Introdu¸cão à Geometria - Instituto Superior Técnicolgodin/INTGEO/IntroGeo1_134.… · 41.GEOMETRIAAFIM 1. A P v=PQ Q 2. A P Q R Figura 1.1. Espa¸co afim ponto Q tal que! PQ=

Introdução à Geometria

Leonor Godinho e Margarida Mendes Lopes

27/11/2018

Contents

1

CAPÍTULO 1

Geometria Afim

1. Espaço afim associado a um espaço vectorial

Seja V um espaço vectorial sobre um corpo comutativo K de carac-

teŕıstica zero1 (por exemplo R ou C).

Definição 1.1. Um conjunto A 6= ; diz-se um espaço afim associado

a V se existir uma aplicação

' : A⇥A ! V

(P,Q) 7!��!PQ (:= '(P,Q))

verificando os seguintes axiomas:

1. Para todo o P 2 A e para todo o vector v 2 V , existe um e um só

elemento Q em A tal que��!PQ = v.

2. (Relação de Chasles ou relação triangular) Para todos os

elementos P,Q,R 2 A,

(1.1)��!PQ+

��!QR =

�!PR,

ou seja '(P,Q) + '(Q,R) = '(P,R).

Se A é um espaço afim dá-se o nome de pontos aos elementos de A. Os

pontos são usualmente indicados por letras maiúsculas. Dados dois pontos

P,Q de A, diz-se que o vector��!PQ é o vector com origem em P e

extremidade em Q.

Dado um ponto P de um espaço afim A associado ao espaço vectorial V

e um vector v de V , usa-se a notação simbólica P +v para indicar o único

1Diz-se que um corpo F tem caracteŕıstica 0 se a relação ma = 0 onde a 2 F \ {0} e

m 2 Z só se verifica se m = 0.

3

4 1. GEOMETRIA AFIM

1.

A

Pv= P Q

Q

2.

A

P Q

R

Figura 1.1. Espaço afim

ponto Q tal que��!PQ = v. Dados dois pontos P,Q 2 A, pode indicar-se o

vector��!PQ pela notação simbólica Q� P .

A relação triangular tem as seguintes consequências.

Proposição 1.2. Se A é um espaço afim (associado ao espaço vectorial

V ) e P e Q são pontos de A, então:

1)��!PP = 0V (um vector com origem e extremidade num mesmo ponto

é o vector nulo);

2)��!PQ = �

��!QP (o vector com origem em P e extremidade em Q é

simétrico do vector com origem em Q e extremidade em P );

3) para qualquer ponto P de um espaço afim A e quaisquer dois vec-

tores u, v de V tem-se

P + (u+ v) = (P + u) + v.

Demonstração:

1) Usando a relação triangular temos��!PP =

��!PP +

��!PP = 2

��!PP , pelo

que��!PP = 0V .

2)��!PQ+

��!QP =

��!PP = 0V , pelo que

��!PQ = �

��!QP .

3) Seja Q 2 A tal que u =��!PQ (isto é Q = P + u) e R 2 A tal que

v =��!QR, isto é R = Q + v = (P + u) + v. Então, pela relação

triangular, temos

u+ v =��!PQ+

��!QR =

�!PR,

pelo que R = P + (u+ v) e o resultado segue.

⇤

Nota 1.3 (Estrutura de espaço afim de um espaço vectorial).

Qualquer espaço vectorial V tem uma estrutura natural de espaço afim dada

1. ESPAÇO AFIM ASSOCIADO A UM ESPAÇO VECTORIAL 5

pela aplicação

' : V ⇥ V ! V

(u, v) 7! v � u

Em particular, o espaço vectorial

Kn = {(x1, ..., xn) : xi 2 K}

tem uma estrutura natural de espaço afim a que se dá o nome de estrutura

canónica (ou natural) de Kn como espaço afim. O espaço Kn com esta

estrutura denota-se por vezes por AnK

ou simplesmente por An.

Proposição 1.4 (Regra do Paralelogramo). Sejam P,Q, P 0, Q0 2 A.

Então

��!PQ =

��!P 0Q0 ,

��!PP 0 =

��!QQ0.

Demonstração: Usando a relação triangular temos

��!PQ =

��!PP 0 +

��!P 0Q e

��!P 0Q0 =

��!P 0Q+

��!QQ0,

pelo que

��!PQ�

��!P 0Q0 =

��!PP 0 �

��!QQ0

e o resultado segue. ⇤

AP

Q Q¢

P¢

Figura 1.2. Regra do Paralelogramo

6 1. GEOMETRIA AFIM

1.1. Subespaços afins. Seja A um espaço afim associado ao espaço

vectorial V . Um subconjunto F de A é um subespaço afim se

F = P +W := {P + w : w 2 W},

onde P é um ponto de F e W ✓ V é um subespaço vectorial.

O subespaço vectorial W chama-se o subespaço (ou espaço) de di-

recções (ou direcção) de F . Se F = P + W diz-se que F é o subespaço

afim que passa por P com direcção W .

Nota 1.5. Por definição, A é um subespaço afim de A. Também um

ponto P é um subespaço afim de A com direcção o espaço vectorial zero.

HaL

Figura 1.3. Exemplos de subspaços afins de R3:

(a) (0, 0, 1)+L{(0, 1, 0)}; (b) (0, 0, 1)+L{(0, 0, 1), (0, 1, 0)}.

Proposição 1.6. Seja F = P0 +W um subespaço afim de A. Então,

1) F é ele próprio um espaço afim associado ao espaço vectorial W ;

2) qualquer que seja o ponto Q 2 F , temos F = Q+W ;

3) W = {��!PQ : P,Q 2 F} (ou seja, W fica univocamente determinado

por F).

Demonstração:

1) Como A é um espaço afim existe um aplicação ' : A ⇥ A ! V

que satisfaz as condições 1. e 2. da Definição ??. Restringindo a


aplicação ' a F ⇥ F obtemos uma aplicação

(1.2)' : F ⇥ F ! W

(P,Q) 7!��!PQ.

De facto, se P,Q 2 F então existem vectores u, v 2 W tais que

P = P0 + u e Q = P0 + v (isto é u =��!P0P e v =

��!P0Q), pelo que

��!PQ =

��!PP0 +

��!P0Q = �

��!P0P +

��!P0Q = v � u 2 W.

Vejamos agora que esta aplicação definida em F ⇥ F satisfaz

as duas condições da Definição ??.

Como A é um espaço afim, sabemos, pelo condição 1. da

Definição ?? que, para todo o P 2 F e w 2 W , existe um único

ponto Q 2 A tal que��!PQ = w. Resta-nos ver que Q 2 F . Como

P 2 F , temos que existe um vector v 2 W tal que P = P0 + v e

então

Q = P + w = (P0 + v) + w = P0 + (v + w) 2 F .

Finalmente, como a relação triangular em F ⇥F é herdada da

mesma relação em A⇥A, conclui-se que F é um espaço afim.

2) Seja Q = P0 + w (com w 2 W ) um ponto de F .

Vejamos primeiro que Q+W ✓ P0+W . Se P 2 Q+W , então

existe u 2 W tal que P = Q+ u. Assim,

P = Q+ u = (P0 + w) + u = P0 + (u+ w) 2 P0 +W.

Por outro lado, se P 2 P0 + W então existe v 2 W tal que

P = P0 + v, pelo que

P = P0 + v = P0 +��!P0P = P0 + (

��!P0Q+

��!QP )

= (P0 +��!P0Q) +

��!QP = Q+

��!QP 2 Q+W

pois, como vimos em 1), se P,Q 2 F , o vector��!QP pertence a W .

Conclui-se assim que P0 +W ✓ Q+W e então

F = P0 +W = Q+W.

3) Como vimos em 1), se P e Q são dois pontos de F , o vector��!PQ pertence a W . Para além disso, a aplicação ' em (??) é

sobrejectiva, pelo que se conclui que

W = {��!PQ : P,Q 2 F}.

⇤

8 1. GEOMETRIA AFIM

1.2. Dimensão e codimensão. Seja A um espaço afim associado ao

espaço vectorial V . A dimensão de A é a dimensão de V como espaço

vectorial. Em particular, se F = P + W é um subespaço afim de A, a

dimensão de F é a dimensão de W .

Um espaço (ou subespaço) afim de dimensão 1 diz-se uma recta, de

dimensão 2 um plano e, de dimensão m, um m-plano.

Se A é um espaço afim de dimensão finita n e F é um subespaço afim

de A de dimensão k, a codimensão de F é o número n� k. Um subespaço

afim H de codimensão 1 diz-se um hiperplano.

Nota 1.7. A noção de codimensão é relativa. A dimensão de um hiper-

plano de A e a codimensão de um m-plano de A dependem da dimensão de

A. Por exemplo,

• se A tem dimensão 2 (e.g. se A é o espaço afim real R2), os

hiperplanos de A são as rectas;

• se A tem dimensão 3 (e.g. A é o espaço afim real R3), um hiper-

plano de A tem dimensão 2 (ou seja é um plano);

• uma recta em R8 tem codimensão 7 enquanto que uma recta em

R2 tem codimensão 1;

• um 3-plano do espaço afim complexo C5 tem codimensão (com-

plexa) 2.

Verifica-se facilmente que, dados dois pontos distintos P,Q 2 A, existe

uma única recta de A que os contém (a recta que passa por P com a direcção

do vector��!PQ). Esta recta pode indicar-se por

PQ := P + {��!PQ : � 2 K}.

Dicionário: Dado um ponto Q e uma recta r de A as seguintes expressões

são equivalentes:

• Q 2 r;

• r passa por Q;

• r contém Q;

• Q incide com r;

• Q e r são incidentes;

• r incide com Q.

1.3. Paralelismo.

Definição 1.8. Seja A um espaço afim. Dois subespaços afins de A

F = P + U e G = Q+W


dizem-se paralelos se U ✓ W ou W ✓ U .

Por outras palavras, F e G são paralelos se o subespaço (vectorial) de di-

recções de um dos subespaços afins estiver contido no subespaço de direcções

do outro.

Nota 1.9.

(i) Um subespaço afim é sempre paralelo a si próprio.

(ii) Se F = P + U e G = Q+W têm a mesma dimensão m, então F

e G são paralelos se e só se U = W .

Teorema 1.10. Se dois subespaços afins de um mesmo espaço afim são

paralelos, ou têm intersecção vazia ou um deles está contido no outro.

Em particular, dois subespaços afins associados ao mesmo subespaço vec-

torial, ou são disjuntos ou são iguais.

Demonstração: Sejam F = P + U e G = Q + W dois subespaços afins

paralelos do espaço afimA. Por definição de paralelismo, U ✓ W ouW ✓ U .

Suponhamos, sem perda de generalidade, que U ✓ W . Se F \ G 6= ;,

existe um ponto R 2 F \ G, pelo que F = R+ U e G = R+W . Conclui-se

que F ✓ G, com igualdade se U = W . ⇤Este teorema tem como consequência que

• duas rectas distintas paralelas não se intersectam.

• uma recta paralela a um plano ou não intersecta o plano ou está

contida no plano.

• dois hiperplanos diferentes e paralelos não se intersectam.

• se duas rectas paralelas se intersectam então são coincidentes.

• etc ...

1.4. Intersecção de subespaços afins.

Teorema 1.11. Sejam F = P + U e G = Q+W dois subespaços afins

do espaço afim A. Então, ou F \ G = ;, ou F \ G é um subespaço afim.

Mais precisamente, se F \ G 6= ; e R é um ponto de F \ G, então

F \ G = R+ (U \W ).

