Introducción al Diseño de Filtros Digitalespdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/firiir2012.pdf · Introducción Diseño IIR Diseño FIR Modulación AlgoritmosdediseñoIIR

Introducción alDiseño de Filtros Digitales

Diego Milone

Procesamiento Digital de SeñalesIngeniería Informática FICH-UNL

3 de mayo de 2012

Introducción Diseño IIR Diseño FIR Modulación

Organización de la claseIntroducción

Concepto y clasificación de filtrosFiltros ideales y filtros realizables

Diseño de filtros IIRAlgoritmos de diseño IIRDiseños analógicos básicosTransformaciones en frecuencia

Diseño de filtros FIRPropiedades de los filtros FIRFiltros de fase linealMétodos de diseño FIR

ModulaciónConceptos básicos








Concepto

• ¿Qué es un filtro?

• Filtros vs. Sistemas

• Ejemplos...


Concepto



• Ejemplos...


Concepto



• Ejemplos...


Clasificación de los filtros• Respuesta al impulso

• IIR (recursivos, AR/ARMA)• FIR (no-recursivos, MA)

• Banda de paso• Pasa-Bajos• Pasa-Altos• Pasa-Banda• Rechaza-Banda• Multibanda


Clasificación de los filtros• Respuesta al impulso

• IIR (recursivos, AR/ARMA)• FIR (no-recursivos, MA)

• Banda de paso• Pasa-Bajos• Pasa-Altos• Pasa-Banda• Rechaza-Banda• Multibanda


Clasificación de los filtros• Adaptativos vs. estáticos• Filtros de fase lineal• Filtros para compensación de fase


Clasificación de las técnicas de diseño• Filtros IIR

• Prototipos analógicos• Butterworth• Chebyshev I y II• Elípticos• Bessel

• Diseño digital directo (Yule-Walk)

• Filtros FIR• Método de Fourier + Ventaneo• Otros (mínimos cuadrados, minimax, etc)


Clasificación de las técnicas de diseño• Filtros IIR

• Prototipos analógicos• Butterworth• Chebyshev I y II• Elípticos• Bessel

• Diseño digital directo (Yule-Walk)• Filtros FIR

• Método de Fourier + Ventaneo• Otros (mínimos cuadrados, minimax, etc)


Filtro pasa bajos ideal

• Magnitud• Fase• Frecuencia de corte (-3 dB)


Filtros realizables

• Filtro pasa bajos• Bandas de paso, rechazo y transición

• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa bajos• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo

• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa bajos• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo

• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa bajos• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa altos• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa banda• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro rechaza banda• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros digitales vs. analógicos++ Estabilidad (componentes electrónicos)++ Precisión−− Frecuencia limitada por la conversión A/D (=> costos)








Algoritmos de diseño IIR• Método 1

• Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado)• Transformación en frecuencia (analógica, en s)• Transformación conforme (bilineal)

• Método 2• Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado)• Transformación conforme (bilineal)• Transformación en frecuencia (digital, en z)



• Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado)• Transformación en frecuencia (analógica, en s)• Transformación conforme (bilineal)

• Método 2• Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado)• Transformación conforme (bilineal)• Transformación en frecuencia (digital, en z)


Diseño analógico: Butterworth• Función de transferencia• Tolerancias en la banda de paso y rechazo• Forma de la respuesta en frecuencia• Diseño:

• Especificaciones típicas (wp, A y K0)• Fórmula para la estimación del orden (N)


