Introducci on a los Modelos de Regresi on

1. Introduccion2. Pasos de la modelacion econometrica

3. Metodo de Mınimos Cuadrados Ordinarios4. Pruebas de hipotesis

5. Interpretacion de coeficientes6. Variables dicotomas

7. Violacion de supuestos

Introduccion a los Modelos de RegresionModelos Lineales

Javier [email protected]

2019

Javier Perez [email protected] Introduccion a los Modelos de Regresion





Sections I

1 1. Introduccion

2 2. Pasos de la modelacion econometrica

3 3. Metodo de Mınimos Cuadrados Ordinarios

4 4. Pruebas de hipotesis4.1 Pruebas Individuales4.2 Pruebas Conjuntas

5 5. Interpretacion de coeficientes5.1 Modelos lineales5.2 Modelos logarıtmicos5.3 Modelos semi-logarıtmicos

6 6. Variables dicotomas6.1 Variables dummy en datos de corte transversal6.2 Variables dummy de series de tiempo






Sections II

7 7. Violacion de supuestos7.1 Normalidad7.2 Heteroscedasticidad7.3 Autocorrelacion7.4 Multicolinealidad7.5 Forma Funcional (Especificacion del Modelo)






1. INTRODUCCION






1. Introduccion

El analisis de regresion representa una herramientafundamental para el desarrollo empırico del analisis economico.

Se establece la relacion de dependencia entre una variable(dependiente) y otra u otras (independientes o explicativas).

yt = f (x1t , x2t , ..., xkt)

Algunos de los propositos de la modelacion empırica son:encontrar la dependencia entre variables (cambios marginales,elasticidades, etc.), la realizacion de pronosticos, la definicionde polıticas publicas.






2. PASOS DE LAMODELACION ENECONOMETRIA






1 Planteamiento de la hipotesis.

Funcion consumoCt = f (Yt)Funcion de produccion

Yi = f (Ki , Li )

2 Modelo matematico.

Funcion consumoCt = Co + γYt

Funcion de produccionyi = β0 + β1ki + β2li






3 Modelo econometrico.

Funcion consumo

Ct = Co + γYt + et

Funcion de produccion

yi = β0 + β1ki + β2li + ei

4 Obtencion de los datos.

Fuentes primarias: DANE,Banco de la Republica, Ministerios,DNP, etc.Bases de datos: Encuestas (ECH, GEIH, ENDS, Censos,Proyecciones poblacionales, Cuentas Nacionales, etc.)Tipos de bases de datos: Corte transcersal, series de tiempo ydatos de panel.





















5 Escogencia del metodo de estimacion.

Mınimos Cuadrados Ordinarios (MCO)Mınimos Cuadrados Restringidos (MCR)Mınimos Cuadrados Generalizados (MCG)Maxima Verosimilitud (MV)Mınimos Cuadrados en Dos Etapas (MC2E)Variables instrumentales (IV)Modelo de efectos Fijos (FE En panel de datos)Modelo de efectos aleatorios (RE En panel de datos)

6 Verificacion de supuestos.Supuestos sobre los residuos

Distribucion normalVarianza constante (Homoscedasticidad)No-correlacion entre los errores (No-Autocorrelacion)






Supuestos sobre el modelo de regresionCausalidad unidireccional (desde las variables explicativas haciala variable dependiente).No-correlacion (alta o perfecta) entre dos o mas variablesexplicativas (no multicolinealidad, o matriz de diseno de rangocompleto)Adecuada especificacion del modelo. El modelo contiene lasvariables explicativas correctas (no hay variables omitidas oredundantes)

7 Realizacion de pronosticos

8 Simulacion de polıticas






3. METODO DEMINIMOS CUADRADOS

ORDINARIOS






Se parte del modelo linealyt = β1 + β2X2t + β3X3t + ...+ βkXKt + et ,

el cual puede expresarse matricialmente como:

Y=Xβ + e

El problema a solucionar en este caso es:

maxβ

S = (Y − Xβ)′(Y − Xβ)

De donde se consigue el estimador de M.C.O.:

β = (X ′X )−1(X ′Y )






Las siguientes son las propiedades de β :

1. Insesgamiento:

E[β] = β

2. Eficiencia:

Var-cov(β) = σ2(X ′X )−1

3. Linealidad

4. Consistencia:

p-limn→∞ β = β






Ejemplo 1: Funcion Consumo

Se quiere estimar la siguiente funcion consumo para laeconomıa de los Estados Unidos con informacion anual entre1929 y 2001. Las variables estan expresadas en logaritmos.

Funcion consumo

Ct = Co + γYt + et

Ct corresponde al gasto en consumo y Yt es el ingreso realdisponible.

El intercepto Co corresponde al consumo autonomo, esdecir aquel nivel de consumo cuando el ingreso es cero.

γ representa en este caso la propension marginal aconsumir.






Ejemplo 1: Funcion Consumo






Ejemplo 2: Funcion de produccion

Se quiere estimar la siguiente funcion de produccion para 20empresas. Las variables estan expresadas en logaritmos.

Funcion de produccion


yi corresponde a la produccion y ki al capital y li al trabajo.

El coeficiente β1 corresponde a la participacion del capital, yβ2 corresponde a la participacion del trabajo.

Recordemos que a traves de estos coeficientes es posibledeterminar si existen rendimientos decrecientes, constantes ocrecientes a escala.






Ejemplo 2: Funcion de Produccion






Ejemplo 3: Modelo de demanda de dinero

Se quiere establecer la relacion entre el agregado monetarioM1, y el producto, los precios y la tasa de interes. Esto sehace con datos anuales para el periodo 1910-2011. Lasvariables esta expresadas en logaritmos, excepto la tasa deinteres.

Funcion de demanda por dinero

M1t = β0 + β1lnYt + β2lnPi + β3rt + ei

M1t corresponde al agregado monetario M1, lnYt al ingreso(en logs), lnPt al IPC (en logs), y rt a la tasa de interes.