Demonstração: Suponhamos que F \ G 6= ; e consideremos um ponto

R 2 F \ G. Podemos escrever então F = R+ U e G = R+W .

Um ponto P 2 R + (U \ W ) pertence obviamente a F \ G, donde

R+ (U \W ) ✓ F \ G.

10 1. GEOMETRIA AFIM

Por outro lado, se um ponto P está simultaneamente em F e em G, temos

que, necessariamente, o vector�!RP pertence a ambos os espaços vectoriais

U e W , donde F \ G ✓ R+ (U \W ).

Concluimos que se F \ G 6= ;, então F \ G = R+ (U \W ). ⇤Este teorema generaliza-se facilmente.

Teorema 1.12. A intersecção de subespaços afins ou é vazia ou é um

subespaço afim. Mais precisamente, se B↵ = P↵ + U↵, ↵ 2 I é uma famı́lia

de subespaços afins associados a subespaços vectoriais U↵ então

• \↵2IB↵ = ; ou

• \↵2IB↵ é um subespaço afim associado ao subespaço vectorial

\↵2IU↵.

Nota 1.13. Se \↵2IB↵ 6= ;, temos \↵2IB↵ = R + \↵2IU↵, onde R é

um ponto qualquer de \↵2IB↵.

Vejamos agora um critério para que a intersecção de dois subespaços

afins seja não vazia.


do espaço afim A. Então F \ G 6= ; se e só se o vector��!PQ pertence ao

subespaço vectorial U +W .

Demonstração: Suponhamos que F \G 6= ; e seja R um ponto de F \G.

Então, como R 2 F , o vector�!PR 2 U . Analogamente o vector

��!RQ 2 W .

Como, pela Relação de Chasles (??),��!PQ =

�!PR+

��!RQ, conclui-se que

��!PQ 2

U +W . Provámos assim que

F \ G 6= ; =)��!PQ 2 U +W.

Por outro lado, se��!PQ 2 U +W , então existem vectores u 2 U e w 2 W

tais que��!PQ = u+w. Por definição de F e G, o ponto P + u 2 F e o ponto

Q� w 2 G. Assim, como

P + u = P + (��!PQ� w) = (P +

��!PQ)� w = Q� w,

temos que P + u = Q� w 2 F \G, pelo que F \ G 6= ;. ⇤

1.5. Subespaço afim gerado por um subconjunto. Seja S um sub-

conjunto não vazio de um espaço afim A. O subespaço afim gerado por

S, que se indica por hSi (ou por A↵(S)), é o menor subespaço afim de A que

contém S (ou, de forma equivalente, é a intersecção de todos os subespaços

afins de A que contêm S).



do espaço afim A. O subespaço gerado por F e G é o subespaço

hF ,Gi = P +⇣L{

��!PQ}+ U +W

⌘,

ou seja, é o subespaço afim que passa por P e está associado ao subespaço

vectorial L{��!PQ}+ U +W .

Demonstração: Claramente, F e G são subconjuntos de

P +⇣L{

��!PQ}+ U +W

⌘.

Assim, por definição, hF ,Gi ✓ P +⇣L{

��!PQ}+ U +W

⌘.

Para mostrar que a inclusão anterior é uma igualdade basta mostrar que

qualquer subespaço afim H que contenha F e G contém necessariamente

P+⇣L{

��!PQ}+ U +W

⌘. Seja entãoH um subespaço afim que contém F e G

e T o subespaço vectorial de direcções deH. ComoH contém F então P 2 H

e podemos escrever H = P + T onde U ✓ T . Como H contém G, também

Q 2 H eW ✓ T . Dado que P,Q 2 H, necessariamente��!PQ 2 T . Concluimos

então que L{��!PQ}+ U +W ✓ T donde P +

⇣L{

��!PQ}+ U +W

⌘✓ H. ⇤

Nota 1.16. Dado um conjunto de vectores v1, . . . , vk 2 V , usamos a

notação L{v1, . . . , vk} para indicar a expansão linear de v1, . . . , vk. Assim,

no teorema anterior,

L{��!PQ} = {�

��!PQ : � 2 K}.


de dimensão finita de um espaço afim A.

1) Se F \ G 6= ; então

dimhF ,Gi = dimF + dimG � dim (F \ G) .

2) Se F \ G = ; então

dimhF ,Gi = 1 + dimF + dimG � dim (U \W ) .

Demonstração: Pelo Teorema ??, a dimensão de hF ,Gi é a dimensão do

subespaço vectorial L{��!PQ}+ U +W .

1) Se F \ G 6= ;, pelo Teorema ?? temos��!PQ 2 U + W e então

L{��!PQ} + U +W = U +W . Como, pelo Teorema das dimensões

de álgebra linear temos

dim (U +W ) = dimU + dimW � dim (U \W ) ,


e, pelo Teorema ??, temos dim (U \W ) = dim (F \ G), a afirmação

segue.

2) Como F \ G = ; temos, pelo Teorema ??, que

dim⇣L{

��!PQ}+ U +W

⌘= 1 + dim (U +W )

e o resultado segue pelo Teorema das dimensões de álgebra linear.

⇤O teorema anterior tem várias consequências imediatas, tais como:

• Se F e G são subespaços afins paralelos não contidos um no outro

com dimensões m, k com k m então dimhF ,Gi = m + 1. Em

particular, o subespaço afim gerado por duas rectas paralelas dis-

juntas tem dimensão 2.

• Uma recta e um hiperplano não paralelos intersectam-se num ponto.

• Dois hiperplanos diferentes ou são paralelos ou intersectam-se num

subespaço afim de codimensão 2. Em particular, num espaço afim

de dimensão 3 (e.g. R3) dois planos distintos ou são paralelos ou

a sua intersecção é uma recta.

• Se F é um m-plano e G um k-plano, o subespaço afim gerado por

F e G tem no máximo dimensão m+ k + 1.

Definição 1.18. Duas rectas dizem-se enviesadas se o subespaço ger-

ado por elas tiver dimensão 3 (a máxima posśıvel).

Seja A um espaço afim associado a um espaço vectorial V e

S = {P0, . . . , Pm}

um conjunto finito de pontos de A. Os pontos P0, ..., Pm dizem-se indepen-

dentes (do ponto de vista afim) se, fixando um deles, os m vectores com

origem nesse ponto e extremidade nos restantes forem linearmente indepen-

dentes. Note que, pela relação triangular, esta definição é independente do

ponto de S escolhido para origem dos vectores. Por exemplo, escolhendo P0,

os pontos P0, ..., Pm são independentes se os vectores��!P0P1, . . . ,

��!P0Pm forem

linearmente independentes.

Alternativamente, como o subespaço afim hSi gerado por S é dado por

hSi = hP0, . . . , Pmi = P0 + L{��!P0P1, . . . ,

��!P0Pm},

a sua dimensão é, no máximo, m e temos o seguinte resultado.

Teorema 1.19. Num espaço afim, k pontos são independentes se e só

se o subespaço afim gerado por eles tiver dimensão k � 1.


1.6. Combinações afins de pontos. Dado um espaço afim A, chama-

se combinação afim de pontos P0, ..., Pm de A a qualquer ponto P que se

pode escrever como

P = P0 +mX

i=1

ai��!P0Pi,

onde ai 2 K para todo o i 2 {1, . . . ,m}.

Em analogia com o espaço afim AK , considerando um outro ponto O 2 A

qualquer (que assume o papel de ”origem”), podemos escrever o ponto

P = P0 +mX

i=1

ai��!P0Pi

na forma

P = P0 +mX

i=1

ai��!P0Pi = O +

��!OP0 +

mX

i=1

ai⇣��!P0O +

��!OPi

⌘

= O +

1�

mX

i=1

ai

!��!OP0 +

mX

i=1

ai��!OPi = O +

mX

i=0

ai��!OPi,

onde a0 := 1�P

m

i=1 ai.

Esquecendo o ponto O, obtém-se uma notação homogénea para repre-

sentar uma combinação afim de pontos:

(1.3)mX

i=0

aiPi, commX

i=0

ai = 1,

com o significadomX

i=0

aiPi := P0 +mX

i=1

ai��!P0Pi,

ou, equivalentemente, escolhendo um ponto X 2 A qualquer,

mX

i=0

aiPi := X +mX

i=0

ai��!XPi.

Note que (??) é apenas uma notação para representar uma combinação

afim de pontos pois não se podem somar pontos de um espaço afim.

Nota 1.20. Se os pontos P0, . . . , Pm forem independentes então qualquer

elemento de hP0, . . . , Pmi pode ser escrito de forma única como

a0P0 + · · ·+ amPm commX

i=0

ai = 1.


Exemplo 1.21. Sejam P,Q,R pontos de um espaço afim A. A com-

binação afim1

2P +

5

2Q� 2R

representa o ponto

P +5

2

��!PQ� 2

�!PR

que pode escrever-se também como

Q+1

2

��!QP � 2

��!QR ou R+

1

2

�!RP +

5

2

��!RQ,

ou, em geral, para um ponto X 2 A qualquer,

X +1

2

��!XP +

5

2

��!XQ� 2

��!XR.

Exemplo 1.22. A recta r definida por dois pontos distintos P e Q pode

ser descrita como

r = P + L{��!PQ} = {P + �

��!PQ : � 2 K}

= {(1� �)P + �Q : � 2 K}

= {aP + bQ : a, b 2 K, a+ b = 1},

ou seja é o conjunto de todas as combinações afins de P e Q.

Em geral temos o seguinte resultado.

Teorema 1.23. O subespaço afim gerado por um conjunto S de A é o

conjunto de todas as combinações afins de pontos de S.

Demonstração: Seja P um ponto de S e hSi = P +W o subespaço afim

gerado por S.

Vejamos primeiro que qualquer combinação afim de pontos de S está em

hSi. Com efeito, se Q é uma combinação afim de pontos P0, . . . , Pm 2 S,

temos

Q = P0 +mX

i=1

ai��!P0Pi,

com ai 2 K, e então, como os vectores��!P0Pi estão em W , temos que Q 2 hSi.

Resta mostrar que o conjunto de todas as combinações afins de pontos

de S contém hSi. Como obviamente contém S, basta mostrar que é um

subespaço afim de A (pois hSi é o menor subespaço afim que contém S).


Seja U o subespaço vectorial de V gerado pelos vectores da forma��!PQ com

Q 2 S. Como qualquer combinação afim

R+kX

j=1

bj��!RPj

de pontos de S pode ser escrita na forma

R+kX

j=1

bj��!RPj = b0R+

kX

j=1

bjPj = P + b0�!PR+

kX

i=1

bj��!PPj ,

com b0 = 1 �P

k

i=1 bj , temos que qualquer combinação afim de pontos de

S está no subespaço afim P + U . Além disso, qualquer ponto de P + U

é uma combinação afim de pontos de S, pelo que o conjunto de todas as

combinações afins de pontos de S é o subespaço afim P + U . ⇤

1.7. Referenciais. Seja A um espaço afim de dimensão finita n asso-

ciado a um espaço vectorial V . Um referencial R em A é um conjunto

R := (O; {e1, . . . , en})

onde O é um ponto de A e B = {e1, . . . , en} uma base de V . O ponto O

chama-se a origem do referencial.

A escolha de um referencial permite-nos identificar os pontos de A com

elementos de Kn, da seguinte forma

P !��!OP !

