Introduction to Beam Physics II

K. OhmiLecture of SOKENDAI

May 2010

円形加速器• ビームは周期的な力を受ける。

x=(x,y,z)px=x’, py=y’, pz=-z’/α(s)

L: リング周長

周回行列

• 移送行列をsを起点にリング１周掛け合わせる

• 一周の変換　　　x(s+L)=M(s)x(s)• 別の場所を起点とした周回行列 M(s1)=M(s1,s)M(s)M(s1,s)-1

• シンプレクティック条件 2x2行列 detM=1 　　　　　　　M(s)tSM(s)=S, M(s1,s)tSM(s1,s)=S• 　　　　　　　

周回におけるビーム分布の変化

• あるsにおいて

先週と同じ。周回毎に楕円の形状が変わるが、エミッタンスは不変。

ビーム形状の変化の例

x

px

オレンジの楕円は何でしょう？

周期解• 周回で形状が変化しないビームはどんな形か。

を満たすα0, β0, γ0を持ったビーム。

• Mの性質にマッチしたビーム• Mの固有状態を考える。U-1MU=[λ] 　　　　　　　　 [λ] : 対角要素 λ1, λ2, λ3 …をもつ対角行列

Mの固有値、固有ベクトル• Mは実行列 λが固有値ならλ*も固有値

vが固有ベクトルならv*も固有ベクトル• detM=1　Mt(s)SM(s)=S M-1=S-1Mt S λが固有値ならλ-1も固有値

安定

不安定、半正数共鳴

結合不安定

λ plane

M(s)のパラメトライズ• |M|=1 自由度3、うち固有値1

後で示すが固有値はsによらない。他はsによる。ν=µ/2π : チューン

はM(s)と同じ固有値を持つ

周回を重ねると• 安定条件；µが実であること。周回ごとに位相が進むのみ。

周回ごとの粒子の運動

x

px

オレンジの楕円は何でしょう？

(βW)1/2

(γW)1/2

周期解• 絵を見れば一目瞭然

あるsでの形状α,β,γがそこを基点とした周回行列のα,β,γと一致したものが周期解。

規格化座標

• X=V-1xは周回ごとに円上をµ回る。

• Courant-Snyder 不変量

別のsでは• sでの固有値とs’での固有値は同じ。固有ベクトルはv(s’)=M(s’,s)v(s)で変換される。

• s’でも規格化座標が定義できる。

• X(s’)=V-1(s’)x(s’)が規格化座標で、X(s)に対してΔφ位相が進んでいる

�1 ∆φ

−∆φ 1

�=

1√β1β

�β1 0−α1 1

� �1 ∆s

−K∆s 1

� �1 0α β

�

• 微少変移ΔsによるTwiss parameterの変化

Ｓ依存に関する公式

衝突点のオプティクス

β0 sX-y両平面で同様な振る舞い。β0はそれぞれの面で与える。

X-y平面に関して

エネルギーのずれ• 加速器ではエネルギーの変化はx、yの変化に比べ遅い。

• RFの加速をとりあえず無視。エネルギー一定。• 偏向磁石での変換。

エネルギーずれた粒子の軌道

• エネルギーに変化は考えないので、ｘ方向の運動に注目。３次元から2+1次元化

• 一周を掛け合わせると、

• エネルギーがpzずれた粒子の軌道の、線形部分

を分散関数dispersionという

この連立方程式を解いて求める。

x(s + L) = M(s)x(s) + b(s)pz

xδ(s) = (η, η�)tpz = η(s)pz

η(s + L) = M(s)η(s) + b(s)

アクロマート

• ある場所でη=0とする。偏向磁石に入ったところでηが発生する。

• 偏向磁石の出口でηを消す。

η

BendBend QuadQuad

ベータトロン座標とエネルギー分散項の分離

• エネルギーがずれた粒子の軌道に対する運動

• xβ =(xβ, px,β, yβ , py,β)に対してはエネルギーずれがない場合と同じ。

ベータトロン振動の分離

xβ(s) = x(s)− η(s)pz

xβ(s + L) = M(s)xβ(s)

シンクロトロン振動

• Dispersionが無い場所に加速空洞を入れる。（簡単のため１カ所）

• 周回行列

• αLは偏向磁石からの寄与が足し合わさったもの、momentum compaction factor

エネルギーのずれに対する軌道長

• 偏向磁石

シンクロトロン振動

• z方向の周回行列

不変量

Cavityがdispersive section にあると

• x-z結合が起きる。固有ベクトルはx-zで混じる。

Crab cavity• x-z結合が起きる。固有ベクトルはx-zで混じる。

まとめ• 周期条件を満たすビームの形状。• ベータトロン振動とDispersion関数。• Twiss parameterのs依存性。• シンクロトロン振動。