Introduccion´ y Revision´ de Electricidad y Magnetismo

CAPITULO 0

Introduccion y Revision de

Electricidad y Magnetismo

I. Revision de elementos matematicos

En este apartado se introducen los elementos basicos del calculo vectorialque seran utiles en el desarrollo de los contenidos de los apuntes. Tambiense hace un repaso breve del problema de las magnitudes y unidades en lasleyes fısicas.

0.1 DEFINICIONES BASICAS

0.1.1

Definiciones de campo

Definimos un campo escalar ψ como:

ψ : D ⊂ R3 −→ R

funcion escalar y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D unescalar ψ.

Definimos un campo vectorial ~A como:

~A : D ⊂ R3 −→ R3

funcion vectorial y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D unvector ~A.

Las versiones complejas de los campos escalares y vectoriales se definen demanera analoga.

0.1. Definiciones basicas 2

0.1.2

Vectores unitarios y cosenos directores

a= Vector unitario en la direccion de ~a:

a = ~a/|~a|

Si los vectores estan definidos en el cuerpo complejo se debe emplear:

a = ~a/√~a · ~a∗

Cuando empleemos el sistema de coordenadas cartesiano, podemos expresarcualquier vector unitario r en funcion de los cosenos de los angulos (α, β, γ)que forma con los ejes x, y, z:

r = cosαx+ cosβy + cos γz

conocidos como cosenos directores.

0.1.3

Lıneas de campo

Las lıneas de campo son lıneas tangentes al campo vectorial en cada punto.Indican direccion y sentido e intensidad, para lo cual se dibujan de formaque hay mayor densidad de lıneas en las zonas donde la intensidad de campoes mayor.

En dinamica de fluidos, una lınea de campo es precisamente una trayectoriarecorrida por una partıcula de fluido.

0.1.4

Flujo de ~A a traves de una superficie S

Dado un campo vectorial ~A decimos que su flujo a traves de una superficieS viene dado por:

¨

S

~A · d~s

En dinamica de fluidos, donde ~A representa un campo de velocidades, eldiferencial de flujo mide la cantidad de fluido que pasa por el paralelogramotangente por unidad de tiempo.

0.1.5

Radian y estereorradian

El radian es la medida de un angulo plano y se define como el angulo planocuyo vertice, en el centro de una circunferencia de radio r, subtiende unarco cuya longitud es r.

La medida del angulo solido es el estereorradian, que corresponde al angulosolido cuyo vertice, en el centro de una esfera de radio r, subtiende unasuperficie esferica cuyo area tiene como valor r2.

Dado que la superficie de una esfera es S = 4πr2, hay 4π estereorradianesen una esfera cerrada.

0.1. Definiciones basicas 3

El elemento infinitesimal de area ds sobre la superficie de la esfera de radior viene dado por:

ds = r2 sin θdθdφ (m2)

por lo que el elemento diferencial de angulo solido sera:

dΩ =ds

r2= sin θdθdφ (sr)

y vemos que se cumple, efectivamente que:

¨

Ω

dΩ = 4π

0.2 SISTEMAS DE

COORDENADAS

0.2.1

Definicion

Dependiendo del problema y de las simetrıas que presente, es convenienteelegir el sistema de coordenadas.

Coordenadas rectangulares (x, y, z).

Coordenadas cilındricas (ρ, φ, z).

Coordenadas esfericas (r, θ, φ). Notar que el angulo θ es de revolucioncon respecto al eje z y varıa entre 0 y π mientras que el φ se midesiempre en el plano xy y varıa en un margen de 0 a 2π.

0.2.2

Cambios de coordenadas rectangulares-cilindricas

Las coordenadas se relacionan segun:

x = ρ cosφy = ρ sinφz = z

y los vectores unitarios (que dependen de φ):

AρAφAz

=

cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0

0 0 1

AxAyAz

AxAyAz

=

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

AρAφAz

0.2. Sistemas de coordenadas 4

0.2.3

Cambios de coordenadas cilindricas-esfericas

ρ = r sin θz = r cos θ

y los vectores unitarios (que dependen de θ):

ArAθAφ

=

sin θ 0 cos θcos θ 0 − sin θ

0 1 0

AρAφAz

AρAθAz

=

sin θ cos θ 00 0 1

cos θ − sin θ 0

ArAθAφ

0.2.4

Cambios de coordenadas rectangulares-esfericas

Las coordenadas se relacionan segun:

x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ

y los vectores unitarios (que dependen de θ y φ):

ArAθAφ

=

sin θ cosφ sin θ sinφ cos θcos θ cosφ cos θ sinφ − sin θ− sinφ cosφ 0

AxAyAz

AxAyAz

=

sin θ cosφ cos θ cosφ − sinφsin θ sinφ cos θ sinφ cosφ

cos θ − sin θ 0

ArAθAφ

0.3 CALCULO DIFERENCIAL

VECTORIAL

0.3.1

Gradiente de una funcion escalar de punto ψ

Sea ψ(x, y, z) una funcion escalar y de punto. Se define el gradiente de ψ encoordenadas rectangulares como:

∇ψ(x, y, z) =∂ψ(x, y, z)

∂xx+

∂ψ(x, y, z)

∂yy +

∂ψ(x, y, z)

∂zz

0.3. Calculo diferencial vectorial 5

Interpretacion geometrica del gradiente

Se demuestra que si ∇ψ 6= 0, entonces ∇ψ apunta en la direccion en la cualψ esta creciendo mas rapidamente.