Filtro de Butterworth

|H(jω)|2 = 1

1 + ε2(ω

ωP

)2N

si |ω| ≤ ωP ⇒ |H(jω)|2 > 11+ε2

si |ω| ≥ ωR ⇒ |H(jω)|2 < 11+λ2

si N →∞ωR → ωPε→ 0λ→∞



|H(jω)|2 = 1

1 + ε2(ω

ωP

)2N

si |ω| ≤ ωP ⇒ |H(jω)|2 > 11+ε2

si |ω| ≥ ωR ⇒ |H(jω)|2 < 11+λ2




|H(jω)|2 = 1

1 + ε2(ω

ωP

)2N

si |ω| ≤ ωP ⇒ |H(jω)|2 > 11+ε2

si |ω| ≥ ωR ⇒ |H(jω)|2 < 11+λ2




|H(jω)|2 = 1

1 + ε2(ω

ωP

)2N

si |ω| ≤ ωP ⇒ |H(jω)|2 > 11+ε2

si |ω| ≥ ωR ⇒ |H(jω)|2 < 11+λ2




|H(jω)|2 = 1

1 + ε2(ω

ωP

)2N

si |ω| ≤ ωP ⇒ |H(jω)|2 > 11+ε2

si |ω| ≥ ωR ⇒ |H(jω)|2 < 11+λ2




|H(jω)|2 = 1

1 + ε2(ω

ωP

)2N

si |ω| ≤ ωP ⇒ |H(jω)|2 > 11+ε2

si |ω| ≥ ωR ⇒ |H(jω)|2 < 11+λ2



Características del filtro de Butterworth• Respuesta monotónicamente decreciente• Respuesta máximamente plana cerca de ω = 0

• Fase tendiendo a −Nπ/2 para ω →∞


Diseño Butterworth• Dados

• ωp : frecuencia de corte• A : relación de atenuación máxima• K0 : relación de ancho de transición

• Se requiere• N : orden del filtro


Ecuación de diseño ButterworthSe debe cumplir:

N >logA

log(

1K0

)siendo:A = λ

ε =√

100,1AR−1100,1AP−1

K0 =ωPωR


Diseño analógico: Chebyshev• Función de transferencia tipo I y tipo II• Forma de la respuesta en frecuencia• Tolerancias en la banda de paso y rechazo• Fórmula para la estimación del orden (N)


Filtro de Chebyshev tipo I|H(jω)|2 = 1

1+ε2V 2N

(ωωP

)

Polinomio de Chebyshev:

VN (x) = 2xVN−1(x)− VN−2(x)V0 = 1V1 = x



1+ε2V 2N

(ωωP

)Polinomio de Chebyshev:

VN (x) = 2xVN−1(x)− VN−2(x)V0 = 1V1 = x



1+ε2V 2N

(ωωP


VN (x) = 2xVN−1(x)− VN−2(x)V0 = 1V1 = x



1+ε2V 2N

(ωωP


VN (x) = 2xVN−1(x)− VN−2(x)V0 = 1V1 = x


Características de los filtros de Chebyshev• Tipo I: ondulaciones en la banda de paso y monotónico

decreciente en la banda de rechazo

• Tipo II: ondulaciones en la banda de rechazo y monotónicodecreciente en la banda de paso

• Diferentes formas para orden par o impar



decreciente en la banda de rechazo• Tipo II: ondulaciones en la banda de rechazo y monotónico

decreciente en la banda de paso

• Diferentes formas para orden par o impar




decreciente en la banda de paso• Diferentes formas para orden par o impar




decreciente en la banda de paso• Diferentes formas para orden par o impar


Ecuación de diseño Chebyshev (tipos I y II)Se debe cumplir:

N >cosh−1A

cosh−1(

1K0

)siendo:A = λ

ε =√

100,1AR−1100,1AP−1

K0 =ωPωR


Diseño analógico: filtros elípticos• Función de transferencia• Forma de la respuesta en frecuencia• Tolerancias en la banda de paso y rechazo• Fórmula para la estimación del orden (N)


Filtros elípticos

|H(jω)|2 = 1

1 + ε2F 2N

(ωωP

)

FN (x): función elíptica Jacobiana


Filtros elípticos

|H(jω)|2 = 1

1 + ε2F 2N

(ωωP

)FN (x): función elíptica Jacobiana


Filtros elípticos

|H(jω)|2 = 1

1 + ε2F 2N

(ωωP

)FN (x): función elíptica Jacobiana


Características de los filtros elípticos• Ondulaciones en las bandas de paso y rechazo• Corte más abrupto que los anteriores (para igual orden)• Diferentes formas para orden par o impar


