Introducción a la Supersimetría

Myriam Mondragón

IF-UNAM

Escuela de Cuerdas y SUSY, León, Gto, mayo 2011

Por qué SUSY?

I Simetría que relaciona bosones y fermionesI Descripción unificada de fermiones y bosones⇒ unificación de materia e interacciones

I Si la supersimetría se hace local ante transformaciones denorma:supergravedad⇒ unificación de todas las interacciones

I Única extensión posible del grupo de PoincaréI Los conceptos estándares de teoría del campo permiten

supersimetría sin ninguna suposición extra

Otras ventajas

I Resuelve el problema de la jerarquíaI Permite la unificación de los acoplamientos de normaI Provee de buenos candidatos para materia obscuraI No se encuentra a la escala electrodébil⇒ rotaI SUSY rota compatible con las medidas de precisión del

Modelo Estándarno trivial

Problema de la jerarquía

La física que conocemos está a la escala electrodébil∼ 100GeV , la escala fundamental está a MPlanck

. . . y en medio?

Problema... las correcciones cuánticas hacen que las masasde los parámetros en el Lagrangiano escalar tan grandes comola escala de corte de la teoría.

Problema de naturalidad: dos números grandes se tienen quecancelar para dar uno pequeño:

Consideremos un Lagrangiano de Yukawa, con un campoescalar sin masa:

L =12

(∂µϕ)2 + iψ̄γµ∂µψ −λ

4!ϕ4 − yϕψ̄ψ . (1)

Las dos contribuciones, de los lazos escalares y de fermionesson:

− iδm2|scalar loop ∼ −iλ

32π2 M2 ,

− iδm2|fermion loop ∼ i4y2

16π2 M2 .

(2)

c/u es divergente y dan una contribución divergente a la masacuadrada escalar

m2 ∼ λ/2− 4y2

16π2 M2 . (3)

Pero si queremos m� M, esta corrección debe cancelar lamasa desnuda en el Lagrangiano⇒ ajuste fino de m0, λ y y .

Por otro lado, el Lagrangiano electrodébil tiene una simetríaquiral.Esta simetría actua en fermiones en el caso U(1)

ψ → eiαγ5ψ

en el caso SU(2)ψ → eiα·τ/2γ5ψ

Esta simetría garantiza que las correcciones radiativas a m(teoría de perturbaciones), desaparezcan m→ 0. ∴ m ∼ δm yla dependencia con la energía del corte Λ sólo es logarítmica.

Las masas de los fermiones son técnicamente naturales

En SUSY el bosón de Higgs estaría relacionado con unapartícula de spin 1/2, el Higgsino.La simetría garantiza que las masas de los dos son iguales.Las correcciones a los fermiones son a lo máslogarítmicamente divergentes⇒ podría haber escalares ligeros.

SUSY permite resolver el problema de la jerarquía ya que lascontribuciones de la parte fermiónica cancelan las de labosónica

Qué es una supersimetría?

Una simetría que relaciona bosones y fermiones. El generadordebe relacionar dos tipos de partículas

Q |fermion〉 = |boson〉 , Q |boson〉 = |fermion〉 , (4)

Q debe ser un espinor. En 4 dimensiones espacio-temporalesel espinor mínimo es de Weyl, y por lo tanto la supersimetríamínima tiene 4 cargas.

Pero además queremos una descripción que preservetransformaciones de Lorentz y traslaciones, i.e. el grupo dePoincaré.

I Qué tipo de bosones se relacionan con qué fermiones?I Cuántas Q hay?I Qué otras propiedades, además de la estadística cambian

con la operación?

Las respuestas dependen del modelo SUSY, pero hay tambiénpropiedades comunes a todos ellos.

Q cambia la estadística⇒ el spin, que está relacionado con elcomportamiento bajo rotaciones espaciales⇒ SUSY es (encierto sentido) una simetría espacio-tiempo.

En teorías con SUSY extendida (p.ej supergravedad), las Q’stambién afectan algunos de los números cuánticos internos, secombinan con algunos aspectos espacio-temporales⇒unificación de todas las interacciones.

Cargas Q

Los fermiones y bosones se comportan diferente bajorotaciones, Q no puede permanecer invariante.

Alplicamos el operador unitario U, en espacio de Hilbert es unarotación del espacio de configuraciones por 360◦

UQ |fermion〉 = UQU−1U |boson〉 = U |fermion〉 (5)UQ |boson〉 = UQU−1U |fermion〉 = U |boson〉 . (6)

Los estados fermiónicos adquieren un signo menos en larotación, los bosónicos no

U |fermion〉 = − |fermion〉 ; U |boson〉 = |boson〉 (7)

Como todos los estados, bosónicos y fermiónicos, forman unabase del espacio de Hilbet

UQU−1 = −Q (8)

El comportamiento de Q bajo cualquier transformación deLorentz es la de un espinor.

Q′s se transforman como operadores tensoriales de spin 1/2 yno conmutan con las transformaciones de Lorentz.

