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Introduccin a la Introduccin a la OptimizacinOptimizacin
lvaro Ballo Moreno
Introduccin a la Optimizacin - 1
Concepto de optimizacin. reas de estudio:
Programacin lineal. Programacin lineal entera. Programacin no lineal. Programacin dinmica.
ContenidoContenido
Introduccin a la Optimizacin - 2
Tenemos la responsabilidad de gestionar un sistema: Economa de un pas. Proceso de fabricacin. Negocio de transporte. Equipo de personas.
La situacin del sistema se caracteriza mediante variables de estado: Describen totalmente la situacin del sistema en un instante t. Economa de un pas: Inflacin, PIB... Proceso de fabricacin: Unidades de producto terminado,
unidades disponibles de materia prima... Negocio de transporte: Unidades disponibles en los almacenes
de origen, unidades demandadas en cada destino... Equipo de personas: Personas que trabajan en cada turno...
Punto de partida: el sistemaPunto de partida: el sistema
Introduccin a la Optimizacin - 3
Las decisiones se denominan variables de control: Economa de un pas: Tipos de inters, poltica fiscal... Proceso de fabricacin: Unidades de producto a fabricar... Negocio de transporte: Unidades a transportar desde cada
almacn de origen a cada destino... Equipo de personas: Personas que entran a trabajar en cada
hora... El sistema debe verificar ciertas restricciones:
Economa de un pas: Inflacin y dficit pblico limitados... Proceso de fabricacin: Lmite del almacn de producto
terminado... Negocio de transporte: Nmero mximo de unidades en cada
trayecto... Equipo de personas: Nmero mximo de horas de trabajo
seguidas...
Problema: tomar decisionesProblema: tomar decisiones
Introduccin a la Optimizacin - 4
Normalmente existen mltiples soluciones para las que el sistema verifica las restricciones: Se denominan soluciones factibles.
Es necesario establecer criterios que permitan ordenar las soluciones de mejor a peor. Se puede definir una funcin objetivo que valore
cuantitativamente la bondad de una cierta solucin.
Objetivo: identificar las decisiones Objetivo: identificar las decisiones ptimasptimas
Introduccin a la Optimizacin - 5
Mltiples funciones objetivo: OptimizaciOptimizacin n multicriteriomulticriterio No hay coincidencia del ptimo para los diferentes objetivos.
No existe funciNo existe funcin objetivon objetivo Sistema de ecuaciones (no) lineales. Encontrar una solucin factible.
No existen restricciones: OptimizaciOptimizacin sin n sin restriccionesrestricciones Determinar el mnimo de un funcin.
Optimizacin: casos particularesOptimizacin: casos particulares
Introduccin a la Optimizacin - 6
Programacin lineal (LP): Se utiliza en situaciones que pueden representarse utilizando:
Expresiones lineales: que no incluyan productos de variables. Variables continuas.
Existen algoritmos de resolucin muy potentes que permiten abordar problemas de gran tamao:
> 106 variables, > 106 restricciones. La teora de la dualidad permite:
Interpretar econmicamente los resultados obtenidos. Analizar el impacto econmico de las restricciones. Obtener una nueva solucin ptima de forma sencilla ante
pequeas variaciones de la situacin. Siempre que se pueda, interesa adoptar este enfoque.
Optimizacin: reas de estudioOptimizacin: reas de estudio
Introduccin a la Optimizacin - 7
Programacin lineal entera (MIP, MLIP): Se utiliza en situaciones que pueden representarse utilizando:
Expresiones lineales: que no incluyan productos de variables. Variables continuas. Variables enteras para representar niveles discretos de decisin. Variables binarias para representar decisiones alternativas, etc.
Con este enfoque se puede plantear prcticamente cualquier problema, pero...
...el tamao de los problemas que se puede resolver es menor:
~ 104 variables, ~ 104 restricciones. Slo debe utilizarse cuando no sea posible el enfoque LP.
Optimizacin: reas de estudioOptimizacin: reas de estudio
Introduccin a la Optimizacin - 8
Programacin no lineal (NLP): Se utiliza en situaciones que deben representarse utilizando:
Expresiones no lineales: como productos de variables. Variables continuas.
En general es difcil garantizar que la solucin obtenida es la ptima:
La programacin cuadrtica es una excepcin. La interpretacin econmica de la formulacin suele ser
interesante pero... ...los algoritmos de resolucin son poco potentes. Es posible abordar slo problemas de pequeo tamao. Normalmente es posible reformularlos como problemas MLIP.
