Introducere în analiza seriilor de timp

8/13/2019 Introducere n analiza seriilor de timp

1/32

1

Introducere n analiza seriilor

de timp

Lector univ.dr. Daniel Traian PeleCatedra de Statistic i Econometrie, ASE

BucuretiE-mail: [email protected]


2/32

2

Argumente

Timpul este o coordonat esenial aexistenei umane.

Realitatea economic i social selocalizeaz n timp i spaiu.

n general, fenomenele economice nu

au caracter static, manifestndu-se ncadrul unei evoluii temporale.


3/32

3

Definiie i exemple

Definiia 1. Fie [0, ]T un orizont de timp,

( , , )K P un spaiu de probabilitate i ( )t tX u n p r o c e s s t o c h a s t i c .

Vom numi serie de timp (serie cronologic time series) o realizare a procesului

stochastic ( )t tX .

Definia 2. O serie de timp [ 0, ]( )t t TX

reprezint o mulime de observaiie f e c t u a t e l a d i f e r i t e m o m e n t e d e t i m p

asupra unei variabile aleatoareX.


4/32

4

Staionaritate

Definiia 3. Serie staionar n medie :( ) , [0, ]

tE Y t T

.

Fig. 1 Graficul unei serii staionare


5/32

5

Staionaritate

Definiia 4 . O serie de timp este staionarn sens largdac:

M e d i a s e r i e i 1,( )

t t nX

e s t e c o n s t a n t p e o r i c e

p e r i o a d d e t i m p ;

M a t r i c e a d e c o r e l a i e a v e c t o r u l u i a l e a t o r

),...,,( n21 ttt XXXn u d e p i n d e d e

.

Definiia 5.

O serie de timp care prezint oa n u m i t t e n d i n d e e v o l u i e s e n u m e t e

n e s t a i o n a r .


6/32

6

Staionaritate

Figura 2. Serii nestaionare cu t r e n d l i n i a r

Obs : n general, orice serie temporal poatef i s t a i o n a r i z a t , p r i n p r o c e d e e s p e c i f i c e .


7/32

7

Procedee de staionarizare

Dac seria este nestaionar n medie, secalculezdiferenelede ordinul nti.

Dacseria este nestaionarn dispersie, se

calculeazseria logaritmat.

1t t tX X X

log( )t t

Y X


8/32

8

-400

-200

0

20 0

40 0

60 0

80 0

100 200 300 400 500

Y

Fig. 3 Graficul unei serii nestaionare n medie

3 , (0, 50)t t t

Y t WN


9/32

9

-600

-400

-200

0

200

400

600

100 200 300 400 500

DIF

Fig. 4 Graficul seriei difereniate

1t t tY


10/32

10

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

100 200 300 400 500

XT

2 20 , ( ) (6, 4)t t t t

X t WN


11/32

11

ln( )t t t

Y X

4

5

6

7

8

9

10

11

12

100 200 300 400 500

LNXT


12/32

12

Clasificarea seriilor de timp

Dup natura intervalului de timp:

- de momente (serii de stoc)

- valoarea determinat prin nsumarea termenilor nu aresemnificaie concret

- e.g. populaia Romniei msurat la recensminte

- de intervale(serii de flux)


13/32

13

Clasificarea seriilor de timp

Dup proprietile mulimii de valori:

- Serii de timp exprimate sub forma mrimilorabsolute: e.g. PIB

- Serii de timp definite printr-o succesiune demrimi relative: e.g. PIB/locuitor

- Serii de timp formate din mrimi medii: e.g.Productivitatea muncii


14/32

14

Comparabilitatea n timp Trebuie avut n vedere omogenitatea seriei de

timp analizate.

Rata inflaiei n Romnia

0.00%

50.00%

100.00%

150.00%

200.00%

250.00%

300.00%

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

199920

0020

0120

0220

0320

0420

05


15/32

15

Indicatorii seriilor temporale

- Utilizarecompararea a dou sau maimulte serii cronologice

Indicatori absoluti Indicatori relativi

Indicatori medii


16/32

16

Indicatori medii

Modificarea medie absolut:

Indicele mediu de dinamic:

Ritmul mediu al dinamicii:

1

1

TY Y

T

1

1

TT

YI

Y

1R I


17/32

17

Nivelul mediu al seriei

se calculeaz pentru serii cu termeni nsumabili

- pentru serii de flux: 1T

t

t

Y

YT

- pentru serii de stoc:1 1 2 -1

0 1 -1

1

2 2 2 2

n n n

n n

n

+t t t t t t + + ...+ +Y Y Y Y

Y =+...+t t

, unde 1,.., nt t este

mulimea momentelor de timp

Figura 5.Schema de determinare a mediei cronologice


18/32

18

Nivelul mediu al seriei

- se calculeaz pentru fiecare perioad de timp, cuprins ntre doumomente succesive, nivelul mediu al caracteristicii;se determin apoi media aritmetic ponderat :

= 1

= 1

.

n

i i

i

n

i

i

Y t

Y =

t

Data Stocul

Yt

(buc.)