Q′s sí son invariantes bajo traslaciones: conmutan con SUSY⇒ Q conmuta con los generadores de las translacionesespacio-temporales, E y P

[Q,E ] = [Q,P] = 0. (9)

Consideremos el anticonmutador de Q con su Hermitianoadjunto Q†. Como componentes de espinores los Q′s son engeneral no Hermitianos, pero

Q,Q† ≡ QQ† + Q†Q

es un operador Hermitiano con eigenvalores positivo definidos

〈. . . |QQ† |. . . 〉+ 〈. . . |Q†Q |. . . 〉 =

|Q |. . . 〉 |2 + |Q† |. . . 〉 |2 ≥ 0.(10)

Sólo puede ser cero para todos los estados |. . . 〉 si Q = 0.

Resulta que Q,Q† es una combinación lineal de los operadoresde energía momento:

Q,Q† = αE + βP (11)

Donde se ve explícitamente la relación entre el anticonmutadorde dos generadores de SUSY y los generadores detraslaciones espacio-temporales.

La transformaciones finitas subsecuentes inducen unatraslación del espacio-tiempo de los estados en los que operan

Si sumamos sobre todos los generadores SUSY, el término βPse cancela y los αE se suman∑

all Q

Q,Q† ∝ E . (12)

Entonces dependiendo del signo de proporcionalidad elespectro de energía es ≥ 0 o ≤ 0. Si queremos energíaslimitadas por abajo, pero no por arriba, el factor deproporcionalidad debe ser positivo.

Estas propiedades cruciales de los generadores de SUSYllevan a consecuencias importantes:

El espectro del operador de energía (el Hamiltoniano) enuna teoría SUSY no tiene eigenvalores negativos

El estado de mínima energía |0〉 es el vacío y tiene energíacero

E |0〉 = 0 (13)

⇔Q |0〉 = 0 Q† |0〉 ∀ Q (14)

Cualquier estado cuya energía no es cero (estado de unapartícula), no puede ser invariante bajo SUSY.

⇒ debe haber por lo menos un estado supercompañeroQ |1〉 o Q† |1〉 por cada estado de una partícula |1〉.

El spin de estos supercompañeros difieren por 1/2 del de |1〉.

Cada supermultiplete contiene por lo menos un bosón yun fermión cuyos espines difieren por 1/2

Un supermultiplete es un conjunto de estados cuánticos(campos) que se transforman uno en otro por una o mástransformaciones SUSY.

La invariancia traslacional de Q implica que Q no cambia ni laenergía ni el momento

Todos los estados en un multiplete de supersimetría norota tienen la misma masa

Como no se observan a las partículas conocidasacompañadas por compañeros⇒ SUSY debe estar rota

Un rompimiento espontáneo es cuando los potenciales deinteracción de la teoría (la dinámica básica) son simétricos,pero el vacío no.

Si SUSY se rompe espontáneamente el estado base no esinvariante bajo las operaciones SUSYQ |0〉 6= 0 o Q† |0〉.

SUSY se rompe espontáneamente si y sólo si la energíadel estado base no es cero.

El rompimiento de SUSY puede quitar la degeneración de lamasa en el supermultiplete, con masas diferentes para lasdiferentes componenetes del mismo, pero su estructurapermanece intacta.

fermiones electrón⇔ sfermiones selectrónbosones norma gluon⇔ gauginos sgluino

Cuánta SUSY?

Un sólo fotino de spin 1/2 como compañero del fotón, o dos, omás?

Depende de los generadores de SUSY Q presentes (comocargas conservadas). El número total debe ser un múltiplo decuatro, porque son espinores.

Una teoría SUSY mínima es invariante bajo transformacionesde los cuatro componentes independientes de un operadorespinorial Qa, α = 1, . . . ,4:

Teorías con supersimetría N = 1

habría un sólo fotino sin masa, que es su propia antipartícula.

Si hay mas SUSY, habrá más generadores espinoriales con 4componentes c/u, Qai , i = 1, . . . ,N:

Teorías con supersimetría extendida

habrá, p.ej., N fotinos. La relación fundamental entre losgeneradores SUSY es

Qi , (Qj)† = δij(αE + βP) . (15)

La mayoría de estos modelos son invariantes bajo rotacionesde sus inos y forman un grupo interno de simetría.Pero no permiten fermiones quirales como los observados(neutrinos)

SUSY extendida→ N = 1 SUSY→ no SUSYE muy grande E media E baja

Pero para SUSY extendida la proporcionalidad entre elanticonmutador de los generadores y la energía permaneceválida, incluso si sólo se suma sobre los índicesespacio-temporales Qαi

4∑α=1

{Qαi , (Qαi)†} ∝ E para cada i . (16)

Entonces o todas las SUSY están rotas, o ninguna lo está.Los factores de proporcionalidad son los mismos para todaslas i , así que los efectos del rompimiento de SUSY se haránsentir a la misma escala de energía para todas las Q1.

Una posible solución se puede dar con modelos desupergravedad, pero estos presentan a su vez otros problemas.

Límite para número de SUSY’s?

Si, hay un número máximo de SUSY’s para una teoría delcampo o de supergravedad

Se dan por el requerimiento de que las transformacionesSUSY deben actuar en multipletes de estados físicos y lateoría subyacente debe ser Relatividad General o una teoríadel campo renormalizable en espacio plano.

Desde el punto de vista del álgebra no hay restricciones.

