18 Física na Escola, v. 16, n. 2, 2018

Introdução

Oemaranhamento representa umaligação especial não completa-mente compreendida pela comu-

nidade científica [1], mas confirmada porinúmeros experimentos [2]. Ele ocorre,por exemplo, quando os estados de duas(ou mais) partículas são inseparáveis. Emcerto sentido, o emaranhamento pode serconsiderado um caso particular de super-posição de estados quânticos separadosespacialmente [3]. Em linguagem simples,superposição de estados significa umapartícula poder ocupar mais de um estadoao mesmo tempo, como por exemplo, po-der estar em duas ou mais regiões distin-tas. Dizemos queuma partícula colap-sa quando se faz umamedição em algum deseus observáveis (po-sição, momento, po-larização, spin etc).Isso significa que detodos os possíveis es-tados, apenas um de-les é observado diretamente após a medi-ção. No caso de duas partículas emara-nhadas, a medição em uma partícula al-tera a propriedade da outra partícula. Háestudos, no entanto, para averiguar seessa alteração é realmente instantânea ouse ocorre a uma velocidade muito gran-de, acima da velocidade da luz [4]. Valeressaltar, no entanto, que a não-localidadenão é uma característica exclusiva doemaranhamento, tampouco representasua definição. Em outras palavras, háestados não emaranhados com correlaçõesnão-locais.

O teleporte é uma realização física,fruto do emaranhamento quântico e temsido estudado em diferentes protocolos econfirmado por diversos experimentos[2]. A primeira realização experimental doteleporte ocorreu em 1997 com um único

fóton [5]. Recentemente, um estado quân-tico foi teleportado até um satélite a cercade 1.400 km [6]. Além do teleporte, asaplicações do emaranhamento incluemcriptografia, comunicação e computaçãoquântica [7], entre outras.

Antes de iniciarmos, é bom destacarque nesse contexto é comum denominaros sistemas A e B por Alice e Bob, respec-tivamente (Fig. 1). Cada um desses sis-temas é composto por um conjunto departículas e está separado espacialmentepor uma distância arbitrária. A ideia aquié teleportar a informação de uma partí-cula quântica de A até B e não propria-mente a partícula em si. Veremos o pro-tocolo mais simples para o teleporte da

informação de umapartícula em um esta-do desconhecido dosistema A para o siste-ma B [8]. Para isso,serão necessárias trêspartículas, a partículaoriginal X (a ser tele-portada), a partículafinal Z (que se trans-

formará em uma cópia de X) e a partículaY (intermediadora). Veja a Fig. 2.

As equações para o protocolo deteleporte

Trabalharemos aqui com equações deduas variáveis para a realização do tele-porte de uma partícula. Considere as se-guintes funções das variáveis xi, yi e zi,com i = 1,2,

(1)

(2)

(3)

Teleporte de uma partícula

Matheus Pereira Lobo*,Sue Lam Rhâmidda Pereira Gomes,Ednalva Alves de Alencar,Caio Matheus Fontinele dos SantosUniversidade Federal do Tocantins,Araguaína, TO, Brasil*E-mail: mplobo@uft.edu.br○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

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Neste trabalho propomos a realização teóricado teleporte quântico de uma partícula por meiode cálculos envolvendo equações com duasvariáveis (x e y). Demonstramos a importânciado emaranhamento – que é fundamental parao teleporte – a partir de um protocolo envol-vendo três partículas. O objetivo é proporcionaraos professores e estudantes do Ensino Médiouma forma didática de compreender o tema,integrando a visão qualitativa com os procedi-mentos matemáticos. Os pré-requisitos incluemnúmeros complexos, propriedade distributiva,igualdade de polinômios e produto de matrizes.Com isso, acreditamos poder inserir temasavançados de física contemporânea a partir deferramentas matemáticas presentes no cotidianoescolar dos estudantes do Ensino Médio.

