Introduction to Solid State Physics Chapter 2hjeon.namoweb.net/lecture/chapter2.pdf · Semiconductor Materials Lab. Hanyang University1 1 Introduction to Solid State Physics. Chapter

11Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

Introduction to Solid State PhysicsChapter 2


2. Reciprocal Lattice – Diffracton of waves by crystals

2.1 Diffraction of Waves by Crystals

1) Bragg Law : 2dsinθ=nλ - 결정 면으로부터 회절현상의 설명, 보강간섭의 조건- maximum λ=2d- 따라서 원자 크기 정도의 파장을 갖는 파동만이

Bragg scattering 을 일으킬 수 있다.결정구조 연구 : photons(x-ray), neutrons, electrons (입자의파동성)

→simple explanation of the diffracted beams from a crystal

θθ

θ

dsinθ

d

2dsinθ =nλ

Constructive interference →

when the path difference is an integer

number of wavelengths λ

λ must be less than 2d to see 1st order of diffraction.

)(24.1 nmkeVhcEλλ

==


Example of Scattering


• X선 회절• X-ray의 파장은 0.1~10Å 정도인 전자기파로 전자가 가속(감속)될 때 생기는 제동방사를 통해 생

기는 백색 X-ray• 각 면에서 일어나는 반사는 정반사이지만 특별한 방향 q 에 대해서는 모든 면에서 반사된 파의

위상이 같아져 강한 반사파가 된다.• 한 격자면이 입사파를 전부 반사한다면 첫번째 면 만이 모든 파장의 파를 전부 반사• 실제로는 각 면은 입사파의 10-3~10-5 정도를 반사 103~105개의 결정 면이 Bragg 반사파를 형

성하는데 참여

• 중성자 회절• 중성자는 질량이 거의 양성자와 동일하고 전하를 갖지 않은 중성의 소립자• 수 MeV 정도의 에너지를 갖음0.3~3Å

• 전자선 회절• 전자를 가속하여 얻어진 전자선도 de Broglie파(matter wave)로서 파동의 성격을 가짐으로써

그 회절을 이용하여 결정을 해석




Bragg law is a consequence of the periodicity of the lattice

Not refer to the composition of the basis of atoms associated with every lattice point.

Composition of the basis → determine the relative intensity of the various orders of diffraction (n)

2. Reciprocal Lattice – Diffracton of waves by crystals

Fig. 3 Sketch of a monochromator which by Bragg reflection selects a narrow spectrum of x-ray or neutron wavelengths from a broad spectrum incident beam.


Si powder로 부터 얻은 x-선 회절 패턴- 각각의 결정면간의 간격에 따라 보강간섭이 일어나는 각도가 달라진다.

Example of X-ray diffraction patterns of Si

Fig. 4. X-ray diffractometer recording of powdered silicon,showing a counter recording of the diffracted beams. (courtesy of W. Parrish.)

2. Reciprocal Lattice – Diffraction of waves by crystals





Why is a powder is “better” than a single crystal for X-ray diffraction?


2.2 Scattered wave amplitudeBragg 가 도입한 회절조건은 lattice points 에서 산란되는 파의

constructive interference를 정확히 설명

But we need a deeper analysis to determine the scattering intensityfrom the basis of atoms

332211 auauauT ++=

Any local physical property of the crystal is invariant under T

(전자수밀도(n(r)), 질량밀도, 자기 모멘트밀도는 모든 T에 대해 불변)

e number density n(r) is a periodic function of r

)()( rnTrn =+

Such periodicity creates an ideal situation for Fourier analysis

(이 같은 주기성 때문에 Fourier analysis를 역격자 공간에 적용가능)

2. Reciprocal Lattice – Scattered wave amplitude

1) Fourier Analysis


일 차원(1-D) 에서 x 방향으로 주기 “a”를 가지는 함수 n(x)를 생각하자

n(x) in a Fourier series of “sin” & “cos”

[ ]∑>

++=0

)/2sin()/2cos()(p

PPo apxSapxCnxn ππ

p : +ve integer

CP, SP : real constants

Fourier constants

주기 : a

Fourier series

∑=P

P apxinxn )/2exp()( π → 1-Dimension


-(3)


Factor 2π/a in the arguments ensures that n(x) has the period “a”

[ ]∑ ++++=+ )2/2sin()2/2cos()( 0 papxSpapxCnaxn PP ππππ

[ ] )()/2sin()/2cos(0 xnapxSapxCn PP =++= ∑ ππ -(4)

2πp/a 를 그 결정의 reciprocal lattice 공간에 있는 한 점 or Fourier 공간에 있는 한 점 이라 한다.