Que representan los coeficientes β1, β2 y β3?






Ejemplo 2: Funcion de Produccion






4.1 Pruebas Individuales4.2 Pruebas Conjuntas

4. PRUEBAS DEHIPOTESIS







Esquema general

I. Pruebas Individuales (Una sola restriccion)

1. Pruebas a dos colas

a. Pruebas de significancia

b. Pruebas segun la teorıa economica

2. Pruebas a una cola

II. Pruebas Conjuntas (Mas de una restriccion)

1. Pruebas de significancia

2. Pruebas segun la teorıa economica







¿Como distinguir entre pruebas individuales y conjuntas?

Supongamos que tenemos un modelo de regresion multiple:

yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ...+ βkXKt + et ,

H0 : β2 = β3Ha : β2 6= β3

H0 : β3 = 0Ha : β3 6= 0

H0 : β2 + β3 − β4 = 0Ha : β2 + β3 − β4 6= 0

H0 : β2 = β3 = 0Ha : Al menos un β2,3 6= 0

H0 : β2 − β3 = 0Ha : β2 − β3 6= 0

H0 : β2 = 4Ha : β2 6= 4







¿Como distinguir entre pruebas a una cola y a dos colas?



Pruebas a una cola

H0 : βi = βi o βi ≥ βiHa : βi < βi

La otra forma posible es:

H0 : βi = βi o βi ≤ βiHa : βi > βi

Pruebas a dos colas

H0 : βi = 0Ha : βi 6= 0

Otro ejemplo serıa:

H0 : βi + βj − βk = 0

Ha : βi + βj − βk 6= 0







¿Como distinguir entre pruebas de significancia y pruebassegun la teorıa economica?

Supongamos que tenemos un modelo de demanda de dinero:

lnM1t = β1 + β2lnYt + β3lnPi + β4rt + ei ,

Pruebas de significancia

H0 : β3 = 0Ha : β3 6= 0

H0 : β2 = β3 = β4 = 0Ha : Al menos un β2,3,4 6= 0

Pruebas de Teorıa Economica

H0 : β2 = β3Ha : β2 6= β3








4.1 Pruebas individuales







Esquema general















Pruebas Individuales: A dos colas

Estas pruebas de hipotesis se distinguen por tener signos deigualdad = y diferente de 6= en la hipotesis nula y alterna,respectivamente:

H0 : βi = βi

Ha : βi 6= βi

Para llevar a cabo esta prueba se puede utilizar el estadısticot-student de la siguiente manera:

t =βi − βiSD(βi )







Regla de decision:

Rechazar Ho si |t|> tα/2







Esquema general















Pruebas de significancia individual

Este tipo de prueba busca establecer si cada uno de los coeficientesde M.C.O. son o no diferentes de cero. Esto implica establecer silas variables explicativas correspondientes son significativas en elmodelo, es decir, que explican cambios en la variable dependiente.

En este caso, la prueba de hipotesis particular esta dada de lasiguiente forma:

H0 : βi = 0Ha : βi 6= 0

Lo cual puede llevarse a cabo a traves del estadıstico t-student:

t =βi − 0

SD(βi )Javier Perez [email protected] Introduccion a los Modelos de Regresion






Pruebas de significancia individual

Pero porque estarıamos interesados en probar si uno de losestimadores (β′s) es igual o diferente de cero?

Supongamos que tenemos un modelo de regresion multiple:yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + et ,

y queremos saber si la variable X3 explica, de algun modo, cambiosen la variable dependiente (y). En ese caso debemos probar si el β

correspondiente (β3 en este caso) es igual o diferente de 0.

H0 : β3 = 0Ha : β3 6= 0

De ser estadısticamente igual a 0, indicarıa que la variable X3 nocontribuye a explicar cambios en la variable dependiente (y).







Prueba de significancia individual. Ejemplo: F. Consumo

Supongamos que se quiere analizar la relacion entre elconsumo (C) y el ingreso (Y) a traves de una funcionconsumo Ct = Co + γYt + et . Despues de estimar el modelose obtiene el siguiente resultado:

Ct = −0, 050 + 0, 992Yt

se : (0, 008)

La primera prueba que debe realizarse es si la variableexplicativa, en este caso Y , afecta a la variable dependiente C .

H0 : γ = 0Ha : γ 6= 0








En este caso el estadıstico t-student se calcula como:

t =0, 992− 0

0, 008= 124.

Con 60 observaciones, el t − tabulado, con un nivel de significanciadel 5% (α = 0, 05) correspondiente es 2,00:








De este modo es posible observar que:

t − calculado(124) > t − tabulado(2)

De este modo, se cae en la Zona de Rechazo de la Ho, lo quequiere decir que, estadısticamente, 0, 992 6= 0.

En otras palabras que el termino γYt en el modelo es 6= 0, o lo quees igual, que el ingreso (Y) sı explica cambios en el consumo (C).







Stata F. Consumo: Se quiere determinar si el ingresoesta relacionado con cambios en el consumo

Ct = Co + γYt + et

H0 : γ = 0Ha : γ 6= 0







Stata F. de Produccion: ¿EL trabajo y el capital de lasempresas estan relacionados con cambios en la produccion?


H0 : β1 = 0 H0 : β2 = 0Ha : β1 6= 0 Ha : β2 6= 0







Stata D. por Dinero: ¿El agregado monetario M4 se veafectado por el ingreso, los precios y la tasa de interes?

lnM1t = β0 + β1lnYt + β2lnPi + β3rt + ei

H0 : β1 = 0 H0 : β2 = 0 H0 : β3 = 0Ha : β1 6= 0 Ha : β2 6= 0 Ha : β3 6= 0







Esquema general



a.Pruebas de significancia












Prueba segun la teorıa economica

Esta prueba no es mas que una extension de la anterior, unageneralizacion, a traves de la cual podemos probar estadısticamentesi uno de los estimadores (β′i s) toma algun valor en particular.

