhomeomorfismo

: U V Cn.SeMpode ser coberto por domnios de cartas locais, entao M e umespaco topologicolocalmente euclidiano.

Definicao 2.2 Uma variedade topologica de dimensao n e um espaco topologico lo-calmente euclidiano, Hausdorff e com base enumeravel de abertos.

Cabe aqui alguns comentarios: ao exigirmos que o espaco topologico seja Hausdorff

estamos garantindo a inicidade do limite. Ja o fato de possuir bas e enumeravel de abertosnos garante a existencia de particao da unidade. Nao entraremos em detalhes destes fatosneste texto.

Exemplo 2.1 O exemplo canonico de variedade topologica e o espaco eucliano Cn.

Definicao 2.3 Sejam : U M Cn e : V M Cn cartas de um espacotopologico. Dizemos que e sao compatveis se, na intersecao nao vazia de abertosU V, a funcao transicao (ou funcao mudanca de parametro)

1

:(U V) (U V)for holomorfa.

Definicao 2.4 (i) Um conjunto de cartasi : Ui Cn que cobrem o espaco topologicoM e dito atlas holomorfo sobre uma variedade topologicaM.

(ii) Dizemos que uma carta (V, ) e compatvel com um atlas{(U, )} se(V, )e compatvel com todas as cartas(U, ) do atlas.

(iii) O atlas holomorfo e dito umatlas maximal se ele nao esta contido em um atlasmaior.

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6 CAP ITULO 2. VARIEDADES COMPLEXAS

Proposicao 2.1 O atlas maximal existe e e unico.

Demonstracao: A prova e feita por construcao. SejaA ={(U, )} atlas sobre umespaco localmente euclidiano. Adicione ao atlasA todas as cartas compatveis comA.Logo, as cartas sao todas compatveis umas com as outras, por definicao. Essa colecao eum novo atlas, onde todas as cartas sao compatveis. Portanto, este atlas e maximal, porconstrucao.

Para provarmos a unicidade, sejamAeA dois atlas maximais. ComoA e maximal,entaoA A. Por outro lado,A e maximal, entaoA A, e temos a unicidade.

Observacao 2.1 A prova da proposicao anterior tambem pode ser feita utilizando o Lemade Zorn.

Apos as definicoes acima, podemos dizer o que e uma variedade complexa.

Definicao 2.5 Uma variedade complexa n-dimensional M e um espaco topologicoHausdorff, com base enumeravel de abertos e uma cobertura{U} por abertos de Mtal que existem homeomorfismos

:U V Cn

satisfazendo a seguinte condicao: seU U= , entao a funcao transicao 1 :(U U) (U U)

e holomorfa.

Exemplo 2.2 (01) O espaco Cn com a topologia usual e o atlas = {(Cn, IdCn)} e umavariedade complexa.

(02) Para cada aberto U

Cn ef :U

Cm holomorfa, o grafico def, dado por

Gr(f) = {(x, f(x)) UCm}

e uma variedade diferenciavel. Para provarmos, considere as cartas

: Gr(f) U(x, f(x)) x e

: U Gr(f)x (x, f(x)).

Observe que e sao contnuas e inversas uma da outra, o que implica que ehomeomorfismo. O atlas defcontem uma unica carta dada por{(Gr(f), )}.


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2.1. APLICACOES DIFERENCIAVEIS ENTRE VARIEDADES 7

2.1 Aplicacoes diferenciaveis entre variedades

Sejam (M, 1) e (N, 2) variedades complexas com dimensao m e n, respectivamente.Considere a aplicacaoF :N M.

Dizemos que F e holomorfa em p Nse existem cartas locais (U, ), (v, ) tais quep U,F(U) V e F 1 e holomorfa em (p).

Observacao 2.2 A aplicacao F 1 e chamadaexpressao local deF.Definicao 2.6 Dizemos que F : N M e umbiholomorfismo se F e uma bijecaoholomorfa com inversa holomorfa.

2.1.1 Imersoes, Submersoes, Mergulhos e Subvariedades

Sejam (M, 1) e (N, 2) variedades complexas com dimensao m e n, respectivamente eF :M Numa aplicacao holomorfa.Definicao 2.7 Dizemos que F tem posto k em um ponto p M, e denotamos porrkf(p), se existem cartas locais: U (U), compU e :V(V), F(U)Vtais que

D(p)( F 1) : Cm Cntem posto k.

Definicao 2.8 (i) Uma aplicacao f :Mm Nn e umaimersao serkf(p) =m, paratodo p M, ou seja, a derivadaD(p)(f) e injetiva. Se, para todo p M temosrkf(p) =n, entao f e dita umasubmersao.

(ii) Ummergulho e uma aplicacao f : Mm Nn que e uma imersao e um homeo-morfismo sobre sua imagem.

(iii) Umasubvariedade complexa Nde dimensao m e um subconjunto N M quepossui estrutura de variedade complexa tal que a aplicacao

i : N Mp p

e um mergulho holomorfo.


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2.2 Variedades Kahler

2.3 Fibrados VetoriaisDefinicao 2.9 Umfibrado vetorial complexo de posto k sobre M e um espaco to-pologicoE junto com uma aplicacao contnua: E Msatisfazendo:

(i) Para cada x M, 1(x) = Ex tem estrutura de espaco vetorial de dimensao nsobreC e e chamado fibra do fibrado E;

(ii) Existem uma cobertura por abertos{U} (cobertura trivializadora) deM ehomeomorfismos (trivializacoes locais)

: 1(U) U Cn

tais que

: 1(x) {x} Cn Cn

sao isomorfismos de espacos vetoriais, para todos ex U.

Referimos a terna (E, , M) como sendo o fibrado vetorial com espaco totalE, projecao e espaco base M.

A condicao (ii) nos diz que o diagrama

1(U)

U Cp1

U

e comutativo e, assim, nos garante a boa definicao das fibras Ex. Aqui, p1 e a pro jecaona primeira coordenada.

Um importante exemplo de fibrado e o

Exemplo 2.3 (Fibrado trivial) O fibrado trivial de postok sobre um espaco topologicoM, denotado porCk, e definido por

Ck = MCk

M,

onde(x, v) =x.


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2.3. FIBRADOS VETORIAIS 9

Definicao 2.10 Suponhamos que E tenha estrutura de variedade complexa. Seja :E M projecao. Uma aplicacao holomorfa

s: M E,que satisfaz s= IM e chamada umasecao deE. Denotamos por(M, E) oO(M)-modulo das secoes holomorfas do fibrado E.

Exemplo 2.4 Sejaf O(M). E facil ver que a aplicacao graficos : M Cn

x (x, f(x))e uma secao holomorfa.

Sejam = (E, , M) um fibrado de posto r,{U} uma cobertura trivializadorae{} trivializacoes locais de E. Para , , suponhamos U U = U=.Assim, se x U, as aplicacoes

x, x : Ex Cr

sao isomorfismos lineares. Logo,x 1x e um elemento do Grupo Linear Geralr rsobre C, ou seja,

x 1x GL(r,C)

e tambem define a aplicacao contnua : U GL(r,C)

x x 1x .As aplicacoesesao chamadasfuncoes transicoesdo fibradoEe elas satisfazem

as condicoes de cociclo:

(i) =1 e (ii) = I em U.

De fato.

(i) 1

= (x

1x

)1 =x

x = .

(ii) Temos1 = (x 1x ),1 = (x 1x ) e1 = (x 1x). Assim,

= (x 1x ) (x 1x ) x (1x) =I .

Definicao 2.11 Sejam= (E, , M) e= (F, , M) fibrados vetoriais de posto r es,respectivamente e de mesmo espaco base. Ummorfismo de fibrados

: E Fe uma aplicacao contnua que satisfaz:


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(i) (Ex) =Fx e

(ii) para cadax

M, a aplicacao |Ex

:Ex

Fx

e linear.

Em outras palavras, uma aplicacao entre fibrados e um morfismo se o for sobre cadafibra de seu fibrado.

Proposicao 2.2 Se : E F e um morfismo de fibrados, entao existem uma coberturatrivializadora{U} comum aos fibradosEeF, e uma colecao de aplicacoes contnuas{a} tais que

a =a .

Demonstracao: Considere{U} cobertura trivializadora comum aos fibrados EeFe{}e{}as coberturas trivializadoras de EeF, respectivamente. Para cada ,a aplicacao induz outra aplicacao

: U Cr U Cs.

Observe o diagrama

1 (U)

1 (U)

U Cr U C

s

Temos : 1 . Como (Ex) Fx, para todo x M, entao

: U Cr U Cs(x, v) (x, 1 (x, v)) = (x, (x x 1x) v).

Agora, considere o diagrama

UCr

1 (U)

UCr

UCs 1 (U)

UCs

Observe que = 1 1 .

Assim,

1 = 1 1 (x, v) = 1 (x, v)

(x, v) = (x, v) (x, (x x 1) v) =(x, v)


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(x, (x) a v) = (x, 1 v) (x, (x) a v) = (x, a (x) v),onde a =

1 ea =

1 . Da,

a =a .

A proposicao acima nos mostra como a aplicacao relaciona as funcoes de transicaode dois fibrados. A recproca deste resultado tambem e valida.

2.3.1 Operacoes entre fibrados

Operacoes como soma direta, produto exterior, produto tensorial e o pull-back podem serfeitas entre fibrados. Para isso, os fibrados precisam estar definidos sobre uma mesma basee entao trabalhamos utilizando suas respectivas matrizes das trivializacoes. O resultadoque segue nos mostra como construir fibrados vetoriais holomorfos.

Considere o espaco topologico

(UCr) com a topologia produto. Defina a relacaode equivalencia

(,x,u) (, y, v) y= x e (x) v= u.Proposicao 2.3 Sejam{U} cobertura por abertos da variedade complexaM. Se{}satisfaz as condicoes de cociclo, entao

E= U Cke um fibrado vetorial holomorfo.

Sejam = (E, , M, Cr) e = (F, , M, C

s) fibrados com mesma base M e trivia-lizacoes locais{} e{}, respectivamente. Podemos construir os seguintes fibrados:

Fibrado Trivializacoes locais FibrasE {(1)t} (Cr)

E F { } Cr CsE F { } Cr Csn E {n()} nCr

Sejam X e Y variedades complexa e f : Y Xuma aplicacao entre variedades. Se = (E, , M) e um fibrado vetorial de posto k, entao o mapa f induz um fibrado fEsobreYde mesmo posto, chamado fibrado pull-back, da seguinte maneira: considere oconjunto

fE= {(y, e) Y E :f(y) =(e)}.Pelo modo como foi construido podemos perceber que usando as trivializacoes do fibradoE, as fibras de FEsobre Y sao isomorfas a Ef(x). E mais, os cociclosg de Einduzemos cociclos de fE, dados por g f.


