Introdução à Programação: uma Abordagem Funcional

PD I – Engenharia ElétricaProf.ª Claudia Boeres

2008/2

RESOLVENDO PROBLEMAS – Os movimentos do cavalo no xadrez

Considere o jogo de xadrez, onde peças são movimentadas em um tabuleiro dividido em 8 linhas e oito colunas. Considere ainda os movimentos do cavalo, a partir de uma dada posição, conforme diagrama a seguir, onde cada possível movimento é designado por mi.  No esquema, o cavalo localizado na posição (5, 4) pode fazer oito movimentos, onde o primeiro deles, m1, levaria o cavalo para a posição (7,5). 

Os movimentos do cavalo

8

7                

6       m3   m2    

5     m4       m1  

4         C      

3     m5       m8  

2       m6   m7    

1                

  1 2 3 4 5 6 7 8

PROBLEMA 1

Escreva uma função que determina se, a partir de uma dada posição, o cavalo pode ou não realizar o primeiro movimento. Vamos chamá-la de pmov, e denominar seus parâmetros (a posição corrente), de x e y.

Instâncias de pmov

INSTÂNCIA RESULTADO

pmov 5 4  True 

pmov 8 1  False 

pmov 1 1  True 

pmov 1 8  False

Solução

pmov x y=

(x + 2 <= 8 ) && (y + 1 <= 8)

Testando a solução

8                

7                

6                

5                

4                

3                

2                

1                

  1 2 3 4 5 6 7 8

Estendendo o problema

pmov x y = (x + 2 <= 8 ) && (y + 1 <= 8)

smov x y = (x + 1 <= 8 ) && (y + 2 <= 8)

tmov x y = (x - 1 >= 1 ) && (y + 2 <= 8)

qmov x y = (x - 2 >= 1 ) && (y + 1 <= 8)

qtmov x y = (x - 2 >=1  ) && (y - 1 >= 1)

sxmov x y = (x - 1 >= 1 ) && (y - 2 >= 1)

stmov x y = (x + 1 <= 8 ) && (y - 2 >= 1)

omov x y = (x + 2 <= 8 ) && (y - 1 >= 1)

Identificando abstrações

pmov x y = f (x + 2 ) && f( y + 1)

smov x y = f (x + 1) && f (y + 2)

tmov x y = g (x - 1) && f (y + 2)

qmov x y = g (x - 2) && f (y + 1)

qtmov x y = g (x - 2) && g (y – 1)

sxmov x y = g (x - 1) && g (y – 2)

stmov x y = f (x + 1 ) && g (y – 2)

omov x y = f (x + 2) && g (y – 1)

f w = w <= 8

g w = w >= 1

Análise da solução

Clareza - Na medida em que agora está explicitado, que todas as oito funções para verificar os movimentos possuem estrutura semelhante e que todas estão usando funções para verificar a ultrapassagem das bordas;

Manutenção - Se nosso tabuleiro mudasse, ou seja, passasse a ter 9 linhas por nove colunas, bastaria alterar a função f e tudo estaria modificado, ao invés de termos que alterar as oito definições.

Reuso - As duas funções que testam as bordas poderiam ser usadas para construir funções para avaliar o movimento de outras peças do jogo de xadrez.

PROBLEMA 2

Sabemos que para cada posição alguns movimentos podem ser realizados e outros não. Como ordenamos os movimentos no sentido anti-horário, gostaríamos de obter, para uma dada posição, dos movimentos que podem ser realizados, aquele que possui o menor índice.

Qual o menor índice de movimento possível?

