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7/25/2019 Introduction--la-physique-des-matriaux-chapitre-1-Les-rseaux-direct-et-rciproque.pdf
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LES RESEAUX DIRECT
ETRECIPROQUE
L PHYSIQUE DES M TERI UX
1
Chapitre
Pr. A. Belayachi
Universit Mohammed V Agdal
Facult des Sciences Rabat
Dpartement de Physique L.P.M
www.9alami.com
mailto:[email protected]:[email protected]7/25/2019 Introduction--la-physique-des-matriaux-chapitre-1-Les-rseaux-direct-et-rciproque.pdf
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1.Le rseau directUn rseau de Bravais est un ensemble infini de
points discrets avec un arrangement et uneorientation qui apparat exactement la mmelorsquilest vu dunpoint quelconque. Les pointssont appels nudsou sites .
Dans un rseau de Bravais tridimensionnel, enchoisissant un nud du rseau comme origine,tout autre nuddu rseau est caractris par unvecteur position:
= + (1)
, ,
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= = =2
Alors que:
=
Les couples des vecteurs , , , et
, sont des vecteurs de translationfondamentaux alors que le couple , neconstitue pas un ensemble de vecteurs de
translation fondamentaux car le vecteur ne peuttre form par une combinaison linaire entire
des vecteurs , .
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Des vecteurs , et non fondamentauxpeuvent toute fois tre utiliss sils sont plus
pratiquesou plus simples. , et sont des vecteurs de translation nonfondamentaux alors que , et sont
fondamentauxou primitifs.
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Le volume construit sur les 3 vecteurs primitifs est
appel maille lmentaire. Cest le volume minimal
permettant de remplir lespace.
La maille primitive possdant la symtrie complte
du rseau est appele maille primitive de Weigner-
Seitz.
On peut remplir lespace avec des mailles nonprimitives appeles mailles conventionnelles (utilises
souvent pour des considrations de symtrie).
Les points dun rseau de Bravais qui sont les plusprs dun point sont appels plus proches voisins.
Chaque point possde le mme nombrede plus proches
voisins appel nombre de coordinationdu rseau.6
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2. Classification des rseaux de Bravais
Mathmatiquement, un rseau de Bravais est caractris par la
donne de trois vecteurs , et et trois angles a, bet g(3D),
, et f(2D) , et (1D) tel que:
On appelle groupe ponctuel, lensembledes oprations de symtrie
qui laissent le rseau invariant (Voir TP cours 1). Ces oprations de
symtrie sont:
a
b
g
f
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- toutes les translations dfinies par la relation (1);
- toutes les rotations autour dun axe dordre n(cest--
dire une rotation dangle
, n = 1, 2, 3, 4 et 6; 5 et 7
exclus);
- les symtries par rapport un plan passant par unnud;
- les symtries inverses qui sont le produit dunerotationdordre2 et dunesymtrie par rapport un plan.
Lensemblede toutes les oprations de symtrie sera donndans le manuel de correction des travaux pratiques.
En considrant toutes les oprations de symtrie quilaissent le rseau invariant, on aboutit lexistence de 7systmesenglobant 14 rseaux (3D), 4 systmes englobant 5rseaux (2D) (Voir TP cours 1).
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Systme Rseaux Longueurs Angles
Triclinique 1: P
a b g
Monoclinique 2: P C
a
=g
= b
Orthorhombique 4: P C I F
a =b =g = 90
Quadratique - Tetragonal 2: P I
= a =b =g = 90
hexagonal 1: P
= a =b = 90 ; g= 120
Trigonal - Rhombodrique 1: P
= = a =b =g < 120 90
Cubique 3: P I F
=
= a =b =g = 90
P: primitif C: bases centres I: corps centr F: faces centres
Systme Rseaux Longueurs Angles
Oblique 1: P
f 90
Carr 1: P
= f=
Hexagonal 1: P
= f = 120
Rectangulaire 2: P I
f= 90
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3. Plans rticulaires et indices de Miller
3.1 Position dans la maille
La position dunpoint dans un rseau est reprepar ses coordonnes u, v et w dans la base (,, ). Chaque coordonne est une fonction des
paramtres , , de la maille, loriginetantprise en un des nuds de la maille.
3.2 Range
La droite qui relie lorigine au nud du rseau(m, n, p)est appele range. Elle est note:
[mnp]
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- On calcule les inverses
,
,
.
- Les indices de Miller (hk)du plan sont les plus
petits entiers dans le mme rapport que cesinverses.
-Par exemple si u, vet wsont des entiers et mle pluspetit multiple commun de u, vet walors:
h =
k=
=
(3)
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u
v
w
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Quand le point dintersection est linfini,lindicede Miller correspondant est zro.
Quand le point dintersectionest du ct ngatifde laxe,on crit lindicede Miller correspondantavec une barre au dessus. Par exemple silintersection avec laxe vertical est ngative les
indices de Miller seront nots (hk).3.5 Exemples
Si , , = , , alors =()
Si , , = , , =
Si , , = ,
,
=
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Les plans et dfinis par les intersections , , = , , et , , =
,
,
ont pour
indices de Miller =()et sont parallles.
Ci-dessous sont dessins des plans dun rseaucubique avec leurs indices de Miller:
(010) (01) (111) Dans un rseau cubique, la range [h k] estperpendiculaire au plan (h k). Il nen est pas demme pour les autres rseaux.
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4. Le rseau rciproque4.1 Construction
Considrons un rseau direct de dimensions a1
, a2
eta3. Soient deux nuds du rseau lis par le vecteur
translation .
Ltat microscopique dune particule libre setrouvant sur le premier nud du rseau est dcritpar une onde plane monochromatique de vecteur
dondeet de fonction donde , .16
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Les conditions aux limites priodiques dun tel
tat scrivent:
+
=
Ce qui donne:
= (4)
Sachant que:
=
=
Lquation(4) nestvrifie que silexiste 3 entiers
relatifs , , appartenant lensemble telque:
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=
= =
= , ,
Par comparaison avec lquation (1) on voit que
lensemblede tous les vecteurs donde vrifiant(4)forment un rseau trois dimensions, non pas
dans lespacerel, mais dans lespacede Fourier.
Ce rseau est appel rseau rciproque. Le rseau
rciproque joue un rle fondamental dans les
tudes analytiques des structures priodiques.
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4.2 Gnralisation
Considrons un rseau dans lespace rel de vecteurs detranslation , et . On appelle rseau rciproqueassoci ce rseau le rseau dans lespacede Fourier dont
les vecteurs de translation sont dfinis par:
=
=
=
=
tant le volume de la maille construitesur les vecteurs , et .De cette dfinition on voit que le rseau rciproque durseau rciproque nestautre que le rseau direct original.
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4.3 Proprits
Si les vecteurs sont orthogonaux les vecteurs
le sont aussi.. = , est le symbole de Kronecker
i.e. =pour i = jet= 0 pour ij.
La maille primitive de Weigner-Seitz dans le
rseau rciproque est appelela premire zone de
Brillouin. Cest le plus petit volume entirement
compris entre les plans mdiateurs des vecteursdu rseau rciproque tracs partir de lorigine
(Voir TP cours 1).
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Voici quelques rseaux directs importants et
leurs rseaux rciproques.
Tout vecteur ,,
du rseau rciproque est
perpendiculaire au plan (h k) du rseau direct(Dmonstration en TD).
Rseau direct Rseau rciproque
Cubique simple Cubique simple
Cubique centr Cubique faces centres
Cubique faces centres Cubique centr
Orthorhombique Orthorhombique
Hexagonal Hexagonal
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