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2.3.2 Complexificacao de fibrados vetoriais reais

SejaV um espaco vetorial real. O produto tensorial

VR C

e um espaco vetorial complexo, chamado complexificacaode V.Sabemos que um fibrado fica determinado pelas suas fibras. Assim, para complexifi-

carmos um fibrado vetorial real basta complixificar cada uma de suas fibras, ou seja, separa cada x M, Ex e uma fibra do fibrado E, entao Ex C e uma fibra do fibradocomplexificado, chamadacomplexificacao deE. E mais, cada elementoExC e escritode modo unico comou+iv, com u, v Ex, ou seja,

Ex

C =Ex

iEx

,

uma vez que um fibrado vetorial complexo EC e isomorfo a decomposicaoEE, comofibrado vetorial real.

Proposicao 2.4 Seja V um espaco vetorial complexo. Se C e v V, a equacao v= v define uma acao deC emV.

Demonstracao: A aplicacao

: C

V V(, v) v= v

e uma acao de C em V, pois

(i) (e, v) =e v= ev = ev = v, para todo v V;(ii) (, (h, v)) = (h, v) = (h, v) = (hv) = (hv) = (h) v = (h,v),

para todo C e para todo v V.

O conjunto Vcom estrutura de grupo aditivo, munido da acao definida acima comomultiplicacao e chamado espaco vetorial conjugado de V, denotado por V e nospermite construir o chamado fibrado conjugado, E, cujas fibras sao Ex e funcoes detransicaog.

2.3.3 Campos de vetores e formas diferenciais

O Fibrado Tangente

Considere o conjunto

T M := {(p, v);p M, v TpM}


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e a aplicacao : T M M

(p, v) p.SejamUum aberto de M e : U M (U) Cn uma carta local emM. Temos

T : T U (U) Cn C2n(p, v) ((p), (d)p v)

Definicao 2.12 A variedade(T M , T )e chamadafibrado tangentecom = {U, }atlas maximal deM.

Campos de vetores

SejaMuma variedade diferenciavel de dimensao n. Um campo vetorial de classe C

sobre M e uma secao do fibrado tangente, de classe C.Denotamos por X(M) o espaco dos campos C sobreM, ou seja,

X(M) = (M , T M ).

SejaA = {U, } um atlas diferenciavel da variedadeM eXum campo vetorial.Pelas trivializacoes locais do fibrado tangente percebemos que, em cada aberto U, ocampoX e dado pela aplicacao

X

|U : U

1(U) =U

Cn

x (x, X(x)),onde X : U Cn e uma aplicacao de classe C, chamada representacao local deM.

No entanto, seU= , as representacoes locais do campoXem Ue Use relacionampor

X = [D( )(x)] X(x),onde x U.

Seja{(x1, , xn) U, } um sistema de coordenadas locais de M. O espacotangente TxM de Mem cada ponto x

U e gerado pelos vetores

D1 ((x)) ej :=

x,

ondeej sao os vetores canonicos de Cn. Assim, uma representacao local de um campo de

vetores X emMno sistema de coordenadas (x1, , xn) U e dada por

X=nj=1

Pj

xj,

comPj C(U).


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Observacao 2.3 A representacao acima nos permite visualizar um campo de vetoresXcomo uma derivacaof X(f) :=df(X), que e a derivada direcional defna direcao docampoX. Em coordenadas locais, temos

X(f) =

nj=1

Pj

xj

(f) =

nj=1

Pjf

xj.

Formas diferenciaveis

Definicao 2.13 Uma p-forma diferenciavel em uma variedade M e uma secao dife-renciavel

w: Mp

(T M)

do fibradop(T M).Denotamos o espaco dasp-formas diferenciaveis por

p(M) = (M,p(T M)).Seja{U} cobertura por abertos de M. Lembremos que o espaco tangente TxM

de Mem cada ponto x U e gerado pelos vetores

D1 ((x)) ej :=

x(x).

Considere novamente um sistema de coordenadas locais{(x1, , xn) U, } de M.Tome a base dual de TxMdada pelas formas lineares{dx1(x), , dxn(x)} tal que

dxi

xj

= 1, i=j;0, i =j.

Portanto, umap-forma diferenciavelw pode ser dada localmente como uma aplicacao

w|U : U 1(U) =U (k

Cn)

x (x, w(x)),onde w: U

nCn e uma aplicacao de classeC dita representacao local de w.

Entao, a representacao local de w pode ser escrita como

w=

1i1ipnPi1,,ipdxi1 dxip,

comPi1,,ip C(U).

Definicao 2.14 DadosX X(M) um campo de vetores e umap-forma diferenciavelw,definimos a contracao dew na direcao deX por

iX(w)(x) : Cn Cn p vezes

Cn

(v1, , vp) w(x)(X(x), v1, , vp1),para todo x Rn.


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Definicao 2.15 Sejawp(M) uma p-forma diferenciavel. A diferencial exteriordew e a(p+ 1)-forma, definida localmente por

dw:=

1i1ipn

dPi1,,ipdxi1 dxip.

Proposicao 2.5 Sejamf :M Numa aplicacao diferenciavel, wq M ep N.Entao

(i) f(w ) =fw fq M;(ii) df(w) =f(dw);

(iii) d2(w) = 0;

(iv) d(w ) =dw + (1)pqw d.

Demonstracao: Segue da definicao de diferencial exterior.


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Captulo 3

Feixes

Definicao 3.1 SejaXum espaco topologico. Dizemos queF e umpre-feixe de gruposabelianos sobreX se

(a) para todo subconjunto abertoU Xexiste um grupo abelianoF(U) e(b) para toda inclusao V U de subconjuntos abertos de X temos o funtor contra-

varianteuv : F(U) F(V) da categoria dos conjuntosXna categoria dos gruposabelianos, satisfazendo as seguintes condicoes

(i)F() = 0;(ii) uu : F(U) F(U) e a aplicacao identidade e

(iii) se W V U sao subconjuntos abertos, entao uw = uv vw, ou seja, odiagrama abaixo e comutativo.

F(U) uw

uv

F(W)

F(V)vw

Definimos pre-feixes de grupos abelianos, mas podemos definir pre-feixe sobre qualquercategoria: grupos, aneis, conjuntos, de acordo com a necessidade de estudo.

Observacao 3.1 (01) SeF e um pre-feixe sobre um espaco topologicoX, referimo-nosao grupo abelianoF(U) como assecoes do pre-feixeFsobre o conjunto aberto U.

(02) E comum utilizarmos a notacao (U, F) para denotarmos o grupoF(U).(03) Chamamos as aplicacoesuv deaplicacoes restricoes.

Definicao 3.2 SejaFum pre-feixe sobre um espaco topologicoX. Dizemos queF e umfeixese satisfaz as seguintes condicoes adicionais:

(c) seU e um conjunto aberto,{Vi} e uma cobertura aberta deU es F(U) e tal ques |Vi= 0, para todo i, entao s= 0;

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18 CAP ITULO 3. FEIXES

(d) seU e um conjunto aberto,{Vi} e uma cobertura aberta deU esi F(Vi) satisfaz,para cadai, j, si|ViVj=sj|ViVj , entao existes F(U) tal ques |Vi=si, para cadai.

Exemplo 3.1 Seja X uma variedade complexa. Para cada conjunto aberto U X,considere

O(U) = {fholomorfa emU}o anel das funcoes regulares deU emC e, para cadaVU, sejauv :O(U) O(V) omapa restricao. Nao e difcil verificar queO e um feixe de aneis sobreX. As condicoesde ser pre-feixes sao satisfeitas pela natureza da aplicacao e as de ser feixes seguem doPrincpio da Identidade.

Seja p X eF um feixe em X. Considere o parU, s, onde U X e aberto es F(U). Defina a seguinte relacao de equivalencia

U, s V, s se existe um aberto W U V tal que s |W=s |W.

Definicao 3.3 Otalo deF emp, denotado porFp, e dado por

Fp = {U, s; U e um aberto contendop, ssecao deFemU}/ .

As classes de equivalencia sao denominadasgermes deF emp.Definicao 3.4 SejamF eG pre-feixes sobre um espaco topologico X. Ummorfismode feixes

: F Gconsiste de um morfismo de grupos abelianos

(U) : F(U) G(U),

ondeU e um aberto do espaco X tal que, sempre queV U, o diagrama abaixo comuta.

F(U) (U)uv

G(U)uv

F(V)

(V) G(V)

Umisomorfismo e um morfismo bijetor cuja inversa tambem e morfismo.

Proposicao 3.1 Seja:F G um morfismo de feixes sobre um espaco topologicoX.Entaoe um isomorfismo se, e somente se, a aplicacao induzida sobre o talo p : Fp Gpe um isomorfismo, para todo p X.


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Demonstracao: Suponhamos que seja um isomorfismo. Entao e isomorfismo emcada vizinhanca de p X. Portanto,p e isomorfismo (pois e uma restricao).

Reciprocamente, se p :Fp Gp e um isomorfismo para toda vizinhanca de pX.Vamos mostrar que (U) :F(U) G(U) e isomorfismo para todo aberto U do espacotopologicoX. Considere, para todo s F(U), a aplicacao

(U) : F(U) G(U)s (s).

Suponha(s) 0. Entao, para toda vizinhanca de p U, a imagem (s)p de (s)no taloGp e nula. Pela injetividade de p em cada vizinhanca de p segue que sp = 0 emFp, para cada p U. Por outro lado, se sp = 0, entaos e 0 tem a mesma imagem. Logo,existe uma vizinhanca aberta Wp de p com WpU tal que s|Wp= 0. Sendo assim, U ecoberto por vizinhancas de Wp de todos os seus pontos e, pela condicao (c) da Definicao

de Feixes temos s = 0 em U. Portanto, (U) e injetora.A sobrejetividade de (U) e garantida pela colagem imposta pela condicao (d) da

Definicao de Feixes.Suponha que tenhamos a secao t G(U). Para cada vizinhanca de p no aberto U

temos tp Gp o germe da secao t na vizinhanca de p. Como p e sobrejetora, existesp Fp tal que p(sp) =tp.

Considere quesp seja representado por s(p) em uma vizinhancaVp do pontop. Entao(s(p)) e t|Vp sao dois elementos deGp com os mesmos germes na vizinhanca de p. Maspode ser que (s(p)) et |Vp sejam diferentes. Neste caso, podemos tomar uma vizinhancade Vp de p suficientemente pequena, de modo que tenhamos (s(p)) = t |Vp emG(Vp).