Consideremos un fotón o un gravitón. Aplicamos unatransformación SUSY y obtenemos un -ino

fotón↔ fotinoLa misma transformación una segunda vez nos lleva a lapartícula orginal, pero trasladada a un punto diferente delespacio-tiempo.

Con más SUSY’s, una transformación diferente da un -inodiferente. Aplicandola dos veces nos da otra vez la original,pero desplazada.

Pero, y si aplicamos primero una y después la otra?

No podemos regresar al fotón original, por la δ de Kronecker.Nos lleva a otros supercompañeros con otras propiedades yspin diferente de la partícula original y los -inos...

Hay un rango mínimo de espines cubierto por los multipletes yaumenta con N

cualquier multiplete de N-SUSY contienepartículas con espines por lo menos tan grandes como 1/4

N

es decir, para N > 4 debe haber espines ≥ 3/2 y para N > 8debe haber espines ≥ 5/2.

Pero las teorías del campo con espines ≥ 3/2 no sonrenormalizablesla gravedad no se puede acoplar consistentemente conespines ≥ 5/2.

Nmax = 4 para teorías renormalizables en espacio planoN = 8 para supergravedad

Las teorías SUSY máximas Nmax = 4 super Yang-Mills ysupergravedad N = 8 son únicas

En c/caso hay sólo un multiplete cuys espines quepan en0 ≤ s ≤ 1y 0 ≤ s ≤ 2, respectivamente.

Nmax = 4 super Yang-Mills es finita

N = 8 se puede derivar de un modelo simple enonce-dimensiones

Fermiones de WeylLa ecuación de Dirac para un fermion libre es

L = iΨ∂µγµψ −mΨΨ . (17)

Por conveniencia trabajamos en una base quiral donde lasmatrices γ toman la forma

γµ =

(0 σµ

σ̄µ 0

), γ5 =

(−12 0

0 −12

), (18)

σµ = (12, σi), σ̄µ = (12,−σi) , (19)

y las matrices de Pauli σi son

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

). (20)

Usamos la siguiente notación para hacer manifiesta laquiralidad de Ψ

Ψ =

(ηα

χ̄∗α̇

). (21)

donde ηα y χ̄∗α̇ son fermiones de dos componentes izquierdo yderecho y α, α̇ = 1,2.

Si Ψ se transforma bajo una simetría, las cargas de ηα y χ̄∗α̇son idénticas bajo la simetría.

η y χ̄ son izquierdos, se transforman en representacionesconjugadas bajo toda simetría:

χ y χ̄ son dos campos diferentes con cargas opuestasχ∗ and χ̄∗ son sus antipartículas respectivamente

Para subir y bajar índices usamos tensores de Levi-Civita ε:εαβ y εα̇β̇Los escalares de Lorentz se pueden escribir como

ηαηα = εαβηαηβ, η∗α̇η∗α̇ = εα̇β̇η

∗α̇η∗β̇,

ηχ̄ = χ̄η = εαβηαχ̄β, η∗χ̄∗ = χ̄∗η∗ = εα̇β̇ηα̇χ̄β̇ .

(22)

Los espinores izquierdos y derechos se pueden combinar envectores de Lorentz como

η∗α̇σ̄µα̇αηα = −ηασµαα̇η

∗α̇ . (23)

lo que permite escribir el Lagrangiano en términos defermiones de Weyl izquierdos η y χ̄

L = iη∗∂µσ̄µη + iχ̄∗∂µσ̄µχ̄−mχ̄η −mχ̄∗η∗, (24)

La única extensión posible no-trivial del grupo de Poincaré queincluye generadores espinorials forma una álgebra graduadade Lie, con nuevas reglas de anti-conmutación

{Qα, Q̄β̇} = 2σµαβ̇

Pµ ,

{Qα,Qβ} = {Q̄β̇, Q̄β̇} = 0 ,

[Qα,Pµ] = [Q̄β̇,Pµ] = 0 ,

(25)

donde P es el generador de traslaciones

El vacío supersimétrico

Si tomamos la traca en ambos lados de la primera ecuación delálgebra

Q1Q̄1̇ + Q̄1̇Q1 + Q2Q̄2̇ + Q̄2̇Q2 = 4P0 . (26)

Cualquier estado en la teoría invariante ante una simetría esaniquilado por los generadores de la simetría.

Si el estado base es supersimétrico es aniquilado por losgeneradores de SUSY.

Para un eigenestado de energía

〈E |Q1Q̄1̇ + Q̄1̇Q1 + Q2Q̄2̇ + Q̄2̇Q2 |E〉 = 〈E |4P0 |E〉 = 4E . (27)

Por lo tanto la energía del vacío SUSY es cero.

Modelo de Wess-Zumino

Para construir la teoría del campo SUSY más simplenecesitamos un fermión de Weyl η en 4 dimensiones. Susupercompañero debe ser o un campo complejo ϕ, o un campovectorial Aµ.

Campo complejo:Fermión de Weyl on-shell (en capa de masa) tiene dos gradosde libertadSu supercompañero de spin 0 tiene también dos grados delibertad: escalar complejo

Fermión de Weyl off-shell tiene 4 grados de libertadpero un escalar complejo tiene sólo 2...

