Introduction au traitement numérique du signal - Reality · Introduction au traitement numérique du signal ... Il est possible de reconstruire le signal continu à partir du signal

Introduction au traitement

numérique du signalVers son utilisation en arithmétique entière

Olivier Sentieys

[email protected]

ENSSAT — Universite de Rennes 1

IRISA — Equipe de recherche R2D2

SATENSENSSAT

Olivier Sentieys – Introduction au traitement numerique du signal – p. 1

Agenda

Introduction et classification des signaux

1. Échantillonnage et reconstruction des signaux

2. Signaux à temps discret

Quelques outils du traitement du signal

3. Transformation en Z

4. Transformation de Fourier

Quelques applications typiques en traitement du signal

5. Systèmes discrets

6. Filtrage numérique

7. Transformée de Fourier rapide (FFT)

8. Filtrage adaptatif

9. Quantification et arithmétique entière


Definitions

• Modéliser – ou identifier – consiste en l’analyse d’un signalou d’un système, dans le domaine temporel ou fréquentiel(i.e. spectral). On parlera également d’estimation.

• Synthétiser – ou générer – un signal.

• Transmettre un ensemble de signaux sur un support.

• Transformer un ensemble de signaux à l’aide d’un système linéaire : filtrer, moduler, coder, . . . ou non linéaire : ()2, | |, . . .


Classification des signaux et systemes

• Dimension du signal Signal scalaire pouvant prendre des valeurs réelles ou

complexes : x(t). Signal vectoriel pouvant prendre des valeurs réelles ou

complexes : [R, V, B] = TV (t).

• Dimension des variables du signal Signal mono-dimensionnel qui correspond à des fonctions

à un seul argument, comme par exemple le temps. Signal multi-dimensionnel qui correspond à des fonctions à

plusieurs arguments : [I] = TV (t, x, y).



Caractéristiques temporelles

• Signaux à temps continu ou signaux analogiques : s(t). Lavariable t ∈ R.

• Signaux à temps discret : s(n) (ou s(nT )). La variable n ∈ Z.Ces signaux sont définis pour certaines valeurs de la variablet : s(n) = s(nT ) = s(t)ct=nT .



Valeurs prises par le signal

• Signaux à valeurs continues pouvant prendre une valeurréelle dans un intervalle continu.

• Signaux à valeurs discrètes prenant seulement des valeursparmi un ensemble fini de valeurs possibles (i.e.quantification).



Prédictibilité des signaux

• Signaux déterministes qui peuvent être représentésexplicitement par une fonction mathématique.

• Signaux aléatoires qui évoluent dans le temps d’une manièreimprévisible. Il est cependant possible de décriremathématiquement certaines caractéristiques statistiques deces signaux.


1 Echantillonnage et reconstruction

des signaux

Théorème d’échantillonnage de Shannon

1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 8

Historique du Theoreme d’echantillonnage - I

De tout temps, l’Homme a cherché à échantillonner ... a

1918 E.T. Whittaker s’intéresse aux représentations analytiquesd’une fonction connue seulement pour des valeurséquidistantes : a, a + w, a + 2w, ...a + nwCeci l’a conduit à la forme finale de la série cardinale :

∞∑

n=−∞

f(a + nw)sin

(

πw

(t − a − nw))

πw

(t − a − nw)

aMerci a Simon Mathieu de l’Universite Laval pour cet historique precis


Historique du Theoreme d’echantillonnage - I

De tout temps, l’Homme a cherché à échantillonner ... a

1918 E.T. Whittaker s’intéresse aux représentations analytiquesd’une fonction connue seulement pour des valeurséquidistantes : a, a + w, a + 2w, ...a + nwCeci l’a conduit à la forme finale de la série cardinale :

∞∑

n=−∞

f(a + nw)sin

(

πw

(t − a − nw))

πw

(t − a − nw)

1928 Nyquist s’intéresse à la communication télégraphique. Lavitesse d’échantillonnage de Nyquist correspond à la vitesseminimale pour laquelle on peut obtenir une reconstructionstable.aMerci a Simon Mathieu de l’Universite Laval pour cet historique precis


Historique du Theoreme - II

1933 Kotel’nikov a introduit ce théorème dans la littératurescientifique russe.


Historique du Theoreme - II

1933 Kotel’nikov a introduit ce théorème dans la littératurescientifique russe.

1948 Shannon énonce un théorème qui selon lui estgénéralement admis dans le domaine des communications :Whittaker Kotel’nikov Shannon — WKS

Si une fonction f(t) ne contient pas de fré-quences supérieures à ωmax en radianspar seconde, alors elle est complètementdéterminée par l’ordonnée d’une série depoints espacés de T = π

ωmaxsecondes.