Propiedad

Sea S la superficie que consta de aquellos (x, y, z) tales que f(x, y, z) =k=cte. El plano tangente a S en un punto (xo, yo, zo) de S esta definido porla ecuacion:

< ∇ψ(xo, yo, zo), (x− xo, y − yo, z − zo) >= 0

si ∇ψ(xo, yo, zo) 6= 0, siendo < · > el producto escalar.

0.3.2

Laplaciana de una funcion escalar de punto ψ

Sea ψ(x, y, z) una funcion escalar y de punto. Se define la laplaciana de ψen coordenadas rectangulares como:

ψ(x, y, z) = ∇2ψ(x, y, z) =∂2ψ(x, y, z)

∂x2+∂2ψ(x, y, z)

∂y2+∂2ψ(x, y, z)

∂z2

0.3.3

Divergencia de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A(x, y, z) = Ax(x, y, z)x+Ay(x, y, z)y+Az(x, y, z)z una funcion vecto-

rial y de punto. Se define la divergencia de ~A en coordenadas rectangularescomo:

∇ · ~A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

0.3.4

Rotacional de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A = Axx + Ay y + Az z una funcion escalar y de punto. Se define el

rotacional de ~A en coordenadas rectangulares como:

∇× ~A =

(

∂Az∂y

− ∂Ay∂z

)

x+

(

∂Ax∂z

− ∂Az∂x

)

y +

(

∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

)

z

que simbolicamente puede expresarse como:

∇× ~A =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zAx Ay Az

∣

∣

∣

∣

∣

∣


0.3.5

Laplaciana de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A(x, y, z) = Ax(x, y, z)x+Ay(x, y, z)y+Az(x, y, z)z una funcion vecto-

rial y de punto. Se define la laplaciana de ~A en coordenadas rectangularescomo:

~A = Axx+ Ay y + Az z

0.3.6

Teorema de la divergencia de Gauss

Sea V una region y S la superficie cerrada orientada que acota V . Sea ~A uncampo vectorial definido en V . Entonces:

ˆ

V

∇ · ~Adv =

‹

S

~A · d~s

El significado fısico de la divergencia es que en un punto P , ∇· ~A es la razondel flujo neto que sale por P por unidad de volumen.

0.3.7

Teorema de Stokes

Sea S una superficie orientada definida por una funcion C2, z = f(x, y),

(x, y) ∈ D y sea ~A un campo vectorial C1 en S. Entonces, si L denota unacurva frontera orientada de S, tenemos:

¨

S

∇× ~A · d~s =

˛

L

~A · d~l

El significado fısico del rotacional en un punto P , ∇ × ~A es la circulacionde ~A por unidad de area en una superficie perpendicular a d~s.

0.3.8

Operadores en coordenadas cilındricas

∇ψ =∂ψ

∂ρρ+

1

ρ

∂ψ

∂φφ+

∂ψ

∂zz

∇ · ~A =1

ρ

∂(ρAρ)

∂ρ+

1

ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

∇× ~A =

[

1

ρ

∂Az∂φ

− ∂Aφ∂z

]

ρ+

[

∂Aρ∂z

− ∂Az∂ρ

]

φ+

[

1

ρ

∂(ρAφ)

∂ρ− 1

ρ

∂Aρ∂φ

]

z

ψ = ∇2ψ =1

ρ

∂

∂ρ

[

ρ∂ψ

∂ρ

]

+1

ρ2

∂2ψ

∂φ2+∂2ψ

∂z2

~A =

[

Aρ −2

ρ2

∂Aφ∂φ

− Aρρ2

]

ρ+

[

Aφ +2

ρ2

∂Aρ∂φ

− Aφρ2

]

φ+ Az z


0.3.9

Operadores en coordenadas esfericas

∇ψ =∂ψ

∂rr +

1

r

∂ψ

∂θθ +

1

r sin θ

∂ψ

∂φφ

∇ · ~A =1

r2∂(r2Ar)

∂r+

1

r sin θ

∂

∂θ(sin θAθ) +

1

r sin θ

∂Aφ∂φ

∇× ~A =1

r sin θ

[

∂

∂θ(Aφ sin θ) − ∂Aθ

∂φ

]

r+1

r

[

1

sin θ

∂Ar∂φ

− ∂(rAφ)

∂r

]

θ+1

r

[

∂(rAθ)

∂r− ∂Ar

∂θ

]

φ

ψ = ∇2ψ =1

r2∂

∂r

[

r2∂ψ

∂r

]

+1

r2 sin θ

∂

∂θ

[

sin θ∂ψ

∂θ

]

+1

r2 sin2 θ

∂2ψ

∂φ2

~A =

[

Ar −2

r2

(

Ar + cotθAθ + cscθ∂Aφ∂φ

+∂Aθ∂θ

)]

r+

[

Aθ −1

r2

(

csc2θAθ − 2∂Ar∂θ

+ 2cotθcscθ∂Aφ∂φ

)]

θ+

[

Aφ −1

r2

(

csc2θAφ − 2cscθ∂Ar∂φ

− 2cotθcscθ∂Aθ∂φ

)]

φ

0.3.10

Identidades vectoriales

Suma y multiplicacion

~A · ~A = |A|2~A · ~A∗ = |A|2~A+ ~B = ~B + ~A~A · ~B = ~B · ~A~A× ~B = − ~B × ~A

( ~A+ ~B) · ~C = ~A · ~C + ~B · ~C( ~A+ ~B) × ~C = ~A× ~C + ~B × ~C~A · ~B × ~C = ~B · ~C × ~A = ~C · ~A× ~B~A× ~B × ~C = ( ~A · ~C) ~B − ( ~A · ~B) × ~B

( ~A× ~B) · (~C × ~D) = ~A · ~B × (~C × ~D) = ~A( ~B · ~D ~C − ~B · ~C ~D)

