INTRODUCAO`A TOPOLOGIAALGEBRICAMauricio A. VilchesDepartamento de An alise - IMEUERJ2Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservadosProibida a reproduc ao parcial ou total3PREF ACIOUm dos problemas b asicos da Topologia e saber se dois es-pacoss aohomeomorfosoun ao. Naverdaden aoexistemm etodos gerais para resolver esta quest ao. Vericar se doisespacos s ao homeomorfos consiste emencontrar uma func aocontnua, bijetiva com inversa contnua, entre ambos os es-pacos. Agora provar que dois espacos n ao s ao homeomor-fos emuitomaiscomplicadopois enecess arioprovarquen aoexistenenhumafunc aocontnua, bijetivacominversacontnua, entre ambos os espacos.A Topologia Alg ebrica naceu nas ultimas d ecadas do s eculoXIX, quando no ano de 1894 o eminente matem atico franc esHenri Poincar e apresentou uma s erie de trabalhos onde fun-damentou a Topologia Alg ebrica,com o nomede AnalisysSitus. DentreasdescobertasdePoincar e, destacam-seosconceitosdehomotopiaedegrupofundamental, al emdealguns teoremas, muitos dos quais somente foram provadosmuitos anos depois (1931), essencialmente por de de Rham.Poincar e, entendeu que existia uma profunda relac ao entrea estrutura topol ogica de um espaco e seu grupo fundamen-tal. Ele, entre outras coisas, tentava estabelecer quando duassuperfcies s ao homeomorfas ou n ao.Aid eiafundamental daTopologiaAlg ebrica eassociar,deforma unvoca a espacos e propriedades topol ogicas, estru-turasepropriedadesalg ebricas. Avantagemdestetrata-mento eariquezaquepossuiaAlgebra,obtidaatrav esdemil enios, o que n ao acontece com a Topologia. Por exemplo,4nosespacostopol ogicos,osseus elementos n aopodem sersomados, j a a soma de grupos e um grupo.Nestas notas, que s ao introdut orias, associaremos a espacostopol ogicos, func oes contnuas e homeomorsmos, grupos,homomorsmos de grupos e isomorsmos de grupos de talforma que estudando as propriedades alg ebricas possamosextrairconsequ enciassobreageometriaeatopologiadoespacoemquest ao. Porexemplo, eposvel provarqueotoroeagarrafadeKleinn aos aohomeomorfas, poisseusgrupos fundamentais n ao s ao isomorfos.J a provar que S2eS3n aos aohomemorfas emuitomaisdifcilecomoscon-ceitos estudados nestas notas n ao ser a possvel provar estefato.Nestasnotas, exigiremosconhecimentosdeTopologiaGe-raleomnimoemrelac aoaosconhecimentosdeAlgebra.Devidoaisto, deixamosdeforaoteoremadeSeifert-VanKampen, um cl assico da Topologia Alg ebrica, pois envolveconhecimento de grupos livres e representac ao de grupos li-vres.Desejo agradecer ao meu aluno Andr e T. Machado pela mo-tivac ao de fazer estas notas e de forma muito especial a mi-nhacolegaprofessoraMariaLuizaCorr eapelaleiturari-gorosadosmauscritos, al emdosin umeroscoment arioseobservac oes, os quais permitiram dar clareza aos t opicos es-tudados.Mauricio A. VilchesRio de JaneiroConte udo1 HOMOTOPIA 71.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Propriedades das Homotopias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Homotopia e Campos de Vetores na Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Homotopia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Tipo de Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Espacos Contr ateis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Retratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Homotopia e Extens ao de Func oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.10 Homotopia de Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.11 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 GRUPO FUNDAMENTAL 312.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Mudanca do Ponto Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Grupos de Homotopias Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 Homomorsmo Induzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Espacos Simplesmente Conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULO 533.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 C alculo do Grupo Fundamental do Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Algumas Consequ encias do Isomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4 Grupo Fundamental do Espaco Projetivo Real . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.1 Introduc ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.2 C alculo do Grupo Fundamental de RPn. . . . . . . . . . . . . . . 653.5 Grupo Fundamental de Grupos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.1 Introduc ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.2 Estudo do grupoSO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.3 C alculo do Grupo Fundamental de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . 6956 CONTE UDO4 ESPAC OS DE RECOBRIMENTOS 734.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Recobrimentos de G-espacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3 Generalizac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855 RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 875.1 Crit erio Geral de Levantamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Grupo Fundamental eG-espacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Transformac oes de Recobrimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4 Aplicac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.5 Recobrimentos de Sn, (n >1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.6 Recobrimentos dos Espacos Lenticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.7 Recobrimentos do Espaco Projetivo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.8 Recobrimentos do Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.9 Recobrimentos do Toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.10 Recobrimentos da Faixa de M oebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.11 Recobrimentos da Garrafa de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.12 Ac ao do Grupo fundamental sobre as Fibras . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.13 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236 TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN 1256.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 Grupos Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3 Produto Livre de Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4 Produto Amalgamado de Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.5 Teorema de Seifert-Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.6 Representac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.7 Primeiras Aplicac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.8 Segunda Aplicac ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.9 Soma Conexa de Superfcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.10 Grupo Fundamental de uma Superfcie Compacta . . . . . . . . . . . . . 150Bibliograa 153Captulo 1HOMOTOPIA1.1 Introdu c aoNos captulos seguintes, X e Ys ao espacos topol ogicos; I= [0, 1] R com a topologiainduzida pela topologia usual de R e todas as func oes consideradas s ao contnuas.Deni c ao 1.1. fe g s ao ditas homot opicas se existe uma fun c ao contnua:H: X I Y tal queH(x, 0) = f(x),H(x, 1) = g(x)para todo x X.A func ao H e dita homotopia entrefe g. A notac ao que se usa para indicar que f ehomot opica a g e:H: f g.A homotopia entre fe g e uma famlia a um par ametro de func oes contnuas entre Xe Y , isto e, para cada t I:ft: X Y e contnua, onde ft(x) = H(x, t). Intuitivamente, a homotopia deformacontinuamentefem g.Exemplo 1.1.[1] Sejam X= {a}, Y= {a, b} com a topologia discreta e f,g: XYdenidas porf(a) = a e g(a) = b; ent ao fn ao e homot opica a g.[2] Sejam f,g: R R2denidas por f(x) = (x, x2) e g(x) = (x, x); logo f g.De fato, denamos a seguinte homotopia:78 CAPITULO 1. HOMOTOPIAH: R IR2H(x, t) = (x, x2t x2+ t x).Claramente, H e contnua, H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x) para todo x R. Logo:f g.Figura 1.1: Homotopia entre fe g1.2 Propriedades das Homotopias[1] Sejamf, g: XYtaisquef(x)=y0eg(x)=y1para todoxX;ent ao,n aonecessariamente, temos que f g.De fato, f g se, e somente se y0 e y1 pertencem` amesma componente conexa por caminhos.() Denotemos H: f g; ent ao : I Ydenida por (t) = H(x, t) e um caminhotal que (0) = y0 e (1) = y1.() Seja : I Yum caminho ligando y0 a y1; denamos a seguinte homotopia:H:X I Y(x, t) (t).Ent ao H(x, 0) = (0) = y0 e H(x, 1) = (1) = y1; logo H: f g.[2] Consideremos : IXum caminho;ent ao c0, onde c0 e o caminho cons-tante, denido por c0(t) = (0) para todo t I. De fato, consideremos:H:I I X(t, s) _(1 s) t_.1.2. PROPRIEDADES DAS HOMOTOPIAS 9Logo, H e contnua e H(t, 0) = (t) e H(t, 1) = (0) = c0(t).[3] Se f: RnX e contnua, ent ao fc0, onde c0(x)=f(0) para todo x Rn. Defato, consideremos:H:RnI X(x, t) f_(1 t) x_.Logo, H e contnua; H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = f(0) = c0(x).[4] Sejam f,g: XRncontnuas; ent ao f g. De fato, consideremos:H:X IRn(x, t) (1 t) f(x) + t g(x).Logo, H econtnua, H(x, 0) =f(x)eH(x, 1) =g(x). Emgeral, seE eumespacovetorial normadoef,g : XEs aocontnuas, ent aof g. Defato, podemosdenir a homotopia:H:X I E(x, t) (1 t) f(x) + t g(x).Esta homotopia e dita linear. A propriedade fgainda e v alida se substituirmos Epor um subconjunto convexo Cde E.[5] (Poincar e -Bohl) Sejam E um espaco vetorial normado ef,g: X E {0}contnuas tais que f(x) g(x) < f(x), para todo x X; ent ao f g.De fato, notemos que a origem n ao pertence ao segmento de reta f(x)g(x); caso contr ario,poderamos ter:f(x) g(x) = f(x) +g(x) > f(x);logo, consideramos a homotopia linear H(x, t) = (1 t) f(x) +t g(x), para todo (x, t) X I.[6] Denotemos por C_X, Y_o conjunto de todas as func oes f: X Ycontnuas.Serhomot opica e uma relac ao de equival encia em C_X, Y_.A unica propriedade que n ao e imediata e a transitiva. Sejam H: fge K: ghasrespectivashomotopias; devemosprovarqueexisteQ: f h. DenamosQ:X I Ypor:10 CAPITULO 1. HOMOTOPIAQ(x, t) =_H(x, 2 t) se0 t 1/2K(x, 2 t 1) se1/2 t 1.Q e contnua, Q(x, 0) = H(x, 0) = f(x) e Q(x, 1) = K(x, 1) = h(x), para todo x X.[7] Sejam f0,f1 C_X, Y_e g0,g1 C_Y, Z_tais que f0 f1 e g0 g1. Ent aog0 f0 g1 f1,isto e, a composic ao de func oes preserva as homotopias.Novamente, sejam H:f0f1e K:g0g1as respectivas homotopias; ent ao dena-mos Q : X I Zpor:Q(x, t) = K(H(x, t), t).Q e contnua e para todo x X, temos que:Q(x, 0) = K(H(x, 0), 0) = K(f0(x), 0) =_g0 f0_(x),Q(x, 1) = K(H(x, 1), 1) = K(f1(x), 1) =_g1 f1_(x).1.3 Homotopia e Campos de Vetores na EsferaSeja Sn= {x Rn+1/ x = 1} a esfera unit aria com a topologia induzida pela topolo-gia usual de Rn+1. Denotemos por:a :Sn Snx x.A func ao a e dita antpoda.Proposi c ao 1.1. Sejam f,g: Sn Sncontnuas tais que f(x) = g(x), para todo x Sn;ent ao f g.Consideremos a homotopia:H(x, t) =(1 t) f(x) + t g(x)(1 t) f(x) + t g(x).H ebemdenidaecontnuapoisf(x) =g(x), paratodoxSn, oqueequivaleaosegmentoderetaf(x)g(x)n aoconteraorigem. Poroutrolado, H(x, 0)=f(x)eH(x, 1) = g(x), para todo x Sn.1.3. HOMOTOPIA E CAMPOS DE VETORES NA ESFERA 11f(x)-f(x)g(x)SnH(x,t)OFigura 1.2: Homotopia entre fe gCorol ario 1.1. Seja f: Sn Sncontnua:1. Se fn ao possui pontos xos, ent ao f a.2. Se f(x) = x, para todo x Sn, ent ao f idSn.3. Se n e mpar, ent ao a idSn.Prova :1. Defato, sef n aopossui pontosxos, ent aof(x) =x, paratodox Sn; logof(x) = a(x). Pela proposic ao anterior, temos que f a2.f(x) = x, para todo x Sn; logo f(x) = idSn(x).Pela proposic ao anterior, temosque f idSn3. Se n = 2 k 1,ent ao Sn R2k= Ck; denotemos por zi= (xi, yi) C; logo:z= (z1, z2, . . . , zk) Snz1