��!OPB 2 K

n,

onde��!OPB é o vector de coordenadas de

��!OP em relação à base B. Com

efeito, dado um ponto P existe um único vector v tal que v =��!OP . Por

outro lado, como B é uma base de V , o vector v escreve-se de forma única

como v = a1e1 + a2e2 + · · · + anen, pelo que podemos identificar P com o

vector de coordenadas de v em relação à base B

P ! vB = (a1, . . . , an).

Diz-se que (a1, . . . , an) são as coordenadas de P em relação ao referencial

R = (O; {e1, . . . , en}) e escreve-se PR = (a1, . . . , an).

No espaço afim Kn , com a estrutura canónica, chama-se referencial

canónico ao referencial em que o ponto O é o elemento (0, . . . , 0) e a base

B é a base canónica {e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 1)}.

Exemplo 1.24. Num espaço afim real A de dimensão 3, seja

R = (O; {e1, e2, e3})


um referencial. As coordenadas do ponto P = O + 3e1 � 2e3 em relação a

R são PR = (3, 0,�2).

O ponto Q cujas coordenadas, em relação a R são QR = (5, 7, 9) é o

ponto Q = O + 5e1 + 7e2 + 9e3.

Exemplo 1.25. No espaço afim R2 seja R = (O; {e1, e2}) o referencial

em que O = (2, 3), e1 = (1, 1) e e2 = (1, 0).

Se P é o ponto (6, 3) (no referencial canónico), temos��!OP = (4, 0).

Como (4, 0) = 4e2, as coordenadas de P em relação ao referencial R são

PR = (0, 4).

O ponto Q com coordenadas QR = (2, 3) no referencial R é o ponto

Q = O + 2e1 + 3e2 = (2, 3) + (2, 2) + (3, 0) = (7, 5).

1.8. Sistemas de equações e subespaços afins.

Teorema 1.26. Seja A um espaço afim de dimensão n e R = (O; {e1, ..., en})

um referencial em A.

1. Seja

(1.4)

8>><

>>:

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1...

.

.

.

am1x1 + · · ·+ amnxn = bm

um sistema de m equações lineares nas incógnitas x1, ..., xn 2 K.

Se o sistema for posśıvel, o conjunto S de pontos de A, cujas coor-

denadas em relação a R são soluções do sistema, é um subespaço

afim com dimensão igual ao grau de indeterminação do sistema.

O subespaço vectorial U de direcções de S é o conjunto de vectores

cujas coordenadas em relação à base {e1, ..., en} são definidas pelo

sistema homogéneo associado, ou seja

(1.5)

8>><

>>:

a11x1 + · · ·+ a1nxn = 0...

.

.

.

am1x1 + · · ·+ amnxn = 0

2. Inversamente, se F é um subespaço afim de A de dimensão k,

existe um sistema de equações lineares a n incógnitas, posśıvel e

de caracteŕıstica n � k, tal que F é o o conjunto de pontos de A

cujas coordenadas em relação a R são soluções do sistema.


Demonstração: Considere-se emA o referencialR = (O;B = {e1, . . . , en}).

1. Sabemos que as soluções de um sistema linear não homogéneo se

obtêm somando a uma solução particular do sistema as soluções

do sistema homogéneo associado. Além disso, os vectores de V

cujas coordenadas na base B são soluções de um sistema linear

homogéneo, formam um subespaço vectorial de V de dimensão

igual à nulidade do sistema. Assim, se (c1, . . . , cn) é uma solução

particular do sistema não homogéneo (??) e P0 2 A é o ponto com

coordenadas no referencial R dadas por

(P0)R = (c1, . . . , cn),

temos que os pontos de A cujas coordenadas são soluções do sis-

tema (??) formam um subespaço afim S = P0 +W , onde W é o

subespaço vectorial de V formado pelos vectores cujas coordenadas

na base B são soluções do sistema homogéneo associado (??).

2. Seja W o espaço das direcções de um subespaço afim F = P0+W .

As coordenadas (x1, . . . , xn) dos vectores de W na base B satis-

fazem um sistema homogéneo de m = n � k equações indepen-

dentes

(1.6) A

0

BB@

x1...

xn

1

CCA = 0,

em que k = dimW e A é uma matriz m⇥ n. Se

(P0)R = (c1, . . . , cn)

forem as coordenadas do ponto P0 no referencial R, as coordenadas

de um ponto P 2 F são

PR = (x̃1, . . . , x̃n) = (c1, . . . , cn) + (x1, . . . , xn),

onde o vector de coordenadas (x1, . . . , xn) é solução do sistema

(??). Assim, (x̃1, . . . , x̃n) é solução do sistema

A

0

BB@

x̃1...

x̃n

1

CCA = A

0

BB@

c1...

cn

1

CCA .

⇤


Corolário 1.27. Um subconjunto F de um espaço afim A de dimensão

n é um subespaço afim se e só se for não vazio e o conjunto de coordenadas

dos pontos de F em relação a algum referencial for o conjunto solução de

um sistema de equações lineares a n incógnitas.

Exemplo 1.28. Seja A um espaço afim associado ao espaço vectorial

real V de dimensão 4 e seja R = (O;B) um referencial de A, onde B é uma

base {e1, e2, e3, e4} de V . Consideremos o subespaço afim F = P +W onde

P é o ponto

P = O + (e1 + 2e2 + 3e3 + 4e4)

e W é a expansão linear dos vectores

v1 := 2e1 � e2, v2 := e2 � e4 e v3 := 4e1 � 2e4.

As coordenadas de P em relação a R são PR = (1, 2, 3, 4), enquanto que

(v1)B = (2,�1, 0, 0), (v2)B = (0, 1, 0,�1) e (v3)B = (4, 0, 0,�2).

Consideremos a matriz

A =

2

6664

2 0 4

�1 1 0

0 0 0

0 �1 �2

3

7775.

Um vector v de coordenadas vB = (x, y, z, w) pertence à expansão linear

de v1, v2, v3 se e só se a caracteŕıstica da matriz

A0 :=

2

6664

2 0 4 x

�1 1 0 y

0 0 0 z

0 �1 �2 w

3

7775

é igual à caracteŕıstica da matriz A. Reduzindo a matriz A0 à forma de

escada de linhas, obtemos

B =

2

6664

�1 1 0 y

0 �1 �2 w

0 0 0 x+ 2y + 2w

0 0 0 z

3

7775.

Como a caracteŕıstica de A é igual a 2 conclúımos que F é um plano e que

um vector v de coordenadas vB = (x, y, z, w) pertence à expansão linear de

2. ESPAÇOS AFINS REAIS 19

v1, v2, v3 se e só z = 0 e x+ 2y + 2w = 0. Então o subespaço vectorial W é

W = {x e1 + y e2 + z e3 + w e4 : x, y, z, w 2 R, z = 0 e x+ 2y + 2w = 0}

= L{�2e1 + e2,�2e1 + e4}.

Como o ponto P 2 F e as coordenadas de P em relação a R são

(1, 2, 3, 4), o subespaço F é dado por

F = {O+x e1+y e2+z e3+w e4 : x, y, z, w 2 R z = 3 e x+2y+2w = 13}.

2. Espaços afins reais

2.1. Algumas definições. Seja A um espaço afim real.

Definição 2.1. Dados dois pontos distintos P,Q de A o segmento de

recta com extremidades P e Q (ou definido por P e Q) é o conjunto

[PQ] := {X 2 A : X = P + ��!PQ, 0 � 1}.

Nota 2.2. Em notação homogénea

[PQ] := {X 2 A : X = aP + bQ, a � 0, b � 0, a+ b = 1}.

A

P Q

Figura 1.4. Segmento de recta com extremidades P e Q

Definição 2.3. Dados dois pontos distintos P e Q de A, o ponto

médio do segmento de recta [PQ] é o ponto M := P + 12��!PQ (ou seja o

ponto M = 12P +12Q).

Definição 2.4. Dados dois pontos distintos P,Q 2 A a semi-recta

com origem em P que passa em Q (ou com origem em P e direcção��!PQ), é o conjunto

{X 2 A : X = P + ��!PQ, � � 0}.


A

M

P Q

Figura 1.5. Ponto médio do segmento de recta [PQ]

A

P Q

Figura 1.6. Semi-recta com origem em P e que passa em Q

Definição 2.5. Dados três pontos distintos P,Q,R 2 A o paralelo-

gramo (PQR) é o conjunto

{X 2 A : X = P + ��!PQ+ µ

�!PR, 0 �, µ 1}.

A

P Q

R

Figura 1.7. Paralelogramo (PQR)

Nota 2.6. O paralelogramo (QPR) é diferente do paralelogramo (PQR).


A

P Q

R

Figura 1.8. Paralelogramo (QPR)

Definição 2.7. Dados m + 1 pontos independentes P0, . . . , Pm 2 A o

m-simplex definido por P0, . . . , Pm é o conjunto

{X 2 A : X = P0 + a1��!P0P1+a2

��!P0P2 + · · ·+ am

��!P0Pm,

0 a1, . . . , am, a1 + · · ·+ am 1}.

Nota 2.8. Em notação homogénea um m-simplex é dado por

{X 2 A : X = a0P0+a1P1 + · · ·+ amPm,

a0, a1, . . . , am � 0 e a0 + a1 + · · ·+ am = 1}.

Note-se que um 1-simplex é exactamente um segmento de recta e um

0-simplex é um ponto.

Dado um m-simplex definido por m+ 1 pontos independentes

P0, . . . , Pm 2 A,

chamam-se vértices do simplex aos pontos P0, . . . , Pm. Qualquer subcon-

junto de {P0, . . . , Pm} com k+1 pontos (k < m) define um k-simplex, a que

se dá o nome de face do m-simplex. Uma aresta do simplex é uma face

que é um 1-simplex.

Um 3-simplex pode chamar-se um tetraedro e um 2-simplex um tri-

ângulo. Dado um triângulo de vértices P , Q e R, os segmentos de recta

[PQ], [PR] e [RQ] dizem-se os lados do triângulo.

Definição 2.9. Uma mediana de um triângulo é uma recta que passa

por um vértice do triângulo e pelo ponto médio do lado oposto (i.e. o lado

que não contém esse vértice).

Um triângulo tem exactamente três medianas e estas satisfazem a seguinte

propriedade.


Figura 1.9. 3-simplex definido pelos pontos P0, P1, P2 e P3.

Teorema 2.10. As três medianas de um triângulo intersectam-se num

mesmo ponto.

Demonstração: Sejam P0, P1, P2 os vértices do triângulo. Basta verificar

que o ponto B := 13P0 +13P1 +

13P2 (em notação homogénea) pertence às

três medianas. ⇤

P0

P2

P1

Figura 1.10. As três medianas de um triângulo.

Definição 2.11. O centroide, equibaricentro ou centro geométrico

de um triângulo é o ponto de interseção das três medianas.

As noções acima só fazem sentido para espaços afins sobre corpos de

escalares em que haja uma relação de ordem (como R ou Q) em que se

possa dizer que um escalar é menor que outro. Por exemplo, se A for um

espaço afim complexo, não podemos definir um segmento de recta.


Nota 2.12. Claro que, dados dois pontos P,Q de um espaço afim com-

plexo A podemos considerar o conjunto

{X 2 A : X = P + ��!PQ, com � 2 R e 0 � 1},

mas este não é um segmento da recta complexa que passa em P e Q.

Há, no entanto, noções que se podem adaptar para espaços afins sobre

outros corpos. Por exemplo, o ponto médio de dois pontos distintos P e

Q pode ser definido (mesmo não sendo posśıvel definir segmento de recta)

como o ponto M := P + 12��!PQ. Em qualquer corpo K existe uma identidade

1 para a multiplicação, e o escalar 12 significa o inverso de 1 + 1. Assim, o

ponto médio está definido desde que, em K, o elemento 1+1 não seja o zero

de K (ver Apêndice ??).