Los grados bosónicos y fermiónicos tienen que concordar, on yoff-shell.Se introduce un campo bosónico complejo extra, auxiliar Fque tenga 2 grados de libertad off-shell y cero on-shell.

⇒ un campo sin términos cinéticos

El Lagrangiano más simple con todos los grados de libertad:modelo de Wess-Zumino

L =

∫d4x |∂µϕ|2 + iη∗∂µσ̄µη + |F |2 . (28)

La ecuación de movimiento de F es puramente algebraica⇒ F = 0 en estado base.

Transformaciones SUSY

Las transformaciones SUSY actuan en los campos como:

δϕ = εαηα , δϕ∗ = ε∗α̇η∗α̇ ,

δηα = −iσµαα̇ε∗α̇∂µϕ+ εαF , δη∗α̇ = iεασµαα̇∂µϕ

∗ + ε∗α̇F ∗ ,(29)δF = −iε∗α̇σ̄

µα̇α∂µη , δF ∗ = i∂µη∗σ̄µα̇αεα .

Ejercicio:

Checar que bajo estas transformaciones el Lagrangianocambia por una derivada total y las ecuaciones de movimientopermanecen invariante, y ∴ es una simetría de la teoría.

Rompimiento SUSY

El Lagrangiano permanece supersimétrico si añadimos unaderivada total

∆L = µ2F + h.c. . (30)

Pero al resolver la ecuación de movimiento para F , llegmos a

F = −µ2 .

Al substituir este resultado y aplicar las transformaciones en elestado base se ve que SUSY está rota: E = |F |2 en el vacío⇒energía del vacío es el parámetro de orden de rompimiento deSUSY.

Modelos con interacción

Añadimos una interacción arbitraria al Lagrangiano

−ϕηη + h.c.

y calculamos su variación respecto a transformaciones SUSY

δ(−ϕηη) = 2iϕη∂µϕσµε− 2ϕηεF , (31)

(suprimimos los índices espinoriales).Para cancelar esta variación hay que añadir términos alLagrangiano, p.ej. Fϕ2 + h.c.

δ(Fϕ2) = −iε∗σ̄µ∂µηϕ2 + 2Fϕηε . (32)

La suma de las dos variaciones da una derivada total y elLagrangiano vuelve a quedar invariante.

El modelo de Wess-Zumino con interacción es la teoría SUSYcon interacción más simple

L = |∂µϕ|2 + iη†∂µσ̄µη + |F |2 + (λFϕ2 − λϕηη + h.c.) , (33)

donde λ es una constante de acoplamiento.

Formalismo de supercampos

Para simplificar los cálculos y tratar a todos los campos ysupercompañeros como uno sólo⇒ supercampo.

Un supercampo tiene una componente escalar y unafermiónica, en analogía con estados de spin.

Superespacio: extendemos las 4 coordenadas normales {xµ}

{xµ, θα, θ̄α̇} (34)θ̄α̇ = (θα)∗ . (35)

coordenadas que conmutan y anti-conmutan respectivamente.Estas últimas satisfacen las relaciones de anti-conmutación

{θα, θ̄β̇} = {θα, θβ} = {θ̄α̇, θ̄β̇} = 0 . (36)

La integración se hace de la siguiente manera:∫dθ =

∫d θ̄ =

∫dθθ̄ =

∫d θ̄θ = 0 ,∫

dθαθβ = δαβ ,

∫d θ̄α̇θ̄β̇ = δβ̇α̇ ,∫

d2θθ2 =

∫d2θ̄θ̄2 ,∫

d4θθ2θ̄2 = 1 ,

(37)

donded2θ ≡ −1

4εαβdθαdθβ ,

d2θ̄ ≡ −14εα̇β̇dθα̇dθβ̇ ,

d4θ ≡ d2θ̄d2θ .

(38)

El formalismo de supercampos es la manera más directa ysencilla de trabajar una teoría del campo SUSY:

La expansión en serie de potencias termina en θ2θ̄2 y laintegración y derivación sobre las coordinadas delsuperespacio dan el mismo resultado (variables deGrassmann).

El supercampo escalar más general (supercampo cuyacomponente más baja es un campo escalar), después deexpander en serie de Taylor, es:

Φ(xµ, θ, θ̄) =ϕ(xµ) + θη(xµ) + θ̄χ†(xµ) + θ̄σ̄µθVµ(xµ)

+ θ2F (xµ) + θ̄2F̄ (xµ) + . . .+ θ2θ̄2D(xµ) .(39)

Esta expresión todavía tiene más componentes de lasnecesarias, es reducible.

Imponemos más condiciones en Φ para construir unarepresentacion irreducible. Para esto usamos camposquirales Φ y Φ†

D̄α̇Φ = 0 , DαΦ† = 0 , (40)

donde

Dα =∂

∂θα− iσµαα̇θ̄

α̇ ∂

∂µ, D̄α̇ = − ∂

∂θ̄α̇+ iθασµαα̇

∂

∂µ. (41)

Hacemos un cambio de variables:

yµ = xµ + i θ̄σ̄µθ yµ† = xµ − i θ̄σ̄µθ.

y tomamos en cuenta que

D̄α̇yµ = Dαy†µ = 0

El campo quiral definido por

Φ(yµ) = ϕ(yµ) +√

2θη(yµ) + θ2F (yµ) (42)

cumple con D̄α̇Φ(yµ) = 0. Su hermitiano conjugado esanti-quiral.

