Introduccion al

Movimiento Browniano

Ricardo Velez Ibarrola

Departamento de Estadıstica e I.O.

U N E D

1. Introduccion

En 1827, Robert Brown, un botanico ingles que estaba investigando una suspension departıculas microscopicas de polen en una solucion acuosa, observo que tales partıculas,en vez de permanecer estaticas, estan permanentemente sometidas a un movimientoerratico y zigzagueante.El fenomeno fue investigado por el mismo Brown y diversos cientıficos a lo largo delsiglo XIX. Las experiencias mostraron que un aumento de la temperatura de la solucionhace que el movimiento se haga mas rapido. En cambio, el aumento de la viscosidaddel fluido ralentiza el movimiento y la trayectoria de las partıculas se aleja menos, enel mismo tiempo, de su posicion inicial.La teorıa cinetica de la materia ofrecio pronto una explicacion cualitativa del movi-miento browniano: Las moleculas que componen el lıquido estan sometidas a un mo-vimiento termico, cuyas velocidades aleatorias tiene una distribucion probabilıstica (ladistribucion de Maxwell) que depende de la temperatura del medio. Cualquier partıculasuficientemente grande para ser observada al microscopio, sufre constantes colisionespor parte de las moleculas que la rodean y cada colision altera su vector velocidad enuna direccion y con un modulo aleatoriamente elegidos segun la posicion y energıa dela molecula que la golpea. El efecto neto es el movimiento erratico de la partıcula atraves del fluido. (Ver figura).El primer modelo matematico — y cuantitativo, por tanto— del movimiento brownianofue desarrollado independientemente por Albert Einstein y Marian Smoluchowski, entre1905 y 1906. Daba cuenta, entre otras cosas, del efecto fısico que tiene la temperatura,la viscosidad y el tamano de la partıcula. El estudio fue proseguido por fısicos de tantorenombre como Fokker, Planck, Ornstein y otros.Desde el punto de vista matematico, fue Norbert Wiener, conocido sobre todo comopadre de la Cibernetica, el que inicio en 1918 el estudio del movimiento brownianoque, en buena parte, origino el desarrollo de la teorıa de los procesos estocasticos.Bajo la influencia de Wiener, la de Andrei Kolmogorov y la de Paul Levy (autor en1948 de un libro titulado Processus stochastiques et mouvement brownien) la teorıa sedesarrollo rapidamente.Hoy en dıa, el movimiento browniano ha adquirido gran influencia en numerosas areasde las ciencias puras y aplicadas. Entre estas ultimas, cabe citar la electronica, lapropia cibernetica, la biologıa y la economıa. En esta ultima direccion, el economistafrances Louis Bachelier, en su tesis doctoral Theorie de la speculation de 1900, ya habıapropuesto la aplicacion del movimiento browniano al estudio de las fluctuaciones de losmercados.

2

2. Aproximacion heurıstica

El movimiento browniano tiene lugar en tres dimensiones y se observa en dos dimen-siones a traves del microscopio, pero el nucleo del problema es el estudio en una soladimension.Ası pues, imaginemos una partıcula que se mueve a lo largo de una recta.

0 i

pqpq

Figura 1: Recorrido aleatorio

Partiendo del origen, en cada intervalo de tiempo de longitud ℎ, puede realizar un saltode amplitud Δ, a su derecha o a su izquierda con probabilidades p y q respectivamente(p+ q = 1).Los sucesivos saltos Zn son variables aleatorias independientes que pueden valer

Zn =

{

+Δ con probabilidad p

−Δ con probabilidad q

con lo cual

E[Zn] = (p− q)Δ V (Zn) = Δ2 − (p− q)2Δ2 = 4pqΔ2.

Al cabo de un tiempo t, la partıcula habra realizado n = t/ℎ saltos y se encontrara enla posicion

Xt =

n∑

k=1

Zk

de media

E(Xt) = (p− q)Δ

ℎt

y varianza

V (Xt) = 4pqΔ2

ℎt.

Esto describe para la partıcula un recorrido aleatorio discreto que en los instantesmultiplos de ℎ ocupa posiciones multiplos de Δ, tal y como indica la figura 2 (en la quelos segmentos verticales azules representan la probabilidad de las diversas posicionesposibles al cabo de un tiempo t = 13ℎ).

3

ℎΔ

t

Figura 2: Grafico del recorrido aleatorio

Para transformar el recorrido de la partıcula en un movimiento continuo, puede hacersetender Δ y ℎ a cero, con intencion de que

E[Xt] −→ �t y V (Xt) −→ �2t

conservandose en el lımite ambos parametros proporcionales a t. Para ello, como existela posibilidad de que sea p = q = 1/2, habra que tomar Δ = �

√ℎ y, por consiguiente,

(p − q)Δ

ℎ= (2p− 1)

�√ℎ= �

de donde

p =1

2

(

1 +�√ℎ

�

)

y q =1

2

(

1− �√ℎ

�

)

.

En estas condiciones

E[Zn] = (2p− 1)Δ =�√ℎ

��√ℎ = �ℎ

V (Zn) =

(

1− �2ℎ

�2

)

�2ℎ = �2ℎ− �2ℎ2.

Y se tiene entonces

Xt − �t

�√t

=

t/ℎ∑

k=1

Zk −t

ℎ�ℎ

√

t/ℎ√

�2ℎ− �2ℎ2

√

t/ℎ√

�2ℎ− �2ℎ2

�√t

.

4

El primer factor es una suma tipificada de variables aleatorias independientes e igual-mente distribuidas; ası que, en virtud del teorema central del lımite, tiende en distribu-cion a una N(0, 1). Mientras tanto, el segundo factor vale

√

1− �2ℎ/�2 que tiende a 1,cuando ℎ tiende a cero. En resumidas cuentas, en las condiciones indicadas, la posicionXt al cabo de un tiempo t tiene a distribuirse con distribucion N(�t, �

√t). El siguiente

grafico trata de mostrar la nueva situacion lımite (supuesto que es � = 0).

t

N(�t, �√t)

Figura 3: Grafico del recorrido aleatorio lımite

El resultado obtenido expresa la distribucion de la posicion de la partıcula en cualquierinstante; pero sirve ademas para describir como se desplaza a lo largo de su evolucion.En efecto, si en un instante cualquiera, s, se observa que su posicion es Xs, la evolucionposterior al instante s se produce, exactamente con las mismas reglas que al principioy con independencia de lo que haya ocurrido antes del instante s.De esta forma, como modelo del movimiento browniano en una dimension se consideraun proceso estocastico {Xt}t≥0 con las siguientes caracterısticas:

(a) X0 = 0.

(b) Para cualesquiera instantes s < t, la variacion en la posicion Xt − Xs tienedistribucion N(�(t− s), �

√t− s).

(c) En intervalos disjuntos (s1, t1), (s2, t2), . . . , (sn, tn), los incrementos en la posi-cion Xt1 −Xs1 ,Xt2 −Xs2 , . . . ,Xtn −Xsn son variables aleatorias independientes.(Constituye pues lo que se denomina un proceso de incrementos independientes).

