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8/18/2019 Introducao Otimizacao Linear
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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇ ÃOTECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Modelagem
Matemática e Comnputacional
Otimização Linear
Professor: Sérgio Ricardo de Souza
Belo Horizonte, fevereiro de 2010
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Sumário
1 Introdução 41.1 Otimização de sistemas . . . . . . . . . . 41.2 Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . 61.3 Programação Linear (História) . . . . . 91.4 Classificação dos Problemas de Otimi-
zação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Exemplos de Problemas de Programação Li-near 14
3 Estrutura de um Problema de PL 34
4 Formato do Problema de Programação Li-near 36
5 Manipulação do Problema Linear 375.1 Transformar desigualdades em igual-
dades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Transformar igualdades em desigual-
dades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Eliminação de Variável irrestrita em
sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Variável com limitante inferior . . . . . 425.5 Variável com limitante superior . . . . 42
6 Formato Matricial de um PL 43
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1 Introdução
1.1 Otimização de sistemas
Problema de Tomada de Decisões
Modelagem Matemática de um sistema
com a finalidade de tomar decisões
Problemas Reais do Cotidiano
Caracteŕısticas:
* Variáveis inter-relacionadas;
* Vários objetivos, conflitantes entre si;
* Escassez de recursos;* Grande número de variáveis.
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⇒ Buscar o melhor desempenho de um sistema, tendo emvista as diversas restrições que dificultam a escolha desseresultado.
Complexidade dosProblemas Reais
X Problemas cuja solução seja
posśıvel de ser determinada
Significado de Solução
Ferramentas de Análise
X
Solução Correta
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1.2 Pesquisa Operacional
• Metodologia para a análise e tomada de decisões.
Formulaçãodo Problema
Construçãodo Modelo
Solução doModelo
Implementaçãode Resultados
Técnicas deOtimização Dados
Comparação
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• Problemas T́ıpicos
* Filas
* Estoques
* Ordenação de Tarefas
* Distribuição, Transporte e Alocação
* Redes, Grafos
* Localização
* Plano de Produção, etc
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• Técnicas usadas em PO
* Programação Linear
* Programação Não - Linear
* Programação Inteira
* Programação Dinâmica
* Programação Estocástica
* Programação Geométrica
* Programação Heuŕıstica
* Simulação, etc
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1.3 Programação Linear (História)
• Fonte inicial −→ Modelos empı́ricos e teóricos de sistemaseconômicos
* Quesnay, “Tableau Economique”(1758)
* Walsas, (1874)
* Leontief, “Modelos de Input-Output de InterligaçãoTecnológica entre Setores da Indústria” (1936)
* Von Neumann, “Modelos Dinâmicos de Equiĺıbrio E-conômico”(1937)
* Kantorovich, “Modelos Matemáticos na Organizaçãoe Planejamento da Produção”(1939)
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• II Guerra Mundial
– Problemas de fornecimento– Problemas de manutenção
– Treinamento de pessoal
– Problemas de transporte
=⇒ Problemas de como tomar uma decisão
=⇒ Inspiração militar
• Programação Linear → G. B. Dantzig(1947)
– Método Simplex: Dantzig (1949);
– Advento do Computador;
– Ampla classe de aplicações, devido a:
∗ Simplicidade do código;∗ Grande número de problemas práticos podem ser
descritos como problemas lineares;
∗ Possibilidade de se encontrar soluções em um númeromáximo de iterações;
∗ Utilização como parte do algoritmo em diversos métodosde otimização não-linear.
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1.4 Classificação dos Problemas de Otimização
min f (x)
sujeito a g(x) ≤ 0
h(x) = 0
x ≥ 0
• Quanto à existência de restrições:
– Problemas sem restrições ou irrestritos;
– Problemas com restrições.
• Quanto à natureza das variáveis de projeto:– Problema de Otimização Estática ou Paramétrica;
– Problema de Otimização Dinâmica ou de Otimizaçãode Trajetórias.
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• Quanto à estrutura f́ısica do problema:
– Problema de Controle Ótimo;
– Problema de Controle Não-Ótimo.
• Quanto à natureza da formulação matemática:
– Problema de Programação Não-Linear;
∗ Problema de Programação Geométrica;
∗ Problema de Programação Quadrática.
– Problema de Programação Linear.
• Quanto aos valores permitidos para as variáveis de pro-
jeto:
– Problema de Programação Inteira;
– Problema de Programação Real.
