Introducción a La Lógica1

7/25/2019 Introduccin a La Lgica1

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INTRODUCCIN A LA LGICA

1. Fundamentacin bsica

Enunciado sim!e"Frase, oracin declarativa simple que es verdadera o falsa; pero no ambas cosas (lgica

bivalente).Los enunciados simples no son suficientes para expresar una mnima parte de laterminologa matemtica. odemos notar que cuando expresamos nuestras ideas pormedio de frases intervienen conectivos como !no", !#", !o"..., los cuales enla$anenunciados simples.

Conecti#os !$icos"%on partculas que act&an sobre enunciados simples formando enunciados ms

comple'os. Los ms bsicos son

Nomb%e &'mbo!o &e !eeLa negacin !no..." !no es cierto que...", !es falso que..."La con'uncin !... # ...", !...e..."La dis#uncin !... o ..."l condicional !si ... entonces ..."l bicondicional !... si # slo si ..."

Enunciado comuesto"

Formado por la unin de enunciados simples mediante conectivos.'emplo%ean los dos ra$onamientos siguientes*) %i la sociedad de los +ombres +a de ser siempre como a+ora, entonces la

corrupcin es eterna. s as que la corrupcin no es eterna. Luego no +a de ser siempre como a+ora la sociedad de los +ombres.

) %i florecen las +ortensias, entonces se marc+itan los tulipanes s as que no se marc+itan los tulipanes. Luego no florecen las +ortensias.

%i en estas argumentaciones se reempla$a a los enunciados simples por

La sociedad de los +ombres +a de ser siempre como a+ora - pLa corrupcin es eterna - qFlorecen las +ortensias - r%e marc+itan los tulipanes - s

%e tiene* %i p, entonces q. ) %i r, entonces s.

s as que no q. s as que no s.Luego no p. Luego no r.


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n estos enunciados compuestos se mantiene la forma # se vara el contenido. s decir+a# unas partculas que se mantienen constantes # otras que varan.(%e +a definido #a%iab!es como expresiones que por s mismas no tienen ningunasignificacin determinada # las partculas que son constantesson los conectivos para la

lgica).*dems se puede identificar que a la lgica no le interesa el contenido de las sentencias,sino slo la estructura formal de las relaciones entre los enunciados.l contenido de las sentencias se representa mediante variables, signos que constitu#ena enunciados cualesquiera. %e utili$an las letras min&sculas !p", !q", !r", !s", !t", etc.como variables de enunciado.

E(em!o"*) (p q) q/ p ) (r s) s/ r

%e observa que

0 Los signos de agrupacin son los signos de puntuacin de la lgica. 1o es lo mismotener (p q) q/ p que (p q) q p/ o que p(q q) p/

0 La agrupacin a#uda a determinar cual es el conectivo de ma#or fuer$a en elenunciado compuesto (ara el e'emplo, en ambos casos, es el segundo condicional).

1.1 )ALORE& DE )ERDAD"

0 2n enunciado simple es siempre o bien verdadero o bien falso, es decir, tiene un

slo valor de verdad.0 l valor de verdad de un enunciado compuesto depende del valor de verdad de losenunciados simples que lo conforman # de la relevancia de los conectivos queintervienen seg&n est3n agrupados.Los bsicos son

p p p p4 F 5 6F 4 6 5


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%ip q pq pq pq pq

4 4 4 4 4 44 F F 4 F F

F 4 F 4 4 FF F F F 4 4

7p q pq pq pq pq

5 5 5 5 5 55 6 6 5 6 6

6 5 6 5 5 66 6 6 6 5 5

8ambi3n es usual

p999

pp q pq p:q

5 6 5 5 5 5

6 5 5 6 6 5

6 5 6 5

6 6 6 6

0 s decir, si se tiene una sola variable el n&mero de combinaciones posibles es dos(4,F), si son dos variables es cuatro (44, 4F, F4 , FF) ... lo cual responde a la estructura

nsiendo n el n&mero de variables.

0 %i se tienen dos variables enla$adas mediante la con'uncin, el enunciado compuestoresultante es verdadero slo si ambos enunciados simples son verdaderos. %i el enlace se+ace mediante la dis#uncin el enunciado compuesto resultante es verdadero si algunode los dos enunciados simples es verdadero. ara el enunciado compuesto pq se tieneque es verdadero en todos los casos, excepto si p es 4 (verdadero) # q es F (falso).