Ecuación de diseño para filtros elípticosSe debe cumplir:

N >log(16A)

log(

1q

)siendo:q = q0 + 2q50 + 15q90 + 150q130

q0 =1−(1−K2

0)0,25

2[1+(1−K2

0)0,25

]



• Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado)• Transformación en frecuencia (analógica, en s) ⇐• Transformación conforme (bilineal)

• Método 2• Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado)• Transformación conforme (bilineal)• Transformación en frecuencia (digital, en z) ⇐


Transformaciones en frecuencia “analógica”• Pasa-bajos → Pasa-bajos s→ s

ωP

• Pasa-bajos → Pasa-altos s→ ωPs

• Pasa-bajos → Pasa-banda s→ s2+ωP1ωP2

s(ωP2−ωP1)

• Pasa-bajos → Rechaza-banda s→ s(ωP2−ωP1)s2+ωP1ωP2



ωP



s(ωP2−ωP1)




ωP



s(ωP2−ωP1)




ωP



s(ωP2−ωP1)



Transformaciones en frecuencia “digital”• Pasa-bajos → Pasa-bajos z−1 → z−1−α

1−αz−1

α = sin((ωN−ωP )/2)sin((ωN+ωP )/2)

• Pasa-bajos → Pasa-altos z−1 → − z−1+α1+αz−1

• Pasa-bajos → Pasa-banda z−1 → z−2− 2αkk+1

z−1+ k−1k+1

k−1k+1

z−2− 2αkk+1

z−1+1

• Pasa-bajos → Rechaza-banda z−1 → z−2− 2α1+k

z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2− 2αk+1

z−1+1



1−αz−1


α = − cos((ωN+ωP )/2)cos((ωN−ωP )/2)


z−1+ k−1k+1

k−1k+1

z−2− 2αkk+1

z−1+1


z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2− 2αk+1

z−1+1



1−αz−1



z−1+ k−1k+1

k−1k+1

z−2− 2αkk+1

z−1+1

α =cos ((ωP2 + ωP1)/2)

cos ((ωP2 − ωP1)/2)

k = cos ((ωP2 − ωP1)/2) tan (ωN/2)


z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2− 2αk+1

z−1+1



1−αz−1



z−1+ k−1k+1

k−1k+1

z−2− 2αkk+1

z−1+1


z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2− 2αk+1

z−1+1

α =cos ((ωP2 + ωP1)/2)

cos ((ωP2 − ωP1)/2)

k = tan ((ωP2 − ωP1)/2) tan (ωN/2)








Filtros FIR: ventajas y desventajas++ Se puede lograr fase lineal++ Presentan mayor estabilidad++ Diseño hardware eficiente++ Frecuencias de corte abruptas++ Cortos transitorios de inicialización−− Requieren más cálculos


Filtros FIR: relaciones importantes• Coeficientes FIR• Respuesta al impulso• Convolución• Sistemas MA


Fase lineal: interpretación gráfica• Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes

senoidales

• Aplicación de un filtro de fase constante a ambascomponentes por superposición

• Aplicación de un filtro de fase lineal a ambas componentespor superposición

• Filtro sin fase lineal (y con magnitud constante) deforma laonda en el tiempo



senoidales• Aplicación de un filtro de fase constante a ambas

componentes por superposición

• Aplicación de un filtro de fase lineal a ambas componentespor superposición





componentes por superposición• Aplicación de un filtro de fase lineal a ambas componentes

por superposición





componentes por superposición• Aplicación de un filtro de fase lineal a ambas componentes

por superposición• Filtro sin fase lineal (y con magnitud constante) deforma la

onda en el tiempo


Fase lineal: definiciones• Definiciones de módulo y fase• Definición de retardo de fase: τφ(ω) = −φ(ω)

ω

• Definición de retardo de grupo τγ(ω) = −dφ(ω)dω

• Fase lineal: φ(ω) = τω

(... τφ y τγ constantes ...)