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2 Exemplos de Problemas de Programação Li-near
Exemplo 1 Planejamento do Fornecimento.
Uma f´ abrica de alimentos congelados produz batatinhas fritas, picadinho de batatas e flocos para purê de batata.
• Fases da produç˜ ao:
1. Compra da batata a partir de duas fontes produ-toras;
2. Classificaç˜ ao das batatas por comprimento e quali-dade;
3. Distribuiç˜ ao pelas linhas de produç˜ ao.
• As fontes diferem na qualidade das batatas fornecidas:
Produto Produtor 1 Produtor 2
Batatinha Frita 0, 2 0, 3
Picadinho de Batata 0, 2 0, 1
Flocos de Purê 0, 3 0, 3
• Refugo equivalente a 30% para a batata comprada de cada produtor.
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• Lucro por tonelada das batatas advindas de cada fonte produtora:
Produtor 1($/ton)
Produtor 2($/ton)
Lucro 5 6
• Limitaç˜ ao de mercado:
Produto Limite de Vendas (ton)
Batatinha Frita 1, 8
Picadinho de Batata 1, 2
Flocos de Purê 2, 4
• Problema: Quantas toneladas de batatas devem ser compradas de cada fonte produ-tora?
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A funç˜ ao que expressa o lucro da empresa é dada por:
f (x1, x2) = 5x1 + 6x2
Ent˜ ao, o problema de otimizaç˜ ao é:
max f (x1 + x2) = 5x1 + 6x2 (funç˜ ao de lucro)
sujeito a 0, 2x1 + 0, 3x2 ≤ 1, 8 (batatinha frita)
0, 2x1 + 0, 1x2 ≤ 1, 2 (picadinho de batata)
0, 3x1 + 0, 3x2 ≤ 2, 4 (flocos de purê)
x1 ≥ 0 (fornecedor 1)
x2 ≥ 0 (fornecedor 2)
Soluç˜ ao ´ otima (gr´ afica):
x1 = 4, 5 ton
x2 = 3 ton
⇒ Problema de Programação Linear
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Exemplo 2 Companhia de Mineraç˜ ao
A companhia de mineraç˜ ao Mais Nada Resta possui duas minas de extraç˜ ao de minério de ferro que, ap´ os benefi-ciado, é classificado em três categorias: alto grau, médiograu e baixo grau. A companhia venceu a concorrência para o fornecimento de matéria-prima para uma Usina de Aço, de modo que deve entregar, por semana, 24 ton. de
minério de grau baixo, 8 ton. de minério de médio grau e 12 ton. de minério de alto grau. As caracteŕısticas de produç˜ ao das minas s˜ ao mostradas abaixo:
Produção (ton/dia)
Mina Custo/Dia (US$) Alta Média Baixa
X 180 6 3 4
Y 160 1 1 6
Quantos dias por semana cada mina deve ser operada para garantir o contrato de fornecimento?
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Algumas formas de tratamento desse problema:
• Trabalhar um dia por semana nas minas X e Y.
Resultado: Tipo ProduçãoAlto 7
Médio 4
Baixo 10Insuficiente para atender as exigências do contrato ⇒Infact́ıvel.
• Trabalhar 4 dias por semana na mina X e 3 dias por semana na mina Y.
Resultado: Tipo ProduçãoAlto 27
Médio 15Baixo 34
Suficiente para atender as exigências docontrato ⇒ Fact́ıvel.
Problema: ´ E o menor custo ?
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Exemplo 3 ´ Arvore de Decis˜ ao
Deseja-se contratar um novo funcion´ ario entrevistan-do-se no m´ aximo três candidatos à vaga.
A partir de experiências anteriores, verificou-se que é posśıvel determinar, a partir da entrevista, se um dado candidato ser´ a um funcion´ ario excelente, bom ou regular.
A tabela abaixo mostra os pesos atribuı́dos a cada um dos casos:
Expectativa deDesempenho
Peso
Excelente 3
Bom 2
Regular 1
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A experiência anterior também informa a respeito das chances de se encontrar um funcion´ ario com as especi- ficaç˜ oes desejadas:
Expectativa de Desempenho Chances
Excelente 0,2
Bom 0,5
Regular 0,3
A decis˜ ao deve ser r´ apida, pois sabe-se que os can-didatos também est˜ ao concorrendo ao mesmo cargoem outras empresas.
Problema: Selecionar o melhor candidato, nomenor tempo posśıvel.