2+z2

2+ . . . +zk

2= 1.Por outro lado, sabemos que o grupo S1atua sobreSnse n e mpar; isto e, para todou S1e todo z Sntemos que u z= (u z1, u z2, . . . , u zk) Sn. Denamos:H(z, t) = exp( i t) z;logo, H e contnua; H(z, 0) = z e H(z, 1) = z= a(z).Corol ario1.2. Sef : XSn econtnuaen aosobrejetiva, ent aof c, ondec eumafun c ao constante.Prova: Comofn ao esobrejetiva, ent aoexistey Sntalquef(x) =y, paratodox X.Seja c : X Sntal que c(x) = y, para todo x X; logo f(x) = c(x), isto e,f c.12 CAPITULO 1. HOMOTOPIADeni c ao 1.2. Um campo de vetores contnuos tangentes a Sn e uma fun c ao contnua:: SnRn+1tal que < (x), x >= 0, para todox Sn,onde e o produto interno euclidiano emRn+1. Se (x0) = 0, ent ao x0 e dita singularidadedo campo .nSx(x)Figura 1.3: Campo tangente a SnSe n e mpar, ent ao existe um campo de vetores contnuo, sem singularidades, tangentea Sn.De fato: como antes consideremos Sn R2ke denamos:(x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yk) = (y1, y2, . . . , yk, x1, x2, . . . , xk). e um campo contnuo, sem singulariades e tangente a Sn.Seexisteumcampodevetorescontnuo, semsingularidadesetangenteaSn, ent aoa idSn.De fato. Seja o campo e denamos f: Sn Snpor:f(x) =x + (x)x + (x).f e contnua e f(x) = x; logo f(x) = a(x) e f a. Por outro lado, sejaH(x, t) =x + t (x)x + t (x),H e bem denida; H(x, 0) = x, H(x, 1) = f(x) e f idSn. Logo, por transitividade,a idSn.Resumindo: em Sn, temos:i. Se n e mpar, ent ao a idSn.ii. Se existe um campo de vetores contnuo sem singularidades em Sn, ent ao a idSn.iii.E possvel provar, utilizando conceitos mais avancados, que a idSn, implica em nmpar.1.4. HOMOTOPIA RELATIVA 131.4 Homotopia RelativaSejam A X, f, g: X Ycontnuas tais que f(a) = g(a), para todo a A.Deni c ao 1.3. f e homot opica a g relativamente a A se existe homotopia:H:X I Y tal queH(x, 0) = f(x),H(x, 1) = g(x),H(a, t) = f(a) = g(a)para todo a A e x X.A notac ao de fser homot opica a g relativamente a A e:fAg.Durante a deformac ao, o conjunto A permanece invariante. Se A = ; ent ao a homoto-pia relativamente a A e a homotopia denida anteriormente.Exemplo 1.2.Sejam f, g: [0, 1] S2denidas por:f(t) = (sen( t), 0, cos( t))g(t) = (0, sen( t), cos( t)).[1] Se A = {1/2} I, ent ao fn ao pode ser homot opica a g, relativamente a A. De fato,se fAg, necessariamente deveramos ter f(1/2) = g(1/2), o que e falso.[2] Se A = {0,1} I, ent ao fAg. De fato, denamos H: I I S2por:H(t, s) =_cos(s /2) sen( t), sen(s /2) sen( t), cos( t)_.Note que H(t, s) = 1, para todo (t, s) I Ie:H(t, 0) = f(t)H(t, 1) = g(t)H(0, s) = f(0) = H(1, s) = g(1).14 CAPITULO 1. HOMOTOPIAFigura 1.4: A homotopia H(fe g em vermelho)[3] Denotemos por Rn= Rn{0} e seja:r :RnRnx x/x.Ent ao r SnidRn. De fato, denamos H: RnIRnpor:H(x, t) = (1 t) x + t r(x).Logo, H(x, 0) = x, H(x, 1) = r(x). Em particular, para todo x0 Sn, temos:H(x0, t) = (1 t) x0 + t r(x0)= (1 t) x0 + t x0= x0.1.5 Tipo de HomotopiaNeste par agrafointroduziremosum conceitomais fraco que o de homeomorsmo,oqual nos permitir a diferenciar espacos.Deni c ao 1.4.Os espa cos X e Ytemo mesmo tipo de homotopia ou s ao homot opicamen-te equivalentes, se existemf: X Y eg: Y X,contnuas, tais que:g f idXe f g idY.Asfunc oesf egs aoditasinversashomot opicas. Denotaremososespacoscomomesmo tipo de homotopia por:X Y.Se Xe Ys ao homeomorfos, ent ao X Y .A recproca e, claramente, falsa. Ser homo-topicamente equivalente e, claramente, uma relac ao de equival encia.1.6. EXEMPLOS 151.6 Exemplos[1] Rn {0}.Defato, considereasfunc oesf : Rn{0}talquef(x) =0paratodoxRneg: {0} Rna inclus ao. Por outro lado, seja H: RnIRndenida por:H(x, t) = t x;H e contnua; H(x, 0)=0=_g f_(x) e H(x, 1)=x=idX(x); ent ao H:g fidX.Como_f g_(0) = f(0) = 0 = id{0}(0), f g= id{0}.[2] S1R S1{0} = S1.De fato, considere f: S1R S1{0} denida por f(x, t) = (x, 0) e g: S1{0} S1Ra inclus ao, isto e g(x, 0) = (x, 0). Por outro lado, seja H:_S1R_I_S1R_denida por:H((x, t), s) = (x, t s);logo, H e contnua e:H((x, t), 0) = (x, 0) =_g f_(x, t)H((x, t), 1) = (x, t) = idS1R(x, t).Ent ao H: g fidS1R. Note que_f g_(x, 0)=(x, 0)=idS1R(x, 0);logo, f g=idS1R.x {0}1S1IR x SFigura 1.5: Equival encia entre o cilindro S1R e o crculo S1[3] Sn Rn+1{0}.De fato, considere as seguintes func oes f: Rn+1 {0} Sne g:Sn Rn+1 {0}tais que f(x)=x/x e g e a inclus ao natural. Por outro lado, seja H:Sn ISndenida por:H(x, t) = (1 t) x + t f(x);16 CAPITULO 1. HOMOTOPIAlogo, H e contnua e:H(x, 0) = x = idSn(x)H(x, 1) =_g f_(x).Ent ao, H: g f idSn. Note que_f g_(x) = f(x) = x = idSn(x); ent ao f g= idSn.[4]Sabemosquesepn=(0, 0, . . . , 1)Sn, ent aoSn {pn} ehomeomorfoa Rn,viaprojec ao estereogr aca.Logo, se ps= (0, 0, . . . , 1) Sn, pelo tem anterior:Sn{pn,ps} = Rn{0} Sn1.Logo:Sn{pn,ps} Sn1.[5] Seja Ma faixa de M oebius. Lembremos que M=_Q__, onde Q = I I, I= [0, 1]e e a relac ao de equival encia (0, y) (1, 1 y). Denotemos por: = {[(x, 1/2)] / x [0, 1]}. M e dito crculo central da faixa. Note que = S1, isto e e homeomorfo a S1.Figura 1.6: Crculo central da faixaDenamos:f: M f([(x, y)]) = [(x, 1/2)].f e bem denida, pois:f([(1, 1 y)]) = [(1, 1/2)] = [(1, 1 1/2)] = [(0, 1/2)] = f([(0, y)]).Seja g: Ma inclus ao; temos que:_f g)([(x, 1/2)]) = [(x, 1/2)] = id([(x, 1/2)]).1.6. EXEMPLOS 17Denamos:H: MI MH([(x, y)], t) = [(1 t) (x, y) + t (x, 1/2)].011/2Figura 1.7: Equival encia entre a faixa e o crculo centralH e contnua e bem denida. De fato:H([(0, y)], t) = [(1 t) (0, y) + t (0, 1/2)]= [(0, y t y + t/2)]= [(1, 1 y + t y t/2)]= [((1 t) (1, 1 y) + t (1, 1/2))]= H([(1, 1 y)], t).Por outro lado:H([(x, y)], 0) = [(x, y)] = idM[(x, y)]H([(x, y)], 1) = [(x, 1/2)] =_g f_[(x, y)] =g f idM.Proposi c ao 1.2. Seja_X, Yo conjunto das classes de homotopias de fun c oes contnuas de Xem Y . Se XXe YY, ent ao #_X, Y=#_X, Y, onde # indica a cardinalidade doconjunto.Prova : Sejam : X Xe : Y Yequival encias homot opicas.Denamos:G :_X, Y_X, Y_f_ f .Claramente G e uma bijec ao.18 CAPITULO 1. HOMOTOPIA1.7 Espa cos Contr ateisDeni c ao 1.5. X e contr atil se Xtem o mesmo tipo de homotopia que um ponto.Exemplo 1.3.[1] Rne B[x, r] s ao espacos contr ateis.[2]Emgeral, seE eumespacovetorial normado, osconjuntosconvexosdeEs aocontr ateis.Em particular, E e contr atil.[3] Seja X um espaco topol ogico e consideremos CX o cone de X. CX e contr atil. Paradetalhes, veja [MV]. Denamos:H: CX I CX([(x, t)], s) [(x, (1 s) t + s)].Logo, H([(x, t)], 0) =[(x, t)] =idCX([(x, t)]_eH([(x, t)], 1) =[x, 1], onde[(x, 1)] eov ertice do cone.Proposi c ao 1.3.X e contr atil se, e somente se idX c, onde c : X X e a fun c ao constantec(x) = p, para todo x X.Prova :() Se X {p}, existem f:X {p} e g:{p} Xinversas homot opicas;ent ao g f idXe g f= c.() Se idX c, ent ao idXe c s ao inversas homot opicas; logo X {p}.Proposi c ao 1.4. Se X e contr atil, ent ao X e conexo por caminhos.Prova : Fixemos p Xe seja H: idX c. Para cada x Xdenamos:x:I Xt H(x, t).Logo, x e um caminho contnuo que liga x a p.Proposi c ao 1.5. Se Xou Y e contr atil, ent ao, para toda f: X Ycontnua, f c.Prova : Suponha Xcontr atil e H: idX c. Denamos:K: X I YK(x, t) = f_H(x, t)_.Logo,K(x, 0)=_f idX_(x)=f(x) e K(x, 1)=f(p)=c(x);ent ao fc. Por outrolado, se Y e contr atil e H: idY c1, denamos:K: X I YK(x, t) = H(f(x), t).Logo, K(x, 0) = f(x) e K(x, 1) = c1(f(x)); ent ao f c1.1.7. ESPAC OS CONTR ATEIS 19Corol ario 1.3.1. Se X e contr atil e Y e conexo por caminhos, ent ao,para todas f, g: XYcontnuas,temos que f g.2. Se Y e contr atil, ent ao, qualquer que seja Xe para todas f, g:XYcontnuas, temosque, f g.Prova : 1. Seja H: idX c, denamos:K(x, t) = f_H(x, t)_ K: f c1L(x, t) = g_H(x, t)_ L : g c2,ondec1(x)=f(p) e c2(x)=g(p), para todoxX. Como Y e conexo por caminhos,existe caminho contnuo ligando f(p) e g(p); denamos:G : YI Y(y, t) (t).Logo, c1 c2 e f g.2. A prova e imediata.Proposi c ao 1.6. Se X e contr atil, ent ao XY Y , para todo Y . Em particular se Ytamb em e contr atil, ent ao X Y e contr atil.Prova : Seja H: idX c; denotemos por:pr2: X Y Y eip: Y X Y,tal que pr2(x, y) = y e ip(y) = (p, y). Ent ao, temos que:_ip pr2_(x, y) = ip(y) e_pr2 ip_(y) = y= idY (y).Denamos:G : X YI X YG((x, y), t) =_H(x, t), y).Logo, G((x, y), 0) = (x, y) = idXY (x, y) e G((x, y), 1) = (p, y) =_ip pr2_(x, y); ent aoidXY ip pr2.Exemplo 1.4.[1] S1Rn S1{0} = S1, pois Rn {0}.[2] Seja D2 S1, onde D2 e um disco fechado no plano; ent ao D2 S1S1. O espacoD2S1 e dito toro s olido.20 CAPITULO 1. HOMOTOPIA1.8 RetratosDeni c ao 1.6. Seja A X. A e um retrato de Xse existe r : X A contnua tal que coma inclus ao i : A X, o seguinte diagrama comuta:Xr

AAiidA~~~~~~~Isto e, r i = idA. A fun c ao r e dita retra c ao entre Xe A.Exemplo 1.5.[1] A esfera Sn Rn+1 e um retrato de Rn+1{0}. De fato, podemos denir a seguinteretrac ao:r : Rn+1{0} Snx xx.[2] Seja Ma faixa de M oebius;ent ao ,o crculocentral e um retratode M. De fato,denamos:r : M [(x, y)] [(x, 1/2)].[3] S1{0} e um retrato de S1R. De fato, denamos:r : S1R S1{0}((x, y), z) ((x, y), 0).[4] Se A e um retrato de X, ent ao A={xX / r(x)=x}, onde r e a retrac ao. Se X ede Hausdorff, temos que A e fechado em X.Deni c ao1.7. SejaAX. A eumretratopordeforma c aodeX, seexisteretra c aor : X A tal que:i r idX.Se A e um retrato por deformac ao de X, ent ao existe homotopia:H:X I XH(x, 0) = xH(x, 1) A,para todo x X.Se A e um retrato por deformac ao de X, ent ao A e um retrato de X.1.8. RETRATOS 21Deni c ao1.8. SejaAX. A eumretratopordeforma c aofortedeX, seexisteretra c aor : X A tal que:i r AidX.Se A e um retrato por deformac ao forte de X, ent ao existe homotopia:H:X I XH(x, 0) = xH(x, 1) AH(a, t) = a,para todo a A e x X.Exemplo 1.6.[1] Sn e um retrato por deformac ao forte de Rn+1{0}. Basta utilizar a retrac ao denidaanteriormente e utilizar uma homotopia linear.[2]ConsideremosTotoro, comoespacoquociente. Paradetalhes, veja[MV]. Porcomodidade, suponhamos que T=_[1, 1] [1, 1]__, onde:(1, y) (1, y) e (x, 1) (x, 1).Denotemos por X= T{[(0, 0)]}, (x, y) = max{|x|, |y|}, para todo (x, y) R2.Seja A={[(x, y)]X / (x, y)=1}. Armamos que A e um retrato por deformac aoforte de X.A TFigura 1.8: Os conjuntos Te AFica como exerccio provar que A e homeomorfo ao conjunto S:22 CAPITULO 1. HOMOTOPIAA ASFigura 1.9: Homeomorsmo entre A e SConsideremos a retrac ao r : X A, denida por:r([(x, y)]) = [(x, y)(x, y)].Denamos a homotopia H: X I Xpor:H([(x, y)], t) = [(1 t) (x, y) +t (x, y)(x, y)].Figura 1.10: A homotopia HH e bem denida. De fato:H([(1, y)], t) = [(1 t) (1, y) +t (1, y)(1, y)]= [(1 t) (1, y) + t (1, y)] = [(1, y)]= [(1, y)] = [(1 t) (1, y) +t (1, y)(1, y)]= H([(1, y)], t).1.9. HOMOTOPIA E EXTENS AO DE FUNCOES 23Analogamente, H([(x, 1)], t) = H([(x, 1)], t). Por outro lado:H([(x, y)], 0) = [(x, y)]H([(x, y)], 1) = [(x, y)(x, y)].Se [(x, y)] A, ent ao H([(x, y)], t) = [(x, y)] para todo t I.Corol ario 1.4. Se A e um retrato por deforma c ao de Xou um retrato por deforma c ao forte deX, ent ao A X.De fato, existe H: i r idXe r i = idA.1.9 Homotopia e Extens ao de Fun c oesAextens aodefunc oes eumtemacentralnaTopologia. Oproblemageralpodeserenunciado da seguinte forma:Sejam A Xum subconjunto fechado e f: A Ycontnua.E possvel achar:f: X Ycontnua tal quefA= f?Em outras palavras, se i : A X e a inclus ao, podemos obter o diagrama:Ai

f

YXf~~~~~~~~tal quef i = f?A seguir, estudaremos alguns casos particulares de extens ao de func oes.Note que um retrato e uma extens ao contnua da identidade de A:Ai

idA

AX r~~~~~~~Proposi c ao 1.7. A seguintes arma c oes s ao equivalentes:1. A e um retrato de X.2. Para todo espa co topol ogico Z, a fun c ao contnua f:AZse estende continuamente aX.24 CAPITULO 1. HOMOTOPIAProva : (1) (2) Dada a retrac ao r : X A, para f: A Z arbitr aria, considere aextens aof= f r : X Z(2) (1) Considere o diagrama comutativo:Ai

f

ZXf~~~~~~~Basta considerar Z= A e f= idA.Proposi c ao 1.8. Denotemos por B = B[0, 1] Rn+1; lembremos que B = Sn.As seguintesarma c oes s ao equivalentes:1. f c, onde c e uma fun c ao constante.2. f: Sn Xcontnua se estende continuamente a B.Prova : (1) (2) Seja F: f c tal que c(x) = y0, para todo x Sn. Denamos:f(x) =_y0se0 x 1/2F_x/x, 2 2 x_se1/2 x 1.f econtnua(veja[MV]). Sex =0, ent aox/x Sn; se1/2 x 1, ent ao2 2 xI; sex=1/2,ent aoF_x/x, 1_=c(x/x)=y0esex=1,ent aof(x) = F(x, 0) = f(x).(2) (1) Considere o seguinte diagrama comutativo:Sni

f

XBf||||||||Como B e contr atil, existe homotopia H:f c1. Denamos a homotopia K, conside-rando o seguinte diagrama comutativo:SnIi