Em geral, num espaço afim real ou complexo temos a seguinte definição.

Definição 2.13. Dados k pontos distintos P0, . . . , Pk�1 de um espaço

afim real ou complexo chama-se centroide, equibaricentro ou centro

geométrico dos k pontos ao ponto

B :=1

kP0 + · · ·+

1

kPk�1.

2.2. Conjuntos convexos.

Definição 2.14. Um subconjunto C de um espaço afim real diz-se um

conjunto convexo se, para quaisquer dois pontos P,Q 2 C, o segmento de

recta [PQ] está contido em C.

Da definição de conjunto convexo segue obviamente que a intersecção de

dois conjuntos convexos é ainda um conjunto convexo. Em geral tem-se o

seguinte resultado.

Teorema 2.15. A intersecção de conjuntos convexos de um mesmo

espaço afim real A é ainda um conjunto convexo.

Demonstração: Seja {C↵}, com ↵ 2 I uma famı́lia qualquer de conjuntos

convexos de A. Se P,Q 2 \↵2IC↵ então P,Q 2 C↵ para qualquer ↵ 2 I.

Como, por hipótese, cada C↵ é um conjunto convexo, para todo o ↵ 2 I,

temos que

[PQ] ✓ C↵, 8↵ 2 I

e então [PQ] ✓ \↵2IC↵. Conclui-se assim que o conjunto \↵2IC↵ é convexo.

⇤


Nota 2.16. A união de dois conjuntos convexos não é, em geral, um

conjunto convexo.

Definição 2.17. Num espaço afim real A, o fecho convexo (ou invó-

lucro convexo), bS, de um conjunto S ✓ A é a intersecção de todos os con-juntos convexos de A que contêm S. É portanto o menor conjunto convexo

que contém S.

Definição 2.18. Dados m+1 pontos P0, . . . , Pm de um espaço afim real

A, um ponto Q diz-se uma combinação convexa dos pontos P0, . . . , Pmse

Q =mX

i=0

bi Pi

com bi � 0 para todo o i 2 {1, . . . ,m} eP

m

i=0 bi = 1.

Em notação não homogénea, uma combinação convexa de pontos é dada

por

Q = P0 +mX

i=1

bi��!P0Pi com bi � 0, 8i = 1, . . . ,m e

mX

i=1

bi 1.

Nota 2.19. O conjunto de todas as combinações convexas de dois

pontos distintos P,Q 2 A é exactamente o segmento de recta [PQ].

Teorema 2.20. Um subconjunto C de um espaço afim real A é convexo

se e só se contém todas as combinações convexas de pontos de C.

Demonstração: Suponhamos que um conjunto C contém todas as com-

binações convexas dos seus pontos. Em particular, para quaisquer P,Q 2 C,

o segmento [PQ] está contido em C, pelo que C é convexo.

Por outro lado, se C é convexo, vamos mostrar por indução no número

m de pontos de uma combinação convexa, que qualquer combinação convexa

de m pontos de C pertence a C.

Obviamente, por definição de conjunto convexo, uma combinação con-

vexa de dois pontos de C está em C. Seja

Q =mX

i=0

bi Pi com bi � 0, 8i = 1, . . . ,m emX

i=0

bi = 1

uma combinação convexa de m+ 1 pontos P0, . . . , Pm 2 C e tome-se como

hipótese de indução que qualquer combinação convexa dem ou menos pontos

de C está em C.


Considerando b :=P

m�1i=0 bi temos bm = 1 � b. Como qualquer com-

binação convexa de m ou menos pontos de C está em C, podemos supor

que bi 6= 0 para todo o i = 0, . . . ,m e portanto b 6= 0. Então tem-se

Q = b

m�1X

i=0

1

bbi Pi

!+ (1� b)Pm.

Como R :=P

i=m�1i=0

1bbi Pi é uma combinação convexa dos m pontos

P0, . . . , Pm�1 2 C,

então, por hipótese de indução, pertence a C. Como Q = bR+(1�b)Pm per-

tence ao segmento de recta [RPm] e C é convexo, conclui-se que Q pertence

a C. ⇤

Corolário 2.21. O fecho convexo bS de qualquer conjunto S ✓ A é oconjunto de todas as combinações convexas de pontos de S.

Exemplo 2.22. Os conjuntos seguintes são convexos:

• qualquer segmento de recta;

• qualquer semi-recta;

• qualquer m-simplex;

• qualquer m-plano.

Nota 2.23. O fecho convexo de m + 1 pontos independentes é exacta-

mente o m-simplex definido por esses pontos.

2.3. Divisão por hiperplanos.

Definição 2.24. Seja H um hiperplano de um espaço afim real A de

dimensão finita. Diz-se que dois pontos P,Q 62 H estão do mesmo lado de

H se o segmento de recta [PQ] não intersecta H.

Pode demonstrar-se que a relação entre pontos de A \H definida por

P ⇠ Q se P = Q ou [PQ] \H = ;

é uma relação de equivalência com exactamente duas classes de equivalência

(ou seja um hiperplano tem exactamente dois lados).

Se dimA = n e o hiperplano H for definido em relação a um referencial

R de A pela equação

a1x1 + · · ·+ anxn = b,


então estas classes de equivalência são exactamente os conjuntos

H+ := {P 2 A : PR = (x1, . . . , xn) satisfaz a1x1 + · · ·+ anxn � b > 0}

H� := {P 2 A : PR = (x1, . . . , xn) satisfaz a1x1 + · · ·+ anxn � b < 0}.

Cada uma destas classes de equivalência chama-se semi-espaço aberto

definido por H.

Um semi-espaço fechado definido por H é a união de H com um

semi-espaço aberto definido por H, ou seja,

H+0 := {P 2 A : PR = (x1, . . . , xn) satisfaz a1x1 + · · ·+ anxn � b � 0}

H�

0 := {P 2 A : PR = (x1, . . . , xn) satisfaz a1x1 + · · ·+ anxn � b 0}.

Um semi-espaço aberto ou fechado é sempre um conjunto convexo.

3. Aplicações afins

Definição 3.1. Sejam A e B dois espaços afins associados a espaços

vectoriais V e W respectivamente. Uma aplicação : A ! B diz-se uma

aplicação afim se existe um ponto P 2 A e uma aplicação linear f : V !

W tais que��! (P ) (Q) = f(

��!PQ)

para todo o ponto Q 2 A.

A

PPQ

Q

B

yHPLyHPLyHQL yHQL

Figura 1.11. Aplicações Afins

Nota 3.2. A aplicação linear f não depende da escolha do ponto P .

Com efeito, se P 0 for um outro ponto de A qualquer, temos��! (P 0) (Q) =

��! (P 0) (P ) +

��! (P ) (Q) = �

��! (P ) (P 0) +

��! (P ) (Q)

= �f(��!PP 0) + f(

��!PQ) = f(

��!P 0P ) + f(

��!PQ) = f(

��!P 0Q),

3. APLICAÇÕES AFINS 27

onde usámos a relação triangular e a linearidade de f . Como f depende

apenas de chamamos-lhe�! , a aplicação linear associada à aplicação

afim . Então temos��! (P ) (Q) =

�! (

��!PQ)

para todos os pontos P,Q 2 A.

Em particular,��! (P ) (P + u) =

�! (u),

para todo o P 2 A e u 2 V , pelo que

(3.1) (P + u) = (P ) +�! (u).

Proposição 3.3. A composta de duas aplicações afins é uma aplicação

afim com aplicação linear associada a composta das aplicações lineares as-

sociadas a cada uma das aplicações afins.

Demonstração: Sejam : A ! B e � : B ! C duas aplicações afins e

P, P 0 dois pontos de A quaisquer. Se Q = (P ) e Q0 = (P 0), então

��!(� � ) (P ) (� � ) (P 0) =

��!�( (P ))�( (P 0)) =

�!� (

��! (P ) (P 0))

=�!� (

�! (

��!PP 0)) =

⇣�!� �

�! ⌘(��!PP 0).

Conclui-se assim que � � : A ! C é uma aplicação afim e que

��!� � =

�!� �

�! .

⇤

Exemplo 3.4.

1. Se A = B e�! : V ! V é a identidade, temos

��! (P ) (Q) =

�! (

��!PQ) =

��!PQ, 8P,Q 2 A.

Então, pela regra do paralelogramo, temos

��!P (P ) =

��!Q (Q), 8P,Q 2 A,

pelo que��!P (P ) é um vector constante u 2 V e

(P ) = P + u, 8P 2 A.

A aplicação é então a translação associada ao vector u.


AP

Q yHQL

yHPLu

u

Figura 1.12. Translação associada ao vector u

2. Seja P0 um ponto deA e � 2 K um escalar. A aplicação : A ! A

definida por

(3.2) (P ) = P0 + ��!P0P

fixa P0 e satisfaz

��! (P0) (P ) = �

��!P0P , 8P 2 A.

Conclui-se assim que é uma aplicação afim com aplicação linear

associada�! : V ! V dada por

�! (v) = �v.

A aplicação definida por (??) designa-se por dilatação de cen-

tro P0 e factor �.

Como a imagem de um subespaço vectorial por uma aplicação linear é

um subespaço vectorial temos o seguinte resultado.

Proposição 3.5. A imagem de um subespaço afim por uma aplicação

afim é um subespaço afim.

Demonstração: Seja : A ! B uma aplicação afim e F = P + W um

subespaço afim de A. Então (F) é o subespaço afim de B

(F) = (P ) +�! (W ).

Com efeito, se Q 2 F , existe um vector w 2 W tal que Q = P + w. Então,

por (??) temos

(Q) = (P ) +�! (w),

pelo que (F) ✓ (P ) +�! (W ).


Por outro lado, se R 2 (P ) +�! (W ), existe um vector w 2 W tal que

R = (P ) +�! (w) = (P + w),

pelo que R 2 (F) e então (P ) +�! (W ) ✓ (F). ⇤

Nota 3.6. Como a imagem de um subespaço vectorial por uma aplicação

linear tem dimensão menor ou igual à dimensão do subespaço inicial, conclui-

se que

dim (F) dimF

Corolário 3.7. Uma aplicação afim transforma pontos colineares em

pontos colineares.

3.1. Aplicações afins e referenciais.

Proposição 3.8. Seja : A ! B uma aplicação afim, onde A é um

espaço afim de dimensão finita n e R := (O;B) um referencial em A, com

B = {e1, . . . , en} uma base do espaço vectorial associado a A. A aplicação

é determinada pela imagem (O) da origem do referencial e pelas imagens�! (ei) dos vectors da base B pela aplicação linear associada a .

Demonstração: Seja : A ! B uma aplicação afim, onde A é um espaço

afim de dimensão finita n e R := (O; {e1, . . . , en}) é um referencial em

A. A aplicação fica completamente determinada pelas imagens (O) e�! (e1), . . . ,

�! (en). Com efeito, se PR = (a1, . . . , an) são as coordenadas de

um ponto P no referencial R temos

��!OP =

nX

i=1

aiei

e

(P ) = (O) +�! (

��!OP ) = (O) +

nX

i=1

ai�! (ei).

⇤Seja : A ! B uma aplicação afim entre espaços afins de dimensão finita

n e m respectivamente, e R,R0 referenciais em A e em B. Se representarmos

por (x1, . . . , xn) as coordenadas dos pontos de A no referencial R e por

(y1, . . . , ym) as coordenadas dos pontos de B no referencial R0 podemos usar

estas coordenadas e pensar em como uma aplicação afim

Kn ! Km.


