Introdução ao escoamento compressível Matéria

Velocidade das ondas de pressão no interior de condutas

Variação de massa específica associada à variação de energia cinética

Revisões de Termodinâmica Equação de energia unidimensional para gases

em regime estacionário sem trocas de energia ao veio

Entalpia e temperatura de estagnação Exemplo Escoamento subsónico, crítico e supersónico.

Introdução ao escoamento compressível Matéria (cont.)

Velocidade do som Condições críticas Evoluções em função do número de Mach Equações para regime compressível

unidimensional Transferência de calor em condutas de secção

constante Exemplo.

Fluido já afectado pelo movimento do êmbolo

Fluido ainda não afectado pelo movimento do êmbolo

Velocidade das ondas de pressão (I)

pV ,0

Êmbolo desloca-se com velocidade dV durante o intervalo

de tempo dt

dppdV ,

Onda de pressão de velocidade c

cdt

Qual a velocidade do som (onda de pressão) c?

dVdt

Fluido não afectado pelo movimento do êmbolo

Velocidade das ondas de pressão (II)

,, pc

Onda de pressão de velocidade estacionária

Vdt

Num referencial fixo à frente de onda (para tornar o problema estacionário)

12

Balanço de massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2: dVcAdAc c

ddV

Balanço de quantidade de movimento ao VC:

sqmeqmxxVC

xxqqF

t

K

ddppdVc ,,

Fluido afectado pelo movimento do êmbolo

x

22

32

cd

dd

dp

Velocidade das ondas de pressão (III)

Vdt

12

Balanço de massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2: cd

dV

Balanço de quantidade de movimento ao VC: eqmsqmx xx

qqF

ddppdVc ,, ,, pc

AdpppA AdVcd 2 2dVA

ddVcAcdVdAdVAAdp 222 2

s

p

d

dpc

x

No caso dos líquidos, introduzindo o módulo de expansão volumétrica:

Velocidade das ondas de pressão (IV)

d

dp

dv

dpvEv

d

dpc

vE

c E v c

Líquidos kg/m3 Pa m/sÁgua 988 2,07E+09 1447Mercúrio 13550 2,62E+10 1391Glicerina 1258 4,35E+09 1860Benzina 895 1,03E+09 1073

Condições para pressão e temperatura normais

Caso de líquidos em tubagens elásticas:

Velocidade das ondas de pressão (V)

EE

ed

ccv

p

1

1

Condições para água a PTN e d/e=10

d – diâmetro do tubo

e – espessura do tubo

E – módulo de elasticidade do material do tubo

c – velocidade num tubo inelástico

E c p /cMaterial Pa

Aço 2,07E+11 0,95Ferro forjado 1,03E+11 0,91Betão 2,07E+10 0,71

Velocidade das ondas de pressão (VI)

kp

RTc

No caso de gases perfeitos, p=RT, em evoluções isentópricas (=cp/cv):

s

pc

RTpp

s

Para o ar ( =1,4; R =287 J/kg/K) em condições PTN: c = 343 m/s

Introdução ao escoamento compressível

Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia cinética:

2

2Vp

Equação de Bernoulli:

2V pelevados elevados

= (T,p)

significativos Efeitos de compressibilidade

Importância do termo

p

2

1

a a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos

fluidos de menor a)

Introdução ao escoamento compressível Aumento do número de variáveis (e equações):

Esc. incompressível Esc. compressível

V e p

Equação da continuidade

Equação de Bernoulli(ou de quantidade de movimento)

V, p, e T

Equação da continuidade

Equação de Energia

Equação da quantidade de movimento

Equação de estado (G.P.): RTp

Novos parâmetros: a – Velocidade do som

M – Número de Mach

(M = V/a)

Revisão de Termodinâmica

Algumas definições: Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de

duas delas (p.ex. pressão e temperatura). Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o

final. Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem

interferência do exterior. Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de

trocas de calor).

Leis da Termodinâmica: 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de

energia. 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais

1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas abertos/volumes de controlo) Equação de energia para escoamentos unidimensionais:

QWmgyV

hmgyV

hdV

ut veio

entk

ksaídai

iVC

222

222

Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial (gases), por unidade de massa:

qV

hV

h

1

2

2

2

22

2ª Lei da Termodinâmica

Num processo real a entropia s varia de modo a que;

T

dqds irrevrev dsdsds

s e q expressos por unidade de massaT

dq

Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta, excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em que s = cte – processo isentrópico.

Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0

Gases perfeitos

Equação de estado: comRTp MR R

R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1)

e ainda:

dTcdh

dTcdu

p

v

vp

vp

ccR

cc

Evoluções isentrópicas:1

1

2

1

1

2

1

2

p

p

T

T

varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da molécula do gás; vapor de água =1,33.