Ce théorème prend sa source dans les travaux de Borel,Cauchy et De La Vallée Poussin au milieu du XIXe siècle.


Reconstruction

Classe de fonctions de Paley-Wiener (largeur de bande limitée)regroupe les fonctions telles que :

PWB =

f ∈ L2(R) : supp f ⊆ [−σ, σ]

,

où f est la transformée de Fourier définie dans L1(R), i.e. ladéfinition usuelle de la transformée et supp f est le plus petitsupport de f . Le théorème nous conduit à la série cardinaleutilisée pour reconstruire la fonction originale :

f(t) =∑

n∈Z

f( n

w

)

sinc(

t −n

w

)

(1)


Theoreme d’echantillonnage de Shannon

Il est possible de reconstruire le signal continu à partir du signaldiscret si le signal analogique est à bande limitée, i.e. X(ω) estnulle pour |ω| > ωmax

On obtient alors :

ωmax <2π

T− ωmax (2)

2fmax < fN avec fN =1

T(3)

fN est la fréquence limite d’échantillonnage ou encoreappelée fréquence de Nyquist.


Exemple d’echantillonnage

Soit xa(t) correspondant à une sinusoïde de fréquence f = 2Hz.La fréquence de Nyquist correspond à fN = 2 × 2 = 4Hz.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Val

eur

du s

igna

l

Signal echantillone a 1.6Hz

fe = 1.6Hz, reconstruction imparfaite1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 13



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Val

eur

du s

igna

l


fe = 3.2Hz, reconstruction imparfaite1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 13



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Val

eur

du s

igna

l


fe = 6.4Hz, reconstruction parfaite1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 13

Chaıne de traitement

CAPTEUR

a b c d e f

ProcesseurE/B

ACTIONNEUR

ConvertisseurN / A

ConvertisseurA / N

ActionNumérique

t

A (v)

(a)

t

B (v)

(b)t

E (v)

(e) t

F (v)

(f)t

(c)

0.2 0.3 0.5 0.5 0.4

t(d)

0.3 0.3 0.2 0.3 0.4


2 Signaux a temps discret

2. Signaux a temps discret – p. 15

Signaux a temps discret

• Séquence X de nombres dans laquelle le nieme nombre estx(n). On écrira :

X = x(n) −∞ < n < ∞ n ∈ Z

• x(n) est égal à la valeur du signal analogique xa(t) au tempst = nT , i.e.

x(n) = xa(nT ) −∞ < n < ∞

• T : période d’échantillonnage, fe = 1T

: fréquenced’échantillonnage


Signaux a temps discret

1. Impulsion unité δ(n), δ(n − k)

2. Echelon unité

u(n) =∞

∑

k=0

δ(n − k)

3. x1(n) = Aαn

x2(n) = Aαnu(n)

4. Sinusoïdex3(n) = A cos (nω0T + ϕ)

5. Cas général

x(n) =+∞∑

k=−∞

x(k)δ(n − k).

e.g. p(n) = δ(n) + 0.5δ(n − 2) − 0.5δ(n − 4)


Proprietes des signaux a temps discret

1. Signaux causaux

x(n) = 0, ∀n < 0

2. Énergie totale : finie ou infinie

E(∞) ,

∞∑

n=−∞

|x(n)|2 (4)

3. Puissance moyenne : finie ou infinie

Pm , limN→∞

1

N

N

2∑

n=−N

2

|x(n)|2 (5)


Proprietes des signaux a temps discret – 2

5. Intercorrélation entre deux signaux x(n) et y(n)

Rxy(k) ,

+∞∑

n=−∞

x(n)y(n + k) = Ryx(−k) (6)

6. Convolution linéaire entre deux signaux x(n) et y(n)

ϕxy(k) = x(k) ∗ y(k) ,

+∞∑

n=−∞

x(n)y(k − n) (7)


Signaux aleatoires

Un signal est dit aléatoire si sa valeur instantanée x(t) ne peutêtre prévue avec certitude.