Do modo como estamos construindo, U e coberto por conjuntos abertos Vp e, paracadaVp temos uma secaos(p) F(Vp).Sejam p, q pontos tais que s(p)|VpVq e s(q)|VpVq sejam duas secoes deF(Vp Vq)

levadas por emt|VpVq . A injetividade de nos garante que s(p)|VpVq=s(q)|VpVq e,pela condicao (d) da Definicao de Feixes, existe uma secao s F(U) tal que s |Vp=s(p),para cada p.

Agora, note que (s) e t sao duas secoes deG(U). Entao, para cada p temos(s)|Vp=|Vp, ou seja, (s)|Vp |Vp= 0. Da, pela condicao (c) da referida definicao,segue que

(s) t= 0 (s) =te temos sobrejetora.

Definicao 3.5 Seja: F G um morfismo de pre-feixes. Definimos(i) o pre-feixe nucleo de por

: F GU Ker((U))

(ii) o pre-feixe co-nucleo de por

: F GU Coker((U)) = GIm()


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(iii) pre-feixe imagem de sendo

: F GU Im((U))

Proposicao 3.2 SeF e um pre-feixe, ent ao existem um feixeF+ e um morfismo :F F+ tal que, para qualquer feixeG e qualquer morfismo :F G existe unicomorfismo :F+ G tal que= . Alem disso, o par(F+, ) e unico, a menos deisomorfismo. O feixeF+ criado deste modo e chamado feixe associado ao pre-feixeF.

Demonstracao: Para nos auxiliar na compreensao da demonstracao, considere o dia-grama comutativo

F

F+

GDado o conjunto abertoU, considereF+(U) o conjunto das funcoes

s: UpU

Fp,

onde pUFp e a uniao dos talos deFsobre pontos do aberto Utal que para cadap Utemoss(p) Fp e existe uma vizinhancaV de p contida em Ue um elemento t F(V)tal que para todo ponto q V o germe tq =s(q).

Note queF+ com a restricao natural de aplicacoes e um feixe e existe um morfismonatural :F F+ que e descrito pela propriedade universal, que garante a unicidadeda aplicacao: F+ G.

A importancia em se definir feixes associados e que estes nos auxiliam na construcaode novos feixes.

Definicao 3.6 Umsub-feixe de um feixe

F e um feixe

F tal que, para todo conjunto

aberto U X temosF(U) um subgrupo deF(U) e as aplicacoes restricoes do feixeFsao induzidas pelas aplicacoes do feixeF.

Da definicao anterior, para qualquer ponto p, o taloFp e um subgrupo deFp.

Definicao 3.7 Seja :F G um morfismo entre feixes. Definimos o nucleo de ,e denotamos por Ker(), sendo o pre-feixe nucleo de . Alem disso, e injetivo seKer() = 0.

Do mesmo modo, definimos aimagem de , e denotamos porIm(), sendo o feixeassociado ao pre-feixe imagem de. Assim, esobrejetora seIm() = G.


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Definicao 3.8 Dizemos que uma sequencia de feixes e morfismos

Fi1

i1

Fi

i

Fi+1

i+1

eexata se em cada etapa temosKer(i) =I m(i1).

Exemplo 3.2 Utilizando a definicao de sequencia exata, vemos facilmente que a sequencia

0 F Ge exata se, e somente se, e injetiva. Analogamente, a sequencia

F G 0

e exata se, e somente se, e sobrejetiva.Proposicao 3.3 Sejam feixes de grupos abelianos sobre um espaco topologico X. Asequencia

Fi1 i1 Fi i Fi+1 i+1 e exata se, e somente se, a sequencia de talos, em cadap X

Fi1,p i1,p Fi,p i,p Fi+1,p i+1,p e uma sequencia exata de homomorfismos de grupos abelianos.

Demonstracao:Suponhamos que, para cada ndice i e ponto p, temos Ker(ip) = Im(

i1p ). Assim,

para cada p, eles definem um mesmo elemento sobreFip e segue o resultado. A recprocae imediata.

3.0.4 Grupos Ext e Feixes

Nesta secao estudaremos osGrupos Ext. Para isso, trabalharemos sobre espacos anelados(X, OX).

Definicao 3.9 (a) Umespaco anelado e um par (X,OX

) consistindo de um espacotopologicoXe um feixe de aneisOX sobreX.

(b) Ummorfismo de espacos anelados(X, OX)em outro(Y, OY)e um par de mapascontnuo f :X Y e outro fOY fOX de feixes de aneis sobreY.

(c) Um espaco anelado e dito localmente espaco anelado se, para cada p X, otaloOX,p e um anel local.

(d) Ummorfismo de espacos localmente aneladoe um morfismo(f, f)de espacosanelados tal que, para cada ponto p X, o mapa induzido de aneis locais fp :OY,f(p) OX,p e um homomorfismo local de aneis locais.


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(e) Se o par de morfismos(f, f)tem inverso, entao temos umisomorfismo de espacosanelados.

Utilizaremos as seguintes notacoes ao longo desta secao:

(01)F, G saoOX-modulos;(02) Hom(F, G) denota o grupo dos homomorfismos entreOX-modulos;(03)Hom(F, G) representa o feixe de homomorfismos entreOX-modulos.

Antes de comecarmos vamos lembrar que, fixado um feixeF,H om(F, ) e um funtorcovariante exato a esquerda da categoria dos feixes de modulos sobre um espaco anelado,Mod(X), na categoria dos grupos abelianos, U(X). Alem disso,Hom(F, ) e um funtorcovariante exato a esquerda da categoria Mod(X) em Mod(X). [ver secao Apendice B].

Suponhamos que Mod(X) tenha injecoes suficientes, ou seja, todo sub-objeto emMod(X) e isomorfo a um objeto injetivo nesta mesma categoria. Faz sentido a seguintedefinicao:

Definicao 3.10 Sejam(X, OX)espaco anelado eFumOX-modulo. Definimos ofuntorExti(F, ) sendo o funtor derivado a direita de Hom(F, ) eExti(F, ) sendo o funtorderivado a direita deHom(F, ).

Lembremos que o funtor derivado a direita e definido sendo

RiF(A) =hi(F(I)) =Kerdi

Imi1,

onde di :Ai Ai+1 e um complexo e A e um objeto numa categoria abeliana.

Observemos que, pela parte (b) do TeoremaB.1, segue que

Ext0(, ) =R0Hom(, ) =H om(, ).

E mais, pela parte (c) do mesmo resultado conseguimos uma sequencia exata longa defuntores E xt a partir de uma sequencia exata curta de objetos injetivos.

SuponhamosG objeto injetivo na categoria Mod(X). Entao

Exti(F, G) =RiHom(F, G) = Ker(Hom(F, G))i

Im(Hom(F, G))i1 = 0, i >0.

Lema 3.1 SeI e um objeto injetivo na categoria dos feixes de modulos, Mod(X), entaopara qualquer subconjunto U X, a restricaoI |U tambem e um objeto injetivo deMod(X).


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23

Demonstracao: Considere o mapa inclusao

j :U XeF, G objetos em Mod(X) comF G. Assim, dado o mapa

h: F I |U,temos a inclusao j (F) j(G) e uma aplicacao

e: j(F) j(I |U),onde j e a extensao por zero, ou seja, j e zero fora de U. ComoI e um objeto injetivo,

j(I |U) e um sub-feixe deIe, com isso, conseguimos uma aplicacao que e uma extensaonatural,

j(F) I.Novamente da hipotese deIser um objeto injetivo ej uma extensao por zero, e possvelobtermos uma aplicacao que extendeF aG e, consequentemente, temos uma extensao

j(G) I.Restringindo esta aplicacao ao subconjunto U de X, temos o mapa deG paraI |U.Proposicao 3.4 SejamXespaco topologico eUsubconjunto aberto deX. Vale

ExtiX(F, G) |U= Ext

iU(F |U, G |U).

Demonstracao: Para i = 0, temos

Ext0X(F, G) |U= HomX(F, G) |U= HomU(F |U, G |U) = Ext0U(F |U, G |U),pelo que sabemos do funtorHom.

ComoExti(F, G) e um funtor exato, por definicaoG e um objeto injetivo. Da, peloLema3.1 segue que

G |Utambem e um objeto injetivo na categoria Mod(X). Portanto,

ExtiX(F, G) |U= ExtiU(F |U, G |U).

Proposicao 3.5 Para qualquer objetoG Mod(X), temos:(a)Ext0(OX, G) = G.(b)Exti(OX, G) = 0, parai >0.(c) Exti(OX, G) =Hi(X, G), para todo 0, ondeHi e o i-esimo grupo cohomologia.


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Demonstracao: Sejam A objeto injetivo em Mod(X) e F um funtor. Considere aresolucao injetiva

I

: 0 A I0

I1

.Aplicando o funtor Fna resolucao acima, temos

0 F(A) F(I0) F(I1) .

FacaF = Hom(OX, F). Assim,Hom(I) nos da a sequencia exata

0 F I1 I2

e

Exti(OX, F) =RiHom(OX, F) =hi(I(Hom(OX, F))) =hi(I(F)) = F, se i = 0;0, se i >0.o que prova (a) e (b).

Para provarmos (c) precisamos provar a seguinte

Afirmacao: Se (X, OX) e um espaco anelado, entao o funtor derivado do funtor(X, ) da categoria dos feixes de modulos Mod(X) na categoria dos grupos abelianos Ubcoincide com o funtor cohomologia Hi(X, ).

De fato. Considere (X,

) sendo um funtor da categoria dos feixes de modulos de um

espaco anelado na categoria dos grupos abelianos. Tomemos uma resolucao injetiva emMod(X). Sabemos que qualquer OX-modulo injetivo e flacido [11, pag. 207], ou seja, paraquaisquer abertosU, V XcomV U, o mapa restricao OX(U) OX(V) e sobrejetor.E mais, qualquerOX-modulo flacido e acclico [11, pag. 208]. Portanto, Hi(X, F) = 0,para todoi >0. Pela ProposicaoB.1 segue que Ri(X, ) =Hi(X, ).

De posse da afirmacao temos, para todo i 0,

Exti(OX, G) =RiHom(OX, G) =Ri(OX, G) =Hi(OX, G).

3.0.5 Feixes Coerentes

Em linhas gerais, um feixe dualizante e um feixe coerente que satifaz algumas condicoes,como veremos posteriormente.

Definicao 3.11 Sejam(X, OX) espaco anelado eLum feixe deOX-modulos. O feixeLe dito localmente finitamente gerado se, para todo ponto x0Xpodemos encontraruma vizinhanca e secoes F1, , Fq L() tais que, para cada x , o taloLx egerado por germesF1,x, , Fq,x como umAx-modulo.


