Introducción:Introducción:Características básicas de los datos Características básicas de los datos

económicos de series temporaleseconómicos de series temporales

Qu’est-ce que c’est La Econometria?

Def: Analisis cuantitativo de relaciones económicas causales.

Algunos hechos:

• Hacia 1930 en un hotel de Ohio (EEUU) se crea la Econometric Society, editora de la revista ECONOMETRICA.

• Ragnar Frisch, Econometrica (1933) la define como una intersección especial entre Matemáticas, Estadística y Economía.

• Haavelmo (1944) introduce la metodologia de la Econometria moderna: Los modelos cuantitativo economicos deben ser modelos probabilisticos o estocasticos.

Diferentes Modelos Econometricos:

• Aproximacion Estructural: El modelo economico esta correctamente especificado

• Aproximacion Quasi-Estructural: El modelo economico es una aproximacion

• Aproximacion Semiparametrica: Una parte del modelo esta bien especificada y la otra se deja sin especificar.

Quizas el mejor ejemplo de modelo es un MAPA a diferentes escalas y para diferentes usos

Dos tipos de observaciones o datos:

• observacionales

• experimentales

La estructura de los datos observacionales:

• Seccion cruzada

• Series temporales

• Panel

…..y recuerda como empieza la pagina web del cursoEconometrics Uncertainty Principle

• In order to study causality we need to keep certain things constant ("ceteris paribus")

• In order to study causality we need time to pass (there is not causality between simultaneous events)

• Nothing is constant through time

• Therefore ...........

• Espacio Muestral: , el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio

• Resultado: , un elemento del Espacio Muestral

• Suceso: , un subconjunto del Espacio Muestral

• Algebra: , colección de sucesos que nos interesa estudiar

• Variable Aleatoria: , una función del Espacio Muestral al conjunto de estados S

• Conjunto de Estados: S, el espacio que contiene todos los posibles valores de una variable aleatoria. Las elecciones mas comunes son los números naturales N, los reales R, vectores de dimensión k Rk, los reales positivos R+, etc

• Probabilidad: , obedece las tres reglas que ya sabéis. Importante que el origen es F y no solo

• Distribución: es un Borel Set (conjunto de la recta real que puede expresarse como uniones o intersección de intervalos) donde vive la variable aleatoria Z.

Breve Repaso de Tª de la ProbabilidadBreve Repaso de Tª de la Probabilidad

}{Ω

E

}E:E F

S:Z

]1,0[:P F

}:{ donde ,]1,0[: RAA BBΩ

•Vector de Variables Aleatorias: Z= (Z1, Z2 , ..., Zk) es un vector de dimensión k donde cada componente es una variable aleatoria

•Sucesión de Variables Aleatorias: Z= (Z1, Z2 , ..., Zn) es una sucesion de n variables aleatorias

Si interpretamos t=1, ..., n como momentos equidistantes en el tiempo, Zt puede interpretarse como el resultado de un experimento aleatorio en el momento de tiempo t . Por ejemplo la sucesión de variables aleatorias podria ser los precios de las acciones de Toyota Z t en n días sucesivos. Siempre que se mencione un ejemplo pensad vosotros en otros ejemplos alternativos.

Un aspecto NUEVO, comparado con la situación de una sola variable aleatoria, es que ahora podemos hablar de la estructura de DEPENDENCIA dentro del vector de variables aleatorias.

•Función de Distribución FZ de Z : Es la función

Repasad las propiedades de la función de distribución.

Breve Repaso (cont)Breve Repaso (cont)

}))(,...,)(:({

),...,()(

11

11

nn

nnZ

zZzZP

zZzZPzF

Supongamos que el tipo de cambio €/$ en cada instante fijo de tiempo t entre las 5p.m y las 6p.m. de esta tarde es aleatorio. Entonces podemos interpretarlo como una realización Zt() de la variable aleatoria Zt tipo de cambio. Observamos Zt(), 5<t<6. Si quisieramos hacer una predicción a las 6 p.m. sobre el tipo de cambio Z7() a las 7 p.m. es razonable considerar TODA la evolución de Zt( entre las 5 y las 6 p.m. El modelo matematico que describe esta evolución se le llama proceso estocástico.

Procesos EstocásticosProcesos Estocásticos

RZZ tt :),(Supongamos que(1) Fijamos t

Cambianos el indice temporal podemos generar varias variables aleatorias:

)(),.......(),(21

nttt ZZZ

(2) Fijamos

Esto es una variable aleatoria.