La tercera condicion puede reemplazarse por una condicion equivalente, que tiene laventaja de que expresa la distribucion conjunta de cualquier numero finito de variables

5

del proceso1. Concretamente:

(c’) Cualquiera que sean n y t1 < t2 < . . . < tn, la variable aleatoria (Xt1 ,Xt2 , . . . ,Xtn)tiene distribucion Normal n-dimensional.

En efecto, si se cumplen (a), (b) y (c), cualquier combinacion lineal

c1Xt1 + c2Xt2 + ⋅ ⋅ ⋅ + cnXtn =

= (c1 + c2 + ⋅ ⋅ ⋅+ cn)Xt1 + (c2 + ⋅ ⋅ ⋅+ cn)(Xt2 −Xt1)

+(c3 + ⋅ ⋅ ⋅ + cn)(Xt3 −Xt2) + ⋅ ⋅ ⋅+ cn(Xtn −Xtn−1)

es una combinacion lineal de variables aleatorias independientes, con distribucion Nor-mal, y tiene por tanto distribucion Normal. Esto indica que se cumple (c’).Recıprocamente, si se cumplen (a), (b) y (c’), el vector de medias de (Xt1 ,Xt2 , . . . ,Xtn)tiene que ser

(�t1, �t2, . . . , �tn)

Ademas, si s < t,

E[XtXs] =1

2E[X2

t +X2s − (Xt −Xs)

2]

=1

2

[

�2t+ �2t2 + �2s+ �2s2 − �2(t− s)− �2(t− s)2]

= �2s+ �2st

con lo cualCov(Xs,Xt) = �2s

Dicho de modo mas general, para cualquier par de instantes s y t,

Cov(Xs,Xt) = �2 mın(s, t)

En consecuencia, si s1 < t1 < s2 < t2, se tiene

Cov(Xt1 −Xs1 ,Xt2 −Xs2) = �2(t1 − t1 − s1 + s1) = 0

de forma que, siendo normales, ambos incrementos son independientes. Por la mismarazon, cualquier numero de incrementos correspondientes a intervalos disjuntos, comotienen distribucion Normal, son independientes. Es decir, se cumple la condicion (c).

1Pone de relieve, por consiguiente, de acuerdo con el teorema de Kolmogorov, que esta determinadala distribucion global del proceso.

6

3. Definicion del movimiento browniano y continuidad de

sus trayectorias

Un proceso estocastico que cumpla las condiciones (a), (b) y (c) o (c’), se denominaproceso de Wiener o movimiento browniano de tendencia � y parametro devarianza �2.Para muchos propositos, basta examinar el caso � = 0 y �2 = 1 puesto que puedepasarse a un proceso con tales parametros mediante la simple tipificacion

X ′t =

Xt − �t

�

y el proceso original Xt = �X ′t+�t se obtiene mediante un cambio de escala y sumando

la funcion determinista �t. Salvo indicacion en contrario, Xt representara desde ahoraun movimiento browniano normalizado.Como cualquier proceso de incrementos independientes, el movimiento browniano esun proceso de Markov, en el sentido de que

P{Xs+t ∈ B ∣ Xu, u ≤ s} = P{Xs+t ∈ B ∣ Xs}siendo la funcion de transicion

P (x, t,B) = P{Xs+t ∈ B ∣ Xs = x} =1√2�t

∫

Be−(y−x)2/2t dy, (1)

de densidad

p(x, t, y) =1√2�t

e−(y−x)2/2t, (2)

la que proporciona la probabilidad desde la posicion x de alcanzar, en un tiempo t, elconjunto B:

s s+ t

BP (x, t, B)

Figura 4: Funcion de transicion del Movimiento browniano

Sin embargo, tambien es interesante determinar la distribucion de la posicion del proce-so condicionada simultaneamente por el pasado y el futuro. En este sentido se cumple:

7

Proposicion 1 Si a < t < b, sea

�(t) =(b− t)Xa + (t− a)Xb

b− ay �2(t) =

(t− a)(b− t)

b− a

entonces la variable aleatoria

Yt =Xt − �(t)

�(t)

tiene distribucion N(0, 1) y es independiente de Xu para u ≤ a y u ≥ b.

En efecto,

E[(Xt − �(t))Xu] =

⎧

⎨

⎩

u− (b− t)u+ (t− a)u

b− a= 0 si u ≤ a

t− (b− t)a+ (t− a)b

b− a= 0 si u ≥ b

Ahora bien (Xt − �(t),Xu) es una variable con distribucion Normal bidimensional,luego ambas componentes son independientes. Como (Xt − �(t),Xu1 ,Xu2 , . . . ,Xun)tiene distribucion Normal n + 1-dimensional, el primer termino es independiente detodos los restantes.

a b

Xa

Xb

Xt

t

�(t)Yt

Figura 5: Interpolacion de la trayectoria del Movimiento browniano

Ademas,

E[(Xt − �(t))2] =

= t− 2E[Xt�(t)] + E[�2(t)]

= t− 2(b− t)a+ (t− a)t

b− a+

(b− t)2a+ (t− a)2b+ 2(b− t)(t− a)a

(b− a)2

= t− 2(b− t)a+ (t− a)t

b− a+

a(b− a)2 + (t− a)2(b− a)

(b− a)2

=(t− a)(b− t)

b− a

8

luego (Xt − �(t))/�(t)) tiene distribucion N(0, 1).

La figura 5 ilustra el significado del resultado anterior. Si Xa y Xb son conocidos, �(t)es el segmento que une los puntos (a,Xa) y (b,Xb). El punto (t,Xt) esta situado adistancia vertical �(t)Yt del segmento, siendo Yt una variable N(0, 1), independiente deXa y Xb.

El resultado anterior permite llevar a cabo la construccion explıcita de un procesode Wiener cuyas trayectorias son funciones continuas, a partir de una sucesion devariables aleatorias, {Yn}, independientes y con distribucion N(0, 1). La construccionse circunscribe al intervalo de tiempos [0, 1], pero podrıa prolongarse de forma analogaen cualquier otro intervalo temporal.

10

Y1

X(1)t

0 1

Y1

12

X(2)t

Y2/2

12

Y3/√8

Y4/√8

10 34

14

X(3)t

X(4)t

Y5/4Y6/4

Y7/4

Y8/4

18

38

58

78

10

Figura 6: Construccion de una trayectoria del Movimiento browniano

La figura 6 muestra la manera de proceder. En primera aproximacion, se considera el

segmento X(1)t que une el origen con el punto (1, Y1). En segundo lugar, en el punto

medio de dicho segmento se superpone la variacion Y2/2 (como a = 0 y b = 1 es

�(1/2) = 1/2) para construir la poligonal X(2)t . La aproximacion X

(3)t supone introducir

en los instantes 1/4 y 3/4 sendas variaciones Y3/√8 e Y4/

√8 (pues �2(t) = 1/8) y

construir la poligonal con esos dos nuevos vertices. La construccion prosigue de esta

9

forma indefinidamente. La poligonal X(n+1)t tiene 2n vertices, en los puntos k/2n con

k = 1, 2, . . . , 2n; los pares coinciden con los de X(n)t mientras que los impares son nuevos

y estan a distancia Yj/2(n+1)/2 de la poligonal anterior.

