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Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
1
Généralités
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
2
Définitions
Système de commande
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
3
Définitions
Système asservi
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
4
Définitions
Exemple : commande de la vitesse de rotation d’un moteur
+
-
ωu
e
E0
A ChargeInduit
Moteur
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
5
Définitions
Exemple : asservissement de la vitesse de rotation d’un moteur (suite)
+
-
ω
ue
E0
A ChargeInduit
Moteurε
vt
Dynamo tachymètrique
Signal d'erreurε
=A ε
x
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Constitution d’un système asservi
Capteur
Comparateur
Amplificateur
Actionneur
Réseau correcteur
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Schéma fonctionnel
AmplificateurMoteur +Charge
Sortie+
-
Dynamotachymètrique
ε ωΑε
ω
v t
Potentiomètrex e
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Transmittance des systèmes linéaires
Introduction
e sA s = A e
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Transmittance des systèmes linéaires
Linéarité
[1]
bndns(t)
dtn+ bn-1
dn-1s(t)
dtn-1+ … … + b1
ds(t)dt + b0 s(t) = am
dme(t)
dtm+ am-1
dm-1e(t)
dtm-1+ … … + a0 e(t)
en régime permanent, e = cte → s = cte . C’est une droite passant par l’origine. s/e = ao/bo = k, gain statique du système
Théorème de superposition
Linéarisation d’un système non linéaire
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
10
Transmittance des systèmes linéaires
Equation différentielle du 1er ordre
esdtds =+τ [2] sgessm )exp()()( 0 τ
ttsts −=
dx
x
xetst
∫=0
0
)exp()()(
ττ
dxxt
xetst
∫
−−=
0
exp1
)()(ττ
[3]
)()exp(1)( tutthττ
−= )(*)()()()()()(00
thtedxxthxedxxthxetst
=−=−= ∫∫∞
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Transmittance des systèmes linéaires
Recherche d’un opérateur
Réponse à l’impulsion de Dirac
00)( ≠= tsitδ ∫+ ∞∞− =1)( dttδ )()exp()()exp(
1)(
0
thdxx
xt
tst
=−= ∫ τδ
ττ
Est-ce suffisant pour caractériser un système ?
∫∞ =−=0
1)exp()()]([ dttjttTF ωδδ
Existe-t-il un opérateur dans le cas d’un signal d’entrée e(t) quelconque ?
∫ ∫∫∫ + ∞=
+ ∞=
+ ∞+ ∞ −−=−=−=0 000
)exp(])()([[)exp()](*)([)exp()()]([t x
dtptdxxthxedtptthtedtpttstsTL
∫ ∫+ ∞=
+ ∞= −−
0 0])exp()([)[(
x tdxdtptxthxe xtu −= )(.)()( pHpEpS =
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
12
Transmittance des systèmes linéaires
Transformée de Laplace
)0()()exp()(])([0
+−=−= ∫ ∞+ fppFdtpttfdt
tdfTL
)0()0()())0(])(
[(])(
[ '22
2
+−+−=+−= fpfpFpfdt
tdfTFp
dttfd
TL
)0(...)0()(])(
[ )1(1 +−−+−= −− nnnn
n
ffppFpdt
tfdTL
)(])(
[ pFpdt
tfdTL n
n
n
= si les conditions initiales sont nulles
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
13
Transmittance des systèmes linéaires
Définition de la Transmittance d’un système
L’équation différentielle [1] donne
bn pn
+ bn-1 pn-1
+ … … + b1 p + b0 S(p) = am pm
+ am-1 pm-1
+ … … + a1 p + a0 E(p)
S(p) =am pm + am-1 pm-1 + … + a1 p +a0
bn pn + bn-1 pn-1 + … + b1 p +b0
E(p) = H(p) E(p)
H(p)E(p) S(p) = H(p) E(p)
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
14
Transmittance des systèmes linéaires
Cas ou les conditions initiales ne sont pas nulles
bnpn + bn − 1pn− 1+ ... .. . + b1p + bo( )S(p) − I(p) = a mpm + am − 1pm − 1 + . .. ... + a1p + ao( )E(p) − J(p)
S(p) =am pm + am-1 pm-1 + … + a1 p +a0 E(p) + I(p) - J(p)
bn pn + bn-1 pn-1 + … + b1 p +b0
= H(p) E(p) + I(p) - J(p)
bn pn + … + b1 p +b0
e(t)
tt
1
e0
u(t-t )1e(t) = e + u(t-t )
s(t) = s + s (t)0
0 1
1
Théorème de superposition:
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Transmittance des systèmes linéaires
Exemples d’utilisation de la transmittance dans un schéma fonctionnel
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Transmittance des systèmes linéaires
Exemples d’utilisation de la transmittance dans un schéma fonctionnel (suite)
Equations électromagnétiques et mécaniques classiques
xEve 0= ωtt kv = te vv −=ε εAu =