0 ara el enunciado compuesto pq se tiene que es verdadero si ambos enunciadossimples son 4 F.

1.* +%oosicin o o!inomio boo!eano"s una combinacin de variables lgicas mediante conectivos.%e representa una proposicin mediante una letra ma#&scula # un par3ntesis queencierra las variables lgicas que intervienen en ella.or e'emplo (r, s ,t) es una proposicin en las variables r, s, t.%i (r, s, t) (rs) (st)/ (rt) su valor de verdad sera


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r s t rs st rt (rs) (st) (r s)(st)/(rt)4 4 4 4 4 4 4 44 4 F 4 F F F 44 F 4 F 4 4 F 44 F F F 4 F F 4

F 4 4 4 4 4 4 4F 4 F 4 F 4 F 4F F 4 4 4 4 4 4F F F 4 4 4 4 4

*l tener tres variables lgicas, el polinomio booleano tiene), es una proposicin cu#a tabla de verdad consta de F solamente.2na tautologa es verdadera siempre, no importa los valores de verdad que asuman lasvariables. 2na contradiccin es falsa siempre.2na indete%minacin(?), es una proposicin cu#a tabla de verdad consta de 4 # F (noes ni tautologa ni contradiccin).@e la definicin se tiene que la negacin de una tautologa es una contradiccin (4 F) # viceversa ( F 4).

E(em!o"robar si los siguientes polinomios booleanos son 8, > ?.

* (p, q, r) (p q) r/ (p r) A(r, s, t) (rs) (s t)/ (r t)> B(x, #, $) (x #) x/ (# $) (# $)/


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* (p q) r/ (p r)

p q r p q (p q)r p r (p q) r/ (p r)5 5 5 5 5 5 5

5 5 6 5 6 5 55 6 5 6 5 5 55 6 6 6 5 5 56 5 5 6 5 5 56 5 6 6 5 6 66 6 5 6 5 5 56 6 6 6 5 6 6

>omo su tabla de verdad consta de !5" # !6" es una indeterminacin.

(r s) (s t)/ (r t)@el e'emplo dado anteriormente se tiene que su tabla de verdad consta de !5"solamente, por lo tanto es una tautologa.

>) (x #) x/ (# $) (# $)/

x # $ x # (x #)x # $ # $ (#$) (#$) (x#)x/(#$) (#$)/

5 5 5 5 5 5 6 6 65 5 6 5 5 5 6 6 65 6 5 6 5 5 6 6 6

5 6 6 6 5 6 5 6 66 5 5 6 5 5 6 6 66 5 6 6 5 5 6 6 66 6 5 6 5 5 6 6 66 6 6 6 5 6 5 6 6

>omo su tabla de verdad consta solamente de !6" es una contradiccin.ara la lgica son de suma importancia las tautologas # las contradicciones.

1. RELACIONE& ENTRE +RO+O&ICIONE&

1..1 Im!icacin !$ica ()stablece una relacin de dependencia causal entre los enunciados o frmulasarticuladas.La implicacin lgica simboli$a el proceso de deduccin o ra$onamiento que mediaentre la +iptesis # la tesis.De/inicin" se dice que una proposicin (p,q,...) implica lgicamente a una

proposicin A(p,q,...), lo cual se escribe (p,q,...) A(p,q,...), si se verifica una de lassiguientes condicionesi) (p,q,...) v A(p,q,...) es una tautologa


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ii) (p,q,...) A(p,q,...) es una contradicciniii) (p,q,...) A(p,q,...) es una tautologa


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La ms usual es iii) que en sentido prctico se recomienda

A si # slo si A es una 8

A se puede leer como

implica a AA se deduce de A es una consecuencia lgica de es condicin suficiente para AA es condicin necesaria para A se sigue de slo si A

se llama *ntecedente Ciptesis

@atoA se llama >onsecuente

8esis >onclusin

La relacin de implicacin lgica cumple con las siguientes propiedades (sean ,A,Bproposiciones en las mismas variables).

i) Beflexiva ii) *ntisim3trica si A no necesariamente

A

(A ) o de otra forma a B b b B a si # solo si a - biii) 8ransitiva si A A B entonces

B

1..* E0ui#a!encia !$ica(, )@os proposiciones # A en las mismas variables son equivalentes si # solamente sitiene la misma tabla de verdad.%e denota A A # se lee equivale lgicamente a A, # A son equivalentes, si # slo si A, es condicinnecesaria # suficiente para A, A es condicin necesaria # suficiente para .

