Introdução aos métodos numéricos - aula 01

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGDepartamento de Engenharia Civil

DEC 4060 INTRODUO AOS MTODOS NUMRICOS

AULA 01 INTRODUO DISCIPLINA

PROF. DR. CARLOS HUMBERTO MARTINS

2015


OBJETIVOS DA DISCIPLINAA disciplina objetiva o estudo de alguns conceitos comuns aos mtodos numricos empregados para fins de anlise de estruturas, tendo-se em vista que essencialmente todos objetivam a gerao de solues aproximadas dos problemas estruturais. Um segundo objetivo consiste em oferecer ao acadmico uma viso mais completa e integrada do conjunto de mtodos numricos para engenharia, facilitando a sua compreenso e contribuindo para o seu uso mais criterioso.


PROGRAMA DA DISCIPLINA1. Conceitos e princpios gerais dos mtodos numricos:

Modelos matemticos, Noes bsicas sobre erros, iterao, convergncia.

2. Equaes diferencias : Introduo, Classificao, Exemplos e Aplicaes. Introduo aos Mtodos das Diferenas Finitas

3. Noes de clculo variacional e Energia de Deformao4. Introduo aos Mtodos Variacionais: Mtodo de Rayleigh-

Ritz5. Introduo ao Mtodo dos Resduos Ponderados: Mtodo

de Galerkin6. Mtodos Numricos para resoluo de sistemas lineares7. Introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos


CRITRIO DE AVALIAO 2 PROVAS CONCEITO FINAL : MDIA ARITMTICANO MESTRADO OS CONCEITOS SO :

A = 9,0 a 10,0 VALE 3

B = 7,5 a 8,9 VALE 2

C = 6,0 a 7,4 VALE 1

R = Inferior 6,0 VALE 0


1. ASSAN, A.E. Mtodos Energticos e Anlise Estrutural. Campinas: Unicamp, 1996.

2. CANALE, R.P.; CHAPRA, S.C. Mtodos Numricos para Engenharia. So Paulo: MacGraw Hill- Artmed, 2008

3. BURDEN, R.L.; FAIRES, J.D. Anlise Numrica. So Paulo: Cengage Learning, 2008

4. SPERANDIO,D;MENDES,J.T.;SILVA,L.H.M. Clculo Numrico :Caractersticas Matemticas e Computacionais dos Mtodos Numricos, So Paulo : Pearson Prentice Hall, 2003.

5. SORIANO, H.L. Mtodo dos elementos finitos em Anlise Estrutural. So Paulo: EDUSP, 2003.

BIBLIOGRAFIA BSICA


INTRODUOAs fases na resoluo de problemas fsicos podem, de modo geral, ser assim representadas :

Problema Fsico

Modelagem Matemtica

Resoluo

Soluo A partir do problema fsico (real), com o emprego de leis da fsica, de relaes constitutivas do material, condies de contorno (vinculaes), chega-se a um modelo matemtico.


INTRODUO


INTRODUO Feita a modelagem matemtica, a fase seguinte consiste na resoluo do modelo matemtico. Mostrar se ele tem soluo ou no e se a soluo nica ou no integra a fase de resoluo. Resolver o modelo matemtico numericamente significa obter uma soluo, mesmo que aproximada, exclusivamente por processos numricos. A rea da matemtica que trata da concepo de processos numricos a anlise numrica. Foi a partir da dcada de 40 que a anlise numrica comeou a ter importncia com o incio do processamento eletrnico de dados (computadores).


INTRODUO


INTRODUO

Equao da L.E. sem desprezar (dy/dx)^2. Difcil soluo analtica. Teramos que lanar mo de algum mtodo numrico.


INTRODUO

Equao Diferencial Simplificada de uma viga em relao ao carregamento.

Sabendo que :

2

2 )()(dx

xMdxq =


INTRODUO

Equao Diferencial de uma placa em regime elstico


INTRODUOEquao Diferencial de uma placa em regime elstico


METODO NUMRICODessa forma o mtodo numrico um conjunto de procedimentos utilizados para transformar um modelo matemtico num problema numrico ou um conjunto de procedimentos usados para resolver um problema numrico. A escolha do mtodo mais eficiente para resolver um problema numrico deve envolver os aspectos :

preciso desejada para os resultados; capacidade do mtodo convergir aos resultados desejados (velocidade de convergncia); esforo computacional despendido (tempo de processamento, economia de memria para a resoluo).


ITERAO OU APROXIMAO SUCESSIVAUma das ideias fundamentais do clculo numrico a iterao ou aproximao sucessiva. Num sentido amplo, iterao significa a repetio de um processo. Grande maioria dos mtodos numrico iterativa. Um mtodo iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos : Tentativa inicial : consiste numa primeira aproximao para a soluo desejada do problema numrico. Equao de recorrncia : equao por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, so realizadas as iteraes ou as aproximaes sucessivas para a soluo desejada. Teste de parada : o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo finalizado.


Incio

Digite o N

de

formigas

Busca do

Mnimo da

Funo

Digite o N

de

Iteraes

Valor

inicial de

x1, x2, x3

Acabaram as

iteraes?

