Introduction a la commande des systemes dynamiques

SIE - Semestre IV

PID analogique

Dr. Ph. Mullhaupt

IntroductionAvec la disponibilite d’ordinateurs toujours plus performants, la regulation automatique sefait de plus en plus de maniere numerique. Les circuits analogiques electroniques sont en effetplus difficiles a concevoir et de taille plus grande que les circuits electroniques numeriques. Deplus, ils sont plus sensibles a l’amplification des effets dus au bruit. Toutefois, il est toujoursinteressant d’analyser de tels circuits analogiques afin de comprendre l’implementation directede certains concepts theoriques. Aditionnellement, il se pourrait tres bien que de tels regulateurssoient synthetisables en utilisant une technologie issue de la biologie et des sciences environ-nementales plutot que de la technologie electronique. En effet, les effets capacitifs et inductifspresents dans un circuit electrique et responsables des caracteristiques du PID possedent desanalogues dans d’autres disciplines scientifiques. On pourrait ainsi concevoir des PID reposantssur d’autres lois que celles de l’electronique et de l’electricite. Cependant, dans cette etude,nous allons nous restreindre a etudier la maniere de traduire le schema de la figure 1 en uncircuit electronique regulant un systeme physique reel. La commande sera effectuee a l’aided’un PID analogique et mise en oeuvre par un circuit a amplificateurs operationnels (AOP).Le probleme sera ensuite d’implementer dans SimScape c©, l’environnement de simulation desystemes physiques de MATLAB.

K(s) G(s)yc(t) e(t) u(t) y(t)

Figure 1: Diagramme de la boucle fermee.

Systeme dynamique a commanderPartie mecaniqueLe systeme a commander est un moteur electrique entraınant un arbre de transmission a traversun accouplement flexible comme montre dans la figure 2. Le moteur est alimente par une sourcede tension V qui est amplifiee d’un facteur de 1+ R1

R2

. Le moteur possede une inertie Mm et unfrottement interne fm sur l’arbre. Accouple au moteur, se situe une charge d’inertie Mc ayantegalement un frottement fc. L’accouplement possede une rigidite KA et un amortissement deCA. La rotation du moteur est decrite par un angle θ1 et la rotation de la charge est decritepar un angle θ2. Les variables dynamiques du systeme sont donc θ1, θ1, θ2 et θ2. Les angles etvitesse de rotation des arbres du moteur et de la charge respectivement.

1

Le systeme mecanique est donc decrit par l’equation suivante :

θ1 =1

Mm

(

−fmθ1 − CA(θ1 − θ2)−KA(θ1 − θ2) + Cm

)

, (1)

θ2 =1

Mc

(

CA(θ1 − θ2) +KA(θ1 − θ2)− fcθ2

)

, (2)

ou Cm est le couple delivre par le moteur.

KA, CA

fc McMoteur DC

Mm

θ1 θ2

fm

Amplificateur

R1

R2

V

Alimentation

Figure 2: Systeme a commander : moteur entraınant un arbre avec accouplement flexible.

Partie electriqueSi nous analysons le circuit electronique plus loin, nous avons le schema de la figure 3. Lemoteur est modelise par une resistance interne Rm, un solenoıde Lm (bobine) et une constantede couple Km. Nous savons aussi que la tension vs arrivant au moteur est egale a

vs =

(

1 +R1

R2

)

ve, (3)

ou ve est la tension d’alimentation. Nous avons donc l’equation dynamique du moteur

is =1

Lm

((

1 +R1

R2

)

ve − Rmis −Kmθ1

)

. (4)

Le couple Cm delivre par le moteur est donnee par la relation

Cm = Kmis (5)

2

R1

R2

VKm

Rm Lm

ve

vs, is

Figure 3: Systeme a Commander : Schema electrique.

Modele d’etat et fonction de transfertAvec la partie electrique decrite par l’equation (4), nous pouvons ecrire l’equation dynamiquede tout le systeme avec comme entree la tension d’alimentation ve et comme sortie la vitesseangulaire de la charge θ2.

is =1

Lm

((

1 +R1

R2

)

ve −Rmis −Kmθ1

)

, (6)

θ1 =1

Mm

(

−fmθ1 − CA(θ1 − θ2)−KA(θ1 − θ2) +Kmis

)

, (7)

θ2 =1

Mc

(

CA(θ1 − θ2) +KA(θ1 − θ2)− fcθ2

)

. (8)

