固体物理学

(6)

第一章 晶体结构

1-6 倒格子

前面的几节涉及到的是真实空间的晶格，本节我们将引入倒格子的定义；

倒格子，顾名思义，即为倒空间的格子，什么是倒空间？倒空间是不是真实的空间？

倒空间不是真实的空间，是人为定义出来的空间；为了简化处理晶格结构问题。

1913年，P.P.Ewald为解释x射线的单晶衍射结果，提出了Ewald球的概念，同时引进了倒点阵和

倒空间。

一、点阵的傅里叶变换，倒点阵

正点阵可以表示为一系列峰值位于Rl的δ函数之和

格矢 Rl = l1a1 + l2a2 + l3a3 端点的集合包含且仅包含

正点阵中所有的结点无遗。

在数学上可以用一个空间的密度函数将点阵表示为： ∑ −=

lRlRrr )()( δρ

上式对一切平移矢量Rl 求和，因此ρ(r)应该是Rl 的周期性函数。 )()( rRr l ρρ =+

实际上，晶体中所有结点都严格地处于点阵所确定的格点上，所以晶体内的一切物理量都精确地是Rl 的周期性函数。

)()( rVRrV l =+如：电子的势能：

倒点阵实际上是正点阵的傅里叶变换→波矢空间

将正点阵的傅里叶变换F[ρ(r) ]记为ρ(k) 。

)()()()(

)()(

3322,,

11

,,

)(2

,,

)()(

321

321

332211

321

332211332211

∑∑

∑∑

∑∑ ∫

−=−−−=

==

=−=

++−++⋅++−

⋅−∞

∞−

⋅−

h

l

l

l

Kh

hhh

lll

lklklki

lll

alalalbkbkbki

R

Rki

R

rkil

Gkhkhkhk

ee

erdeRrk

rr

rrr

rrrrrr

rrrr

δδδδ

δρ

π

332211 bhbhbhGh

rrrr++=

其中 h1 、 h2 、 h3 为整数并满

足：

推导中应用了Poisson求和公

式：

∑∑ −=hn

inz hze )(2 δπ

1、倒格原胞基矢定义为b1、b2、b3，和正格子原胞 基矢a1、a2、a3的关系为：

二、倒格子的原胞基矢

)(][2;

)(][2;