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Lema 3.2 SejamL um feixe deOX-modulos localmente finitamente gerado sobre X eG1, , GN secoes emL(U), com U X aberto, tais que G1,x0, , GN,x0 geramLx0,x0 X. Entao G1,x, , GN,x geramLx, parax proximo ax0.Demonstracao: Por hipoteseL e um feixe localmente finitamente gerado. Entao, pordefinicao, para todo ponto x Xpodemos encontrar uma vizinhanca aberta U de X esecoesF1, , FN emL(U) tais que o taloLx e gerado por F1,x, , FN,x. Diminuindo oabertoU, se necessario, podemos tomar uma vizinhancaU Usuficientemente proximade x e a matriz Hjk A(U) tal que

Fj =

HjkGk

sobreU. Daqui, segue queG1,x, , GN,x geram Lx, para todox suficientemente proximoa x0.

SejaU Xaberto. Denotaremos porL |Ua uniao de todos os talosLx, comx U.Definicao 3.12 SejamU X aberto eF1, , Fq L(U). O nucleo do homomorfismode feixes

F : OqX |U L |U(g1, , gq)

qj=1

gjFj,x

e um sub-feixe deOqX |U, chamado feixe de relacoes entreF1, , Fq, e denotado por

R(F1,

, Fq).

Definicao 3.13 Um feixeL deOX-modulos e um feixe coerente sobre o espaco to-pologicoX se ele cumpre as seguintes condicoes:

(i)L e localmente finitamente gerado e(ii) para todo abertoUdeXe secoesF1, , Fq L(U), o feixe de relacoes e localmente

finitamente gerado.

Observemos que a condicao (i) da definicao acima nos garante a sobrejetividade daaplicacao

F :

OqX

|U

L |U,

enquanto que a condicao (ii) nos diz que K er(F) e finitamente gerado.Se L e um feixe coerente, entao existe um abertoUnas condicoes da definicao anterior.

Tomando este aberto Uvemos que o feixeL adimite, sobre U, uma representacao finitaem sequencia exata a direita

OpX |UG OqX |UF L 0,onde G e dado pela matriz (Gjk)qp de secoes deOX(U) cujas colunas (Gj1), , (Gjp)sao geradores do feixe de relacoesR(F1, , Fq).

O resultado a seguir nos da outros feixes coerentes.


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Teorema 3.1 Se :OX G e umOX-morfismo de feixes coerentes, entao Im() eKer() tambem s ao feixes coerentes.

Demonstracao: Mostremos que Im() e feixe coerente. Sabemos que o conjunto imagemIm() e um subconjunto de G. Assim, olhando como feixe,I m() e um sub-feixe do feixeG. ComoG e coerente, segue que I m() tambem e coerente.

ComoF e um feixe coerente, segue queF e localmente finitamente gerado e, dadosVXe secoes F1, , Fq F(U), o feixe de relacoes e localmente finitamente gerado,por definicao. Sejamx0 X, F1, , Fq F(U) geradores deFem uma vizinhanca Ude x0 e G1, , Gr A(U)r geradores do feixe de relacoesR((F1), , (Fq)) sobreuma vizinhancaU U dex0. Deste modo,K er() e localmente finitamente gerado porsecoes

Hj =

q

j=1

Gk

jFk F(U

), 1 j r,o que mostra que K er() e um feixe coerente.

Teorema 3.2 Seja0 F f L g G 0

uma sequencia exata deOX-modulos. Se dois dos feixesF, L, G sao coerentes, entao todosos feixes sao coerentes.

Demonstracao:

(i) SuponhamosL, G feixes coerentes. Entao o nucleo da aplicacaoL G tambem efeixe coerente, pelo teorema anterior. Mas, como a sequencia

0 F f L g G 0e exata, segue que K er(g) =I m(f) = F, ou seja,F e feixe coerente.

(ii) Suponhamos agoraL eF feixes coerentes. Entao esses feixes sao localmente fini-tamente gerados e da, segue queG e localmente finitamente gerado por ser quoci-ente deL/F. Logo, por definicao, para todo x0 Uexistem secoes G1, , GqG(U). MasL e finitamente gerado, entao para cada x0 U existe uma vizi-nhanca U de x0 e secoes G1, , Gq L(U) que sao aplicacoes de G1, , Gq so-bre U. Diminuindo U, se necessario, podemos considerarF |Ugerado por secoesF1, , Fp F(U). Assim, o feixe de relacoesR(G1, , Gq) e a proje-cao dasultimas q-componentes deR(F1, , Fp, G1, , Gq) Op+qX . SendoL coerente,entao R(F1, , Fp, G1, , Gq) e finitamente gerado e, consequentemente, sua projecaoR(G1, , Gq) tambem e finitamente gerada. Portanto,G e um feixe coerente.

(iii) Agora, considereG eF feixes coerentes. Entao eles sao feixes localmente finita-mente gerados. Digamos que F1, , Fp F(U) e G1, , Gq G(U) sejam seusrespectivos geradores em uma vizinhanca U de x0 U X aberto. Os geradoresG1, , Gq sao imagem dos elementos deL por g. Comog e uma aplicacao entre


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OX-modulos, existe uma vizinhanca U de x0 tal que G1, , Gq L(U). Assim,(F1, , Fp, G1, , Gq) geramL |U e com issoL e localmente finitamente gerado.Considere as secoes de L(U) dadas pors1, , sq es1, , sq suas imagens em G(U).SendoG coerente, o feixe de relacoesR(s1, , sq) e finitamente gerado, digamospor P1, , Ps OX(U)q. FacaPj = (Pkj)1kq. Entao

Hj =P1js1+ +Pqjsq, 1 j s

sao levados em 0 e assim podemos ver (H1, , Hs) como secoes em F. Mas F e co-erente, entao seu feixe de relacoes R(H1, , Hs) e finitamente gerado. SuponhamosqueQ1, , Qt OX(U)s sejam seus geradores. Assim,R(s1, , sq) e finitamentegerado sobre U por

Rj = QkjPk OX(U)o que mostra que o feixeL e coerente.

Definicao 3.14 SejamM uma variedade analtica complexa de dimensaon eOMo feixede germes de funcoes analticas sobre M. Um feixe analtico sobre M e um feixe deOM-modulosL.

Teorema 3.3 (da Coerencia de Oka) O feixe de aneisOM e coerente para qualquervariedade complexaM.

Demonstracao: Ver [6,Teorema 3.19, pag.89].

Proposicao 3.6 Seja0 F F F 0

uma sequencia exata curta deOX-modulos emMod(X), entao para qualquer feixe demodulosG temos a sequencia exata longa

0 Hom(F, G) Hom(F, G) Hom(F, G) Ext(F, G) .

Analogo para o feixeExt.Demonstracao: Como H om(, G) e um funtor exato, entaoG e um objeto injetivo, pordefinicao. Tome a resolucao injetiva deG

0 G I.

Para qualquer feixe injetivoI, o funtor Hom(,I) e exato. Assim, temos a sequenciaexata curta de complexos

0 Hom(F,I) Hom(F,I) Hom(F,I) 0.


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Para cada i 0, a parte (c) do TeoremaB.1 nos afirma que existe um morfismo natural

i

:R

i

Hom(F

,I) Ri

Hom(F

,I)que nos da uma sequencia exata longa

0 Ext0(F,I) Ext0(F,I) Ext0(F,I) Ext1(F,I)

que equivale a sequencia

0 Hom(F,I) Hom(F,I) Hom(F,I) Ext1(F,I) ,

como queramos.Pelo Lema3.1 conseguimos uma sequencia analoga de feixes

Exti, ja que

Hom(

,

I) e

um funtor exato de Mod(X) em Mod(X).

Proposicao 3.7 Seja L1 L0 F 0

sequencia exata emMod(X), ondeL sao feixes localmente livre de posto finito (L e umaresolucao localmente livre do feixe de modulosF). Para qualquer feixeG Mod(X),temos

Exti(F, G) =hi(Hom(L, G)).

Demonstracao: Pela ProposicaoB.1 existe um isomorfismo

RiHom(F, G) =hi(Hom(L, G)).

Portanto,Exti(F, G) =hi(Hom(L, G)).

Convem fazermos uma observacao importante. A categoria dos feixes de modulos,Mod(X), nao tem injecoes suficientes, por esse motivo nao podemos definir funtor derivado

a direita de H omouHom. Assim, os resultados anterior nao valem na primeira variavel.


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Captulo 4

Esquemas Algebricos

4.1 Esquema Afim

Nesta secao vamos discutir um pouco sobre esquemas, que e o espaco sobre o qual iremosobter muitos resultados de agora em diante.

SejaA anel. Associamos a A um espaco topologico junto com um feixe de aneisO aele associado, chamado Spec(A) [definiremos a topologia e o feixe de aneis a seguir]. SeI e um ideal do anel A, denotaremos por V(I)Spec(A) o conjunto de todos os ideaisprimos contendo I.

Lema 4.1 SejaA anel. Sao verdadeiras as afirmacoes:

(i) SeI eJ sao ideais deA, entao V(IJ) =V(I) V(J).(ii) Seja{Ii}i conjunto de ideais deA. Entao V(

i

Ii) =

V(Ii)i.

(iii) SeI eJ sao dois ideais deA, entao V(I) V(J) se, e somente se, J I.

Demonstracao:

(i) Seja P

V(I)

V(J). Entao P

I ou P

J. Como P e ideal primo, segue que

P IJe temosV(IJ) V(I) V(J). Por outro lado, suponhamosP IJ. Semperda de generalidade suponhamos P J. Entao existe f J tal que fP. Seg I, entao f g I P, poisI e ideal. Daf g Pe, comoP e ideal primo seguequeg Pe temos V(I) V(J) V(IJ) e segue o resultado.

(ii) SejaPideal contendoi

Ii. EntaoPcontem cada Iie temosV(i

Ii)

V(Ii)i.

Reciprocamente, se Pcontem cada Ii, entao P contemi

Ii e temos o resultado.

(iii) Sabemos que o ideal radical e a intersecao de todos os ideais primos contendo I.EntaoV(I) V(J) se, e somente se, J I.

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30 CAP ITULO 4. ESQUEMAS ALG EBRICOS

Observemos que, pela definicao, V(A) =, enquanto que V((0)) = Spec(A). Destefato e do lema anterior, podemos munir Spec(A) com uma topologia tomando os subcon-

juntosV(I) sendo subconjuntos fechados. Tal topologia e chamadaTopologia de Zariski.