Si, por ejemplo, se tiene que despues de estimar el modelo β2=1,3con se=2,6, y se quiere probar si es igual a 2 (porque sabemos queesto dice la teorıa economica), el planteamiento es el siguiente:

H0 : β2 = 2Ha : β2 6= 2

en donde el estadıstico t-student se calcula como:

t =1, 3− 2

2, 6= −0, 26







Prueba segun la teorıa economica: Ejemplo1

Supongamos que se quiere analizar la relacion entre elconsumo (C) y el ingreso (Y) a traves de una funcionconsumo Ct = Co + γYt + et .

Supongamos tambien que la teorıa economica (los libros demacroeconomıa y los artıculos de revistas cientıficas) hanmostrado que el coeficiente γ es aproximadamente 0,8, esdecir que por cada peso ($1) adicional en el ingreso elconsumo aumenta en $0,8.

Despues de estimar el modelo se obtiene el siguiente resultado:

Ct = −0, 050 + 0, 992Yt

se : (0, 008)








De este modo, el investigador quisiera estar interesado enprobar estadısticamente si el modelo que acaba de estimar seajusta a lo que dice la teorıa economica (los libros demacroeconomıa y los artıculos de revistas cientıficas), es decir,quisiera estar interesado en probar si, estadısticamente, 0,992es igual a 0,8. En terminos de una prueba de hipotesis, seplantearıa de la siguiente forma:

H0 : γ = 0, 8Ha : γ 6= 0, 8

en donde el estadıstico t-student se calcula como:

t =0, 992− 0, 8

0, 008= 24, 0








Con 60 observaciones, el t − tabulado, con un nivel designificancia del 5% (0,05) correspondiente es 2,00, lo quepuede representarse de la siguiente forma:









t − calculado(24) > t − tabulado(2)

De este modo, se cae en la Zona de Rechazo de la Ho, lo quequiere decir que, estadısticamente, 0, 992 6= 0, 80.

En otras palabras que no se cumple la teorıa economica.







Ejemplo Rendimientos Constantes a Escala ¿Presentaesta industria rendimientos constates a escala?







Ejemplo Rendimientos Constantes a Escala ¿Presentaesta industria rendimientos constates a escala?


H0 : β1 + β2 = 1Ha : β1 + β2 6= 1







Ejemplo Elasticidad de la Demanda por Dinero ¿Es laelasticidad de la demanda por dinero unitaria en precios eingreso?







Ejemplo Elasticidad de la Demanda por Dinero ¿Es laelasticidad de la demanda por dinero unitaria en precios eingreso?

M1t = β0 + β1lnYt + β2lnPi + β3rt + ei

H0 : β1 = 1 H0 : β2 = 1Ha : β1 6= 1 Ha : β2 6= 1







Esquema general















Pruebas a una cola

Estas pueden distinguirse de las de dos colas si en la hipotesisalterna se indica un signo < o >, y no un 6= como en el caso de laspruebas a dos colas. De modo que las siguientes son dos formas atraves de las cuales se pueden expresar este tipo de hipotesis:

H0 : βi = βi o βi ≥ βi Regla de decision:Ha : βi < βi Rechazar H0 si t < −tα

La otra forma posible de planteamiento de una hipotesis a una colaes:

H0 : βi = βi o βi ≤ βi Regla de decision:Ha : βi > βi Rechazar H0 si t > tα







Prueba a una cola. Ejemplo Cadena de Hamburguesas

Supongamos que, luego de identificar los determinantes de losingresos (en miles de pesos) de una cadena de hamburguesas(precio (en pesos) y el gasto en publicidad (en miles depesos)), se estima el modelo:

ˆIngresost = 104, 7− 6, 64Preciot + 2, 98Publicidadt

Var-Cov(β) =

∣∣∣∣∣∣42, 026 −19, 863 −0, 161−19, 863 10, 184 −0, 054−0, 1611 −0, 054 0, 027

∣∣∣∣∣∣Javier Perez [email protected] Introduccion a los Modelos de Regresion






Prueba a una cola. Ej: Cadena de hamburguesas (1)

Se quiere determinar si la demanda por hamburguesas eselastica o inelastica al precio. Es decir, se quiere determinar siel coeficiente que acompana al precio es negativo. Lahipotesis quedarıa planteada de la siguiente manera:

H0 : β2 = 0 o β2 ≥ 0 (Demanda inelastica)Ha : β2 < 0 (Demanda elastica)

t =−6, 642

3, 191= −2, 08








Con 60 observaciones, el t − tabulado, con un nivel deconfianza del 5% (0,05) correspondiente es 1,67 (o -1,67), loque puede representarse de la siguiente forma:









t − calculado(−2, 08) < t − tabulado(−1, 67)

De este modo, se cae en la Zona de Rechazo de la Ho, lo quequiere decir que, estadısticamente, −6, 642 < 0.

En otras palabras que la demanda es elastica.








Se quiere determinar si un aumento del gasto en publicidadgenera un aumento en el ingreso suficiente para cubrir el gastoen publicidad. La hipotesis quedarıa planteada de la siguientemanera:

H0 : β3 = 1 o β3 ≤ 1 (Aumento en el ingreso insuficiente)Ha : β3 > 1 (Aumento en el ingreso suficiente)

t =2, 984− 1

0, 1669= 11, 89








Con 60 observaciones, el t − tabulado, con un nivel deconfianza del 5% (0,05) correspondiente es 1,67 (o -1,67), loque puede representarse de la siguiente forma:









t − calculado(11, 89) > t − tabulado(−1, 67)

De este modo, se cae en la Zona de Rechazo de la Ho, lo quequiere decir que, estadısticamente, 2, 98 > 1.

En otras palabras que el gasto en publicidad generara un aumentoen el ingreso suficiente para cubrir el gasto en publicidad.