A si # slo si A es una 8 A equivale a tener A A

La relacin de equivalencia lgica cumple con las siguientes propiedades(%ean , A, B proposiciones en las mismas variables).i) Beflexiva ii) %im3trica si A entonces A iv) 8ransitiva si A A B entonces B


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, Condiciona! e im!icacin. icondiciona! 2 e0ui#a!encia>uando se dice !si p, entonces q" se usa el lengua'e (el lengua'e de la lgica deenunciados) para expresar que lo enunciado por p es condicin suficiente de lo

enunciado por q, es decir, para expresar una relacin entre enunciados.n cambio, cuando se dice !p implica q" se usa el meta!en$ua(e del clculo deenunciados para expresar una relacin no ent%e enunciados, sino entre nombres deenunciados, # en este sentido lo correcto estrictamente sera decir !p implica q". Lue$oen !a e3%esin 4si - entonces 05- se dice 0ue si se da e! 6ec6o enunciado o% e!antecedente- entonces se da% e! 6ec6o enunciado o% e! consecuente. 7 si 4im!ica 05 se dice 0ue !a #e%dad de! antecedente im!ica !a #e%dad de! consecuente.>ondicional e implicacin son nociones situadas en niveles distintos del lengua'e. Ca#sin embargo entre condicional e implicacin una relacin que se expresa as cuando uncondiciona! es !$icamente #e%dade%o se uede deci% 0ue su antecedente im!ica suconsecuente.Los teoremas expresados en la matemtica vienen dados en forma de implicaciones.

%i se tiene !si # slo si p, entonces q", se est usando el lengua'e para decir que loenunciado por p es condicin suficiente # necesaria de lo enunciado por q.D si !p es equivalente a q" se est utili$ando el meta!en$ua(e para expresar unarelacin entre nombres de enunciados (reducidos a sus valores de verdad), # no entre losenunciados mismos. n este sentido, lo correcto estrictamente sera decir !p esequivalente a q".ntonces !si # slo si p, entonces q" quiere decir que slo en el caso de que se d3 loenunciado por el antecedente se dar lo enunciado por el consecuente.

7 si 4 es e0ui#a!ente a 05 se dice 0ue !os #a!o%es de #e%dad de! antecedente son entodos !os casos !os mismos 0ue !os de! consecuente.icondicional # equivalencia son nociones situadas en niveles distintos de lengua'e.Ca# sin embargo entre bicondicional # equivalencia una relacin que se expresa asCuando un bicondiciona! es !$icamente #e%dade%o- se uede deci% 0ue suantecedente e0ui#a!e a su consecuente.

E(em!o"robar si

*) (pq) q/

E

p

) pq

E

(pq) (qp)>) (pq) q/ p@ p(p q) (pp) (pq)

&o!ucin"

*) ara probar (pq) q/

E

p se procede as


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(pq)q/p

E

4 @efinicin de implicacin lgica

p q p q q (pq)q/ (pq)q/p4 4 F F 4 F 44 F F 4 F F 4F 4 4 F 4 F 4F F 4 4 4 4 4

or lo tanto (pq)q/p

p q (p q) (q p)

%e prueba que

(p q) (p q ) (q p)/ 4

p q pq

pq

qp

(pq)(qp)

(pq)(pq)(qp)/

4 4 4 4 4 4 44 F F F 4 F 4F 4 F 4 F F 4

F F 4 4 4 4 4or lo tanto

p q (p q ) (q p)

GAu3 pasa con los e'emplos > # @EG>mo se simboli$a lo que ocurreE

1.8 ALGERA DE +RO+O&ICIONE&

or medio de la equivalencia lgica se establecen proposiciones que son lgicamente

equivalentes # que permiten reempla$ar ciertas proposiciones por otras ms sencillas

para demostrar que un polinomio booleano es lgicamente equivalente a otro o para

simplificar estructuras.

l lgebra de proposiciones se fundamenta enDe/iniciones implicacin lgica, equivalencia lgica, condicional, bicondicional,

tautologa # contradiccin.

+ostu!ados H?, conmutatividad, identidad, complemento # distributividad.


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Teo%emas idempotencia, tautologa # contradiccin, doble negacin, asociatividad # de @e Iorgan.