Assim, se (x1, . . . , xn) são as coordenadas de um ponto P 2 A e (y1, . . . , ym)

as coordenadas do ponto (P ), temos

( (P ))R0 = ( (O))R0 +nX

i=1

xi(�! (ei))B0 ,

onde R = (O; {e1, . . . , en}), e então0

BB@

y1...

ym

1

CCA = A

0

BB@

x1...

xn

1

CCA+

0

BB@

b1...

bm

1

CCA ,

onde A é a matriz m⇥n cujas colunas são as coordenadas ( (ei))B0 dos vec-

tores (ei) na base B0, para i = 1, . . . , n, e (b1, . . . , bm) são as coordenadas

( (O))R0 no referencial R0.

3.2. Pontos Fixos. Como uma aplicação afim fica determinada pela

imagem da origem de um referencial em conjunto com as imagens dos vec-

tores da base do referencial pela aplicação linear correspondente, temos o

seguinte resultado.

Proposição 3.9. A única aplicação afim dum espaço afim de dimensão

n nele próprio que fixa n+ 1 pontos independentes é a identidade.

Demonstração: Seja : A ! A uma aplicação afim num espaço afim de

dimensão n e P0, . . . , Pn pontos independentes de A fixos por . Considere-

se em A o referencial

R =⇣P0; {

��!P0P1, . . . ,

��!P0Pn}

⌘.

Dado um ponto P 2 A, sejam PR = (a1, . . . , an) as coordenadas de P no

referencial R. Então

(P ) = (P0) +�! (

��!P0P ) = (P0) +

nX

i=1

ai�! (

��!P0Pi)

= P0 +nX

i=1

ai��! (P0) (Pi) = P0 +

nX

i=1

ai��!P0Pi = P,

pelo que é a identidade. ⇤

Nota 3.10. Uma aplicação afim dum plano nele próprio que fixa 3 pon-

tos não colineares é a identidade.

Analogamente temos o seguinte resultado mais geral.


Proposição 3.11. Se uma aplicação afim : A ! A fixa os pontos

P0, . . . , Pk 2 A então fixa todos os pontos de hP0, . . . , Pki.

Em particular, se uma aplicação afim fixa dois pontos distintos P,Q 2 A

fixa também todos os pontos da recta que passa por P e Q.

3.3. O grupo afim.

Proposição 3.12. Sejam A e B espaços afins associados a espaços vec-

toriais V e W respectivamente. Uma aplicação afim : A ! B é bijectiva

se e só se a aplicação linear associada�! : V ! W é bijectiva.

Além disso, se é bijectiva, então �1 : B ! A é uma aplicação afim e

a aplicação linear associada é

��!

�1 =⇣�! ⌘�1

.

Demonstração: Seja P0 um ponto de A.

Se�! é bijectiva então, para todo o P 2 A e Q 2 B, temos

(P ) = Q ,��! (P0) (P ) =

��! (P0)Q ,

�! (

��!P0P ) =

��! (P0)Q

,��!P0P = (

�! )�1(

��! (P0)Q) , P0 +

��!P0P = P0 + (

�! )�1(

��! (P0)Q)

, P = P0 + (�! )�1(

��! (P0)Q),

pelo que, para todo o Q 2 B existe um único P 2 A tal que (P ) = Q.

Conclui-se assim que é bijectiva e que a sua inversa é dada por

�1(Q) = P0 + (�! )�1(

��! (P0)Q).

Conversamente, se é bijectiva, então, para todo o v 2 V e w 2 W ,

temos�! (v) = w , (P0) +

�! (v) = (P0) + w , (P0 + v) = (P0) + w

, P0 + v = �1( (P0) + w) , v =

��!

P0 �1( (P0) + w),

pelo que, para todo o w 2 W existe um único v 2 V tal que�! (v) = w.

Conclui-se assim que�! é bijectiva.

Se é bijectiva então, dados Q0, Q1 2 B, temos

�!

✓��!

�1(Q0) �1(Q1)

◆=

��!

( �1(Q0)) ( �1(Q1)) =

��!Q0Q1,

pelo que��!

�1(Q0) �1(Q1) = (

�! )�1(

��!Q0Q1).

Conclui-se assim que �1 é uma aplicação afim e que��! �1 = (

�! )�1. ⇤


Exemplo 3.13. Seja : R2 ! R2 a aplicação afim definida por

(x, y) =

"2 6

2 4

# x

y

!+

6

�4

!.

A aplicação linear associada a é a aplicação�! : R2 ! R2 dada por

�! (x, y) =

"2 6

2 4

# x

y

!.

Como

det

"2 6

2 4

#= �4 6= 0,

temos que e�! são bijectivas. Sendo A a matriz A :=

"2 6

2 4

#, temos

(x, y) =

u

v

!, A

x

y

!+

6

�4

!=

u

v

!

, A

x

y

!=

u� 6

v + 4

!,

x

y

!= A�1

u� 6

v + 4

!

e então

�1(u, v) = A�1

u� 6

v + 4

!=

"�1 3/2

1/2 �1/2

# u� 6

v + 4

!

=

�u+ 3/2 v + 12

u/2� v/2� 5

!.

A aplicação linear associada a �1 é a aplicação (�! )�1 : R2 ! R2 dada por

(�! )�1(x, y) =

"�1 3/2

1/2 �1/2

# x

y

!.

Se A é um espaço afim, o conjunto GAf(A) de todas as aplicações afins

bijectivas de A nele próprio com a composição de aplicações forma um grupo

(ver Apêndice ??), denominado grupo afim de A. Com efeito,

• pela Proposição ??, o conjunto GAf(A) é fechado para a com-

posição de aplicações;

• a composição de aplicações é associativa;

• a identidade idA : A ! A é uma aplicação afim bijectiva e é o

elemento neutro da composição;

• pela Proposição ?? os elementos deGAf(A) têm inversa emGAf(A).

Os elementos de GAf(A) denominam-se isomorfismos afins.

CAPÍTULO 2

Geometria Euclidiana

1. Espaços afins euclidianos

Definição 1.1. Um espaço afim A associado a um espaço vectorial real

V de dimensão finita diz-se um espaço afim euclidiano se em V estiver

fixo um produto interno.

No que se segue E é usado para denotar um espaço afim euclidiano

associado a um espaço vectorial V real de dimensão finita n.

Definição 1.2. Um referencial R = (O;B) de E diz-se um referen-

cial ortogonal se B é uma base ortogonal de V . O referencial diz-se um

referencial ortonormado se B é uma base ortonormada de V .

Definição 1.3. Dado um hiperplano H = P +W de E, um vector não

nulo v 2 V diz-se um vector normal a H se v 2 W?. Se v é um vector

normal a H e v tem norma 1, diz-se um vector unitário normal a H.

Proposição 1.4. Seja H um hiperplano de E definido em relação a um

referencial ortonormado R = (O;B) de E pela equação

(1.1) a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b.

Então, um vector v 2 V não nulo é um vector normal a H se e só se o

vector de coordenadas vB de v em relação à base B satisfaz

vB = �(a1, ..., an),

para algum número real � 6= 0.

Demonstração: Seja W o espaço das direcções de H e v 2 V um vector

com coordenadas na base B = {e1, . . . , en} dadas por vB = (a1, . . . , an).

Seja w um vector qualquer de W e wB = (x1, . . . , xn) as suas coordenadas

na base B. Note que, como w 2 W , as suas coordenadas satisfazem a

equação homogénea associada a (??), isto é

(1.2) a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = 0.

33

34 2. GEOMETRIA EUCLIDIANA

Então temos

hv, wi =

*nX

i=1

aiei,nX

j=1

xjej

+=

nX

i=1

ai

*ei,

nX

j=1

xjej

+

=nX

i,j=1

ai xjhei, eji =nX

i=1

aixi = 0,

pois B é uma base ortonormada. Conclui-se assim que v 2 W?. Como

dimW? = 1, o resultado segue. ⇤

Definição 1.5. Dado um subespaço afim F = Q + U de E, uma recta

r = P + L{w} diz-se perpendicular a F se w 2 U?.

Nota 1.6. Duas rectas r = P+L{u} e s = Q+L{v} são perpendiculares

se e só se os vectores u e v são ortogonais.

Definição 1.7. Uma recta perpendicular a um hiperplano H diz-se um

eixo de H.

Nota 1.8. Uma recta r = P + L{w} é um eixo de H se e só se w é um

vector normal a H.

Definição 1.9. Dois hiperplanos H1 e H2 dizem-se perpendiculares

se tiverem eixos perpendiculares.

Proposição 1.10. Seja H um hiperplano de E. Por um ponto P 2 E

passa um e um só eixo de H.

Demonstração: ComoH é um hiperplano temos que dimW? = 1 e então

qualquer eixo de H tem espaço de direções W?. Assim, a recta r = P +W?

é o único eixo de H que passa em P . ⇤

Nota 1.11. A Proposição ?? não é verdadeira se substituirmos hiper-

plano por um subespaço afim arbitrário. Por exemplo, em R4 com o produto

interno usual, considere-se o plano

F := (0, 3, 0, 0) + L{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}.

As rectas r := (3, 2, 1, 0) + L{(0, 0, 0, 1)} e s := (3, 2, 1, 0) + L{(0, 0, 1, 1)}

passam ambas pelo ponto (3, 2, 1, 0) e são ambas perpendiculares a F .

2. DISTÂNCIAS E ÂNGULOS 35

2. Distâncias e ângulos

Num espaço afim euclidiano é posśıvel definir a noção de distância e de

(medida de) ângulo.

Dados dois pontos P,Q 2 E , a distância d(P,Q) entre P e Q é dada

por

d(P,Q) := k��!PQk.

A função d : E ⇥ E ! R assim definida tem as seguintes propriedades.

Proposição 2.1. Sejam P,Q,R 2 E pontos quaisquer de E e u 2 V um

vector qualquer. Então,

1) d(P,Q) = d(Q,P );

2) d(P,Q) � 0 e d(P,Q) = 0 se e só se P = Q;

3) d(P,Q) = d(P + u,Q+ u);

4) d(P,Q) d(P,R) + d(R,Q) (desigualdade triangular).

Demonstração: As propriedades 1) e 2) são consequência imediata das

definições e propriedades de espaço afim e de norma de um vector. A pro-

priedade 3) é consequência da Regra do Paralelogramo pois��!PQ =

��!(P + u)(Q+ u).

Finalmente, para provar 4) temos��!PQ =

�!PR+

��!RQ, pelo que

k��!PQk2 = k

�!PR+

��!RQk2 = h

�!PR+

��!RQ,

�!PR+

��!RQi

= h�!PR,

�!PRi+ h

��!RQ,

��!RQi+ 2h

�!PR,

��!RQi

= k�!PRk2 + k

��!RQk2 + 2h

�!PR,

��!RQi

k�!PRk2 + k

��!RQk2 + 2|h

�!PR,

��!RQi|

k�!PRk2 + k

��!RQk2 + 2k

�!PRkk

��!RQk =

⇣k�!PRk+ k

��!RQk

⌘2,

onde usámos a desigualdade de Cauchy-Schwarz,

(2.1) |hu, vi| kukkvk, 8u, v 2 V.

⇤

Nota 2.2. A igualdade em 4) ocorre exactamente quando h�!PR,

��!RQi � 0

e temos igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz (??), isto é quando

os vectores�!PR e

��!RQ têm a mesma direcção e sentido.