• ExempleSoient a(ω) et φ(ω) deux variables aléatoires,

X(t, ω) = a(ω) sin(2πf0t + φ(ω))

définit un signal aléatoire.

• Signaux de parole, mesures, théorie de l’information, ...• Protection aux perturbations aléatoires


Statistique du premier ordre

• Fonction de répartition

FX(x; t) = ProbX(t) ≤ x

• Fonction de densité de probabilité

fX(x; t) =d

dxFX(x; t) ⇔ FX(x; t) =

∫ x

−∞

fX(u; t)du

• Moments non centrés d’ordre k

mk(t) = E[Xk(t)] =

∫

R

xkfX(x; t)dx

• Moments centrés d’ordre k Mk(t) = E[(X(t) − E[X(t)])k] Moment centré d’ordre 2 : variance σ2

X(t)


Outils en traitement numérique du signal

3 Transform ee en Z

3. Transformee en Z – p. 22

Transformee en Z

La transformée en Z établit une correspondance entre l’espacedes signaux à temps discret et l’espace des fonctionsanalytiques (ou holomorphes) définies sur un sous-ensemble duplan complexe, appelé domaine de convergence DCV .

On définit la transformée en Z (dite unilatérale) par :

Z [x(n)] = X(z) =

∞∑

n=0

x(n)z−n (8)

DCV correspond à l’extérieur du disque de convergence définipar |z| > r avec :

limn→∞

|x(n)|1

n = r


Proprietes de la TZ

1. Linéarité

x(n) = ax1(n) + bx2(n) X(z) = aX1(z) + bX2(z)

2. Théorème du retard et de l’avance

Z [x(n − k)] = z−kX(z)

Z [x(n + k)] = z+kX(z) −

k−1∑

n=0

x(n)zk−n

3. Dérivation dans l’espace en z

Z [n.x(n)] = Y (z) = −zd

dzX(z)


Proprietes de la TZ – 2

5. Théorème de la valeur initiale

x(0) = limz→∞

X(z)

6. Théorème de la valeur finale

limn→∞

x(n) = x(∞) = limz→1

z − 1

zX(z) = lim

z→1(1 − z−1)X(z)

7. Théorème de la convolution linéaire discrète

x(n) = x1(n) ∗ x2(n) X(z) = X1(z)X2(z)


Transformee en Z inverse

Soit X(z) la transformée en Z du signal x(n). On définit latransformée en Z inverse, la relation déterminant x(n) à partirde X(z) telle que :

x(n) =1

2πj

∮

C

zn−1X(z)dz (9)

Il existe trois principales méthodes :

1. l’intégration sur un contour fermé en utilisant le calcul desrésidus,

2. le développement en puissance de z ou de z−1,

3. le développement en fractions élémentaires.


Outils en traitement numérique du signal

4 Transform ee de Fourier d’un signal

discret

4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 27

Rappels sur les signaux continus

Soit un signal analogique xa(t) dont la transformée de Fourierest définie par :

Xa(jω) =

∫

∞

−∞

xa(t)e−jωtdt (10)

avec ω = 2πf .On retrouve le signal temporel à partir de sa transformée par latransformée de Fourier inverse définie par la relation suivante :

xa(t) =1

2π

∫

∞

−∞

Xa(jω)ejωtdω (11)


TF d’un signal discret non periodique

Pour un signal x(n) discret quelconque non périodique, satransformée de Fourier (TF ) s’écrit :

X(ejΩ) =

∞∑

n=−∞

x(n)e−jnΩ (12)

X(ejΩ) peut être exprimée à partir de la transformée en Z par larelation :

X(ejΩ) =∞

∑

n=−∞

x(n)z−n∣

∣

z=ejΩ = X(z)|z=ejΩ (13)


TF d’un signal discret non periodique – 2

• L’équation (12) implique que le TF n’existe que si le cercle unité,caractérisé par z = ejΩ, appartient au domaine de convergence deX(z).

