INTRODUCCIN AL CONTROL MULTIVARIABLE
El control multivariable es un sistema de control con ms de una
variable controlada y manipulada.
Representacin de matricesPara el diseo de sistemas de control
multivariable se requiere el conocimiento de algunos conceptos de
manejo de matrices:
Inversa, determinante, transpuesta, suma, resta y multiplicacin
de matrices.En el diseo de los sistemas de control multivariable se
usan los valores propios y los valores singulares de una matriz.Los
valores propios (Eigenvalues) son las races de la ecuacin
caracterstica del sistema y los valores singulares dan una medida
del tamao de la matriz y una indicacin de que tan cerca est la
matriz de ser singular o su determinante de ser cero.La inversa de
una matriz no existe si la matriz es singular.
La inversa de una matriz es: (1)Los valores propios de una
matriz cuadrada N*N son las races de la ecuacin escalar:
(2) El vector de valores propios es:
(3)
Ejemplo 1. Calcule los valores propios de la siguiente matriz
.
Las races de esta ecuacin son: y y los valores propio de la
matriz son:
y .
Consideremos un modelo de un proceso qumico que consiste en un
sistema lineal de N ecuaciones diferenciales.
(4)
Donde vector de N variables de estados del sistema.
Matriz de constante
Matriz de constante diferente
Vector de M variables manipuladas del sistema
El vector de valores propios de la matriz son las races de la
ecuacin caracterstica del sistema, los cuales definen si el sistema
es estable o inestable, rpido o lento, sobreamortiguado u
oscilatorio. Ellos son esenciales para el anlisis de los sistemas
dinmicos.VALORES SINGULARES
Los valores singulares son una medida de que tan cerca est la
matriz de ser singular, o que su determinante sea cero. Una matriz
N*N tiene N valores singulares. El smbolo es un valor singular. La
mayor magnitud de se conoce como el valor singular mximo , y la
mnima magnitud se conoce como el valor singular mnimo . La relacin
del valor singular mximo y el valor singular mnimo se conoce como
el Nmero de condicin .Los valores singulares se definen:
(5)
Ejemplo 2. Determine los valores singulares de la matriz dada en
el ejemplo 1.
Estos valores singulares no son pequeos, as la matriz no es
singular, el determinante de es 8.
Ejemplo 3. Calcule los valores singulares de la matriz El
determinante de esta matriz es cero, luego esta es singular.
El valor singular de cero indica que la matriz es singular.
Representacin en funciones de transferenciaA. Sistema en lazo
abiertoConsideremos un proceso en lazo abierto con N variables
controladas, N variables manipulables y una perturbacin de carga.El
sistema se puede describir en el dominio de la transformada de
Laplace por N ecuaciones que dan las funciones de transferencia que
muestran como todas las variables manipuladas y la perturbacin de
cargas afecta a cada variable controlada a travs de su apropiada
funcin de transferencia. En la figura 1 se presenta un diagrama de
bloque de un sistema multivariable en lazo abierto.
En forma matricial nos queda como:
(6)
Donde vector de N variables controladas
Matriz N*N de las funciones de transferencias que relacionan las
variables Controladas con las variables manipuladas en lazo
abierto.
Vector de N variables manipuladas.
Vector de funciones de transferencia que relacionan las
variables controladas y las perturbaciones de carga.
Perturbacin de carga.B. Sistemas en lazo cerrado
En la figura 2 se presenta un diagrama de bloque para un sistema
multivariable con controladores de retroalimentacin. La matriz es
la matriz identidad. La matriz que contiene los controladores por
retroalimentacin. La mayoras de los procesos usan controladores
convencionales con una entrada y una salida (SISO). Un controlador
es usado en cada lazo para regular una variable controlada
cambiando una variable manipulada. En este caso tiene solamente
elementos en la diagonal y los elementos fuera de la diagonal son
ceros y se conoce como controlador multilazo diagonal.
(7)La dinmica y estabilidad de un proceso multivariable en lazo
cerrado depende de la sintona de todos los controladores.
La estructura del controlador que tiene elementos en todas las
posiciones en la matriz se conocen como controladores
multivariables.
(8)
La matriz de controladores feedback da las funciones de
transferencia entre las variables manipuladas y el error.
Sustituyendo en la ecuacin (6) tenemos:
, llevando todos los trminos de al lado izquierdo nos queda:
(9)La ecuacin (9) da los efectos de los cambios en el setpoint y
carga a las variables controladas en un ambiente multivariable en
lazo cerrado.
ESTABILIDAD
Ecuacin caracterstica en lazo cerrado
Recordando que la inversa de una matriz tiene el determinante de
la matriz en el denominador de cada elemento. Por tanto, el
denominador de todas las funciones de transferencia en la ecuacin
(9) contiene . Si se conoce que la ecuacin caracterstica de
cualquier sistema es el denominador igualado a cero. Por tanto, la
ecuacin caracterstica en lazo cerrado de un sistema multivariable
con controladores feedback es la ecuacin sencilla escalar:
(10)
ndice de NiederlinskiUn mtodo aproximado para el anlisis de
estabilidad es el ndice de Niederlinski. Este puede eliminar las
parejas de variables que no funcionan bien en las etapas tempranas
del diseo. No requieren conocer los parmetros de los controladores,
pero se aplica solamente cuando se usa la accin integral en todos
los lazos. Este usa solamente las ganancias del proceso en estado
estacionario de la matriz de funcin de transferencia. El mtodo es
una condicin necesaria pero no suficiente para la estabilidad de un
sistema en lazo cerrado con accin integral. Si este ndice es
negativo, el sistema puede ser inestable para cualquier parmetro de
los controladores. Si el ndice es positivo, el sistema puede o no
puede ser estable. Se requiere un anlisis adicional.
ndice de Niederlinski (11)
Donde matriz de ganancias en estado estacionario de la funcin de
transferencia en lazo abierto .