Al expanderlo en potencias de las coordenadassuperespaciales

Φ =ϕ(x)− iθσµθ̄∂µϕ(x)− 14θ2θ̄2∂2ϕ(x)

+√

2θη +i√2θ2∂µησ

µθ̄ +√

2θ2F (x) .(43)

vemos que depende sólo de tres campos componentes ypuede describir una teoría SUSY.

Como el campo auxiliar F se transforma como una derivadatotal, al añadir el término

∆L =

∫d2θµ2Φ + h.c. = µ2F (x) + µ†2F †(x) (44)

el Lagrangiano permanece invariante.

El Superpotencial

Cualquier función analítica de de un supercampo quiral W (Φ)también es un supercampo quiral y sus componentes θ2 setransforman como una derivada total.

Al generalizar a una teoría con más supercampos quiralespodemos escribir

LW =

∫d2θW (Φi) + h.c. . (45)

donde W (Φ) y su conjugado hermitian W (Φ†) generan lasinteracciones SUSY.

El superpotencial W (Φ) no tiene derivadas⇒ no generatérminos cinéticos.

El potencial Kähler, que es la componente θ2θ̄2 de una funciónreal de supercampos quirales, es invariante ante SUSY ygenera términos cinéticos. El más simple es:

K =∑

i

Φ†i Φi ,

LK =

∫d4θK =

∑i

(|∂µϕi |2 + iη∗i ∂µσ̄

µηi + |Fi |2).

(46)

Un potencial Kähler más general lleva a términos máscomplicados en la acción

L =

∫d4θK ⊃ g ij(∂µϕ

∗i ∂

µϕj + iη∗i σ̄µ∂µηj + F ∗i Fj) , (47)

donde g ij = ∂2K/(∂Φ†i ∂Φj)|Φ=ϕ es una métrica Kähler quedepende de los campos y parámetros de la teoría, determina lanormalización de los términos cinéticos y contiene informaciónde la renormalización de la función de onda.

Lagrangiano general en una teoría interactuante desupercampos quirales

L =

∫d4θK (Φi) +

∫d2θW (Φi) +

∫d2θ̄W (Φ†i )

= g ij (∂ϕ∗i ∂ϕj + iη∗i ∂µσ̄µηj + F ∗i Fj

)−(

12∂2W∂Φi∂Φj

ηiηj −∂W∂Φi

Fi + h.c.)

+ . . . ,

(48)

donde . . . son términos de orden más alto.

Al resolver la ecuación de movimiento para F llegamos alpotencial escalar de la teoría

V =∂W

∂Φ†igij∂W∂Φj

, (49)

donde gij = (g ij)−1.

Suponemos que el potencial Kähler no es singular y ∴ susmínimos son los estados base SUSY, pero aún en el vacíoSUSY para tener información del espectro necesitamosconocer el potencial Kähler .

Ejemplo

El Lagrangiano del modelo de Wess-Zumino con interaccionestiene el superpotencial

W =m2

Φ2 +λ

3Φ3 . (50)

y suponemos un potencial de Kähler canónico. El Lagrangianoen términos de campos componentes es

L = |∂µϕ|2+iη†∂µσ̄µη+|F |2+(

mFϕ+ λFϕ2 − m2ηη − λϕηη + h.c.

).

(51)

SupergravedadLa generalización de SUSY de simetría global a general noslleva a la supergravedad (SUGRA). En SUGRA el potencialescalar es

V = exp(

KMPl

)((g ij(DiW )(DjW )∗ − 3|W |2

M2Pl

), (52)

donde Di es la derivada covariante de supergravedad

DiW = ∂iW + KiW/MPl . (53)

Ahora los parámetros de orden de rompimiento de SUSY sonderivadas covariantes Fi = DiW . En SUGRA la energía delvacío de un estado base no SUSY es arbitraria, pero la de unoSUSY es no-positiva, dependiendo del vev de W, por otro ladoen el vacío SUSY DiW = 0.

Fenomenología: SUSY rota y constante cosmológica cero.

Se puede lograr recorriendo el superpotencial por unaconstante

W (Φi)→W (Φi) + W0

y ajustando W0 para cancelar los términos F y D.

Aparece un supercompañaro del gravitón de spin 3/2, elgravitino:

Lgravitino ⊃ e exp(

K2M2

Pl

)(WM2

Plψµσ

µνψν +WM2

Plψ†µσ̄

µνψ†ν

),

(54)donde e es un vierbein (base orientada de un espacio vectorialen 4 dims).

El gravitino tiene masa si el 〈W 〉 6= 0, requerido en espacioanti-de Sitter. En Minkowski es cero y el gravitino sin masa.

La masa del gravitino depende de los parámetros derompimiento SUSY, si es rota por el vev de algún término F es

m23/2 = eK/M2

PlF ∗i g ijFj

3M2Pl

. (55)

Supercampo vectorial

Para construir una teoría SUSY de norma necesitamos uncampo vectorial.

Un campo de norma Aµ:2 grados de libertan on-shell, 3 off-shell.