)(][2

321

213

321

132

321

321 aaa

aabaaaaab

aaaaab rrr

rrrrrr

rrrrrr

rrr

×⋅×

=×⋅×

=×⋅×

=πππ

倒格矢： 332211 bhbhbhGh

rrrr++=

倒格原胞体积： )(* 321 bbbrrr

×⋅=Ω

b1、b2、b3的量纲为L-1，正好是波矢k的量纲，因此可以把倒格矢Gh理解为波矢，用其描述运动状态。

由倒格子组成的空间（倒空间）可理解成状态空间，而正格子组成的空间为位置空间或坐标空间。

倒格子原胞基矢：

Ω×

=Ω×

=Ω×

=][2;][2;][2 21

313

232

1aabaabaabrrrrrrrrr πππ

2、倒格原胞基矢b1、b2、b3的方向

b1的方向为a2×a3的方向，即b1的方向⊥ a2a3面的方向，是a2a3面的法向。

b2、b3的方向是a3a1面的法向和a1a2面的法向。

凡是正交晶系，其倒格矢方向和正格式相同。

但是长度相反，互为正倒；

倒原胞和正原胞同样不同，原来长边变成短边。

3、正格子本身是倒格子的倒格子（正点阵本身是 倒点阵的倒易点阵）

;*

2)(

2

;*

2)(

2

;*

2)(

2

21

321

213

13

321

132

32

321

321

Ω×

=×⋅

×=

Ω×

=×⋅

×=

Ω×

=×⋅

×=

bbbbb

bba

bbbbb

bba

bbbbb

bba

rr

rrr

rrr

rr

rrr

rrr

rr

rrr

rrr

ππ

ππ

ππ

4、计算举例：

求简单立方格子的倒格子基矢。

原胞基矢： ;,, 321 kaajaaiaarrrrrr

===

kaa

jiaaab

jaa

ikaaab

iaa

kjaaab

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

πππ

πππ

πππ

22][2

;22][2

;22][2

3221

3

3213

2

3232

1

=×

=Ω×

=

=×

=Ω×

=

=×

=Ω×

=

简单立方的倒格子仍然是简单立方

求底心正交格子的倒格子基矢。

晶胞基矢： ;,, kccjbbiaarrrrrr

===

;),(21, 321 kcajbiaaiaa

rrrrrrr=+==原 胞 基

矢：

jacibc

cba

kjiaa

rr

rrr

rr

21

21

0002/2/32

−=

=×

abcjacibcia

aaa

21)