Si Z(n)t representa la diferencia

Z(n)t = X

(n+1)t −X

(n)t

sera

maxt∈[0,1]

∣

∣Z(n)t

∣

∣ ≤ 1

2(n+1)/2max

2n−1<j≤2n

∣

∣Yj

∣

∣

de manera que, si �n =√4n log 2/2(n+1)/2, se tiene2:

P{

maxt∈[0,1]

∣

∣Z(n)t

∣

∣ > �n

}

≤ P{

max2n−1<j≤2n

∣Yj ∣ > 2(n+1)/2�n

}

≤ 2n−1P{

∣Yj ∣ > 2(n+1)/2�n

}

=2n√2�

∫ ∞

2(n+1)/2�n

e−y2/2 dy

≤ 2n√2�

e−2n�2n

2(n+1)/2�n

=1√

2� 2n√4n log 2

.

Por consiguiente, la serie∞∑

n=1

P{

maxt∈[0,1]

∣

∣Z(n)t

∣

∣ > �n

}

es convergente y, segun el lema de Borel-Cantelli, esto indica que, con probabilidaduno, se cumple a partir de un n0 en adelante

maxt∈[0,1]

∣

∣Z(n)t

∣

∣ ≤√4n log 2

2(n+1)/2.

2Es util aquı, por primera vez, la mitad de la desigualdad

e−x2/2

(

1

x− 1

x3

)

≤∫

∞

x

e−y2/2dy ≤ e−x2/2 1

x

que se obtiene facilmente a partir de∫

∞

x

e−y2/2

(

1− 3

y4

)

dy ≤∫

∞

x

e−y2/2dy ≤∫

∞

x

e−y2/2

(

1 +1

y2

)

dy

pues las integrales de los extremos son los extremos de la primera desigualdad.

10

En consecuencia

X(N)t =

N−1∑

n=1

Z(n)t

es, con probabilidad uno, una sucesion convergente uniformemente en [0, 1], de funcionescontinuas (poligonales). Ası pues, el lımite Xt es, con probabilidad uno, una funcioncontinua.La construccion realizada muestra que en los racionales diadicos: k/2n con k = 0, 1, . . . , 2n

y n natural, las sucesivas aproximaciones X(n)t tienen el mismo valor, a partir de un

n, que coincide con el valor del lımite Xt. Dichos valores son aleatorios (puesto quedependen del resultado de las Yj) pero tienen la distribucion adecuada para que coin-cidan con las distribuciones que tendrıa en dichos instantes un movimiento browniano.De hecho, para k impar,

X(n+1)k/2n =

1

2

(

X(n)(k−1)/2n +X

(n)(k+1)/2n

)

+Yj

2(n+1)/2

Ası que un razonamiento recurrente prueba que sus distribuciones son normales y que

E[

X(n+1)k/2n X

(n+1)k′/2n

]

= mın

(

k

2n,k′

2n

)

Ademas, si t1, t2, . . . , tp son instantes cualesquiera dentro del intervalo [0, 1], toman-do sucesiones de racionales diadicos rjk cada una de las cuales converja hacia tj, lacontinuidad de las trayectorias de Xt asegura que

(Xr1k ,Xr2k , . . . ,Xrpk)c.s.−→ (Xt1 ,Xt2 , . . . ,Xtp)

de forma que la variable lımite tiene distribucion Normal p dimensional, con covarianzas

E[Xti Xtj ] = lımk→∞

E[Xrik Xrjk ] = mın(ti, tj).

En definitiva, lo que se ha conseguido mediante la construccion anterior es probar elsiguiente resultado.

Proposicion 2 Existe un movimiento browniano {Xt}t≥0 cuyas trayectorias son, conprobabilidad uno, funciones continuas de t.

Sin duda, los fısicos siempre dieron por supuesto esta conclusion puesto que el movi-miento de una partıcula de polen en suspension dentro de un fluido tiene que seguiruna trayectoria continua. Sin embargo, desde el punto de vista matematico es un he-cho importante porque hay muy diversas probabilidades que pueden calcularse para

11

un movimiento browniano de trayectorias continuas, pero que no tienen sentido sin talhipotesis3.

En consecuencia, a partir de ahora supondremos que {Xt} es un movimiento brownianocuyas trayectorias son funciones continuas del tiempo. Consideraremos que dicho pro-ceso esta definido en un espacio de probabilidad (Ω,ℱ , P ). Puede ser, por ejemplo, elespacio que describe la eleccion al azar de la sucesion de variables normales {Yj} em-pleadas en la construccion anterior. O tambien, el espacio C de las funciones continuasde [0,∞) en IR, dotado de la �-algebra C de los conjuntos cilındricos, de la forma:

{f ∣ f(t1) ∈ B1, f(t2) ∈ B2, . . . , f(tn) ∈ Bn}

(donde n es finito, y B1, B2, . . . , Bn son conjuntos de Borel) y de la distribucion que lacondicion (c’) especifica sobre (C, C).En cualquier caso, asociada a cada suceso elemental ! ∈ Ω hay una trayectoria Xt(!)que puede seguir el movimiento browniano y que es una funcion fija del tiempo,

Xt(!) : [0,∞) −→ IR.

3Un ejemplo muy simple puede aclarar el tipo de dificultades que se plantean con cualquier procesoestocastico en tiempo continuo. Supongamos que {Xt} es un proceso estocastico con

P{Xt = 0} = 1

para cualquier instante t. Esto es ası, por ejemplo, para un proceso cuyas trayectorias permanecenconstantemente en el valor cero y que cumple, por consiguiente,

P{∣Xt∣ ≤ 1/2 ∀t} = 1

Sin embargo, si se elige un punto � al azar en el intervalo [0, 1] y se considera el proceso

X ′

t =

{

0 si t ∕= �1 si t = �

sigue siendo cierto que P{X ′

t = 0} = 1 para cualquier t (porque la probabilidad de que sea � = t escero). Sin embargo, ahora

P{∣X ′

t∣ ≤ 1/2 ∀t} = 0.

Esto muestra que existen procesos que cumplen Xtc.s.= X ′

t para cada t (y cualquier numero de susvariables tienen, por consiguiente, la misma distribucion) y que, a pesar de ello, poseen propiedadesmuy diversas de sus trayectorias: unas son siempre continuas y otras no lo son nunca; permanecenacotadas por 1/2 todas ellas, en un caso, y ninguna en el otro caso; etc.

12

4. Propiedades de las trayectorias

Para una movimiento browniano con trayectorias continuas, puede estudiarse con de-tenimiento el comportamiento cualitativo de sus trayectorias.Un primer resultado consiste en probar que una partıcula, sometida al movimientobrowniano unidimensional, llega a alejarse de la posicion de partida tanto como sequiera, pero siempre regresa nuevamente a su origen. Mas exactamente:

Proposicion 3

P{lım supt→∞

Xt = ∞} = P{lım inft→∞

Xt = −∞} = 1

Una funcion continua con lımite superior igual a ∞ y lımite inferior igual a −∞,alcanzara indefinidamente valores arbitrariamente grandes, entre los cuales se intercalanvalores negativos arbitrariamente grandes. De esta forma, no tiene mas remedio quecortar, indefinidamente el eje de abscisas, volviendo a tomar el valor 0 en una sucesionde instantes que tiende hacia infinito.Para probar la afirmacion anterior, por un lado, como Xrk/

√rk tiene distribucion

N(0, 1) sera (vease la nota (2))

pk = P{Xrk ≤ −3√

rk log k} ≤ 1√2�

e−4,5 log k

3√log k

=1√

2�k4,5√log k

.