Optimizacin: reas de estudioOptimizacin: reas de estudio
Introduccin a la Optimizacin - 9
Programacin dinmica (DP): Estudia problemas en los que las decisiones se toman en
varias etapas. El estado del sistema en cada etapa se define completamente con
las variables de estado. Las decisiones de cada etapa determinan el estado del sistema en
etapas posteriores. Para abordar estos problemas se discretiza el abanico de
estados que el sistema puede tener en cada etapa. La estrategia de solucin se basa en el principio de
Bellman:
Optimizacin: reas de estudioOptimizacin: reas de estudio
Una poltica ptima se caracteriza por que, independientemente del estado inicial y de la decisin inicial, las decisiones restantes deben constituir una poltica ptima
con respecto al estado resultante de la primera decisin
Modelos y modeladoModelos y modelado
lvaro Ballo Moreno
Introduccin a la Optimizacin - 11
Esquema tericoEsquema terico, generalmente en forma matemticamatemtica, de un sistema o de una realidad compleja (por ejemplo, la evolucin econmica de un pas), que se elabora para facilitar su comprensinfacilitar su comprensin y y el estudio estudio de su comportamiento.
Diccionario de la lengua espaola. Real Academia Espaola.
ModeloModelo
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Representacin de una realidad: Compleja:Compleja: Puede involucrar equipo multidisciplinar. Precisa:Precisa: Formulada mediante expresiones matemticas. Simplificada:Simplificada:
Las simplificaciones introducidas son vlidas en un cierto mbito de utilizacin del modelo: no debe usarse fuera de ese mbito.
Permiten mantener un equilibrio entre representacin detallada ycapacidad de obtener resultados numricos.
En el mbito de la Investigacin Operativa (IO): Son herramientas de ayuda a la toma de decisiones.decisiones.
ModeloModelo
Introduccin a la Optimizacin - 13
Interaccin entre dos agentes:
Proceso de modeladoProceso de modelado
Experto: Conoce el sistema de estudio.
Quiere introducir mejoras.Desea asesoramiento para tomar decisiones.
ExpertoExperto: : Conoce el sistema de estudio.
Quiere introducir mejoras.Desea asesoramiento para tomar decisiones.
Modelador:Especifica y desarrolla el modelo que permite orientar esa toma de decisiones.
Dos vertientes:Ciencia
Anlisis y deteccin de relaciones entre datos Suposiciones y aproximaciones a los problemas Algoritmos especficos de solucin
Arte Visin o interpretacin de la realidad Estilo en modelo y documentacin Elegancia y simplicidad en desarrollo Uso de creativo de herramientas
ModeladorModelador::Especifica y desarrolla el modelo que permite orientar esa toma de decisiones.
Dos vertientes:CienciaCiencia
Anlisis y deteccin de relaciones entre datos Suposiciones y aproximaciones a los problemas Algoritmos especficos de solucin
ArteArte Visin o interpretacin de la realidad Estilo en modelo y documentacin Elegancia y simplicidad en desarrollo Uso de creativo de herramientas
Introduccin a la Optimizacin - 14
Dilogo entre modelador y experto: Entrevistas. Conocimiento mutuo. Manejo de un lenguaje comn:
El modelador se familiariza con el sistema de estudio. El experto se familiariza con las tcnicas de modelado.
Especificacin de objetivos comunes: Acuerdo en la metodologa y en los recursos.
Descripcin del comportamiento del sistema: Identificacin de variables de estado y de control. Identificacin de restricciones. Identificacin de posibles objetivos (econmicos, de
rendimiento, etc.) Proporciona una primera aproximacin al problema.
Proceso de modeladoProceso de modelado
Introduccin a la Optimizacin - 15
Formulacin de hiptesis y simplificaciones Ayudan a comprender mejor el problema. Permiten que el problema sea tratable computacionalmente. Es necesario valorar el impacto que pueden suponer en el
resultado. Desarrollo de modelos reducidos o prototipos:
Permiten hacer pruebas iniciales y comprobar si el planteamiento es adecuado.
Organizacin de la informacin disponible Identificar la informacin relevante para el problema. Recopilacin de informacin: tarea costosa. Creacin de un sistema de informacin: e.g. base de datos. Parmetros desconocidos: estimaciones. Parmetros inciertos: representacin de la estocasticidad.
Proceso de modeladoProceso de modelado
Introduccin a la Optimizacin - 16
Primera versin del modelo: Definicin de una funcin objetivofuncin objetivo. Especificacin de las variablesvariables del problema, junto con sus
lmites. Especificacin de los datos de entrada o parmetrosparmetros. Incorporacin de los parmetros estocsticosparmetros estocsticos, mediante un
equivalente determinista o mediante una representacin de su distribucin de probabilidad.
Formulacin de las relaciones existentes entre variables y parmetros: restriccionesrestricciones.
Anlisis de tamao y estructuratamao y estructura del problema Identificacin de tipo de problem