( ~A× ~B) × (~C × ~D) = ( ~A× ~B · ~D)~C − ( ~A× ~B · ~C) ~D


Diferenciacion

∇ · (∇× ~A) = 0∇×∇Ψ = 0∇(Φ + Ψ) = ∇Φ + ∇Ψ∇(ΦΨ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ

∇ · ( ~A+ ~B) = ∇ · ~A+ ∇ · ~B∇× ( ~A+ ~B) = ∇× ~A+ ∇× ~B

∇ · (Ψ ~A) = ~A · ∇Ψ + Ψ∇ · ~A∇× (Ψ ~A) = ∇Ψ × ~A+ Ψ∇× ~A

∇( ~A · ~B) = ( ~A · ∇) ~B + ( ~B · ∇) ~A+ ~A× (∇× ~B) + ~B × (∇× ~A)

∇ · ( ~A× ~B) = ~B · ∇ × ~A− ~A · ∇ × ~B

∇× ( ~A× ~B) = ~A∇ · ~B − ~B∇ · ~A+ ( ~B · ∇) ~A− ( ~A · ∇) ~B

∇×∇× ~A = ∇(∇ · ~A) − ~A

0.4 UNIDADES, SISTEMAS

DE UNIDADES Y

ECUACIONES DE

DIMENSIONES

Para expresar una magnitud en un cierto espacio de referencia, se tomacomo patron la unidad U de forma que una magnitud X puede expresarsede la forma:

X = Ux = U ′x′

siendo x la medida de esta magnitud, que variara segun la unidad elegida.

Para comparar cantidades de la misma magnitud es necesario efectuar susmedidas con la misma unidad.

Las leyes fısicas relacionan entre sı medidas de magnitudes de distinta na-turaleza. Las leyes fısicas, en general, se expresan mediante relaciones de laforma:

x = Kxa1

1 · xa2

2 ... · xan

1 (1)

donde K es una constante y a1, a2, ..., an son numeros racionales positivoso negativos, de manera que:

Las magnitudes relacionadas mediante una ley se dice que son cohe-rentes entre sı cuando la constante K es la unidad.

Las magnitudes fısicas se dicen fundamentales cuando son indepen-dientes entre sı, es decir, no hay ninguna ley fısica que las relacione.Las unidades que tomemos para la medida de estas, las denominare-mos unidades fundamentales.

Toda magnitud fısica relacionada con las fundamentales mediante unaley fısica se denomina magnitud derivada. Sus unidades se denomi-naran unidades derivadas y se obtendran mediante una relacion deltipo (1) entre las unidades de las magnitudes fundamentales.

Como magnitudes fundamentales comunes a todos los campos de la fısica,se han tomado la longitud y el tiempo; ellas son suficientes para desarrollarla cinematica; en los demas campos de la mecanica se hace necesario utilizaruna tercera magnitud fundamental, que puede ser la masa o la fuerza. En losrestantes campos de la fısica es necesaria una cuarta magnitud fundamen-tal, tomandose en termodinamica la temperatura; en optica la intensidadluminosa y en electricidad el amperio.

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones 9

Un sistema de unidades queda definido cuando se han elegido sus magnitu-des fundamentales con sus respectivas unidades de medida. A partir de estasy mediante las correspondientes leyes fısicas se deduciran sus magnitudes yunidades derivadas.

En lo que sigue utilizaremos el sistema M.K.S.A que ha pasado a formar M.K.S.A.= metro, kilogramo, segun-do, amperioparte del Sistema Internacional (S.I.), adoptado oficialmente en Espana

desde 1967. El sistema C.G.S. es una variante delanterior que utiliza el centımetro, elgramo y el segundo.

Cada magnitud fundamental se representa por un sımbolo que en el SistemaInternacional y para las magnitudes mecanicas es:

L para la longitud

T para el tiempo

M para la masa

Si en la expresion de una ley fısica sustituimos cada magnitud fundamentalpor su sımbolo, obtendremos la llamada ecuacion de dimensiones de lamagnitud derivada de que se trate.

La ecuacion de dimensiones nos permite establecer la homogeneidad de lasformulas fısicas, diciendose que una expresion es homogenea cuando ambosmiembros tienen la misma ecuacion de dimensiones. Ademas facilita el esta-blecimiento de la coherencia entre unidades fısicas, diciendose que una seriede unidades son coherentes entre sı, cuando la ecuacion de dimensiones de laley fısica que las relaciona no contiene factor numerico multiplicativo salvola unidad.

un sistema de unidades U , U1, U2, ..., Un para el cual es X = Ux, X1 =U1x1, X2 = U2x2, ..., Xn = Unxn se dice que es acorde con una ley fısicacomo la (1) cuando verifica:

x = Kxa1

1 · xa2

2 ... · xan

n (2)

Un nuevo sistema de unidades U ′, U ′1, U

′2, ..., U ′

n para el cual es X = U ′x′,X1 = U ′

1x′1, X2 = U ′

2x′2, ..., Xn = U ′

nx′n se dice que es no acorde con una

ley fısica cuando cambia la cosntante de la misma, es decir, verifica:

x′ = K ′x′a1

1 · x′a2

2 ... · x′an

n (3)

El cociente entre (2) y (3):

x

x′=

K

K ′

(

x1

x′1

)a1(

x2

x′2

)a2

...

(

xnx′n

)an

en funcion de las unidades de los respectivos sistemas se expresa:

U

U ′=

K

K ′

(

U1

U ′1

)a1(

U2

U ′2

)a2

...

(

UnU ′n

)an

expresion que nos permite cambiar de sistema de unidades en la expresionde una ley fısica, al darnos el coeficiente k′ de la expresion correspondienteal nuevo sistema de unidades:

K ′ = KU

U ′

(

U1

U ′1

)a1(

U2

U ′2

)a2

...