Iremos definir o feixe de aneisO em A. Para cada ideal primo P A, consideremosAPa localizacao de AemP [Apendice C]. Seja U Spec(A) aberto e considereO(U) oconjunto das funcoes

s: UPU

AP,

tais que s(P) AP, para cada ideal P.Em outras palavras, para cadap U, queremos uma vizinhancaV dep com V Ue

ideais I , J

A tais que, para cada Q

V comI

Q tenhamos s(Q) = I

J

AQ. Assim,

O(U) tera soma e produto bem definidos, e unidade sendo o 1 de cada localizacao AP.Isto e, com essa estrutura,O(U) e um anel comutativo e com unidade.

SejamU, Vabertos com V U. O mapa restricaoO(U) O(V)

e um homomorfismo de aneis eOsatisfaz as condicoes de ser feixe.A construcao acima nos permite fazermos a seguinte

Definicao 4.1 SejaA um anel. Oespetro deA e o par (SpecA,O), ondeSpec(A) ={I; Ie ideal primo deA} e espaco topologico eO e um feixe de aneis.

Denotaremos por D(I) os conjuntos abertos que sao complementares de V(I). PeloLema4.1, segue que estes abertos formam uma base para a topologia do espacoSpec(A).

Proposicao 4.1 SejamA anel e(Spec(A), O) seu espetro.(a) Para qualquer ideal primo P Spec(A), o taloOP do feixeO e isomorfo ao anel

localAP.

(b) Para qualquer elemento f A, o anel localO(D(f)) e isomorfo ao anel localizadoAf.

(c) (Spec(A), O) =A.

Demonstracao: Ver [11,Proposicao 2.2, pag. 71].

Proposicao 4.2 (a) SeA e um anel, entao(Spec(A), O) e localmente espaco anelado.(b) Todo morfismo de aneis : A B induz um morfismo de espacos localmente

anelado(f, f) : (Spec(B), OSpec(B)) (Spec(A), OSpec(A)).


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4.1. ESQUEMA AFIM 31

(c) Todo morfismo de espaco localmente anelado Spec(B) Spec(A) induz um mor-fismo de aneis: A B.

Demonstracao:

(a) Segue do item (a) da Proposicao4.1.

(b) Sejam A, B aneis e : A B homomorfismo de aneis. Para P ideal primo emSpec(B), defina o mapa

f : Spec(B) Spec(A)P 1(P).

A aplicacaof e contnua, pois seI e um ideal do anel Atemosf1(V(I)) =V((I)).

Para cada ideal primo P Spec(B) podemos localizar a aplicacao e obter umhomomorfismo local de aneis locais P :A1(P) BP.Agora, consideremos V Spec(A) aberto. Compondo o homomorfismo local Pcom a aplicacaofe utilizando a definicao do anel O, conseguimos um homomorfismode aneis

f : OSpec(A)(V) OSpec(B)(f1(V))que nos da um morfismo de feixes

f : OSpec(A) f(OSpec(B)).

O mapa f induzido sobre os talos sao homomorfismos locais P, e entao o par(f, f) e um morfismo local de espaco anelado.

(c) Seja (f, f) um morfismo de espaco localmente anelado de Spec(B) em Spec(A).Tomando agora as secoes globais, segue que f induz um homomorfismo de aneis

: (Spec(A), OSpec(A)) (Spec(B), OSpec(B)),

que sao os aneisA e B , respectivamente, pelo item (c) da Proposicao4.1.

Para qualquer ideal primo P

Spec(B) temos induzido um homomorfismo local

sobre os talos, a saber OSpec(A),f(P) OSpec(B),PouAf(P) BPque sao compatveiscom o mapa sobre as secoes globais e o homomorfismo localizacao, ou seja, odiagrama

A

B

Af(P) BP

e comutativo. Alem disso, como f e um homomorfismo local, segue que1(P) =f(P), o que mostra que fcoincide com o mapa Spec(B)Spec(A) induzido por.


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Definicao 4.2 Umesquema afim e localmente um espaco anelado (X, OX) que e iso-morfo ao espetro de algum anel. Umesquema e um espaco localmente anelado (X, OX)no qual todo ponto tem uma vizinhanca abertaUtal que o espaco topologicoU, junto como feixe restricaoOX|U e um esquema afim.Definicao 4.3 SejaSum esquema. Umesquema sobreS e um esquemaX, junto comum morfismo X S. SeX eY sao esquemas sobreS, entao um morfismo deX emY(como esquemas sobreS) e um morfismo f :XY compatvel com um dado morfismodeS.

Denotamos Sch(S) a categoria dos esquemas sobre S.

4.2 Esquema Projetivo

Uma importante classe de esquemas no nosso estudo sao osesquemas projetivos. Definimosesquemas projetivos sobre aneis graduados.

Definicao 4.4 Umanel graduado e um anelSque pode ser escrito como soma diretade grupos anelianos Sd, ou seja, S =

d0 Sd tal que, para quaisquer d, e 0, temos

Sd Se Sd+e. Os elementos deSd sao chamados deelemento homogeneo de grau d.Denotaremos por S+ o ideald>0 Sd. Definimos o conjunto Proj(S) formado portodos os ideais primos homogeneos P que nao contem todo o ideal S+. Se I e um ideal

homogeneo de S, definimos o subconjunto

V(I) = {P Proj(S); P I}.Observacao 4.1 Dizemos queI e umideal homogeneo seI=

d0(I Sd).

Lema 4.2 (a) SeI eJ sao ideais homogeneos emS, entao V(IJ) =V(I) V(J).(b) SeIii e uma famlia qualquer de ideais homogeneos deS, entao

V(i Ii) = V(Ii).Demonstracao: Analoga a demonstracao do Lema4.1.

Do mesmo modo como observamos na secao anterior, aqui tambem cabe observarmosqueV(A) = e V((0)) =Proj(S). Assim, tambem podemos definir uma topologia sobreProj(S), tomando os subconjuntos fechados sendo os subconjuntos da forma V(I).

Vamos definir o feixe de aneisO sobre Proj(S). Seja T o sistema multiplicativocontendo todos os elementos homogeneos deSque nao estao no ideal primoP. Para cada


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4.2. ESQUEMA PROJETIVO 33

idealP Proj(S), consideremos o anelS(P) de elementos de grau zero no anel localizadoT1S. Para cada aberto U de Proj(S), definimosO(U) sendo o conjunto das funcoes

s : U S(P)P s(P),

onde s e localmente quociente de elementos de S. Em outras palavras, para cada idealprimo P U, existe uma vizinhancaV de P em Ue elementos homogeneos a, f Sdemesmo grau tal que, para todo ideal Q V temos f Q e s(Q) = af S(Q). Assim,analogamente a secao anterior,O(U) e um anel comutativo e com unidade.

SejamU, Vabertos com V U. O mapa restricao

O(U)

O(V)

e um homomorfismo de aneis eOsatisfaz as condicoes de ser feixe, como queramos.

Definicao 4.5 Seja S um anel graduado. Definimos (Proj(S), O) sendo o espaco to-pologico junto com o feixe de aneis construdo acima.

Proposicao 4.3 SejaS um anel graduado.

(a) Para qualquer ideal primoP Proj(S), o taloOP e isomorfo ao anel localS(P).(b) Para qualquer elemento homogeneof S+, defina

D+(f) = {P Proj(S); f P}.Entao os conjuntosD+(f) formam uma cobertura por abertos deProj(S) e, paracada conjunto aberto temos um isomorfismo de espacos localmente anelado, ou seja,

(D+(f), O |D+(f)) =SpecS(f),ondeS(f) e o subanel de elementos de grau zero no anel localS(f).

(c) Proj(S) e um esquema.

Demonstracao:

(a) Analoga a demonstracao do item (a) da Proposicao4.1.

(b) Observemos queD+(f) =Proj(S)V((f)) e um aberto. Sabemos que os elementosde Proj(S) sao ideais primos homogeneos de S que nao contem todos os ideiaisde S+. Entao os conjuntos abertos D+(f) cobrem Proj(S). Fixemos f S+,consideremosP ideal primo homogeneo e a aplicacao

: D+(f) Spec(S(f))P

(P Sf)

S(f),


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que e um isomorfismo devido as propriedades de localizacao.

Alem disso, se I e um ideal homogeneo entaoI

Pse, e somente se, (I)

(P).

Entao e um homeomorfismo. E mais, se P D+(f), entao os aneis locais S(P)e (S(P))(P) sao isomorfos. Assim, o homeomorfismo induz um mapa natural defeixes : OSpecS(f) (OProjS|D+(f)) que e um isomorfismo, como queramos.

(c) Segue dos itens (a) e (b) que Proj(S) e localmente espaco anelado e coberto poresquemas afins.

Observacao 4.2 O esquemaProj(S) e chamado de esquema projetivo.

Exemplo 4.1 Considere S = C[z0,

, zn]. Pode-se mostrar que Proj(S) = Pn e que

toda subvariedade projetiva dePn e um esquema projetivo.

4.3 Diferenciais Kahler

Na secao 1.4, quando estudamos feixes, fizemos este estudo sobre grupos abelianos. Noentanto, mencionamos que podemos definir feixes sobre outras estruturas, e e o que vemosfazendo ao longo deste texto. Esta secao se destina a estudarmos feixes de diferencialdeum esquema em outro.

Ao longo desta secao, salvo mencao contraria,Ae um anel comutativo e com unidade,

B e umaA-algebra e M um B -modulo.

Definicao 4.6 Uma aplicacaoD: M M

e dita umaA-derivacao deB emM se

(01) D e um funtor aditivo;

(02) satisfaz a Regra de Leibniz,D(bb) =bD(b) +bD(b) e

(03) para todoa A, temosD(a) = 0.A condicao (iii) da definicao anterior nos diz que, para qualquer derivacaoD,D1(0)

e um subanel de A. Em particular, D(1) = 0 e assim, 12 = 1.

SejaKum anel eAumaK-algebra. Uma derivacaoD : A Mtal queD(K1A) = 0e chamada derivacao sobre K. Denotaremos por DerK(A, M) o conjunto de todas asderivacoes sobre K.

SejamA e Caneis e Num ideal de N comN2 = 0. Considere o mapa natural

j : C CN


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4.3. DIFERENCIAIS KAHLER 35

e os homomorfismos de aneisu, u :A C

satisfazendoju = ju. Defina D = u u.Afirmacao: Os homomorfismosueu induzem a mesma estrutura deA-modulo sobre

N e D : A N e uma derivacao.De fato.

u(ab) = u(a)u(b) = (u(a) +D(a))(u(b) +D(b)) =u(a)u(b) +u(a)D(b) +D(a)u(b) +

+D(a)D(b)

= u(ab) +aD(b) +bD(a).