• X(Ω) est périodique de période 2π. Ceci implique que le spectred’un signal discret est périodique .

La TF inverse est obtenue à partir de la transformée en Zinverse de X(z). On obtient :

x(n) =1

2π

∫ 2π

0X(ejΩ)ejnΩdΩ =

1

2π

∫ π

−π

X(ejΩ)ejnΩdΩ (14)



Exemple : x(n) = anu(n)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

an avec a=0.75

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

Module

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1

−0.5

0

0.5

1Argument



Exemple : x(n) = an, pour n = 0 . . . N − 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

an limité à 6 points

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

Module

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−2

−1

0

1

2

Argument


TF d’un signal discret periodique

Pour un signal xp(n) discret périodique de période N , unedécomposition en série de Fourier doit être utilisée sous laforme :

Xp(k) =N−1∑

n=0

xp(n).e(−2jπ n.k

N), k = 0, 1 . . . N − 1 (15)

xp(n) =1

N

N−1∑

k=0

Xp(k).e(2jπ n.k

N), n = 0, 1 . . . N − 1 (16)

Sa Transformée de Fourier s’écrit alors :

Xp(ejΩ) =

∞∑

k=−∞

Xp(k)δ

(

Ω − k2π

N

)

(17)


TF d’un signal discret periodique – 2

Exemple : x(n) = an, pour n = 0 . . . N − 1, periodique N

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

an périodique 6

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

Module

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1

−0.5

0

0.5

1Argument


Proprietes de la transformee de Fourier

1. Linéarité ou superposition

a.x(n) + b.y(n) a.X(ejΩ) + b.Y (ejΩ)

2. Décalage en temps-fréquence

x(n − n0) e−jn0ΩX(ejΩ)

x(n)ejnΩ0 X(ej(Ω−Ω0))

3. Dérivation en fréquence

n.x(n) jdX(ejΩ)

dΩ


Proprietes de la transformee de Fourier

5. Produit de convolution

x1(n) ∗ x2(n) =∞

∑

i=−∞

x1(i) ∗ x2(n − i) X1(ejΩ).X2(e

jΩ)

6. Théorème du fenêtrage (ou de la modulation)

x1(n).x2(n) 1

2π

∫ π

−π

X1(ejΘ).X2(e

j(Ω−Θ))dΘ

7. Théorème de Parseval (conservation de la puissance)

∞∑

i=−∞

|x(i)|2 =1

2π

∫ π

−π

|X(ejΩ)|2dΩ


Transformee de Fourier discrete (TFD)

X(k) =N−1∑

n=0

x(n)e−j 2πkn

N , k = 0, · · · , N − 1 (18)

x(n) =1

N

N−1∑

k=0

Xkej 2πkn

N , n = 0, · · · , N − 1 (19)

• Calcul rapide (Fast Fourier Transform, FFT )


5 Syst emes discrets

5. Systemes discrets – p. 38

Representation temporelle

Stratégie générale d’analyse d’un système linéaire invariant :

1. Décomposition du signal d’entrée en une somme de signaux oufonctions de base.

e(n) =∑

k

αkek(n)

2. Etude de la réponse du système pour l’ensemble des fonctions debase.

sk(n) = T [ek(n)]

3. Recomposition de la sortie en appliquant le principe desuperposition.

s(n) =∑

k

αksk(n)


Produit de convolution

e(n) =+∞∑

k=−∞

e(k)δ(n − k)

s(n) = T [e(n)] = T [

+∞∑

k=−∞

e(k)δ(n − k)] =

+∞∑

k=−∞

e(k)T [δ(n − k)]

On pose h(n) = T [δ(n)], alors

s(n) =

+∞∑

k=−∞

e(k)h(n − k) = e(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ e(n)

Un système discret est donc entièrement caractérisé par sa réponseimpulsionnelle h(n). L’opération ∗ liant la sortie s(n) à l’entrée e(n) et àla réponse impulsionnelle du système h(n) est appelée produit deconvolution.