K

XB IHwwwwwwwwwLogo, K: f c. De fato, K(x, t) =_H i_(x, t) e:K(x, 0) =_H i_(x, 0) = H(x, 0) =_f i_(x) = f(x)K(x, 1) =_H i_(x, 1) = H(x, 1) =_c1 i_(x) = c(x).1.10. HOMOTOPIA DE CAMINHOS 251.10 Homotopia de CaminhosNestepar agrafoestudaremosumcasoespecialdehomotopiarelativa. Estetipodehomotopia e fundamental nos pr oximos captulos.Deni c ao 1.9. Sejam ,: I Xcaminhos contnuos tais que (1) = (0).(0)(1)(1)=(0)Figura 1.11:O produto dos caminhos e e denotado por e denido por: (t) =_(2 t) se0 t 1/2(2 t 1) se1/2 t 1.Note que : I X e um caminho contnuo tal que (0) = (0) e (1) = (1).Intuitivamente, paradenir nointervaloI dobramosavelocidade decadacaminho, isto e, reparametrizamos os caminhos pelos homeomorsmos lineares:h1: [0, 1/2] [0, 1]t 2 teh2: [1/2, 1] [0, 1]t 2 t 1.26 CAPITULO 1. HOMOTOPIA(1)=(0)1 1/2 0(1)(0)Figura 1.12: Produto de caminhosNote que dados , , : I Xcaminhos, ent ao:_ _ = _ _.Deni c ao 1.10. Os caminhos e tais que (0) = (0) e (1) = (1) s ao ditos equivalen-tes se relativamente a {0,1}.Denotaremos os caminhos equivalentes por . Ent ao, se existe homotopia:H:I I Xtal queH(t, 0) = (t),H(t, 1) = (t),H(0, s) = (0) = (0),H(1, s) = (1) = (1), s,t I.01ts1H(0)=(0)(1)=(1)Figura 1.13: Caminhos equivalentes1.10. HOMOTOPIA DE CAMINHOS 27Notequeduranteahomotopia, osextremosdoscaminhospermanecemxos. Emparticularsees aocaminhosfechadosequivalentes, ent aoexistehomotopiaH:I I Xtal que:H(t, 0) = (t),H(t, 1) = (t),H(0, s) = H(1, s) = (0) = (0) = (1) = (1), s,t I.x0Figura 1.14: Caminhos fechados equivalentesLema1.1. Sejam0, 1, 0, 1: I Xcaminhostaisque01,01e0(1)=0(1); ent ao:0 0 1 1.0101Figura 1.15:Prova: SejamF: 01eG: 01ashomotopiasrespectivas; denamosH:I I Xpor:H(t, s) =_F(2 t, s) se0 t 1/2G(2 t 1, s) se1/2 t 1.28 CAPITULO 1. HOMOTOPIAClaramente H e contnua.Por outro lado:H(t, 0) =_F(2 t, 0) se0 t 1/2G(2 t 1, 0) se1/2 t 1=_0(2 t) se0 t 1/20(2 t 1) se1/2 t 1= 0 0(t),e:H(t, 1) =_F(2 t, 1) se0 t 1/2G(2 t 1, 1) se1/2 t 1=_1(2 t) se0 t 1/21(2 t 1) se1/2 t 1.= 1 1(t).Por outro lado, H(0, s) = H(1, s) = x0Deni c ao 1.11. Seja :IXum caminho ligando x0e x1. O caminho inverso de edenotado por 1e denido por:1: I Xt (1 t).xx011Figura 1.16: e 11.10. HOMOTOPIA DE CAMINHOS 29Note que 1tem o mesmo percurso que , mas se inicia em x1 e termina em x0.Denotaremos por:[] = {: I X / (0) = (0),(1) = (1), }.30 CAPITULO 1. HOMOTOPIA1.11 Exerc cios1. Sob que condic oes a homotopia relativa e uma relac ao de equival encia?2. Sejam Xespaco topol ogico, AX, Y Rne f,g:XYcontnuas. Se paratodo x X, f(x)g(x) Ye fA= gA, verique que fAg.3. Seja E um espaco vetorial normado. A E e dito estrela de v ertice p se para todoXA o segmento de reta pxA. Verique que se A e uma estrela de v ertice p,ent ao A {p}.4. Verique queocrculocentral e umretratopordeformac aoforteda faixadeM oebius M.5. Sejamf, g : XY taisquef g. VeriquequeparatodoAX, temosfA gA.6. Denotemos por:_f= {g: X Y,g f}_X, Y= {_f/ f: X Y }aclassedehomotopiadefeoconjuntodasclassesdehomotopiasdefunc oescontnuas de Xem Y ,respectivamente. Verique que seCE(conjuntocon-vexo contido num espaco vetorial normado), ent ao_X, C= [c],onde c : X C e uma func ao constante.7. Sejam x0,x1 X. Denotemos por:(X, x0, x1) = { : I X / (0) = x0,(1) = x1}.Verique que e uma relac ao de equival encia em (X, x0, x1).8. Sejamf : XY contnuae, : I Xcaminhostaisque estejadenido. Verique que f ( ) (f ) (f ).Captulo 2GRUPO FUNDAMENTALMuitas quest oes da Topologia s ao surpreendentemente f aceis de formular, por em muitodifceis de serem contestadas. Por exemplo, a esfera S3 e homeomorfa a S1 S1 S1ouS2 ehomeomorfaaotoro T? Asegundaquest aopodesercontestadautilizandom etodos da Topologia Geral, n ao a primeira.Neste par agrafo comecaremos a relacionar a Topologia com aAlgebra. Construiremospara cada espaco topol ogico um grupo, o qual nos permitir a contestar muitas quest oesdeste tipo.2.1 Introdu c aoFixemos x0 Xe denotemos por:1_X, x0_= {[] / : I X,(0) = (1) = x0},isto e, o conjunto das classes de homotopias de caminhos fechados em x0. O ponto x0 e dito base de 1_X, x0_.Dados[],[] 1_X, x0_temosque_ _(0)=_ _(1)=x0. Logo e umcaminho em X, fechado em x0; ent ao [ ] 1_X, x0_Deni c ao 2.1. Em 1_X, x0_denotemos e denamos o seguinte produto por: : 1_X,x0_1_X, x0_ 1_X, x0_([], []) [] [] = [ ].Lema 2.1. Este produto em 1_X, x0_est a bem denido.Prova : Dados [0],[1],[0] e [1] 1_X, x0_tais que [0] = [1] e [0] = [1], provare-mos que :[0] [0] = [1] [1];3132 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALequivalentemente, [0 0] = [1 1]; em outras palavras:0 0 1 1.Primeiramente escrevemos:0 0(t) =_0(2 t) se0 t 1/20(2 t 1) se1/2 t 1,e:1 1(t) =_1(2 t) se0 t 1/21(2 t 1) se1/2 t 1.Denotemos por F: 0 1 e G : 0 1 as respectivas homotopias; denamos:H: I I Xpor:H(t, s) =_F(2 t, s) se0 t 1/2G(2 t 1, s) se1/2 t 1.H e contnua. Por outro lado:H(t, 0) =_F(2 t, 0) se0 t 1/2G(2 t 1, 0) se1/2 t 1=_0(2 t) se0 t 1/20(2 t 1) se1/2 t 1= 0 0(t),H(t, 1) =_F(2 t, 1) se0 t 1/2G(2 t 1, 1) se1/2 t 1=_1(2 t) se0 t 1/21(2 t 1) se1/2 t 1= 1 1(t).e H(0, s) = H(1, s) = x0.Teorema 2.1. 1_X, x0_, com o produto denido por (2.1) e um grupo,isto e,satisfaz` as se-guintes propiedades:1. Associatividade : Para todo [],[],[] 1_X, x0_temos que:_[] []_ [] = [] _[] []_.2.1. INTRODUCAO 332. Elemento neutro : Existe [e] 1_X, x0_tal que:[e] [] = [] [e] = [],para todo [] 1_X, x0_.3. Elemento inverso : Dado [] 1_X, x0_, existe []1 1_X, x0_tal que:[] []1= []1 [] = [e].Prova : Associatividade Provaremos a associatividade do produto com o m aximo dedetalhes. Provaremos que_[] []_ [] = [] _[] []_, isto e:_ _ _ _.Primeiramente escrevamos_ _ (t) :_ _ (t) =_ (2 t) se0 t 1/2(2 t 1) se1/2 t 1=___(4 t) se0 t 1/4(4 t 1) se1/4 t 1/2(2 t 1) se1/2 t 1.0 1 1/2 1/4 Figura 2.1:_ _ esquematicamenteAnalogamente, escrevamos _ _(t): _ _(t) =_(2 t) se0 t 1/2 (2 t 1) se1/2 t 1=___(2 t) se0 t 1/2(4 t 2) se1/2 t 3/4(4 t 3) se3/4 t 1.0 1 1/2 3/4 Figura 2.2: _ _esquematicamente34 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALPara determinar a homotopia entre_ _ e _ _, juntaremos os esquemasanteriores:ts3/41 1/21/41/210Figura 2.3: Homotopia entre_ _ e _ _Notemos que:i) Para s = 0, temos (t) com t [0, 1/4], (t) com t [1/4, 1/2] e (t) com t [1/2, 1].ii) Para s = 1, temos (t) com t [0, 1/2], (t) com t [1/2, 3/4] e (t) com t [3/4, 1].Determinemos os segmentos de reta que ligam os pontos (1/4, 0) a (1/2, 1) e (1/2, 0) a(3/4, 1):i) t = (s + 1)/4 e o segmento de reta que liga (1/4, 0) a (1/2, 1).ii) t = (s +2)/4 e o segmento de reta que liga (1/2, 0) a (3/4, 1). Ent ao, para s arbitr ario,devemos ter:(t)comt [0, (s + 1)/4](t)comt [(s + 1)/4, (s + 2)/4](t)comt [(s + 2)/4, 1].Consideremos os seguintes homeomorsmos:h1: [0, (s + 1)/4] [0, 1],h2: [(s + 1)/4, (s + 2)/4] [0, 1],h3: [(s + 2)/4, 1] [0, 1]denidosporh1(t) =4 t/(s + 1), h2(t) =4 t s 1eh3(t) =(s 4 t + 2)/(s 2),respectivamente.Finalmente, denamos a homotopia H: I I Xpor:H(t, s) =___(h1(t)) se0 t (s + 1)/4(h2(t)) se(s + 1)/4 t (s + 2)/4(h3(t)) se(s + 2)/4 t 1.2.1. INTRODUCAO 35H e contnua, e:H(t, 0) =___(4 t) se0 t 1/4(4 t 1) se1/4 t 1/2(2 t 1) se1/2 t 1=_ _ (t),H(t, 1) =___(2 t) se0 t 1/2(4 t 2) se1/2 t 3/4(4 t 3) se3/4 t 1= _ _(t),H(0, s) = H(1, s) = x0; logo_ _ _ _, isto e:_[] []_ [] = [] _[] []_.Elemento neutro : Seja ex0: I Xtal que ex0(x) = x0. Armamos que:[ex0] [] = [] [ex0] = [],para todo [] 1_X, x0_.Provaremos que [] [ex0] = [], isto e ex0 . De forma an aloga` a associatividade: ex0(t) =_(2 t) se0 t 1/2x0se1/2 t 1Consideramos o seguinte diagrama:011/2st1ex0Figura 2.4: Homotopia entre ex0 e 36 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALComo antes:i) O segmento de reta que liga os pontos (1/2, 0) a (1, 1) e t = (s + 1)/2.ii) Consideramos o homeomorsmo:h : [0, (s + 1)/2] [0, 1]t 2ts + 1.Denamos a homotopia H: I I Xpor:H(t, s) =_(h(t)) se0 t (s + 1)/2x0se(s + 1)/2 t 1.H e contnua, e:H(t, 0) =_(2 t) se0 t 1/2x0se1/2 t 1= ex0(t),H(t, 1) =_(t) se0 t 1x0set = 1= (t),H(0, s) = H(1, s) = x0; logo ex0 e:[] [ex0] = [].A prova de que [ex0] [] = [] e an aloga.Elemento inverso : Dado []1_X, x0_, consideramos o caminho inverso de de-nido por 1(t) = (1 t); ent ao [1] 1_X, x0_. Provaremos que[1] [] = [ex0],isto e, 1 ex0. Logo, []1= [1].Novamente:1 (t) =_1(2 t) se0 t 1/2(2 t 1) se1/2 t 1Consideramos:2.1. INTRODUCAO 3701st11/2ex01Figura 2.5: Homotopia entre 1 e ex0Como antes:i) O segmento de reta que liga os pontos (1/2, 0) a (0, 1) e t = (1 s)/2 e o segmento dereta que liga os pontos (1, 0) a (0, 1) e t = 1 s.ii) Consideramos os homeomorsmos:h1: [0, (1 s)/2] [0, 1]t 2t1 s,h2 : [(1 s)/2, 1 s] [0, 1]t 2t 1 + s1 s.h1(t) =2t1 se h2(t) =2t 1 + s1 s.Denamos a homotopia H: I I Xpor:H(t, s) =___1(h1(t)) se0 t (1 s)/2(h2(t)) se(1 s)/2 t 1 sx0se1 s t 1.H e contnua, e:H(t, 0) =_1(2 t) se0 t 1/2(2 t 1) se1/2 t 1.H(t, 1) = x0, H(0, s) = H(1, s) = x0, logo:[1] [] = [ex0].38 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALA prova de que [] [1] = [e], e an aloga.1_X, x0_ e dito grupo fundamental deX,ou grupo de Poincar e deX,ou primeirogrupo de homotopia deX.Exemplo 2.1.[1] Sabemos que emRn, todos os caminhos s ao homot opicos; basta considerar homoto-pias lineares. Em particular, todos os caminhos fechados s ao homot opicos ao caminhoconstante c(x) = x0, para todo x Rn; logo:1_Rn, x0_= {[ex0]} = {0}.Em geral, se C Rn e convexo, ent ao para todo p0 Ctemos que:1_C, p0_= {0}.[2] Seja Q com a topologia induzida pela usual de R. Os unicos caminhos fechados emx0 Q s ao os caminhos constantes; logo:1_Q, x0_= {[ex0]} = {0}.Emgeral, oc alculodogrupofundamentaldeespacostopol ogicos ebastantedifcil.Os par agrafos seguintes tem o objetivo de apresentar propriedades dos grupos funda-mentais a m de obter exemplos n ao triviais.2.2 Mudan ca do Ponto BaseUma quest ao natural que surge da denic ao de grupo fundamental e a seguinte:Dados x0,x1 Xque relac ao existe entre 1_X, x0_e 1_X, x1_?A resposta a esta quest ao e dada pelo teorema 2.2:Teorema 2.2. Se existe um caminho entre x0 e x1, ent ao:1_X, x0_ 1_X, x1_,isto e, os grupos 1_X, x0_e 1_X, x1_s ao isomorfos.Prova : Seja : I Xum caminho tal que (0) = x0 e (1) = x1. Denamos:: 1_X, x1_ 1_X, x0_[] [ 1].2.2. MUDANC A DO PONTO BASE 39 e um isomorsmo n ao can onico de grupos, isto e, depende da classe de homotopiade .0xx1Figura 2.6: Denic ao de Para todo [],[] 1_X, x1_, temos:_[] []_= _[ ]_= [ ( ) 1]= [( 1)( 1)]= [ 1] [ 1]= _[]_ _[]_.N ao e difcil ver que 1= 1. De fato, para todo [] 1_X, x0_:1_[]_= [1 ].Por outro lado, para todo [] 1_X, x0_:_ 1_([]) = _[1 ]_= [ 1 1]= [ex0 ex0]= [].Analogamente, 1 = id1(X,x1).Exemplo 2.1.Seja X= R S1(uni ao disjunta). Se x0 [a, b], ent ao 1_X, x0_= {0}.Por outro lado,sex1S1, mostraremosnopr oximocaptuloque1_X, x1_ eumgrupon aotrivial.Portanto, 1_X, x0_e 1_X, x1_n ao podem ser isomorfos.40 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALCorol ario 2.1. Se X e conexo por caminhos, ent ao:1_X, x0_ 1_X, x1_,quaisquer que sejam os pontos b asicos x0,x1 X.Deni c ao 2.2. Seja_G,_um grupo. O centro de G e e denotado por Z(G) e denido por:Z(G) = {a G/ a b = b a,para todo b G},isto e, o conjunto dos elementos de G que comutam. N ao e difcil vericar que o centro de umgrupo e um subgrupo.Proposi c ao 2.1. Sejam e caminhos ligando x0 e x1. Ent ao = se, e somente se[ 1] Z_1_X, x0__.x0x1Figura 2.7:Prova : () Para todo [] 1_X, x1_, temos:_[]_= [ 1] = [ 1 1]= [ 1] [ 1]= [ 1] [ 1]= [ 1 1]= [ 1]= _[]_,pois [ 1] 1_X, x0_.() Sejam e caminos ligando x0 e x1; ent ao = se, e somente se2.3. GRUPOS DE HOMOTOPIAS ABELIANOS 411= 1se, e somente se 1= 1. Logo, para todo [] 1_X, x0_:1_[]_= 1_[]_[1 ] = [1 ];equivalentemente:1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1[ 1 ] = [ 1]Logo, [ 1] [] = [] [ 1]; ent ao [ 1] Z_1_X, x0__.Corol ario 2.2. 1_X, x0_ e abeliano se, e somente se n ao depende de .Prova : () Sejam e caminhos ligando x0 e x1; ent ao:[ 1] Z_1_X, x0__= 1_X, x0_.Logo = , isto e n ao depende de .() Sejam []1_X, x0_e um caminho ligando x0e x1; ent ao e um caminholigando x0 e x1; pela proposic ao anterior:[_ _ 1] Z_1_X, x0__Como [] = [_ _ 1] Z_1_X, x0__temos que 1_X, x0_ Z_1_X, x0__, isto e:1_X, x0_= Z_1_X, x0__.Emgeral,osgruposde homotopiasn aos ao abelianos. O grupofundamental de umespacodependeapenasdacomponenteconexaporcaminhosdopontox0. Logo, enatural estudar o grupo fundamental s o para espacos conexos por caminhos.2.3 Grupos de Homotopias AbelianosAseguir, apresentamos uma classe especial de espacos topol ogicos que possuem grupofundamental abeliano. Em particular, os grupos fundamentais s ao todos isomorfos.Deni c ao 2.3.Ogrupo G e dito topol ogico se tamb em e umespa co topol ogico tal que a opera c aodo grupo e a aplica c ao::G Ga a1s ao contnuas.42 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALExemplo 2.2.[1] Rncom a topologia e a multiplicac ao usual e um grupo topol ogico.[2] Seja S1C com a topologia induzida pela topologia usual de C. Ent ao S1com amultiplicac ao de n umeros complexos e um grupo topol ogico.[3] Analogamente, o toro S1S1 e um grupo topol ogico.[4] Os grupos de matrizes com o produto de matrizes s ao grupos topol ogicos.Como veremos a seguir, a estruturaalg ebrica no espaco topol ogicoG se reete forte-mente em seu grupo fundamental.Utilizando a operac ao contnua do grupo topol ogico, isto e: : G G G(a, b) a b,denimos um novo produto em 1_G, e_, onde e e a identidade de G.Dados , :IG caminhos tais que (0)=(1)=(0)=(1)=e, denotamos edenimos este novo produto por: (t) = (t) (t), (2.1)para todo t I. Note que (0) = (0) (0) = ee = e = (1).Podemos denir atrav es de (2.1) um novo produto em 1_G, e_:1_G, e_1_G, e_ 1_G, e_([], []) [ ].Utilizamos a seguinte notac ao:[] [] = [ ].Como antes, denotemos o caminho constante por ce(t) = e, para todo t I.Lema 2.2. Sejam 1,2,1,2: I G:1. Se 1 2 e 1 2, ent ao:1 1 2 2.2. Em particular, se 1,2,1,2 s ao caminhos fechados, com ponto base e, ent ao_1 1_

