INTRODUCTION AUX CHAÎNES DE .INTRODUCTION AUX CHAÎNES DE MARKOV L3 Génie Biologique et Informatique

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  • INTRODUCTION AUX CHANES DE MARKOV

    L3 Gnie Biologique et Informatique Second semestre 2013-2014

    MIKAEL FALCONNETmikael.falconnet@genopole.cnrs.fr

    1

  • 2

  • Table des matires

    1 Probabilits sur un ensemble fini ou dnombrable 5

    1.1 Univers, vnements et mesures de probabilit . . . . . . . . . . . . 5

    1.2 Variables alatoires, esprance, variance . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3 Probabilits conditionnelles, indpendance . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.4 Tp no 1 chanes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.4.1 chauffement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.4.2 Fiction immunitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2 Loi faible des grands nombres 15

    2.1 Loi des grands nombres pour un pile ou face. . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2 Mthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.3 Tp no 2 chanes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.3.1 Marches alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.3.2 Calcul approch de par des mthodes probabilistes . . . . 22

    3 Chanes de Markov temps discret et espace dtats fini ou dnombrable 23

    3.1 Exemples conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.2 Dfinition et proprit de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3.3 Loi de Xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3.4 Dcomposition en classes de communication . . . . . . . . . . . . . 29

    3.5 Thormes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.6 Rcurrence, transience at autres dmonstrations . . . . . . . . . . . 33

    3.7 Tp no 3 chanes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.7.1 Le modle simple de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.7.2 Prise en compte des mutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3

  • A Corrigs des exercices 43

    B Corrigs des Tp 69

    C Interrogations et DS 91

    4

  • Chapitre 1

    Probabilits sur un ensemble finiou dnombrable

    1.1 Univers, vnements et mesures de probabilit

    On convient de reprsenter une exprience alatoire E , cest dire une expriencedont lissue est soumise au hasard, par lensemble de tous les rsultats possibles cette exprience. Cet ensemble est appel univers, espace des possibles ou encoreespace dtats. Un rsultat possible de lexprience E est classiquement not .

    Exemple I (Quelques exemples dunivers).

    - Lunivers pour le jeu de pile ou face est= {P,F}.- Lunivers pour le jeu de pile ou face rpt deux fois est

    = {(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)}.

    - Lunivers pour la dure de vie dune ampoule lectrique est= [0,+[.

    Un vnement alatoire A li lexprience E est un sous-ensemble de donton peut dire au vu de lexprience sil est ralis ou non.

    Exemple II (Quelques exemples dvnements).

    - Obtenir pile lors dun jeu de pile ou face.- Obtenir au moins un pile lors de plusieurs lancers de pice.- Lampoule survit plus de 200 heures lors de la dure de vie dune ampoule

    lectrique.

    Les vnements alatoires tant des ensembles, nous allons rapidement rappe-ler les oprations lmentaires sur les ensembles afin de dcrire la ralisationdvnements.

    5

  • Considrons un ensemble, cest dire une collection dobjets appels lmentsde . Une partie A de est aussi un ensemble, appel sous-ensemble de .Lappartenance dun lment au sous-ensemble A est note A, et Asignifie que le point nappartient pas A.

    Rappelons les oprations lmentaires sur les parties dun ensemble.Intersection : lintersection des ensembles A et B note AB est lensembledes points appartenant la fois A et B .Runion : la runion de deux ensembles A et B note AB est lensemble despoints appartenant au moins lun des deux ensembles.Ensemble vide : lensemble vide, not ;, est lensemble ne contenant aucunlment.Ensembles disjoints : les ensembles A et B sont dits disjoints si AB =;.Complmentaire : le complmentaire de lensemble A dans, not Acou\ A, est lensemble des lments nappartenant pas A. Les ensembles Aet Ac sont disjoints.

    Les oprations ensemblistes prcdemment dcrites sinterprtent de la maniresuivante avec les vnements. Soient A et B deux vnements.

    Non : la ralisation de lvnement contraire A est reprsent par Ac : lersultat de lexprience nappartient pas A.Et : lvnement A et B sont raliss est reprsent par AB : le rsultat delexprience se trouve la fois dans A et dans B .Ou : lvnement A ou B sont raliss est reprsent par AB : le rsultatde lexprience se trouve soit dans A soit dans B soit dans les deux.Implication : le fait que la ralisation de lvnement A entrane la ralisationde B se traduit par A B .Incompatibilit : si AB =;, A et B sont dits incompatibles. Un rsultat delexprience ne peut tre la fois dans A et dans B .

    Nous cherchons dfinir, pour un ensemble possible de ralisations de lexp-rience A, la vraisemblance accorde a priori A (avant le rsultat de lexprience).Nous voulons donc associer chaque vnement un nombre P(A) compris entre0 et 1, qui reprsente la chance que cet vnement soit ralis la suite de lexp-rience.

    Dfinition 1.1. Soit E une exprience alatoire dunivers. On appelle mesure deprobabilit sur (ou plus simplement probabilit) une application P qui associe tout vnement alatoire A un nombre rel P(A) telle que(i) Pour tout A tel que P(A) existe, on a 06P(A)6 1.(ii) P(;) = 0 et P() = 1.(iii) AB =; implique que P(AB) =P(A)+P(B).