(

UnU ′n

)an

(4)

Una misma ley fısica, tal como la (1), en un cierto sistema de unidades, seexpresa mediante una relacion como la (2), mientras que en otro sistema deunidades se expresa mediante la (3), estando dado el coeficiente K ′ por laecuacion (4).

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones 10

II. Revision de Electricidad y Magnetismo

En este apartado se revisan los conceptos mas importantes de la electricidady magnetismo clasicos hasta llegar al planteamiento de las ecuaciones deMaxwell.

0.5 ELECTROSTATICA

0.5.1

La cargaElectricidad deriva de ηλεκτρoν quesignifica ambar en griegoIntroducimos la funcion ρ(~r) conocida como densidad de carga

ρ(~r) =dq

dv

La carga esta cuantizada, de forma que la carga total de un cuerpo esun multiplo entero de la carga de un electron. Las distribuciones de cargaque emplearemos son continuas. Por ello, consideraremos elementos de vo-lumen suficientemente grandes como para englobar un numero elevado departıculas cargadas, de forma que deje de manifestarse su caracter discretoy veamos efectos de promedio. La unidad de carga en el sistema MK-

SA (SI) es el Coulombio (C). La cargade un electron es de −1,602×10

−19CSe entiende por carga puntual situada en ~r1 la definida como:

ρ(~r) = qδ(~r − ~r1)

donde δ(·) es una funcion delta de Dirac. Una carga puntual tiene sentidoal considerar distribuciones de carga a distancias muy grandes respecto asu tamano.

0.5.2

Ley de Coulomb y principio de superposicion

Hay dos leyes fundamentales en la electrostatica: la Ley de Coulomb y elprincipio de superposicion. Supongamos dos cargas puntuales de valor q yq′ separadas una distancia r. La Ley de Coulomb establece que la fuerzaentre ellas responde a la expresion:

~F = Cqq′

r2r

donde C es una constante que depende del medio. En un sistema racionali-zado la ecuacion anterior resulta:

~F =qq′

4πǫr2r

siendo ǫ una constante conocida como permitividad o constante dielectricadel medio.

Cuando las cargas se encuentran en el vacıo, decimos que ǫ = ǫo. El valorde esta constante en MKSA es (notar que tiene dimensiones):

ǫ0 =1

36π10−9(Faradios/m) = 8,854 × 10−12(F/m)

0.5. Electrostatica 11

Para medios lineales, homogeneos e isotropos distintos al vacıo, la permiti-vidad se expresa como:

ǫ = ǫrǫo

siendo ǫr la permitividad relativa del medio, que cumple siempre ǫr > 1. Masadelante comentaremos brevemente como se introducen los medios materia-les en la descripcion del fenomeno electromagnetico. En cuanto al principio Un medio es homogeneo cuando sus

caracterısticas no dependen de lascoordenadas, e isotropo, cuando laspropiedades del mismo varıan igual entodas las direcciones en torno a unpunto dado.

de superposicion, establece que la fuerza que experimenta una carga dadadebida a una distribucion de cargas es la suma vectorial de las fuerzas queproducirıan cada una de las cargas de la distribucion si estuvieran aisladasdel resto.

0.5.3

Definicion de ~E

Aunque las dos leyes anteriores son suficientes para resolver cualquier pro-blema de la electrostatica, es convieniente por razones practicas y concep-tuales introducir dos ideas secundarias que seran de gran utilidad: el campoelectrico y el potencial electrostatico.

Se define el campo electrico ~E creado por q′ en la posicion de la carga qcomo la fuerza que experimenta la unidad de carga:

~E =~Fq

de donde se sigue que:

~E =q′

4πǫr2r (5)

Observamos que se trata de un campo de fuerzas centrales. Sus unidadesmas habituales en MKSA son N/C o V oltio/m = V/m.

El principio de superposicion se expresa como:

~E =

N∑

i=1

q′i4πǫr2i

ri

0.5.4

Definicion de ~D

Resulta de interes introducir un nuevo vector mas relacionado con las cargasque ~E . Definimos:

~D = ǫ~E (6)

asumiendo una relacion lineal entre ~E y ~D. Este nuevo campo se denominavector desplazamiento electrico o vector de densidad electrica de flujo. Paracargas puntuales, este vector tiene la propiedad de que es radial e indepen-diente del material en cuyo seno se encuentran las cargas. Ademas su flujoa traves de una superficie cerrada que englobe a la carga es igual a la cargatotal:

‹

S

~D · d~s = Σqi

y esto es independiente de la superficie en cuestion.

Cuando se trabaja con medios materiales reales (no en el vacıo), la presen-cia de un campo electrico en dichos medios puede provocar que las cargas


de las moleculas (neutra en un principio) se desplacen de forma que dichasmoleculas se polarizan. Tambien puede ocurrir que la molecula inicialmen-te se encuentre polarizada (o lo que es lo mismo, que tenga un momentodipolar permanente), por lo que el campo hara que se oriente de determi-nada forma. Grosso modo, el campo final sera la suma del campo inicialmas las contribuciones de los distintos dipolos y la distribucion de campoen el interior del material sera difıcil de determinar y presentara grandesvariaciones a nivel microscopico. De acuerdo con la evidencia experimentalse verifica:

~D = ǫo~E + ~Pe (7)

El vector ~Pe es el vector adicional de polarizacion electrica. Recordamos que una distribucion conun momento dipolar ~Pe crea un cam-po externo equivalente al que produ-cirıa una distribucion volumetrica decarga ρp = −∇· ~Pe y una distribucionsuperficial ρs = Pen

