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Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

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O livro mostra como, partindo dos conceitos da Física Clássica, se chega aos conceitos da Relatividade, da maneira mais elementar possível. A proposta é fazer uma perspectiva evolutiva e histórica dos conceitos físicos até atingir os conceitos relativísticos. Neste primeiro volume, abordaremos a Relatividade especial ou restrita. Em um segundo volume, que já estamos elaborando, a Relatividade geral...

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São Paulo 2012

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Copyright © 2012 by Editora Baraúna SE Ltda

CapaAline Benitez

Projeto Grá&coTatyana Araujo

Revisão Henrique de Souza

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTESINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

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Impresso no BrasilPrinted in Brazil

DIREITOS CEDIDOS PARA ESTA EDIÇÃO À EDITORA BARAÚNA www.editorabarauna.com.br

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“Eu ouço os mortos. Sou um repórter do Passado.”

Laurentino Gomes, autor de “1808” e “1822”

Maynard Keynes estudou os manuscritos secretos de Newton sobre alquimia e religião. Observou, por exemplo, que certos metais parecem ter vida e crescer como plantas. Buscava a Pedra Filosofal, não para &car rico, mas para descobrir os segredos de como Deus criou o Universo.Edmund Halley, astronomo e físico inglês (1656-1742), perguntou a Isaac Newton, físico, matemático e astrôno-mo inglês, qual a forma das órbitas dos planetas? Resposta: Elipse. Para prová-lo, Newton descreveria a gravidade na sua monumental obra: “Philosophiae Naturalis Principia Methematica”. (ver parágrafo 4.6, pag 31 e parágrafo 4.7, pag 34).

Einstein costumava dizer O sucesso vem de 1% de inspiração e 99% de transpiração.

Nós não temos Amigos. Nós não temos Inimigos. Nós temos Instrutores.

Ronnie Von

A descoberta quase acidental dos raios X por Röntgen em 05/11/1895, é considerada por alguns como o início da 2ª Revolução Cientí&ca (a 1ª começou com Copérnico e sua descoberta de que a Terra se move em torno do Sol e se consumou com o método cientí&co de Galileu). Sua descoberta1 signi&ca que a idade da física clássica (o mundo mecânico de Galileu e Newton) estava chegando ao &m. Paul Strathern.

“E pur si muove” (não obstante se move). Dizem que Galileu teria murmurado após ter abjurado que a Terra orbita em torno do Sol, conforme a Teoria de Copérnico, em vez da Teoria de Ptolomeu que a&rmava ser a Terra imóvel.

O importante é dar \ores em vida.

Robson Monteiro.

1 Embora o próprio Röntgen não o soubesse.

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Page 10: Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

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Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

O objetivo é mostrar como os conceitos e as teorias evoluíram na Física, partindo de forma

empírica (experimental) para depois realizar uma Síntese que posteriormente pode evoluir para pre-

visões de novos Conceitos.

A primeira Síntese, tomando as teorias de Copérnico, Kepler e Galileu, desenvolveu a Mecânica

Clássica com as leis devidas a Newton, incluindo a lei da Gravitação.

A segunda Síntese, tomando as experimentações e leis de Gauss, Coulomb, Ampère e Faraday,

desenvolveu as equações fundamentais de Maxwell (em forma diferencial e integral), prevendo a

existência das ondas eletromagnéticas (confirmada por Hertz) e considerando a luz como onda ele-

tromagnética.

A terceira Síntese, devida a Albert Einstein, tomando a Mecânica Clássica, as equações de Ma-

xwell e a experiência de Michelson-Morley, desenvolveu a teoria da relatividade (especial e geral),

proporcionando uma nova visão do Universo com o espaço curvo (tetradimensional), a curvatura

da luz (sob influência de um campo gravitacional), os buracos negros, o desvio das raias espectrais

e o desvio das órbitas planetárias (como a de Mercúrio), assim como o pontapé inicial da Mecânica

Quântica, vislumbrada pela primeira vez por Max Planck (quantização da energia), com a explicação

do efeito fotoelétrico e a conclusão da natureza dual da luz (ondulatória e corpuscular), seguindo os

passos de Niels Bohr (teoria das órbitas eletrônicas dos átomos).