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1.8.1 +ostu!ados bsicos"

%ean , A, B, %, 8 polinomios booleanos

5 >onmutatividad

a v A A v b A A

?dentidada v F F v 4 8autologa

b 4 4 F >ontradiccinF neutro para v4 neutro para

< >omplementoa v 4 (ostulado del tercer excluido)

b F (ostulado de contradiccin)

J @istributividada v (A B) ( v A) ( v B)

b (A v B) ( A) v ( B)

>on estos postulados podemos demostrar teoremas como los que siguen

5 8eorema de idempotenciaa v

artiendo del lado i$quierdo se tiene

v ( v ) 4 ostulado de identidad ( v ) ( v ) ostulado del tercer excluido v ( ) ostulado de la distributividad v F ostulado de la contradiccin ostulado de la identidad

b artiendo del lado i$quierdo se tiene ( ) v F ostulado de identidad ( ) v ( ) ostulado de la contradiccin

( v ) ostulado de la distributividad 4 ostulado del tercer excluido ostulado de identidad

8eorema de la tautologa # de la contradiccin.a v 4 4

artiendo del lado i$quierdo se tiene v 4 4 ( v 4) ostulado de identidad ( v ) ( v 4) ostulado del tercer excluido v ( 4) ostulado de la distributividad


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v ostulado de identidad 4 ostulado del tercer excluido

b) F F (s el dual de a) artiendo del lado i$quierdo se tiene F F v ( F) ostulado de identidad ( ) v ( F) ostulado de la contradiccin ( v F) ostulado de la distributividad ostulado de identidad F ostulado de la contradiccin

< 8eorema de la doble negacin ( ) v ( ) 4 # v 4 ostulado del tercer excluido *plicando la reflexividad # transitividad de la equivalencia lgica, se tiene

v ( ) v

>omo # ( ) son &nicos, entonces ( )

8ambi3n se puede%i

i F entoncesii 4 @efinicin de tautologa

iii ( ) F @efinicin de contradiccin@e i # iii ( )H si

i 4 entonces

ii F @efinicin de contradicciniii ( ) 4 @efinicin de tautologa@e i # iii ( )

J 8eorema de la asociatividada). v (A v B) ( v A) v B

%i F se tiene

v (A v B) F v (A v B), #a que F A v B ostulado de identidad

(F v A) v B ostulado de identidad ( v A) v B, #a que F

%i 4 se tiene

v (A v B) 4 v (A v B), #a que 4 4 8eorema de la tautologa 4 v B 8eorema de la tautologa (4 v A) v B 8eorema de la tautologa ( v A) v B, #a que 4


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v A, #a que F

%i 4 ( A) (4 A), #a que 4 A ostulado de identidad F v A ostulado de identidad 4 v A @efinicin de contradiccin v A, #a que 4

1.8.* +ostu!ados"

5. >onmutatividada). v A A v b). A A

. ?dentidada). v F F v b). 4 4 4 8autologa, F >ontradiccin F neutro para v, 4 neutro para

omplementoa). v 4 (ostulado del tercer excluido)

b). F (ostulado de contradiccin)

J. @istributividada). v (A B) ( v A) ( v B)

b). (A v B) ( A) v ( B)

1.8., Teo%emas bsicos"

5. 8eorema de la idempotenciaa). v

b).

8eorema de la tautologa # de la contradiccina). v 4 4

b). F F< 8eorema de la doble negacin

() J 8eorema de la asociatividad

a). v (A v B) ( v A) v Bb). (A B) ( A) B

K 8eorema de @e Iorgana). ( v A) A


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b). ( A) v A

@e las definiciones dadas anteriormente es importante que tengamos presente

5. A v A @efinicin de condicional. A (A) (A ) @efinicin de bicondicional


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. (p q r) v (p q r) v (p r q) v (p q r) (p q) v (r q)

@emostracin(p q r) v ( p q r)/ v (p r q) v (p q r)/

8eorema de la asociatividad(p q) (r v r)/ v ( p v p) ( r q)/ ostulado de la distributividad. ostulado de la conmutatividad(p q) 4/ v 4 ( r q)/ ostulado del tercer excluido(p q) v (r q) ostulado de identidad


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4 ostulado del tercer excluidoor lo tanto (p q) p/ q

. (p v q) (p s) (q r)/ (s v r)

@emostracin

(p v q) (p s) (q r)/ (s v r)

?

