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Master parcours TACS
INTRODUCTION AUX PROBLEMES INVERSES
Stéphane ANDRIEUXLaboratoire de Mécanique des Structures Industrielles Durables
(LaMSID)UMR CNRS EDF
Plan du cours
• Introduction :• Philosophie, exemples et contre-exemples• Quelques rappels techniques
• Identification directe et méthodes énergétiques• Méthodes variationnelles des moindres carrés
• Calcul du gradient par état adjoint
• Régularisations• Algorithmes
Plan du cours 1
• Définitions des problèmes inverses et exemples• 4 exemples précis• Les questions posées par la résolution de problèmes inverses• Problèmes bien et mal posés• Identifiabilité : peut-on entendre la forme d’un tambour ?
Problème inverse en gravimétrie
• Problème direct:• Déterminer le champ de pesanteur vertical g3
(plus exactement sa perturbation ou son « anomalie) en fonction de la distribution de masse volumique dans une région V :
• Problème inverse• A partir de mesures d’anomalie de g3 sur le
bord du domaine V, reconstruire la répartition de masse volume ρ.
33
1( ). ( )V
g g dVx
ρ∂=∂ −∫x e y
x ySi ρ(x) est donnée,
Points de mesure
ρρρρ ?
Prospection sismologique
A partir de nombreuse mesures de pression sur les hydrophones (100x 1500 valeurs), déterminer (E,ν,ρ) dans le sous -sol.
Ondes acoustiques dans l’eau, ondes élastodynamiques dans le sol Célérités : 1500 m.s-1 eau
Ondes « p » : 2000/5000 m.s-1 roches
Identification de source électriques : applications biomédicales
Equation du problème direct identique à l’équation (stationnaire de la chaleur)
Mesure du potentiel électrique (Φ) et de l’intensité (∇ Φ .n) sur une vingtaine de points du scalp
( ) ( )div sσ− ∇Φ = x
Modifier la position du départ de la bille et relever le point de sortie (angle également éventuellement)
L’énergie cinétique de départ est un paramètre important.
A partir des résultats de différents « tirs » (position et énergie cinétique) : déterminer la forme de l’obstacle
Un analogue mécanique des problèmes de « scattering » inverse
Beaucoup de méthodes de tomographie* sont basées sur le principe de l’excitation du système via une onde (mécanique, acoustique, électro-magnétique) et l’analyse de la diffraction/réflexion de celle-ci sur des capteurs disposés autour de l’objet à imager.
*Tomos : tranche en grec
Définitions
• Problèmes inverses < > problèmes directs• Problèmes inverses < > problèmes bien posés• Problèmes inverses :
• recherche des causes < > recherche des effets
• Problèmes inverses : • Identification de paramètres, recalage, recherche de forme ou
de frontières• Restauration de contraste sur images (deblurring)• Dérivation numérique, interpolation sur grille irrégulière, ..• Détection acoustique, magnétique, rayon X ou γ, ..…
Exemple 1 : identification de la loi de comportement cisaillement dun matériau à partir dessai de torsion
z
Γ Θ
Données :Géométrie (R,L)Fonction Couple /angle Γ(Θ),Θ dans [0,Θ max]
Γ
Θ
τ
γ
?Inconnue: Fonction τ = f(γ)
τ cisaillement, γ déformation de distorsion
Mise en équationHypothèses :Matériau isotrope, champs de contraintes et de déformations invariants/zChamp de contrainte uniaxial, déplacement de la même forme qu’en élasticité
Contraintes :
( )( , ) ( ) z zr r θ θθ τ= ⊗ + ⊗σ e e e e
Déformations :
( , ) rzrL θθ = Θu e
Equilibre 2 20
π τ( )r r drR∫ = Γ
τ fonction quelconque (non nécessairement C0)
( )2rrL θγ = Θ e( )( , ) ( ) z zr r θ θθ γ= ⊗ + ⊗ε e e e ed’où
Equation sur la fonction f cherchée
f rL
r drR ( ) ( )Θ Γ Θ2 2
20∫ =
π ∀ Θ ∈ [0, Θmax]
Formulation du problème inverse
Trouver la fonction f de ]0, ΘmaxR/2L[ telle que :
f rL
r drR ( ) ( )Θ Γ Θ2 2
20∫ =
π∀ Θ ∈ [0, Θmax]
Equation intégrale de Fredholm de première espèce : k x y f x dx g yI
( , ) ( ) ( )=∫k(x,y) est le noyau de l’équation
Changement de variable : x = rΘ/2L f x x dxL
RL ( ) ( )2
3
302
16=∫
Θ Γ ΘΘ
π
33 2
1 1 ( )42
dRfdLRL π
Θ = Θ Γ Θ ΘΘ
Solution « explicite » du problème inverse
Θ ∈ [0, Θmax]
Commentaires sur l’exemple 1
• Solution explicite (rare)• Pour autant : si les données sont sous forme discrète, il faudra « dériver les
données »• L’équation intégrale de Fredholm de première espèce est très fréquemment
rencontrée dans les problèmes inverses : le modèle type est la dérivation numérique ….équation pas si simple à manipuler
• Ici, on peut directement estimer, à partir de l’amplitude de la rotation imposée lors de l’essai, le domaine de f identifiable
• NB : Généralisation de la formule associé à la recherche de la dérivée fd’ordre n d’une fonction g :
11
10( )!