Naturalmente citamos os mais conhecidos, mas não podemos esquecer a contribuição de mui-

tos outros.

1. 1 – Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Walter Del Picchia, da Escola Politécnica da USP, a colaboração e o incentivo de-

monstrados.

À minha esposa Dionizia, a paciência, a compreensão e o encorajamento para a execução deste

trabalho.

À Maria Amélia A. Amato Calvoso, o estafante trabalho de digitação e execução das figuras.

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Antonio Giuseppe Roth

1. 2 – Cinemática e dinâmica

Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.) descreveu que o corpo pesado cai mais rapidamente que o leve.

Galileu (considerado o fundador da Física Moderna, 1564 1642) determinou, experimental-

mente, que não era assim. Usando um relógio de água, examinou o movimento de corpos esféricos

percorrendo vagarosamente um plano inclinado e obteve que, não importando o peso, quando o

corpo está sujeito apenas à gravitação, a relação entre a velocidade e o tempo é sempre constante e

igual à aceleração: ���, e a distância percorrida será: . Daí se conclui que a aceleração

da gravidade será a mesma para qualquer peso, desprezando-se a resistência do ar. 1

No entanto, tudo o que dissemos até aqui ainda é Cinemática, ou a descrição do movimento

dos corpos. Não se levou em conta a relação entre a força (no caso o peso) que provoca o movimento

e a aceleração a que o corpo fica sujeito (que é o objetivo da Dinâmica). Veremos isso no cap. 4, Leis

de Newton. Para maiores detalhes a respeito da aceleração da gravidade, ver anexo A.2 – How Galileo

discovered the Gravity Acceleration.

Exemplo ilustrativo

Solta-se uma bola sobre um plano inclinado e esta se põe em movimento para baixo, necessitan-

do de � � � para percorrer a distância de 100 cm. Qual é a sua aceleração em ? Quantos cm

teria ela caído, verticalmente, no mesmo tempo?

Solução:

Distância percorrida:

0 � � � � � � � � � & � � � � � � ��Explicitando a aceleração:

1 Todos sabem que o primeiro homem a pisar na Lua foi o astronauta Neil Alden Armstrong, através da nave norte--americana Apollo 11, em 21-07-1969. Mas quem se lembra de que o astronauta da Apollo 15, David R. Scott, fez a seguinte experiência, transmitida ao vivo (live broadcast) pela televisão: deixou cair, de uma determinada altura, uma pena e um martelo, lado a lado, na superfície da Lua, onde não existe ar, corroborando o que Galileu dissera – Se uma pena e um pedaço de chumbo fossem deixados cair no vácuo, chegariam ao chão ao mesmo tempo, pois suas acelera-ções seriam iguais. O Coronel Scott a&rmou: isso prova que o Sr. Galileu estava certo.

Page 14: Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

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Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

Utilizando a mesma fórmula e considerando a aceleração � como a aceleração da gravidade: , obtemos: . Essa será a distância percorrida na vertical durante o

mesmo intervalo de tempo � � ��.

Qual será a inclinação do plano inclinado para obter a aceleração após

percorrer a distância ?

Por trigonometria, temos:

Pela tabela de funções trigonométricas:

Portanto, a inclinação é menor do que 1º.

1. 3 – Equações de transformação de Galileu

O referencial inercial � move-se

com velocidade � em relação ao re-

ferencial (sistema de referência) � ,

no sentido positivo do eixo horizontal �� comum aos dois. Um obser-

vador em � registra as coordenadas

espaço-tempo ���� ��� para um even-

to e outro observador, em � , registra

as coordenadas para

o mesmo evento

Referenciais que têm um eixo horizontal comum �� . O

referencial � se afasta de � com velocidade �As coordenadas � e � , perpendiculares ao movimento, não são afetadas, isto é, �� e �� .

No instante inicial,    , quando a origem dos dois sistemas coincide.