_2 2_=_1 2__1 2_.2.3. GRUPOS DE HOMOTOPIAS ABELIANOS 43Prova :1. Sejam F: 1 2 e G : 1 2as respectivas homotopias. Denamos H(t, s) =F(t, s) G(t, s); ent ao H: 1 1 2 2.2. Utilizamos as denic oes de cada produto:_1 1_

_2 2_(t) = 1 1(t) 2 2(t)=_1(2 t) 2(2 t) se0 t 1/21(2 t 1) 2(2 t 1) se1/2 t 1=_1 2__1 2_(t).Observa c oes 2.1.1. Fazendo 2= 1= ce, na segunda parte do lema, temos:1 2 (1 ce) (ce 2) = (1 ce) (ce 2) 1 2.Logo,[1 2] = [1 2], (2.2)isto e, ambos os produtos em 1_G, e_coincidem.2. Fazendo 1= 2= ce, na segunda parte do lema, temos:1 2 (ce 1) (2 ce) = (ce 2) (1 ce) 2 1.Logo,[1 2] = [2 1]. (2.3)Teorema 2.3. Se G e um grupo topol ogico, ent ao 1_G, e_ e um grupo abeliano. Al em disso,os produtos denidos em 1_G, e_coincidem.Prova :Segue de (5.3) e (2.3).De fato, de (5.3), para todo [],[] 1_G, e_, temos que[] [] = [] []. De (2.3), temos:[] [] = [] [] = [ ] = [ ] = [] [].Exemplo 2.3.[1] Considere S1como grupo topol ogico e e = (1, 0); ent ao 1_S1, e_ e um grupo abeli-ano.[2] Considere S1S1como grupo topol ogico; ent ao 1_S1S1, e_ e um grupo abeliano.[3] 1_O(n), I_ e um grupo abeliano.Observe que n ao utilizamos todas as propriedades do grupo topol ogico.Isto nos indicaque e possvel enfraquecer a hip otese da estruturade grupo. Essencialmente utiliza-mos a identidade, sendo a operac ao do grupo contnua.44 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL2.4 Homomorsmo InduzidoSeja f: X Ycontnua. Nos captulos anteriores provamos os seguintes fatos:1. Se e s ao caminhos em X, ent ao f e f s ao caminhos em Y .2. Se , ent ao f f .3. f ( ) (f ) (f ).4. Se [] 1_X, x0_, ent ao [f ] 1_Y, f(x0)_.Lema 2.3. Se f: X Y e contnua, ent aof: 1_X, x0_ 1_Y, f(x0)_[] [f ], e um homomorsmo de grupos.Prova : Sejam [] e [] 1_X, x0_, ent aof_[] []_= f_[ ]_= [f_ _]= [f f = [f ] [f = f_[]_ f_[]_.O homomorsmo f e dito induzido por f.Proposi c ao 2.2. Se f: X Ye g: Y Z s ao contnuas, ent ao:_g f_= g f.Em particular, idXinduz id1(X,x0).A prova e imediata.Corol ario 2.3. Se f: X Y e um homeomorsmo, ent aof: 1_X, x0_ 1_Y, f(x0)_ e um isomorsmo.2.4. HOMOMORFISMO INDUZIDO 45Exemplo 2.4.[1] Utilizando a projec ao estereogr aca; Sn{p} = Rn, temos:1_Sn{p}, p0_= 1_Rn, x0_= q{0}.[2] R2= S1R. Ent ao:1_R2, (x0, y0)_= 1_S1R, (z0, t0)_.[3] Sabemos que RP1 = S1e CP1 = S2; ent ao::1_RP1, [p]_= 1_S1, z0_1_CP1, [q]_= 1_S2, w0_.Corol ario 2.4. Seja r : X A uma retra c ao e i : A Xa inclus ao; ent ao:1. r e um homomorsmo sobrejetivo. Em particular, pelo teorema do isomorsmo:1_X, x0_/Ker(r) 1_A, x0_,onde Ker(r) e o n ucleo do homomorsmo r.2. i e um homomorsmo injetivo. Em particular, se 1_X, x0_ e nitamente gerado, ent ao1_A, x0_ e nitamente gerado.Prova : Ambas seguem diretamente do fato que:Ai Xr A, e tal que r i = idA eXr Ai X, e tal que i r = idX.Lema2.4. SejamXeY conexosporcaminhosf, g: XYfun c oescontnuas, taisquef g e os homomorsmos induzidos:f: 1_X, x0_ 1_Y, y0_g: 1_X, x0_ 1_Y, y1_,onde y0= f(x0) e y1= g(x0). Ent ao, existe um caminho ligando y0 a y1 tal que 1f= g.Isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:1_X, x0_f