Por otra parte, como Xrk+1 −Xrk/√

rk(r − 1) tiene distribucion N(0, 1) sera

qk = P{Xrk+1 −Xrk ≥√

2rk(r − 1) log k}

≥ 1√2�

e− log k

(

1√2 log k

− 1

(√2 log k)3

)

=2 log k − 1√

2� k (√2 log k)3

.

Como∑

pk < ∞ y∑

qk = ∞, el lema de Borel-Cantelli asegura que, con probabilidaduno, se cumplira

Xrk ≥ −3√

rk log k a partir de un cierto k0

Xrk+1 −Xrk ≥√

2rk(r − 1) log k para infinitos valores de k

Con lo cual seraXrk+1 ≥

[

√

2(r − 1)− 3]

√

rk log k

para infinitos valores de k. Tomando, por ejemplo, r = 6 sera

X6k+1 ≥ (√10− 3)

√

6k log k

13

para infinitos valores de k. De manera que lım supXn = ∞. La afirmacion contraria seobtiene simetricamente.

Hay una manera sencilla de relacionar el comportamiento a gran escala del movimien-to browniano con su comportamiento local en los alrededores del origen de tiempos.Consiste en observar que

Proposicion 4 El proceso {tX1/t} es un movimiento browniano.

En efecto, no cabe duda de que las distribuciones conjuntas del proceso X ′t = tX1/t son

normales y, ademas,

E[X ′s X

′t] = E[sX1/s tX1/t] = stmın(1/s, 1/t) = mın(s, t)

En cuanto a la condicion inicial, en virtud de la ley fuerte de los grandes numeros,

Xn

n=

X1 +X2 −X1 + . . . +Xn −Xn−1

n

c.s−→ 0

luego

X ′1/n =

1

nXn

c.s.−→ 0

y, puesto que las trayectorias de X ′t son continuas, tiene que ser X ′

0c.s.= 0.

Los dos ultimos resultados tienen una consecuencia inmediata sobre el caracter vibra-torio de movimiento browniano:

Proposicion 5 Con probabilidad 1, para cada " > 0 es

maxt≤"

Xt > 0 y mınt≤"

Xt < 0

En efecto, para el proceso X ′t = tX1/t se cumple, con probabilidad uno,

∀K > 0 ∃S, T > K tales que X ′S < 0 y X ′

T > 0.

Traducido en terminos de Xt esto significa que

∀" > 0 ∃s, t < " tales que Xs < 0 y Xt > 0.

El resultado anterior muestra que cualquier trayectoria del movimiento browniano tie-ne una infinidad de ceros en cualquier entorno del instante t = 0. Tal situacion serepetira cada vez que el proceso alcance nuevamente el origen, ası que el conjunto deinstantes en los que una trayectoria se anula es un conjunto peculiar. De hecho:

14

Proposicion 6 Con probabilidad uno, el conjunto

S0(!) = {t ≥ 0 ∣ Xt(!) = 0}

es un conjunto cerrado, no acotado, de longitud cero y sin puntos aislados. En conse-cuencia, es un conjunto no numerable.

En efecto, S0(!) es cerrado siempre que la trayectoria Xt(!) sea una funcion continua;ası que lo es con probabilidad uno. De la misma manera, en virtud de la proposicion 3,se trata de un conjunto no acotado.Como P{Xt = 0} = 0 para cada t ≥ 0, se tiene

∫ ∞

0P{Xt = 0} dt = 0

Es decir∫ ∞

0

∫

ΩIS0(!)(t) dP dt = 0

o bien, aplicando el teorema de Fubini,∫

Ω

∫ ∞

0IS0(!)(t) dt dP = 0

con lo cual∫∞0 IS0(!) dt que representa la longitud del conjunto S0(!) tiene que ser

nula con probabilidad uno.Segun la proposicion anterior, con probabilidad uno, el instante 0 no es un punto aisladode S0(!). Dado cualquier racional r > 0, el instante

�r = ınf{t ≥ r ∣ Xt = 0}

es un instante finito en el cual (por continuidad) es X�r = 0. Ademas, a la derecha de�r el proceso se comporta exactamente igual que a la derecha del origen; ası que, conprobabilidad uno, �r no es un punto aislado de S0(!). Se cumple pues

P{! ∣ ∀r ≥ 0 �r(!) no es un punto aislado de S0(!)} = 1

Ahora bien, en el suceso anterior, el conjunto S0(!) no tiene puntos aislados, ya que sit ∈ S0(!) no tuviese puntos de S0(!) en un intervalo (t − �, t), entonces t coincidirıacon algun �r y no serıa, por tanto, punto aislado en S0(!).Como es facil ver, cualquier conjunto cerrado y sin puntos aislados en la recta real nopuede ser numerable.

El celebre conjunto de Cantor es el ejemplo tıpico de conjunto cerrado, sin puntos ais-lados y de longitud cero (contenido en el intervalo [0, 1], aunque se puede repetir su

15

construccion en cada intervalo [n, n+ 1]). Cualquier trayectoria del movimiento brow-niano traza, con sus cortes al eje de abscisas, un conjunto con similares caracterısticas,aunque obviamente mucho menos regular. La figura siguiente intenta dar una idea apro-ximada del tipo de trayectorias del movimiento browniano y de las caracterısticas delconjunto S0.

Naturalmente, el origen no tiene ninguna propiedad peculiar (excepto que es la posicionde partida). Para cualquier punto y ∈ IR, el conjunto de instantes en que la trayectoriaalcanza el nivel y:

Sy(!) = {t ≥ 0 ∣ Xt(!) = y}tiene las mismas propiedades indicadas en la proposicion anterior.Las afirmaciones anteriores ponen de relieve el caracter sumamente irregular de latrayectorias de un movimiento browniano. De hecho puede probarse que son funcionesque no son derivables en ningun punto.

Proposicion 7 Con probabilidad uno, la funcion Xt(!) no es derivable en ningunpunto.

La demostracion en el intervalo [0, 1] puede hacerse como sigue. Observese que si unafuncion f : [0, 1] −→ IR es derivable en un punto s ∈ [0, 1), tienen que existir numerosnaturales a y m tales que

∀n ≥ m ∀t ∈ (s, s+ 4/n) es ∣f(t)− f(s)∣ ≤ a(t− s)

16

Con lo cual, si k = [ns] + 1, como s ≤ k/n ≤ (k + 3)/n ≤ s+ 4/n, sera

∣

∣

∣

∣

f

(

k + 3

n

)

− f

(

k + 2

n

)∣

∣

∣

∣

≤ 7a

n∣

∣

∣

∣

f

(

k + 2

n

)

− f

(

k + 1

n

)∣

∣

∣

∣

≤ 5a

n∣

∣

∣

∣

f

(

k + 1

n

)

− f

(

k

n

)∣

∣

∣

∣

≤ 3a

n

Es decir, si

Δk,n(f) = maxi=1,2,3

∣

∣

∣

∣

f

(

k + i

n

)

− f

(

k + i− 1

n

)∣

∣

∣

∣

tiene que ser Δk,n(f) ≤ 7a/n.Resulta pues que el conjunto de trayectorias del movimiento browniano que son deri-vables en algun punto del intervalo [0, 1] esta incluido en

