Introducere in lumea numerelor complexe

„Cel mai scurt drum între două adevăruri din domeniul real, trece printr-un domeniu imaginar.”

Jacques Hadamard, matematician francez

Una dintre temele favorite ale matematicienilor de-a lungul istoriei a fost rezolvarea ecuatiilor. In timp ce ecuatiile de gradul intai sunt toate rezolvabile in multimea numerelor reale, nu toate ecuatiile de gradul doi au aceasta proprietate.

Cea mai simpla astfel de ecuatie este:

.

Pana in secolul 18, matematicienii au evitat ecuatiile patratice care nu sunt rezolvabile in multimea numerelor reale. Leonhard Euler a spart gheata introducand numarul in renumita sa carte „Elements of Algebra”.

“. . . neither nothing, nor greater than nothing, nor less than nothing. . . ” and observed “ . . . notwithstanding this, these numbers present themselves tothe mind; they exist in our imagination and we still have a sufficient idea of them; . . .nothing prevents us from making use of these imaginary numbers, and employing themin calculation”.

Euler a notat acest numar cu i, spunandu-i numarul imaginar si acest i a devenit una dintre cele mai folositoare notatii in matematica.

Studiul numerelor complexe a continuat in ultimele doua secole. Practic, este imposibil sa ne imaginam matematica moderna fara numere complexe. Absolut toate ramurile matematicii se folosesc de aceste numere intr-o oarecare masura. Ele au aplicabilitate si in alte domenii, cum ar fi : mecanica, fizica teoretica, hidrodinamica si chimie.

Forma algebrica a unui numar complex

Marimile scalare sunt marimile caracterizate complet printr-un numar pozitiv sau negativ.

ex: masa, densitatea, volumul, temperatura, caldura, etc.

Marimile vectoriale (vectorii) sunt marimile complet caracterizate de modul (valoare absoluta), de directie si de sens.

Directia si sensul dau orientarea vectorului. Daca una din caracteristilice vectorului se modifica avem de a face cu un alt vector.

Exemple de forte: Forta de greutate, Forta elastica, Forta de frecare ; Deplasarea, etc

Orice numar complex , poate fi unic reprezentat sub forma unde sunt numere

reale si relatia are loc.

Expresia ….. este numita forma algebrica a numarului complex z , asadar multimea numerelor complexe poate fi caracterizata astfel

,

Partea reala, partea imaginara => Numarul complex este o marime vectoriala.

- Adunarea numerelor complexe;

- Inmultirea numerelor complexe;

1. Inmultirea cu un scalar.

Puterile lui i

Exemplu

Sa rezolvam ecuatia , cu z=x+yi, unde x si y sunt numere intregi.

Se ajunge la sistemul : . Se observa ca x si y nu pot fi 0.

Atunci, punem , unde este un numar real, in egalitatea . Se

ajunge la (3t-1)(3t^2 – 12t -13)=0. Singura solutie rationala este t=1/3 si se gasesc x si y. Deci z=3+i.

- Cum obtin inversul (amplific cu conjugata)

- Modulul unui numar complex.

Solutie la 6)