A term is allowed if it is consistent with the periodicity of the crystal as in Fig. 5,

other points in the reciprocal space are Not allowed in the Fourier expansion


•Figure 5. A periodic function n(x) of period a, and the terms 2πp/a that may appear in the

Fourier transform•n(x) = ∑ np exp(i2πpx/a) the magnitudes of

the individual terms np are not plotted


More complicated functions…

• For more complicated functions, you willneed different combinations of sines andcosines. So in general:

n(x) ~ n0 + C1 cos(2πx/a) +C2 cos(2π(2x)/a)+ ..…+ S1 sin(2πx/a) +S2 sin(2π(2x)/a) ++ …..

Constants

Different wavelengths

The more sines and cosines you have, the betterthe approximation will be (see the example to theRight, which is showing the electron density of MoAnd S atoms in a crystal direction)


1D periodic lattice

)]/2sin()/2cos([)(0

0 apxpSapxpCnxnp

ππ∑ ++=>

)]/)(2sin()/)(2cos([)(0

0 aaxppSaaxppCnaxnp

+∑ +++=+>

ππ

• In general then, we have :

• For a periodic lattice (with period a): n(x)=n(x+a)

• We can Show this is true for the above equation :

∑>

++++0

)]2/2sin()2/2cos([0

ppapxpSpapxpCn ππππ

( p=1,2,3,4,…)


1D periodic lattice

)]/2sin()/2cos([)(0

0 apxpSapxpCnaxnp

ππ∑ ++=+>

• Now : cos(α+β) = cosαcosβ + sinαsinβ

and sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

• So : cos(2πpx/a+2πp) = cos(2πpx/a)cos(2πp) + sin(2πpx/a)sin(2πp)

1(p=1,2,3,4…) 0(p=1,2,3,4)

sin(2πpx/a+2πp) = sin(2πpx/a)cos(2πp) + cos(2πpx/a)sin(2πp)

1(p=1,2,3,4…) 0(p=1,2,3,4)• And therefore :

be) shouldit (As )()( xnaxn =+


1D periodic function• So, we can represent a 1D periodic function, such as an electrondensity function (ie. An array of atoms) as a series of sines and cosines, of different combinations, using the above equation. It ismore compact to write this equation as :

xixeixNote ix sincos)exp(: +==

∑=+p

apxipnaxn )]/2exp([)( π

Can be a complex number

All integers (negative, zero and positive)


Why go to Complex Numbers ?

)]/2sin()/2cos([)(0

0 apxpSapxpCnaxnp

ππ∑ ++=+>

etc.) ,1,1 .( 0 −== πii eeie

∑=+p

p apxinaxn )]/2exp([)( π

• It is easier to use themthan sines and cosines!

• More compact• How can I be sure thatthis equation is right ?

• Try deriving this from :

You will need to use

ieexeex

ixix

ixix

2/)(sin2/)(cos

−

−

−=

+=


Conditions• What conditions do we need to use n(x) ?• n(x) will represent our atoms (so, it will be an electron density,for example). This means that n(x) has to be a real function.

• For this to be true : ∑==p

ppp apxinxnnn )]/2exp([)(for * π

• To see why this condition must be true, take :

)/2 where( ....)sin(cos)sin(cos)(

....)/2exp()/2exp()(

110

110

axininnxnaxinaxinnxn

π

ππ

=Φ+Φ−Φ+Φ+Φ+=

+−++=

−

−

Complex conjugate, because the np terms themselves can be complex


Conditions

• We have to show that the sum of the terms in p and –p above are real if

• We now have terms like n1 and n-1 which have the form : pp nn =−

*

)sin(cos)sin(cos 11 Φ−Φ+Φ+Φ − inin

Or in general, for any p

Φ−Φ=

Φ−+Φ+=Φ−Φ+Φ+Φ −−−

sin}{2cos}Re{2

sin)(cos)()sin(cos)sin(cos

pp

pppppp

nlmnnninninin

Simplifying)/2 (where

)sin(cos)sin(cos

apxinin pp

π=Φ

Φ−Φ+Φ+Φ −

(real part) (Imaginary part)


Conditions


Series(3) → ∑=P

P apxinxn )/2exp()( π → (5) 1 dimension

n(x) 가 실수가 되기 위해 nn PP =−

*→ (6)