O tempo é considerado absoluto, portanto, comum aos dois sistemas.

Teremos então as equações de transformação de Galileu: ′ = −x x vt ¡¡Veremos posteriormente que essas equações somente são válidas para baixas velocidades, quan-

do � é muito menor que ¢ , � << £ ; c é a velocidade da luz no vácuo. Ver Relatividade do tempo pág.

84 e Relatividade do comprimento pág. 86.

Page 15: Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

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Antonio Giuseppe Roth

Na Mecânica Clássica, a interação das partículas materiais é feita pela energia potencial de inte-

ração, função das coordenadas das partículas; ver pág. 34.

Derivando as equações anteriores em relação a ou ¤ , dá na mesma, pois ¥¥ :¦¦¦ §§ ¨¨ ©© ªª

(1)Sendo: etc.

As equações em (1) fornecem a regra galileana para a comparação das velocidades de um corpo

medidas por dois observadores em movimento relativo de translação.

Page 16: Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

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Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

2. 1 – Sistema MKSC

Comprimento: metro

Massa: quilograma

Tempo: segundo

Carga elétrica: Coulomb

O metro foi definido originalmente como a décima milionésima parte da distância do Polo ao

Equador no meridiano de Paris. Posteriormente se verificou que diferia «¬ ­ ®¯¬ do valor pretendido

(barra do metro-padrão).

Então se adotaram como padrão 1.650.763,73 comprimentos de onda da luz emitida, no vá-

cuo, pelo isótopo do criptônio , excitado por carga elétrica, na radiação vermelho-alaranjada.

Teremos: comprimento de onda ° ± ² ³ ´ µ ± ¶ · · 1

Usa-se um interferômetro de Michelson (o mesmo usado na célebre experiência de Michelson-Morley).

Esquema:

Page 17: Introdução ao Estudo da Teoria da Relatividade I

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Antonio Giuseppe Roth

Exemplo ilustrativo

Contam-se 792 franjas quando se desloca o espelho ¸¹de 0,233mm

Qual o comprimento da luz utilizada?

2

Quando o espelho ¸¹é deslocado de uma distância º , a diferença do trajeto de luz varia de

e a figura de interferência sofre o deslocamento de uma franja.

A precisão alcançada com o metro-padrão é de cerca de uma parte em . Um erro que, se

ocorresse na ajustagem da bússola giroscópica, poderia ocasionar um desvio de , em um

foguete lançado para a Lua.

As ondas luminosas têm comprimento de aproximadamente . Daria uma precisão

de uma parte em .

Originalmente o quilograma foi definido como a massa de um bloco de platina mantido em

Sèvres, nas proximidades de Paris.

Para fins práticos, a massa de 1 kg (quilograma) é 1.000 vezes igual à massa de de água

destilada, à temperatura de , condição na qual a densidade da água é máxima.

Densidade: »¼, ou seja, massa por unidade de volume. Para fins práticos, um litro de água tem

a massa de logo:

Referências: Alonso-Finn, Halliday-Resnick, Enc. Britannica

Qualquer fenômeno periódico que se repete no tempo pode servir para a medição deste. Pode

ser um pêndulo oscilante, uma mola espiral ou um cristal de quartzo.

Desde os tempos primitivos, a duração do dia tem sido usada como padrão de tempo. O dia tem

24h de 60min cada, e cada min, 60 seg. Logo, .

2 Ver: Redes de Difração de Fraunhofer (1787-1826) ½¾¿ À ¾ ÁÁ A rede de difração é formada tomando-se

uma lâmina de vidro onde se risca, com diamante, um grande número de linhas retas igualmente intervaladas.No Interferômetro de Michelson, em lugar da lâmina de vidro com riscas, teremos a interferência devida aos trens

de ondas re\etidas em Âà e ¸¹

que interferem em Ä

e, conforme o deslocamento de ¸¹, podem ser reforça-

dos ou anulados, formando franjas de interferência, como listras de zebra.

Em nosso caso, ÅÆ Ç È, logo: É ÊËReferência: Sears, v3 (Ótica)