21
introduction aux modèles cosmologiques M. Lachièze-Rey Centre d’Etudes de Saclay, FRANCE

introduction aux modèles cosmologiques

  • Upload
    fifi

  • View
    49

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

introduction aux modèles cosmologiques. M. Lachièze-Rey Centre d’Etudes de Saclay, FRANCE. Cosmologie. La cosmologie c oncerne les propriétés globales du monde. L’univers possède des propriétés globales.  La cosmologie scientifique existe. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: introduction aux modèles cosmologiques

introduction aux modèles cosmologiques

M. Lachièze-Rey

Centre d’Etudes de Saclay,

FRANCE

Page 2: introduction aux modèles cosmologiques

CosmologieLa cosmologie concerne les propriétés globales du monde.

L’univers possède des propriétés globales. La cosmologie scientifique existe.

Cosmologie relativiste : selon la théorie de la relativité générale

Univers = espace-temps + contenu énergétique

Fondements :Principes

Principe cosmologique : L’espace est homogène et isotropeSimplicitéLa gravitation gouverne la cosmologie

Théories  La gravitation est décrite par la relativité générale :

Toute la physique connueObservations : très nombreuses

Page 3: introduction aux modèles cosmologiques

Relativité généraleLe Cadre pour la physique : pas espace + temps, mais espace-temps courbe

Métrique g courbure (tenseur de Riemann R)Le tenseur de Riemann représente la gravitation.

Les équations d’Einstein permettent de calculer R à partir - du contenu énergétique (tenseur d’énergie-impulsion T) - et de la constante cosmologique .

En général très compliquéesSimplifiées par les symétries

(symétrie sphérique, cosmologie)Matière et lumière suivent les géodésiques de l’espace-temps.

Le but de la cosmologie relativiste est de trouver une bonne description de l’espace-temps, par exemple par sa métrique.

Page 4: introduction aux modèles cosmologiques

Principe cosmologique

L’espace [les sections spatiales de l’espace-temps]sont à symétrie maximale (=homogènes et isotropes)

1) l’espace-temps est simple = espace * temps Mais les propriétés de l’espace varient

dans le temps (expansion).

2) description simple du contenu énergétique :Quantités moyennes seulement

(densité d’énergie , pression p)

Page 5: introduction aux modèles cosmologiques

Le principe cosmologique suffit à déterminer une forme pour la métrique :

ds2 = dt2 -a(t) 2 d2,- où d2 est la métrique d’un espace à symétrie maximale :

R3 (k=0), S3 (k=1) ou H3 (k=-1) .

= forme de Robertson - Walker.Dans des « bonnes » coordonnées ;(ceci est indépendant de la théorie de gravitation).

Donc ces modèles sont déterminés par la fonction a(t) et la constante k.a(t) est le facteur d ’échelle :

toute longueur cosmique varie proportionnellement à ak est le paramètre de courbure.

Page 6: introduction aux modèles cosmologiques

Temps conforme

ds2 = dt2 -a(t) 2 d2

On peut toujours effectuer un changement de variable t --> défini par d =dt /a(t).La métrique s’écrit

ds2 = a(t[]) 2 [d2 -a(t) 2 d2]

- Elle est « conformément plate »-est le temps conforme (sans signification physique).

Page 7: introduction aux modèles cosmologiques

Sections spatiales symétriques

Page 8: introduction aux modèles cosmologiques

Modèles de Friedmann - Lemaître

La relativité générale permet de calculer la courbure de l’espace-temps à partir du tenseur d’énergie-impulsion et de L, par les équations d’Einstein.

Avec le pc, la courbure se réduit à a(t) et k;Les équations d’Einstein se réduisent aux équations de Friedmann.La matière est décrite par

sa densité moyenneet sa pression moyenne.

Page 9: introduction aux modèles cosmologiques

Modèles de big bang = ceux pour lesquels le facteur d ’échelle s annule

pour une valeur de t finie : a(ti) =0. (en fait, cette cosmologie ne tient pas compte des effets quantiques qui pourraient empêcher une telle singularité. Il vaut mieux remplacer la condition par a(ti) = Lplanck

Page 10: introduction aux modèles cosmologiques
Page 11: introduction aux modèles cosmologiques

Aujourd ’hui Le taux présent d’expansion H(t0 ) est

la constante de Hubble H0

Une distance D varie proportionnellement à a,V = D’= (a’/a) D. On note (a’/a) 0 = H0.

De l ’équation de Friedmann on déduit(H0) 2+ k / (a0)2 = (8 G) 0/ 3+/3

Page 12: introduction aux modèles cosmologiques

Un modèle simpleOn suppose = k= 0.Pas de constante cosmologique,Sections spatiales euclidiennesCe modèle est appelé Einstein - de Sitter

Ceci implique0 =3 (H0) 2 / (8 G) = critique

C’est la définition de la densité critique critique, qui sera utilisé comme unité cosmologique de densité d ’énergie.

Pour toute forme d’énergie , on posera = / critique.Par exemple, matière = matière / critique

ATTENTION : n’est pas une quantité constante !