Elementos diagonales en la matriz de ganancias en estado
estacionario.
Ejemplo 4. Calcule el ndice de Niederlinski para la columna de
destilacin de Wood and Berry.
Debido a que el NI es positivo, el sistema en lazo cerrado con
esta pareja de variable puede ser estable. En este caso la
composicin del destilado es controlada por el reflujo R y la
composicin del fondo es controlada con el vapor generado en el
fondo V.
Si el apareamiento de variables se invierte, la matriz de
ganancias es:
El NI para este apareamiento es
Por tanto, este apareamiento de con V y con R da un sistema en
lazo cerrado que es inestable para cualquier sintona de los
controladores.
INTERACCIN
La interaccin entre lazo de control se presenta en todos los
sistemas multivariables, un lazo de control afecta a otros lazos de
control. La interaccin es indeseable para cambios en el setpoint,
pero puede ayudar a eliminar las perturbaciones de carga.El mtodo
ms usado para cuantificar la interaccin entre lazo es el arreglo de
ganancias relativas (RGA) y para eliminar la interaccin se usan
Desacopladores o Controladores multivariables basados en modelo
predictivo (MPC). Arreglo de ganancias relativas (RGA)Este es el
mtodo ms usado para estudiar la interaccin entre lazos de control.
Este fue propuesto por Bristol (1966). El RGA tiene la ventaja de
ser fcil de calcular y requiere solamente informacin de las
ganancias en estado estacionario.
A. Definicin
El RGA es una matriz de nmeros. Los elementos en el arreglo se
llaman . Este es la relacin de ganancias en estado estacionario
entre la variable controlada y la variable manipulada cuando todas
las otras variables manipuladas son constantes, dividida por la
ganancia en estado estacionario entre las mismas dos variables
cuando todas las otras variables controladas son constantes.
(12)
Por ejemplo, supongamos que tenemos un sistema con ganancias en
estado estacionario .
Para este sistema, la ganancia entre y cuando es constante
es
La ganancia entre y cuando es constante (=0) se encuentra
solucionando las ecuaciones
Por tanto, el trmino en el arreglo RGA es
(13)
Ejemplo 5. Calcule el elemento del arreglo RGA para la columna
de Wood y Berry.
La ecuacin (13) se aplica solamente para un sistema . Los
elementos del arreglo RGA se pueden calcular para cualquier tamao
de la matriz usando la siguiente ecuacin.
(Elemento de ) * (Elemento de ) (14)Ejemplo 6. Calcule todos los
elementos de RGA para la columna de Wood y Berry usando la ecuacin
(14).
La suma de los elementos en cada columna y fila es igual a 1.
Esta propiedad se mantiene para cualquier RGA, as para un sistema
solamente necesitamos calcular un elemento.
Ejemplo 7. Calcule el RGA para un sistema estudiado por
Ogunnaike y Ray (AICHEJ 25: 1043, 1979).
Realizando los clculos en MATLAB
La suma de los elementos en todas las columnas y filas son igual
a 1.Si RGA es cercano a 1, podra tener poco efecto sobre el lazo de
control si se colocan en automtico los otros lazos en un sistema
multivariable o sea que habra poca interaccin. Nmeros alrededor de
0.5 indica interaccin. Nmeros muy grandes indican interaccin y que
el sistema puede ser sensible a los cambios en los parmetros. RGA
negativos indican inestabilidad integral.
DISEO DE CONTROLADORES PARA PROCESOS MULTIVARIABLESLa mayoras de
los sistemas de control de procesos industriales usan multilazos
SISO con estructura de control diagonal.Estructura de control
sencilla y fcil de entender, no requiere de un experto en matemtica
para disear y mantener.En el desarrollo de un sistema de control
para una planta, debemos responder, Que variables debemos
controlar?, Qu variables debemos manipular?, Cmo se podran aparear
las variables controladas con las variables manipuladas en una
planta multivariable?.Seleccin de variables controladasEl juicio de
Ingeniera es la principal herramienta para decidir que variables
controlar, un buen entendimiento del procesos en muchos casos nos
lleva a la seleccin lgica.Debemos controlar inventarios ( nivel de
lquidos y presin de gas), calidad de productos y flujos de
produccin.En columnas de destilacin usualmente estamos interesados
en controlar la pureza del producto de cima y del fondo.En
reactores qumicos, intercambiadores de calor y hornos usualmente
controlamos la temperatura.La seleccin del mejor plato de control
de temperatura en una columna se puede realizar usando la
descomposicin de los valores singulares (SVD).Descomposicin de
valores singulares (SVD)
SVD consiste en expresar la matriz de ganancia en estado
estacionario de la planta como producto de tres matrices.
El mayor elemento en cada columna de la matriz indica cual
salida del proceso es ms sensible.
La matriz diagonal contiene los valores singulares de la matriz
Seleccin de variables manipulables
Selecciones las variables manipulables que den los mayores
valores singulares mnimosEliminando malos apareamientos
Evite parejas de variables controladas con variables manipuladas
que presenten ndices de Niederlinki (NI) negativos.