)( *복소공액의는nn PP−

φ = 2πpx/a 이면식5의 –p항과 p항의 합은

)sin(cos)sin(cos ϕϕϕϕ ii nn PP −++−

ϕϕ sin)(cos)( nnnn PpPP i−−

−++= → (7)

식(6)이 성립하면

{ } { } ϕϕ sinIm2cosRe2 nn PP − 와 같아진다.=>n(x) is a real function


P: +ve, -ve, and zeronp is complex numbers여기서 n(x) 가 실수가 되기 위해서는



주기 함수에 대한 Fourier analysis 를 3차원 function n(r) 에 대해 확장하려면, 결정을 변하지 않게 하는 모든 결정 translation vector T 에 대해 식(9) 가 불변인 벡터 G의 집합을 찾아야 한다.

∑ ⋅=G

G riGnrn )exp()( 3-D Fourier series -(9)

Inversion of Fourier Series

식(5)의 Fourier coefficient nP 가 ∫ −= −a

P apxixndxan0

1 )/2exp()( π -(10)

Substitute (5) in (10) to obtain { }∫∑ −= −a

PPP axppidxnan

0''

1 /)'(2exp π -(11)

p’= p 항에 대해 exp(i 0)=1 이므로 적분 값은 a가 됨

PPP nanan ==∴ −1성립

같은 방법으로 식(9)의 inversion은

∫ ⋅= −

cellCG riGrndVn V )exp()(1

VC= vol. of cell of the crystal


If p'≠p the value of integral is

( ) 01)'(2

)'(2 =−−

− ppieppi

a π

π

))(exp(),,( ∑ ++=G

zyxG zGyGxGinzyxn

결정에서 탄성 산란된 X-선의 진폭이 전자밀도의 Fourier계수 nG로 부터 결정된다.


2) Reciprocal lattice Vectors전자밀도(연속함수)의 Fourier해석을 위해 식(9)로 부터

→Must find the vectors of Fourier Sum G ∑ ⋅ )exp( riGnG

This procedure forms the THEORETICAL basis of Solid State Physics.

Axis vectors 321 ,, bbb of the reciprocal lattice

321

321 2

aaaaab

×⋅×

= π321

132 2

aaaaab

×⋅×

= π321

213 2

aaaaab

×⋅×

= π -(13)

321 ,, aaa Primitive vectors of the crystal lattice

321 ,, bbb

Primitive vectors of the reciprocal lattice (Fourier 공간의 격자)


각 면의 법선의 길이를 면간 거리의 역수에 비례하도록 잡으면, 그 법선의 끝은 격자배열을 형성한다.이 배열이 결정의 역격자임.


jiji ab δπ2=⋅jiifji ==1δjiifji ≠= 0δ

-(14)

Reciprocal lattice vectors332211 bvbvbvG

++= -(15)

Every crystal structure has two lattices

①. crystal lattice

②. reciprocal lattice

결정의 diffraction pattern 은 reciprocal lattice 의 map이다

현미경상 image는 real space에서 crystal structure의 map이다

Two lattices 간에는 식 13의 관계가 성립

If rotate the crystal → rotate both the direct lattice & the reciprocal lattice

Direct lattice →dimension of [length]

Reciprocal lattice → dimension of [1/length]

Reciprocal lattice 는 Fourier 공간에 있는 격자

파수 vector (wave vector), k, 는 항상 Fourier 공간에서 그릴 수 있다

Fourier공간에 있는 각 position 은 description of a wave를 뜻하게 된다.

G로 정의되는 점은 특히 “중요한 의미”



Fourier series에서 는 reciprocal lattice vector 이므로, 전자밀도에 대한 Fourier 급수는

(crystal translation vector)에 대해 불변

G

T

∑ ⋅⋅=+G

G TGirGinTrn )exp()exp()( -(16)

1]exp[ =⋅TGi

을 증명하기 위해 (14)를 이용

)]()(exp[]exp[ 332211332211 auauaubvbvbviTGi ++⋅++=⋅

)](2exp[ 332211 uvuvuvi ++= π

332211 uvuvuv ++ 는 정수

)()( rnTrn =+∴

-(17)



Examples: 3차원 결정격자와 역격자




Face Centered Cubic (FCC)

[FCC의 역격자가 BCC의 결정격자와같음]



Body Centered Cubic (BCC)