Produit de convolution – 2

Exemple

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

indice temporel: n

repo

nse

impu

lsio

nnel

le h

(n)

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

indice temporel: n

sign

al e

ntrØ

e e(

n)

-30 -20 -10 0 10 20 300

1

2

3

4

5

6

7

8

indice temporel: n

sign

al d

e so

rtie

y(n

)

h(n) : réponse impul-sionnelle

e(n) : entrée du sys-tème

s(n) : réponse du sys-tème à l’entrée


Equation aux differences finies

Une équation aux différences finies peut s’écrire sous la forme :

s(n) = −

N∑

k=1

aks(n − k) +

M∑

k=0

bke(n − k) (20)

• Système récursif ou non-récursif• Réponse impulsionnelle infinie (RII ou IIR) ou finie (RIF ou

FIR)


Fonction de transfert en z

La fonction de transfert en z H(z) d’un système est définie par :

H(z) =S(z)

E(z)(21)

H(z) est également la transformée en Z de la réponseimpulsionnelle h(n) du système.

À partir de l’équation aux différences (20), on obtient :

H(z) =

∑Mk=0 bkz

−k

1 +∑N

k=1 akz−k=

N(z)

D(z)(22)


Representation frequentielle

Soit l’entrée e(n) = ejnωT = ejnΩ pour −∞ < n < +∞ d’un SLIde réponse impulsionnelle h(k). La sortie peut alors s’écrire :

s(n) =∞

∑

k=−∞

h(k)ej(n−k)Ω = ejnΩ∞

∑

k=−∞

h(k)e−jkΩ

H(ejΩ) =∞

∑

k=−∞

h(k)e−jkΩ

H(ejΩ) est appelé réponse fréquentielle du système. On étudieson module et sa phase :

H(ejΩ) = |H(ejΩ)|ej arg[H(ejΩ)]


Representation frequentielle – 2

Exemple : H(z) = 11+0.5z−1

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real part

Imag

inar

y pa

rt


Representation frequentielle – 2

Exemple : H(z) = 11+0.5z−1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

0

5

10

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Mag

nitu

de R

espo

nse

(dB

)


6 Filtrage num erique

6. Filtrage numerique – p. 46

Filtrage numerique

Modification des réponses temporelles et fréquentielles d’unsignal discret

Un filtre numérique est défini par :• sa réponse impulsionnelle ;• sa fonction de transfert en z ;• son équation aux différences finies ;• sa réponse fréquentielle.

Deux principales classes :• filtre RIF ;• filtre RII.


Fonction de transfert en z

H(z)X(z) Y(z)

a) Forme directe

H1(z)

X(z) Y(z)

b) Forme parallèle

H2(z)

HM(z)

. . .

H1(z)X(z) Y(z)

c) Forme cascade

H2(z) HM(z). . .

FIG. 1 – Représentations en fonction de transfert en z


Specification

Gabarit défini par sa sélectivité, son ondulation en BP, sonatténuation en BA

ΩπΩp

1

|H(ejΩ)|

1-δ1

1+δ1

δ2

Ωa

Ωπ

Ωp

0 dB

|H(ejΩ)| (dB)

20log(1-δ1)

20log(1+δ1)

20logδ2

Ωa

a) Gabarit fréquentiel linéaire b) Gabarit fréquentiel en dB

FIG. 2 – Gabarit fréquentiel d’un filtre passe-bas


Filtres RII

H(z) =N(z)

D(z)=

∑Ni=0 bi.z

−i

1 +∑N

i=1 ai.z−i(23)

y(n) =N

∑

i=0

bi.x(n − i) −N

∑

i=0

ai.y(n − i) (24)

Principales caractéristiques des filtres RII :

1. une bande de transition qui peut être étroite ;

2. une instabilité potentielle due à des pôles situés en dehorsdu cercle unité (i.e. ∃i, |pi| ≥ 1 ;

3. une instabilité numérique (i.e. après quantification descoefficients et du signal).