8 m4       m1 C1

7     C3     m5    

6 m5       m8   m6  

5   m6   m7        

4                

3   m2         m3  

2     m1     m4    

1 C4             C2

  1 2 3 4 5 6 7 8

Instâncias de qualmov

Instância resultado

qualmov 8 1 3

qualmov 8 8 5

qualmov 3 7 1

qualmov 1 1 1

Solução

Codificando a solução

qualmov x y = if pmov x y then 1 else if smov x y then 2 else if tmov x y then 3 else if qmov x y then 4 else if qtmov x y then 5 else if sxmov x y then 6 else if stmov x y then 7 else if omov x y then 8 else 0

Análise da solução

qualmov x y = if not (pert x 1 8) || not (pert y 1 8) then 0else if pmov x y then 1

else if smov x y then 2

else if tmov x y then 3

else if qmov x y then 4

else if qtmov x y then 5

else if sxmov x y then 6

else 7wherepert x a b = a = b && x >= a && x <= b

REVISITANDO O PROBLEMA 1

Observando a solução encontrada para o problema 1, constatamos que embora a noção de movimento do cavalo seja única, quem precisar saber se um dado movimento é válido, precisará conhecer o nome das oito funções. Embora seja cedo para falarmos de interface homem-máquina, já dá para dizer que estamos sobrecarregando nosso usuário ao darmos oito nomes para coisas tão parecidas. Será que temos como construir uma só função para tratar o problema?

Melhorando a interface

pmov x y

smov x y

tmov x y

qmov x y

qtmov x y

sxmov x y

stmov x y

omov x y

mov m x y

Exemplo de avaliação da função mov

? mov 7 3 4True?

Codificação da Solução

mov m x y = if not (pert m 1 8) || not (pert x 1 8) || not (pert y 1 8) then False else if m == 1 then pmov else if m == 2 then smov else if m == 3 then tmov else if m == 4 then qmov else if m == 5 then qtmov else if m == 6 then sxmov else if m == 7 then stmov else omov where pmov = ... smov = ... tmov = ... ...

Análise da solução nova solução

<1 1 2 3 4 5 6 7 8 >8

<1 1 2 3 4 5 6 7 8 >8

<1 1 2 3 4 5 6 7 8 >8

Codificação da solução

mov m x y = if not (pert m 1 8)|| not(pert x 1 8) || not(pert y 1 8) then False else if m <= 4 then if m<= 2 then if m== 1 then pmov else smov else if m==3 then tmov else qmov else if m<= 6 then if m==5 then qtmov else sxmov else if m == 7 then stmov else omov where pmov = ... smov = ... tmov = ...

...

Número de comparações

número de valores

esquema linear (número médio)

esquema binário(número máximo)

8 4 4

100 50 7

1000 500 10

1000000 500000 20

Exemplo da aula anterior

y1

y2

B 1

5

3 E

x1 x2

F

A

DC

O ponto P(x,y) pertence a qual região?

Solução

qualRegiao x y x1 y1 x2 y2 = if pertenceLosango x y a1 b1 a2 b2 then 'E' else if pertenceRetangulo x y x1 y1 x2 y2 then if x < xc then if y > yc then 'B' else 'C' else if y > yc then 'A' else 'D' else 'F' where

a1 = x1 b1 = (y1 + y2)/2 a2 = (x1 + x2)/2 b2 = y2 xc = a2 yc = b1

Continuação do script

pert x a b = a <= b && x >=a && x <= b

pertenceRetangulo x y a b c d = pert x a c && pert y b d

pertenceLosango x y a b c d = acimaReta x y a b e f &&

acimaReta x y e f g h &&

abaixoReta x y a b c d &&

abaixoReta x y c d g h

where

e = c

f = 2*b-d

g = 2*c-a

h = b

Final do script

acimaReta x y a b c d = y >= m * (x-a) + b

where

m = (d-b)/(c-a)

abaixoReta x y a b c d = y <= m * (x-a) + b

where

m = (d-b)/(c-a)

Quais instâncias escolher?

1

4

1 5

P1

P2

F

A

DC

E

B

Quais valores devemos escolher?

x y resultado esperado

resultado obtido

diagnóstico

3 3 ‘E’ ‘E’ ok 

1 2.5 ‘B’ ‘B’   ok

2 4 ‘B’ ‘B’ Ok

1 5 ‘F’ ‘F’   ok 

Pontos representantes de classes de equivalência

Processo de teste

Exercício : faça um script para determinar se um ponto pertence à area cinza. Faça um plano de teste.

r r r r

C

O ponto P (x, y) pertence a qual das áreas 1, 2, 3 e 4?

P (x, y) ?

a

a/2

C (x1, y1)

1

3

2

4