RTZ : Es una realización o trayectoria del Proceso Estocástico.

La colección-sucesión de variables aleatorias se le llama PROCESO ESTOCATISCO

Una realización del proceso estocástico se le llama SERIE TEMPORAL

Una realización es:

nt t tz z z,..., ,2 1

Un proceso estocástico es una colección-sucesión de variables aleatorias indexadas por el tiempo

definidas en un espacio muestral

),Tt),(tZ()Tt,tZ(

Procesos Estocásticos (cont)Procesos Estocásticos (cont)

Ejemplos de procesos estocásticosEjemplos de procesos estocásticos

E1: Sea el conjunto indice T={1, 2, 3} y sea el espacio muestral () el formado por los resultados de lanzar un dado:

Definimos el siguiente proceso estocástico

Z(t, )= t + [valor del dado]2 t

Entonces para un particular, digamos 3={3}, la realización o trayectoria es (10, 20, 30).

Q1: Dibuja todas las realizaciones de este proceso estocástico.

Usa Gapminder para observar un proceso estocástico donde el experimento se llama producción economía mundial y w es un país concreto.

E2: Un Movimiento Browniano B=(Bt, t [0, infty]):

• Comienza en cero: Bo=0

• Tiene incrementos independientes y estacionarios

• Para cada t>0, Bt sigue una distribución N(0, t)

• Tiene trayectorias continuas: “no saltos”.

Distribución de un Proceso EstocásticoDistribución de un Proceso Estocástico En analogía con las variables aleatorias queremos introducir caracteristicas no aletorias de los procesos estocásticos tales como su distribución, su esperanza, varianza, etc, y describir su estructura de dependencia. Esta es una tarea mucho más complicada que en el caso de vectores de variables aleatorias. De hecho un proceso estocástico no-trivial Z=(Zt, t T) con un conjunto índice T es un objeto de dimensión infinita en el sentido de que se puede entender como una colección infinita de variables aleatorias Z t, t T. Ya que los valores de Z son funciones en T, la distribución de Z debería ser definida sobre subconjuntos de un cierto “espacio de funciones”, i.e.

P(Z A), A F,

donde F es una colección apropiada de subconjunto de este espacio de funciones. Este enfoque es posible, pero requiere matemáticas muy avanzadas. En este curso intentaremos algo mucho mas simple.

Las distribuciones finito-dimensionales (fidis) de un proceso estocástico Z son las distribuciones de los vectores finito dimensionales

(Zt1,..., Ztn), t1, ..., tn T,

para todas las posibles elecciones de t1, ..., tn T y para cada n 1.

Al igual que en la Econometría básica trabajábamos con dos los supuestos de i.i.d. (independiente e idénticamente distribuido), en la Econometría de Series Temporales nos hace faltan dos supuestos equivalentes:

• Estacionariedad (substituye al supuesto de identicamente distribuido)

• Ergodicidad (substituye al supuesto de independencia)

Necesitamos hacer dos supuestos:Necesitamos hacer dos supuestos:

EstacionareidadEstacionareidad

Considera la probabilidad conjunta de un conjunto de variables aleatorias

),...,(),.....,(221121 nnn ttttttttt zZzZzZPzzzF

Proceso estacionario de 1st orden si

kttodoparazFzF ktt ,)()( 111

Proceso estacionario de orden n si

ktttodoparazzFzzF ktkttt ,,),(),( 212121

ktttodoparazzFzzF nktkttt nn,,).....().....( 111

Definición. Un proceso es estrictamente (o en sentido fuerte) estacionario si es estacionario de orden n para cada n.

Proceso estacionario de 2nd orden si

Momentos (repaso)Momentos (repaso)

2t

2t

)tZ,tZcov()2t,1t(

)]ttZ)(ttZ[(E)tZ,tZ(Cov

tdz)tz(f2)ttZ(2)ttZ(E2t)tZ(Var

tdz)tz(ftZt)tZ(E

21

21

221121

Momentos (cont)Momentos (cont)

Para procesos estrictamente estacionarios:

22

t

t

porque kttktt zFzF1111

)()(

asumiendo que ) ( , ) (2

t tZ E Z E

k

ktkttt

ktkttt

ktttkttt

ttktt

ktkttt

zzzz

zzFzzF

),(),(),(

entonces , y sea

),(),(

),cov(),cov(

),(),(

21

21

2121

2121

2121

La correlación entre dos variables aleatorias depende SOLAMENTE de su diferencia temporal.