Definição 2.3. O comprimento de um segmento de recta [PQ] é a

distância d(P,Q) entre P e Q.


Usando a noção de distância é posśıvel caracterizar os pontos de um

segmento de recta.

Proposição 2.4. Sejam P e Q dois pontos distintos de E. Um ponto S

de E pertence a [PQ] se e só se

d(P, S) + d(S,Q) = d(P,Q).

Demonstração: Seja S 2 [PQ]. Então S pode ser escrito como com-

binação convexa S = aP + bQ, onde a, b � 0 e a + b = 1. Assim,

S = P + b��!PQ = Q+ a

��!QP , pelo que

d(P, S) = b k��!PQk e d(S,Q) = a k

��!QPk = ak

��!PQk,

e então

d(P, S) + d(S,Q) = (a+ b)k��!PQk = k

��!PQk = d(P,Q).

Conversamente, se P,Q e S são tais que

d(P, S) + d(S,Q) = d(P,Q),

então, pela Nota ??, temos que os vectores�!PS e

�!SQ têm a mesma direcção

e sentido. Assim, existe µ � 0 tal que

�!PS = µ

�!SQ,

pelo que��!PQ =

�!PS +

�!SQ = (1 + µ)

�!SQ,

e então�!QS =

1

1 + µ

��!QP e

�!PS =

µ

1 + µ

��!PQ.

Conclui-se que

S = aP + bQ

com

a =1

1 + µe b =

µ

1 + µ.

(note que a+ b = 1) e então, como a, b � 0, temos que S 2 [PQ]. ⇤O produto interno em V permite-nos também definir noções de medida

de ângulo.

Definição 2.5. Dadas duas rectas l e m de E, define-se o ângulo

](l,m) entre l e m, como sendo o menor dos ângulos ](u, v), onde u éum vector director de l e v é um vector director de m.

3. DISTÂNCIAS ENTRE SUBESPAÇOS AFINS 37

Assim

](l,m) = ↵ 2 [0, ⇡2] com cos↵ =

|hu, vi|

||u|| ||v||.

Definição 2.6. Dada uma recta l e um hiperplano H, define-se o ângulo

](l,H) entre l e H, como sendo

](l,H) := ⇡2� ](l,m),

onde m é um eixo de H.

Definição 2.7. Dados dois hiperplanos H1 e H2 , define-se o ângulo

](H1,H2) entre H1 e H2, como sendo

](H1,H2) := ](l,m),

onde l é um eixo de H1 e m é um eixo de H2.

3. Distâncias entre subespaços afins

Para definir o conceito de distância entre dois subespaços afins num

espaço afim euclidiano E precisamos do seguinte resultado.

Proposição 3.1. Sejam F = P +U e G = Q+W dois subespaços afins

de E associados aos subespaços vectoriais U e W respectivamente e tais que

F \ G = ;. Então,

i) existe uma recta r = X + L{v} com v 2 U? \W? que intersecta

F e G;

ii) para qualquer recta r que satisfaz i), se S e T são os pontos

S = r \ F e T = r \ G,

então d(S, T ) d(M,N), para todos os pontos M 2 F , N 2 G.

Demonstração: i) Como, por hipótese, F \G = ;, o vector��!PQ /2 U+W

(ver o Teorema ?? sobre intersecções de subespaços afins).

Consideremos então o subespaço vectorial V0 de V gerado por��!PQ e

U +W , i.e.

V0 := L{��!PQ}+ U +W.

O complemento ortogonal V1 de U +W em V0, i.e. o subespaço

V1 := V0 \ U?\W?,

tem dimensão 1 e, como��!PQ 2 V0, podemos escrever

��!PQ = u+ w + v, com

u 2 U , w 2 W e v 2 V1. Como��!PQ /2 U + V , temos que v 6= 0, pelo que v é

um gerador de V1.


Seja r a recta r := (P + u) + V1. Pela construção de V1, a recta r é

perpendicular a F e G. Como u 2 U e w 2 W , temos que

P + u 2 r \ F e Q� w = P + u+ v 2 r \ G.

Note que, como r não é paralela a F nem a G, esta recta intersecta F e

G apenas em P + u e Q� u respectivamente. Conclui-se assim que a recta

r satisfaz i).

ii) Suponhamos agora que r é uma recta, cuja direcção é ortogonal a U

e V , e que intersecta F e G nos pontos S e T respectivamente. Dados os

pontos M 2 F e N 2 G, temos

d(M,N)2 = k��!MNk2 = k

��!MS +

�!ST +

��!TNk2

= h��!MS +

�!ST +

��!TN,

��!MS +

�!ST +

��!TNi

= h��!MS +

��!TN,

��!MS +

��!TNi+ 2h

��!MS,

�!ST i+ 2h

��!TN,

�!ST i+ k

�!STk2.

Como��!TN 2 W ,

��!MS 2 U e

�!ST 2 U? \W?, esta última expressão reduz-se

a

k��!MS +

��!TNk2 + k

�!STk2,

pelo que

d(M,N)2 = d(S, T )2 + k��!MS +

��!TNk2,

e então d(S, T ) d(M,N). ⇤Como consequência desta proposição temos que, dados dois subespaços

afins F e G de um espaço afim euclidiano E , o conjunto de números reais

D = {d(P,Q) : P 2 F , Q 2 G}

tem sempre um mı́nimo.

Definição 3.2. Dados dois subespaços afins F e G de E define-se a

distância d(F ,G) entre F e G, como sendo o mı́nimo do conjunto

d(F ,G) := min {d(P,Q) : P 2 F , Q 2 G}.

Nota 3.3. Claramente d(F ,G) = 0 se e só se F \ G 6= ;.

Exemplo 3.4.

1) Pela Proposição ?? e pela Definição ?? temos que em R2 a distância

de um ponto P a uma recta r é a distância de P ao ponto Q em

que a recta perpendicular a r que passa por P intersecta r (ver

Figura ??).

3. DISTÂNCIAS ENTRE SUBESPAÇOS AFINS 39

R2

d

P

Q

r

Figura 2.1. Distância de um ponto P a uma recta r de R2.

2) Da mesma forma, temos que em R2 a distância entre duas rectas

paralelas se calcula determinando a distância de um ponto de uma

das rectas à outra recta (ver Figura ??).

R2

d

P

Q

Figura 2.2. Distância entre duas rectas paralelas de R2.

3) A distância de um ponto P 2 E a um hiperplano H é a distância de

P ao ponto Q em que o único eixo de H que passa por P intersecta

H (ver Figura ??).

4) A Proposição ?? diz-nos que por um ponto P 2 E , não pertencente

a uma recta r, passa uma recta s que intersecta r e é perpendicular

a r. Assim temos d(P, r) = d(P,Q), onde Q = r \ s. Note que

existe apenas um única recta s perpendicular a r que passa em P e

intersecta r. Com efeito, esta recta s está necessariamente contida

no hiperplano H que passa em P e é perpendicular a r, e s tem

de passar no ponto P e no ponto de intersecção Q = H \ r (ver

Figura ??).


Figura 2.3. Distância entre um ponto P e um hiperplano

H de R3.

Figura 2.4. Distância entre um ponto P e uma recta r de R3.

5) Dadas duas rectas r, s em, se r e s forem concorrentes temos

d(r, s) = 0. Se forem paralelas a distância de r a s é dada por

d(r, s) = d(P,Q), onde P e Q são os pontos em que um hiperplano

H perpendicular a r e a s intersecta r e s respectivamente. Se as

rectas forem enviesadas a distância de r a s calcula-se aplicando

a Proposição ?? e a sua demonstração, ou seja determinando uma

recta l que seja perpendicular a r e s e que intersecte r e s nos

pontos P e Q respectivamente. Teremos então d(r, s) = d(P,Q).

6) Dada uma recta r e um hiperplano H de E , temos r\H = ; se e só

se r e H forem paralelos e r não estiver contida em H. Neste caso,

para determinar a distância de r a H, basta determinar um eixo m

de H que passe por um ponto P de r e teremos d(r,H) = d(P,Q),

onde Q = m \H (ver Figura ??).

4. DISTÂNCIAS E REFLEXÕES 41

P

Q H

d

r

Figura 2.5. Distância entre uma recta r e um hiperplano

H de R3 que não se intersectam.

4. Distâncias e reflexões

Proposição 4.1. Sejam P e Q dois pontos distintos dum espaço afim

euclidiano E de dimensão n. O conjunto

H := {X 2 E : d(X,P ) = d(X,Q)}

dos pontos equidistantes de P e Q é um hiperplano de E (ou seja um sube-

spaço afim de dimensão n � 1) que passa pelo ponto médio de [PQ] e é

perpendicular à recta r definida por P e Q.

Demonstração: Pela definição de H, o ponto médio de [PQ] está em H.

Fixemos um referencial ortonormado R = (O;B) em E e suponhamos

que PR = (p1, . . . , pn) e QR = (q1, . . . , qn). Então

H := {X 2 E : d(X,P ) = d(X,Q)} = {X 2 E : k��!PXk = k

��!QXk}

= {X 2 E : XR = (x1, . . . , xn) comnX

i=1

(xi � pi)2 =

nX

i=1

(xi � qi)2}

= {X 2 E : XR = (x1, . . . , xn) com

2(q1 � p1)x1 + · · ·+ 2(qn � pn)xn + p21 � q

21 + · · ·+ p

2n � q

2n = 0}.

Com efeito, note que��!PX =

��!PO +

��!OX, pelo que

(��!PX)B = (

��!PO)B + (

��!OX)B = �(

��!OP )B + (

��!OX)B = �PR +XR

= (x1 � p1, . . . , xn � pn)


e então

k��!PXk2 = h

��!PX,

��!PXi2 =

*nX

i=1

(xi � pi)ei,nX

j=1

(xj � pj)ej

+

=nX

i,j=1

(xi � pi)(xj � pj)hei, eji =nX

i=1

(xi � pi)2.

Analogamente, k��!QXk2 =

Pn

i=1(xi � qi)2.

Como P 6= Q, temos

(q1 � p1, . . . , qn � pn) 6= (0, . . . , 0),

pelo que um ponto X de coordenadas XR = (x1, . . . , xn) pertence a H se e

só se (x1, . . . , xn) é solução da equação linear

2(q1 � p1)x1 + · · ·+ 2(qn � pn)xn + p21 � q

21 + · · ·+ p

2n � q

2n = 0.

Conclui-se assim que H é um subespaço afim de dimensão n� 1.

Como o subespaço vectorial U associado a H é definido em relação à

base ortonormada B pela equação homogénea

2(q1 � p1)x1 + · · ·+ 2(qn � pn)xn = 0,

e a recta definida por P e Q tem como espaço de direcções o subespaço

vectorial W gerado pelo vector v cujas coordenadas em relação à base B são

vB = (q1 � p1, . . . , qn � pn),

temos que W? = U , ou seja que r e H são perpendiculares. ⇤

EH

P Q

Figura 2.6. Conjunto H dos pontos equidistantes de P e Q.


Definição 4.2. Sejam P e Q dois pontos distintos de um espaço afim

euclidiano E de dimensão n. Ao hiperplano

H := {X 2 Rn : d(X,P ) = d(X,Q)}

dá-se o nome de hiperplano mediador (ou bissector) do segmento de

recta [PQ] (ou de P e Q). Quando n = 2 diz-se que H é a recta mediatriz

de [PQ] (ou de P e Q).

Corolário 4.3. Sejam P0, . . . , Pn pontos independentes de um espaço

afim euclidiano E de dimensão n. Se P,Q 2 E são tais que

d(P, Pi) = d(Q,Pi), para i = 0, . . . , n

então P = Q.