Escreva (x1,

x2, x3, x)

Fim

NoSim

EXEMPLO DE UM PROCESSO ITERATIVO

Nesse processo iterativo o critrio de parada o nmero mximo de iteraes


Nesse processo iterativo o critrio de parada a convergncia da soluo (erro de tolerncia)


ERROS A noo de erro est presente em todos os campos do clculo numrico. De um lado, os dados, em si, nem sempre so exatos e, de outro lado, as operaes sobre os valores no exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os prprios mtodos numricos, frequentemente mtodos aproximados, buscam a minimizao dos erros, procurando resultados o mais prximo possvel do que seriam valores exatos.Erro a diferena entre o valor exato e o valor apresentado.


ERROSNa busca da soluo do modelo matemtico por meio de clculo numrico, os erros surgem de vrias fontes e merecem cuidado especial. Do contrrio, pode-se chegar a resultados distantes do que se esperaria ou at mesmo obter outros que no tm nenhuma relao com a soluo do problema original.As principais fontes de erros so as seguintes : erros nos dados de entrada; erros no estabelecimento do modelo matemtico; erros de arredondamento durante a computao; erros de truncamentos, e erros humanos e de mquinas.


O modelo matemtico para o problema real deve traduzir e representar o fenmeno que est ocorrendo no mundo fsico. Entretanto nem sempre isso fcil. Normalmente, so necessrias simplificaes no modelo fsico para se obter um modelo matemtico que fornecer uma soluo para o problema original. As simplificaes realizadas se constituem em fonte de erros, o que pode implicar na necessidade de reformulao do modelo fsico e matemtico.

ERROS NA FASE DE MODELAGEM



Ao se tentar representar um fenmeno do mundo fsico por meio de um modelo matemtico, raramente se tem uma descrio correta desse fenmeno. Normalmente so necessrias vrias simplificaes do mundo fsico para que se tenha um modelo matemtico com o qual se possa trabalhar Vamos analisar o movimento de um corpo sujeito a uma acelerao constante, de acordo com a expresso da fsica :

200 .2

1. tatvdd ++=

Onde :d distncia percorridad0 distncia inicialv0 velocidade inicialt tempoa acelerao



Supondo-se que um engenheiro queira determinar a altura de um edifcio e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronmetro e a frmula acima, ele sobe ento no topo do edifcio e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar o solo, ou seja, 3 segundos. Levando esse valor de tempo na equao anterior, obtm-se :

d= 44,1m

Este resultado confivel ?

md 1,443.8,9.213.00 2 =++=


ERROS NA FASE DE MODELAGEM bem provvel que no, pois o modelo matemtico no foram consideradas outras foras como, por exemplo, a resistncia do ar, a velocidade do vento, etc. Alm destas, existe um outro fator que tem muita influncia : a preciso da leitura do cronmetro, pois uma pequena variao no tempo medido existe uma grande variao na altura do edifcio. Se o tempo medido fosse 3,5 segundos ao invs de 3 segundos, a altura do edifcio seria de 60 metros. Em outras palavras, para uma variao de 16,7 % no valor lido do cronmetro, a altura calculada apresenta uma variao de 36 %. Porque ser essas diferenas de porcentagem ? Com esse exemplo simples pode-se notar a grande influncia que o modelo matemtico e a preciso dos dados obtidos sobre a confiabilidade da resposta conseguida.


ERROS DE ARREDONDAMENTO Os erros de arredondamento surgem devido ao fato de algumas propriedades bsicas da aritmtica real no valerem quando executadas no computador, pois, enquanto na matemtica alguns nmeros so representados por infinitos dgitos, na mquina isso no e possvel. Portanto, 1/3 = 0,33333... Portanto, 1/3 0,33333, e nessa representao para o nmero 1/3 tem-se erro de arredondamento. Dessa forma, dependendo da mquina e da linguagem computacional utilizada, possvel trabalhar com preciso dupla ( sistema com maior nmero de dgitos significativos). importante observar que, nesse caso, o tempo de execuo e a memria usada aumentam de forma significativa. Portanto, deve-se trabalhar em preciso dupla apenas em casos estritamente necessrios.


ERRO DE TRUNCAMENTO o erro inerente ao mtodo numrico. Surge cada vez que se substitui um procedimento matemtico infinito por um processo finito ou discreto. Um exemplo de erro de truncamento o clculo de sen (x) ou cos (x) por qualquer calculadora cientfica. A funo sen (x ) e cos (x) representada pelas seguintes Srie de Taylor.


ERRO DE TRUNCAMENTOVamos expandir a srie de Taylor para a funo sen x e calcular para 4 termos da srie :

sen (30) = sen (/6), e usando = 3,1416 temos sen (30) = 0,5236 0,023925 + 0,000328 0,00000214 = 0,50000086

Usando uma Casio fx-82MS temos sen(60) =0,5


CONCLUINDO ...


EXERCCIO EM SALA PARA FINALIZAR !


a) Calcule o permetro exato (Lexato) de um crculo com raio R= 5 cm

b) Calcule o permetro aproximado (Laprox) do mesmo crculo realizando o clculo para diversos valores de n

c) Faa o grfico a seguir:d) Discuta como a convergncia dos valores para o resultado exato.

Documents

Introdução aos métodos numéricos - aula 01