g

wwwwwwwwww1_Y, y0_1

1_Y, y1_46 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALProva : Observe que n ao e evidente que as homotopias preservem os pontos bases dosgrupos.Por hip otese existe homotopia F: f g; logo, necessariamente, durante a homotopia,deve existir um caminho que liga y0 a y1, isto e, existe (t) = F(x0, t). Devemos provarque para todo [] 1_X, x0_:_1 f__[]_= g_[]_ [1_f _ ] = [g ].Logo, devemos provar que 1_f _ g relativamente a {0,1}. Como antes:1_f _ (t) =___1(4 t) se0 t 1/4(f )(4 t 1) se1/4 t 1/2(2 t 1) se1/2 t 1=___(1 4 t) = F(x0, 1 4 t) se0 t 1/4F((4 t 1), 0) se1/4 t 1/2F(x0, 2 t 1) se1/2 t 1Note que (g )(t) = F((t), 1); por outro lado, g ey1 (g ) ey1eey1 (g ) ey1(t) =___F(x0, 1) se0 t 1/4F((4 t 1), 1) se1/4 t 1/2F(x0, 1) se1/2 t 1Denamos a homotopia H: 1_f _ g , por:H(t, s) =___F(x0, 1 4 t + 4 t s) se0 t 1/4F((4 t 1), s) se1/4 t 1/2F(x0, 2 (t + s t s) 1) se1/2 t 1Logo, H(t, 0) = 1_f _ (t), H(t, 1) = g (t) e H(0, s) = H(1, s) = y1.Teorema 2.4. SejamX e Yespa cos conexos por caminhos. Se f: X Y e uma equival enciahomot opica, ent ao:f: 1_X, x0_ 1_Y, f(x0)_ e um isomorsmo de grupos.Prova : Sejam f: X Ye g: Y Xinversas homot opicas; ent ao g f idX; pelolema 2.4, existe tal que:1_g f_= id1(X,x0).Logo,_g f_ e,necessariamente, isomorsmo; ent aog esobrejetivaef einjetiva.Por um argumento an alogo, de f g idY , obtemos que g e injetiva e f e sobrejetiva.2.4. HOMOMORFISMO INDUZIDO 47Corol ario 2.5. Se X e contr atil, ent ao1_X, x0_ {0}.Corol ario2.6. SeAX eumretratopordeforma c ao ouumretratopordeforma c ao forte,ent ao a retra c ao induz um isomorsmo:r: 1_X, x0_= 1_A, x0_.Em geral, como veremos mais adiante, as propriedades de fn ao s ao herdadas por f.Por exemplo, se f e injetiva, n ao necessariamente f e injetiva.Se 1_X, x0_ 1_Y, f(x0)_, isto n ao implica que exista um homeomorsmo entre XeY .Exemplo 2.5.[1] S1{0} e um retrato por deformac ao de S1R. Ent ao:1_S1R, (z0, 0)_ 1_S1{0}, (z0, 0)_ 1_S1, z0_[2] O crculo central e um retrato por deformac ao da faixa de M oebius M. Ent ao:1_M, x0_ 1_, x0_ 1_S1, z0_.Isto mostra que embora 1_M, x0_e 1_S1, z0_sejam isomorfos, Me S1n ao s ao home-omorfos (por que?).Proposi c ao 2.3. Sejam x0 X, y0 Ye X Ycom a topologia produto. Ent ao1_X Y, (x0, y0)_ 1_X, x0_1_Y, y0_,onde 1_X, x0_1_Y, y0_ e o produto direto de grupos.Prova: Denotemosporp: X Y Xeq : X Y Y asprojec oesnaturais.Denamos: : 1_X Y, (x0, y0)_ 1_X, x0_1_Y, y0_[] _p([]), q([])_.i) est a bem denida, isto e, se [] = [] devemos provar que _[]_= _[]_.Se [] = [], existe F: homotopia correspondente.Consideremos H1(t, s) = (p F)(t, s) e H2(t, s) = (q F)(t, s); ent ao:H1(t, 0) = p_(t)_, H1(t, 1) = p_(t)_H2(t, 0) = q_(t)_, H2(t, 1) = q_(t)_.48 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALLogo, _[]_= _[]_.ii) e um homomorsmo, pois p e q s ao homomorsmos.iii) e sobrejetiva.De fato, para todo_[1], [2]_ 1_X, x0_1_Y, y0_, consideremos(t) = (1(t), 2(t)); ent ao [] 1_X Y, (x0, y0)_ e tal que:_[]_=_p([]), q([])_=_[1], [2]_.iv) e injetiva. Seja [] 1_X Y, (x0, y0)_; ent ao (t) = (1(t), 2(t)) e tal que1(0) = 1(1) = x0 e 2(0) = 2(1) = y0_[]_= ([cx0], [cy0]) [p ] = [cx0]e[q ] = [cy0],isto e, existem F: p cx0e G : q cy0. Denamos:H(t, s) = (F(t, s), G(t, s)),logo :H(t, 0) = (F(t, 0), G(t, 0)) = ((p )(t), (q )(t)) = (1(t), 2(t))H(t, 1) = (F(t, 1), G(t, 1)) = (x0, y0)Ent ao, [] = [c(x0,y0)]; logo Ker() = [c(x0,y0)] e e injetiva.Exemplo 2.6.[1] Sabemos que 1_R2, (x0, y0)_ 1_S1R, (z0, t0)_; logo:1_R2, (x0, y0)_= 1_S1R, (z0, t0)_= 1_S1, z0_1_R, t0_= 1_S1, z0_.Em geral, Rn{p} = Sn1R; logo:1_Rn{p}, p0_= 1_Sn1R, (w0, p0)_= 1_Sn1, w0_.[2] Considere o toro T = S1S1; ent ao:1_T, (z0, z0)_= 1_S1, z0_1_S1, z0_.[3] Considere o toro s olido S1B; ent ao:1_S1B, (z0, p0)_= 1_S1, z0_1_B, p0_= 1_S1, z0_.2.5 Espa cos Simplesmente ConexosDeni c ao 2.4. X e simplesmente conexo se e conexo por caminhos e1_X, x0_= {0},x0 X.Proposi c ao 2.4. X e simplesmente conexo se, e somente se para todos , : I Xtais que(0) = (0) e (1) = (1), tem-se .Prova : Sejam e caminhos ligando x0 a x1 X; ent ao [ 1] 1_X, x0_. Se X esimplesmente conexo, ent ao 1 ex0; logo 1 ex0 ; logo .A recproca e imediata.2.5. ESPAC OS SIMPLESMENTE CONEXOS 49Exemplo 2.7.[1] Se X e contr atil, ent ao e simplesmente conexo. Veremos mais adiante que a recproca e falsa.[2] Se Xe Ys ao simplesmente conexos, ent ao X Y e simplesmente conexo.Lema 2.5. Seja X um espa co topol ogico tal que X= U V , onde Ue Vs ao subespa cos abertossimplesmentes conexos e U V e conexo por caminhos. Ent ao X e simplesmentes conexo.Prova: Seja[] 1_X, x0_talquex0U V . Como econtnua, temosqueoconjunto{1_U_,1_V_} eumacoberturadocompactoI. Logo, existe(porque?) umapartic ao de I:0 = t0< t1< . . . < tn1< tn= 1tal que _[ti1, ti]_Uou _[ti1, ti]_V . Se dois intervalos consecutivos[ti1, ti] e[ti, ti+1] s ao tais que _[ti1, ti_e _[ti, ti+1]_pertencem ambos a Uou V , eliminamos oponto comum ti; logo, podemos considerar (ti) U V . Por outro lado, como U V e conexo por caminhos, podemos ligar x0 a (ti) por um caminho i:Para cada i, denamos:i(s) = ((titi1) s + ti1),0 s 1.Logo, i(0) = (ti1) e i(1) = (ti); como 1 2 n, ent ao: (1 11) (1 2 12) (2 3 13) . . . (n n).Veja o seguinte desenho:x01(t1) (t2)2(t(ti-1 )ii)1i2Figura 2.8:50 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTALNote que cada ii+11i+1 Uou a V ; como Ue Vs ao simplesmente conexos, temosque para cada ii i+1 1i+1 ci; ent ao cx0.Logo 1_X, x0_= {0}.E possvel enfraquecer as hip oteses do lema. Por exemplo, se X= AB tal que ABsejaconexoporcaminhos, semnecessariamenteAouBseremabertosemX. BastaconsiderarUeV abertostaisqueAU, BV , U V conexoporcaminhoseasinclus oes:A Ue B Vque s ao equival encias homot opicas.Corol ario 2.7. 1_Sn, p_= {0} para todo n 2.Prova : N ao e difcil ver que:Sn = Sn Sn+,onde Sn+=Sn {pN}=Rne Sn=Sn {pS}=Rn; ambos os conjuntoss ao abertose contr ateis; logo,s aoabertose simplesmente conexos. Poroutrolado,sabemosqueSnSn+ Sn1, logo e conexo por caminhos. Pelo lema, temos que Sn e simplesmenteconexo, para todo n 2. Veja [MV].Provaremosnospr oximospar agrafosqueS1n ao esimplesmenteconexo. Poroutrolado, segue do teorema de Stokes que Snn ao e contr atil.Exemplo 2.8.[1] Rn= Rn{0} e simplesmente conexo se n > 2. De fato, Rn Sn1.[2] Sejam Sme Sn Rn+1esferas tais que Sn Sm= {p}, com n m 2.Consideremos X= Sn Sm; ent ao1_X, x0_= {0}.SabnmSFigura 2.9: X= Sn Sm2.5. ESPAC OS SIMPLESMENTE CONEXOS 51Sejam a Sn, b Smtais que a,b = p; U= X {a} e V= X {b}, claramenteSm U, Sn Ve U V e conexo por caminhos; ent ao X e simplesmente conexo.[3] Para m2 n, temos os seguintes homeomorsmos:RmRn =_Rmn{0}_Rn= Smn1Rn;por outro lado, sabemos que Smn1Rn Smn1. Logo:1_RmRn, (z0, w0)_= 1_Smn1Rn, (x0, y0)_= 1_Smn1, x0_= {0},se m2 > n.Notamosque existemexemplosem queareuni aodeespacossimplesmenteconexosn ao e necessariamente simplesmente conexo,mesmoque tenhamum pontocomum.(Verique!).52 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL2.6 Exerc cios1. Prove que h : [a, b] [0, 1] denido por h(t) =t ab a e um homeomorsmo.2. Complete todos os detalhes da prova do teorema anterior.3. Seconsideramos_X, x0, x1oconjuntodasclassesdecaminhosqueligamx0ax1, (x0=x1), comamesmaoperac aodenidaanteriormentepara1_X, x0_, oconjunto_X, x0, x1 e um grupo?Justique sua resposta.4. Seja(X, x0) = { : I X / (0) = (1) = x0}.Verique que:1_X, x0_= (X, x0)_,onde e a homotopia de caminhos.5. Um espaco topol ogicoX e dito espaco de Hopf ou H-espaco se existem func aocontnua (multiplicac ao):m : X X X,e x0 Xtais que m(x0, x0) = x0, q1 i {x0}idXe m q2 {x0}idX, ondeq1, q2: X X Xs aodenidasporq1(x) =(x, x0)eq2(x)=(x0, x). Comasnotac oesanteriores,seja Xum H-espaco. Verique que:(a) m((q1 ) (q2 )) , onde e s ao caminhos fechados em x0.(b) 1_X, x0_ e abeliano.Captulo 3GRUPO FUNDAMENTAL DOCIRCULOEste captulo e crucial para obter novos exemplos de grupo fundamental e estudar, emparticular, as t ecnicas gerais que apressentaremos nos pr oximos captulos.Para calcular 1_S1, x0_estudaremos uma s erie de conceitos novos que ser ao natural-mente estendidos a espacos topol ogicos em geral.3.1 Introdu c aoSeja x0=(1, 0)S1 C, xado. Todo caminho em S1fechado em x0, arbitr ario temque dar um m ultiplo inteiro de voltasao redor de S1.Provaremos que essencialmente, existe somente uma unica classe de caminhos fecha-dos n ao homot opicos a uma constante em S1.Aid eiab asicadestecaptulo ecompararcaminhosdeS1comcaminhosde Rviaohomeomorsmo local exp. (Veja [MV]):Para visualizar geometricamente a aplicac ao exp, consideramos Huma h elice emR3:Figura 3.1:5354 CAPITULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULOParametrizada por:: R R3t (cos(2 t), sen(2 t), t);temos que H e homeomorfo a R .Ohomeomorsmolocal exppodeserpensadocomoarestric aodaprojec aodep :R3R2, onde p(x, y, z) = (x, y) para todo (x, y, z) H.Por outro lado, temos que exp1{(1, 0)} = Z e que se n for positivo o caminho sobeao longo da h elice; analogamente se n e negativo o caminho desceao longo da h elice.exp : R S1t exp(t) = e2it.S1expIRFigura 3.2:Provaremosqueparatodo: I S1caminhofechadoemx0, existeum unicocaminho : I R que liga a origem com n, logo (t) =nt, tal que =exp . Emoutras palavras, existe um unico que torna o seguinte diagrama comutativo:Rexp

I

e

S1O caminho e dito levantamento do caminho com ponto inicial em (0).3.1. INTRODUCAO 55Fixandoumaorientac aoemS1, seocaminhofechadoemx0percorrenvezesS1nosentido positivo (em relac ao` a base can onica de R2), diremos que o n umero de voltasdo caminho e n; caso contr ario que e n. Este n umero inteiro e dito o grau do caminho. Denamos:gr : 1_S1, x0_Z[] (1) = n,onde = exp . Provaremos que gr e um isomorsmo de grupos.A prova segue dosseguintes teoremas:Lema 3.1. Sejam U S1{x0} aberto e V= [0, 1] exp1(U) R. Ent ao:1.exp1_U_=_nZ{v + n; v V },onde a uni ao dos abertos V+ n := {v + n; v V } e disjunta.2. Para cada n Z, V+ n e homeomorfo a Uvia a fun c ao exp.Prova :1. Sem perda de generalidade podemos supor que o aberto de S1 e da forma:U= {exp(2it); t (a, b) [0, 1]}.Logo, V =[0, 1] exp1(U) =(a, b); ent aoV+ n=(a + n, b + n)paratodonZ.Claramente, exp1_U_ e a uni ao disjunta dos abertos V+ n.2. Denotandoporen=expV +ntemosqueen econtnuaebijetiva. Vericaremosacontinuidadede(en)1: U S1(V+n) R. SejaWV +nfechado.ComoV+n elimitadoent aoW ecompacto; poroutroladoS1 edeHausdorff; logoen: W en(W) U e um homeomorsmo; ent ao en(W) e compacto e, emparticular,fechado.Corol ario 3.1. Se X e um espa co topol ogico, ent ao toda fun c ao f: XS1n ao sobrejetiva ehomotopicamente nula.Prova : Suponha que x/ Im(f). Ent ao S1{x} e homeomorfo a (0, 1). Por outro ladoo intervalo (0, 1) e contr atil; logo,f e homotopicamente nula.Aseguirapresentamosoprimeiroresultadocrucialdestecaptulo: ochamadoTeo-rema de Levantamento dos Caminhos. Este teorema e bastante geral. Neste par agrafoapresentamos apenas a prova para exp : R S1.56 CAPITULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULOTeorema 3.1. Toda fun c ao contnua f: IS1possui um levantamento F. Fixado t0 Rcom exp(t0) = f(0), o levantamento Ftal que F(0) = t0 e unico.Rexp

If

F

S1Prova : Para cada xS1, seja Uxuma vizinhanca de x. Pelo lema anterior exp1(Ux) e uma reuni ao disjunta de abertos (homeomorfos` a Ux via a exp). Como f e contnua,ent ao:{f1(Ux); x S1} = {(xj, yj) [0, 1]; j J} e uma cobertura aberta para I. Pela compacidade de I, existe uma subcobertura nita:[0, t1 + e1),(t2 e2, t2 + e2), ,(tnen, 1]comti+eiti+1ei+1 para i = 0, ..., n1. Escolhemos ai (ti+1ei+1, ti+1+ei+1) parai=1, ,n 1 tais que {0=a0,a1, ,an=1} e uma partic ao de I. Seja SiS1conjuntoabertotal que f([ai, ai+1])Si,i=0, , n. Deniremos(indutivamente)levantamentos Fk sobre [0, ak] da seguinte forma:aIexpSk k+11ak)k,k+1aSkfFWIRf([])aa~(Figura 3.3:1. Para k = 0, seja F0= t0.2. Suponha que Fk: [0, ak] R e denida e unica (com Fk(0) = t0).3. Aplicandoolemaanterior, temosqueexp1(Wk) eumauni aodisjuntadeaber-tostalque(exp|Wj) eumhomeomorsmoparacadaj J(Wk eumabertotalque3.2. C ALCULO DO GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULO 57f([ak, ak+1])Wk). Fk(ak)Wpara algum W{Wj; j J}. Note que W e unico.Qualquer extens ao Fk+1leva [ak, ak+1] em W([ak, ak+1] e conexopor caminhos e Fk+1 econtnua). Como(exp|W) : WSk ehomeomorsmo, existeuma unicafunc ao : [ak, ak+1] Wtal que exp|W = f|[ak,ak+1], onde = (exp|W)1. Denimos:Fk+1(s) =_Fk(s) se 0 s ak(s) se ak s ak+1.Fk+1 e contnua (Fk(ak) = (ak)) e unica por construc ao. Indutivamente obtemos F.3.2 C alculo do Grupo Fundamental do CrculoUsando o teorema, podemos denir a func ao grau de um caminho fechado em S1.Sejaumcaminhofechadotal quex0S1 exadoe : I Rseu unicole-vantamentotal que (0) =0. Comoexp1((1)) =exp1(1) =Z(denotamospor1 = (0, 1) S1), vemos que (1) e um inteiro; logo, denimos:gr() = (1).Mostraremos que caminhos (homotopicamente) equivalentes possuem o mesmo grau.Inicialmente mostraremos que seus respectivos levantamentos s ao (homotopicamente)equivalentes. Para isto, trocaremos [0, 1] por [0, 1] [0, 1] no teorema anterior.Lema 3.2. (Levantamento das Homotopias)Toda fun c ao contnua H: [0, 1] [0, 1] S1possui um levantamento:H: [0, 1] [0, 1] R.Dado x0 R com exp(x0)=H(0, 0), existe um unico levantamento de Htal que H(0, 0)=x0.Rexp

I IH

eHxxxxxxxxxS1A prova e an aloga` a do lema anterior. Sabendo que I2 e compacto, denimos induti-vamente levantamentos Fi,jsobre ret angulos.Comocorol ariodolemaanterior, temososeguinteteoremademonodromiaparaaaplicac ao:exp : R S1,dizendo que caminhos homot opicos tem o mesmo grau.58 CAPITULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULOCorol ario 3.2. Se 0e 1s ao caminhos homot opicos em S1xados em x0, e 0e 1s ao seuslevantamentos respectivos com 0(0) = 1(0), ent ao 0(1) = 1(1). Logo:gr(0) = gr(1).Prova : Considere uma homotopia F:01. Ent ao, existe um unico levantamentoG: I2 R com G(0, 0)=0(0)=1(0). Analogamente, existem levantamentos 0para0e 1para1. ComoF(t, 0) =0(t), temosG(t, 0) = 0(t)eG(t, 1) = 1(t).F(1, t) =0(1) = 1(1); ent ao G(1, t) e um caminho entre 0(1) e 1(1). Mas, G(1, t) exp1(0(1)) = Z. Portanto G(1, t) e constante e 0(1) = 1(1).Estamos agora em condic oes de calcular o grupo fundamental do crculo.Teorema 3.2. Seja x0= (1, 0); ent ao, temos um isomorsmo de grupos:_1_S1, x0_,_=_Z,+_.Emoutraspalavras, 1_S1, x0_ eumgrupocclicoinnitogeradopor[], ondeocaminho : I S1 e tal que (t) = exp(t).Prova : Denimos a aplicac ao:gr : 1_S1,x0_Z[] (1)onde e o unico levantamento de .1. Pelo corol ario anterior, gr e bem denida.2. Afunc aogr eumhomomorsmodegrupos. Devemosprovarque, paratodo[],[] 1_S1, x0_, temos quegr([] []) = gr([]) + gr([]).Por outro lado, [] [] = [ ]. Consideremos : [0, 1] R denida por:(t) =_ (2 t) se0 t 1/2(2 t 1) + (1) se1/2 t 1.O caminho e bem denido em t = 1/2. Como (1) e um inteiro, temos que exp = e, portanto, pela unicidade do levantamento =