Demonstração: Suponhamos que P 6= Q. Então, pela Proposição ??,

os pontos P0, . . . , Pn pertencem ao hiperplano mediador H do segmento de

recta [PQ], pelo que P0, . . . , Pn não geram um espaço afim de dimensão n.

⇤

Nota 4.4. Este corolário diz-nos, em particular, que em R2 um ponto

fica univocamente determinado pelas suas distâncias a três pontos não co-

lineares e que em R3 um ponto fica univocamente determinado pelas suas

distâncias a quatro pontos não coplanares.

Proposição 4.5. Seja H um hiperplano de E e P um ponto que não

pertence a H. Então existe um e um só ponto P 0 tal que

H = {X 2 E : d(X,P ) = d(X,P 0)},

isto é, tal que H é o hiperplano mediador de [PP 0].

Ao ponto P 0 da Proposição ?? dá-se o nome de ponto simétrico de P

em relação a H.

Demonstração: Existência: Seja r o único eixo de H que passa em P e

seja M o ponto de intersecção de r com H. Como P /2 H, temos que M 6= P

e então o vector v :=��!PM é um vector normal a H. Se considerarmos

P 0 := P + 2v,

temos que o ponto M é o ponto médio de [PP 0] e que H é o hiperplano

mediador de [PP 0].

Unicidade: Se existir outro ponto P 00 como pedido, então, pela Propo-

sição ??, o vector��!PP 00 é perpendicular a H, pelo que P 00 tem de pertencer


E

P

P¢Q

Q¢

H

Figura 2.7. Pontos simétricos em relação ao hiperplano H.

ao único eixo r de H que passa em P e o único ponto M tal que r\H = M

tem de ser o ponto médio de [PP 00]. Assim, temos necessariamente que

P 00 = M +��!PM = P 0.

⇤

Nota 4.6. Se P 0 é o ponto simétrico do ponto P em relação ao hiperplano

H então P é o ponto simétrico de P 0 em relação a H.

Definição 4.7. Seja H um hiperplano de um espaço afim euclidiano E.

Chama-se reflexão no hiperplano H à aplicacão

RH : E ! E

tal que

RH(S) =

8<

:S se S 2 H

S0 se S /2 H,

onde, para S /2 H, o ponto S0 é o ponto simétrico de S em relação a H.

Proposição 4.8. Seja H = Q + W um hiperplano de um espaço afim

euclidiano E. A reflexão RH no hiperplano H verifica as seguintes pro-

priedades:

i) Se P = Q+ w + v, com w 2 W e v 2 W?, então

RH(P ) = Q+ w � v.

ii) RH �RH = idE e, em particular, RH é bijectiva.

iii) Para P, S 2 E temos

d(P, S) = d(RH(P ), RH(S)).


E

RP

R HPLHR HRLR HQLH H

Q H

Figura 2.8. Reflexão no hiperplano H.

Demonstração: i) Se P /2 H então i) é consequência da demonstração

da Proposição ??. Se P 2 H, então i) decorre trivialmente de P = Q + w

com w 2 W .

ii) Esta propriedade é consequência imediata de i).

iii) Usando i) temos, para P = Q + w1 + v1 e S = Q + w2 + v2 com

w1, w2 2 W e v1, v2 2 W?,

d(RH(P ), RH(S)) = d(Q+w1 � v1, Q+w2 � v2) = k(w2 �w1) + (v1 � v2)k

e

d(P, S) = d(Q+ w1 + v1, Q+ w2 + v2) = k(w2 � w1)� (v1 � v2)k.

Como os vectores w2 � w1 e v1 � v2 são ortogonais, temos

k(w2 � w1) + (v1 � v2)k = k(w2 � w1)� (v1 � v2)k


Corolário 4.9. Sejam H1, . . . ,Hm hiperplanos de um espaço afim eu-

clidiano E e RH1 , . . . , RHm as reflexões em H1, . . . ,Hm respectivamente.

Então a aplicação

f = RH1 � · · · �RHm

verifica

i) d(P,Q) = d(f(P ), f(Q)), 8P,Q 2 E.

ii) f é bijectiva.

iii) f�1 = RHm � · · · �RH1.


w

v

-v

EH

P

R HPL

Q

H

Figura 2.9. Reflexão no hiperplano H.

Demonstração: A afirmação i) resulta imediatamente da Proposição ??

iii) e da definição de composição de funções. As afirmações ii) e iii) resultam

de uma reflexão ser bijectiva, da composição de funções bijectivas ser ainda

bijectiva e de uma reflexão ser a aplicação inversa de si própria.

⇤

Lema 4.10. Seja H = Q+W um hiperplano de um espaço afim euclid-

iano E e u um vector normal a H. Então, para todo o X 2 E, temos

RH(X) = X � 2h��!QX, ui

hu, uiu.

Demonstração: Se X 2 E então, como dimW? = 1 e u 2 W?, o ponto

X pode escrever-se como X = Q+ w + �u, com � 2 R e w 2 W . Então,

RH(X) = Q+ w � �u = X � 2�u.

Por outro lado, como hw, ui = 0, temos

h��!QX, ui = h(w + �u), ui = �hu, ui,

pelo que

� =h��!QX, ui

hu, ui


Nota 4.11. O vector

h��!QX, ui

hu, uiu


é a projecção ortogonal do vector��!QX em u, pelo que podemos enunciar

o Lema ?? da seguinte forma:

Dado um hiperplano H := Q +W , a imagem de qualquer ponto X por

meio de RH é o ponto X � 2v, onde v é a projecção ortogonal de��!QX num

vector normal a H.

O Lema ?? dá-nos uma forma prática de calcular a expressão anaĺıtica

de uma reflexão num hiperplano.

Exemplo 4.12. Consideremos em R4 o hiperplanoH definido (em relação

ao referencial canónico) pela equação

(4.1) x� 2z + w = 3.

O subespaço W das direcções de H é definido pela equação x� 2z +w = 0.

Como a base canónica é ortonormada em relação ao produto interno usual

temos

W = {(x, y, z, w) 2 R4 : h(x, y, z, w), (1, 0,�2, 1)i = 0} = L{(1, 0,�2, 1)}?

e então o vector u := (1, 0,�2, 1) é normal a H.

Como as coordenadas do ponto Q := (3, 0, 0, 0) são solução da equação

(??), temos que Q 2 H.

Assim, para qualquer ponto X = (x, y, z, w) 2 R4, temos

��!QX = (x� 3, y, z, w).

Como hu, ui = 6, temos, usando o Lema ??,

RH(X) = (x, y, z, w)� 2h(x� 3, y, z, w), (1, 0,�2, 1)i

6(1, 0,�2, 1)

= (x, y, z, w)�1

3(x� 3� 2z + w)(1, 0,�2, 1)

= (x, y, z, w)�

✓x� 2z + w � 3

3, 0,

�2x+ 4z � 2w + 6

3,x� 2z + w � 3

3

◆

=

✓2x+ 2z � w + 3

3, y,

2x� z + 2w � 6

3,�x+ 2z + 2w + 3

3

◆.

Conclui-se assim que RH é a aplicação definida por

RH(x, y, z, w) =

✓2x+ 2z � w + 3

3, y,

2x� z + 2w � 6

3,�x+ 2z + 2w + 3

3

◆.

Exemplo 4.13. Consideremos, em R3, o plano

H := (1, 2, 0) + L{(1, 2, 0), (0, 1, 1)}.


Temos

L{(1, 2, 0), (0, 1, 1)}? = {(x, y, z) 2 R3 : x+ 2y = 0 e y + z = 0}

= L{(�2, 1,�1)}.

Assim, u := (�2, 1,�1) é um vector normal ao plano H, com kuk2 = 6. Es-

colhendo agora um ponto Q 2 H, podemos determinar a expressão anaĺıtica

da reflexão em H. Considere-se então Q := (1, 2, 0) 2 H. Para qualquer

X = (x, y, z) 2 R3, temos��!QX = (x� 1, y � 2, z), pelo que

RH(x, y, z) = (x, y, z)� 2h(x� 1, y � 2, z), (�2, 1,�1)i

6(�2, 1,�1)

=

✓�x+ 2y � 2z

3,2x+ 2y + z

3,�2x+ y + 2z

3

◆.

Assim, a reflexão no plano H é a aplicação definida por

RH(x, y, z) =

✓�x+ 2y � 2z

3,2x+ 2y + z

3,�2x+ y + 2z

3

◆.

Exemplo 4.14. Consideremos em R2 os pontos P = (1, 1) e Q = (�1, 3).

Vamos determinar a expressão anaĺıtica da reflexão na recta m, mediatriz

de P e Q. O subespaço vectorial associado à recta definida por P e Q é

o subespaço L{��!PQ} = L{(�1, 1)}, pelo que o vector (�1, 1) é um vector

normal a m. Por outro lado, o ponto (0, 2) é o ponto médio do segmento de

recta [PQ]. Aplicando o Lema ?? obtemos, para todo o (x, y) 2 R2,

Rm(x, y) = (x, y)�2

2h(x, y � 2), (�1, 1)i(�1, 1) = (y � 2, x+ 2).

Nota 4.15. No Exemplo ?? não foi necessário determinar a recta m.

Em geral, para encontrar a expressão anaĺıtica da reflexão num hiperplano

H mediador de dois pontos P e Q, basta determinar o ponto médio de

[PQ] e a direção da recta l definida por P e Q. Com efeito, para aplicar o

Lema ?? basta-nos conhecer um ponto de H e um vector normal a H, que

neste caso são dados respectivamente pelo ponto médio de [PQ] e por um

vector director da recta PQ.

Uma propriedade importante das reflexões é a seguinte.

Teorema 4.16. Sejam P0, . . . , Pk pontos distintos de um espaço afim

euclidiano E, com k � 1, e Q0, . . . , Qk pontos de E que satisfazem

d(Pi, Pj) = d(Qi, Qj), 8i, j 2 {0, . . . , k}.

Então existe uma aplicação f : E ! E tal que


i) f é uma reflexão num hiperplano ou uma composição de k + 1 ou

menos reflexões em hiperplanos de E;

ii) f(Pi) = Qi, 8i 2 {0, . . . , k}.

Demonstração: Notemos primeiro que, se Pi = Qi para todo o i 2

{0, . . . , k}, a afirmação é trivial. Com efeito, neste caso toma-se f = idEpois, para qualquer hiperplano H, temos RH �RH = IdE .

Caso contrário vamos fazer a demonstração por indução no número m =

k + 1 de pontos Pi, com i = 0, . . . , k.

Se m = 2 e supondo, sem perda de generalidade, que P0 6= Q0, con-

sideremos a reflexão RH0 , onde H0 é o hiperplano mediador de P0 e Q0.

Então, RH0(P0) = Q0. Se, além disso, RH0(P1) = Q1, então RH0 satisfaz

as condições pretendidas. Se RH0(P1) 6= Q1, considera-se H1, o hiperplano

mediador de RH0(P1) e Q1. Então Q0 2 H1. Com efeito, por hipótese,

temos

d(Q0, Q1) = d(P0, P1) = d(RH0(P0), RH0(P1))

= d(Q0, RH0(P1)),

onde usámos a Proposição ?? - iii) e o facto que RH0(P0) = Q0. Conse-

quentemente,

(RH1 �RH0) (P0) = RH1(Q0) = Q0 e (RH1 �RH0) (P1) = Q1,

pelo que a aplicação

RH1 �RH0

satisfaz as condições pretendidas.