Filtres RIF

H(z) =N−1∑

i=0

bi.z−i (25)

y(n) =

N−1∑

i=0

bi.x(n − i) =

N−1∑

i=0

h(i).x(n − i) (26)

Principales caractéristiques des filtres RIF :

1. une bande de transition plus large ;

2. des méthodes de synthèse efficaces ;

3. une stabilité inhérente (∑N−1

n=0 |h(n)| < ∞) ;

4. une meilleure stabilité numérique que les RII ;

5. une phase qui peut être exactement linéaire.


Structures des filtres RIF

Graphe flot de signal dérivé de l’équation aux différences finies

+

+

+

Z-1

Z-1

b1

bN-1

bN

x(n-1)

x(n-N)

x(n) y(n)b0

+

Z-1

+

Z-1

+

+

Z-1

b1

bN-1

bN

y(n)b0

x(n)

a) Structure directe b) Structure transposée

FIG. 3 – Structures des filtres RIF

Pcalcul (MMACS) > (N + 1).Fe/106 (27)


Structures des filtres RII

H(z) =N(z)

D(z)= [N(z)]×

[

1

D(z)

]

=

[

N∑

i=0

bi.z−i

]

×

[

1

1 +∑N

i=1 ai.z−i

]

(28)

RII

Z-1

Z-1

b1

bN-1

bN

x(n-1)

x(n-N)

x(n) y(n)

Z-1

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

y(n-1)

y(n-N)

+

+

+

+

+

+

Z-1

Z-1

b1

bN-1

bN

x(n) y(n)

Z-1

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

+

+

+

RIF

a) Cascade b) Structure directe

b0 b0

FIG. 4 – Structures directes des filtres RII


Structures des filtres RII – 2

W (z) = 1D(z) .X(z)

Y (z) = N(z).W (z)

w(n) = x(n) −∑N

i=1 ai.w(n − i)

y(n) =∑N

i=0 bi.w(n − i)(29)

b) Structure canonique transposée

+

Z-1

+

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

+

+

Z-1

b1

bN-1

bN

y(n)b0

x(n)

a) Structure canonique directe

y(n)

Z-1

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

Z-1

b1

bN-1

bN

b0x(n) +

+

+

+

+

+

w(n)

w(n-1)

w(n-N)

FIG. 5 – Structures canoniques des filtres RII


7 Transform ee de Fourier rapide

(FFT)

7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 55

Transformee de Fourier rapide (FFT)

La transformation de Fourier rapide (TFR), ou encore FastFourier Transform (FFT), est directement issue d’uneréorganisation du calcul des matrices de la transformée deFourier discrète (TFD).

X(0)

X(1)...

X(N − 1)

=

1 1 1 · · · 1

1 W 1N W 2

N · · · WN−1N

......

......

...

1 W 2N W 4

N · · · W2(N−1)N

1 WN−1N W

2(N−1)N · · · W

(N−1)2

N

×

x(0)

x(1)...

x(N − 1)

(30)

avec WN = e(−2j π

N)


FFT Decimation in Time (DIT)

X(k) =∑

n pair

x(n).WnkN +

∑

n impair

x(n).WnkN (31)

X(k) =

N/2−1∑

n=0

x(2n).W 2nkN +

N/2−1∑

n=0

x(2n + 1).W(2n+1)kN (32)

X(k) =

N/2−1∑

n=0

x(2n).WnkN/2 + W k

N

N/2−1∑

n=0

x(2n + 1).WnkN/2 (33)

X(k) = G(k) + W kN .H(k) (34)

X(k +N

2) = G(k) − W k

N .H(k) (35)

où G(k) : TFD sur les N/2 points d’indices pairs,

H(k) : TFD sur les N/2 points d’indices impairs.


FFT Decimation in Time (DIT) – 2

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

N/2 points

N/2 points

TFD

TFD

x(0)

x(2)

x(4)

x(6)

x(1)

x(3)

x(5)

x(7)

W18

W28

W38

W48

W58

W68

W78

W08

FIG. 6 – Décomposition DIT de la TFD

• N2 log2N multiplications de nombres complexes

• Nlog2N additions/soustractions de nombres complexes



Xm(p)

Xm(q) Xm+1(q)

Xm+1(p)

-1W rN

FIG. 7 – Papillon DIT de la TFR

Xm+1(p) = Xm(p) + W rN .Xm(q)

Xm+1(q) = Xm(p) − W rN .Xm(q)

(36)



X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

X(0)

X(8)

X(4)

X(12)

X(2)

X(10)

X(6)

X(14)

X(1)

X(9)

X(5)

X(13)

X(3)

X(11)

X(7)

X(15)

FIG. 8 – Graphe d’une FFT DIF sur 16 échantillons


Autres graphes

• Decimation in Frequency (DIF)• Radix 4, . . .• Géométrie constante• . . .