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• Modelamento ⇒ ´ Arvore de Decis˜ ao
– n´ os com ćırculos: candidatos entrevistados;
– ramos: eventos incertos e suas probabilidades de ocorrência;
– quadrados: pontos de tomada de decis˜ ao;
– n´ umero no fim de um ramo: valor encontrado casose interrompa o processo de decis˜ ao naquele ponto.
• Técnica de soluç˜ ao: Programaç˜ ao Dinˆ amica via Induç˜ aoReversa.
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R 0, 3Continua R 0, 3 Continu
B 0, 5
Pare
B 0, 5
Pare
E 0, 2
Pare
E 0, 2
1
1 2
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Exemplo 4 Planejamento da Produç˜ ao
Matéria Prima Sapato Botina Disponibilidade Couro 2 1 8 Borracha 1 2 7 Cola 0 1 3 Lucro por unidade 1 1 —
x1: quantidade de sapatos fabricados;x2: quantidade de botinas fabricadas;
Logo:
2x1 + x2 ≤ 8x1 + 2x2 ≤ 7
x2 ≤ 3
Funç˜ ao de lucro:
z = x1 + x2
Portanto:(PL) max z = x1 + x2
suj. a 2x1 + x2 ≤ 8x1 + 2x2 ≤ 7x2 ≤ 3x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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Exemplo 5 Problema de Transporte
Uma empresa fabrica latas de conserva em 2 f´ abricas e as vende através de 3 dep´ ositos.
Fábrica
Depósito
1
1
2
2
3
ai : Capacidade de produç˜ ao da f´ abrica i.
b j : Demanda de produtos no dep´ osito j.
cij : Custo por produto transportado da f´ abrica i para odep´ osito j.
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A empresa deseja saber como distribuir a produç˜ ao pela rede de modo a:
1. Respeitar as capacidades produtivas de cada f´ abrica.
2. Respeitar as demandas de cada dep´ osito.
3. Minimizar o custo total de transporte.
Defina xij como a quantidade de produto transportado da f´ abrica i para o dep´ osito j.
Logo:
x11 + x12 + x13 ≤ a1x21 + x22 + x23 ≤ a2
Produç˜ aox11 + x21 ≥ b1x12 + x22 ≥ b2x13 + x23 ≥ b3
Demanda
xij ≥ 0, i = 1, 2, j = 1, 2, 3
Funç˜ ao de custo:
z = c11x11 + c12x12 + c13x13 + c21x21 + c22x22 + c23x23
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Porém, surge um transportador, propondo a terceirizaç˜ aodeste serviço, na forma:
1. Transportar toda a mercadoria, respeitando capaci-dades de produç˜ ao e de demanda.
2. Pagar ao fabricante π1 e π2 reais por unidade a produç˜ ao
das f´ abricas 1 e 2 e, em seguida, lhe vender por η1,η2 e η3 reais por unidade em cada um dos dep´ ositos,garantindo, porém, que:
η j − πi ≤ cij, i = 1, 2 j = 1, 2, 3
η j ≥ 0
πi ≥ 0
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De sua parte, o transportador vai procurar estabelecer os preços de modo a maximizar o seu lucro:
Funç˜ ao de receita e despesa do transportador:
φ = (b1n1 + b2n2 + b3n3) (Receita)
− (a1π1 + a2π2) (Despesa)
Qual das duas alternativas é mais conveniente ao fabri-cante?
* A soluç˜ ao ´ otima entre o problema 1 e o problema 2,
para o fabricante, ser´ a aquela que maximiza o seu lu-cro, ou seja:
z ≤ φ
* Portanto, se o custo com o transporte no problema do
transportador for maior que o custo do transporte pelopr´ oprio fabricante, ent˜ ao a soluç˜ ao 1 é a ideal, doponto de vista do fabricante.
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Exemplo 6 Problema de transporte: Uma aplicaç˜ ao aoplanejamento de Redes Telefˆ onicas.
aib j
ai = N´ umero de assinantes na ´ area i.
b j = Capacidade da central j.
cij = Custo para conectar um assinante da ´ area i à central j.
O problema consiste em alocar assinantes à centrais de modo a minimizar o custo de ligaç˜ ao assinante-central.Trata-se, assim, de um sub-problema do problema-master de localizaç˜ ao de centrais.
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xij: n´ umero de assinantes da ´ area i conectados à central j
a1
a2
an
b1
b2
bn
...