En medios lineales, homogeneos e isotropos (7) se convierte en:

~D = ǫo~E + ~Pe = ǫo~E + ǫoχe~E = ǫo(1 + χe)~E = ǫ~E

donde χe es una constante positiva que depende del material y se denominasusceptibilidad electrica

0.5.5

Propiedades integrales y diferenciales de ~E y ~D

Estudiamos las propiedades integrales y diferenciales de ~E a partir de laexpresion (5) utilizando resultados conocidos del calculo vectorial. Segun el teorema de Helmholtz, un

campo vectorial queda unıvocamentedeterminado si se conocen su diver-gencia y su rotacional en todos lospuntos del espacio

Se demuestra que se verifica la ecuacion:

‹

S

~D · d~s =

ˆ

V

ρdv

donde S es la superficie cerrada que encierra el volumen V .

Esta expresion se conoce como Teorema de Gauss. Esto significa que el flujoneto a traves de una superficie cerrada que no encierra ninguna carga escero.

La version diferencial de este teorema es:

∇ · ~D = ρ

Por otra parte, es facil demostrar que

∇× ~E = 0

y aplicando el teorema de Stokes a esta integral, resulta:

˛

~E · d~l = 0 (8)

Un campo que verifica (8) se deno-mina conservativo.


0.5.6

Potencial electrostatico

Esta propiedad permite una simplificacion. Sabemos que un campo quecumpla esta propiedad se puede calcular como:

~E = −∇Φ (9)

siendo Φ una funcion escalar y de punto denominada potencial electrostaticoque tiene una propiedad muy util: la diferencia entre dos puntos es igual altrabajo que hay que realizar para trasladar una carga unidad entre ellos.

En efecto, el trabajo que hay que realizar para transportar una carga delpunto 1 al punto 2 contra el campo ~E sera:

W12 = −ˆ 2

1

~E · d~l = Φ2 − Φ1

Ası, la diferencia de potencial entre dos puntos es igual al trabajo que hayque realizar para trasladar una carga unidad entre los dos puntos. La ecua-cion Φ(~r) = cte. define una superficie equipotencial, siendo el campo per-pendicular a estas superficies en todo punto.

Si ahora tomamos la divergencia de (9), resulta:

Φ = −ρǫ

se obtiene la conocida como Ecuacion de Poisson, que para puntos delespacio donde ρ = 0 se convierte en:

Φ = 0

conocida como Ecuacion de Laplace.

Teniendo en cuenta que el potencial creado por una carga puntual es:

Φq =q′

4πǫr

para un elemento de carga ρdv′ sera dΦ = ρdv′/|~r−~r′| por lo que el potencialtotal sera, por superposicion:

Φ(~r) =1

4πǫ

ˆ

V ′

ρ(~r′)

|~r − ~r′|dv′

que corresponde a la version integral de la ecuacion de Poisson. Esta ecua-cion plantea un problema de suma en contraste con los problemas de con-diciones de contorno, bastante mas complejos, en los que ρ(~r) no se conocede antemano.

0.6. Magnetostatica 14

0.6 MAGNETOSTATICA

0.6.1

Corriente y conceptos relacionadosLa palabra magnetismo deriva deMagnesia, region de Grecia dondese encontraron las primeras piedrasiman con estas propiedades

Supongamos una distribucion de carga que se mueve con velocidad ~v cons-tante. Definimos un vector densidad superficial de corriente electrica ~J encada punto como:

~J = ρ~v (10)

esto es, como la cantidad de carga que por unidad de tiempo atraviesa unaunidad de area (A/m2 en MKSA).

Supongamos ahora una densidad de corriente dependiente del tiempo ~J (~r, t)y una superficie infinitesimal d~s situada en el seno de la corriente y seadI la carga que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. ClaramentedI = ~J · d~s por lo que se verificara:

I =

¨

S

~J · d~s

I se denomina corriente a traves de la superficie S.

Supongamos que la superficie S es cerrada y que admitimos el principio deque la carga no se crea ni se destruye. Entonces, la carga total en el volumenV sera

´

Vρdv y su tasa de variacion con el tiempo ∂/∂t

´

Vρdv. Por tanto,

el principio de conservacion de la carga se expresa como:‹

S

~J · d~s+∂

∂t

ˆ

V

ρdv = 0

Si aplicamos el teorema de la divergencia al primer sumando podemos susti-tuirlo por

´

V∇ · ~J d~s y dado que la expresion anterior debe verificarse para

cualquier volumen V , se sigue que:

∇ · ~J +∂ρ

∂t= 0 (11)

expresion matematica de la Ley de conservacion de la carga o ecuacion decontinuidad de la carga.

Si la densidad de carga ρ es una funcion solo de ~r y no varıa con el tiempo,la ecuacion anterior se convierte en:

∇ · ~J = 0

que implica que las lıneas de flujo de corriente se cierran sobre sı mismas,esto es, forman lazos cerrados.

Cuando la corriente se produce dentro de un conductor y dentro del conocidocomo margen lineal, se verifica experimentalmente la conocida Ley de Ohm(generalizada):

~J = σ~Esiendo σ la conductividad del medio (Ω−1m−1 en MKSA). El valor σ per-mite clasificar a su vez a los medios como conductores, semiconductores yaislantes, si bien esta division es relativa, como veremos mas adelante.

