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Introducción a la Optimización Matemática
http://www.academia.utp.ac.pa/humberto-alvarez/metodos-de-optimizacion
H. R. Alvarez A., Ph. D.
Modelos de Optimización
◼ Un problema de optimización es, engeneral, un problema de decisión.
◼ Tienen como propósito seleccionar lamejor decisión de un número deposibles alternativas, sin tener queenumerar completamente todas ellas.
◼ La Teoría de Optimización es una ramade la matemática aplicada que formulay explica estos problemas
Tópicos en optimización: Programación Matemática
◼ Objetivo: ◼ Encontrar el mejor punto que optimice un modelo
económico
◼ Formulación matemática◼ Optimizar y(x)
Sujeto a (x) ≥ 0 i, x = (x1, x2, …, xn)
◼ Métodos:◼ Analíticos, Programación Geométrica, P. L.,
programación combinatoria, métodos heurísticos, métodos matemáticos discretos.
Tópicos en optimización: Métodos variacionales
◼ Objetivo:
◼ Encontrar la mejor función que optimice el modelo económico
◼ Formulación matemática
◼ Optimizar I[y(x)] = F[y(x), y’(x)]dx
Sujeto a las restricciones algebraicas de integración o matemáticas en general
◼ Métodos:
◼ Cálculo de variaciones, modelos continuos.
La teoría general de máximos y mínimos
◼ Problemas no restringidos
◼ Está dirigida a encontrar los puntos extremos de una función.
◼ Teoremas:
◼ Una función que es continua en un dominio cerrado posee unvalor máximo o mínimo en el interior del intervalo o en suslímites.
◼ Una función continua alcanza un máximo o un mínimo en elinterior de una región solo en los puntos donde su enésimaderivada ya sea se hace cero (puntos estacionarios o deinflexión) o no existe (punto de discontinuidad).
H. R. Alvarez A., Ph. D.
Óptimos globales y locales
◼ Será óptimo local si tiene un máximo o mínimo en el intervalo [a, b]
◼ Será óptimo global si tiene un máximo o mínimo en el intervalo [-, ]
◼ Si el óptimo local es el global, se tiene una función con óptimo exacto.
H. R. Alvarez A., Ph. D.
Condiciones suficientes para el óptimo en una variable independiente
◼ Para una función continua (x), si:
◼ ’(x) x
◼ X* es crítico si ’(x*) = 0
◼ ’’(x*) =
◼ Si ’’(x*) = 0, se examinan n derivadas de orden superior hasta que n(x*) 0
◼ Si n es par: n(x*) =
◼ Si es impar: punto de inflexión.
H. R. Alvarez A., Ph. D.
> 0 → mínimo
< 0 → máximo
> 0 → mínimo
< 0 → máximo
= 0 → no hay definición
Ejemplo:
H. R. Alvarez A., Ph. D.
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑦 =𝑥4
4−
𝑥2
2
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥= 𝑥3 − 𝑥 = 0 ;𝑥 𝑥2 − 1 = 0
𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = −1
ⅆ2𝑦
ⅆ𝑥2= 3𝑥2 − 1 = 0 ;𝑥 = 0, 𝑓"(0)=-1 es max; 𝑓"( ± 1)=2 es min
H. R. Alvarez A., Ph. D.
𝑦 =𝑥4
4−
𝑥2
2
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥= 𝑥3 − 𝑥
ⅆ2𝑦
ⅆ𝑥2= 3𝑥2 − 1
H. R. Alvarez A., Ph. D.
H. R. Alvarez A., Ph. D.
H. R. Alvarez A., Ph. D.
Ejemplo:
◼ El precio de cierto producto está definido por la siguiente ecuación:
◼ donde p es el precio y q es la cantidad vendida.
◼ Encontrar la q que genera un ingreso máximo, donde el ingreso es pq.
H. R. Alvarez A., Ph. D.
H. R. Alvarez A., Ph. D.
i = 20q-q2/4
P’ = 20-q/2q = 40 P’’ = -1/2
q → hace que el ingreso sea máximo
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H. R. Alvarez A., Ph. D.