( )( ) ( )n
f x y x dx g yny
−− =−∫
Equation de Volterra (borne variable)
Exemple 2 : identification de fissures, dhétérogénéités ou de cavités par des données surabondantes de bord.
Inconnue: 1. Fonction conduction k(x)2. Contours Γi (fissures, cavité, bord inaccessible aux mesures)
Tomographie thermique ou électrique
Ω=−
Ω=∇−
isurnTk
dansTkdiv
∂∂∂ 0
0).(
k(x)
ΦΦΦΦ,Tm
ΓΓΓΓi
ΓΓΓΓc
ΩΩΩΩ
Données :Géométrie (partiellement)
. .mcT T et q n T n sur∂= = −∇ = Φ Ω
Equilibre thermique ou électrique(ou élastique)
Données surabondantes pour le problème « direct »
Opérateur de Dirichlet NeumanCas où tout le bord extérieur est accessible aux mesures
Pour Tm donnée, il existe une unique solution au problème dit de Dirichlet :
Ω=−
Ω=∇−
isurnTk
dansTkdiv
∂∂∂ 0
0).( et mcT T sur ∂= Ω
k(x)
T=Tm
ΓΓΓΓi
ΓΓΓΓc
ΩΩΩΩ
L’opérateur de Dirichlet Neuman associe à la température Tm sur le bord du solide, le flux de la solution de problème de Dirichlet sur le bord du solide :
( ) ( ).m mDN T T T n= −∇ = Φ
: ( ).m mDN T T T n∂Ω ∂Ω
→ −∇
Formalisation du problème inverse :La connaissance de DN(Ω,k) conduit-elle à celle de Γi ou k(x) de manière unique ? Une connaissance partielle de DN (nombre fini d’expériences) suffit elle ?Quels sont les k(x) ou les contours indiscernables pour une expérience donnée ?
Un exemple plus réaliste : stratification thermique dans une tuyauterie
T
z
50
250
Tube « épais » Re=2Ri u1 u2
Erreur u1-uexact
Quatre grands types de problématiques associés aux problèmes inverses
1. Est-ce possible ? • Question d’identifiabilité
2. Est-ce stable ou stabilisable compte tenu des erreurs ou incertitudes des données ?
• Question de la régularisation, paramétrisation des inconnues
3. Quelle méthode utiliser ?• Formulation du problème inverse, paramétrisation des inconnues• Algorithmes pratiques
4. Quelles autres « données », non strictement nécessaires à la résolution introduire ?
• Question des informations a priori
Problèmes bien et mal posés
Hadamard (1923) :
Le problème : ( ),
, munisde topologies
K u ff Y donnéx XX Y
= ∈ ∈
est bien posé Ssi:1. Pour tout f de Y , il existe une solution2. Cette solution est unique (ou en nombre fini)3. x dépend continûment de f pour les topologies de X et Y
Illustration I du caractère mal posé d’un problème (existence de solution)
u=fy0(x)
u,xy=0
L
hu=fyh(x)
u=fxL(y)u=fx0(y)
Aucune solution n’existe si les données ne vérifient pas les deux conditions :
y0 yL y x0 xL x, constantes tellesque : f (x)-f (x)=C ,f (y)-f (y)=Cx yC C∃
, 0xyu =
( , ) ( ) ( )u x y U x V y= +
Changement de variables :2
y xX +=2
y xt −= , , 0XX ttu u− =
Equation des ondesSolution générale f(X-t)+g(X+t)X
t
Pas de conditions sur tous les bords pour une équation des ondes (hyperbolique) : le problème n’est bien posé que pour certaines CL
Illustration II du caractère mal posé d’un problème (sensibilité aux données)
u=0 u=0
T=0,Φ
u=?, ϕ=?