3) Diffraction ConditionsTheorem : reciprocal lattice vector 가 X 선의 반사를 결정G

The amplitude of electric or magnetic field vectors in the scattered electromagnetic wave is proportional to

그림6을 보면 r 만큼 떨어져있는 volume element로 부터 탄성산란된 파동은 위상차 때문에 아래 위상인자 만큼 다르다:

한 volume element로 부터 산란되는 파의진폭은 그 vol. element가 있는 위치의 전자밀도(n(r)(=local e concentration))에 비례한다

The total amplitude of scattered wave in the direction of is proportional to

))'(exp( rkki ⋅−

'k))'(exp()( rkkidVrn ⋅−×

∫ ∫ ⋅∆−=⋅−= )exp()())'(exp()( rkirdVnrkkirdVnF -(18)

When k+Δk=k’ -(19)Scattering amplitudeΔk : change in wavevector (=scattering vector)

- Fig 6


Crystal vol. Phase factor


))'(exp(

sin'2cos'2'

'2'sinsin

rkkifactorphase

rrrk

rkrkldifferencepath

rrl

⋅−

==⋅

⋅−⋅=∆

=

+=∆

θλπα

λπ

λπ

θθ

α

θ

kGlawsBragg

rkGindVF

rGirn

GG

G

∆=

⋅∆−=

⋅=

∫ ∑

∑

'

])(exp[

)exp()(

'θ


Introduce the Fourier components (9) of n(r) to obtain the scattering amplitude

∑∫ ⋅∆−=G

G rkGindVF ])(exp[ -(20)

If the scattering vector (Δk) = particular reciprocal lattice vector (G)

Δk=G -(21) (Δk = 파동벡터의 변화, scattering factor)

(20) 식의 지수함수가 1이 되고 20식은 F=VnG 가 된다.

(Δk 가 G와 같지 않다면 F is negligibly SMALL, 회절조건이 아님)

탄성산란 (elastic scattering) 에서 에너지 (ħω)는 보존된다. (X-ray는 탄성산란, AES, XPS등은 비탄성산란)

따라서 산란파의 진동수 ω’=ck’ 는 입사파의 진동수 ω=ck 와 같아진다.

∴ lkl=lk’l and k2=k’2 to find or Gk

=∆ 'kGk =+

02') 2222 =+⋅==+ GGkorkkGk( -(22). If is a reciprocal lattice vector, so is –(ignore –ve sign)

G

G

22 GGk =⋅ -(23) condition for diffraction (= Bragg condition)

2. Reciprocal Lattice

k'

kΔk

∑ ⋅=G

G riGnrn )exp()( -(9)


G= h b1 + k b2 + l b3 방향에 수직인 parallel lattice plane

→ d(hkl) = 2π/ |G|

2 k· = G2 maybe written → 2(2π/λ)sinθ = 2π/d(hkl)

or 2d(hkl)sinθ = λ (hkl maybe contain common factor n)

2dsinθ=nλ -(24)

Laue equation white X-ray (power 법: 단색 X-ray, powder)Single Xtal (rotating Xtal 법)

Δk =G (회절이론)은 Laue 방정식으로도 나타낼 수 있다

Take the scalar product of both Δk ≠ with a1, a2, a3from 14&15

G

G

33 2 vπka =∆•22 2 vπka =∆•11 2 vπka =∆• -(25)


이 식은 회절조건을 만족시키는

scattering factor (Δk)를 어떻게

결정하는지 알려준다.


11 2 vπka =∆• → tell us that Δk lies on a cone about the direction

→ tell us that Δk lies on a cone about the direction

→ tell us that Δk lies on a cone about the direction

1a

22 2 vπka =∆• 2a

33 2 vπka =∆• 3a

따라서 반사가 일어나기 위해서는 Δk가 3개의 방정식을 모두 만족해야 함

즉 ∆k가 3개의 원추가 동시에 만나는 교선 위에 있어야 한다

매우 어려운 조건(결정방향과 X-선을 조직적으로 변화시켜야함)

이현상을 이해하는데 도움을 주는 작도법 Ewald 작도법

이작도법은 3차원에서 회절조건을 만족시키는 조건을 잘나타냄.



회전 결정법 (단색 X-ray을 사용하여 단결정분석,결정의 격자 형태 격자상수 결정에 편리)

(단색 X-ray을 사용하여 다결정 분말 결정분석, 단결정이 필요 없은 분석)

(연속 X-ray을 사용하여 단결정분석, 결정의 방위를 결정하는데 편리)


• Vector : 입사 x-ray방향, 역격자점에서 끝남• k의 출발선을 기준으로 반경 k=2π/λ 인

구를 그림• 이 구가 역격자점과 만날 때 회절선이 생긴다.