El fermión de Weyl tiene 2 on-shell ∴ buen candidato para sergaugino.

Off-shell? no concuerdan.

Introducimos un campo auxiliar real D, sin términocinético.

Las transformaciones para el mutiplete vectorial son

δAaµ =− 1√

2

(ε†σ̄µλ

a + λ†aσ̄µε),

δλaα =− 1

2√

2(σµσ̄νε)α F a

µν +1√2εαDa ,

δλ†aα =− 12√

2

(ε†σ̄µσν

)α̇

F aµν +

1√2

F aµν +

1√2ε†α̇Da ,

δDa =− i√2

(ε†σ̄µDµλ

a − Dµλ†aσ̄µε

).

(56)

El supermultiplete vectorial contiene a Aµ, λ y D. Tomemos unsupercampo real V = V † .

En componentes:

V =12

C + iθχ+i2θ2(M + iN) + θσµθ̄Aµ

+ iθ2θ̄(λ† − i2σ̄µ∂µχ) +

14θ2θ̄2(D(x) +

12�C(x)) + h.c. .

(57)

Tiene grados de libertad de más... pero son campos auxiliaresrequeridos por la invariancia de norma.

Introduzcamos un supercampo quiral Λ:

Λ =α(yµ) + iβ(yµ)

2+ θ

ξ(yµ)√2

+12θ2f (yµ) . (58)

si corremos el supercampo vectorial

V → V + i(Λ− Λ†) . (59)

su componente vectorial sufre una transformación de norma

Aµ → Aµ + ∂µα (60)

donde Λ es la generalización de una transformación de norma.

Las otras componentes del supercampo vectorial setransforman como

C → C − β ,χ→ χ+ ξ ,

M + iN → M + iN + 2f ,λ→ λ ,

D → D .

(61)

Mantenemos invariancia de norma y usamos el resto de lascomponentes de Λ para fijar los campos auxiliares que no sonD a cero. De este modo fijamos la norma.

La norma de Wess-Zumino es conveniente para calcularaunque SUSY no sea totalmente manifiesta.

Teoría SUSY U(1)

Los términos cinéticos para un supercampo espinorial quiralson

Wα = −14

D̄2DαV , (62)

sus funciones analíticas también son campos quirales, y lacomponente θ2 deWαWα se transforma como una derivadatotal. Contiene además términos cinéticos de norma⇒podemos escribir un Lagrangiano U(1)

L =

(∫d2θ

14g2W

αWα +

∫d2θ̄

14g2W

†α̇W

†α̇)

=1

4g2 FµνFµν +i

g2λ†∂µσ̄

µλ+1

2g2 D2 .

(63)

Usamos una normalización no-canónica, conveniente paraSUSY.

Un supercampo quiral de carga q tiene transformación denorma

Φ→ e−iqΛΦ . (64)

Un potencial Kähler de la forma

K = K(

Φ†,eqV Φ)

(65)

es invariante de norma. El potencial Kähler canónico

K = Φ†eqV Φ (66)

tiene interacciones usuales de norma y nuevas de los camposde materia y gauginos

−√

2(φ∗ηλ+ λ†η†φ

). (67)

Combinamos esto con los términos cinéticos y unsuperpotencial general invariante de norma, tenemos elLagrangiano para una teoría con varios multipletes quirales

L =

(∫d2θ

14g2W

αWα + h.c.)

+

∫d4θ

∑i

Φ†i eqi V Φ†i

+

(∫d2θW (Φi) + h.c.

).

(68)

Veamos los términos D

LD =1

2g2 D2 + D

(∑i

qi |ϕi |2)2

. (69)

Si los integramos encontramos una nueva contribución alpotencial escalar

VD =g2

2

(∑i

qi |ϕi |2)2

. (70)

Vemos que hay direcciones en el espacio de los campos en loscuales VD = 0 (D-flat). Esto es genérico de las teorías SUSYpara términos F y D.

La sub-variedad del espacio de campos donde se satisfacencondiciones de flatness para los términos D y F se llama elespacio de modulos (moduli space) clásico.

Puede ser modificado o levantado por dinámicano-perturbativa.

Termino D de Fayet-Iliopoulos

Aparece sólo en casos abelianos. Recordemos (59), elsupercampo vectorial V no es invariante bajo SUSY y suscomponentes no son invariantes bajo U(1), pero D y λ sonneutros bajo la simetría de norma. La componente θ4 esescalar y varía por una derivada total. Entonces se puedeañadir el término ∫

d4θξ2V . (71)

que es invariante de norma y SUSY. Integramos el campo D ysu potencial queda

VD =g2

2

(∑i

qi |ϕi |2 + ξ2

)2

. (72)

Teorías no-abelianas

Para el caso no-abeliano las transformaciones de norma tomanla forma

V → e−iΛVeiΛ , (73)

donde V se transforma en la adjunta del grupo y Λ = ΛaT a.La generalización para el caso de Yang-Mills de los términosde energía cinética son

LSYM =

∫d2θ

12g2 TrWαWα + h.c. . (74)

Consideremos un grupo de norma SU(N) con F pares desupercampos quirales en las representaciones fundamentalesy anti-fundamentales respectivamente Q y Q̄. A esto lollamaremos un contenido de materia con F sabores.