4 @efinicin de implicacinlgica

(p v q) (p v s) (q v r)/ v (s v r) @efinicin de condicional (p v q) v (p v s) v (q v r)/ v (s v r) 8eorema de @e Iorgan (p v q) v (p s) v (q r)/ v (s v r) 8eorema de @e Iorgan #

8eorema de la doblenegacin

(p v q) v (p s) v s/ v (q r) v r/ ostulado de laconmutatividad # teoremade la asociatividad

(p v q) v (p v s) (s v s)/ v (q v r) (r v r)/ ostulado de ladistributividad

(p v q) v (p v s) 4/ v (q v r) 4/ ostulado del tercer excluido (p v q) v (p v s) v (q v r) ostulado de identidad (p v q) v (p v q)/ v (s v r) ostulado de la

conmutatividad # teoremade la asociatividad

4 v (s v r) ostulado del tercer excluido

4 8eorema de la tautologa

or lo tanto (p v q) (p s) (q r)/ (s v r)

M. p q qp

@emostracinp v q @efinicin del >ondicionalq v p ostulado de la >onmutatividadq p @efinicin del >ondicional

=. (p q) r (pr) v (q r)

@emostracin(p r) v (q r)

(p v r) v (q v r) @efinicin del >ondicional(p v q) v (r v r) ostulado de la >onmutatividad #

8eorema de la asociatividad(p v q) v r 8eorema de la idempotencia


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(p q) v r 8eorema de @e Iorgan(p q) r @efinicin del condicional

N. (p r) v (p q r) v (p r) p

@emostracinp r v (q r) v r/ ostulado de la distributividadp (q r) v (r v r)/ ostulado de la conmutatividad # 8eorema de asociatividad

p (q r) v 4/ ostulado del tercer excluidop 4 8eorema de la tautologap 8eorema de la identidad

??. *nali$ar si cada uno de los siguientes polinomios booleanos son 8, > ?.5). (p q) v (p r) v (p s)/ v (p q) (p r) (p s)/ (p q) v (p r) v (p s)/ v (p q) (p r) (p s)/

8eorema de @e Iorgan.4 ostulado del tercer excluido

or lo tanto es una tautologa

). (x #) x/ (# v $) (# $)/ (x #) v x/ v (# v $) (# $)/ @efinicin del condicional

(x v #) v x/ v (# v $) (# v $)/ 8eorema de @e Iorgan (x v #) v x/ v F ostulado de la contradiccin (x v x) v #/ v F ostulado de la conmutatividad #

teorema de la asociatividad(x v x) v #/ ostulado de la identidad

4 v #/ ostulado del tercer excluido 4 8eorema de la tautologa F @efinicin de contradiccin

or lo tanto es una contradiccin.


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1o +a# forma de seguir simplificando, por lo tanto es una indeterminacin.

???). %implificar

5) (p q) (p q) (p q)(p q) (p q)/ (p q) 8eorema de la asociatividad

p (q q)/ (p q) ostulado de la distributividad(p 4) (p q) ostulado del tercer excluido

p (p q) ostulado de identidad

(p p) (p q) ostulado de la distributividad4 (p q) ostulado del tercer excluidop q ostulado de identidad

) (p q) (p q)

(p q) (p q) 8eorema de @e Iorganp (q q) ostulado de la distributividadp 4 ostulado del tercer excluidop ostulado de identidad


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) (p q) r/ p ( q r)/M) (p q) (p r) (q r)/ r=) (p q) (r p) (s q)/ (r s)N) (p q) p/ q56) (p q) q/ p55) (p q) q/ p5) (q p) (r q)/ (p r)

??) *nali$ar si cada uno de los siguientes polinomios booleanos son 8, >, o ?.

5) x (# $)/ x (# $)/) p (q r)/ (p q) r/


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1.< CUANTIFICADORE&

%ean los siguientes enunciados>arlos es alumno de ?ngeniera Iecnica.Quliana es alumna de ?ngeniera Iecnica.

n ambos enunciados +a# algo que cambia (variable >arlos, Quliana) # algo que nocambia, lo que se dice de cada uno (constante).

n forma gen3rica se puede decir !x es alumno de ?ngeniera Iecnica". steenunciado no es ni verdadero ni falso (indeterminado).

x es una variable que se mueve en un con'unto de referencia.

nunciados de este estilo se definen como !/unciones %oosiciona!es" o expresionesabiertas.

>uando en una funcin proposicional se cambia la indeterminada x por un valordeterminado de un con'unto de referencia (@ominio de la variable), se obtiene una

proposicin.