Da que, u(ab) u(ab) =D(ab) =aD(b) +bD(a)e D e uma derivacao.

Que os homomorfismosu e u definem a mesma estrutura de A-modulo sobreN seguedo modo como foram definidos.

Vale a recproca da afirmacao anterior.

SejamKum anel,A uma K-algebra eB = A KA. Considere os homomorfismos deK-algebras

: B

A

(a a) aa,1 : A

B

a a 1,2 : A

B

a 1 a.Damos a B =A Aestrutura de A-algebra pela aplicacao 1. Denotaremos

(i) Ker() =IA/K, ou simplesmente K er() =I;

(ii) II2 = A/K.

Da definicao de produto tensorial, segue que I e I2 sao B-modulos. E mais, I, I2 eA/Kpodem ser vistos como A-modulos, pela aplicacao1.

Definicao 4.7 Chamamos o A-modulo A/K demodulo de diferenciais oudiferen-

cial Kaler deA sobreK.

Seja

v: B BI2

homomorfismo definido de maneira natural. Ponha

d =2 1 : A Ba 1 a a 1 e

d= vd : A AI2a v(1 a a 1).

Afirmacao: d e uma derivacao. De fato.


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(i) d e aditivo pois H om(A, A) Hom(dA, dA) tem estrutura de A-modulos.(ii) Usando que v e homomorfismo, temos

d(ab) = v(1 ab ab 1) =v(1 ab) v(ab 1)= v(1) v(a)v(b) v(a)v(b) v(1) +v(a)v(b) v(1) v(a)v(b) v(1)= v(a)(v(1) v(b) v(b) v(1)) +v(b)(v(1)v(a) v(a)v(1))= ad(b) bd(a).

Proposicao 4.4 O modulo de diferenciaisA/Kcom derivacaod tem a propriedade uni-versal, no sentido que serD e umaK-derivacao do anelA no A-moduloM, existe unicaaplicacao A-linearf : A/K M tal queD= f d, ou seja, o diagrama

A

D

dA/Kf

M

e comutativo.

Demonstracao: Considere a extensao trivialA Me o homomorfismo de A-algebras : B=A A A M

(x

y)

(xy,xD(y)).

Como(I) M e M2 = 0, temos(I2) = ((I))2 M2 = 0

e induz um homomorfismo de A-algebras

: B

I2 =A A M,

onde dy = II2 .Observe que

(dy) = (1 y y 1) =(1 y) (y 1) = (y, D(y)) (y,yD(1))= (y, D(y)) (y, 0) = (0, D(y)).

Assim, a aplicacao |: M eA-linear e nos fornece uma aplicacaof= |: Mtal que f d= D, e temos provada a existencia da aplicacao f.

Como ja mencionamos, consideremos K um anel, A uma K-algebra e B = A A.Assim

x y= xy 1 +x(1 y y 1). (4.1)


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Como : B= A A A

x y xy,segue que x y= (x y) +xdy, onde d :2 1.

Suponha (xi yi) I=K er(). (4.2)

Da Equacao (4.1) temos, para cada i,

xi yi= xiyi 1 +xi(1 yi yi 1) =(xi yi) +xidyi.

Assim, por (4.2),

xi yi = xidyi,pois(xi yi) = 0. E, consequentemente

(xi yi) =

xidyi.

Como II2

= A/K, entao dy modI2 =dy e assim, qualquer elemento de A/K tem a

forma

xidyi, comxi, yi A, ou seja, qualquer elemento de e gerado por{dy; y A}comoA-modulo. Da, segue que a aplicacao f : A/K M e unica.

Em consequencia da proposicao anterior, temos a aplicacao

DerK(A, M) HomA(A/K, M).

Na linguagem de categoria, o par (A/K, d) representa o funtor covariante M DerK(A, M)da categoria de A-modulos nela mesma.

Proposicao 4.5 SejamK eA aneis e considereA =A K. Entao

A/K=A/KAA.

Alem disso, seS e um sistema multiplicativo emA eA =S1A, entao

S1A/K=S1A/K.

Demonstracao: Considere o diagrama comutativo de aneis e homomorfismos

A

A

K K


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e as extensoesA/K=A/I

2 A/I2 = A/K

A

A

K

K

Da comutatividade do diagrama, podemos afirmar que existe um homomorfismo de A-modulos A/K A/K e, alem disso, a aplicacao A/KAA A/K tambem e umhomomorfismo.

TomandoA =A K, temos

A/KAA

= A/KA(A K

) =A/K.Considere agoraSum sistema multiplicativo e A =S1A. Entao

S1A/K=A/K=A/KAS1A =S1A/K.

Teorema 4.1 (A primeira sequencia exata fundamental) SejamK,A, Baneis eKA B homomorfismos. Existe uma sequencia exata natural de homomorfismos de B-modulos

A/Kv

B/Ku

B/A 0 (4.3)

Demonstracao: Definimos as aplicacoesu e v por

v : A/KAB B/KdA/K b b dB/K(a) e

u : B/K B/Ab dB/K(b) b dB/A(b),

onde a Aeb, b B.Observe que o mapa u e sobrejetor, pelo modo como foi definido. E mais, como

(a) B, segue que dB/A(a) = 0 e dau(b dB/K(b)) = 0 uv= 0.

Para mostrarmos que a sequencia (4.3) precisamos mostrar queKer(u) =I m(v). Seja

T =Coker(v) = B/KIm(v)

. Temos o isomorfismo

HomB(A/KAB, T) =H omA(A/K, T) =DerK(A, T)que nos da a sequencia de aplicacoes

DerA(B, T) DerK(B, T) DerK(B, T)D

D

D

.


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Assim,Ker() =I m() e a sequencia anterior e exata. Como DerK(A, T) =H omA(A/K, T),temos

HomB(A/KAB, T) =H omB(B/A, T) HomB(B/K, T) HomB(B/K, T),

que e uma sequencia exata. Portanto,

A/KAB B/K B/A 0

e uma sequencia exata, como queramos.

SejamKum anel, A uma K-algebra, Mum ideal de A e B = AM

. Defina

: M A/KABx dA/Kx 1.

Observe que o mapa leva M2 em zero, o que induz um mapa B-linear

: M

M2 A/KAB.

Teorema 4.2 (A segunda sequencia exata) SejamKanel,A umaK-algebra, M umideal deA eB= A

M. Considere o mapa

: M A/KABx dA/Kx 1.

Sao verdadeiras as seguintes afirmacoes:

(i) A sequencia deB-modulos

M

M2 A/KABv B/K 0

e exata.

(ii) SeA1 = AM2 , entao A/KAB=A1/KA1B.(iii) O homomorfismotem inverso a esquerda se, e somente se, a extensao

0 MM2

A1 B 0

de umaK-algebraB por MM2

e trivial sobre o anelK.

Demonstracao:


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(i) Sejam K,A, B aneis e K A B homomorfismos. Pelo Teorema4.1existe umasequencia exata de homomorfismos de B -modulos

A/KABv B/Ku B/A 0,onde

v : A/KAB B/KdA/K b b dB/K(a) e

u : B/K B/Ab dB/K(b) b dB/A(b).

A aplicacaov sera sobrejetora seo for, pela definicao dev. E mais,v= 0. Assim,do mesmo modo como procedemos na prova do resultado anterior, basta mostrarque a sequencia

HomB(B/K, T)

HomB(A/K

AB, T)

HomB(M/M

2)

e exata, para qualquer B -modulo T. Como H omA(A/K, T) =DerK(A, T), temosHomB(B/K, T) =DerK(B, T) =DerB(A/M, T).

Assim, a sequencia dos homomorfismos H omB(, T) e isomorfa a sequenciaDerK(A/M, T) DerK(A, T) HomA(M, T),

ondeDerA(A/M, T) DerK(A, T) HomK(M, T)

Dm D D/M.

Observe que K er() =I m() e a sequencia acima e exata. Portanto,M

M2 A/KAB B/K 0

e uma sequencia exata.

(ii) Observemos inicialmente que um homomorfismo de B-modulos N N e um iso-morfismo se, e somente se, o mapa induzido HomB(N, T)H omB(N, T) for umisomorfismo, para todo B-modulo T. Assim, A/KAB=A1/KA1 B se, e so-mente se, HomB(A1/KA1 B, T) HomB(A/KAB, T) e isomorfismo. Ora,mas isso ocorre se, e somente se, DerK(A1, T) DerK(A, T) e isomorfismo.Afirmacao: A aplicacao

: DerK(A/M2, T) DerK(A, T)

D De um isomorfismo, para todo A

M-modulo T. De fato

(a) Sejam D, E DerK(A/M2, T) com D = E. EntaoD= (D) =(E) =E

eesta bem definida.


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(b) Se D, E DerK(A, T) com D = E, entao

(D) =D = E= (E)

e e injetora.

(c) A aplicacao e sobrejetora pelo modo como foi construda.

(d) Finalmente observe que e homomorfismo, pois

(D E) =D E= (D) (E).

Portanto, H omB(A/KAB, T) =H omB(A/KA1B, T) e, consequentemente,

A/KAB

=A

1

/KA1

B .

(iii) Pelo isomorfismo obtido no item anterior, a sequencia

M

M2 A/KAB B/K 0

pode ser reescrita do seguinte modo

M

M2 A1/KA1B B/K 0.

Suponhamos M2

= 0 e que tenha inverso a esquerda dado por

w : A/KAB Mda 1 w(da 1) =Da,

onde, para todo x M,D : A M

x xe uma derivacao. Vamos mostrar que a extensao

0

M

M2A1

B

0

daK-algebraB por MM2

e trivial sobre K.

Defina o mapaf : A A

a a Dae observe que

f(a +b) = (a +b) D(a +b) =a +b D(a) D(b) = (a D(a)) + (b D(b))= f(a) +f(b),


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ou seja,f e homomorfismo dek-algebras comf(M) = 0, pela definicao da derivacaoD e induz um homomorfismo

f :B = AM

A.

Por definicao do mapafe do fato de Dx= x, para todox M, segue que

f(a) a modM

e f e uma secao da extensao de aneis 0 M A B 0.Para provar a recproca basta inverter os argumentos.

4.3.1 Feixes de Diferenciais

Vamos agora definir Diferencial Kaler sobre feixes. Para isso, vamos considerarf :X Yum morfismo de esquemas.

Definicao 4.8 Sejaf :XY um morfismo de esquemas. O morfismo diagonal e ounico morfismo : X XY Xtal que a composicao com ambas projecoes

p1, p2 : XY X X

e o mapa identidade deX X.Definicao 4.9 (i) Um morfismo de esquemas f : X Y e uma imersao fechada

se f e um homeomorfismo de X em um subconjunto de Y e um epimorfismo nacategoria de feixes.