Le systeme est donc un systeme lineaire avec 5 variables d’etats. A savoir x1 = is le courantdans le moteur, x2 = θ1 la position angulaire, et x3 = θ1 la rotation du moteur, et x4 = θ2 laposition angulaire, et x5 = θ2 la rotation de la charge. Le systeme peut donc etre representepar le modele d’etat suivant :

x1

x2

x3

x4

x5

=

−Rm

Lm0 0 −Km

Lm0

0 0 0 1 00 0 0 0 1

Km

Mm− KA

Mm

KA

Mm−CA+fm

Mm

CA

Mm

0 KA

Mc−KA

Mc

CA

Mc−CA+fc

Mc

x1

x2

x3

x4

x5

+

1

Lm

(

1 + R1

R2

)

0000

ve (9)

y =[

0 0 0 0 1]

x (10)

3

Ce modele d’etat conduit a la fonction de transfert

G(s) = C(sI − A)−1B =Km

(

1 + R1

R2

)

(CAs+KA)

a0s4 + a1s3 + a2s2 + a3s + a4, (11)

a0 = LmMcMm,

a1 = CALmMc + CALmMm +McMmRm + LmMcfm,

a2 = K2

mMc + CARm(Mc +Mm) +KALm(Mc +Mm) + fm(CALm +McRm),

a3 = CAK2

m +KARm(Mc +Mm) + CARmfm +KALmfm,

a4 = KAK2

m +KARmfm.

Les valeurs numeriques des parametres physiques sont donnees dans le tableau 1. La fonctionde transfert a 4 poles stables donnes par les valeurs suivantes :

p1 = −1.7 · 107 p2 = −8 · 103 p3 = −5 + 7.7i p4 = −5− 7.7i (12)

Deux des poles sont reels purs alors que les deux autres sont complexes conjugues. Le diagrammede Bode du systeme est trace a la figure 4 et la reponse indicielle a la figure 5. Les graphesmontrent que le systeme a une bande passante de 10 rad/s et que les frequences plus elevees sonttres rapidement filtrees. L’utilite d’un regulateur sur ce systeme est d’imposer une constantede temps plus petite afin que le systeme reagisse plus rapidement. Les oscillations doiventegalement etre attenuees.

Ampli Valeur Moteur Valeur Charge ValeurR1 90 kΩ Km 25.2375 Nm/A Mc 100 kgm2

R2 10 kΩ Mm 5.84 · 10−5 kgm2 fc 0.01 Nmsfc 0.01 Nms CA 103 NmsRm 0.113 Ω KA 104 NmLm 9.4 · 10−5 H

Table 1: Valeurs numeriques du systeme d’entraınement

4

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Mag

nit

ud

e (d

B)

100

101

102

103

104

105

−180

−135

−90

−45

0

Ph

ase

(deg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figure 4: Diagramme de Bode du systeme a commander.

PID analogiquePID analogique purPour commander ce systeme nous voyons qu’un PI suffit largement a realiser la tache de suivide trajectoire. Par contre, nous allons quand meme utiliser un PID complet pour eliminer lesbruits eventuels presents dans les mesures. Pour realiser un systeme purement analogique, nousallons developper un circuit electronique analogique realisant le PID. Pour ce faire, il nousfaut utiliser quatre types de montage de l’amplificateur operationnel, a savoir, un sommateurinverseur, un amplificateur inverseur, un integrateur et un differentiateur. Ces quatre typesde montages sont illustres a la figure 6. L’idee est d’utiliser ces montages de l’amplificateuroperationnel pour realiser un PID en parallele, c’est-a-dire un PID dont l’equation est definiepar

u(t) = Kpe(t) +Ki

∫ t

0

e(τ)dτ +Kdde(t)

dt, (13)

avec Ki =Kp

Ti, Kd = KpTd.

Avant de discuter du montage du PID, precisons que les differents montages inversent le signalde la tension d’entree. Ce sont ce qu’on appel des montages inverseurs. Le montage de l’amplifi-cateur du moteur est un montage non-inverseur. Il est aussi a noter que ces montages sont ideauxet que les versions pratiques necessitent de mettre des resistances ou capacites additionnellespour ameliorer les performances du montage. Le montage total du systeme sera donc realise enmettant d’abord en parallele l’amplificateur inverseur, l’integrateur et le differentiateur. Ensuitele sommateur inverseur est utilise pour faire la somme des quatre signaux et d’inverser le signe.

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

Figure 5: Reponse indicielle du systeme a commander

Le schema est montre a la figure 7. L’equation associee est

Vout =R4Rp2

R1Rp1

Vin +R4

R2RiCi

∫ t

0

Vin +R4RdCd

R3

dVin

dt. (14)

En prenant R1 = R2 = R3 = R4 nous avons l’identification directe avec l’equation (13) :

Kp =Rp2

Rp1

Ki =1

RiCi

Kd = RdCd. (15)

Il suffit donc de mettre le signal d’erreur comme tension d’entree et la sortie sera le signal aenvoyer au moteur.