...
...
...
min z =
i
j
cijxij
suj. a
j
xij ≥ ai , ∀i
i
xij ≤ b j , ∀ j
xij ≥ 0 , ∀i, ∀ j
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Exemplo 7 Problema da Dieta
Disp˜ oe de 5 tipos de alimentos, com diferentes composiç˜ oes de nutrientes (protéınas e sais minerais). Uma vez con-hecido o custo de cada alimento, deseja-se determinar a dieta que satisfaz os padr˜ oes nutritivos desejados e que tenha o mı́nimo custo.
Nutriente Alimentos Quant.
Mı́nima1 2 3 4 5
Protéınas 3 4 5 3 6 42 Sais Minerais 2 3 4 3 3 24Custo 25 35 50 33 36 —
xi: quantidade de alimento i presente na dieta.
(PL) min z = 25x1 + 35x2 + 50x3 + 33x4 + 36x5suj. a 3x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 6x5 ≥ 42
2x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 + 3x5 ≥ 24
xi ≥ 0, i = 1, . . . , 5
Variaç˜ oes: Problema da raç˜ ao
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Exemplo 8 O setor de transporte de carga de uma em-presa aérea, operando em S˜ ao Paulo, disp˜ oe de 8 avi˜ oes B-727, 15 avi˜ oes ELECTRA e 12 avi˜ oes Bandeirante para vˆ oos amanh˜ a. H´ a cargas para remeter para o Riode Janeiro (150 ton) e Porto Alegre (100 ton). Os custos operacionais de cada avi˜ ao e suas capacidades s˜ ao:
B-727 ELECTRA Bandeirante SP −→ Rio 23 5 1,4SP −→ PA 58 10 3,8
Capacidade 45 7 4
Quantos e quais avi˜ oes devem ser mandados para o Rio e Porto Alegre a fim de satisfazer a demanda e minimizar os custos?
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xij = avi˜ ao de modelo i na rota j.
i = 1, 2, 3
i = 1 → B-727 i = 2 → ELECTRAi = 3 → Bandeirante
j = 1, 2
j = 1 → Rio j = 2 → Porto Alegre
Total de avi˜ oes:
x11 + x12 ≤ 8x21 + x22 ≤ 15x31 + x32 ≤ 12
Restriç˜ oes de demanda:
45x
11 + 7x
21 + 4x
31 ≥ 15045x21 + 7x22 + 4x32 ≥ 100
Custo a ser minimizado:
z = 23x11 + 5x21 + 1, 4x31 + 58x12 + 10x22 + 3, 8x32
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3 Estrutura de um Problema de PL
A partir dos exemplos apresentados, a estrutura de um pro-blema de programação linear é na forma:
min z = c′xsuj. a Ax ≥ b
x ≥ 0
ou seja:
min z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxnsuj a a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≥ b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≥ b2... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≥ bmx1 ≥ 0, x2 ≥ 0 . . . xn ≥ 0
ondez = c′x → função objetivo, linear em x.
c → vetor de custo.c j → coeficiente de custo.x → vetor de variáveis de decisão ou de variáveis
de estrutura ou de ńıveis de atividade.xi → variável de decisão.aij → coeficiente tecnológico.A → matriz de restrições.bi → exigência a ser satisfeita.b → vetor do lado direito.
x j ≥ 0 → restrição de não negatividade ou de sinal.
ai1x1 + ai2x2 + . . . , ainxn ≥ bi → i-ésima restrição
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O problema de programação linear, então, pode ser escritocomo:
Otimizar uma funç˜ ao objetivo linear tendo em vista um conjunto de restriç˜ oes lineares.
Definição 1 (Ponto Fact́ıvel) Um conjunto de valores x1, . . . , xn que satisfaça (atenda) a todas as restriç˜ oes é denominado um ponto fact́ıvel ou um vetor fact́ıvel doproblema.
Definição 2 Espaço ou regi˜ ao de factibilidade: conjuntode pontos fact́ıveis.
Problema de Programação Linear: determinar, dentrodo região de factibilidade, o vetor que otimiza a funçãoobjetivo.
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4 Formato do Problema de Programação Linear
• Formato Padrão:
– Restrições de igualdade.
– Todas as variáveis são não-negativas.
– O método simplex só pode ser aplicado a este formato:
min z = c′xsuj. a Ax = b
x ≥ 0
• Forma Canônica:
– Todas as restrições na forma maior ou igual (problemade minimização).