8 Filtrage adaptatif

8. Filtrage adaptatif – p. 62

Filtrage adaptatif

• Pas de connaissance a priori des propriétés des signaux etsystèmes aléatoires traités

• Le filtre «optimal» se construit au fur et à mesure de l’arrivéedes échantillons

• Les coefficients du filtre s’adaptent selon un critère d’erreur• Convergence vers le filtre «optimal»

• Égalisation, codage, annulation d’écho, caractérisation ouextraction d’informations, filtrage et réduction de bruit


Annulation d’echo acoustique

Microphone

Loud speaker

near end speach

AmbientNoise

Reflections

to far end speaker

from far end speaker

+-

HtComputation of coefficients

FIG. 9 – Annulation d’écho acoustique


Algorithme du gradient stochastique

• Minimise l’erreur quadratique entre le filtre et son optimal :Least Mean Square (LMS)

• Minimisation de la fonction d’erreur par la méthode dugradient stochastique

Filtrage :

yn = UTn Wn−1

Erreur :εn = yn − yn

Gradient :Wn = Wn−1 + µnεnUn


9 Quantification et arithm etique

enti ere

9. Quantification et arithmetique entiere – p. 66

Bruit d’une conversion analogique/numerique

FIG. 10 – Bruit de conversion analogique numérique


Modele du bruit de quantification

+ y

e

xQ( ) yx

• Hypothèses : e(n) est stationnaire, e(n) n’est pas corrélé avec x(n), les bruits de quantification sont statistiquement indépendants, e(n) est un bruit blanc uniformément réparti, e(n) est borné par le pas de quantification, la distribution de probabilité de e(n) est uniforme, l’ergodicité implique que les moyennes temporelles et statistiques

sont équivalentes.• Selon la loi de quantification utilisée :

arrondi : me = 0, σ2e = q2

12 , troncature : me = q

2 , σ2e = q2

12 .


Modeles du bruit (dus aux calculs)

Xe = −2m.S +

m−1∑

−n

bi2i, Xs = −2m.S +

m−1∑

−j

bi2i (37)

Xs est le résultat de la quantification de Xe, i.e. Xs = Q[Xe]

b1 bj-1 bj bn-2 bnbn-1bj+1

Bits tronqués k bitsBits restants b-k bits

j-nk avec =

2-j+1 2-j 2-n+2 2_n2-n+12-j-1

bm-1 bm-2 b2-n

2-n

b1-n b-nb-j-1b-jb-j+1

FIG. 11 – Représentation des données lors d’une troncature

L’expression du bruit de quantification correspondant à la différenceentre les deux variables Xe et Xs, est la suivante : bg =

∑ni=j−1 b−i2

−i


Modeles du bruit – 2

p(xq) =

2k−1∑

i=0

2−kδ(xq − i.2−n) (38)

xq.2n0 1 2 3

2-k

p(xq)

2k -1

FIG. 12 – Fonction de distribution du bruit généré lors d’une troncature



La moyenne de cette variable aléatoire est la suivante :

µbg=

+∞∑

i=−∞

yip(yi) =2k

−1∑

i=0

i.2−n.2−k (39)

soit

µbg= 2−j−1(1 − 2j−n) =

q

2(1 − 2−k) (40)

La variance de cette variable aléatoire est égale à :

σ2bg

=

+∞∑

i=−∞

y2i p(yi) − µ2

bg(41)

soit

σ2bg

=2−2j

12(1 − 22(j−n)) =

q2

12(1 − 2−2k) (42)



op + +

Erreurpropagée

Erreur

générée

x

y

bs bs bq

bx

by

bp bg

z

FIG. 13 – Modélisation du bruit de calcul

• Propagation des bruits dans le graphe• . . .