A partir de la anterior se deriva la Ley de Joule:

dP

dv= ~J · ~E = σ|~E|2


0.6.2

Fuerzas entre conductores

Supongamos dos lazos por los que discurren las corrientes I1 y I2 respec-tivamente. Los experimentos de Ampere mostraron que la fuerza total ~F1

sobre el circuito 1 debida a su interaccion con el circuito 2 es proporcional alas dos corrientes I1 y I2 y a una integral que depende solo de la geometrıa(ver figura 1):

~F1 = CI1I2˛

C1

˛

C2

d~l1 × (d~l2 × ~r12)

r312

La constante de proporcionalidad C depende del medio. En un sistema

I2

I1

r12

dl2

dl1

Figura 1: Ley de Ampere

racionalizado, la ecuacion anterior se escribe:

~F1 =µ

4πI1I2

˛

C1

˛

C2

d~l1 × (d~l2 × ~r12)

r312

siendo µ una constante conocida como permeabilidad magnetica del medio,cuyas unidades son (Henrio/m)=H/m en MKSA. La permeabilidad delvacıo en este sistema es

µ0 = 4π × 10−7 (H/m)

Para cualquier otro medio lineal, homogeneo e isotropo, podemos escribir:

µ = µrµo

0.6.3

Definicion del vector de intensidad de campo magnetico ~H

Partimos de una situacion en la que tenemos corrientes electricas estaciona-rias, esto es ∂ ~J /∂t = 0. Tal y como hicimos en electrostatica, es convenientedefinir un nuevo campo, imaginando que una de las corrientes produce uncampo que actua sobre la otra.

Definimos el vector intensidad de campo magnetico ~H producido por I2como:

~H =I24π

˛

d~l2 × ~r12r312

Entonces, postulamos que este campo ~H ejerce una fuerza ~F1 sobre lacorriente I1 dada por:

~F1 = µI1

˛

d~l1 × ~H


siendo las unidades de ~H A/m en MKSA.

Es conveniente extender la definicion de ~H asumiendo que cada elementod~I de corriente produce un campo d ~H dado por:

d ~H =I

4π

d~l × ~r

r3

siendo ~r el vector que une el elemento y el punto en el que se calcula elcampo. Esta expresion recibe el nombre de Ley de Biot y Savart. Notar queimplıcitamente estamos utilizando el principio de superposicion de fuerzasmagneticas.

0.6.4

Definicion del vector de induccion magnetica ~B

De la misma forma que hicimos con el campo electrico en electrostatica, esnecesario introducir el efecto de lo microscopico en nuestro planteamientomacroscopico. A efectos de calcular el campo magnetico, los medios materia-les se caracterizan mediante momentos dipolares magneticos. Introducimosun vector vector de induccion magnetica ~B definido como:

~B = µ ~H (12)

que puede expresarse como

~B = µo ~H + ~Pm (13)

siendo ~Pm el vector adicional de magnetizacion. En medios lineales, ho-mogeneos e isotropos (13) se convierte en:

~B = µo ~H + ~Pm = µo ~H + µoχm ~H

donde χm es una constante positiva o negativa que depende del material yse denomina susceptibilidad magnetica

0.6.5

Propiedades diferenciales e integrales de ~B y ~H

Operando a partir de las ecuaciones anteriores, se puede demostrar que:

∇× ~H = ~J (14)

∇ · ~B = 0 (15)

esto es, el campo ~B es rotacional puro. Empleando los teoremas de la diver-gencia y Stokes llegamos a las versiones integrales: Notar que el campo ~B no es conser-

vativoˆ

C

~H · d~l = I

conocida como Ley de Ampere, junto con

‹

S

~B · d~s = 0


0.6.6

El Potencial vector magnetico

Dado que ∇ × ~B es distinto de cero, no puede existir un potencial realpara calcular el campo mediante una diferenciacion. No obstante, podemosintroducir un potencial generalizado de tipo vectorial que sı cumple estapropiedad. Ademas el resultado sera valido tambien para el interior de lascorrientes.

Introducimos un vector ~A al que llamaremos potencial vector de forma que:

~B = ∇× ~A

por lo que se cumplira automaticamente que:

∇ · ~B = 0

Entonces, la ecuacion (14) resulta:

∇× (∇× ~A) = µ ~J

que corresponde a un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas y quese puede expresar como:

∇(∇ · ~A) − ~A = µ ~J

Por el teorema de Helmholtz, ~A queda determinado solo cuando definamos∇ · ~A. Como tenemos libertad para hacerlo como queramos, a la vista de laecuacion anterior, interesa imponer ∇ · ~A = 0 de forma que:

~A = −µ ~J

Dado que esta ecuacion tiene la misma forma que la ecuacion de Poisson,su solucion sera analoga, de forma que podemos decir que:

~A(~r) =µ

4π

ˆ

V ′

~J (~r′)

|~r − ~r′|dv′

0.7 ENERGIA EN CAMPOS

ESTATICOS

0.7.1

Energıa electrostatica

Suponemos una distribucion arbitraria de cargas. Se demuestra que la energıapotencial del sistema conocida como energıa electrostatica viene dada por:

WE =1

2

ˆ

V

ˆ

V ′

ρ(~r)ρ(~r′)

|~r − ~r′| dvdv′

Una variante de esta expresion es:

WE =1

2

ˆ

V

ρ(~r)Φ(~r)dv

0.7. Energıa en campos estaticos 18

Aunque esta integral se extiende solo a los puntos donde existe densidad decarga, puede ser extendida a todo el volumen de espacio Vt de la siguienteforma:

WE =1

2

ˆ

V t

~E · ~Ddv

Esta formula expresa la energıa unicamente en terminos del campo elec-trostatico, concepto basico Maxwelliano (la energıa reside en el campo noen las fuentes).