O emaranhamento representauma ligação especial não

completamente compreendidapela comunidade científica,

mas confirmada por inúmerosexperimentos. Ele ocorre, por

exemplo, quando os estados deduas (ou mais) partículas são

inseparáveis

19Física na Escola, v. 16, n. 2, 2018

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Trata-se de um sistema com 8 equações e6 variáveis. gyz e hyz foram obtidas substi-tuindo-se xy por yz nas definições de gxy ehxy. Note que o índice ± refere-se à somaou à subtração de seus termos. As funçõesgxy e gyz representam um sistema com aspartículas XY e YZ emaranhadas, respec-tivamente. O mesmo vale para hxy e hyz.As Eqs. (1)-(4) representam a base de Bell[8], frequentemente chamada de estadosEPR ou estados emaranhados.

Os estados quânticos – aqui represen-tados por , , e – são vetores emum espaço complexo denominado espaçode Hilbert. Vetores são entidades matemá-ticas que obedecem certas propriedades esão utilizadas para descrever sistemas físi-cos (o leitor curioso em conhecer tais pro-priedades poderá consultar um livro deálgebra linear). O espaço de Hilbert pode

ter um número finito ou infinito de di-mensões e contém vetores representadospor números complexos. Neste artigo,estamos interessados apenas em manipu-lar esses estados por meio da álgebra ele-mentar, envolvendo números complexos,propriedade distributiva da multiplicaçãode expressões algébricas, igualdade de poli-nômios e produtos de matrizes. Por issotrataremos, a partir de agora, esses esta-dos quânticos (vetores no espaço de Hil-bert) simplesmente como variáveis x e y.

Assim, temos que xi, yi e zi represen-tam, respectivamente, os estados das par-tículas X, Y e Z. Cada partícula pode estarem uma superposição de estados 1 e 2.Esses estados podem representar a polari-zação de um fóton ou o spin do elétron,por exemplo, pois tanto a polarização dofóton como o spin do elétron são dados porapenas dois estados. As Eqs. (1)-(4) sãosuperposições de estados quânticos ema-ranhados, o índice xy de g e h significa queas partículas X e Y estão emaranhadas e yzsignifica o emaranhamento entre as par-tículas Y e Z. Note que é impossível escre-vermos gxy, gyz, hxy e hyz, como um pro-duto de uma função de xi com uma fun-ção de yi. Por exemplo, gxy(x1, x2, y1, y2) ≠gx(x1, x2).gy(y1, y2), isto é, o estado dapartícula X, gx(x1, x2), não pode ser sepa-rado do estado da partícula Y, gy(y1, y2).Em outras palavras, a inseparabilidade dosistema caracteriza o emaranhamento. Épor isso que partículas emaranhadas po-dem ser vistas como se fossem estados dis-tintos de um único sistema. Em informa-ção quântica, existem diferentes medidasde emaranhamento para caracterizá-lomediante todas as possíveis bases. Porexemplo, fazendo uma analogia clássica,é como uma moeda girando (um únicosistema) composta por dois estados dis-

tintos coexistindo (cara e coroa). Enquan-to a moeda está girando, ela está em su-perposição de estados (cara e coroa); quan-do ela para de girar e cai sobre a mesa,por exemplo, ocorre o colapso, apenasuma de suas faces aparece virada para ci-ma (Fig. 3).

Teleporte da partícula X

Inicialmente temos um sistema com-posto por três partículas, X, Y e Z. A partí-cula X encontra-se na superposição de es-tados

(5)

sendo a e b números complexos que satis-fazem a seguinte condição de normali-zação

(6)

Na teoria quântica, |a|2 e |b|2 represen-tam as probabilidades de encontrarmos apartícula X nos estados x1 e x2, respecti-vamente. Por isso a Eq. (6) é igual a 1,porque a partícula encontra-se em um dosdois estados possíveis.

Suponha que as partículas Y e Z este-jam emaranhadas na forma de [Eq. (3)]. Assim, temos que o sistema detrês partículas é dado por . Substi-tuindo as Eqs. (3) e (5) em , temos

(7)

Nosso objetivo aqui é teleportar a par-tícula X de Alice para Bob. Como nos fil-mes de ficção científica, será necessário“destruir” X para transferir sua informa-ção para a partícula Z ou, para sermosmais precisos, X e Y deverão colapsar emum estado particular para que Z também

Teleporte de uma partícula

Figura 1: Alice (na Terra) teleportará umapartícula para Bob (em Marte).