Durata ntre

momente (zile)

Stocul mediu pe fiecare

perioadtY

01.01.2005 200 48 (200 + 320)/2

18.02.2005 320 62 (320 + 100)/2

20.04.2005 100 56 (100 + 140)/2

8.06.2005 140 92 (140 + 250)/2

10.09.2005 250 36 (250 + 300)/2

16.10.2005 300 74 (300 + 140)/2

01.01.2005 140 - -

48 62+48 56+62 92+56 36 92 74 36 74200 +32 +100 +140 250 300 140

2 2 2 2 2 2 2=48+62+56+92+36+74

Y


19/32

19

Componentele unei seriicronologice

Trendul

Componenta sezonier

Componenta ciclic

Componenta aleatoare


20/32

20

Fazele unui ciclu economic


21/32

21

Componentele seriilor de timp

Modelul aditiv:

- dac amplitudinea oscilaiilor este constant de-a lungultimpului

Modelul multiplicativ:

- dac amplitudinea oscilaiilor este variabil de-a lungultimpului

t t t t t

Y Y S C

* * *t t t t t

Y Y S C


22/32

22

Trendul

Metode mecanice

- metoda modificrii medii absolute

- metoda indicelui mediu de dinamic- metoda mediilor mobile

Metode analitice

- funcie liniar de gradul I- funcie parabolic

- funcie exponenial


23/32

23

Metoda modificrii medii absolute

Se folosete cnd diferenele a oricror doi termeni

consecutivi snt constante i egale cu

Ecuaia trendului:

Se determin suma ptratelor erorilor de ajustare

1 ( 1), 1..tY Y t t T

2

1

( )T

t t

t

SSE Y Y


24/32

24

ExempluVolumul vnzrilor de ap mineral n Romnia (mii cases)

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

A

pr00

J

ul00

O

ct00

Jan01

A

pr01

J

ul01

O

ct01

Jan02

A

pr02

J

ul02

O

ct02

Jan03

A

pr03

J

ul03

O

ct03

Jan04

A

pr04

J

ul04

O

ct04

Jan05

A

pr05

J

ul05

O

ct05

Jan06

3041 65.46( 1), 1..70

514370020.6

tY t t

SSE


25/32

25

Metoda indicelui mediu

Se folosete cnd rapoartele oricror doi termenisuccesivi snt constante i egale cu

Ecuaia trendului:

Se determin suma ptratelor erorilor de ajustare

1

1( ) , 1..t

tY Y I t T

I

2

1

( )T

t t

t

SSE Y Y


26/32

26

Trendul-funcie liniar de timp

Modelul:

Presupunem ndeplinite ipotezele modelului liniarde regresie

Estimatorii parametrilor modelului se obin prin

M.C.M.M.P. ca soluii ale sistemului:

t tY t

2

t

t t

t

t t t

n t Y

t t Y t

2

2 2

2 2

* *

( )

*

( )

t t

t t t t

t t

t t

t t t

t t

Y t Y t t

n t t

n Y t t Y

n t t


27/32

27

ExempluVolumul vnzrilor de ap mineral n Romnia (mii cases)

Yt = 102.4t + 3542.6

R2= 0.5673

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

Apr00

Jul00

Oct00

Jan0

1

Apr01

Jul01

Oct01

Jan02

Apr02

Jul02

Oct02

Jan03

Apr03

Jul03

Oct03

Jan0

4

Apr04

Jul04

Oct04

Jan05

Apr05

Jul05

Oct05

Jan06

1 case=5.618 litri2

1

( ) 228126582.8T

t t

t

SSE Y Y


28/32

28

Predicia pe baza trendului ntotdeauna pentru estimarea trendului va fi ales

acel model care minimizeaz suma ptratelor

erorilor de ajustare

Pe baza modelului liniar putem realiza predicii:

- Volumul vnzrilor pentru februarie 2006:

- - Volumul vnzrilor pentru martie 2006:

71 3524.64 102.4 * 71 10812.97Y

72 3524.64 102.4 * 72 10915.37Y


29/32

29

Metoda mediilor mobile

Se folosete pentru filtrarea componentei sezoniere

i a componentei aleatoare

Media mobil de ordinul p:

Date lunare p=12

Date trimestriale p=4

1

.1

, 0,k p

ptt k

Y Y k T pp


30/32

30


31/32

31

Media mobil de ordinul 12

Volumul vnzrilor de ap mineral n Romnia(mii cases)

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

Apr00

Jul0

0

Oct00

Jan0

1

Apr01

Jul0

1

Oct01

Jan0

2

Apr02

Jul0

2

Oct02

Jan0

3

Apr03

Jul0

3

Oct03

Jan0

4

Apr04

Jul0

4

Oct04

Jan0

5

Apr05

Jul0

5

Oct05

Jan0

6

Actual

Forecast


32/32

32

Bibliografie Hamilton, J.D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University

Press

Box, G. E. , G. M. Jenkins (1976), Time Series Analysis : Forecastingand Control, 2nd edition, HoldenDay.

Brockwell, P. J. , R. A. Davies (1991), Time Series : Theory andMethods, 2nd ed., Springer

Enders, W. (1995), Applied Econometric Time Series, John Wiley

Popescu, Th.(2000), Serii de timp, Ed. Tehnic Bucureti

Andrei, T.(2005), Statistic i Econometrie, Ed. Economic, Bucureti

Andrei, T., Stancu, S., Pele, D.T.,(2004), Statistic. Teorie i aplicaii,ediia a II-a, Ed. Economic, Bucureti

Documents

Introducere în analiza seriilor de timp