– Todas as variáveis são não-negativas:
min z = c′xsuj. a Ax ≥ b
x ≥ 0
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5 Manipulação do Problema Linear
Alteração do formato do problema original, reduzindo-o ou àforma padrão ou à forma canônica.
5.1 Transformar desigualdades em igualdades
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi variável de folgaai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn + yi = bi
yi ≥ 0
Portanto:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn + y1 = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn + y2 = b2
... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn + ym = bm
A I x
y
= b
x ≥ 0y ≥ 0
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De forma equivalente:
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≥ bi variável de excessoai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn − yi = bi
yi ≥ 0
Portanto:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn − y1 = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn − y2 = b2
... ... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn − ym = bm
A −I xy = b
x ≥ 0y ≥ 0
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5.2 Transformar igualdades em desigualdades
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≥ bi
5.3 Eliminação de Variável irrestrita em sinal
1. Considere x j irrestrita em sinal. Então:
x j = u j − v ju j ≥ 0v j ≥ 0
Em seguida, substituir x j em todas as equações.
2. Considere um conjunto x1, . . . , xk de variáveis irrestritas.
Então, para j = 1, . . . , k:x j = u j − vu j ≥ 0,
v ≥ 0
v: variável mais negativa.
⇒ Introdução de redundância.
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3. Expressar a variável irrestrita em função das variáveis re-stritas em sinal, substituindo-a no conjunto de equaçõese descartando a equação utilizada.
⇒ Eliminação da variável irrestrita.
⇒ Dif́ıcil aplicação prática.
⇒ Diminui o número de variáveis do problema.
Exemplo 9 Seja o problema de programaç˜ ao linear:
min
1 3 4 x1x2
x3
suj. a 1 2 12 3 1
x1x2
x3
=
56
x2 ≥ 0
x3 ≥ 0
x1: vari´ avel irrestrita.
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Portanto, para eliminar x1:
x1 = −2x2 − x3 + 5
⇓
min x2 + 3x3
suj. a x2 + x3 = 4x2 ≥ 0x3 ≥ 0
⇓
min x2 + 3x3suj.a x2 + x3 ≤ 4
x2 + x3 ≥ 4x2 ≥ 0x3 ≥ 0
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5.4 Variável com limitante inferior
x j ≥ l j
⇓
t j = x j − l j
t j ≥ 0
⇒ Aumento do número de variáveis.
5.5 Variável com limitante superior
x j ≤ u j
⇓
t j = u j − x j
t j ≥ 0
⇒ Aumento do número de variáveis.
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6 Formato Matricial de um PL
min z = c′xsuj. a Ax = b
x ≥ 0⇐⇒
min z =n
j=1
c jx j
suj. an
j=1
A jx j = b
x j ≥ 0 , j = 1, . . . , n
c ∈ ℜn , x ∈ ℜn
A ∈ ℜmxn , b ∈ ℜm
c =
c1c2...
cn
, x =
x1x2...
xn
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
... ... ... ...am1 am2 . . . amn
, b =
b1b2...
bm
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Seja I um conjunto ordenado de ı́ndices tal que:
I ⊆ {1, 2, . . . , n}
e seja o vetor x, na forma:
x =
x1x2...xn
Se I contiver p elementos, então xI será o vetor p-colunacujos componentes são xi, i ∈ I .
Exemplo 10 Seja o vetor:
x =
x1x2x3x4x5
e seja o conjunto ordenado:
I = {2, 4, 5}
Ent˜ ao:
xI = x2x4x5
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Seja então a matriz A na forma:
A = A
1
...Am
=
A1 . . . An
e sejam os conjuntos ordenados de ı́ndices:
I ⊆ {1, 2, . . . , m}
J ⊆ {1, 2, . . . , n}
de modo que:
Ai: i-ésima linha de A.
A j: j-ésima coluna de A.
aij: elemento da linha i e coluna j.
AI
: matriz obtida pela união das linhas Ai, i
∈ I
.
AJ : matriz obtida pela união das colunas A j, j ∈ J .
AI J : sub-matriz cujos elementos são aij, i ∈ I, j ∈ J .