4.2 Pruebas Conjuntas







Esquema general















Pruebas conjuntas: caracterısticas

Las pruebas conjuntas pueden distinguirse si el numero derestricciones (# de igualdades) en la hipotesis nula es mayorque 1.

Para el caso de la significancia conjunta, se utiliza elestadıstico F − Fisher , el cual tiene la caracterıstica de estaracotado unicamente para valores positivos (una sola cola).

Las siguientes son las formulas que se pueden utilizar parallevar a cabo pruebas conjuntas:







Formulas

F =R2/g

(1− R2)/(T − K )(Significancia global conjunta)

F =(R2

U − R2R)/g

(1− R2U)/(T − K )

(Cualquiera conjunta o individual)

F =(RRSS − URSS)/g

URSS/(T − K )(Cualquiera conjunta o individual)

Como es usual, luego de calcular el estadıstico correspondientesegun el caso, se compara con el de las tablas F-Fisher.







Formulas

A continuacion el detalle de cada uno de los terminos definidos enlas formulas anteriores:

RRSS: Suma de residuos al cuadrado (del modelo restringido)

URSS: Suma de residuos al cuadrado (del modelo no-restringido)

g: Numero de restricciones

T: Numero de observaciones

K: de variables explicativas (inlcuye la constante)

R2U : R2 del modelo no − restringido

R2R : R2 del modelo restringido







Modelos Restringidos vs Modelos No-Restringidos (EJ. 1)

Un modelo restringido es aquel en el que esta operando la hipotesisnula (Ho).

Supongamos que tenemos un modelo de regresion multiple:yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + et ,

y queremos saber si la variable X3 explica, de algun modo, cambiosen la variable dependiente (y). En ese caso debemos probar si el β

correspondiente (β3 en este caso) es igual o diferente de 0.

H0 : β3 = 0Ha : β3 6= 0








En este caso el Modelo No-Restringido sera aquel en el que

β3 6= 0 :

yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + et ,

De donde el RSS correspondera al del Modelo No-Restringido(URSS). Del mismo modo el R2 correspondera al R2

U .

En este caso el Modelo Restringido sera aquel en el que β3=0:yt = β1 + β2X2t + β4X4t + et ,

De donde el RSS correspondera al del Modelo Restringido(RRSS). Del mismo modo el R2 correspondera al R2

R .









yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + et ,

y se quiere determinar si la variable X2 y X4 explican cambios en lavariable dependiente (y). En ese caso la hipotesis sera la siguiente:










β3 6= 0 :

yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + et ,


U .

En este caso el Modelo Restringido sera aquel en el que

β2 = β4=0:yt = β1 + β3X3t + et ,

De donde el RSS correspondera al del Modelo Restringido(RRSS). Del mismo modo el R2 correspondera al R2

R .








Supongamos que tenemos un modelo de Demanda de Dinero:

lnM1t = β0 + β1lnYt + β2lnPt + β3rt + et ,

y que despues de estimarlo se obtuvieron los siguientes resultados:

lnM1t = −27, 6 + 3, 13lnYt + 0, 78lnPt − 0, 008rt ,

y se quiere determinar si, simultaneamente, las elasticidades precio(β2) e ingreso (β1) de la demanda por dinero son unitarias. En esecaso la hipotesis sera la siguiente:









En este caso el Modelo No-Restringido sera aquel en el que no

se condicionan los valores que tomen β1 y β2, o cualquier otroparametro del modelo:

lnM1t = β0 + β1lnYt + β2lnPt + β3rt + et ,


U .









β1=β2=1. Es decir:

lnM1t = β0 + lnYt + lnPt + β3rt + et ,

En donde la unica forma de garantizar que al momento de realizarla estimacion β1=β2=1 es pasar a restar las variables lnYt y lnPt :

lnM1t − lnYt − lnPt = β0 + β3rt + et .

De modo que si Zt = lnM1t − lnYt − lnPt , entonces, el modelorestringido a estimar serıa:

Zt = β0 + β3rt + et .

De donde el RSS sera el del Modelo Restringido (RRSS). Delmismo modo el R2 sera el R2

R .Javier Perez [email protected] Introduccion a los Modelos de Regresion






Esquema general















Prueba de significancia global

Si se tiene un modelo con K variables independientes,


la hipotesis de significancia global conjunta se define como:H0 : β2 = β3 = ... = βk = 0

Ha : Al menos un βi 6= 0

Es decir, que se quiere probar si todas las variables explicativas,excepto la constante, son iguales a cero. Para su calculo, aunquees posible usar cualquiera de las formulas de la F-Fishermencionadas anteriormente, la que requiere menos informacionpara su calculo es:

F =R2/g

(1− R2)/(T − K )(Significancia global conjunta)







Prueba de significancia global (Ejemplo)

Luego de estimar un modelo de regresion se obtuvieron lossiguientes resultados:

yt = 9, 7 + 0, 52X2t + 0, 69X3t + 0, 01X4t ,

R2 = 0, 7815 y N = 20,

y se quiere determinar la significancia global de los estimadores:

H0 : β2 = β3 = β4 = 0Ha : Al menos un β2,3,4 6= 0








Haciendo uso de la formula para la significancia global conjunta:

F =0, 7815/3

(1− 0, 7815)/(20− 4)= 30, 40

Con un nivel de significancia del 5% (α = 0, 05), el F tabuladosera 2,38:









F − calculado(30, 40) > F − tabulado(2, 38)

De este modo, se cae en la Zona de Rechazo de la Ho, lo quequiere decir que, estadısticamente, hay al menos un βi 6= 0, o loque es igual, que al menos una de las variables independientes enel modelo explican cambios en la variable ependiente.