∞∪

a=1

∞∪

m=1

∩

n≥m

{

∃k ≤ n− 3 para el cual Δk,n(Xt) ≤ 7a/n}

Ahora bien

P{

∃k ≤ n− 3 con Δk,n(Xt) ≤7a

n

}

≤ (n − 2)P{

Δ1,n(Xt) ≤ 7a/n}

= (n − 2)P{

∣X1/n∣ ≤ 7a/n}3

= (n − 2)

[ √n√2�

∫ 7a/n

−7a/ne−x2n/2 dx

]3

= (n − 2)

[

1√2�n

∫ 7a

−7ae−y2/2n dy

]3

≤ (n − 2)(14a)3

(√2�n)3

−→ 0

cuando n tiende a infinito. Luego

P

⎛

⎝

∩

n≥m

{

∃k ≤ n− 3 con Δk,n(Xt) ≤7a

n

}

⎞

⎠ = 0

para cualesquiera a y m y, en definitiva, el conjunto de trayectorias que son derivablesen algun punto tiene probabilidad nula.

17

El primer ejemplo de funcion continua, no derivable en ningun punto, no fue descubiertohasta el siglo XIX por Weiertrass; sin embargo, el movimiento browniano traza este tipode trayectorias con toda naturalidad.De la conclusion anterior se siguen algunas consecuencias interesantes. En primer lugar,como toda funcion de variacion acotada en un intervalo es derivable en casi todos lospuntos del intervalo (todos menos los de un conjunto de longitud cero), resulta quecon probabilidad uno, las trayectorias del movimiento browniano no son de variacionacotada en ningun intervalo de tiempos. Es decir, para cualquier intervalo de tiempos[a, b] existen particiones a = t0 < t1 < . . . < tn = b tales que

n∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣

es arbitrariamente grande. En particular, como cualquier funcion monotona en un in-tervalo es de variacion acotada, con probabilidad uno, las trayectorias del movimientobrowniano no son monotonas en ningun intervalo.Ademas, como cualquier funcion continua que no es monotona en un intervalo tiene ensu interior al menos un extremo relativo, se deduce que las trayectorias del movimientobrowniano tiene extremos relativos en cualquier intervalo de tiempos. Dicho de otromodo, el conjunto de instantes en los que la trayectoria del movimiento brownianopresenta extremos relativos es denso en [0,∞). Puede probarse, no obstante, que cadaextremo relativo es estricto; lo cual obliga a que haya un numero numerable de extremos.Esto contrasta con la existencia de un numero no numerable de ceros.

Corroborando la afirmacion de que las trayectorias del movimiento browniano no sonfunciones de variacion acotada, se puede calcular su variacion cuadratica. Concreta-mente es

lımn→∞

kn∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣2 = b− a

a lo largo de cualquier sucesion de particiones del intervalo [a, b] cuyo radio tiende acero. Expresado en la forma

∫ b

a[dXt]

2 = b− a =

∫ b

adt

la conclusion anterior puede interpretarse en en sentido de que

[dXt]2 = dt.

Propiedad sorprendente si se compara con el analisis habitual de las funciones deri-vables, para las que se cumple

df(t) = f ′(t) dt.

18

Formalmente el enunciado es el siguiente

Proposicion 8 Sea a = t0 < t1 < . . . < tkn = b una sucesion de particiones delintervalo [a, b] de radios

�n = maxi≤kn

(ti − ti−1)

que tienden a cero cuando n → ∞. Entonces

kn∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣2m.c.−→ b− a

Y, si∑∞

1 �n < ∞, tambien es

kn∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣2c.s.−→ b− a

En efecto,

kn∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣2 − (b− a) =

kn∑

i=1

[

∣Xti −Xti−1 ∣2 − (ti − ti−1)]

=

kn∑

i=1

[

∣Xti −Xti−1 ∣2 − E[(Xti −Xti−1)2]]

de forma que se trata de una suma de sumandos independientes y de media cero. Porconsiguiente, su varianza vale

E

⎡

⎣

(

kn∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣2 − (b− a)

)2⎤

⎦ =

=

kn∑

i=1

E[

(

∣Xti −Xti−1 ∣2 − (ti − ti−1))2]

=

kn∑

i=1

E

[

( ∣Xti −Xti−1 ∣2ti − ti−1

− 1

)2]

(ti − ti−1)2

= E[(U2 − 1)2]kn∑

i=1

(ti − ti−1)2

donde U es una variable con distribucion N(0, 1). Se tiene, por tanto,

E

⎡

⎣

(

kn∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣2 − (b− a)

)2⎤

⎦ ≤ E[(U2 − 1)2] (b− a)�n

19

lo cual tiende a cero cuando n crece y establece la convergencia en media cuadraticadel enunciado.Por otra parte, segun la desigualdad de Tchebychev, es

P

{∣

∣

∣

∣

∣

kn∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣2 − (b− a)

∣

∣

∣

∣

∣

≥ "

}

≤ E[(U2 − 1)2](b− a)�n"

de forma que, si∑

�n < ∞, el lema de Borel-Cantelli garantiza que, con probabilidaduno, se cumple

∣

∣

∣

∣

∣

kn∑

i=1

∣Xti −Xti−1 ∣2 − (b− a)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ "

a partir de un n en adelante. Es decir, la convergencia casi segura contenida en elenunciado.

Las conclusiones anteriores ponen de manifiesto que las trayectorias del movimientobrowniano tienen un caracter vibratorio muy caracterıstico. No obstante, en sentidocontrario, cualquier funcion continua puede ser uniformemente aproximada por unatrayectoria posible del movimiento browniano. Mas exactamente, puede probarse elresultado siguiente:

Proposicion 9 Si f es cualquier funcion continua definida en el intervalo [0, 1], conf(0) = 0, para cualquier " > 0 es

P{∣Xt − f(t)∣ ≤ " ∀t ∈ [0, 1]} > 0

f

f + "

f − "

0 1

Figura 7: Es positiva la probabilidad de que la trayectoria no salga de la banda.

Segun esto, cualquier conjunto de trayectorias del movimiento browniano que tengaprobabilidad uno de ocurrir, es un conjunto denso en el espacio C0[0, 1] de las funcionescontinuas en [0, 1] que cumplen f(0) = 0.

20

5. El principio de reflexion y sus consecuencias

Al margen de las propiedades cualitativas descritas en la seccion anterior, puede estu-diarse la distribucion de probabilidad de diversas cantidades relacionadas con la evolu-cion del movimiento browniano en cualquier intervalo fijo de tiempo.La herramienta adecuada para ello es el principio de reflexion cuyo contenido es elsiguiente:

x

�xFigura 8: Principio de reflexion

Fijado cualquier nivel x > 0, la trayectoria del movimiento browniano alcanzara dichonivel en un determinado instante aleatorio �x. La propiedad de Markov implica queel proceso renace a partir del punto (�x, x) con las mismas propiedades con las quearranco del origen. En particular, sus incrementos tienen distribucion Normal, simetricaalrededor de cero, y por consiguiente cualquier serie de desplazamientos y sus simetricostienen la misma probabilidad de ocurrir. Ası pues, la misma probabilidad hay de que elproceso siga un determinado conjunto de trayectorias, como de que siga el conjunto detrayectorias simetricas, respecto a la recta horizontal de nivel x, a partir del punto �x.