. Ent ao:gr([] []) = gr([ ]) = (1) = (1) +(1) = gr([]) + gr([]).3. Afunc aogr einjetiva,isto e,segr([] =gr([]),ent ao (1)= (1),como (0)=(0) = 0. Consideremos a homotopia:H(t, s) = exp((1 s) (t) + s(t)).3.3. ALGUMAS CONSEQUENCIAS DO ISOMORFISMO 59H(t, 0) = (t) e H(t, 1) = (t). Logo, [] = [].4. A func ao gr e sobrejetiva. Dado n Z, seja :[0, 1] R denida por (t)=nt;ent ao, exp :[0, 1]S1e exp (0)=exp (1)=x0. Logo, e um levantamentode exp tal que (0) = 0; ent ao:gr([exp ]) = (1) = n.Isto completa a prova do resultado principal.3.3 Algumas Consequ encias do Isomorsmo[1] A esfera Sn, (n > 1) n ao e homeomorfa a S1. De fato, se fossem homeomorfas:{0} = 1_Sn, p0_= 1_S1, x0_= Z,o que e absurdo.[2] Seja o cilindro C= S1R; ent ao:1_C, (x0, z0)_= 1_S1, x0_1_R, z0_= Z.Dos captulos anteriores sabemos que S1{0} e um retrato por deformac ao de S1R.Um gerador do grupo 1_C, (x0, z0)_ e a classe de homotopia do crculo central (t) =(exp(t), 0). Um caminhofechado emC e homot opicoanvezes ogerador,quandon e o n umerode vezes que o caminho fechado intersectatransversalmentea geratriz(1, 0) R.SSx IR11Figura 3.4: Gerador de 1_C, (x0, z0)_Em geral,1_S1Rn, p0_= Z.60 CAPITULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULO[3] Considere o toro T2= S1S1; ent ao:1_T2, (z0, z0)_= 1_S1, z0_1_S1, z0_= Z Z.O gerador do grupo 1_T2, (z0, z0)_pode ser entendido da seguinte forma: considere oparalelo e o meridiano :Figura 3.5: Meridiano e paralelo do toroTodo caminho fechado e homot opico a p + q , onde p e o n umero de vezes que ocaminho fechado intersecta transversalmente o paralelo e q e o n umero de vezes queo caminho fechado intersecta tranversalmente o meridiano com o seguinte cuidado:xando uma direc ao, contamos positivamente as passagens para um lado e negativa-mente para o outro.1_T2, (z0, z0)_) Z Z[] (p, q)Figura 3.6: e homot opico a p + q [4] Considere o toro s olido S1B; ent ao:1_S1B, (z0, p0)_= 1_S1, z0_= Z.3.3. ALGUMAS CONSEQUENCIAS DO ISOMORFISMO 61[5] O crculo central e um retrato por deformac ao da faixa de M oebius M. Ent ao:1_M, x0_ 1_, x0_ 1_S1, z0_ Z.[6] A esfera Sn, (n > 1) n ao e homeomorfa a Tn= S1S1. . . S1, (n-vezes). De fato,se fossem homeomorfas, teramos que:1_Sn, z0_= 1_Tn, y0_= 1_S1, x0_ 1_S1, x0_.Isto e:{0} = Z . . . Z= Zn,o que e absurdo.[7] Pelo mesmo argumento anterior, Snn ao e homeomorfa a Sn1S1.Corol ario3.3. (TeoremaFundamentaldaAlgebra)Todopolin omion aoconstantecomcoecientes em C possui uma raiz em C.Prova : Sem perda de generalidade podemos supor que o polin omio tem a forma:p(z) = zn+ a1zn1+ + an.Se p(z) n ao possui razes, para cada n umero real r 0, denimos:fr(t) =p(rexp(t))p(rexp(t))p(r)p(r).onde 0 t 1, fr(t) dene um caminho fechado em S1com ponto base x0. SejaH(t, s) =_fs/1s(t) se0 t 1, 0 s < 1exp(nt) se0 t 1, s = 1.Note que:lims1H(s, t) = lims1fs/1s(t) = limr+fr(t) = (exp(t))n.Logo, H e contnua.Por outro lado H(t, 0) = f0(t) = x0 que e o caminho constante emx0 eH(t, 1) = exp(nt), isto e H: f0 f1, ent ao0 = gr([f0]) = gr([f1]) = no que e uma contradic ao.Corol ario 3.4. (Teorema do ponto xo de Brouwer para n=2) Seja D C tal que D=S1. Todafun c aocontnuah: DDpossuiumpontoxo, isto e, existexDtalqueh(x) = x.62 CAPITULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULOProva : Suponhamos que h(x) = x para todo x D. Denamosr : D S1do seguinte modo: r(x)S1 e obtido da intersec ao de S1com a semi-reta de origemem x e que passa por h(x).Or(x)h(x)xS1Figura 3.7: Denic ao da func ao r = r(x)Acontinuidadeder eclara, poispequenaspertubac oesdexproduzempequenaspertubac oesdeh(x)eportantopequenaspertubac oesdaretaqueligaestespontos.NotequesexS1, ent aor(x) =x; logo, seconsideramosi : S1Dainclus ao,temos que r e um retrato, pois r i = idS1. Logo:r: {0} = 1_S1, x0_ Zo que e uma contradic ao, pois D e contr atil.UtilizandoGeometriaAnalticaelementar, podemosdarumadenic aoexplcitadafunc ao r = r(x).De fato, denotemos por v1= h(x), z= r(x) e v= (x v1)/x v1; logor(v) = z= v1 + t v,para algum t 0 tal que v1 +t v S1, isto e (v1 +t v) (v1 +t v) = 1, que e equivalentea:(x x) t2+ 2 t (v1 x) + v1 v1= 1.Denotemos por tx a raiz positiva desta equac ao; ent ao:r(x) = h(x) + txx v1x v1

.3.4. GRUPO FUNDAMENTAL DO ESPAC O PROJETIVO REAL 633.4 Grupo Fundamental do Espa co Projetivo Real3.4.1 Introdu c aoNesta sec ao determinaremos o grupo fundamental do espaco projetivo real.Para isto,utilizaremos diversas propriedades dos espacos projetivos reais j a estudadas em [MV].Repetiremos as provas de alguns teoremas gerais, que ser ao apresentadas nos captulosseguintes.Notamos que estas provas ser ao id enticas` as vistas neste captulo.Seja RPno espaco projetivo real de dimens ao n. De [MV] sabemos que a projec ao: : SnRPn e aberta e que para todo U Snaberto, temos:1__U__= U _U_.Por outro lado, : SnRPn e um homeomorsmo local.De fato.Seja p RPn; ent ao p = {x, x}.Seja U Snvizinhanca de x que n ao contemnenhum ponto antpoda de seus pontos, isto e, U _U_= . Logo, _U_= U e umavizinhanca de p, tal que:1_U_= U_ U_e eU e um homeomorsmo sobre U.Observa c oes 3.1.1. AvizinhancaUdolemaanterior, tamb em echamadavizinhancadistinguidadoponto p RPn.2. Como no caso de S1, mostraremos que :Sn RPntamb em tem a propriedadedo levantamento dos caminhos.Proposi c ao 3.1. Sejam : I= [t0, t1] RPne x0 Sntal que (x0) = (t0). Existe um unico caminho : I Sntal que (t0) = x0 e = , isto e, temos o seguinte diagramacomutativo:Sn

I

e {{{{{{{{RPnProva : Observemos que proposic ao e v alida se:1. (I) Ue U RPn e uma vizinhanca distinguida do ponto {x0, x0}, tal que:1_U_= U_ U_.64 CAPITULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULODefato, suponhaquex0 Uedenotemospor=eU. Logo, : UU eumhomeomorsmo.Consideremos : I Udenida por = 1 .2. O intervalo I=I1 I2(i=1,2), onde Iis ao intervalos fechados com um extremocomum t2 e tais que a proposic ao seja v alida para I1= 1 e I2= 2.Defato, aplicandoaproposic aoacadaintervalo, obtemos1: I1Sntal que 1(t0) = x0 e 1= 1 e, a seguir,2: I1 Sntal que 2(t2) =1(t2) e 2= 2.Logo, denimos : I Snpor: (t) =_ 1(t) se t I1 2(t) se t I2.Ocasogeral, seguedoscasos1. e2. Defato, comoI ecompacto, ent aopodemosdecomporInumareuni aonitadesubintervaloscompactosjustapostos, isto eI =I1I2. . . Ik tais que (Ii) Ui, para cada i, onde Ui e uma vizinhanca distinguida.A unicidade de segue do fato de que se supomos que existem ,: I Sntais que = , ent ao para todo t I devemos ter (t) = (t) ou (t) = (t); utilizandoo produto interno de Rn+1, temos < (t),(t)>= 1, para todo tI; por outro lado,como I e conexo, o produto interno anterior deve ser constante. Logo, se (t0) = (t),ent ao (t) = (t) para todo t I.Note que o levantamento de um caminho fechado em Snnem sempre e um caminhofechado emRPn, pois cada caminho em Snpossui dois levantamentos; al em disso, umdeles e fechado se, e somente se ambos s ao fechados.De fato, se : I Sn e tal que = e se e fechado, o caminho fechado possui um levantamento fechado.Seos extremos do caminho s ao antipodais, e um caminho fechado emRPnque possuilevantamento n ao fechado.Proposi c ao3.2. Sejan2; xandox0Snep0=(x0) RPneconsiderando, :I RPncaminhos fechados de base p0, denotemos por ,: ISnos correspondenteslevantamentoscomorigememx0. Comasnota c oesanteriores,temosque (1)= (1)se,esomente se .Prova : Se ,: ISns ao tais que (1)= (1), como Sn e simplesmente conexo,temos .Se= , como (0) = (0) =x0, (1) =x0e (1) =x0. Porhip otese (1)= (1) se,e somentese | (1) (1)|=2,onde || e a normainduzidaem RPnpelanormade Rn+1. Emparticular, se(t) (t) =2, paratodot I,isto e (t) e (t) nunca s ao antipodais, ent ao | (t) (t)| =2, para todo tI;como (0) = (0), n aopodemoster| (1) (1)| =2. Emgeral, considereahomotopiaH:; pela continuidade uniforme de H, existem 0=t01), onde e a projec ao can onica, e um recobrimento de 2 folhase:1([x]) = {x, x}Z2.[5]Seja_X, , M_, onde X=R (1, 1), M eafaixadeM oebiuse eaprojec aocan onica; ent ao:1([0, 0]) = {(n, 0) / n Z}Z.Teorema5.2. Seja_X,p, X_umrecobrimentotal quep( x) =x; ent aoohomomorsmoinduzido:p: 1_X, x_ 1_X, x_ e um monomorsmo.Prova : Sejam [ ],[]1_X, x_tal que p([ ])=p([]; ent ao, [p ]=[p ]. Logo,existe uma homotopia H: p p ; consideremos o unico levantamento Hde H;portanto H: ; logo:[ ] = [].Comop eummonomorsmo, podemosconsiderar1_X, x_comoum subgrupode1_X, x_. Logo, com as hip oteses do teorema, se:1_X, x_= {e}, ent ao 1_X, x_= {e}.Teorema 5.3. Sejam_X,p, X_um recobrimento e x, x1 p1(x); ent ao todos os subgruposp_1_X, x__e p_1_X, x1__s ao conjugados em1_X, x_. Se x p1(x) e xado, toda classeconjugada de p_1_X, x__ e igual ao subgrupo p_1_X, x1__, para algum x1 p1(x).5.1. CRITERIO GERAL DE LEVANTAMENTO 89Prova : Seja um caminho em Xque liga x a x1. Sabemos que:Fe : 1_X, x_ 1_X, x1_denida por Fe ([]) = [ 1] e um isomorsmo de grupos.Denamos:G : 1_X, x_ 1_X, x1_por G([]) = [p ] [] [p ]1. Logo, obtemos o seguinte diagrama comutativo:1_X, x_p1_X, x_Fe __G1_X, x1_p1_X, x1_Ent ao,p_1_X, x__e p_1_X, x1__s ao conjugadosem 1_X, x_. Por outrolado,sejaHum subgrupo de 1_X, x_conjugado a p_1_X, x__; ent ao:H= []1p_1_X, x__[].Seja um levantamento de tal que (0) = x; denotemos por x1= (1); ent ao:H= p_1_X, x1__.5.1 Crit erio Geral de LevantamentoSuponhamos que_X,p, X_ e um recobrimento e que toda func ao contnuaf: Z Xadmite um levantamento f, ou seja, temos o seguinte diagrama comutativo:Xp

Zf

ef

Xtalquep f =f. Sep( x0)=x0,f(z0)=x0e f(z0)= x0,temosquep f=fe odiagrama comutativo:1_X, x0_p