Los números cuánticos de los campos de materia bajosimetrías locales y globales no-anómalas son

SU(N) SU(F )L SU(F )R U(1)B U(1)R

Q N F 1 1 Nf−NcNf

Q̄ N̄ 1 F̄ −1 Nf−NcNf

(75)

El potencial D tiene la forma

VD =g2

2

(q†T aq − q̄T aq̄†

)2(76)

y tiene muchas direcciones clásicas planas. Si los vevs de lossquarks satisfacen la condición el potencial desaparece.

q†if qjf − q̄if q̄†jf = αδij , (77)

donde i y f son los índices de color y sabor, respectivamente, yα es una constante arbitraria.

En una teoría con F < N se pueden usar simetrías de norma yglobales para escribir los vevs como

Q = Q̄ =

v1 0v2

. . .vF

0 · · · 0

. (78)

Cuando F ≥ N las direcciones planas se puedenreparametrizar como

Q =

v1 0

v2...

. . .0 · · · vF 0

, Q =

v̄1 0

v̄2...

. . .0 · · · v̄F 0

,

(79)donde |vi |2 − |v̄i |2 = α.

Podemos parametrizar los campos modulares comocompuestos o condensados invariantes de norma

Mff ′ = Qf Q̄f ′ . (80)

donde Mff ′ los llamaremos mesones. De la misma manerapodemos constuir direcciones planas cuando F ≥ N comobariones y anti-bariones

BfN+1...fF = εf1...fF εa1...anQf1

a1. . .QfN

aN, B̄fN+1...fF = εf1...fF ε

a1...anQ̄f1a1. . . Q̄fN

aN.

(81)No siempre son independients. Si F = N

det M = BB̄ . (82)

Si F > N

det M M−1ff ′ = Bf B̄′f ,

Bf Mff ′ = Mff ′B̄f ′ = 0 .(83)

Renormalización

La renormalización determina la relación entre parámetros deuna teoría, cuando los parámetros que describen distanciasgrandes difieren de los de distancias pequeñas.

Ej.: En QED muchas integrales son divergentes, al tomaren cuenta las correcciones radiativas.

Estas correcciones dependen de la energía a la que serealiza el proceso

Conjunto de ecuaciones diferenciales que determinan comovarían los parámetros con la energía: grupo derenormalización.

Corrección al vértice

Polarización del vacío auto-energía

I Regularizar las integrales: remover los infinitos.Se introduce un regulador, que depende de la escala decorte (cut-off). Cuando el corte se va a∞ se recuperan lasintegrales originales.

I Renormalización: tomar en cuenta las correccionesradiativas a la escala apropiada⇒ las constantes deacoplamiento cambian con la energía (corren).

En este procedimiento se introducen contratérminos en elLagrangiano para remover los infinitos.

Teoremas de no-renormalización

Las simetrías relacionan parámetros, se esperaría que en unateoría SUSY los cálculos se simplificaran.

SUSY requiere que los contratérminos para las interaccionesrelacionados por la simetría sean idénticos.

Ej. en el modelo de Wess-Zumino los contratérminos para Fϕ2

y ϕηη son iguales.

En teorías de norma SUSY la renormalización delacoplamiento de norma, el acoplamiento gaugino-escalarfermión y el coplamiento escalar cuártico en el término D delpotencial están relacionados.

SUSY impone constricciones mucho más fuertes en losLagrangianos.

Sólo los términos del potencial Kähler son renormalizados atodos los órdenes en teoría de perturbaciones.

Los términos del superpotencial no son renormalizados.

El acoplamiento de norma y el término D deFayet-Iliopoulos sólo son renormalizados a un lazo.

Estos son los llamadosTeoremas de no-renormalización

Simetría R

Es una simetría que rota las coordenadas θ por una fase,θ → eiαθ.

Si la carga R de θ es Rθ = 1, usando las transformaciones deGrassmann encontramos que Rdθ = −1.

Los términos del Lagrangiano que vienen del potencial Kählerson siempre invariantes bajo R. Pero no necesariamente elLagrangiano completo.

Sólo si el supoerpotencial se transforma con carga 2 essimetría del Lagrangiano completo W → e2iαW .

Es una simetría poco usual: actúa en las coordenadas delsuperespacio θ y θ̄.

∴ diferentes componentes de los supercampos puedentransformarse diferente!

Las R-cargas de los campos de materia dependen del modelo.

Las R-cartas de los multipletes vectoriales están fijas: WαWα

tiene R-carga 2, El gaugino λ es la componente más baja deWα y tiene R-carga 1, mientras que el término D y el campo denorma Aµ son neutrales (son reales).

Los términos del superpotencial

Para probar los teoremas de no-renormalización hay que usartodas las simetrías del campo SUSY.

Para esto promovemos los parámetros del Lagrangiano asupercampos de “fondo”.Veamos el modelo de Wess-Zumino: lo interpretamos comouna descripción efectiva de baja energía de una másfundamental, donde m y λ salen como vevs de supercampospesados.

∴ las simetrías aparentes del sistema se ven aumentadas:ahora tenemos una simetría U(1)× U(1)R global, rotaespontáneamente por los campos de fondo m y λ.