Figura 2: Ilustração das três partículasutilizadas para o teleporte.

Figura 3: Diagrama ilustrando um análogo clássico com duas moedas emaranhadasgirando, uma na Terra e outra em Marte.

20 Física na Escola, v. 16, n. 2, 2018

colapse. Com isso, será possível aplicaruma transformação tal que Z seja idênticaa X. As partículas X e Y permanecem comAlice e a partícula Z é enviada para Bob.

O teleporte será realizado por meiode dois passos: (i) primeiro, pela transfe-rência do emaranhamento, de YZ para XY;(ii) depois, por meio de um canal de comu-nicação clássico, limitado pela velocidadeda luz (WhatsApp, por exemplo).

Para transferirmos o emaranhamentode YZ para XY, precisamos fazer a seguin-te transformação matemática

(8)

O lado esquerdo da Eq. (8) diz que osistema é composto pela superposição deestados da partícula X, dado por fx, e peloemaranhamento de Y e Z, dado por . Olado direito da Eq. (8) significa que a par-tícula Z (aqui representada pelos produtosenvolvendo α, β, γ e δ) está em uma super-posição de quatro estados de emaranha-mento XY, representados por , , e

.O próximo passo é descobrir quem

são α, β, γ e δ. Substituindo as Eqs. (1) e(2) na Eq. (8),

temos

(9)

Igualando a Eq. (7) com a Eq. (9), encon-tramos

Essa equação é uma identidade polino-mial. Igualando o coeficiente de x1y2 doslados esquerdo e direito, temos

(10)

Fazendo o mesmo para x2y1, x1y1 e x2y2

temos, respectivamente,

(11)

(12)

(13)

Subtraindo as Eqs. (10) e (11),

(14)

Somando as Eqs. (10) e (11),

(15)

Subtraindo as Eqs. (12) e (13),

(16)

Somando as Eqs. (12) e (13),

(17)

Substituindo α, β, γ e δ na Eq. (8),

(18)

O parêntesis do lado direito da Eq. (18)refere-se à partícula Z. A informação dapartícula original X, a ser teleportada, queestá no estado geral fx, é dada pela Eq. (5).Alice faz agora uma medição conjunta daspartículas emaranhadas X e Y, podendoobter um dos seguintes resultados: ,

, ou . Em outras palavras, quandoo sistema XY colapsa, Z também colapsa.

Na Eq. (18), temos quatro estados desuperposição para o sistema XYZ, dadospelos termos que contém , , e .Esses, por sua vez, também são estadosde superposição [veja Eqs. (1)-(2)]. Assim,temos uma superposição de segundaordem, isto é, uma superposição da super-posição. Medir XY significa colapsar o sis-tema em apenas uma das quatro super-posições mencionadas (base de Bell). Noteque se Alice medisse apenas a partículaX, ela colapsaria e, portanto, não poderiamais ser teleportada como um sistemaquântico. Medição conjunta é um termoque vem do inglês (joint measurement) [9]e significa medir mais de uma variávelaleatória simultaneamente (Fig. 4).

A Tabela 1 mostra todos os possíveisresultados para a medição em conjunto

Teleporte de uma partícula

Figura 4: Na medição conjunta, o sistemaXY colapsa em uma das quatro bases deBell. Os estados das partículas individuaisnão são conhecidos.

Tabela 1: O lado esquerdo representa o co-lapso das partículas X e Y e o lado direitorepresenta o colapso de Z.

XY (medido) Z (colapsado)

fz = -az1 - bz2

fz = -az1 + bz2

fz = az2 + bz1

fz = az2 - bz1

de XY e o estado da partícula colapsadaZ, conforme a Eq. (18).

O estado da partícula X pode ser maisbem representado por uma matriz, daseguinte maneira

(19)

isto é, a primeira linha da matriz colunarepresenta o estado 1 (por meio da variávelx1) e a segunda linha representa o estado2 (por meio de x2).