Esquema general















Pruebas segun la teorıa economica

Este tipo de pruebas se realiza cuando el investigador estainteresado en probar cualquier otra hipotesis distinta a la designificancia conjunta. Si por ejemplo se estima una demanda pordinero ln(Mt) = β1 + β2ln(Pt) + β3ln(Yt) + β4rt + et ,

uno podrıa estar interesado en probar que las elasticidades precio eingreso son iguales y unitarias:

H0 : β2 = β3 = 1Ha : Al menos un βi 6= 1

En este caso el estadıstico F puede calcularse con cualquiera de lasdos siguientes formulas:

F =(R2

U − R2R)/g

(1− R2U)/T − K

o F =(RRSS − URSS)/g

URSS/T − K







Una forma sencilla de poner en practica las pruebas dehipotesis es: el P-value

El p-value o valor de probabilidad oscila entre 0 y 1.

En una prueba estadıstica se rechaza la Ho si el p-value es menoral nivel de significancia (α):

P-value < α =⇒ Se rechaza la Ho

De igual forma, en una prueba estadıstica se acepta la Ho si elp-value es mayor al nivel de significancia (α):

P-value > α =⇒ Se acepta la Ho






5.1 Modelos lineales5.2 Modelos logarıtmicos5.3 Modelos semi-logarıtmicos

5. INTERPRETACION DECOEFICIENTES







5.1 Modelos Lineales







Interpretacion: Modelos lineales

Los modelos lineales son aquellos para los que ninguna de lasvariables, dependiente o explicativas, tienen una transformacionlogarıtmica: yt = β1 + β2X2t + β3X3t + et .

En este caso la interpretacion de los coeficientes sera que anteaumentos de una unidad de la variable explicativa, la variabledependiente aumentara en βi unidades.

Si por ejemplo se tiene un modelo de los impuestos sobre elproducto: Impuestot = 0, 7 + 1, 2Productot .

En este caso la interpretacion del coeficiente que acompana alproducto es que ante aumentos de $1 en el producto losimpuestos aumentaran en $1,2, lo cual corresponde alcambio marginal.







Ejemplo 1: Funcion consumo - Modelo lineal

Ct = Co + γYt + et =⇒ Ct = −49.75 + 0.917Yt







Ejemplo 1: Funcion consumo - Modelo lineal

En esta caso, teniendo en cuenta que: (1): ninguna de las variablestiene transformacion logarıtmica, y (2): que estan expresadas enbillones de dolares, la interpretacion serıa la siguiente:

Ante un aumento en $1 billon de dolares (o por cada billon dedolares adicionales) en el ingreso, el consumo aumentara en$0,917 billones (o en $917 mil millones).







Ejemplo 2: Funcion de produccion - Modelo lineal

yi = β0+β1ki+β2li+ei ⇒ yi = −21.718, 9+10.752, 1ki+17.662, 6li







Ejemplo 2: Funcion de produccion - Modelo lineal

En esta caso, teniendo en cuenta que: (1): ninguna de lasvariables tiene transformacion logarıtmica, y (2) que estanexpresadas en las siguientes unidades: la produccion en miles depesos, el capital en millones de pesos y el trabajo en numero detrabajadores, la interpretacion serıa la siguiente:

Ante un aumento en $1 millon de pesos (o por cada millon depesos adicional) en el capital, la produccion aumentara en$10.752.170 (o en $10,7 millones).

Ante un aumento en 1 trabajador (o por cada trabajadoradicional) la produccion aumentara en $17.662.640 (o en 7,6millones).







5.2 Modelos Logarıtmicos







Interpretacion: Modelos logarıtmicos

Si se quieren calcular las elasticidades para facilidad deinterpretacion de los coeficientes, la variable dependiente y lasexplicativas deben estar transformadas con logaritmos:ln(yt) = β1 + β2ln(X2t) + β3ln(X3t) + et .

En este caso la interpretacion de los coeficientes sera que anteaumentos de un 1% en la variable explicativa, la variabledependiente aumentara en βi%.

Si en modelo de los impuestos sobre el producto las dos variablesestan en logaritmos y se obtienen los siguientes resultados:ln(Impuestot) = 0, 03 + 0, 76ln(Productot),

la interpretacion del coeficiente es que ante aumentos de un 1%en el producto los impuestos aumentaran en 0,76%.







Ejemplo 1: Funcion consumo - Modelo logarıtmico

lnCt = Co + γlnYt + et =⇒ lnCt = −0.05 + 0.992lnYt







Ejemplo 1: Funcion consumo - Modelo logarıtmico

En este caso, teniendo en cuenta que: las dos variables (ladependiente y la explicativa) tienen transformacion logarıtmica, lainterpretacion serıa la siguiente:

Ante un aumento en el 1% (o por cada 1% adicional) en elingreso, el consumo aumentara en 0,992%.







Ejemplo 2: Funcion de produccion - Modelo logarıtmico

lnyi = β0 + β1lnki + β2lnli + ei ⇒ lnyi = 9.7 + 0.52lnki + 0.69lnli







Ejemplo 2: Funcion de produccion - Modelo logarıtmico

En este caso, teniendo en cuenta que: las dos variables (ladependiente y las explicativas) tienen transformacion logarıtmica,la interpretacion serıa la siguiente:

Ante un aumento en el 1% (o por cada 1% adicional) en elcapital, la produccion aumentara en 0,52%.

Ante un aumento en el 1% (o por cada 1% adicional) en elnumero de trabajadores, la produccion aumentara en 0,69%.







5.3 Modelos Semilogarıtmicos







Interpretacion: Modelos Log-Lin

Los modelos log-lin son aquellos en donde la variable dependienteesta en logartimos y las independientes estan en niveles o, en otraspalabras, sin la transformacion logarıtmica:ln(yt) = β1 + β2X2t + β3X3t + et .

Para la interpretacion en este caso, el coeficiente correspondientedebe ser multiplicado por 100 para ser interpretado.