Dans les années 1970-1980, ceci était considéré comme le meilleur modèle pour décrire notre univers (cdm).

Page 13: introduction aux modèles cosmologiques

Pour une notation harmonieuse, on écrit aussi: / 3 (H0) 2 = =

On a donc, de manière générale,1+ k / (H0 a0)2 = contenu+

Un univers à sections spatiales euclidiennes vérifie donccontenu+= 0.

Page 14: introduction aux modèles cosmologiques

ContenuOn distingue plusieurs formes d’énergie dans l’univers qui peuvent

être source de gravitation:Matière (baryonique ou non baryonique) : p=0Rayonnement (électromagnétique ou gravitationnel,

neutrinos s’ils n’ont pas de masse) : p = - Énergie « exotique » = > 0 (pourquoi ?), p < 0.En particulier « énergie du vide » p = - .

Toutes ces formes d ’énergie se diluent avec l ’expansion : Matière : a-3

Rayonnement : a-4

Énergie du vide : CtRem.: on peut formellement écrire la contribution de la constante cosmologique sous la forme = /8G, p= - .D’où la confusion.

Page 15: introduction aux modèles cosmologiques

Loi d ’expansionElle est exprimée par la fonction a(t).Sa première dérivée (logarithmique) est le taux d‘expansion H(t), aujourd’hui la constante de Hubble HO.

Sa seconde dérivée est exprimée par le paramètre de décélération q= - a’’ a / (a’)2.

Son signe indique accélération ou décélération de l ’expansion. Aujourd’hui, 2qO = -2

Les observations donnent HO.Les différents tests cosmologiques fournissent le plus souvent

des combinaisons de k et qO .

Page 16: introduction aux modèles cosmologiques

Espace-temps de Minkowski Une solution formelle de la relativité générale.Non physique car : pas de contenu, pas d’expansion.

Métrique ds2 = dt2 - d2

d2 = dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + r2 (d2 + sin2 d2

Géodésiques radiales : r = A t +BMatière (lignes de temps) = A > 0Lumière A = 1

NB. Par un changement de variable t=cosh r=sinh la même métrique s’écrit :ds2 = d 2 - 2 [d2 + sinh2 (d2 + sin2 d2Décrit un univers en expansion, à sections spatiales hyperboliques--> Attention ! (Mizony)

Page 17: introduction aux modèles cosmologiques

Espace-temps complètement symétriques

Il en existe trois seulement : Minkowski, de Sitter et anti-de Sitter.

de Sitter : expansion, sections spatiales = S3 (3-sphère).Peut-être vu comme un hyperboloïde à 4D dans un espace plat à 5D La solution des équation de Friedmann avec > 0

anti-de Sitter : lignes de temps fermées (!), sections spatiales = H3 (espace hyperbolique).Peut-être vu comme un hyperboloïde à 4D dans un espace plat à 5D

Page 18: introduction aux modèles cosmologiques

de Sitter

Métrique canonique : ds2 = dt2 - cosh2(t/L) d2

Où = 1/L2

Où d2 est la métrique de la 3-sphère S3 de rayon L.

C’est une forme RW : facteur d’expansion a(t) = cosh(t/L)• expansion accélérée : bonne approximation de

notre univers aujourd’hui (la meilleure?)• inflation• symétrie maximale --> le vide géométrique ?

Le même espace-temps (en fait différentes parties) sont décrites par des formes différentes de la métrique -->

Page 19: introduction aux modèles cosmologiques

Changements de variables :

1) sinh(t/L) = sinh(T/L) cosh () cosh(t/L) sin (r) = sinh(T/L) sinh () cosh(t/L) cos (r) = cosh(T/L)

Donne ds2 = dT2 - sinh2(t/L) d2

Où d2 est la métrique de l’espace hyperbolique H3 de rayon L.

2) sinh(t/L) = sinh(v/L) + 2 ev/L /2 L2

cosh(t/L) sin (r) = ev/L / L cosh(t/L) cos (r) = cosh(v/L) - 2 ev/L /2 L2

Donne ds2 = dv2 - e2v/L d2

Où d2 est la métrique de l’espace Euclidien R3.

3) ds2 = (1-R2/3) d2 - (1-R2/3)-1 dR2 - R2 d2 (forme statique).

Page 20: introduction aux modèles cosmologiques

Forme sans dimension des équation de Friedmann

Les équation de Friedmann impliquent2 q0 = matière + 2 rayonnement - 2

matière + rayonnement + -1 = k / (H02 a0

2) = - courbure

On peut les écrire sous une forme sans dimension : En posant x = a/a0 = 1/(1+z)

(x’)2=F-2(x),Avec F(x)= mat /x+ ray /x2 + x2 + courbure

Où x est la seule quantité à varier

Page 21: introduction aux modèles cosmologiques

Âge de l ’univers

Par définition, c’est le temps écoulé depuis le moment où a(t) s’est annulé :

tU = H0-1 ∫0

1 dx (mat /x+ ray /x2 + x2 + courbure)-1/2