Para que o teleporte seja bem-sucedi-do, devemos ter fz = fx porque o estado deZ deve ser idêntico ao de X. Para cada umdos valores colapsados de Z, temos umamatriz correspondente que transforma Zem X. Essas matrizes são

(20)

pois quando aplicadas em cada um dosvalores medidos para XY (Tabela 1), trans-formam Z em X,

(21)

(22)

(23)

(24)

As matrizes (20) são facilmente obtidaspor dedução lógica, a partir das formasmatriciais de Z colapsado (Tabela 1) e defx.

Portanto, para finalizar o teleporte dapartícula X, Alice deverá enviar para Bobo resultado de sua medição em conjunto(XY), dado por uma dessas quatro ma-trizes (20), por meio do canal clássico decomunicação. É importante salientarmosque o teleporte não é instantâneo, pois de-pende da comunicação clássica do resul-tado de uma medição para que ele seja

21Física na Escola, v. 16, n. 2, 2018 Teleporte de uma partícula

References

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[4] J. Yin, Y. Cao, H.-L. Yong, J.-G. Ren, H. Liang, et al., Physical Review Letters 110, 260407(2013).

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[7] A.C. Santos, Revista Brasileira de Ensino de Física 39, e1301 (2017).[8] A. Miranowicz and K. Tamaki. arXiv preprint quant-ph/0302114 (2003).[9] N. Gisin, Quantum Chance: Nonlocality, Teleportation and Other Quantum Marvels (Springer,

New York, 2014).[10] E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics (W.H. Freeman and Company, New York,

1992), 2nd ed.[11] L. Davidovich, Ciência Hoje 35, 24 (2004).

bem-sucedido. Caso o teleporte fosse ins-tantâneo, isso violaria a relatividade espe-cial, ao menos na forma como a conhe-cemos atualmente [10].

Considerações finais

A informação quântica lida com ainformação contida em estados quânticos,bem como suas possíveis utilizações. Oemaranhamento é o elemento chave parao teleporte quântico, algoritmos paracomputação, criptografia e comunicaçãoquântica, entre outras aplicações. NoBrasil, há laboratórios produzindo estadosemaranhados, especialmente para odesenvolvimento da computação e crip-tografia quântica, e grupos teóricos inves-tigando as propriedades do emaranha-mento e de seus efeitos associados [11]. Oleitor interessado encontrará mais infor-mações a respeito desses grupos brasileirospesquisando no Google e no Diretório dosGrupos de Pesquisa do CNPq.

Por meio deste trabalho, esperamosdivulgar a área de informação quântica,que é de extrema importância para oavanço da ciência, tecnologia, sociedade eambiente. Reiteramos nosso compromissode utilizar a matemática disponível noEnsino Médio aplicada a um tema avan-çado, reafirmando nosso objetivo deproporcionar aos professores e estudantesuma forma didática de compreender otema em questão. Outra vantagem deutilizar essa notação matemática, em vez

da famigerada notação de Dirac, é poderestimular mudanças de paradigma que talposicionamento possa permitir em reali-zações posteriores.

Embora alguns tópicos de física mo-derna estejam presentes nos conteúdosprogramáticos do Ensino Médio, muitosestudantes não têm contato com eles. Opresente artigo pode servir como media-dor dos conhecimentos científicos ao des-mistificar os conceitos de teleporte e ema-ranhamento quântico, mostrando quenão se trata de mera ficção científica, masfaz parte de um amplo espectro de possi-

bilidades tecnológicas na atual era dainformação quântica.

Agradecimentos

Agradecemos à Universidade Federaldo Tocantins por oferecer toda ainfraestrutura necessária para a realizaçãodeste trabalho, ao Mestrado Profissionalem Ensino de Física (MNPEF) da SociedadeBrasileira de Física (SBF) e ao CNPq peloapoio financeiro. Em especial, destacamosnossos fortes agradecimentos aos pro-fessores idealizadores do MNPEF da SBF,Nelson Studart e Marco Antonio Moreira.