1

R

cp

Número de Mach, M

som do velocidade

fluido do velocidade

a

VM

M

p

V

M

p

V

2

22

Lp

LV

elálásti forçoinércia de forçoForça de inércia

Força elástica

3

32

Lp

LV

elálásti energiacinética energiaEnergia cinética

Energia elástica

aRTp

s

para um gás perfeito

2

2

0

Vhh

qhh 1020

Entalpia de estagnação adiabática:

Equação de energia: qV

hV

h

1

2

2

2

22

Num escoamento adiabático (q = 0): .2

2

0 cteV

hh

Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

Entalpia de estagnação adiabática

Temperatura de estagnação adiabática:

Temperatura de estagnação adiabática

pc

VTT

2

2

0

qhh 1020

.2

2

0 cteV

hh

Para um gás perfeito: dTcdh p

Num escoamento adiabático:

Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

Equação da energia:pc

qTT 1020

.2

2

0 ctec

VTT

p

p0=84 kPa

V

p1=70 kPa

T1=-50 C

Nota: os pontos 1 e 0 estão muito próximos e estariam à mesma pressão e temperatura se o ponto 0 não fosse de estagnação devido à presença do Pitot.

Exemplo

Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.

pc

qTT 1020Equação da energia:

.2

2

0 ctec

VTT

p

1 0

pc

VTT

2

21

10 11 2 TTcV op

Evolução isentrópica:

1

11

p

p

T

T oo

K 9,2340 TK 223502731 T m/s 1541 VResultados:

0q

?

Temperatura de estagnação em função do número de Mach - M Temperatura de estagnação, T0:

pc

VTT

2

2

0

Tc

VTT

p21

2

0

RT

VTT

2

0 2

11

2a

20 2

11 MTT

1

R

cp

Condições críticas (M=1)

Para M=1

2

110

TT

20 2

11 MTT

1

0 2

1

T

T

aRT

V1

2 0

T* é a temperatura crítica

V* é a temperatura crítica:

a* é a velocidade do som crítica

Equações a utilizar em escoamento compressível

Equação da energia:pc

qTT 1020

Equação da continuidade:

Equação de estado:

Equação do número de Mach:

pc

dqdT 0

.cteAV 0V

dV

A

dAd

RTp 0T

dTd

p

dp

a

VM 0

V

dV

a

da

M

dM

Equações a utilizar em escoamento compressível

AVdVd

dxVfdAAdpppdApA

2

2

Equação da quantidade de movimento:

12 xxx VVmF

02

2

d

dx

A

Mf

RT

VdV

p

dp

V V+dVA, p,

A+dA

p+dp

+d

(escoamento sem mudança de direcção)

RTp

1

p

pForça longitudinal exercida pela pressão na parede lateral

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

Equação da energia:pc

dqdT 0

dq

Vp,

V+dV p+dp+d

pc

VdVdTdT 0

Definição de temperatura de estagnação:

T+dTT0+dT0

M+dM

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante Equação da continuidade: 0

V

dV

A

dAd

Equação de estado: 0T

dTd

p

dp

Eq. número de Mach: 0V

dV

a

da

M

dM

02

2

d

dx

A

Mf

RT

VdV

p

dp Eq. da quant. movimento:(desprezando o atrito)

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante 6 incógnitas (dV, dp, dT, d, dM, dT0) e 6 equações

Solução: pc

dqM

V

dV

T

dT 20 1

Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)

(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)

ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)

(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)?

2

22es

esp

VVTTcq

q

M=0,3T=250 K

saída

121436 smkgA

m

ss RTV ssVA

m

sss RTp maxQ 1sM

Qual a equação que falta?

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)?

smRTMV eee 95

q

M=0,3T=250 K

saída

121436 smkgA

m

315 mkgV

Am

ee

PaTRp eee 1083628

eses VVA

mpp

22eesse VVp

sRT

2eesses VRTpp

sp

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

PaVp

p eees 507918

1

2

39,2 mkgRT

p

s

ss

smAm

Vs

s 495

M=0,3T=250 K

saída

121436 smkgA

m

sssss AV

mRTRTp

ss

RT

A

mp

KTs 610

KgKJVV

TTcq esesp 4,479

2

22

sss RTVM 1

2eesses VRTpp

sp

Introdução ao escoamento incompressível Bibliografia

Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta, E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª edição, Prentice Hall, 1999.

Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, McGraw-Hill, 1994.

Secções 10.1 e 10.2, L. A. Oliveira, A. G. Lopes, Mecânica dos Fluidos, 2ª edição, ETEP, 2007