1_Z, z0_f

ef

rrrrrrrrrr1_X, x0_90 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTALComop eummonomorsmo, aexist enciade fquefazodiagramacomutativo eequivalente` a condic ao:f_1_Z, z0__ p_1_X, x0__.Oteoremageraldelevantamentonosd aascondic oesnecess ariasesucientesparaa exist encia de levantamentos de um espaco topol ogico. Este teorema e um exemplodoqueestudaaTopologiaAlg ebrica. Umproblemapuramentetopol ogico, comoaexist encia de uma func ao contnua (sob certas condic oes) e reduzido a uma condic aopuramente alg ebrica (uma relac ao entre grupos e homomorsmos).Teorema 5.4. Crit erio de LevantamentoSejam_X,p, X_um recobrimento e f: Z X contnua. Se Z e conexo e localmente conexopor caminhos, ent ao existe um levantamento de fse, e somente sef_1_Z, z0__ p_1_X, x0__,onde p( x0) = x0 e f(z0) = x0.Prova : Se existe levantamento fde f, isto e, p f= f, ent ao:f_1_Z, z0__= (p f)_1_Z, z0__ p_1_X, x0__.Suponhamos que f_1_Z, z0__p_1_X, x0__, onde p( x0)=x0e f(z0)=x0. Sejamz1Zarbitr ario e o caminho em Ztal que (0)=z0e (1)=z1;ent ao, f e umcaminho emX tal que (f) (0) = x0 e (f) (1) = f(z1). Pelo teorema de levantamentodos caminhos, existe um unico levantamento

f :I Xtal que (

f )(0)=x0ep _

f _= f . Logo, denamos:F: Z X,onde F(z0) = x0 e F(z1) = f (1).1. F e bem denida. De fato, seja 1 outro caminho emZ tal que 1(0) = z0 e 1(1) = z1;ent ao 11 e tal que ( 11)(0) = ( 11)(1) = z0, isto e, [ 11] 1_Z, z0_; ent ao:f_[ 11]_= [f f 11] f_1_Z, z0__.Por outro lado: f_1_Z, z0__ p_1_X, x0__; ent ao existe [] 1_X, x0_tal que:[f f 11] = [p ].5.1. CRITERIO GERAL DE LEVANTAMENTO 91Logo:f (f ) ex0 (f ) (f 11 f 1) (f f 11) f 1 p f 1.Denotemos por = p f 1; ent ao =

f 1; pela unicidade dos levantamen-tos:(

f )(1) = (1) = (

(f 1))(1) =

(f 1)(1).Nesta parte da prova utilizamos somente a hip otese de que Z e conexo por caminhos.2. F e contnua. Sejam U Xaberto e z f1_U_;ent ao f(z)U. Denotemos porWumavizinhancadistinguidade(p f)(z) =f(z)talqueWp_U_. ComoW evizinhanca distinguida:p1_W_=_jJVj,ondecadaVj ehomeomorfoaWe f(z) Vkparaalgumk J. Logo, comoVkeUs aovizinhancasde f(z)consideramosW=VkU. Notequep_W_tamb em euma vizinhanca distinguida, pois W e distinguida e p_W_W. Por outrolado, f econtnua e f1_p_W__ e uma vizinhanca de zZ. Como Z e localmente conexo porcaminhos, existe um caminho ligando uma vizinhanca Vde z tal que V f1_p_W__Mostraremosque f_V_U. Primeiramente f(z)V ;se zV , existe um caminho en Vligando za z; logo,pela denic ao de ftemos f(z)=

f (1), onde

f e o unico levantamento de f tal que

f (0) = f(z), pois:(f )_I_ f_V_ p_W_e(

f )_I_ p1_p_W__.Por outro lado:p1_p_W__=_jJWj,onde os Wjs ao disjuntos aos pares, cada Wj e homeomorfo a p_W_e pelo menos umWkW;como(

f )(0)= f(z)Wsegueque(

f )(1)= f(z). Provamosquef_V_WUe portanto V f1_U_, isto e, todo elemento def1_U_possui umavizinhanca totalmente contida emf1_U_; logo f e contnua.Existem exemplos que mostram que a hip otese de ser Zlocalmente conexo por cami-nhos n ao pode ser retirada para a prova de que o levantamento f e contnuo.Corol ario 5.1. Sejam_X,p, X_um recobrimento e Zum espa co simplesmente conexo e lo-calmente conexo por caminhos; ent ao toda fun c ao contnua f: Z Xadmite levantamentof: Z X.92 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTALProva : Se Z e simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos, sempre temosque:f_1_Z, z0__= f_{e}_ p_1_X, x0__.Exemplo 5.2.[1] Toda func ao f: R S1admite levantamentos.[2] Em geral, toda func ao f: RnTnadmite levantamentos.[3] Se n > 1, toda func ao f: SnPRnadmite levantamentos.Proposi c ao 5.1. Sejam_X,p, X_um recobrimento, , : I X caminhos tais que (0) =(0)=x0e(1)=(1)=x1e ,: I Xlevantamentos dee,respectivamente,de ponto inicial x0 Xtal que p( x0)=x0. Ent ao, (1)= (1) se, e somente se [ 1]p_1_X, x0__.Prova: Seja[ 1] p_1_X, x__. Denotemospor olevantamentodocaminho1, a partir do ponto x0; logo, e um caminho fechado. Os caminhos ,: I Xs ao denidos por: (t) = (t/2) e (t) = (1 t/2). (0)= (0)= x0= (1)= (0) e (1)= (1/2)= (1). Note que e s ao levanta-mentos de e , respectivamente:(p )(t) = (p )(t/2)= ( 1)(t/2)= (2 (t/2))= (t).Analogamente,(p )(t) = (p )(1 t/2)= ( 1)(1 t/2)= 1(2 (1 t/2) 1)= 1(1 t)= (t).Em particular, nas hip oteses da proposic ao, temos o seguinte corol ario:Corol ario5.2. Dado umcaminho fechado emx0,seulevantamento, comincio em xp1(x0) e fechado se, e somente se [] p_1_X, x__.Basta considerar como um caminho constante em x0, na proposic ao anterior.5.2. GRUPO FUNDAMENTAL EG-ESPAC OS 935.2 Grupo Fundamental eG-espa cosNeste par agrafo discutiremos a seguinte quest ao:Dado X umG-espaco, que relac ao existe entre o grupo fundamental de X_Ge o grupoG?Observa c oes 5.1.1. Lembremos que S1 R_Z; logo:1_S1, z0_= 1_R_Z, w0_ Z.2. O toro T2= R2_Z2; logo:1_T2, y0_= 1_R2_Z2, w0_ Z2.3. Ser a possvel armar que, em geral:1_X_G, y0_ G?Se a reposta for armativa, por exemplo, teramos que:1_L(p, q1, . . . , qn), y0_ Zp.Se X e um G-espaco, tal que G age de forma totalmente descontnua sobre X, ent ao: : X X_G e um recobrimento.Por outro lado, se [] 1_X_G, y0_, sabemos que existe um unicolevantamento:X

I

e{{{{{{{{{X_Gtal que (0) = x0. Como (1) Gx0, (Gx e a orbita de x), ent ao existe um unico g Gtal que (1) = g x0. Denamos a seguinte aplicac ao: : 1_X_G, y0_ G[] g. e um homomorsmo de grupos.Sejam [],[] 1_X_G, y0_tal que y0 = (x0); isto e, y0 Gx0.94 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTALConsideremos e levantamentosdee. Noteque n ao edenido, poisg x0= x0; por outro lado: (0) = x0, (1) = g x0,(0) = x0,(1) = g x0.Seja g: X Xo homeomorsmo denido por g(x) = g x e denamos:g : I X.Note que:_g _(0) = g x0,_g _(1) = g (g x0).g e um levantamento de . De fato, _g _= _g_= __= .Consideremos o caminho _g _; logo: _g _(0) = (0) = x0, _g _(1) =_g _(1) = g (g x0).Ent ao:_[] []_= _[ ]_= _g _(1) = gg= _[]__[]_.Lema 5.1. ker() = _1_X, x0__, onde e o homomorsmo induzido pela proje c ao: : X X_Ge ker() e o n ucleo de .Prova : []ker(), se, e somente se ([])=e se, e somente se (1)=x0, onde eo unico levantamento de tal que (0)=x0. Logo, se, e somente se []1_X, x0_e= ; ent ao:[] = [ ] = _[]_ _1_X, x0_.Utilizando o primeiro teorema do isomorsmo de grupos, temos:1_X_G, y0__ker() = 1_X_G, y0___1_X, x0__Im__.Teorema 5.5. Com as nota c oes e as hip oteses do lema anterior, temos:1_X_G, y0___1_X, x0__G.5.2. GRUPO FUNDAMENTAL EG-ESPAC OS 95Prova : e sobrejetiva.Veja o captulo do grupo fundamental de S1Corol ario 5.3. Se X e simplesmente conexo, ent ao:1_X_G, y0_G.Prova : Exerccio.(Veja o caso X= S1).Exemplo 5.3.[1]Como antes, consideremos S2n+1como ZP-espaco; ent ao:1_L(p, q1, . . . , qn), y0_= 1_S2n+1_Zp, y0_ Zp;pois S2n+1 e simplesmente conexa, (n 1).[2]Sabemosqueoespacoprojetivoreal PRn, (n>1)podeserobtidoapartirdeSncomo Z2 -espaco. Logo:1_PRn, y0_= 1_Sn_Z2, y0_ Z2.[3] Sabemos que a faixa de M oebius M e homeomorfa a X = R(1, 1) como Z-espaco.Logo:1_M, w0_= 1_X_Z, y0_ Z.Assim, obtemos o mesmo resultado obtido nos captulos anteriores.[4] Seja G o grupo gerado pelos homeomorsmos a, b : R2R2denidos por:a(x, y) = (x, y + 1)eb(x, y) = (x + 1, y).SabemosqueK=R2_G eagarrafadeKlein. LembremosqueGn ao eisomorfoaZ Z, pois satisfaz` a relac ao b a b = a. Logo:1_K, k0_= 1_R2_G, k0_ G.[5] Seja: I Snum caminho tal que (0)=(1) e : SnPRna projec aocan onica.Ent ao 1_PRn, [(0)]_ e gerado por [p ].De fato, considere o seguinte diagrama comutativo:Snp

Ip

{{{{{{{{PRnPor outro lado sabemos que: : 1_PRn, [(0)]_Z2 edenidapor([p ]]) =(1); como(0) =(1)e eumisomorsmodegrupos,ent ao ([p ]]) e n ao trivial, logo gera 1_PRn, [(0)]_.96 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL5.3 Transforma c oes de RecobrimentosSejam_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_recobrimentos sobre X.Deni c ao 5.1. A fun c ao h : X1 X2 e dita um homomorsmo, se:1. h e contnua.2. O seguinte diagrama comuta:

X2p2

X1 p1

h

Xisto e, p2 h = p1.Note que p2 h = p1 implica em que h : p11(x) p12(x) seja uma bijec ao.Proposi c ao 5.2. Sejam_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_recobrimentos tais que X1 e X2 s ao conexose localmente conexos por caminhos. Dados x1 X1, x2 X2e x0Xarbitr arios, tais quep1( x1)=p2( x2)=x0e sep1_1_

X1, x1__p2_1_

X2, x2__,ent aoexisteh: X1 X2contnua tal que h( x1) = x2 e o seguinte diagrama comuta:

X2p2

X1 p1

h

XIsto e, p2 h = p1 e h e um homomorsmo de recobrimento.Prova : Utilizaremos o teorema 5.4. O recobrimento_

X1, p1, X_possui a propriedadedos levantamentos.Denotemos por p1 o unico levantamento de p1:

X2p2

X1 p1

e p1

Xtal que p2 p1= p1. Denamos h = p1.5.3. TRANSFORMACOES DE RECOBRIMENTOS 97Exemplo 5.4.[1]Sejamp1: S1S1ep2: S1S1denidasporp1(z) =z6nep2(z) =z2n,respectivamente.Como p1_1_S1, z0__ 6 Z e p2_1_S1, z0__ 2 Z, temos:p1_1_S1, z0__ 6 Z p2_1_S1, z0__ 2 Z.Pelaproposic aoanteriorseguequeexistehhomomorsmoderecobrimentos, ondetemos o seguinte diagrama comutativo:S1p2

S1p1

h}}}}}}}}S1Note que h : S1 S1 e tal que h(z) = z3.Em geral, sejam:pm,pn: S1 S1,onde pm(z) = zme pn(z) = zn; n,m Z.A exist encia do levantamento e equivalente aquepm_1_S1, z0__ mZ pn_1_S1, z0__ nZ,o qual e equivalente a que n divide m, isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:S1pn

S1pm

h}}}}}}}}S1onde h(z) = zm/n.[2] Sejam p1: R2T2e p2: S1R T2tais quep1(s, t) = (exp(s), exp(t)) e p2(z, t) = (z, exp(t)),respectivamente.Como p1_1_R2, t0__ {0} {0} e p2_1_S1R, (z0, t0)__ Z {0}, temos:p1_1_R2, t0__ {0} {0} p2_1_S1R, (z0, t0)__ Z {0}.Pelaproposic aoanteriortemosqueexistehhomomorsmoderecobrimentos, ondetemos o seguinte diagrama comutativo:S1Rp2

R2p1

hvvvvvvvvvT2Note que h : R2 S1R e tal que h(s, t) = (exp(s), t).98 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTALProposi c ao 5.3. Sejam_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_recobrimentos e h: X1 X2um homo-morsmo; ent ao_

X1, h,

X2_ e um recobrimento.Prova: Notequetodox Xpossui umavizinhancaconexaporcaminhosque eumavizinhancadistinguidaparacadarecobrimento. Defato, escolhemosU1eU2vizinhancas distinguidas de x de cada recobrimento; ent ao consideramos U= U1U2.Provaremos que h e sobrejetiva. Isto e, provaremos que para todo y X2, existe x X1tal que h( x)= y. Fixemos x1 X1e seja x2=h( x1), x0=p1( x1)=p2( x2); denotemospor um caminho em X2 tal que (0) = x2 e (1) = y. Agora consideramos = p2 umcaminhoemX; ent aoexiste, um unicolevantamentotalque(0) = x1equesatisfaz a p1 =. Seja x=(1). Logo,os caminhos h e tem o mesmo pontoinicial ep2 (h )=p2 ;pela unicidade dolevantamentotemosh =,logoh( x) = y.Deni c ao 5.2. Dados os recobrimentos_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_, a fun c aoh : X1 X2 e um isomorsmo de recobrimento, se:1. h e um homeomorsmo.2. O seguinte diagrama comuta:

X2p2

X1 p1

h

Xisto e, p2 h = p1.Observa c oes 5.2.1. Se existe isomosmo entre_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_, dizemos que os recobrimentoss ao isomorfos.2. Os isomorsmos de recobrimentos tamb em s ao chamados transformac oes de reco-brimentos.Proposi c ao5.4. Sejam_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_recobrimentostaisque X1e X2s aoco-nexoselocalmenteconexosporcaminhos. Dados x1 X1, x2 X2ex0Xtaisque5.3. TRANSFORMACOES DE RECOBRIMENTOS 99p1( x1)=p2( x2)=x0e se p1_1_

X1, x1__=p2_1_

X2, x2__, ent ao existe h: X1 X2homeomorsmo tal que h( x1) = x2 e o seguinte diagrama comuta:

X2p2

X1 p1

h

Xisto e, p2 h = p1 e h e um isomorsmo de recobrimento.Prova: Novamenteutilizaremosoteorema5.4. Ambos osrecobrimentospossuemapropriedade dos levantamentos.Denotemos por p1 e p2 os unicos levantamentos de p1e p2, tais que os seguintes diagramas comutam:

X2p2

X1 p1

e p1

X

X1p1

X2 p2

e p2

Xisto e, p2 p1= p1 e p1 p2= p2. Denotemos por:f= p2 p1: X1 X1;logo,f( x1)=( p2 p1)( x1)= p2( x2)= x1. Ent ao,f =idfX1e,consequentemente, p1 einjetiva e p2 sobrejetiva.Analogamente, denimos:g= p1 p2: X2 X2;temosqueg =idfX2e, consequentemente, p2 einjetivae p1sobrejetiva. Denimosh = p1.Em particular, temos o seguinte corol ario:Corol ario 5.4. Sejam_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_recobrimentos tais que X1e X2s ao simples-mente conexos e localmente conexos por caminhos.Ent ao, existe um homeomorsmo, tal que oseguinte diagram comuta:

X2p2

X1 p1

h

XO seguinte corol ario e uma recproca da proposic ao anterior.100 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTALCorol ario 5.5. Sejam_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_recobrimentos tais que X1e X2s ao conexoselocalmente conexosporcaminhos. Dados x1 X1, x2 X2ex0Xtaisquep1( x1) ==p2( x2)=x0,se existe h: X1 X2homeomorsmo talquep2 h=p1eh( x1)= x2,ent ao:p1_1_

X1, x1__= p2_1_

X2, x2__O seguinte teorema determina completamente os possves recobrimentos de um espa-co, salvo isomorsmos, pela classe de conjugac ao de p_1_X, x__.Teorema5.6. Osrecobrimentos_

X1, p1, X_e_

X2, p2, X_s aoisomorfosse, esomenteseparatodos x1 X1, x2 X2ex0Xtaisquep1( x1) =p2( x2) =x0, ossubgruposp1_1_

X1, x1__e p2_1_

X2, x2__est ao na mesma classe de conjuga c ao em 1_X, x0_.Prova A prova segue do corol ario anterior e do teorema 5.4.Observa c oes 5.3.1. Se X= X1= X2,os isomorsmoss ao chamados automorsmosdo recobrimento_X,p, X_.2. N ao e difcil provar,que os automorsmosde_X,p, X_formam um grupo com acomposta de func oes. Denotemos este grupo por:Aut_X,p, X_= {h : X X / h isomorsmo tal que p h = p}.3. Cada h Aut_X,p, X_dene uma permutac ao em cada bra p1(x).4. Note que X e um Aut_X,p, X_-espaco com a ac ao: : Aut_X,p, X_X X(h, x) h x = h( x)Dos teoremas anteriores, segue imediatamente:Corol ario 5.6. Sejam_X,p, X_e x X. Um automorsmo h e completamente determinadopelo valor h( x). Isto e, se h1,h2 Aut_X,p, X_com h1( x) = h2( x), ent ao h1= h2.Notequesex0Xe x0p1(x0), ent aoh( x0)p1(x0). Utilizandoestecorol ariopodemos construir automorsmos, pois, os automorsmos s ao completamente deter-minados por seus possveisvaloresna bra. Sejam x0Xe x0p1(x0). Podemosconstruir os automorsmos associando a h( x0) os possveis valores em p1(x0).5.3. TRANSFORMACOES DE RECOBRIMENTOS 101Exemplo 5.5.[1] Seja_R, exp, S1_; ent ao para cada n Z, temos:Tn: R Rx x + n.As translac oes Tns aoautomorsmostais que Tn(0)=n,para todonZ. Poroutroladosabemosqueexp1(1) Z. Logo, estess aotodosospossveisautomorsmos;ent ao:Aut_R, exp, S1_= {Tn/ Tn(x) = x + n,n Z,x R}.[2] Seja_R2, p, T2_; ent ao, para cada (n, m) Z Z, temos:Tn,m : R2R2(x, y) (x + n, y + m).As translac oes Tn,m s ao automorsmos tais que Tn,m(0, 0) =(n, m), para todo (n, m) Z Z. Por outro lado sabemos que p1(1) Z Z. Logo, estes s ao todos os possveisautomorsmos; ent ao:Aut_R2, p, T2_= {Tn,m/ Tn,m(x, y) = (x + n, y + m),(n, m) Z2,(x, y) R2}.[3] Em geral, seja_Rn, p, Tn_; ent ao, para cada v Zn, temos:Tv: RnRnx x + v.As translac oes Tvs ao automorsmos tais que Tv(0, 0) = v, para todo v Zn.Por outroladosabemosquep1(1) Zn. Logo, estess aotodosospossveisautomorsmos;ent ao:Aut_Rn, p, Tn_= {Tv / Tv(x) = x + v,v Zn,x Rn}.[4] Seja_PRn, , Sn_. Como sabemos 1(1) Z2. Logo, estes s ao todos os possveisautomorsmos; ent ao:Aut_PRn, , Sn_= {id,a},onde a e func ao antpoda.[5] Sejam_X, , M_, onde M e a faixa de M oebius e X= R (1, 1); ent ao para cadan Z, temos:Tn: R (1, 1) R (1, 1)(x, y) (x + n, (1)ny).Tns aoautomorsmostaisqueTn(0, 0) =(n, 0), paratodon Z. Poroutroladosabemos que 1(1) Z. Logo, estes s ao todos os possveis automorsmos; ent ao:Aut_X, , M_= {Tn/ Tn(x, y) = (x + n, (1)ny),n Z,(x, y) X}.102 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTALTeorema 5.7. Se X e conexo e localmente conexo por caminhos, ent ao Aut_X, p, X_atua deforma totalmente descontnua sobre X. Em particular: : X X_Aut_X, p, X_ e um recobrimento.Prova : Sejam x Xe Uuma vizinhanca distinguida de p( x) = x; ent ao:p1_U_=_jJVj,onde Vjs ao disjuntas aos pares e cada Vj e homeomorfa a U.Logo, existe um k Jtalque x Vk. Seja h Aut_X, p, X_:i) Se h( x) = x, ent ao sabemos que h = ideX. Veja o captulo anterior.ii) Se h = ideX, como p_h( x)_= p( x) segue que h( x) Vs, para algum s J.iii)SeVk=Vs, ent aoh( x) = x. Logo, seh=ideX, ent ao xVkeh( x) VseVkVs=. Por outro lado, U e conexo por caminhos pois Xe Xs ao localmente conexosporcaminhoseosVjtamb ems aoconexosporcaminhos. Poroutrolado, noteque(p h)_Vk_= Ue:h_Vk__jJVj;como h( x) Vs, para algum x Vk, temos que h_Vk_ Vs; logo Vk h_Vk_= ; a ac ao e totalmente descontnua.Teorema 5.8.Se X e conexo e localmente conexo por caminhos e p_1_X, x0__ e um subgruponormal de 1_X, x0_, ent ao:X= X_Aut_X, p, X_,onde= denota homeomorsmo.Prova : Se p_1_X, x0__ e um subgrupo normal de 1_X, x0_, sabemos que:p_1_X, x0__= p_1_X, x1__, para todox1 p1(x0).Logo, existeh Aut_X, p, X_tal queh( x0) = x1. Reciprocamente, seh( x0) = x1para algum hAut_X, p, X_, ent ao p( x0)=p( x1). Isto e, o grupo Aut_X, p, X_iden-ticacadaelementode Xdamesmaformaqueosidenticaaaplicac aoderecobri-mentop. Logo, existeumabijec aoentreXe X_Aut_X, p, X_. Poroutrolado, XeX_Aut_X, p, X_tematopologiaquocientedeterminadaporpe, respectivamente.Logo:X= X_Aut_X,p, X_.5.3. TRANSFORMACOES DE RECOBRIMENTOS 103Corol ario 5.7. Seja_X,p, X_um recobrimento tal que X e conexo e localmente conexo porcaminhos. Se p_1_X, x0__ e um subgrupo normal de 1_X, x0_, onde p( x0) = x0, ent ao1_X, x0__p_1_X, x0__ Aut_X, p, X_.Em particular, se X e simplesmente conexo, ent ao:1_X, x0_ Aut_X, p, X_.Exemplo 5.6.[1] Seja_Rn, p, Tn_. Como Rn e simplesmente conexo, temos que:Zn= 1_Tn, x0_= Aut_Rn, p, Tn_.Por outro lado, sabemos que:Aut_Rn, p, Tn_= {Tv(x) = x + v / v Zn,x R}.Logo, pelo teorema 5.8, obtemos novamente que:Rn_Zn= Tn.[2] Seja_PRn, , Sn_. Como Sn e simplesmente conexa (n > 1), temos que:Z2= 1_PRn, x0_= Aut_PRn, , Sn_.Por outro lado, sabemos que:Aut_PRn, , Sn_= {id,a},onde a e a func ao antpoda. Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que:Sn_Z2= PRn.[3] Seja_S1, p, S1_tal que p(z) = zn, (n N); ent ao como 1_S1, x0_ Z, temos quep_1_S1, x0__ nZ e normal emZ e:Aut_S1, p, S1_= 1_X, x0__p_1_X, x0__ Z_nZ.Isto e, Aut_S1, p, S1_ e um grupo nito de ordem n. Pelo teorema 5.8, obtemos nova-mente que:S1_Z_nZ= S1.104 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL[4] Seja_X, , M_, onde M e a faixa de M oebius e X = R (1, 1).Como X e simples-mente conexo, temos que:Z= 1_M, m0_= Aut_X, , M_.Por outro lado, sabemos que:Aut_X, , M_= {Tn/ Tn(x, y) = (x + n, (1)ny),n Z,x R}.Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que:X_Z= M.[5]Seja_R2, , K_, ondeK eagarrafadeKlein. Como R2 esimplesmenteconexo,temos que:Aut_R2, , K_ 1_K, x0_ G,onde G e o grupo gerado pelos homeomorsmos a, b : R2R2denidos por:a(x, y) = (x, y + 1) e b(x, y) = (x + 1, y),com a relac ao b a b = a. Logo, os automorsmos s ao:Aut_R2, , K_= {Tn,m/ Tn,m(x, y) = ((1)nx + m, y + n),n,m Z,(x, y) R2}.Note que:Tn,m(0, 0) = (m, n)T1,0(x, y) = a(x, y)T0,1(x, y) = b(x, y).Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que:R2_G = K.[6] Seja_L(p, q), , S2n+1_. Como S2n+1 e simplesmente conexo, ent ao:Aut_L(p, q), , S2n+1_ 1_L(p, q), x0_ Zp.Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que:S2n+1_Zp= L(p, q).5.3. TRANSFORMACOES DE RECOBRIMENTOS 105Observa c oes 5.4.1. Sabemos que o teorema 5.6 determina completamente os possves recobrimentos deum espaco, salvo isomorsmo, pela classe de conjugac ao dos subgrupos p_1_X, x__.A recproca ser a verdadeira?Isto e, dada uma classe de conjugac ao de subgrupos de1_X, x_existe um recobrimento_X,p, X_tal que p_1_X, x__pertence a esta classede conjugac ao?Em geral, a resposta a esta quest ao e negativa.2. Note que sempre temos o recobrimento_X, id, X_correspondente` a classe de conju-gac ao do subgrupo 1_X, x_.Deni c ao5.3. O recobrimento_X,p, X_ edito universal deX,se X e conexo,localmenteconexo por caminhos e simplesmente conexo.Exemplo 5.7.[1]_R, exp, S1_ e o recobrimento universal de S1.[2] Analogamente,_R2, (exp, exp), T2_ e o recobrimento universal de T2.[3] Em geral,_Rn, (exp, . . . , exp), Tn_ e o recobrimento universal de Tn.[4]_S1R, (id, exp), T2_n ao e um recobrimento universal de T2.[5]_X, , M_, onde M e a faixa de M oebius e X = R(1, 1) e o recobrimento universalde M.[6]_R2, , K_, onde K e a garrafa de Klein, e o recobrimento universal de K.O recobrimento universal e associado ao subgrupo {e} 1_X, x_.On umerodefolhasdorecobrimentouniversal e aordemdogrupofundamentaldabase. Por exemplo,_R, exp, S1_tem innitas folhas e_Sn, , PRn_, (n > 1) tem 2 folhas.Proposi c ao 5.5. Seja_X,p, X_recobrimento universal de X. Para todo_

X1, p1, X_tal que

X1 e conexo, existe h : X X1 homomorsmo tal que o seguinte diagrama e comutativo:

X1p1

X p

h

Xisto e, p1 h = p.Prova : Para todo x Xe x1 X1 tais que p( x) = p1( x1) temos:{0} p_1_X, x__ p1_1_

X1, x1__.106 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTALPela proposic ao 5.3 e a proposic ao anterior, temos que:Dado_X,p, X_orecobrimentouniversaldeX, paratodorecobrimento_

X1, p1, X_,existe homomorsmo h: X X1tal que_X, h,

X1_ e um recobrimento de X1. Istojustica o nome de recobrimento universal.

X1p1

X p

h

XSegue diretamente do corol ario 5.5, que dois recobrimentos universais de um mesmoespaco s ao isomorfos.Neste sentido, o recobrimento universal, se existe, e unico.E possvel provar a exist encia do recobrimento universal de um espaco com hip otesesbastante gerais.5.4 Aplica c oesUmproblemabastantecomplicado edeterminartodos(amenosdeisomorsmo)osrecobrimentosdeumespacodado. Nestepar agrafo, estudaremosalgunsexemploscomahip otesedequeoespacoderecobrimento econexo. Utilizaremososeguintecorol ario dos par agrafos anteriores.Teorema 5.9.SejaXconexoelocalmenteconexoporcaminhospossuindorecobrimentouniversal_X,p, X_. Dado G1_X, x0_um subgrupo, existem um recobrimento_XG, p, X_ey0 p1(x0), tais que:p_1_XG, y0__= G.Prova : Sabemos que 1_X, x0_e Aut_X, p, X_s ao isomorfos. Seja G1_X, x0_umsubgrupoeconsideremosGAut_X, p, X_osubgrupocorrespondente, dadopeloisomorsmo; denotemos por:XG= X_G.A relac ao de equival encia est a denida por:x y se, e somente se, existe g Gtal queg(x) = y.Demos a XG a topologia quociente determinada pela projec ao can onica: : X XG.5.4. APLICACOES 107Denamos a seguinte aplicac ao:pG: XG XG x p( x).Isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:XGpG

X p

~~~~~~~~XDefato, todoelementodaorbitade x edaformah( x), ondehG; comoG eumsubgrupo de automorsmos, temos que:(p h)( x) = p( x),ent aopG =p. Logo, pG ebemdenidaesobrejetiva. Poroutrolado, Gagedeformatotalmentedescontnua; peloquefoivistonospar agrafosanteriores, pG eumrecobrimento. EmparticularpG eumhomeomorsmolocal; comoX elocalmanteconexo, ent ao XG e localmente conexo. X e simplesmente conexo, XG e conexo; como e um homomorsmo de recobrimento, em particular, X e o recobrimento universalde XG, logo:1_XG, y0_ G.Note que para vericar que p_1_XG, y0__= G, basta verica que o seguinte diagramacomuta:1_XG, y0_GpG__i1_X, x0_HondeH=Aut_X,p, X_, es aoisomorsmosei eainclus ao. Defato, comopG= 1 i = 1 , ent ao:pG_1_XG, y0__= 1__1_XG, y0___= 1_G) = G.Consideremos o diagrama comutativo:XGpG

X p

~~~~~~~~X108 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTALtal que p( x0) = x0, ( x0) = y0 e pG(y0) = x0. Seja [] 1_XG, y0_; denimos:: I X,talque=pG . Noteque[] 1_X, x0_, pois(0) =pG((0))=pG(y0) =x0e(1)=pG((1))=pG(y0)=x0. Considerem