∆u=0
1
0,5
Si
Alors
( ) sin( )x n xπΦ =
1( , ) sin( )s ( )u x y n x h n yn
π ππ
=
Prenons 0 ( ) sin( )x xπΦ = Alors 01( , ) sin( )s ( )u x y x h yπ ππ
=
Perturbons cette donnée par 1( ) sin( )x nxε πΦ = Avec ε « petit »
… qui peut être rendue aussi éloignée que voulu de la solution initiale en choisissant n assez grand
La solution « perturbée » est par linéarité
11( , ) sin( )s ( ) sin( )s ( )u x y x h y n x h n y
nεπ π π π
π π= +
Solution initiale
0 sin( )xπΦ =
t
x
t
x
Solution liée à la donnée perturbée
0 sin( )n xε πΦ +
ε=0.001 n=6
Caractère mal posé des équations de Fredholm de première espèce
g étant donnée, Trouver f(y) sur l’intervalle I telle que : ∀ x∈ J ∫ =
Ixgdxyfyxk )()(),(
Unicité de la solution :Dépend beaucoup du noyau k, exemple : k(x,y)= x sin y, I = J= [0,π], g(x)=x
Dans la pratique ,on approchera g par une fonction régulière)
Existence de solution :Problème posé par la régularité de g , (f intégrable, k continue continue( , ) ( )
Ik x y f y dx∫
Continuité par rapport aux données :
Caractère mal posé des équations de Fredholm de première espèce
g étant donnée, Trouver f(y) sur l’intervalle ]0,π[ telle que ∀ x∈ J
0( , ) ( ) ( )k x y f y dx g x
π=∫
Non continuité par rapport aux données
∫ =∞→
π
00sin),(lim nydyyxk
n
Lemme de Lebesgue : si k est de carré intégrable, alors
∫∫ +=
+
ππ
εε 00sin),(1)(sin1)(),( nydyyxkxgdynyyfyxkOr
fε gεSolution pour
0
1 ( , )sing g k x y nyπ
ε ε− = ∫
20
1 1 1sin sin2
f f ny nydyπ
επ
ε ε ε− = = =∫
Pour ε quelconque, la norme de la différence des solutions peut être aussi grande que voulue en choisissant n assez grand
mais
Enseignements tirés de ces exemples et contre exemples
• Importance de la formulation du problème :– Ce qui est connu, qualité et quantité des données– Information a priori permettant de réduire l’ensemble des solutions
(Positivité d’un paramètre, bornées, régularité, ..)
• Nécessité de régulariser dans la majorité des cas• Importance de l’analyse (fine) du problème direct• Algorithmique robuste• Nécessité d’étudier l’influence du bruit sur les données
Peut-on entendre la forme d’un tambour ?
Vibration libres dune membrane tendue
u
z
x y
0T U hU dans
U surρ∆ = Ω
= ∂Ω!!
Analogue de la corde tendue en deux dimensions d’espace
U(x,y,t) (petit) déplacement hors du plan,
T tension, h épaisseur, ρ masse volumique
Modes propres de vibrations : U(x,y,t) = sin(ωt) u(x,y)
0u u dansu sur
λ∆ = Ω= ∂Ω
2hTρλ ω=
On se ramène à trouver le spectre de l’opérateur Laplacien sur l’ouvert Ω, càdles couples (u,λ) tels que :
Il existe une suite infinie (un,λn) de solutions, qui ne dépendent que de la géométrie de Ω avec :
1 2 30 ....λ λ λ< < ≤ ≤
et sans point d’accumulation fini
Relation entre forme et spectre : ce que l’on sait
4 (1 ) ....2 64 2
nt tn
n
NPet t
λπ π
− −Ω − + +∑ ∼ lorsque 0t →
Weyl (1911), Pleijel, Singer
La connaissance de toutes les fréquences propres de vibrations donne donc accès à l’aire, au périmètre P et au nombre de « trous » du domaine Ω
D’où la question de Kac en 1966 :Peut- on entendre la forme d’un tambour ?
ou encore :
Deux ouverts différents peuvent-ils partager le même spectre (λi) i = 1, … ?
Un résultat qui prouve que la réponse est NONGordon, Webb, Wolpert (1991)
Deux couples
de
tambours isospectraux
2 2
Plus simple mais moins pur : deux « bi-tambours » isopectraux
1
1
1
2
2
2