Si se tiene por ejemplo un modelo de salarios que depende de losanos de escolaridad y de experiencia laboral:ln(wi ) = 100, 5 + 0, 09si + 0, 14xi ,

la interpretacion del coeficiente que acompana a la escolaridadsera: ante un aumento de un ano en la escolaridad, el salariopromedio aumentara en el 9%.







Ejemplo 1: Funcion consumo - Modelo Log-Lin

lnCt = Co + γYt + et =⇒ lnCt = 6.46 + 0.00039Yt







Ejemplo 1: Funcion consumo - Modelo Log-Lin

En este caso, teniendo en cuenta que: (1) la variable dependientetiene transformacion logarıtmica, y la explicativa es lineal, lainterpretacion serıa la siguiente:

Ante un aumento de $1 billon en el ingreso (o por cada billonadicional en el ingreso), el consumo aumentara en 0,039%.







Ejemplo 2: Funcion de produccion - Modelo Log-Lin

lnyi = β0 + β1ki + β2li + ei ⇒ ˆlny i = 10.0 + 0.104ki + 0.193li







Ejemplo 2: Funcion de produccion - Modelo Log-Lin

En este caso, teniendo en cuenta que: (1) la variable dependientetiene transformacion logarıtmica, y las explicativas son lineales, lainterpretacion serıa la siguiente:

Ante un aumento de $1 millon en el capital (o por cada millonadicional en el capital), la produccion aumentara en 10,49%.

Ante un aumento de 1 trabajador (o por cada trabajadoradicional), la produccion aumentara en 19,3%.







Interpretacion: Modelos Lin-Log

Los modelos lin-log son aquellos en donde la variable dependienteesta en niveles (sin la transformacion logarıtmica) y lasindependientes estan en logaritmos:yt = β1 + β2ln(X2t) + β3ln(X3t) + et .

En este caso, para la interpretacion, el coeficiente correspondientedebe ser dividido por 100.

Si se estima de esta forma la relacion entre los impuestos (medidosen millones de pesos) y el producto:Impuestost = 1550 + 650ln(Productot),

la interpretacion del coeficiente que acompana al logaritmo delproducto sera: ante un aumento del 1% en el producto, losimpuestos aumentaran en $6,5 millones.







Ejemplo 1: Funcion consumo - Modelo Lin-Log

Ct = Co + γlnYt + et =⇒ Ct = −13.631, 8 + 2.104, 8lnYt







Ejemplo 1: Funcion consumo - Modelo Lin-Log

En este caso, teniendo en cuenta que: (1) la variable dependientees lineal (no tiene transformacion logarıtmica), y la explicativa eslogarıtmica, la interpretacion serıa la siguiente:

Ante un aumento del 1% en el ingreso (o por 1% adicional enel ingreso), el consumo aumentara en 21,04 billones.







Ejemplo 2: Funcion de produccion - Modelo Lin-Log

yi = −52.130, 2 + 51.485, 9lnki + 64.601, 4lnli







Ejemplo 2: Funcion de produccion - Modelo Lin-Log

En este caso, teniendo en cuenta que: (1) la variable dependientees lineal (no tiene transformacion logarıtmica), y las explicativastienen transformacion logarıtmica, la interpretacion serıa lasiguiente:

Ante un aumento de 1% en el capital (o por cada 1%adicional en el capital), la produccion aumentara en $514,8millones de pesos.

Ante un aumento de 1% en el numero de trabajadores (opor cada 1% adicional de trabajadores), la produccionaumentara en $646,0 millones de pesos.






6.1 Variables dummy en datos de corte transversal6.2 Variables dummy de series de tiempo

6. VARIABLES DUMMY







Generalidades

Variables Dummy (o dicotomas): caracterizadas por tomarunicamente valores de 0 y 1.

Segun el modelo en el que se incluyan pueden tener distintospropositos e interpretaciones. Lo que se busca con ellas esfundamentalmente dividir implıcitamente las observaciones endos grupos (por cada variable dummy que contenga el modelo).







Estructura para el uso de las variables dummy

1 Con datos de Corte Transversal1 Dummys aditivas (categoricas)

1 Separacion de grupos2 Para valores atıpicos

2 Dummys multiplicativas (de interaccion)

2 Con datos de Series de Tiempo1 Dummys de cambio estructural

1 Cambio estructural en intercepto2 Cambio estructural en pendiente3 Cambio estructural en intercepto y pendiente

2 Dummys para valores atıpicos3 Dummys para datos estacionales







6.1 Variables dummy en datos decorte transversal







Variables categoricas

Cuando trabajamos informacion en el que las observacionescorresponden a individuos (personas, familias, paıses, municipios,departamentos, etc.) definidos en un momento determinado detiempo. Supongamos el modelo de salarios:

ln(wi ) = β1 + β2si + β3xi + ei .

En este caso los coeficientes nos diran el efecto promedio(independientemente si son hombres o mujeres) de laescolaridad y de la experiencia sobre los salarios.







Variables categoricas

Si, a traves de este modelo, se quisiera obtener los efectosdiferenciados para los trabajadores hombres y mujeres sobre lossalarios, el modelo se define de la siguiente forma:

ln(wi ) = β1 + β2si + β3xi + γDi + ei ,

en donde la variable dummy Di se define como :

Di =

{1 si Hombre

0 si Mujer

El investigador es autonomo en decidir a que categorıa se lecolocara 1 y 0.







Para la interpretacion del coeficiente γ, es necesario realizar lasiguiente transformacion: eγ − 1.

Si, por ejemplo, luego de la estimacion este coeficiente tomara elvalor de γ = 0, 25, luego de la transformacion el valor a interpretarsera e0,25 − 1 = 0, 284.

En este caso la interpretacion del coeficiente sera: El salario delos hombres (para quienes D=1) es un 28,4% que el de lasmujeres.







Variables dummy de interaccion

En algunos casos se quiere encontrar los efectos de las variables deinteres condicionados a los grupos que definen las variables dummy.Esto se hace incluyendo variables de interaccion entre la variabledummy definida y cada una de las variables independientes.