Filtrage d’un bruit de quantification

RSB =σ2

x

σ2e

=σ2

x

q2/12= 12 × 22(b−1)σ2

x (43)

RSBdB = 10 log RSB = 6.02 × b + 4.77 × 10 log σ2x (44)

FIG. 14 – Filtrage d’un bruit de quantification


Filtrage d’un bruit de quantification – 2

En sortie du filtre, si on considère que le filtre ne génère pas debruit, on aura alors :

y(n) = x(n) ∗ h(n) + e(n) ∗ h(n) = x(n) ∗ h(n) + f(n) (45)

où f(n) est le bruit de quantification en sortie du filtre. On définitalors les moyennes mf et puissance du bruit σ2

f du bruit f(n) :

mf = me

+∞∑

n=−∞

h(n) = meH(ej0) (46)

σ2f = σ2

e

+∞∑

n=−∞

|h(n)|2 =σ2

e

2π

∫ π

−π

|H(ejΩ)|2dΩ (47)


Effets de la quantification

Filtrage RIF H(z) =∑N−1

i=0 bixn−i

×

×

×

×

×

FIG. 15 – Bruits de quantification dans un filtre RIF

• bgx représente le bruit en entrée du filtre associé au signal x(n).• bgbi

représente le bruit généré par les multiplications.• bgadd représente le bruit généré par le changement de format en sortie du filtre.


Effets de la quantification – 2

Bruit en sortie du filtre RIF pour une architecture simpleprécision

σ2f = σ2

e

N−1∑

n=0

|h(n)|2 + Nq2

12(48)

Bruit en sortie du filtre RIF pour une architecture doubleprécision

σ2f = σ2

e

N−1∑

n=0

|h(n)|2 +q2

12(49)

Débordement du filtre RIF

|y(n)| ≤ xmax

N−1∑

n=0

|h(n)| (50)


Effets de la quantification – 3

Filtrage RII du second ordre


Pour plus d’informations...

References

[Bel87] M. Bellanger. Traitement Numérique du Signal. CollectionCNET-ENST, MASSON, 1987.

[EW92] Van Den Enden and Werdeckh. Traitement Numérique duSignal : Une Introduction. Masson, 1992.

[HL97] D. Hanselman and B. Littlefield. Matlab : the language oftechnical computing. Prentice Hall, 1997.

[Ka91] M. Kunt and al. Techniques modernes de TraitementNumérique du Signal. Collection CNET-ENST, PressesRomandes, Masson, 1991.

[ME93] C. Marven and G. Ewers. a simple approach to Digital SignalProcessing. Texas Instruments Mentors, 1993.



References

[MSY98] J. McClellan, R. Schafer, and M. Yoder. DSP First : aMultimedia Approach. Prentice Hall, 1998.

[OS75] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer. Digital SignalProcessing. Prentice-Hall, 1975.

[OS99] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer. Discrete-Time SignalProcessing, second edition. Prentice-Hall, 1999.

[PM96] J. Proakis and D. Manolakis. Digital Signal Processing :Principles, Algorithms and Applications. Prentice Hall, 1996.

[Poa97] B. Poart. A Course in Digital Signal Processing. John Wiley& Sons, 1997.

[SS88] R. David S. Stearns. Signal Processing Algorithms. PrenticeHall, 1988.



[email protected]

http ://lasti.enssat.fr/GroupeArchi/enseignements/Tns

∑−

=−=


mailto:[email protected]

http://lasti.enssat.fr/GroupeArchi/enseignements/Tns

Table des matieres

Table des mati eres1 Échantillonnage et reconstruction des signaux 8

2 Signaux à temps discret 15

3 Transformée en Z 22

4 Transformée de Fourier d’un signal discret 27

5 Systèmes discrets 38

6 Filtrage numérique 46

7 Transformée de Fourier rapide (FFT) 55

8 Filtrage adaptatif 62

9 Quantification et arithmétique entière 66


Documents

Introduction au traitement numérique du signal - Reality · Introduction au traitement numérique du signal ... Il est possible de reconstruire le signal continu à partir du signal