    Si est fini ou dnombrable, toute probabilit P sur est parfaitement dtermi-ne par la donne dun ensemble de nombres {p() : } vrifiant- , p()> 0.-

    p() = 1.

    6

  • On a alors P({}) = p() et pour tout A, P(A) =A p().On note |E | le cardinal dun ensemble E . Si est fini, la probabilit P dfinie sur par

    P({}) = 1|| ,

    est appele probabilit uniforme sur . Cest la probabilit qui rend toutes lesissues quiprobables. On a alors, pour tout vnement A

    P(A) = |A||| ,

    formule que lon paraphrase souvent ainsi

    P(A) = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles

    .

    Exemple III (Lancers de deux pices). Lunivers associ au lancers de deuxpices est dfini par

    = {(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)}.

    Le cardinal de est donc gal quatre. Si lon met la probabilit uniforme sur,alors la probabilit de lvnement A dfini comme obtenir au moins un pile estdonn par

    P(A) = |A||| =|{(P,P), (P,F), (F,P)}|

    4= 3

    4.

    1.2 Variables alatoires, esprance, variance

    Une variable alatoire est une fonction dont la valeur dpend de lissue duneexprience alatoire E dunivers. On dit quune variable alatoire X est discrtesi elle prend un nombre de valeurs fini ou dnombrables. Lensemble des issues sur lesquelles X prend une valeur fixe x forme lvnement { : X () = x} quelon note [X = x]. La probabilit de cet vnement est note P(X = x).La fonction pX : x 7 P(X = x) est appele la loi de la variable alatoire X . Si{x1, x2, . . .} est lensemble des valeurs possibles pour X , on a

    pX (xi )> 0,

    ipX (xi ) = 1.

    Exemple IV. Soit S2 le nombre de piles obtenus lors du lancer de deux pices.Lensemble des valeurs possibles pour S2 est {0,1,2}. Si lon munit lunivers associ cette exprience alatoire de la probabilit uniforme P, il vient

    P(S2 = 0) =P({(F,F)}) =1

    4,

    7

  • puis

    P(S2 = 1) =P({(P,F), (F,P)}) =1

    2,

    et enfin

    P(S2 = 2) =P({(P,P)}) =1

    4.

    On remarque quil est possible de rcrire lvnement A de lexemple III dfini par obtenir au moins un pile comme lvnement [S2 > 1]. On retrouve alors

    P(A) =P(S2 > 1) =P(S2 = 1)+P(S2 = 2) =3

    4.

    Exercice I. On tudie le lancer de deux ds six faces quilibrs

    1. Quel est lespace dtats associ cette exprience ? Donner son cardinal.

    2. On munit de la probabilit uniforme P. On dfinit la variable alatoire Xcomme la somme des rsultats de chaque d. Dterminer la loi de X .

    Lorsquelle existe, on appelle esprance ou moyenne dune variable alatoirediscrte X la quantit note E(X ) dfinie par

    E(X ) =

    ixi P(X = xi ) =

    ixi pX (xi ).

    Lesprance est toujours dfinie si X prend un nombre fini de valeurs, ou bien siX est valeurs positives.

    Exemple V. Soit S2 la variable alatoire dfinie dans lexemple IV. Il vient

    E(S2) = 0 P(S2 = 0)+1 P(S2 = 1)+2 P(S2 = 2) = 1.

    Lorsquelle existe, on appelle variance dune variable alatoire discrte X laquantit note Var(X ) dfinie par

    Var(X ) = E([X E(X )]2) =

    i[xi E(X )]2 P(X = xi ).

    Proposition 1.2. Soit X une variable alatoire discrte telle que E(X ) et Var(X )existent. On a alors

    Var(X ) = E(X 2) [E(X )]2.

    Exercice II. Dmontrer la proposition 1.2.

    Exemple VI. Soit S2 dfinie comme ci-dessus. Il vient

    E(S22) = 02 P(S2 = 0)+12 P(S2 = 1)+22 P(S2 = 2) =3

    2,

    et

    Var(S2) =3

    212 = 1

    2.

    8

  • On dit quune variable alatoire X suit une loi de Bernoulli de paramtre p si elleprend les valeurs 0 et 1 uniquement, et si

    (1.1) P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1p.

    Une telle variable alatoire peut tre interprte comme lobtention dun suc-cs lors dune exprience alatoire, le succs tant cod comme 1 et lcheccomme 0.

    Exercice III.

    1. Lors du lancer dune pice de monnaie quilibre, on considre X la variablealatoire valant 1 si on obtient pile et 0 si on obtient face. La variable ala-toire X suit-elle une loi de Bernoulli ? Si oui, de quel paramtre ? Si non,pourquoi ?

    2. Lors du lancer dun d non pip, on considre la variable alatoire Y valant1 si lon obtient un nombre suprieur ou gal cinq, et 0 sinon. La variablealatoire X suit-elle une loi de Bernoulli ? Si oui, de quel paramtre ? Si non,pourquoi