rIeu += ' ωeke =' : fcem du moteur r : résistance de l’induit l # 0
2' rIIeui += : puissance électrique mise en jeu dans l’induit
2rI : pertes par effet joule ωmCe'IIe =→ moteurcouple' IkIeC mm ==ω'
mmoteur CCCcouplesdtd
Jdtd
J =−=== ∑ résistant2
2 ωθ
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Transmittance des systèmes linéaires
Exemples d’utilisation de la transmittance dans un schéma fonctionnel (suite)
Transformées de Laplace des équations électromagnétiques et mécaniques
)()( 0 pxEpve = )()( pkpv tt ω= )()()( pvpvp te −=ε )()( pApu ε=
rpepupI )(')()( −= )()(' pkpe eω=
)()( pIkpC mm =
)()()(2 pCppJppJ m== ωθ
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Transmittance des systèmes linéaires
Exemples d’utilisation de la transmittance dans un schéma fonctionnel (suite)
Er
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
19
Relations fondamentales dans les systèmes asservis
1 – Calcul des transmittances
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
20
Relations fondamentales dans les systèmes asservis
Calcul des transmittances (suite)
)( pGK : transmittance de la chaîne directe
)( pF : transmittance de la chaîne de retour
)()()(
pEpSpH = : transmittance de la chaîne fermée
)()()()()( pFpGK
ppSpT r ==
ε : transmittance de la chaîne ouverte
)()(
pEpε : transmittance relative au signal d’erreur
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Relations fondamentales dans les systèmes asservis
Calcul des transmittances (suite)
[ ] [ ])()(1
)()()()()()()()()()()()(pFpGK
pEpGKpSpFpEpGKpSpEpGKppGKpS r +=−=−== ε
)(1)(
)()()(
pGKpGK
pEpSpH
+== : transmittance de la chaîne fermée
)()(11
)()(
pFpGKpEp
+=ε : transmittance relative au signal d’erreur
cas particulier important : 1)( =pF)(1
1)()(
pGKpEp
+=ε
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Relations fondamentales dans les systèmes asservis
Calcul des transmittances (suite)
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
23
Relations fondamentales dans les systèmes asservis
2 - Simplification des systèmes à boucles multiples
pK
rJpk
rJpk
pH1
121 1
1)(
τ+=
+= 1K : gain statique, 1τ : constante de temps
Er
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Relations fondamentales dans les systèmes asservis
Simplification des systèmes à boucles multiples (suite)
pK
pAKAKE
pkAK
pAK
EkAH
AHEpH
tt τττ
τ+
=++
=
++
+=+
=11
11
11
)(11
10
1
1
1
1
01
10
Er
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Relations fondamentales dans les systèmes asservis
3 – Boucles imbriquées
Er
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Relations fondamentales dans les systèmes asservis
Boucles imbriquées (suite)
Er
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Réponse à une perturbation
1 – Qu’est ce qu’une perturbation ?
dtdJCC rω=−
e
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Réponse à une perturbation
2 – Transmittances relatives à perturbation
)()()()(1
)()()()()(1
)()()(2211
22
2211
2211 pZpFpGKpGK
pGKpEpFpGKpGK
pGKpGKpS+
++
=
0)( =pZ : transmittance en chaîne fermée
0)( =pE , )()(1
)()()( 22
pFpKGpGK
pZpS
+= transmittance de sortie relative à la perturbation
ε
e
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Réponse à une perturbation
Schéma relatif à l’étude de la précision du système
)()(1)()(
)()( 2
pFpKGpFpKG
pZp
+−=ε transmittance de l’erreur relative à la perturbation
z
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Réponse à une perturbation
Exemple de l’asservissement de vitesse
IΓ
U
χ
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Réponse à une perturbation
Exemple de l’asservissement de vitesse (suite)
χ
χ
ΓI U
ΓI U
Introduction à l'étude des Systèmes Asservis Linéaires
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Remarques
1 – Limites de la validité de la notion d’impédance
2 – Rôle de la chaîne de retour
)()()(
pFpEpS = si 1)()( ⟩⟩pFpGK
effets de la chaîne de retour :
- diminution du gain qui passe de )( pKG à)(
1pF
- augmentation de la bande passante
- augmentation de l’impédance d’entrée
- diminution de l’impédance de sortie