Expresado con precision, el principio de reflexion afirma:

Proposicion 10 El proceso

X ′t =

{

Xt si t < �x2x−Xt si t ≥ �x

es un movimiento browniano (con la misma distribucion que el proceso Xt).

5.1. La distribucion del maximo

Consideremos entonces las variables aleatorias

Mt = maxu≤t

Xu y �x = ınf{u ≥ 0 ∣ Xu = x}

21

Es evidente que los sucesos

{Mt ≥ x} y {�x ≤ t}coinciden. Ademas, segun el principio de reflexion

P{�x ≤ t,Xt < y} = P{�x ≤ t,Xt > 2x− y} = P{Xt > 2x− y}

para y ≤ x; o bien

P{Mt ≥ x,Xt < y} = P{Xt > 2x− y} =1√2�t

∫ ∞

2x−ye−u2/2t du (3)

x

�x

y

2x− y

Figura 9: Distribucion del maximo

En virtud de lo anterior, la densidad conjunta de Mt y Xt es

fMt,Xt(x, y) =2

t√2�t

(2x− y)e−(2x−y)2/2t (4)

para y ≤ x y x > 0. En particular, como

P{Mt ≥ x} = P{Mt ≥ x,Xt < x}+ P{Xt ≥ x} = 2P{Xt ≥ x} (5)

la densidad marginal de Mt es

fMt(x) =2√2�t

e−x2/2t (6)

para x > 0. Lo cual indica que Mt tiene la misma distribucion que ∣Xt∣.Por simetrıa, la distribucion del mınimomt = mınu≤tXt es identica a la deMt, mientrasque (mt,Xt) tiene la misma distribucion que (−Mt,Xt).

22

5.2. La distribucion de Mt −Xt

La densidad conjunta de (Mt,Xt), expresada por (4), permite hallar de forma inmediatala densidad conjunta de (Mt,Mt −Xt). Se obtiene

fMt,Mt−Xt(u, v) =2

t√2�t

(u+ v)e−(u+v)2/2t (7)

en la region u, v ≥ 0. En dicha densidad u y v son intercambiables, de manera que lamarginal de �t = Mt −Xt es la misma que la de Mt y coincide pues con la de ∣Xt∣. Porsimetrıa, lo mismo ocurre con �′t = Xt −mt.

5.3. La distribucion de �x

Por otra parte, como

P{�x ≤ t} = P{Mt ≥ x} = 2P{Xt ≥ x}

=2√2�t

∫ ∞

xe−u2/2t du

=2√2�

∫ ∞

x/√te−v2/2 dv

la densidad de �x resulta

f�x(t) =x√2�

t−3/2e−x2/2t (8)

para t > 0. Es inmediato comprobar que P{�x < ∞} = 1, por grande que sea x, comotenıa que ser en vista de la proposicion 3. Sin embargo,

E[�x] =x√2�

∫ ∞

0t−1/2e−x2/2t dt

=1√2�

∫ ∞

0e−s2/2s

2x2

s3ds

=2x2√2�

∫ ∞

0e−s2/2 ds

s2

≥ 2x2√2�

e−1/2

∫ 1

0

ds

s2= ∞

De manera que, por pequeno que sea x, el tiempo medio que tarda el movimientobrowniano en alcanzar el nivel x es infinito; lo cual, en vista de la proposicion 5, nodeja de ser sorprendente.Por supuesto, la simetrıa del movimiento browniano indica, para x < 0, que �x tiene lamisma distribucion que �∣x∣.

23

5.4. La ley del arco seno

Conocer la distribucion de �x permite calcular la probabilidad de que la trayectoria deun movimiento browniano se anule en un intervalo cualquiera (t1, t2). En efecto, si

p = P{∃t ∈ (t1, t2) tal que Xt = 0}

su valor puede calcularse descomponiendo dicha probabilidad en funcion de la posicionque el proceso ocupe en el instante t1; esto es

p =1√2�t1

∫ ∞

−∞e−x2/2t1P{∃t ∈ (0, t2 − t1) tal que Xt = −x} dx

puesto que la probabilidad de que, a partir de la posicion (t1, x), el proceso alcanceel origen antes del instante t2 es la misma que la de que desde el origen se alcance laposicion −x antes del instante t2 − t1. Ası pues

p =1√2�t1

∫ ∞

−∞e−x2/2t1P{�−x ≤ t2 − t1} dx

=2√2�t1

∫ ∞

0e−x2/2t1 x√

2�

∫ t2−t1

0t−3/2e−x2/2t dt dx

=1

�√t1

∫ t2−t1

0t−3/2

∫ ∞

0xe−x2(t1+t)/2tt1 dx dt

=1

�√t1

∫ t2−t1

0t−3/2 t1t

(t+ t1)dt

=

√t1�

∫ t2−t1

0

dt

(t+ t1)√t

=2

�

∫

√(t2−t1)/t1

0

ds

1 + s2(s2 = t/t1)

=2

�arctg

√

t2 − t1t1

=2

�arccos

√

t1/t2 = 1− 2

�arcsen

√

t1/t2

Resultado que se conoce con el nombre de ley del arco seno para el movimiento brow-niano. De ella se deducen un buen numero de consecuencias.

En primer lugar, fijado cualquier instante t > 0, sea

U0 = max{u ∈ (0, t) ∣ Xu = 0}

la posicion del ultimo cero anterior a t. Desde luego, si u < t, es

P{U0 < u} = P{∕ ∃s ∈ (u, t) con Xs = 0} =2

�arcsen

√

u/t

24

De manera que U0 tiene densidad

fU0(u) =1

�√

u(t− u)para 0 < u < t. (9)

Es inmediato, segun esto, que � = 2arcsen√

U0/t tiene distribucion uniforme en (0, �);de forma que U0 tiene la misma distribucion que la proyeccion sobre el eje de tiemposde un punto elegido al azar sobre la semicircunferencia de diametro (0, t).

De manera similar, puede considerarse la posicion de cero siguiente a un instante arbi-trario t > 0:

U1 = mın{u ≥ t ∣ Xu = 0}Para v > t es

P{U1 < v} = P{∃s ∈ (t, v) con Xs = 0} =2

�arccos

√

t/v

luego la densidad de U1 es

fU1(v) =

√t

�v√v − t

para v > t. (10)

Analogamente la distribucion conjunta de (U0, U1) se deduce de que, cuando 0 < u <t < v, es

P{U0 < u,U1 > v} = P{∕ ∃s ∈ (u, v) con Xs = 0} =2

�arcsen

√

u/v;

con lo cual la densidad conjunta resulta

fU0,U1(u, v) =1

2�√u√

(v − u)3en la region 0 < u < t < v. (11)

.

5.5. La distribucion conjunta de Mt y mt

La distribucion conjunta demt y Mt es algo mas complicada de calcular. Sean a < 0 < be I un conjunto de Borel contenido en (−∞, a], sera entonces

P{�b < �a,Xt ∈ I} = P{�b < �a,Xt ∈ 2b− I}

puesto que en ambos miembros ha de ser �b ≤ t y se puede aplicar el principio dereflexion en b.