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En el caso de dos variables
◼ (x*, y*) serán un punto crítico de (x, y) si son solución del sistema:
◼ Sea D(x, y) = ’’x(x, y) ’’y(x,y) – [’xy(x, y)]2
◼ Entonces si:
H. R. Alvarez A., Ph. D.
’x(x, y) = 0
’y(x, y) = 0
▪ Si z = (x, y) tiene un máximo o mínimo relativo en (x*, y*) y si ’x(x, y) y ’y(x, y) están definidos en los alrededores de (x*, y*), entonces
D(x*, y*) =
> 0 y ’’x(x*, y*) < 0, (x, y) tiene un máximo en x*, y*
> 0 y ’’x(x*, y*) > 0, (x, y) tiene un mínimo en x*, y*
< 0 (x, y), x*, y* es punto de inflexión
= 0 (x, y), hay que hacer un análisis adicional
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max𝑦 = 5 + 3𝑥 − 4𝑦 − 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2
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Máximo
Mínimo
Inflexión
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El problema general de optimización: el problema no lineal con restricciones
◼ Maximizar (x)
◼ Sujeto a:
◼ gi(x) ≤ ci i = 1, …, m
◼ Donde y gi son funciones generales del parámetro x n ≥ 0
◼ Cuando es convexa, gi cóncava, el problema es un problema de programación convexa
H. R. Alvarez A., Ph. D.
Condiciones de Kuhn-Tucker◼ A fin de que el problema tenga solución óptima, debe cumplir,
como condiciones necesarias las Condiciones de Kuhn-Tucker:
◼ Sea el Lagrangiano de la función de maximización dado por:
◼ Este debe cumplir con las siguientes condiciones
◼ Para todo i, j. En este caso i es conocido como el coeficiente de Lagrange para el lagrangiano L
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Ejemplo:◼ (Construcción de una caja con volumen máximo)
◼ Se quiere determinar las dimensiones de una caja rectangular de forma que contenga el mayor volumen posible utilizando para ello una cantidad fija de material.
◼ El problema en forma abstracta se podría plantear en los siguientes términos
◼ Sea V el volumen total y A el área total de las caras.
◼ Sean x, y, z el largo, ancho y espesor de la caja
◼ Entonces
Maximizar Volumen de la caja
sujeto a Área lateral fija
H. R. Alvarez A., Ph. D.
𝑀𝑎𝑥 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧sujeto a: 2 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 𝐴
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝐴 − 2 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 )𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0
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Si se asume que A = 20 cm2
Ejemplo
◼ Max Z =3x + 5y
◼ Sujeto a:
x ≤ 4
9x2 + 5y2 ≤ 216
x , y ≥ 0
H. R. Alvarez A., Ph. D.
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AMPL
H. R. Alvarez A., Ph. D.
Ejemplo
◼ Max Z = 126x -9x2 + 182y – 13y2
◼ Sujeto a
x 4
2y 12
3x + 2y 18
x, y 0
H. R. Alvarez A., Ph. D.
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AMPL
H. R. Alvarez A., Ph. D.
Ejemplo
◼ Encontrar los puntos críticos
f(x, y) = xy
Sujeto a:
x2 + y2 = 1
Aplicando el Lagrangiano
L = xy + (x2 + y2 – 1)
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Ejemplo 3
◼ Optimizar z = xy
◼ Sujeto a:
x + y ≤ 1
-x + y ≤ 1
-x – y ≤ 1
x – y ≤ 1
x, y
H. R. Alvarez A., Ph. D.
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Programación lineal
◼ Si y gi son lineales y convexas, se tiene un problema de programación lineal.
◼ Características:
◼ Reduce sus soluciones a un número finito de éstas.
◼ Es un problema combinatorio, ya que las posibles soluciones yacen en las intersecciones de un hiperplano convexo definido por las restricciones convexas.
H. R. Alvarez A., Ph. D.
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hiperplano convexo definido por las restricciones convexas
Contexto del curso
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Problema no lineal
Problema convexo
Problema lineal
Problema de flujo máximo
Problema entero
Métodos de solución
Inicio
Encontrar punto o
función óptimas
Programación
Matemática
Métodos
variacionalesPunto Función
¿Hay restrcciones
involucradas?
¿Hay condiciones para
Lagrange?
¿Son las funciones de
utiidad y restriccones
lineales?
¿Son las funciones de
utiidad polinómicas?
¿Es posible forumular el
modelo por etapas?
SI
NO
NO
NO
Conslruir la
función de
Lagrange
Diferenciar y
resolver por
ecuaciones
simultáneas
SI
NO
Resolver por P. L.SI
Resolver por
Programación No
Lineal
SI
Utilizar
progrmación
dinámica
SI
Resolver mediante
técnicas de
búsqueda
multivariada
NO
¿Es la respuesta
satisfactoria?
NO
FIN
SI
Solución del modelo de optimización
◼ Analítica
◼ Métodos numéricos
◼ Heurística
◼ Simulación
◼ Discreta
◼ Dinámica