Tambien se cumple que

Estacionareidad DébilEstacionareidad Débil

Un proceso se dice que es estacionario debil de orden n si todos sus momentos conjuntos de orden n existen y son invariantes en el tiempo.

Procesos Estacionarios en Covarianzas (de 2nd orden):• Esperanza constante• Varianza constante• La función de covarianzas depende solo de la diferencia temporal entre las variables

Funciones de Autocovarianza y de Autocorrelación Funciones de Autocovarianza y de Autocorrelación (repaso)(repaso)

Para un proceso estacionario en covarianzas:

02

2

)var()var(

),cov(

),(

)(

)(

kk

ktt

kttk

tsst

t

t

ZZ

ZZ

ZZCov

ZVar

ZE

]1,1[:

(ACF) aciónautocorrel de función :

:

anza autocovari de función:

k

Rk

k

k

Propiedades de la función de autocorrelación (repaso)Propiedades de la función de autocorrelación (repaso)

1.

2.

3.

1 entonces )var( Si 00 tZ

0

k

1

n,correlació de ecoeficient un es Como

kk

ktkt

kktktk

kk

kk

ZZE

ZZE

))((

))(( que ya )(

Funcion de Autocorrelación Parcial (o correlación Funcion de Autocorrelación Parcial (o correlación condicional)condicional)

Esta función mide la correlación entre dos variable separadas k periodos cuando la dependencia lineal en el medio de esos periodos (entre t y t+k ) es eliminada (?) o mejor dicho condicionada a ella.

kkkttktt

ktt

ZZZZ

ZZ

),......|,(por dada vienePACF la

,aleatorias variablesdos y Sean

11Motivación Piensa en el modelo de regresión lineal

(asume E(Z)=0 sin perdida de generalidad)

kjkkjkjk

jktktjkttkkjktktkjktktkktjkt

jkt

jktkt

kttkkktkktkkt

ZeZZZZZZZZ

Z

jZe

eZZZZ

......

esperanzas toma )2(

......

por multiplica (1)

1 conionada incorrleacesta donde

......

2211j

2211

2211

kjkkjkjk ......2211j

Dividiendo por la varianza del proceso:

kj ,...2,1

011

2112

1011

.......

.......

.......

kkkkk

kkkk

kkkk

Ecuaciones deYule-Walker

0331322313

1330321312

2331320311

0221212

1220211

1110111

3

2

1

k

k

k

1

1

1

1

1

21

1

22

1

1

1

1

1

12

11

21

312

21

11

33

E4: Zt=

Yt si t es par

Yt+1 si t es impar

donde Yt es una serie estacionaria. Es Zt estacionaria debil?

E5: Defina el proceso St = X1+ ... + Xn ,

donde Xi es iid (0, Muestra que para h>0

Cov (St+h, St) = t

y por lo tanto St no es estacionario debil.

Ejemplos de Procesos Estocásticos (para ver si se ha Ejemplos de Procesos Estocásticos (para ver si se ha entendido el concepto de estacionareidad)entendido el concepto de estacionareidad)

Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont)Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont)

E6: Procesos RUIDO BLANCOUna secuencia de variables aleatorias

0para 0),(

)(

)0 te(normalmen )(:2

kaaCov

aVar

aEa

ktt

at

aatt

00

01

00

01

0 0

0

aciónautocorrelanza y Autocovari2

k

k

k

k

k

k

kk

k

ak

. . . .1 2 3 4 k

k

Dependencia: ErgodicidadDependencia: ErgodicidadQueremos permitir tanta dependencia como la Ley de los Grandes Números (LGN) nos deje.

Estacionareidad no es suficiente como el siguiente ejemplo muestra:

E7: Sea {Ut} una secuencia de variables iid uniformemente distribuidas en [0, 1] y sea Z una variable N(0,1) independiente de {Ut}.

Defina Yt=Z+Ut . Por lo tanto Yt es estacionaria (por qué?), pero

El problema es que hay demasiada dependencia en la secuencia {Yt}. De hecho la correlación entre Y1 y Yt es siempre positiva para cualquier valor de t.