0.7.2

Energıa magnetostatica

Se demuestra que la energıa necesaria para formar una distribucion decorriente viene dada por:

WM =1

2

ˆ

V

~A · ~J dv

Aunque la energıa parece residir en las corrientes, esta expresion puedemodificarse para que la energıa se exprese unicamente en funcion del campo:

WM =1

2

ˆ

V t

~B · ~Hdv

0.8 ELECTRODINAMICA

0.8.1

El problema de la variacion temporal

La electrostatica trata distribuciones de cargas estaticas, esto es, inmovilesen promedio. Por tanto, los campos electricos que se producen son indepen-dientes del tiempo. La magnetostatica estudia los campos creados por cargasen movimiento, con la particularidad de que estas corrientes son estaciona-rias, esto es, independientes del tiempo. Los campos electricos y magneticosson, por tanto, independientes del tiempo. Ahora vamos a calcular el efectodel movimiento de las cargas de manera arbitraria, por los que los camposseran variables con el tiempo.

En espacio libre, en presencia unicamente de cargas y distribuciones decorriente pero no de materia, hay cuatro ecuaciones basicas para los cam-pos estaticos, dos para definir la divergencia y el rotacional de ~E y otrasdos para ~B. Para el caso electrodinamico, las ecuaciones que definen losrotacionales deben completarse con terminos que dependen de la variaciontemporal. Uno de ellos fue encontrado experimentalmente por Faraday. Elotro, fue postulado por Maxwell. Este conjunto de 4 ecuaciones completasse denomina ecuaciones de Maxwell para espacio libre.

0.8. Electrodinamica 19

0.8.2

La Ley de Faraday

Faraday encontro, empleando corrientes en lazos, que la integral curvilıneadel campo electrico alrededor de un lazo es proporcional a la variacion tem-poral del flujo magnetico a traves de ese lazo:

˛

~E · d~l = −ˆ

S

∂ ~B∂t

· d~s (16)

La evidencia empırica indica que esta relacion entre un campo magneticovariable y el campo electrico, es una propiedad de los campos en el espacio:los cables y las corrientes que fluyen en ellos sirve unicamente para que semanifieste (16).

Empleando el teorema de Stokes podemos escribir:

∇× ~E = −∂~B∂t

que es la generalizacion de la ley ∇× ~E = 0 de la electrostatica.

Si generalizamos lo anterior a lazos de forma variable se obtiene la conocidaLey de Lenz :

fem = −∂φ∂t

(17)

siendo φ el flujo a traves de la superficie que define el lazo y fem la fuerzaelectromotriz generada.

0.8.3

La corriente de desplazamiento y las ecuaciones de Maxwell

Discutimos ahora una generalizacion de las ecuaciones anteriores debidaa James C. Maxwell. Esta generalizacion es un postulado que se entiendemejor si miramos al contexto de la epoca en que se introdujo.

Consideremos la ecuacion de la magnetostatica ∇ × ~B = µ ~J . Si tomamosla divergencia de esta ecuacion obtenemos:

∇ · ~J = 0

Sabemos que el hecho de que la divergencia de un vector sea cero implicaque las lıneas de campo se cierran sobre sı mismas. Por lo tanto, la ecuacionanterior implica que la corriente fluye en lazos cerrados. Esto es lo queocurre con campos estaticos. Sin embargo ahora, nos encontramos ante unasituacion diferente.

Si p. ej. consideramos un condensador que se carga conectando las dos pla-cas a una baterıa, podemos decir que existe corriente en el cable pero nohabra corriente entre las placas del condensador. La concepcion de esteproceso por parte de Maxwell es diferente. Para entenderla acudimos a losdescubrimientos de Faraday sobre el fenomeno de la polarizacion o lo quees lo mismo, a la separacion de cargas en un medio material debido a lapresencia de un campo electrico. Las cargas deben moverse para separarsey, dado que las cargas en movimiento constituyen una corriente, el procesode polarizacion implica la existencia de una corriente que puede llamarse


corriente de polarizacion. En aquel momento se suponıa que las accioneselectromagneticas no se transmitıan a traves del vacıo sino a traves de uneter que no era distinto en nada a la materia dielectrica. Por lo tanto, noera raro que Maxwell extendiera el concepto de corriente de polarizacion aleter.

Maxwell considero que, en el proceso de carga de un condensador, los cablesdel condensador y el eter entre dichas placas formaban un circuito materialcontinuo. Para ello, modifico las ecuaciones anteriores como se indica acontinuacion.

A partir de ∇ · ~D = ρ se sigue:

∂ρ

∂t=

∂

∂t∇ · ~D

Si introducimos esto en la ecuacion de continuidad de carga (11) obtenemos:

∇ ·[

~J +∂ ~D∂t

]

= 0 (18)

El segundo sumando ∂ ~D/∂t tiene las dimensiones de una corriente y fuedenominado por Maxwell corriente de desplazamiento. Si consideramos quela corriente total consiste en una densidad de corriente mas una corriente dedesplazamiento, vemos que la corriente total siempre fluye en lazos cerrados.Sin embargo, debemos recordar que la corriente de desplazamiento no es unacorriente en el sentido ordinario, ya que no esta asociada a un flujo de carga.