(ii) Um morfismof :X Y e ditoseparadose o morfismo diagonal e uma imers aofechada. E neste caso dizemos queX eseparado sobreY.

Proposicao 4.6 Todo morfismo de esquema afimf :X Y e separado.


Corolario 4.1 Uma condicao necessaria e suficiente para que um morfismo f :X Yseja separado e que a imagem do morfismo diagonal seja um subconjunto fechado deXY X.

Demonstracao: Se f : X Y e um morfismo separado, entao o morfismo diagonal eum subconjunto fechado de XY X, por definicao.

Para provarmos a recproca, devemos mostrar que o morfismo : X (X) e umhomeomorfismo e que o morfismo de esquemas f :X Y e sobrejetor.


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Sejap1 : XYX Xa projecao na primeira coordenada. Por definicao de morfismodiagonal, segue que p1 = I dX. Logo, e homeomorfismo sobre sua imagem (X).

Agora considerep XeUuma vizinhanca aberta afim de p suficientemente pequenatal quef(U) V Y, comVum aberto de Y. EntaoUV U e uma vizinhanca abertaafim de (p) e, pela proposicao anterior, : U UV U e uma imersao fechada, poise separado. Portanto, e um mapa de feixes sobrejetor em uma vizinhanca de p, o queconclui nossa demonstracao.

Voltemos ao morfismo diagonal : X XY X com morfismo de esquemas f :X Y. Pela Proposicao4.6 temos fseparado e, pelo corolario4.1 a imagem de e umsubconjunto fechado de XY X. Assim, induz um isomorfismo de Xem sua imagem(X), a qual e um sub-esquema localmente fechado de X Y X, ou seja, (X) e umsub-feixe fechado de um subconjunto abertoW de X

Y X.

Definicao 4.10 SejaIum feixe de ideais de(X) emW XY X aberto. Definimoso feixe de diferenciais deX sobreY sendo o feixeX/Y =

(I/I2).

Pelo que observamos na secao anterior, podemos ver queI/I2 tem estrutura de O(X)-modulo. Comoinduz um isomorfismo deX sobre(X), entao X/Y tem naturalmenteestrutura deOX-modulo.

Proposicao 4.7 SejaX um esquema. Valem

(i) Para qualquer sub-esquema fechado Y deX, o feixe de ideal correspondenteIY eum feixe quase-coerente de ideais sobreX.(ii) SeX e noeteriano, entao X e coerente.

(iii) Qualquer feixe quase-coerente de ideais sobre X e o feixe de ideal unicamente de-terminado pelo sub-esquema fechado deX.


Proposicao 4.8 Sejamf : X

Y eg :Y

Y morfismos de esquemas ef := X =

XYY Y. Entao X/Y =(g)(X/Y), ondeg :X X e a projecao da primeiracoordenada.


Proposicao 4.9 Sejamf : X Y eg :YZ morfismos de esquemas. Entao existeuma sequencia exata de feixes sobreX,

f(X/Y) X/Z X/Y 0.


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Demonstracao: Consideremos os morfismos de esquemas

Xf

Yg

Z.

Pela Proposicao4.5, segue que

Y/XY Z Z/X Z/Y 0.

Aplicando o pull-back f temos

f(Y/XY Z) f(Z/X) f(Z/Y ) 0

que, pela proposicao anterior resulta na sequencia exata de feixes sobre X,

f(X/Y) X/Z X/Y 0.

Proposicao 4.10 Sejamf :X Ymorfismo de esquemas eZum sub-esquema fechadodeXcom feixe de idealI. Entao existe uma sequencia exata de feixes sobreZ,

I/I2 X/Y OZ Z/Y 0.

Demonstracao: A demonstracao e analoga a demonstracao do resultado anterior e podeser encontrada em [11,Proposicao 8.12, pag. 176].

4.4 Variedades Nao-Singulares

Definicao 4.11 Sejam Y An uma variedade afim e f1, , ft A = C[x1, , xn]conjunto de geradores do idealY. Dizemos queY e variedade nao-singular no ponto

p Y se o posto da matriz

fixj

(p)

en r, onder = dimY. SeY e n ao-singular em

todo ponto p Y, entao dizemos queY evariedade nao-singular.E importante observarmos que, usando a Regra da Cadeia, podemos verificar que a

definicao de variedade nao-singular independe do conjunto de gerados escolhido para oidealY.

Definicao 4.12 Seja A anel local noeteriano com ideal maximalM e corpo K = AM .Dizemos queA eanel local regular sedimK

MM2

=dimA.

Teorema 4.3 SejamY An variedade afim ep Y. EntaoY e variedade n ao-singularemp se, e somente se, o anel localOp,Y e regular.


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4.4. VARIEDADES N AO-SINGULARES 45

Demonstracao: Seja p= (a1, , an) um ponto em An e ap =x1 a1, , xn an oideal maximal correspondente emA = C[x1, , xn]. Defina o mapa linear

: A Cnf f

x1(p), , f

xn(p)

e observe que, parai = 1, , n,(xi ai) forma uma base para Cn (pela definicao de).Alem disso, (ap)

2 = 0. Assim, induz um isomorfismo

: ap(ap)2

Cn.

Considere b um ideal de Y em A e f1, , ft conjunto de geradores de b. Assim, oposto da matriz jacobianaJ=

fixj

(p) coincide com a dimensao de(b) como subespacode Cn. Do fato de ser linear, temos(b+a2p) =(b) +(a

2p) =(b).

Logo,

dim(b) = dim(b+a2p)

a2p.

Por outro lado, o anel localOp dep em Y e obtido deA quociente porb e localizandono ideal maximal ap. Deste modo, seM e um ideal maximal deOp, entao

MM2 = ap

b+a2p ,

poisM2 =a2p = 0. Assim,M = apb e

dimMM2 +rkJ=n. (4.4)

Suponhamos dim Y =r. Entaodim Op = r. Assim, o anelOp e regular se, e somentese,dim MM2 =r. Da Equacao (4.4), isso equivale a rkJ=n r, o que prova o resultado.

O resultado anterior nos motiva a seguinte definicao:

Definicao 4.13 Dizemos que Y evariedade nao-singular em p Y se o anel localOp,Y e regular. Caso contrario, dizemos queY evariedade singular.

Sobre corpos algebricamente fechado temos

Definicao 4.14 Uma variedade X sobre um corpo algebricamente fechado e dita nao-singularse todos os seus aneis locais sao regulares.

Observacao 4.3 Pelo Teorema das Funcoes Implcitas, uma variedade algebrica nao sin-gular e sempre uma variedade complexa.


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O resultado que seguira nos da a relacao entre nao-singularidadee diferenciais.Embora esteja enunciado sobre o corpo dos complexos, ele vale para qualquer corpo

algebricamente fechado.

Teorema 4.4 Seja X um esquema separado irredutvel do tipo finito sobre C. EntaoX/C e feixe localmente livre de posto n= dimX se, e somente se, X e variedade n ao-singular sobreC.

Demonstracao: Ver [11,Teorema 8.15, pag. 177].

Teorema 4.5 SejamX variedade nao-singular sobreC eY X sub-esquema fechadoirredutvel definido pelo feixe de ideaisI. Entao Y e n ao-singular se, e somenteY/C elocalmente livre e a sequencia

II2

X/C OY Y/C 0

tambem e exata a esquerda, ou seja,

0 II2 X/C OY Y/C 0.

Alem disso, neste casoI e localmente gerado porr = codim (Y, X)elementos e II2 e feixelocalmente livre de posto r sobreY.


4.4.1 Aplicacoes

Iremos agora aplicar os resultados vistos nesta secao a fim de definirmos alguns invariantesde variedades nao-singulares sobre C.

Definicao 4.15 Seja X variedade nao-singular sobre C. Definimos o feixe tangentedeX por

TX=H omOX(X/C, OX).Por definicao, o feixe tangente e localmente livre cujo posto coincide com a dimensao da

variedade X. O feixe canonico de X e, por definicao, o n-esimo produto exterior defeixe de diferenciais, ou seja,

X=k

X/C,

onden= dimX. O feixe canonico e um feixe invertvel sobreX.

Definicao 4.16 SejaXvariedade projetiva e nao-singular. Definimos ogenero geometricodeX por

pq =dimC(X, X),

ondepq e um inteiro n ao-negativo.


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4.5. MAPAS RACIONAIS 47

4.5 Mapas Racionais

Mapas racionais e equivalencia birracional sao importantes para a classificacao de varie-dades algebricas.

Lema 4.3 SejamX eY variedades e, morfismos deX emY. Se existe um abertoU X nao vazio tal que |U=|U, entao = .

Definicao 4.17 (i) SejamX, Y variedades. Ummapa racional : X Y e umaclasse de equivalencia de paresU, U, ondeU X e um aberto eU e um mor-

fismo deU emY.

(ii) Os paresU, U eV, V sao equivalentes se U e V sao compatveis sobreU

V

=

.

(iii) O mapa racional e dito mapa dominante se, para todo parU, U, a imagemUe densa emY.

Definicao 4.18 Ummapa birracional : X Y e um mapa racional com inversa: Y Xracional tal que= I dXe= I dY. Se existe um mapa birracional deXemY, entao dizemos queXeY sao birracionalmente equivalentesoubirracionais.

Lema 4.4 SeA anel eYuma hipersuperfcie emAn dada pela equacaof(x1, , xn) = 0,entao An Y e isomorfo a uma hipersuperfcie H em An dada por xn+1f = 1. Emparticular, An

Y e afim e seu anel afim eC[x1,

, xn]f.

Demonstracao: Ver [11,Lema 4.2, pag. 25].

Proposicao 4.11 Para qualquer variedade Y existe uma base de sunconjuntos abertosafins.


Considere : X Y um mapa racional dominante representado pelo parU, U.Sejaf K(Y) uma funcao racional representada pelo parV, f, ondeV e um aberto deY e f e regular sobre V. Como e um mapa dominante, entao U(U) e denso em Y e,

com isso, 1U (V) e nao vazio sobre X. Entaof U e uma funcao regular sobre1U (U)e nos da uma funcao regular sobre Xe um homomorfismo de K-algebras de K(Y) paraK(X).

Teorema 4.6 Sejam : X Ymapa racional dominante representado pelo parU, Uef K(Y) uma funcao racional representada porV, f, ondeV e um aberto deY efnao singular sobreV. Para as variedadesX, Y temos uma relacao entre

(i) o conjunto dos mapas racionais dominantes deX emY e

(ii) o conjunto dos homomorfismos deK-algebras deK(X) emK(Y).