Suponhamos agora o teorema demonstrado para m pontos e vamos

demonstrá-lo para m + 1 pontos. Sejam então P0, . . . , Pm pontos distin-

tos de E e Q0, . . . , Qm pontos de E que satisfazem

d(Pi, Pj) = d(Qi, Qj), 8i, j 2 {0, . . . ,m}.

Por hipótese de indução, considerando os m pontos P0, . . . , Pm�1 e os m

pontos Q0, . . . , Qm�1, existe uma aplicação g : E ! E que satisfaz:

i) g é uma reflexão ou uma composição de m ou menos reflexões;

ii) g(Pi) = Qi, 8i 2 {0, . . . ,m� 1}.

Se g(Pm) = Qm, então g é a aplicação pretendida. Se g(Pm) 6= Qm,

considera-se o hiperplanoHmediador de g(Pm) eQm. EntãoQ1, . . . , Qm�1 2

H. Com efeito temos

d(Qi, Qm) = d(Pi, Pm) = d(g(Pi), g(Pm)) = d(Qi, g(Pm)),


para todo o i 2 {0, . . . ,m � 1}, pois g é uma composição de reflexões,

(e consequentemente satisfaz a Proposição ?? - i)). Assim, a aplicação

f := RH � g verifica

f(Pi) = Qi, 8i 2 {0, . . . ,m}


Exemplo 4.17. Consideremos em R2 os pontos P0 = (0, 0) e P1 = (1, 1)

e os pontos Q0 = (0, 2) e Q1 = (�1, 3). Como d(P0, P1) =p2 = d(Q0, Q1),

temos, pelo Teorema ??, que existe uma reflexão ou uma composição de

duas reflexões f tal que f(P0) = Q0 e f(P1) = Q1.

Para construir esta aplicação podemos aplicar o processo usado na demon-

stração do Teorema ?? . Considera-se em primeiro lugar a reflexão Rm na

mediatriz m de P0 e Q0, isto é, a aplicação Rm : R2 ! R2 dada por

Rm(x, y) = (x,�y + 2).

Como Rm(P1) = (1, 1) 6= Q1, determinamos a reflexão na mediatriz l de

Rm(P1) e Q1, isto é, a aplicação Rl : R2 ! R2 dada por

Rl(x, y) = (y � 2, x+ 2), 8(x, y) 2 R2.

A aplicação f := Rl �Rm dada por

f(x, y) = Rl(x,�y + 2) = (�y, x+ 2)

satisfaz a condição i) do Teorema ?? e é tal que

f(P0) = Q0 e f(P1) = Q1.

5. Isometrias

Definição 5.1. Seja E um espaço afim euclidiano. Uma aplicação f :

E ! E diz-se uma isometria (ou moção ŕıgida) se, para quaisquer pontos

P,Q 2 E, se tem

d(P,Q) = d(f(P ), f(Q)).

Nota 5.2. Muitos autores definem isometria como sendo uma aplicação

bijectiva tal que, para quaisquer pontos P , Q de E se tem

d(P,Q) = d(f(P ), f(Q)).

No entanto, como veremos adiante, a bijectividade é uma consequência do

facto da aplicação manter a distância entre pontos.

Exemplo 5.3.

5. ISOMETRIAS 51

(i) (Reflexão num hiperplano.) Uma reflexão num hiperplano H

é uma isometria (ver a Proposição ??).

(ii) Pelo Corolário ?? qualquer composição de um número finito de

reflexões em hiperplanos é também uma isometria.

(iii) (Translação.) Seja E um espaço afim euclidiano associado a um

espaço vectorial V e seja v um vector de V . A aplicação Tv : E ! E

definida por Tv(P ) = P + v, para todo o ponto P de E é uma

isometria a que se dá o nome de translação por meio de v.

E

R

R+ v

P

P+ v

Q+ v

Q

v

Figura 2.10. Translação associada ao vector v.

Se E tem dimensão n e R = (O;B) é um referencial de E , então

sendo vB = (v1, . . . , vn) as coordenadas do vector v na base B e

XR = (x1, . . . , xn) 2 Rn as coordenadas de um ponto X 2 E no

referencial R, temos que Tv(X) = X+ v é o ponto de coordenadas

(x1 + v1, . . . , xn + vn).

(iv) (Inversão.) Seja E um espaço afim euclidiano associado a um

espaço vectorial V . Qualquer ponto X de E pode ser escrito na

forma X = P +��!PX. A aplicação ⇢P : E ! E definida por

⇢P (X) = ⇢P (P +��!PX) := P �

��!PX

ou, equivalentemente, pela combinação afim ⇢P (X) := 2P � X,

para todo o X 2 E , é uma isometria a que se dá o nome de

inversão de centro em P .

Com efeito, para quaisquer X,Y 2 E temos

d(⇢P (X), ⇢P (Y )) = d(P ��!PX,P �

��!PY ) = k

��!PX �

��!PY k

= (P +��!PX,P +

��!PY ) = d(X,Y ).


Alguns autores chamam reflexão em P a esta aplicação. Uma

inversão (de centro em P ) num espaço euclidiano de dimensão 2

chama-se uma meia-volta (de centro em P ).

E

P3P

P

0

r HP LP 0

r HP LP 3

r HP LP 1

P1

Figura 2.11. Inversão de centro P .

Exemplo 5.4.

(i) Em R3 a translação por meio do vector v = (3,�1, 12) é a aplicação

Tv : R3 ! R3 tal que

Tv(x, y, z) =

✓x+ 3, y � 1, z +

1

2

◆, 8(x, y, z) 2 R3.

(ii) Em R3 a inversão de centro em P = (1, 2, 0) faz corresponder a

cada ponto X = P +��!PX o ponto P �

��!PX, pelo que é a aplicação

⇢P : R3 ! R3 definida por

⇢P (x, y, z) = ⇢P (1 + (x� 1), 2 + (y � 2), 0 + z))

= (1� (x� 1), 2� (y � 2),�z)) = (�x+ 2,�y + 4,�z).

Vejamos agora uma proposição que generaliza o Corolário ?? - i) a todas

as isometrias.

Proposição 5.5. Se f e g são isometrias de um espaço afim euclidiano

E então a composição f � g também é uma isometria.

Demonstração: Sejam f e g duas isometrias. Dados dois pontos P,Q 2 E

temos, porque g é uma isometria, d(P,Q) = d(g(P ), g(Q)) e, como f é uma

isometria,

d(f(g(P )), f(g(Q))) = d(g(P ), g(Q)),

5. ISOMETRIAS 53

pelo que

d ((f � g)(P ), (f � g)(Q)) = d(P,Q).

Conclui-se assim que f � g é uma isometria. ⇤Usando esta proposição podemos obter outras isometrias.

Exemplo 5.6. (Reflexão com deslize.) Se H é um hiperplano de

um espaço afim euclidiano E associado ao subespaço vectorial W e v 6= 0 é

um vector de W , a isometria Tv �RH designa-se reflexão com deslize ou

reflexão deslizante em H por meio de v.

E

P

P¢

HT o R LHPL

v

Hv

Q

HT o R LHQLv H

H

Figura 2.12. Reflexão com deslize no hiperplano H por

meio de v.

Exemplo 5.7. Em R2 é fácil verificar que a reflexão Rr na recta

r := (0, 0) + L{(0, 1)}

é a aplicação Rr : R2 ! R2 definida por

Rr(x, y) = (�x, y).

Então a reflexão com deslize em r por meio do vector v = (0,p2) é a

aplicação Tv �Rr : R2 ! R2 definida por

Rr(x, y) = (�x, y +p

2).

Proposição 5.8. Se H = P + W é um hiperplano de E associado ao

subespaço vectorial W e v é um vector de W então Tv �RH = RH � Tv.


Demonstração: Seja X 2 E . Podemos escrever X = P + w + u onde

w 2 W e u 2 W?. Pela Proposição ?? - i) temos

(Tv �RH)(X) = Tv(P + w � u) = P + v + w � u.

Por outro lado, Tv(X) = P + v + w + u. Como v 2 W , temos que

Tv(X) = P + (v + w) + u,

onde v + w 2 W e u 2 W?, pelo que, pela Proposição ?? - i), temos

(RH � Tv)(X) = P + v + w � u.

Conclui-se assim que, para todo o ponto X 2 E ,

(Tv �RH)(X) = (RH � Tv)(X)

e então Tv �RH = RH � Tv. ⇤

5.1. Isometrias e Reflexões.

Proposição 5.9. Se uma isometria f : E ! E fixa n + 1 pontos inde-

pendentes P0, . . . , Pn de um espaço afim euclidiano E de dimensão n, então

f é a aplicação identidade.

Demonstração: Seja X 2 E . Como f é uma isometria e

f(Pi) = Pi, 8i 2 {0, . . . , n},

temos

d(X,Pi) = d(f(X), Pi), 8i 2 {0, . . . , n}.

Como os pontos P0, . . . , Pn geram o espaço E temos, pelo Corolário ??, que

f(X) = X. Conclui-se assim que f = idE . ⇤

Teorema 5.10. Seja E um espaço afim euclidiano de dimensão n. Qual-

quer isometria f de E pode ser escrita como composição de n+1 ou menos

reflexões.

Demonstração: Seja f uma isometria e considere-se n+1 pontos indepen-

dentes P0, . . . , Pn 2 E . Tomando os pontos Qi := f(Pi), para i = 0, . . . , n

temos (como f é uma isometria) que

d(Pi, Pj) = d(Qi, Qj), 8i, j 2 {0, . . . , n}.

Assim, usando o Teorema ??, sabemos que existe uma isometria g, que é

uma composição de n + 1 ou menos reflexões, e satisfaz g(Pi) = Qi para

5. ISOMETRIAS 55

todo o i 2 {0, . . . , n}. Pela Proposição ??, a sua inversa g�1 é também uma

isometria. Como

(g�1 � f)(Pi) = Pi, 8i 2 {0, . . . , n},

conclui-se pela Proposição ?? que g�1 � f = idE e então f = g. ⇤Com este teorema podemos reduzir o estudo das propriedades das isome-

trias ao estudo das propriedades da composição de reflexões.

Corolário 5.11. Qualquer isometria é uma aplicação bijectiva e a in-

versa de uma isometria é uma isometria.

Demonstração: Seja f uma isometria de um espaço afim euclidiano E

de dimensão n. Pelo Teorema ?? existem k hiperplanos H1, . . . ,Hk, com

k n+ 1 tais que

f = RH1 � · · · �RHk .

Pela Proposição ?? temos que uma composição de reflexões é uma isometria

bijectiva cuja aplicação inversa é também uma composição de reflexões e o

resultado segue. ⇤

Nota 5.12. Uma vez que a aplicação identidade idE : E ! E é uma

isometria de E , temos, como consequência da Proposição ?? e do Corolário ??

que o conjunto de todas as isometrias de E com a composição de aplicações

forma um grupo (não comutativo). Este grupo é normalmente designado

por Iso(E). Pelo Teorema ?? tem-se que Iso(E) é gerado pelas reflexões em

hiperplanos de E .

Proposição 5.13. O subconjunto T ⇢ Iso(E) formado por todas as

translações é um subgrupo de Iso(E).

Demonstração: Dado um grupo G e um subconjunto A ⇢ G, para ver

se A é um subgrupo temo

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Introdu¸cão à Geometria - Instituto Superior Técnicolgodin/INTGEO/IntroGeo1_134.… · 41.GEOMETRIAAFIM 1. A P v=PQ Q 2. A P Q R Figura 1.1. Espa¸co afim ponto Q tal que! PQ=