A partir del resultado (18), Maxwell generalizo la Ley de Ampere diferencial

∇ × ~H = ~J asumiendo que para los campos variables con el tiempo, lacorriente en esta formula deberıa ser la corriente total incluyendo la corrientede desplazamiento, de forma que esta ecuacion resulta:

∇× ~H = ~J +∂ ~D∂t

(19)

Esta ecuacion es un postulado que ha quedado contrastado ampliamentepor la experiencia. Entonces, las ecuaciones del modelo de Maxwell son:

∇× ~H = ~J +∂ ~D∂t

∇× ~E = −∂~B∂t

y si imponemos como postulado la ley de conservacion de carga:

∇ ~J +∂ρ

∂t= 0

se puede demostrar facilmente que se cumple:

∇ · ~D = ρ

∇ · ~B = 0

Ademas, en el sistema de ecuaciones planteado, hemos de considerar el tipode medio material (ǫ, µ, σ):

~J = σ~E


~D = ǫ~E~B = µ ~H

conocidas como relaciones constitutivas del medio material

Las ecuaciones de Maxwell permiten calcular los campos ~E , ~D, ~B y ~H a partirde fuentes arbitrarias. Dado que estos campos son importantes debido a suaccion sobre las cargas, los fundamentos de la teorıa electromagnetica secompletan prescribiendo como es dicha accion. Para ello se utiliza la Ley dela densidad de fuerza de Lorentz : dada una distribucion de carga arbitrariacaracterizada por ρ(~r) que se mueve a una velocidad ~v(~r) con respecto a un

sistema de referencia inercial en el cual hay campos ~E y ~B, la densidad defuerza (fuerza/unidad volumen) que actua sobre la distribucion ~f es:

~f = ρ(~E + ~v × ~B)

Observamos como el primer sumando es una extension del campo elec-trostatico al caso electrodinamico. El segundo sumando es la esencia delpostulado. Generaliza los resultados obtenidos en magnetostatica sobre lafuerza entre dos lazos con corrientes estacionarias. Por ultimo, la energıa al-macenada (electrica y magnetica) por el campo electromagnetico vendra da-da por:

WE =1

2

ˆ

V t

~E · ~Ddv

WM =1

2

ˆ

V t

~B · ~Hdv

Como veremos a lo largo del curso, los conceptos clave del planteamiento,ampliamente validado por la experiencia, son:

la introduccion de ~D y ~H

la simetrizacion del sistema ( ~J + ∂ ~D/∂t no tiene manantiales)

la inseparabilidad ~E ↔ ~B: observamos como estan acoplados en lasecuaciones y que, aunque se verifique ~J = 0 existiran fuentes de cam-po magnetico si ∂ ~D/∂t 6= 0, por lo que si existen campos electricosvariables, estos se convierten en fuentes de campo magnetico variabley lo mismo ocurre al contrario: aunque no existan distribuciones decargas, si existen campos magneticos variables ∂ ~B/∂t 6= 0, estos seconvierten en fuentes de campo electrico.


0.9 EJERCICIOS0.1 Sean los vectores ~a = 3x+ 2y − z y ~b = −y + 3z. Calcule:

A. ~a ·~b

B. ~a×~b

C. Angulo que forman ~a y ~b

D. Vector unitario en la perpendicular del plano que forman ~a y ~b

Sol : A) −5; B) 5x− 9y − 3z; C) 115; D) ± 1√115

(5x− 9y − 3z)

0.2 Sean los vectores ~a = 3jx+ 2y − jz y ~b = −y + (1 + 2j)z. Calcule:

A. |~a| y |~b|

B. |~a ·~b∗|

C. 1

2Re[~a×~b∗]

Sol : A) |~a| =√

14 ; |~b| =√

6; B) |~a ·~b∗| = 3; C) 1/2Re[~a×~b∗] = x+ 3y

0. 3 Indicar las coordenadas esfericas que definen:

A. La direccion z

B. El plano bisector de los ejes xy

C. La direccion ~r = −x+ y + z

Sol : A) θ = 0; B) φ = π/4; C) φ = 135 θ = 54,73

0. 4 Expresar la curva ρ = a(1 + cosφ) en coordenadas cartesianas.

Sol : x2 + y2 = a√

x2 + y2 + ax

0. 5 Expresar en coordenadas cilındricas el vector ~r = x − y + 2z en ladireccion definida por φ = 3π/2

Sol : ~r = ρ+ φ+ 2z

0. 6 Calcule el gradiente de los campos escalares:

A. ψ =√

x2 + y2 + z2

B. ψ = r

C. ψ = 1

r

D. ψ = 3x2 + yz

Para el cuarto caso, calcule un vector unitario que apunte a la direccion demaxima variacion de ψ en el punto Po(1,−1, 0).

Sol : A) x√x2+y2+z2

x + y√x2+y2+z2

y + z√x2+y2+z2

z = r; B) r; C) − 1

r2r; D)

(6x+ y)x+ xy; v = 1√26

(5x+ y)

0.9. Ejercicios 23

0. 7 Sea ~A = 3x2yx+ (x3 + y3)y. Verificar que ~A es irrotacional.

Sol : ∇× ~A = 0

0. 8 Calcular ( 1

r) para r 6= 0.

Sol : Ψ = 1/r2 ∂∂r

[r2 ∂ψ∂r

] con ψ = 1/r ⇒ ( 1

r) = 0

0. 9 Sea ~F = k Qr2r un campo vectorial central, donde k yQ son constantes.

Calcular´

V∇ · ~Fdv siendo V el volumen definido por una esfera de radio

R centrada en el origen de coordenadas.

Sol : kQ4π

0. 10 Sea U(r, θ.φ) = Uo

r2sin θ. Calcular cuanto vale

¸

SUds.

Sol : π2Uo

0. 11 Demostrar que cualquier solucion de la ecuacion ∇×∇× ~A−k2 ~A = 0

satisface automaticamente la ecuacion vectorial de Helmholtz ~A+k2 ~A = 0y la condicion solenoidal ∇ · ~A = 0.

Sol : Aplicando ∇· a la ecuacion y simplificando ⇒ ∇· ~A = 0; Desarrollando∇×∇ y aplicando lo anterior ⇒ ~A+ k2 ~A = 0

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Introduccion´ y Revision´ de Electricidad y Magnetismo