25

b

a

I

2b− I

Figura 10: Distribucion del maximo y el mınimo

En consecuencia

P{�b < �a,Xt ∈ I} = P{Xt ∈ 2b− I} − P{�a < �b,Xt ∈ 2b− I} (12)

De forma similar, si I ⊂ [b,∞), se cumplira

P{�a < �b,Xt ∈ I} = P{Xt ∈ 2a− I} − P{�b < �a,Xt ∈ 2a− I} (13)

Por consiguiente, en el caso en que I ⊂ [a, b], tendremos

P{a < mt < Mt < b,Xt ∈ I} =

= P{Xt ∈ I} − P{�a < �b, �a ≤ t,Xt ∈ I} − P{�b < �a, �b ≤ t,Xt ∈ I}

Ahora bien, aplicando el principio de reflexion en a, la primera probabilidad a restarvale

p1 = P{�a < �b, �a ≤ t,Xt ∈ I} = P{�a < �b,Xt ∈ 2a− I}y la aplicacion alternada de (13) y (12) proporciona:

p1 = P{Xt ∈ 2a− I} − P{�b < �a,Xt ∈ 2a− I}= P{Xt ∈ 2a− I} − P{Xt ∈ 2b− 2a+ I}+ P{�a < �b,Xt ∈ 2b− 2a+ I}= P{Xt ∈ 2a− I} − P{Xt ∈ 2b− 2a+ I}+ P{Xt ∈ 4a− 2b− I}

−P{�b < �a,Xt ∈ 4a− 2b− I}= P{Xt ∈ 2a− I} − P{Xt ∈ 2b− 2a+ I}+ P{Xt ∈ 4a− 2b− I}

−P{Xt ∈ 4b− 4a+ I}+ P{Xt ∈ 6a− 4b− I}+ ⋅ ⋅ ⋅

es decir

p1 =1√2�t

∫

I

{ ∞∑

n=0

e−(x−2(n+1)a+2nb)2/2t −∞∑

n=1

e−(x+2nb−2na)2/2t

}

dx

26

De la misma manera

p2 = P{�b < �a, �b ≤ t,Xt ∈ I}= P{�b < �a,Xt ∈ 2b− I}

=1√2�t

∫

I

{ ∞∑

n=0

e−(x−2(n+1)b+2na)2/2t −∞∑

n=1

e−(x+2na−2nb)2/2t

}

dx

Y, en definitiva

P{a < mt < Mt < b,Xt ∈ I} =

=1√2�t

∫

I

∞∑

n=−∞

{

e−(x−2nb+2na)2/2t − e−(x−2(n+1)a+2nb)2/2t}

dx (14)

que proporciona la distribucion conjunta de (mt,Mt,Xt). Reemplazando I por [a, b] seobtiene la marginal de (mt,Mt).El principio de reflexion hace honor a su nombre: en la ultima formula aparece untermino por cada una de las imagenes que el punto x tiene al situarse entre dos espejosparalelos en a y b respectivamente.

6. La salida de un intervalo

Fijado un intervalo (a, b) con a < 0 < b, consideremos el primer instante en que elmovimiento browniano sale de dicho intervalo; esto es

� = �ab = ınf{t ≥ 0 ∣ Xt = a o Xt = b}

Puesto que{�ab ≤ t} = {mt ≤ a} ∪ {Mt ≥ b}

la distribucion de �ab queda determinada por la distribucion conjunta de mt y Mt. Sinembargo, la complejidad de tal distribucion conjunta obliga a emplear otros metodospara determinar ciertas caracterısticas asociadas a �ab. Por ejemplo, es interesante sabercual es el tiempo medio de espera, E[�ab], necesario para salir del intervalo (a, b) y,tambien, con que probabilidad el proceso abandonara el intervalo (a, b) por cada unode sus extremos.Para ello seran necesarias algunas consideraciones previas. En primer lugar, para cadat > 0 designaremos por

ℱt = �(Xu, u ≤ t)

la �-algebra del espacio Ω engendrada por todas las variablesXu anteriores al instante t.Se trata pues de la �-algebra que contiene todos los sucesos que quedan determinadospor la historia del proceso hasta el instante t (incluido).

27

Un proceso {Yt} se denomina una martingala respecto a {ℱt} si para cada t, Yt esℱt-medible e integrable y, siempre que sea s < t, se cumple

E[Yt ∣ ℱs] = Ys

Es decir si la posicion esperada en el instante t, supuesto que se conoce la evolucionhasta el instante s, coincide con la posicion en el instante s.Por ejemplo, el propio movimiento browniano Xt es una martingala; puesto que:

E[Xt ∣ ℱs] = E[Xs + (Xt −Xs) ∣ ℱs] = Xs + E[Xt −Xs ∣ ℱs] = Xs

habida cuenta de que Xs es conocido cuando se condiciona por ℱs, mientras que elincremento Xt −Xs es independiente de ℱs y tiene media cero.Tambien es una martingala el proceso X2

t − t. En efecto,

E[X2t − t ∣ ℱs] = E[(Xs +Xt −Xs)

2 ∣ ℱs]− t

= E[X2s + (Xt −Xs)

2 + 2Xs(Xt −Xs) ∣ ℱs]− t

= X2s + E[(Xt −Xs)

2 ∣ ℱs] + 2XsE[Xt −Xs ∣ ℱs]− t

= X2s + t− s− t = X2

s − s

puesto que Xt −Xs es independiente de ℱs, de media cero, y varianza t− s.La utilidad de las martingalas en el contexto del movimiento browniano radica en elteorema de parada opcional, una de cuyas versiones asegura:

Si Yt es una martingala, se verifica

E[Y� ] = E[Y0]

siempre que � sea un instante aleatorio, finito con probabilidad uno, tal que

{� ≤ t} ∈ ℱt ∀t ≥ 0 y E[supt≥0

∣

∣Ymın(�,t)

∣

∣] < ∞

(y, en particular, cuando � sea acotado).

Por supuesto, el instante � = �ab de salida del intervalo (a, b) verifica {� ≤ t} ∈ ℱt.Ademas, como

∣

∣Xmın(�,t)

∣

∣ < max(∣a∣, b), la ultima condicion del enunciado anterior esinmediata. Por otra parte

E[X2mın(�,t) −mın(�, t)] = 0

con lo cualE[mın(�, t)] = E[X2

mın(�,t)] ≤ max(a2, b2)

28

yE[� ] = lım

t→∞E[mın(�, t)] ≤ max(a2, b2)

de manera que � no solo es finito, sino que tiene media finita.En consecuencia

0 = E[X� ] = aP{X� = a}+ bP{X� = b}= aP{X� = a}+ b (1− P{X� = a})

de donde

P{X� = a} =b

b− ay P{X� = b} =

−a

b− a(15)

Analogamente, con la martingala X2t − t, se obtiene E[X2

� − � ] = 0, de donde

E[� ] = E[X2� ] = a2P{X� = a}+ b2P{X� = b}

= a2b

b− a+ b2

−a

b− a= −ab

Las conclusiones anteriores pueden enunciarse en forma algo mas general.