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E mais, esta correspondencia nos da uma equivalencia das categorias de categoria devariedades e mapas racionais com a categoria das extensoes finitamente geradas deC.


Definicao 4.19 SejaYuma subvariedade nao singular de uma variedadeXnao singularsobre C. Chamamos o feixe localmente livre I

I2 de feixe conormal de Y em X. O

dual do feixe conormal e chamado feixe normal de Y em X e denotado porNY/X =HomOY(I/I2, OY).

Como Y e nao singular, o feixe normal e um feixe localmente livre de posto r =codim (Y, X), pois

I/

I2 e localmente livre de postor, pelo Teorema4.4. No Teorema4.5

mostramos que a sequencia

0 I/I2 X/C Y/C 0

e exata. Tomando o dual de Y obtemos a seguinte sequencia exata

0 HomOY(I/I2, OY) HomOY(X/C OY) HomOY(Y/C, OY) 0

que equivale a

0 TY TX OY NY/X 0.

A seguinte proposicao nos da a chamada formula de Adjuncao.

Proposicao 4.12 SejaYuma subvariedade nao singular de codimensao r em uma vari-edade nao singularX sobreC. Entao

Y=XrNY/X.

No caso particular em que r = 1, considere Y como divisor e sejaL o feixe invertvelassociado sobreX. Entao

Y=X L OY.

Demonstracao: Sabemos que a sequencia exata

0 I/I2 X OY Y 0

nos fornece a maior potencia exterior de feixes localmente livres [11,pag. 128]. Assim,

X OY=Yr

(I/I2).


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4.6. ESQUEMAS COHEN-MACAULAY 49

Tomando o feixe dual, temos

HomOY(X OY, OY) = HomOY(Yr(I/I2))

que equivale a

Y=XrNY/X.

No caso em que r = 1 temosIY= L1.

Assim,IYI2Y

=L1

I2Y= L1 OY

e, tomando o dual resulta em

HomOY(I/I2, OY) = HomOY(L1 OY, OY) NY/X= L OY.Logo, se r= 1 temos

Y=X NY/X Y=X L OY.

4.6 Esquemas Cohen-Macaulay

Definicao 4.20 (i) SejamAanel eMumA-modulo. Chamamos a sequenciax1, , xrde elementos deA de sequencia regular paraM sex1 nao e um divisor de zeroemMe, para todo i= 2, , r, xi nao e um divisor de zero em M(x1,,xi1)M.

(ii) SeAe um anel local com ideal maximal M, definimos aprofundidadedeMsendoo comprimento maximo de uma sequencia regularx1, , xr paraM, ondexi M,para todo i= 1, , r.

(iii) Dizemos que um anel local noeterianoA e anel Cohen-Macaulay se a profundi-dade deA coincide com sua dimensao.

(iv) Um esquema afim eCohen-Macaulayse todos seus aneis locais sao Cohen-Macaulay.

Teorema 4.7 SejaA anel local noeteriano com ideal maximalM. Valem:(a) SeA e regular, ent ao A e Cohen-Macaulay.

(b) SeAe Cohen-Macaulay, entao qualquer localizacao deA em um ideal primo tambeme Cohen-Macaulay.

(c) SeA e Cohen-Macaulay, entao o conjunto dos elementosx1, , xr M formamuma sequencia regular paraA se, e somente se, dimA(x1,,xr) =dim A r.


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(d) SeA e Cohen-Macaulay ex1, , xr M e uma sequencia regular paraA, entaoA

(x1,,xr) tambem e Cohen-Macaulay.

Demonstracao: Ver [18,Teorema 36, pag. 121].

Definicao 4.21 Dizemos que um anel local noeteriano A eanel normal se, para todoideal primo P, a localizacao AP e um domnio de integridade fechado, ou seja, seAP eum domnio de integridade cujo fecho integral no seu corpo de fracoes e ele mesmo.

Porfeixo integralde um idealIentendemos ser o conjunto dos elementos do anel Aque sao inteiros emI.

Definicao 4.22 SejaYum sub-esquema fechado de uma variedade nao singularXsobreC. Dizemos queY e umsub-esquema intersecao completa local emXse o feixe deideaisIY deY emXpode ser localmente gerado porr= codim (Y, X) elementos.

O resultado que segue caracteriza os aneis noeterianos normais.

Proposicao 4.13 SejaY um sub-esquema com intersecao completa local de uma varie-dade nao singularX sobreC. Entao

(i) Y e Cohen-Macaulay;

(ii) Y e normal se, e somente se, ele e regular em codimensao 1.


Teorema 4.8 (de Serre) Um anel noeteriano A e normal se, e somente se, ele satisfazas duas condicoes que seguem:

(a) para todo ideal primo P A de altura menor ou igual a 1, a localizacao AP eregular;

(b) para todo ideal primo P A de altura maior ou igual a 2, a profundidade dalocalizacao AP e maior ou igual a2.

Demonstracao: Ver [18,Teorema 39, pag. 125].


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4.7. FEIXE DUALIZANTE 51

4.7 Feixe Dualizante

Definicao 4.23 A dimensao de um espaco topologico X e definida sendo o su-premo de todos os inteirosn tal que existe uma cadeia de distintos subconjuntos fechadosirredutveis

Z0 Z1 Zn.A dimensao de um esquema e a sua dimensao vista como espaco topologico.

Definicao 4.24 Seja X um esquema proprio de dimensao n sobre C. O feixe duali-zante deX e um feixe coerenteX sobreX junto com uma aplicacao traco

t: Hn(X,

X) C

tal que, para qualquer feixe coerenteF sobreX, a aplicacaoHom(F,X) Hn(X, F) Hn(X,X)

seguida da aplicacao traco fornece o isomorfismo

Hom(F,X) =Hn(X, F).Lema 4.5 SejaXum sub-esquema fechado deP = Pn

C com codimensao r. Entao, para

todo i < r, temosExtiP(OX, P) = 0.

Demonstracao: Ver [11,Lema 7.3, pag. 241].

Lema 4.6 SejaXum sub-esquema fechado deP = PnC

com codimensao r. Entao, paraqualquerOX-moduloF existe um isomorfismo funtorial

HomX(F,X) =ExtrP(F, P),ondeP =

n P/C.Demonstracao: Ver [11,Lema 7.4, pag. 242].

Teorema 4.9 (Dualidade para PnC

) SejaX= PnC

espaco projetivo sobreC. Valem:

(a) Hn(X, X) = C, ondeX=n X/C.

(b) Para qualquer feixe coerenteF sobreX, o mapa naturalHom(F, ) Hn(X, F) Hn(X, ) = C

e um mapa perfeito (ou seja, a imagem inversa de compacto e compacto) de espacosvetoriais de dimensao finita sobreC.


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(c) Para todoi 0, existe um isomorfismo funtorial natural

Ext

i

(F, ) Hni

(X, F)


Proposicao 4.14 SejaXum esquema projetivo proprio sobreC. Existe o feixe duali-zante e ele e unico, a menos de isomorfismo: se e outro feixe dualizante, entao existeum isomorfismo entre eles: tal que

t= t Hn().

Demonstracao: Considere X sub-esquema fechado de P = PNC

comcodim X=r. Seja

X= ExtrP(OX, P).Vamos mostrar que o feixe dualizanteXexiste.

Pelo Lema4.6 temos

HomX(F,X) =ExtrP(F, P),ondeF e umOX-modulo.

Como

F e feixe coerente, pelo item (c) do Teorema4.9, segue que

ExtrP(F, P) =HNr(P, F).Mas,N r= n = dimX, entao

HomX(F,X) =ExtrX(F, P) =Hn(X, F). (4.5)TomeF=X. Como 1 Hom(X,X), conseguimos um homomorfismo

t: Hn(X,

X) C,

que e o mapa traco. Entao, tendoXfeixe coerente e o mapa traco, por (4.5) temosHomX(F,X) =Hn(X, F),

o que prova a existencia do feixe coerente.

Para provarmos a unicidade, suponhamos feixe dualizante com aplicacao traco t.Entao, por definicao,

Hom(,) =Hn()e existe unico morfismo : correspondendo ao elemento t Hn(), ou seja,

t Hn() =t.


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4.7. FEIXE DUALIZANTE 53

Utilizando o fato que

tambem e feixe dualizante, existe unico morfismo :

tal que

t Hn

() =t

.Assim,

t Hn() Hn() =t t Hn( ) =t.Por um lado, sendo feixe dualizante, temos = I d. Por outro, como tambem efeixe dualizante, segue que = I d , e e um isomorfismo, o que prova a unicidadedo feixe dualizante.

Os resultados a seguir sao importantes no nosso estudo para a demonstracao do nossoresultado principal.

Teorema 4.10 SejamX um sub-esquema fechado deP = PNC

com intersecao completade codimensao r eIo feixe de ideais deX. Entao

X=X r(I/I2),ondeP =

n P/C.Demonstracao: Ver [11,Teorema 7.11, pag. 245].

Corolario 4.2 SeX e uma variedade projetiva nao singular sobreC, entao o feixe dua-

lizante e isomorfo ao feixe canonicoX.

Demonstracao: Por hipotese, X e variedade projetiva nao singular sobre C. SejaI ofeixe de ideais de X e suponha X P = PN

C. Pelo Teorema4.5, o feixe de diferenciais

X/C e localmente livre e P/C= II2

X/C. Assim,n

P/C=n

X/C n

(I/I2) P =Xn

(I/I2)

X=Pn

(I/I2) =

X

e segue o resultado.Os resultados que seguem sao resultados particulares sobre esquemas.

Proposicao 4.15 Sejam X um esquema noeteriano (isto e, um esquema sobre o qualexiste uma cadeia ascendentes de ideais estacionaria),F feixe coerente sobre X,G umOX-modulo ex X. Para todo i 0, temos

Exti(F, G)x=ExtiOx(Fx, Gx).


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Demonstracao: Seja U Xaberto. Pela Proposicao3.4temos

Exti

X(F, G)U=Exti

U(FU, GU).Suponhamos queX seja variedade afim. EntaoF tem resolucao localmente livre

L F 0. (4.6)

Sejax X. Entao temos uma resolucao induzida nos talos

(L)x Fx 0.

Para a resolucao4.6,a Proposicao3.7 nos da o isomorfismo

Exti(F, G) =hi(Hom(L, G))que induz o isomorfismo nos talos, ou seja,

(Exti(F, G))x=hi(Hom(L, G))x.

MasHom(L, G)x = HomOx(Fx, Gx). Utilizando este resultado no isomorfismo acimasegue o resu

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