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Exemplo 11 Seja a matriz:
A = 1 7 4 1 1 03 8 3 5 1 1
5 9 2 2 9
e sejam os conjuntos ordenados:
I = {1, 2}
J = {2, 3, 5}
Ent˜ ao:
AI =
1 7 4 1 103 8 3 5 11
AJ =
7 4 108 3 11
9 2 9
AI J =
7 4 108 3 11
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7 Solução Geométrica do Problema de PL
Exemplo 12 Escala de produç˜ ao da f´ abrica de sapato.
max z = x1 + x2suj. a 2x1 + x2 ≤ 8 (a)
2x1 + 2x2 ≤ 7 (b)x2 ≤ 3 (c)
x1 ≥ 0x2 ≥ 0
z = 1 z = 2
z = 3
z = 4 z = 5
(a)
(a)
(b)
(b)
(c)(c)
c
x1
x2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
Região de factibilidade
Direção de crescimento
Soluç˜ ao ´ otima :
x∗1 = 3
x∗2 = 2=⇒ z ∗ = 5
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8 Tipos de solução de Problemas de PPL (Pro-blema de Min)
1. Solução ótima finita e única:
⇒ Ocorre em um ponto extremo do conjunto dos pontosfact́ıveis.
x∗
c
RegiãoFact́ıvelLimitada
x∗
c
RegiãoFact́ıvelIlimitada
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2. Solução ótima finita e múltipla:
⇒ Curvas de ńıvel da função objetivo paralelas a umadas arestas do conjunto dos ponto fact́ıveis.
x∗
c
Região deFactibilidadeLimitada
x∗
c
Região deFactibilidade
Ilimitada
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3. Solução ótima ilimitada:
x∗
c
Região deFactibilidadeIlimitada
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9 Espaço das Restrições
• Restrições de Igualdade:
Seja o problema:
min z = c′xsuj. a Ax = b
x ≥ 0
min z =n
j=1 c jx jsuj. a
n j=1
A jx j = b
x j ≥ 0, j = 1, . . . , n
O sistema formado por:n
j=1
A jx j para x j ≥ 0, j = 1, . . . , n
Cone das Restrições
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Exemplo 14
2x1 + x2 + x3 = −1−x1 + 3x2 + x4 = 2
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
⇓
2 1 1 0−1 3 0 1
x1x2
x3x4
=
−1
2
x ≥ 0
⇓
2−1 x1 + 13 x2 + 10 x3 + 01 x4 = −12 x ≥ 0
b
a4
a2
a3
a1
⇒ Inconsistente
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Exemplo 15
2x
1 + x2 + x3 = 2−x1 + 3x2 + x4 = 3x1, x2, x3, x4 ≥ 0
⇓
2 1 1 0−1 3 0 1
x1x2x3x4
= 23
x ≥ 0
⇓
2−1 x1 + 13 x2 + 10 x3 + 01 x4 = 23 x ≥ 0
b
a4
a2
a3
a1
⇒ Admite soluções
fact́ıveis
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• Restrições de Desigualdade:
n j=1
A jx j ≤ b
x j ≥ 0, j = 1, . . . , n
b
a1
a2
a3
Região ≤ b
Cone das Restrições
=⇒ Sistema
fact́ıvel
b
a1
a2
a3
Região ≤ b
Cone das Restrições
=⇒ Sistema
infact́ıvel
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10 Otimalidade no Espaço de Restrições
min z =n
j=1
c jx j
suj. an
j=1
A jx j = b
Determinar escalares não-negativos x1, x2, . . . , xn tais que:
c1A1
x1 +
c2A2
x2 + . . . +
cnAn
xn =
z
b
e z seja o menor posśıvel.
Representar o vetor
z
b
no cone gerado pelos vetores
c jA j , j = 1, . . . , n para o menor valor posśıvel de z .
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Exemplo 16
min z = −2x1 − 3x2suj. a x1 + 2x2 ≤ 2x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
⇓
min z = −2x1 − 3x2 + 0x3suj. a x1 + 2x2 + x3 = 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
⇓−2
1
x1 +
−3
2
x2 +
01
x3 =
z
2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
−3
2
01
−2
1
Pontos naforma
z 2
Cone das Restrições
Valormı́nimoz ∗ = −4
x∗ =
200
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Exemplo 17
min z = −2x1 − 3x2suj. a x1 + 2x2 ≥ 2x1, x2 ≥ 0
⇓
min z = −2x1 − 3x2 + 0x3suj. a x1 + 2x2 − x3 = 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
⇓−2
1
x1 +
−32
x2 +
0−1
x3 =
z
2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
−32
0
−1
−2
1
Pontos na forma
z
2