Facultad de Ingeniería y Arquitectura Profesor Luis Antonio Durand Romero

Introducción a los

Modelos Estocásticos

Programación Lineal

en la Teoría de Juegos

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Capacidades

Conocer cuando se debe aplicar

programación lineal a un Juego.

Conocer las partes de un MPL en la

teoría de juegos.

Aplicar modelos de programación

lineal e interpretarlos.

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1. Programación Lineal en

la Teoría de Juegos

Consiste en resolver la MATRIZ de

RETRIBUCIONES de orden mxn mediante

Programación Lineal.

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Maximin ≠ MiniMax

Es decir, no existe equilibrio.

Esto indica que los jugadores no pueden

elegir o jugar con una sola estrategia.

Sino que se debe aplicar una estrategia

mixta.

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2. Componentes del

modelo de

Programación Lineal

Un MPL en la Teoría de Juegos tiene

los siguientes componentes para el

Jugador 1.

I. Variables de Decisión

Xi=Porcentaje de veces

que se usa la

estrategia i(1,…,m),

con 0≤ Xi ≤1

G=Retribución obtenida,

con G≥0.

X1 X2:

Xm

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II. Función Objetivo

2. Componentes del

modelo de

Programación Lineal

Maximizar La Retribución Espera

Max G

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Tenemos:

III. Restricciones

2. Componentes del

modelo de

Programación Lineal

a11x1+a

21x2+...+a

m1xm>=G

a12x1+a

22x2+...+a

m2xm>=G

⋮a1nx1+a

2nx2+...+a

mnxm>=G

x1

+ x2 + ⋯+ x

m= 1

X1 X2:

Xm

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3. El Modelo de PL para

el Jugador 1El modelo de Programación Lineal para

una estrategia mixta es:

MAX G

ST

a11x1+a

21x2+...+a

m1xm– G >=0

a12x1+a

22x2+...+a

m2xm– G >=0

⋮a1nx1+a

2nx2+...+a

mnxm– G >=0

x1

+ x2 + ⋯+ x

m= 1

END

En

formato

LINDO

0≤ Xi ≤1 y G≥0

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Nuestra empresa y otra de los

más grandes productores de

agendas electrónicas se

proponen sacar al mercado un

modelo nuevo con teléfono

móvil incorporado.

Pueden establecer un convenio

con cuatro de las compañías

telefónicas y uno de los dos

podría desarrollar una

compañía telefónica propia.

Caso de aplicación

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La matriz de ganancias (en millones de

soles) se presenta a continuación

MoviSun EntFone UnderHill WindTel

MoviSun 10 -20 -5 -10

EntFone 15 10 5 6

UndeHill 30 25 -10 -5

WindTel 25 10 -30 -20

PhoneCasie 10 -20 15 -5

a. ¿Existe

equilibrio?

b. ¿Cuál es la

mejor

estrategia

para nuestra

compañía?

MOVI

MI-COM

Interprete

los

resultados

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Solución

El modelo de Programación Lineal para

MI-COM es:

MAX G

ST

10x1+15x

2+30x

3+25x

4+10x

5-G >=0

-20x1+10x

2+25x

3+10x

4-20x

5-G >=0

-5x1+ 5x

2-10x

3-30x

4+15x

5-G >=0

-10x1+ 6x

2-5x

3-20x

4- 5x

5–G >=0

x1

+ x2 + x

3+ x

4 + x

5 = 1

ENDEn

formato

LINDO

0≤ Xi ≤1 y G≥0

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Cuya solución con el software LINDO es

Se debe hacer convenios con EntFone en

un 95.2% y se puede crear PhoneCasie

4.8% obteniéndose un beneficio de

5.476191 millones.

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 5.476191

VARIABLE VALUE REDUCED COST

G 5.476191 0.000000

X1 0.000000 12.857142

X2 0.952381 0.000000

X3 0.000000 13.095238

X4 0.000000 30.714285

X5 0.047619 0.000000

¿Cuál es la

mejor

estrategia

para MOVI

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4. El Modelo de PL para

el Jugador 2El modelo de Programación Lineal para

una estrategia mixta es:

MIN G

ST

a11Y1+a

12Y2+...+a

1nYn– G <=0

a21Y1+a

22Y2+...+a

2nYn– G <=0

⋮am1Y1+a

m2Y2+...+a

mnYn– G <=0

Y1

+ Y2 + ⋯+ Y

n= 1

END

En

formato

LINDO

0≤ Yi ≤1 y G≥0

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Dos empresas de Catering van a ofrecer

sus servicios durante la Cumbre del FMI y

Banco Mundial asistirán 3000 personas.

Han de ofrecer los alimentos y la

publicidad simultáneamente y con

antelación a la celebración del congreso.

La empresa CATA (jugador 1) podría optar

por tres modalidades distintas, mientras

que la empresa MABRYS tiene dos

posibilidades

Caso de aplicación

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La matriz de beneficios esta formada por

una estimación del número de comensales

en CATA según las diversas estrategias

Modalidad A Modalidad B

Modalidad 1 1500 2400

Modalidad 2 1400 2500

Modalidad 3 1800 1700

CATA

MABRYS

a. ¿Existe

equilibrio?

b. Que

modalidades

debe ofrecer

CATA.

c. Que

modalidades

puede aplicar

MABRYS.

Interprete

los

resultados

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Solución

El modelo de Programación Lineal para

MABRIS es:

MIN G

ST

1500Y1+2400Y2-G<=0

1400Y1+2500Y2-G<=0

1800Y1+1700Y2-G<=0

Y1+Y2=1

END

En

formato

LINDO

0≤ Yi ≤1 y G≥0

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Cuya solución con el software LINDO es

¿Cuál es la interpretación de los

resultados?

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1770.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

G 1770.000000 0.000000

Y1 0.700000 0.000000

Y2 0.300000 0.000000

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Bibliografía

[1] Frederick S. Hillier y Gerald J.

Lieberman. (2002). Investigación de

operaciones. (7a ed.). - México:

McGraw-Hill.

[2] Wayne L. Winston. (2005).

Investigación de operaciones:

Aplicaciones y Algoritmos. (4a ed.).-

México: Thomson.