Diseño FIR por Fourier y ventaneo1. Especificación de los requerimientos (mód. y fase)2. Muestreo de la respuesta en frecuencia3. Aplicación de la TDF inversa4. Truncado temporal (ventanas temporales)5. Corrección de amplitud6. Corrección para obtener la causalidad


Truncado y ventaneo temporalObjetivos:

• Reducción del orden del filtro resultante• Reducción de los artefactos del truncado

• reducción de los lóbulos laterales• “reducción” del ancho en el lóbulo central

Interpretación gráfica


Ventanas• Ventana rectangular: ωR[n] = 1

• Ventana de Hanning: ωh[n] = 12 −

12 cos(2πn/N)

• Ventana de Hamming: ωH [n] = 2750 −

2350 cos(2πn/N)

• Ventana de Bartlett:

ωB[n] =

{2n/N si 0 < n ≤ N/22− 2n/N si N/2 < n ≤ N

• Ventana de Blackman:

ωK [n] =21

50− 1

2cos(2πn/N) +

2

25cos(4πn/N)




12 cos(2πn/N)


2350 cos(2πn/N)


ωB[n] =

{2n/N si 0 < n ≤ N/22− 2n/N si N/2 < n ≤ N


ωK [n] =21

50− 1

2cos(2πn/N) +

2

25cos(4πn/N)




12 cos(2πn/N)


2350 cos(2πn/N)


ωB[n] =

{2n/N si 0 < n ≤ N/22− 2n/N si N/2 < n ≤ N


ωK [n] =21

50− 1

2cos(2πn/N) +

2

25cos(4πn/N)




12 cos(2πn/N)


2350 cos(2πn/N)


ωB[n] =

{2n/N si 0 < n ≤ N/22− 2n/N si N/2 < n ≤ N


ωK [n] =21

50− 1

2cos(2πn/N) +

2

25cos(4πn/N)




12 cos(2πn/N)


2350 cos(2πn/N)


ωB[n] =

{2n/N si 0 < n ≤ N/22− 2n/N si N/2 < n ≤ N


ωK [n] =21

50− 1

2cos(2πn/N) +

2

25cos(4πn/N)


Ventanas

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40

0.5

1Ventana cuadrada

−0.2 0.2

−80−60−40−20

0−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40

0.20.40.60.8

Ventana de Hamming

−0.2 0.2−80

−60

−40

−20

0

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40

0.20.40.60.8

Ventana de Bartlett

−0.2 0 0.2

−80−60−40−20

0−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40

0.20.40.60.8

Ventana de Blackman

−0.2 0 0.2

−80

−60

−40

−20

0


Ventanas: ancho del lóbulo central• Rectangular: 4π/N• Bartlet: 8π/N• Hanning: 8π/N• Hamming: 8π/N• Blackman: 12π/N


Ventanas: relación de energía entrelóbulos laterales y central

• Rectangular: -13 dB• Bartlet: -25 dB• Hanning: -31 dB• Hamming: -41 dB• Blackman: -57 dB








Modulación: conceptos básicos

• Modulación en amplitud (sinusoidal)• Demodulación sincrónica y asincrónica• Multiplexado en frecuencia• Modulación en frecuencia


Bibliografía básica

• D.J. DeFatta, J.J. Lucas, W.S. Hodgkiss, Digital SignalProcessing: A System Design Approach (Capítulos 4 y 5),John Wiley, 1988.

• R. Kuc, Introduction to Digital Signal Processing(Capítulos 6, 7, 8 y 9), Mcgraw-Hill, 1988.

• A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Signals and Systems(modulación en amplitud y en frecuencia, Secciones7.1,7.2,7.3,7.5,7.6), Prentice-Hall, 1999.

Documents

Introducción al Diseño de Filtros Digitalespdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/firiir2012.pdf · Introducción Diseño IIR Diseño FIR Modulación AlgoritmosdediseñoIIR