21

21(

)( 321

=−⋅

=×⋅=Ωrrr

rrr

kcabc

kabbj

babc

jacb

jb

iaabc

jacibcaab

rr

rrr

r

rrrr

rrr

ππππ

ππππ

2

2121

2;4

212

;22

21

21

21

2][2

32

321

====

−=−

=Ω×

=

底心正交的倒格子仍然是底心正交！

三、布里渊区（Brillouin zone）

在固体物理学中，通常采用倒点阵的W-S初基原

胞来进行计算，因为它充分反映了倒点阵的宏观对称性。

倒点阵的W-S原胞被称作为第一布里渊区。

四、倒格子的基本性质

1、正、倒格子的基矢相互正交。

ji

jiba

ji

ijji

≠

===⋅

=

0

)3,2,1,({2

2

πδ

πrr

2、正、倒格矢满足：

)......2,1(2)(2 332211 整数==++=⋅ nnlhlhlhRG lh ππrr

Ω=

×⋅=

×⋅×⋅−×⋅⋅×

=

×⋅×××⋅×

=

×⋅=Ω

3

321

3

3321

32111213323

3321

2113323

321

)2()]([

)2(

)]([])]([)]({[)()2(

)]([)]()[()()2(

)(*

ππ

π

π

aaa

aaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

bbb

rrr

rrr

rrrrrrrrrr

rrr

rrrrrr

rrr

3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。

)(* 321 bbbrrr

×⋅=Ω),( 321 aaa rrr×⋅=Ω

,)2(*3

Ω=Ω

π正格子越大，倒格子越小；反之亦

然。

直接验证：

4、可用倒格矢代表晶面族（h1 h2 h3）的法向。

即，证明正格子中一族晶面（h1 h2 h3）和倒格 矢Gh正交，证明：

晶面（h1 h2 h3）为离开原点在基矢a1、a2、a3上

切割的第一晶面，在三轴上截距分别为：

,3

3

2

2

1

1

ha

ha

ha rrr

、、在晶面ABC上的两条边矢量CA和CB分别为：

3

3

2

2

3

3

1

1 ,ha

haBC

ha

haAC

rrrr

−=−=

,022

)()(

3311

3

3

1

1332211

=−=⋅−⋅=

−⋅++=⋅

ππabab

ha

habhbhbhACGh

rrrr

rrrrrr

,022

)()(

3322

3

3

2

2332211

=−=⋅−⋅=

−⋅++=⋅

ππabab

ha

habhbhbhBCGh

rrrr

rrrrrr

面)(, 321 hhhGBCGACG hhh ⊥⇒⊥⊥∴rrr

5、倒格矢Gh的长度是晶面族（h1 h2 h3）面间距倒 数的2π倍。

证明：已知

Gh是晶面（h1 h2 h3）的法向，于是晶 面方程为：

332211, aaaxndxGG

hh

h rrrrr

r

ξξξ ++==⋅

321321 lllx 、、、、落在某格点上： =ξξξr

11,2====

⋅=⋅ nnd

GGRGx

GG

hhh

lh

h

h ，取μπμrr

rr

r

r

hh

Gd r

π2=

6、正点阵中的周期函数可以按倒格矢Gh展开为傅里 叶级数。

一个函数可展开为傅里叶级数的条件是周期性函数

∑∞

−∞=

+=⇒=n

inxn nxfxfeVxf )2()()( π

Vn为傅里叶系数 ∫−

−=l

l

inn def

lV ξξ ξ)(

21

为整数321)(2 ,,,)( 332211 hhheVxV

h

hhhih∑ ++= ξξξπr

把晶体中任一点x用基矢来表示：

∫ ∫∫− −

++−

−

=1

1

1

1

)(232

1

11 )(332211 ζζζζ ξξξπ VedddV hhhi

h

332211 aaax rrrr ξξξ ++=

晶格中的周期性函数表示为：

)()()( 332211 lRxValalalxVxVrrrrrrr

+=+++=

作傅里叶展开：

傅里叶系数：

∑∑ ⋅⋅++ ==+=h

xGih

h

xbhbhbhihl

heVeVRxVxVrrrrrr )( 332211)()(

由ai·bj=2π δij，b1·x = 2πξ1，b2·x = 2πξ2， b3·x = 2πξ3，得：

∫Ω

⋅−

Ω= )(1 xVedxV xGi

hh

rrr

πξ

πξ

πξ

2,

2,

23

32

21

1xbxbxb rrrrrr⋅

==⋅

=⋅

=

傅里叶系数：

7、倒格子保留了正格子的全部宏观对称性

五、总结和举例

引入倒格子后，我们可以方便的求出：

计算晶面法向和晶面间距；

计算晶面间夹角----通过相应的Gh之间的夹角；

计算晶面间交线的晶向----Gh⊥晶面，Gh交线，因此Gh•Rl = 0，由方程组：

22

11

22

11

22

11

222111

::::

0,0

khkh

hlhl

lklk

wvu

wlvkuhwlvkuh

=

=++=++

求简单立方米勒指数(h k l)的晶面间距：

kaajaaiaakacjabiaarrrrrrrrrrrr

====== 321 ,,;,,

),,(),,(;2,2,2321321 lkhhhhk

abj

abi

ab =⇒===

rrrrrr πππ

)(2)(2321332211 kljkih

akhjhih

abhbhbhGh

rrrrrrrrrr++=++=++=

ππ

2/12222/1222

)(2;)(2

lkha

Gdlkh

aG

hhh ++

==++= rr ππ

3,

2, 111110100

adadad ===

求体心立方米勒指数(100)的晶面间距：

)(2

),(2

),(2

;,,

321 kjiaakjiaakjiaa

kacjabiaarrrrrrrrrrrr

rrrrrr

+−=++−=−+=

===

);(2),(2),(2321 ji

abkj

abki

ab

rrrrrrrrr+=+=+=

πππ

khhjhhihha

jiha

kjha

ikha

bhbhbhGh

rrrr

rrrrrrr

)()()[(2)(2

)(2)(2

2132313

21332211

+++++=++

+++=++=

ππ

ππ

2/? 100100 adad ==

2/102/10

2/111

32121

23232

13131

=−==+−=⇒−=⇒=+

=−==+

hhhhhhhhhh

hhhhh有：

)111()( 321 =∴ hhh

2)002(222

2/1222

a

aG

dh

h =++

== πππ

r

计算简单立方（111）与（111）面间夹角

（111）法线单位矢量：

)(3

1

32

)(2

ˆ kji

a

kjia

GGn

h

hrrr

rrr

r

r

++=++

== π

π

（111）法线单位矢量：

)(3

1

32

)(2

ˆ kji

a

kjia

GGn

h

hrrr

rrr

r

r

−+=−+

== π

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛====⋅ −

31cos,

31

13/1cos,cosˆˆˆˆ 1

111111111111 θθθnnnn

作业

P.578，1.3补充1：求出简单正交晶体密勒指数为（h k l）

的面间距表达式。

补充2：证明出六角晶系中密勒指数为（h k l）的面族间距表达式为：

2/12

2

2

22

])(34[ −+

++=

cl

akhkhd

Thank you For your attention