En el modelo de salarios, la definicion serıa la siguiente:

ln(wi ) = β1 + β2si + β3xi + γ1Di + γ2(Di ∗ si ) + γ3(Di ∗ xi ) + ei .

Para la interpretacion de los coeficientes, si por ejemplo γ2 = 0, 07,esto indicarıa que por cada ano adicional de escolaridad que tenganlos hombres su salario aumentara un 7% mas que las mujeres.







6.2 Variables dummy en datos deseries de tiempo







Cambio estructural: Definicion

Un cambio estructural puede ser definido como una variacionbrusca (positiva o negativa) en la senda temporal de una variable,como resultado de choques exogenos. En general puedenpresentarse cambios estructurales en intercepto, en pendiente o enambas simultaneamente.







Cambio estructural en intercepto

El cambio estructutal en intercepto puede estar representado dela siguiente forma:

Se puede observar que el primer trayecto tiene un intercepto y unapendiente determinada, y a partir del momento t, la serie pasa atener un nuevo intercepto y la pendiente se mantiene.







Cambio estructural en intercepto

Este tipo de comportamiento se puede modelar en las variableseconomicas a traves de una variable dummy. Si se asume que estees el comportamiento en el modelo de los impuestos, y que elcambio ocurrio a partir de 1974, entonces la forma de controlar poreste cambio estructural es incluyendo una variable dummy:

Impuestot = β1 + β2Productot + γDi + et ,

en donde:

Di =

{1 si t < 1974

0 si t ≥ 1974

Ası, antes del cambio estructural, el intercepto era β1 ydespues del cambio estructural pasa a ser (β1 + γ).







Cambio estructural en pendiente

El cambio estructural en pendiente ocurre cuando a partir de unmomento de tiempo determinado la pendiente de la variablecambia repentinamente.

En este caso a partir de t la serie tiene una nueva pendiente.







Cambio estructural en pendiente

Al igual que en el caso del cambio estructural en intercepto, estecomportamiento se puede modelar a traves de la utilizacion devariables dummy. En este caso la forma funcional serıa la siguiente:

Impuestot = β1 + β2Productot + γ(Di ∗ Productot) + et ,

en donde:

Di =

{1 si t < 1974

0 si t ≥ 1974

Antes del cambio estructural, la pendiente estabadeterminada por β2 y despues del cambio estructural pasa aser (β2 + γ).







Cambio estructural en intercepto y en pendiente

La combinacion de los dos cambios estructurales anteriores puedetambien encontrarse, y tomarıa la forma:

En este caso a partir de t la serie tiene un nuevo intercepto y unanueva pendiente.







Cambio estructural en intercepto y en pendiente

El modelo en este caso estara definido de la forma:

Impuestot = β1 + β2Productot + γ1Di + γ2(Di ∗ Productot) + et ,

en donde:

Di =

{1 si t < 1974

0 si t ≥ 1974

Antes del cambio estructural, el intercepto estabadeterminado por β1 y despues del cambio estructural por(β1 + γ).

Para el caso de la la pendiente, antes del cambio estructuralera β2 y despues del cambio estructural pasa a ser (β2 + γ).






7.1 Normalidad7.2 Heteroscedasticidad7.3 Autocorrelacion7.4 Multicolinealidad7.5 Forma Funcional (Especificacion del Modelo)

7. VIOLACION DESUPUESTOS







7.1 Normalidad







Normalidad - Generalidades

El supuesto de normalidad es fundamental en la estimacion de losmodelos lineales de regresion. De acuerdo a este supuesto losresiduos del modelo deben seguir una distribucion como lasiguiente:







Normalidad - Generalidades

Causas de No-Normalidad: una de las razones mas frecuentespara que los residuos no cumplan este supuesto es la presencia devalores atıpicos en los datos.

Consecuencias de No-Normalidad: A pesar de no tenerconsecuencias de sesgo o ineficiencia en los estimadores delmodelo, de no resultar normales los residuos, no sera posible llevara cabo las pruebas de hipotesis usuales a traves de las pruebast-student, F-Fisher o Chi-Cuadrada.

Relacion entre Normalidad y el Teorema del Lımite Central.







Normalidad - Metodo de Deteccion

El mas utilizado metodo de deteccion es la prueba de Jarque-Bera(J-B), a traves de la cual es posible establecer si los residuos delmodelo siguen o no una distribucion normal. Esta prueba se basaen el tercer y cuarto momentos de la distribucion (asimetrıa yapuntamiento, respectivamente).

H0 : Normalidad en los residuos

Ha : No-normalidad en los residuos







7.2 Heteroscedasticidad







Heteroscedasticidad - Generalidades

El problema de heteroscedasticidad se refiere a que la varianza delos errores no es constante a traves de las observaciones, es decir,var(ei =σ2.







Heteroscedasticidad - Causas y Consecuencias

Causas de la Heteroscedasticidad: 1.en general proviene de lamisma interrelacion entre las variables explicativas y ladependiente (Ej.gasto en alimentacion e ingresos); 2.otra causausual en los modelos de regresion es la presencia de valoresatıpicos (outliers).

Consecuencias de la Heteroscedasticidad: cuando los residuosdel modelo presentan heteroscedasticidad, los estimadorescontinuaran siendo insesgados pero seran ineficientes. Estasituacion afecta directamente las pruebas de hipotesis sobre losestimadores del modelo.