Las cargas del supercampo dinámico Φ y los campos de fondobajo las simetrías de la teoría son

U(1)R U(1)

Φ 1 1m 0 −2λ −1 −3

(84)

El superpotencial debe ser descrito por una funciónholomórfica de los campos dinámicos y de fondo.

El campo Kähler sigue siendo una función real general de lossupercampos y los campos de fondo:

K = K (Φ†,Φ,m†,m, λ†, λ) ,

W = W (Φ,m, λ) .(85)

El superpotencial renormalizado, holomórfico y con laspropiedades de transformación correcta bajo las simetrías es

W =m2

Φ2f(λΦ

m

). (86)

En el límite de acoplamiento débil el superpotencial efectivodebe reproducir el clásico. ∴ debe existir una expansión enserie de Taylos de f en λΦ/m:

W =m2

Φ2(

1 +23λΦ

m+O

(λ2Φ2

m2

))=

m2

Φ2 +λ

3Φ3 +O

(λ2).

(87)⇒

f(λΦ

m

)= 1 +

23λΦ

m+O

(λ2). (88)

De la forma de la expansión vemos que en el límite cuandom→ 0 el potencial debe ser regular ∴ no debe haber potenciasnegativas de m en W ⇒ los términos O

(λ2) = 0 y mayores.

El potencial es exacto y no hay contratérminos que lleven aque m o λ se renormalicen.

Supoengamos que los hay... aparece un contratérmino δm en lateoría de perturbaciones⇒ δm ∼ λn, pero esto no es posible,como ya vimos.

El potencial Kähler es real, y puede ser función de |m|2 y |λ|2,que son invariantes bajo todas las simetrías.

Después de la renormalización el potencial Kähler es

K = Φ†Φ→ Z(µ†µ

m†m, λ†λ

)Φ†Φ . (89)

Es decir m y λ sí son renormalizadas.

La evolución del grupo de renormalización RG de lasconstantes de acoplamiento está determinada por larenormalización de la función de onda.

Renormalización del acoplamiento de norma

Igual que en el caso anterior promovemos la función deacoplamiento de norma a un supercampo de fondo, cuyacomponente más baja es

τ =8π2

g2 + iθYM . (90)

El Lagrangiano del campo de norma es

14g2

∫d2θWαWα + h.c.→

132π2

∫d2θ τWαWα + h.c. ⊃ 1

4g2 F 2µν +

θYM

32π2 FF̃ .

(91)

FF̃ es una derivada total y no afecta las ecs. de movimiento.

Una teoría abeliana es invariante bajo los cambiosθYM → θYM + const .

Una teoría no-abeliana debe ser una función periódica de θYMcon periodo 2π.

En una teoría no-abeliana hay configuraciones de normatopologicamente no-trivial, que contribuyen a la acción

θYM

32π2

∫d4xFF̃ = nθYM , (92)

donde n es el número de enrrollamiento (winding number) de laconfiguración del campo.

Para calcular funciones de correlación se debe sumar sobretodas las n⇒ la periodicidad de θYM .

∴ la renormalización puede a lo más variar el coeficiente deltérmino de norma cinético por una constante, i.e.renormalización de un lazo. El coeficiente a un lazo de lafunción β es

b0 = 3C(G)−∑

r

C2(r) . (93)

Ej.: Consideremos una teoría SUSY con grupo de normaSU(N) y F sabores. La evolución del grupo de renormalizaciónen una norma holomórfica es

b0 = 3N − F ,

8π2

g2(µ)=

8π2

g2(M)+ b0 ln

µ

M.

(94)

Aunque los parámetros holomórficos no se renormalicen, lasconstantes físicas si lo hacen, debido a la renormalización dela función de onda. Lo mismo sucede con la renormalizaciónde los acoplamientos de norma físicos.

Cualquier renormalización más allá de un lazo se debe a larenormalización de la función de onda ∴ podemos escribir unafunción β exacta en términos de las dimensiones anómalas

β(α) ≡ dα(µ)

d lnµ= −α

2

2π3C(G)−

∑r C2(r)(1− γr )

1− α2πC(G)

, (95)

dondeγr =

∂ ln Zr (µ)

∂ lnµ. (96)

Renormalización del término D

Volvemos a usar el formalismo de campos de fondo:El término D del supercampo vectorial U(1) es invariante bajotransformacines de norma y supersimétricas, el supercampocompleto V no lo es.

Si D depende de acoplamientos, al promover éstos a camposde fondo D se vuelve valuado en el superespacio, y al hacer laintegral sobre el superespacio lleva a términos no invariantesde norma en el Lagrangiano!!

∴ ξ debe ser un número independiente de los acoplamientosde la teoría.

Algunas referencias

I Supersymmetry and the MSSM: an elementaryintroduction, Ian J.R. Aichison, hep-ph/0505105.

I Introducing Supersymmetry, Martin F. Sohnius, Phys.Rept. 128, Nos. 2 and 3 (1985) 39-204.

I TASI 2008 Lectures: Introduction to supersymmetryand supersymmetry breaking, Yuri Shirman,arXiv:0907.0039.

I Supersymmetry and Supergravity, J. Wess and J.Bagger.