2

1ZnY

2

1)tY(E

non

1t

tYn

1nY

Ergodicidad en la MediaErgodicidad en la Media

Necesitamos distinguir entre:

1. Media Vertical (ensemble average) 2. Media Temporal

Objectivo: estimar la media del procesos

Cual es el estimador más apropiado? La media vertical

Problema: Es imposible calcularla de forma eficiente pues solo Contamos con una observación en cada “t”.

Bajo que condiciones nos vale con estimar la media temporal?

m

Zz

m

ii

1

n

Zz

n

tt

1

tZ

Es la media temporal un estimador insesgado y consistente de la media vertical?

)( tZE

Ergodicidad en la media (cont)Ergodicidad en la media (cont)

Recordad. Condiciones suficientes para la consistencia de un estimador

0)ˆvar(limy )ˆ(limT

TT

TE

1. La media temporal es insesgada

t t

t nZE

nzE 1

)(1

)(

2. La varianza de la media temporal convergence a cero

)](

)()[(

)(

),cov(1

)var(

0)2()1(

210111020

1212

0

1 120

1 12

nn

nn

n

tnttt

n

t

n

sst

n

t

n

sst

n

n

nZZ

nz

T̂

Ergodicidad en media (cont)Ergodicidad en media (cont)

Finito 0

0)1(lim)var(lim

)1()()var(

0

1

)1(

020

kk

nn

n

nk kkk

n

k

nz

n

k

nkn

nz

Un proceso estacionario en covarianzas es ergodico en la mediasi )(lim tZEzp

Una condición suficiente para ergodicidad en la media es

cuando 0 kkQuereis que las sociedades sean ergodicas o no? Interpretad esta condicion en terminos de “justicia”.

Ergodicidad bajo GausanidadErgodicidad bajo Gausanidad

Si tZ es un proceso gausiano estacionario, k

k

es una condición suficiente para asegurar ergodicidad en todos los momentos

Ergodicidad para los segundos momentosErgodicidad para los segundos momentos

Una condición suficiente para ergodicidad en los segundos momentos

k

k

Como vamos a estimar los momentos poblaciones de las Como vamos a estimar los momentos poblaciones de las series temporales????series temporales????

Utilizaremos el metodo de analogia tan usado en los cursos previos de Econometria:

•Momentos poblaciones se estiman via momentos muestrales.•Asumiendo estacionareidad y ergodicidad estos estimadores serán consistentes.

Donde Estamos?Donde Estamos?

Considera el Problema de la Prediccion como motivación:

Predecir Zt+1 dado el conjunto de información It en el tiempo t.

Este teorema es de lo más “bello” de la Econometria. Entiendelo bien, criticalo. El Homework 1 tiene una parte dedicado a él.

La esperanza condicional puede ser modelada en una forma paramétrica o en una forma no-paramétrica. En este curso elegiremos la primera. Los modelos parametricos pueden ser lineales o no-lineales. En este curso elegiremos los modelos lineales. Resumiendo los modelos que vamos a estudiar en este curso son modelos parametricos y lineales

]|[:

][

11

211

ttt

tt

IZEZSolución

ZZEMin

Apendice I: Transformaciones Apendice I: Transformaciones ((vease el conjunto de notas extravease el conjunto de notas extra))

• Objetivo: Tratar con procesos mas manejables

•Transformación logaritimica reduce cierto tipo de heterocedasticidad. Si asumimos que

t=E(Xt) y V(Xt) = k 2t,

se puede demostrar (por el metodo delta) que la varianza del log es aproximadamente constante:

• Tomar dieferencias elimina la tendencia (no muy informativo sobre la naturaleza de la tendencia)

• Diferencias del Log = Tasa de Crecimiento

k)tZ(Var2)t/1()tZ(log(Var)Z(Var2)('f))Z(f(Var

1tZ1tZtZ

)1tZ

1tZtZ1log()

1tZtZ

log()1tZlog()tZlog(

Apendice II: Analisis GráficoApendice II: Analisis Gráfico• Objetivo: Descubrir características básicas de los datos

• Realiza gráficos de diferentes series económicas en niveles, en logaritmos, en primeras diferencias y en tasas de crecimiento e intente decidir que transformacion hace la serie parece más estacionaria.

• Correlograma de las transformacions propuestas previamente. En el capitulo siguiente aprendera a identificar una familia de modelos en base al correlograma.

• En la clase del grupo reducido se enseñará a descargarse los datos para el proyecto empírico del curso vía IHS (biblioteca) o FRED.

• Recuerde que el movimiento se demuestra andando.