Implementation pratique :En pratique, il y a plusieurs modifications a apporter au schema de la figure 7. Premierement, lemontage en integrateur de la figure 6 a tendance a produire de la derive sur le signal de sortie.Pour eviter ce probleme une resistance elevee Rci est mise en parallele avec le condensateurCi ce qui introduit un feedback continu et corrige la derive. Deuxiemement, le montage endifferentiateur de la figure 6 est tres susceptible a l’amplification du bruit se situant dans lesignal d’entree, et source d’instabilite s’il y a des changement brusque dans le signal d’entreeetant donne qu’il agit comme un filtre passe bas et donc introduit un retard de phase de90. Pour corriger ces problemes de bruit et retard de phase, une capacite Ccd est mise enparallele avec la resistance Rd et une resistance est ajoutee sur l’entree. L’addition de cesdeux composants produit un effet d’avance de phase de 90 et elimine les bruits en hautesfrequences. Le fait d’ajouter ces composants au montage ne change pas l’equation (14). Unetroisieme correction est introduite en relation avec le terme derivateur de l’equation (13). Si lesignal d’entree Vin est sujet a de brusques variations, ce terme peut prendre des valeurs enormes.

6

Vout Vout

VoutVout

V1

V2

V3

R1

R2

R3

R4

Vout = −(

R4

R1

V1 +R4

R2

V2 +R4

R3

V3

)

Vin

R1

R2

Vin

Ri

Ci

Vin

Cd

Vout = −R2

R1

Vin

Vout = − 1

RiCi

∫ t

0Vindτ Vout = −RdCd

dVin

dt

1 2

3 4

Rd

Figure 6: Configuration de l’amplificateur operationnel necessaire pour concevoir un PID analogique.1 : Somateur inverseur. 2 : Amplificateur inverseur. 3 : Integrateur. 4 : Differentiateur.

Pour eviter ce probleme une forme du PID appele forme a derivation separee est utilisee. A laplace de deriver le signal d’erreur, le signal de mesure y(t) est deriver uniquement. Cette formedu PID est donnee par l’equation :

u(t) = Kpe(t) +Ki

∫ t

0

e(τ)dτ +Kddy(t)

dt. (16)

Dans le contexte de la commande en vitesse du moteur, cette forme devient utile car les sauts devitesse sont en general imposes dans le signal de reference creant ainsi des brusques variations.

Le signal d’erreur est obtenu en utilisant un montage avec inverseur pour inverser le signe dusignal de mesure, un sommateur inverseur pour creer le signal d’erreur et encore un inverseurpour changer le signe. Ce montage est definit a la figure 9. Il suffit de prendre toutes les memesresistances Ra,b,c,e,f,g,h,i pour ne pas avoir d’amplification. Nous pouvons maintenant definir lemontage complet du systeme qui est represente a la figure 10.

Maintenant que le montage est complet, nous pouvons definir les valeurs numeriques des com-posants electriques ne faisant pas partie des relations (15). Le tableau 2 definit ces valeurs.

Reglage du PID :Nous devons maintenant concevoir le PID pour ameliorer la vitesse de reaction du systeme et

7

Vout

R1

R2

R3

R4

Vin

Rp1

Rp2

Ri

Ci

Cd

P

I

D

Rd

Vout =R4Rp2

R1Rp1Vin +

R4

R2RiCi

∫ t

0Vin +

R4RdCd

R3

dVin

dt

Figure 7: PID Analogique avec AOP.

reduire les oscillations. Nous allons faire la conception du PID de deux facons differentes. Enpremier lieu, nous allons realiser un PID par la premiere methode de Ziegler Nichols. Ensuite,nous allons concevoir un PID ameliore dans le diagramme de Bode.

Pour realiser le premier PID nous devons appliquer une rampe au systeme et mesurer la sortie.Ainsi, nous appliquons une rampe en tension au systeme represente a la figure 2 et nous mesu-rons la reponse en vitesse ([rad/s]) de la charge. Le resultat de ce test (simule) est presente ala figure 11. Les parametres a et L mesures sont les suivants :

a = 0.4 L = 0.05 (17)

Nous avons donc les coefficient du PID obtenus grace au tableau 3 :

Kp = 100 Ti = 0.06 ⇒ Ki = 1667 Td = 0.015 ⇒ Kd = 1.5 (18)

Le second regulateur est concu dans le diagramme de Bode. Nous calculons un gain Kp tel quela frequence de coupure ωc soit de 35 [rad/s]. Donc en regardant le diagramme de la figure 4,

