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Introdução à Trigonometria
Circunferência e Relações Trigonométricas
O xA’ A
y
B
B’
1
1
P
+
-
CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICATRIGONOMÉTRICA
CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICATRIGONOMÉTRICA
• Sistema de coordenas ortogonais;
• Circunferência de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1;
• Arcos de origem ponto A (1,0);
• Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário, negativas sentido horário;
• Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário
SENOSENOSENOSENO
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 -1 sen 1
• sinal do seno:
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 -1 sen 1
• sinal do seno:
O xA’ A
y
B
B’
1
-1
SENOSENOSENOSENO
COSSENOCOSSENOCOSSENOCOSSENO
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 -1 cos 1
• sinal do cosseno:
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 -1 cos 1
• sinal do cosseno:
O xA’ A
y
B
B’
-1 1
COSSENOCOSSENOCOSSENOCOSSENO
O xA’ A
y
B
B’
P
M
N
sen
cos
SENO E COSSENOSENO E COSSENOSENO E COSSENOSENO E COSSENO
Fatec- Se x é um arco do 3º quadrante e cos x = -4/5, então sen x é igual a:a)3/5
b)-3/5
c)-9/25
d)-16/9
O xA’ A
y
B
B’
P
t
t // yt // yM
tg
TANGENTETANGENTETANGENTETANGENTE
O xA’ A
y
B
B’
• marcada numa reta paralela ao eixo y
• varia de – até - tg
• sinal da tangente:
• marcada numa reta paralela ao eixo y
• varia de – até - tg
• sinal da tangente:
TANGENTETANGENTETANGENTETANGENTE
x
y
A
t
cos
sen tg
SENO, COSSENO E TANGENTESENO, COSSENO E TANGENTESENO, COSSENO E TANGENTESENO, COSSENO E TANGENTE
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
ARCOS NOTÁVEISARCOS NOTÁVEISARCOS NOTÁVEISARCOS NOTÁVEIS
Ângulos complementares sen x= cos(90-x)
SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTEQUADRANTE
SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTEQUADRANTE
UFJF- O valor de sen² 10 + sen²20+...+sen²70+sen²80+ sen² 90 é:
a)-1
b)1
c)2
d)4
e)5
1/2
2
3
30o150o
210o 330o
SIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOS
45o135o
225o315o
2
2
2
2
SIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOS
60o120o
240o 300o
1/2
2
3
SIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOS
A
180o -
180o + 360o -
GENERALIZANDO:GENERALIZANDO:GENERALIZANDO:GENERALIZANDO:
De um modo geral:
UFJF- Dois ângulos distintos, menores que 360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a:
a) 45°b) 90°c) 180°d) 270°e) 360°
1º. Caso: ângulo do 2º. quadrante
• cos ( - x) = - cos x
• tg ( - x) = - tg x
a = ( - x)a = ( - x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2• sen ( - x) = sen x
REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE
• sen ( + x) = - sen x
a = ( + x)a = ( + x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2• cos ( + x) = - cos x
• tg ( + x) = tg x
2º. Caso: ângulo do 3º. quadrante
REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE
• sen (2 - x) = - sen x
a = (2 - x)a = (2 - x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2
• cos (2 - x) = cos x
• tg (2 - x) = - tg x
3º. Caso: ângulo do 4º. quadrante
REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE
I. sen2 x + cos2x = 1
III. cotg x = xsen
xcos
x tg
1
II. tg x = xcos
xsen
RELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAIS
IV. sec x = xcos
1
IV. sec x = xcos
1
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
SOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
e)b a.tg tg1
b tga tg
-
+b)tg(a =+
f) b)-tg(ab a.tg tg1
b tg-a tg
+=
SOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
a) cos(2a) = cos2a – sen2a
b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
c) tg(2a) = xtg21
x 2.tg2
-
ARCOS DUPLOSARCOS DUPLOSARCOS DUPLOSARCOS DUPLOS
1-) FUVEST- Calcule o valor de
(tg10° + cotg10°)sen20°
a)1
b)2
c)3
d)4
UFJF- Sendo x+y=60º, o valor de (cosx+ cosy)² + (senx + seny)²-2 é:
a)-2
b)-1/2
c)0
d)1
e)2
CESGRANRIO- Se senx – cosx = ½ o valor de senx cosx é igual a:
a)-3/16
b)-3/8
c)3/8
d)¾
e)3/2
2
cosx1
2
xcos a)
+±=
2
cosx-1
2
xsen b) ±=
cosx1
cosx-1
2
xtg c)
+±=
ARCOS METADEARCOS METADEARCOS METADEARCOS METADE
2
qp.cos
2
qp2sensenqsenp a)
-+=+
2
qp.cos
2
q-p2sensenq-senp b)
+=
2
qp.cos
2
qp2coscosqcosp c)
-+=+
2
qp.sen
2
qp2sencosqcosp d)
-+-=-
TRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTOTRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTOTRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTOTRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTO
Estudo da função senoEstudo da função seno
36
f(x) = sen x
x sen x
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
2
0
0
0
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
1
1
37
Estudo da função senoEstudo da função seno
Observações:Observações:
1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de x existe um e apenas um valor para sen x. 2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [1,1].
3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [1,1] , isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.
4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). Por exemplo,
5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja xD(f) = temos sen x = sen (x). Por exemplo,
5 3... 1.
2 2 2
sen sen sen
1 1.
6 2 6 2
sen sen
38
Estudo da função senoEstudo da função seno
Periodicidade:Periodicidade:O período da função seno é de 2 e indicamos assim: p = 2
39
Estudo da função senoEstudo da função seno
Sinal:Sinal:
A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes.
40
Estudo da função cossenoEstudo da função cosseno
f(x) = cos x
x cos x
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
2
0
1
0
3 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1
0
41
Estudo da função cossenoEstudo da função cosseno
Observações:Observações:
1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada /2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno. 2ª) O domínio é o mesmo: D =
3ª) A imagem é a mesma: Im = [1,1].
4ª) O período é o mesmo: p = 2.
5ª) A função cosseno não é nem injetiva.
6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (x).
42
Estudo da função cossenoEstudo da função cosseno
Sinal:Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 4º quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes.
x cos x
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
243
0
0
0
3 / 3
3 / 3
3 / 3
3 / 3
1
1
1
1
3
3
3
3
Estudo da função tangenteEstudo da função tangente
f(x) = tg x
44
Observações:Observações:
Estudo da função tangenteEstudo da função tangente
1ª) Domínio: 2ª) Imagem: Im = .
3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.
4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x = tg (x).
5ª) Período: p = .
| , .2
D = k kx x
45
Estudo da função tangenteEstudo da função tangente
Sinal:Sinal:
A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.
46
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
x sen x y = 2 + sen x
0
2
3
2
2
0
1
0
1
0
2 0 2
2 1 3
2 0 2
2 1 1
2 0 2
( ) 2 .f x sen x, com x
47
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
( ) .f x cos 2x, com x x 2x y = cos 2x
0
2
3
2
2
1
0
1
0
1
0
4
2
3
4
FUVEST- A figura a seguir mostra parte do
gráfico da função:
a)Senx
b)2senx/2
c)2senx
d)2sen2x
e)sen2x
Lei dos senos
A B
C
a
c
b
senC
c
senB
b
senA
a
Lei dos Cossenos
A B
C
a
c
b
Abccba cos2222
Baccab cos2222
Cabbac cos2222