Proposicion 11 Supongamos que Xt = x y, dados a < x < b, consideremos

�ab = ınf{s ≥ t ∣ Xs = a o Xs = b}

entonces

P{X� = a} =b− x

b− a, P{X� = b} =

x− a

b− ay E[� ] = (b− x)(x− a)

Para cualquier valor de � ∈ IR, tambien es una martingala el proceso e−�Xt−�2t/2. Dehecho, recordando que E[euX ] = e�

2u2/2 para cualquier variable N(0, �), resulta

E[e�Xt−�2t/2 ∣ ℱs] = e�Xs−�2t/2E[e�(Xt−Xs) ∣ ℱs] = e�Xs−�2t/2e(t−s)�2/2 = e�Xs−�2s/2

ya que Xt −Xs es independiente de ℱs.Esto es util en el estudio del proceso de Wiener Yt, de tendencia � y parametro devarianza �, dado por Yt = �Xt + �t en terminos del movimiento browniano normaliza-do Xt. De hecho,

e�Yt−(��+�2�2/2)t = e��Xt−�2�2t/2

es una martingala. Y, si se elige �★ = −2�/�2, resulta que e�★Yt tambien es una mar-

tingala. Aplicando el teorema de parada opcional al instante

�ab = ınf{t ≥ 0 ∣ Yt = a o Yt = b}

29

se obtiene1 = E[e�

★�ab ] = e�★aP{Y�ab = a}+ e�

★bP{Y�ab = b}de donde

P{Y�ab = a} =e−2�b/�2 − 1

e−2�b/�2 − e−2�a/�2 y P{Y�ab = b} =1− e−2�a/�2

e−2�b/�2 − e−2�a/�2 .

Supuesto que � < 0, si a → −∞, resulta que e2�b/�2es la probabilidad de alcanzar el

nivel b; es decir que maxt≥0 Yt tiene distribucion exponencial de parametro 2∣�∣/�2.

7. La ley del logaritmo iterado

Tratamos ahora de estudiar la rapidez de oscilacion de las trayectorias del movimien-to browniano, primero en un entorno del origen, para deducir despues un resultadoasintotico.

Proposicion 12 Con probabilidad 1, se verifica

lım supt↓0

Xt√

2t log log(1/t)= 1.

Sea (t) =√

2t log log(1/t) que es una funcion definida y positiva en el intervalo (0, e−1), quecrece par valores pequenos de t (en (0, 0,17) aproximadamente). Probaremos primero que, fijadocualquier � > 0, a medida que t se acerca a 0, llega un momento en que Xt/ (t) < 1+�. Y, masadelante veremos que nunca deja de producirse Xt/ (t) > 1−�, por mucho que t se acerque a 0.

Lema 1 Para cualquier � > 0 es

P{

lım supt↓0

[Xt − (1 + �) (t)] < 0}

= 1.

En efecto, elıjase u ∈ ((1 + �)−2, 1) y sea

Cn ={

∃t ∈ [un+1, un] con Xt ≥ (1 + �) (t)}

que cumple Cn ⊂{

Mun ≥ (1 + �) (un+1)}

a partir de un cierto n, puesto que (t) es creciente en un intervalo (0, �) en el que estaran losun cuando n sea grande. Ahora bien

P{

Mun ≥ xn un/2}

= 2P{

Xun ≥ xn un/2}

≤ 2√2� xn

e−x2n/2

y, si se toma

xn =1 + �

un/2 (un+1) = (1 + �)

√

2u log[(n+ 1) log(1/u)] =√

2 log[c(n+ 1)�]

30

siendo � = u(1 + �)2 y c = [log(1/u)]�, se obtiene

P{

Mun ≥ (1 + �) (un+1)}

≤ 2√2�

e− log[c(n+1)�]

√

2 log[c(n+ 1)�]=

2/(√2�c)

(n+ 1)�√

2 log[c(n+ 1)�].

Como � > 1, la serie de termino general la ultima expresion es convergente y el lema de Borel-Cantelli asegura que P{lım supCn} = 0. Es decir que, con probabilidad 1, a partir de un cierton no existe ningun t ∈ [un+1, un] que verifique Xt/ (t) ≥ (1 + �).

Lema 2 Para cualquier � > 0 es

P{

lım supt↓0

[Xt − (1− �) (t)] > 0}

= 1.

En efecto, elıjase ahora u ∈ (0, 1) y considerese la sucesion de variables independientes

Zn = Xun −Xun+1 .

Utilizando que

P{

Zn > xn

√

un − un+1}

≥ 1√2�

e−x2n/2

(

1

xn− 1

x3n

)

,

la eleccion

xn =1− "√

un − un+1 (un) =

1− "√1− u

√

2 log[n log(1/u)] =√

� log(Cn)

siendo � = 2(1− ")2/(1− u) y C = log(1/u), proporciona

P{

Zn > (1− ") (un)}

≥ 1√2�C�/2 n�/2

(

1√

� log(Cn)− 1√

� log(Cn)3

)

.

Luego, si u es suficientemente pequeno para que sea � < 2, la serie de termino general iguala la ultima expresion es divergente y el segundo lema de Borel-Cantelli garantiza que, conprobabilidad 1, sera

Xun −Xun+1 > (1− ") (un) para infinitos valores de n.

Pero, segun el Lema 1 y teniendo en cuenta la simetrıa, con probabilidad 1, es

Xun+1 > −(1 + ") (un+1) a partir de un n en adelante.

Consecuentemente, con probabilidad 1, para infinitos valores de n se cumple

Xun > (1 − ") (un)− (1 + ") (un+1) o bien Xun > (un)

[

(1− ")− (1 + ") (un+1)

(un)

]

.

Ahora bien, si u es pequeno, (un+1)/ (un) < 2√u para cualquier n; ası que se puede elegir "

suficientemente pequeno para que sea 1− "+ (1 + ") (un+1)/ (un) > 1− � y resulta

Xun > (un)(1 − �) para infinitos valores de n.

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En definitiva

lım supt↓0

Xt

(t)= 1 y, por simetrıa, lım inf

t↓0Xt

(t)= −1.

Al acercarse t a 0, las oscilaciones de Xt se producen entre (t) y − (t).

Respecto al comportamiento cuando t → ∞, basta aplicar los resultados anteriores almovimiento browniano X ′t = tX1/t para concluir que

1 = lım supt↓0

X ′t

√

2t log log(1/t)= lım sup

t↓0

X1/t√

2/t log log(1/t)= lım sup

s↑∞

Xs√2s log log s

y, de forma analoga,

lım infs↑∞

Xs√2s log log s

= −1.

Por tanto, las oscilaciones de Xt a largo plazo conducen reiteradamente la trayectoriaa las proximidades de

√2t log log t y de −√

2t log log t.

Referencias

Freedman, D.: Brownian Motion and diffusion. Springer-Verlag. 1983.

Ito, K. – McKean, H.P.: Diffusion processes and their sample paths. Spinger-Verlag. 1974.

Karlin,S. – Taylor, H.M.: A first course in stochastic processes. Academic Press.1975.

Levy, P.: Processus stochastiques et mouvement brownien. Gauthier-Villars. 1948.

Resnik, S.I.: Adventures in stochastic processes. Birkhauser. 1992.

Revuz, D. – Yor, M.: Continuous martingales and brownian motion. Springer-Verlag. 1991.

Williams, D.: Diffusions, Markov processes and martingales. John Wiley. 1979.

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