8

Comparateur e(t) Valeur Sommateur Valeur PID ValeurRa,b,c,e,f,g,h 10 kΩ R1,2,3,4 10 kΩ Rci 10 MΩ

Rcd 1kΩCcd 1pF

Table 2: Valeurs numeriques du systeme d’entraınement

Ri

Ci

Rci

Rcd CdRd

Ccd

Figure 8: Montage pratique des AOP integrateur et differentiateur.

nous voyons que le diagramme doit etre monter d’environ 20 dB. Donc le Kp est donne par larelation :

20log10(Kp|G(jωc)|) = 0 ⇒ Kp = 1020/20 = 10 (19)

Enusite nous voulons augmenter la pente en basse frequence a -20 dB/decade et la pente deshaute frequence a -40 dB/decades. Pour se faire nous allons choisir les coefficients Ti et Td

comme tel :

Ti = 1/10 Td = 1/500 (20)

Avec ce choix, le diagramme de bode de la fonction de transfert en boucle ouverte est de laforme de la figure 12. Ayant choisi les coefficients du PID nous pouvons choisir les valeursdes composants electroniques necessaires pour realiser la commande du systeme. Pour les deuxregulateurs les valeurs se choisissent avec les relations (15). Nous avons donc dans le cas dupremier PID les relations :

Kp =Rp2

Rp1

= 100 Ki =1

RiCi

= 1667 Kd = RdCd = 1.5, (21)

⇒ Rp1 = 10kΩ Rp2 = 103kΩ Ri = 10kΩ Ci = 0.06µF Rd = 103kΩ Cd = 1.5µF.

Pour le second PID nous avons les relations :

Kp =Rp2

Rp1

= 10 Ki =1

RiCi

= 100 Kd = RdCd = 0.02, (22)

⇒ Rp1 = 10kΩ Rp2 = 100kΩ Ri = 100kΩ Ci = 0.1µF Rd = 10kΩ Cd = 2µF.

9

Vmesure

Vref

Verreur

Ra

Rb

Rc

Re

Rf

Rg

Rh

Figure 9: Montage pratique pour construire le signal d’erreur.

Type Kp Ti Td

P 1/aL - -PD 0.9/aL 3.3L -PID 1.2/aL 2L 0.5L

Table 3: Tableau des coefficients pour differents regulateurs de Ziegler-Nichols.

Le resultat de simulation pour un saut unite sont montres a la figure 13. Nous constatons quele regulateur de Ziegler Nichols est tres mauvais. Par contre, celui concu dans le diagramme deBode a peu d’oscillation et un temps de reponse rapide.

Simulation Avec SimScape c©

Depuis quelques annees, il existe sur le marche des logiciels qui permettent de simuler dessystemes sans devoir ecrire explicitement le systeme d’equations decrivant la dynamique as-sociee. Les equations de la dynamique sont derivees par le programme basees sur une descrip-tion externe detaillee des constituants du modele (sans entrer dans le details des equationsdifferentielles qui le constitue). La toolbox SimScape c© de Simulink permet de simuler dessysteme electriques, mecaniques, thermiques, pneumatiques etc...Les simulations de la figure 13 ont ete realisees de cette maniere. La figure 16 montre larealisation dans Simulink du systeme a commander, c’est-a-dire le systeme de la figure 2.

10

y ref

Erreure(t)

PID

:e(t)

→U(t)

System

eG(s) Signal

demesure

y(t)

Figure 10: Montage complet du systeme en boucle fermee.

11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

X:

Y:

Temps t [s]

Am

plitu

de

y(t

) [r

ad

/s]

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

a = 0.4

L = 0.03

Figure 11: Signal de sortie du test rampe de Ziegler-Nichols. Les parametres a et L sont identifies.

−100

−50

0

50

100

Mag

nit

ud

e (d

B)

10−1

100

101

102

103

104

105

−180

−135

−90

−45

Ph

ase

(deg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figure 12: Diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte K(s)G(s).

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps t [s]

Am

plit

ud

e w

[ra

d/s

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps t [s]

Am

plit

ud

e w

[ra

d/s

]

Figure 13: Resultat de la commande d’un saut unite en vitesse du systeme avec le PID de Ziegler-Nichols (haut) et le PID concu dans le diagramme de Bode (bas).

13

PartieElectronique

PartieMecan

ique

Figure 14: Schema SimScape du systeme a commande de la figure 2. Ce schema est utilise poursimuler la reponse indicielle du systeme et pour le test de Ziegler-Nichols.

14

Figure 15: Schema SimScape du PID.

15

CreationduSignal

d’erreure(t)

PID

(K(s))

System

eacomman

der

(G(s))

Figure 16: Schema SimScape du systeme en boucle fermee de la figure 10.

16