2na funcin proposicional es una expresin de la forma !x es A" donde x es unavariable individual (su'eto) # A es una variable de predicado.

O&ER)ACIONE&"5. %lo se estudiar funciones proposicionales que tengan variable el su'eto (o individuo de quien se +abla).. 2na funcin proposicional se representa, seg&n las variables del su'eto, as

A5(x5), A(x5,x), A


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%i x - < ) 8odas las funciones son funciones exponenciales.@) xiste un ingeniero mecnico que tiene treinta aSos de edad.

%i se toma un su'eto indeterminado (x), en cada uno de los enunciados, de tal forma que+aga el recorrido por cada con'unto citado se tiene

*) ara todo x, si x es un n&mero natural entonces es n&mero comple'o.) xiste un x, tal que x es una integral # x es definida.>) ara cualquier x, si x es funcin entonces es funcin exponencial.@) xiste al menos un x, tal que x es ingeniero mecnico # x tiene treinta aSos.

xpresiones como*) ara todos, todos los x, cualquier x, para cualquier x, cada x, o expresionesequivalentes se simboli$an mediante

(x) llamado Cuanti/icado% uni#e%sa!.) ara alg&n x, +a# un x, existe un x, alg&n x, algunos x (o expresiones equivalentes),

se simboli$an mediante


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(x) llamado Cuanti/icado% e3istencia!.

%i a una funcin proposicional , x es , se le antepone un cuantificador se convierte enuna proposicin.

E(em!o" (x) A(x)/ para todo x, x es A(x) 8(x)/ existe un x, tal que x es 8

# se dice que x es una #a%iab!e !i$ada.

Los e'emplos citados quedaran as*) (x) 1(x) >(x)/) (x) ?(x) @(x)/>) (x) F(x) (x)/@) (x) I(x) 8(x)/

xisten tres formas de transformar una funcin proposicional A(x) en una proposicin,# son

5.>ambiando la indeterminada x por un valor especfico de un con'unto de referencia.. *nteponi3ndole a la funcin proposicional el cuantificador universal.


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cuantificador universal cu#a funcin proposicional +a sido negada.

) (x) A(x)/ (x) A(x)/ La negacin de una proposicin universal equivale a la afirmacin de un cuantificador existencial cu#a funcin proposicional +a sido negada.

. @efinicin de cuantificadores 5) (x) B(x)/ (x) B(x)/ ) (x) B(x)/ (x) B(x)/

1.= E:ERCICIO& RE&UELTO&

5. @ado el enunciado !%i todos los n&meros son reales entonces son n&meros enteros"

*) Callar su valor de verdad) Bepresentarlo lgicamente

>) 1egar la representacin dada en @) 4olver al lengua'e usual

&o!ucin"

*) l enunciado es falso #a que en los reales existen n&meros que no son enteros, pore'emplo AT (irracionales) o algunos A.

) B(x) x es un n&mero real U(x) x es un n&mero entero (x) B(x) U(x)/

>) (x) B(x) U(x)/ (x) B(x) U(x)/ 8eorema de negacin de cuantificadores (x) B(x) U(x)/ @efinicin del condicional (x) B(x) U(x)/ 8eorema de @VIorgan

8eorema de la doble negacin


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@) xiste un x que es real # no es entero, es decir, algunos n&meros reales no sonn&meros enteros.

. *nali$ar si el siguiente enunciado responde a una tautologa, contradiccin o

indeterminacin

(x) O(C(x) I(x)) 1(x)/ C(x) ( I(x) 1(x) )/P

&o!ucin"

(x) O( C(x) I(x) )1(x)/ C(x) ( I(x) 1(x) )/P @efinicin del condicional

(x) O(C(x) I(x) )1(x)/ ( C(x) I(x) ) 1(x)/P 8eorema negacin de

cuantificadores, teorema dela asociatividad(x) O( C(x) I(x) )1(x)/ (C(x) I(x)) 1(x)/P

8eorema de @VIorgan(x) Ox es 4P ostulado del tercer excluido(x) x es F @efinicin de contradiccin

or lo tanto la proposicin dada es una contradiccin.


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1.1> E:ERCICIO& +RO+UE&TO&

I.@ados los siguientes enunciados *) Callar su valor de verdad ) Bepresentarlos lgicamente

>) 1egar la representacin dada en @) 4olver al lengua'e usual.

5. *lgunos n&meros comple'os son n&meros primos.. 8odos los lmites de funciones existen.

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Introducción a La Lógica1