Heteroscedasticidad - Metodos de Deteccion

Metodos de deteccion: existen varias pruebas que permitendetectar el problema (Goldfeld Quandt, Breusch Pagan, y White).Sin embargo, la mas utilizada, debido a su generalidad, es laprueba de White:

e2t = α0 + α1Z1t + α2Z2t + ...+ αpZPt + ut ,

H0 : 1 = α2 = ... = αp = 0 Homoscedasticidad

Ha : Al menos un αi 6= 0 Heteroscedasticidad







Heteroscedasticidad - Medidas Remediales

Medidas remediales: 1. La forma de solucionar el problema es atraves del calculo del estimador de Mınimos CuadradosGeneralizados (M.C.G.); 2. Sin embargo, la forma mas usada escorrigiendo la matriz de varianzas covarianzas (esto es facilmenteimplementado en Stata calculando los errores estandar robustosa heteroscedasticidad.







7.3 Autocorrelacion







Autocorrelacion - Generalidades

Otro de los supuestos del modelo es que los errores del modelode regresion no estan correlacionados en el tiempo:cov(et , es) = 0 ∀ t 6= s.

Causas: Las causas mas usuales son: 1. La existencia de ciclos ytendencias; 2. Relaciones no-lineales entre las variables delmodelo; 3. Omision de variables relevantes.

Consecuencias:cuando los residuos del modelo presentanheteroscedasticidad, los estimadores continuaran siendo insesgadospero seran ineficientes. Esta situacion afecta directamente laspruebas de hipotesis sobre los estimadores del modelo. Los erroresestandar son calculados en forma incorrecta.







Autocorrelacion: Metodos de Deteccion

Metodos de deteccion: Para el caso de autocorrelacion en loserrores del modelo de regresion existen varias pruebas:

Prueba deDurbin-Watson: Permite detectar autocorrelacion deprimer orden.

Prueba deDurbin-h: Permite detectar autocorrelacion de primerorden cuando el modelo incluye como variable explicativa unrezago de la variable dependiente.







Autocorrelacion: Metodos de Deteccion

Prueba de Breusch-Godfrey: Esta es una de las pruebas deautocorrelacion mas utilizada. La razon es que permite probar siexiste autocorrelacion de cualquier orden.

e2t =β0+β1X1t+β2X2t+...+βkXKt+γ1e

2t−1+γ2e

2t−2+...+γp e

2t−p+ut ,

H0 : γ1 = γ2 = ... = γp = 0 No-Autocorrelacion de orden ”p”

Ha : Al menos un γi 6= 0 Autocorrelacion de orden ”p”







Autocorrelacion - Medidas Remediales

Medidas remediales: La forma mas utilizada para solucionar esteproblema es la inclusion, como variables explicativas en el modelode regresion, rezagos de la variable dependiente.

Acerca del numero de rezagos a utilizar para realizar la pruebade hipotesis, y de cuantos utilizar para corregir el problema, estacercanamente ligado a la periodicidad de los datos en eltiempo (PEj. 12 si son datos mensuales, 4 si son datostrimestrales, etc.)







7.4 Multicolinealidad







Multicolinealidad - Generalidades

Concepto: Multicolinealidad se refiere al hecho de que existe unaalta o perfecta relacion entre las variables explicativas, y delmismo modo se define el tipo de multicolinealidad en el modelo.

Causas: Alguna relacion entre las variables explicativas. En lamayorıa de los casos la razon es que el investigador realizo unainadecuada especificacion del modelo. P.Ej. cuando en unmodelo de regresion se incluye simultaneamente el ingreso familiary tambien el ingreso de la persona cabeza de familia. Para el casode perfecta multicolinealidad la causa mas frecuente es cuandose cae en la trampa de la variable dummy, situacion en la cualse incluyen tantas variables dummy como grupos se definen en unadeterminada variable.







Multicolinealidad - Consecuencias

Consecuencias: Para el caso de perfecta multicolinealidad, laconsecuancia es que no se puede obtener el estimadro de M.C.O.En el caso de alta multicolinealidad la consecuancia es lainestabilidad de los estimadores (ante cambios en el numero devariables u observaciones del modelo). Esto implica, de igualforma, en que los coeficiente del modelo no estan recogiendounicamente el efecto de la variable explicativa queacompanan, sino un efecto mixto de las dos variables explicativasaltamente relacionadas.







Multicolinealidad - Metodos de Deteccion

Metodos de deteccion: Existen multiples mecanismos a traves delos cuales es posible determinar si existe alta multicolinealidad.Algunos de los mas utilizados son:

Matriz de correlaciones entre las variables explicativas. Unaalta correlacion entre dos variables mostrarıa evidencias delproblema.

Inestabilidad de los coeficientes ante modificacion del numerode variables u observaciones.

Contradiccion entre las pruebas de significancia individual(t-student) y conjunta (F-Fisher).

Un alto coeficiente de determinacion (R2) puede ser unindicio de la existencia del problema.







7.5 Forma Funcional







Forma Funcional - Generalidades

Concepto: Esta prueba tiene como objetivo establecer si elmodelo estimado tiene una adecuada especificacion. Es decir, si latransformacion de las variables (logaritmos o niveles) es laadecuada. De igual forma permite establecer si el modelo enfrentael problema de variables omitidas. En este caso, la media de loserrores sera diuferente de cero (E (et 6= 0).

Para llevar a cabo esta prueba suponga que estamos interesados enestimar el siguiente modelo de regresion:

yt = β1 + β2X2t + β3X3t + et ,







Forma Funcional - Metodo de Deteccion

Con el fin de establecer si el modelo presenta o no una adecuadaespecificacion, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Estimar el modelo original.

2. Calcular Yt .

3. Estimar una regresion auxiliar en donde la variable dependientepuede ser Yt o et , y como explicativas las del modelooriginal (X2t y X3t). Adicionalmente, un numero q depotencias de la variable dependiente:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + α1Y2t + α2Y

3t + ...+ αqY

qt + et







Forma Funcional - Metodo de Deteccion

En este caso las hipotesis nula y alterna son las siguientes:

H0 : α1 = α2 = ... = αp = 0 Forma funcional adecuada

Ha : Al menos un αi 6= 0 Forma funcional inadecuada


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Introducci on a los Modelos de Regresi on