Θ는 Bragg 각이고이것은 Ewald가 고안해냈음

Fig 8. visualize the nature of accident to satisfy the diffraction condition in 3-D

Reflection from a single plane of atoms takes place in the direction of the lines of intersection of two cones. (2-D의 경우)

- 3차원같이 우연히일치될 필요는 없음

→ 2D의 경우 low energy electron diffraction이 중요

역격자 점

- Fig. 8 The points on the left-hand side are

reciprocal lattice points of the crystal


의미하는것공간에서역격자가kG

∆=


Ewald construction Equivalent to Bragg condition


회절조건에 관한 표현법을 Brillouin이 처음 발표 (고체물리에서 가장 널리 쓰이는 회절조건을 제시)오늘날 energy band 이론과 elementary excitation 등을 설명하는데 사용

Brillouin Zone : defined as a Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice→ gives a vivid geometrical interpretation of the diffraction condition

22 GGk =⋅ Divide both sides by 42)

21()

21( GGk =⋅

2.3 Brillouin Zones

1,2 평면은 GC와 GD를 수직 2등분한 선.

원점 O 에서 평면1에 도달하는 임의의 vector k1

은 회절조건을 만족시킴 21 )

21(

21

CC GGk =⋅

수직이등분선 (1,2면)

→ forms a part of the zone boundary

→ X-ray beam will be diffracted

& diffracted beam will in the direction Gk −

1 2

∴Brillouin construction은 결정 내에서 Bragg 반사가 가능한 wavevector k를 나타낸다

Fig. 9a

2. Reciprocal Lattice – Brillouin Zones

Fig. 9a

Reciprocal lattice points near the point O at the origin of the reciprocal lattice


Diffraction and Brillouin zone


The set of planes (bisectors of the reciprocal lattice vectors) – very important원점에서 출발하여 이들 면에서 끝나는 wave vector를 가지는 wave는 모두 회절

조건을 만족시킨다.또한 이들 평면은 Fig 9b 와 같이 Fourier 공간을 갈라 놓는다 (divide)→ central square → primitive cell of the reciprocal lattice

= Wigner Seitz cell of the reciprocal lattice

1st Brillouin Zone

Fig. 9b Square reciprocal lattice with reciprocal lattice vectors shown as fine black lines




1st Brillouin Zone → the smallest volume entirely enclosed by planesthat are the perpendicular bisectors of reciprocal lattice

Fig 10 → 1st Brillouin Zone of an oblique lattice in 2-DFig 11 → linear lattice in 1-D

Zone boundaries →(historically B.Z. 은 X-ray에서 쓰이지 않았던 language이지만

그러나 지금은 B.Z.은 결정의 전자 energy band 구조 연구에 “아주 중요”특히 1st B.Z.

ak π±=

Linear crystal lattice

a

Reciprocal latticeb

ak π−= ak π=

0 k→

Fig. 11 Crystal and reciprocal lattices in one dimension.Fig. 10 Construction of the first Brillouin zone for an oblique lattice in two dimensions.



1) Reciprocal lattice to SC (Simple Cubic) latticePrimitive translation vectors of SC

yaa ˆ2 =

zaa ˆ3 =xaa ˆ1 =

zyx ˆ,ˆ,ˆ : orthogonal vectors (직교단위 vector)

Vol. of cell → 3321 aaaa =×⋅

Primitive translation vectors of the reciprocal lattice

xab ˆ)/2(1 π=

yab ˆ)/2(2 π=

zab ˆ)/2(3 π=

(27b)

(27a)

SC의 역격자는 격자상수가 2π/a인 SC이다.Lattice constant of reciprocal lattice = 2π/a1st B.Z. 의 boundaries → planes normal to the 6 reciprocal lattice vectors

321 ,, bbb ±±±→ At this midpoints

xab ˆ)/(21

1 π±=±

yab ˆ)/(21

2 π±=±

zab ˆ)/(21

3 π±=±

6개 평면의 한변의 길이 2π/a 체적3)/2( aπ

→ this cube is the 1st B.Z. of the SC crystal lattice




2) Reciprocal lattice to bcc latticePrimitive translation vectors of bcc

Primitive translation of the reciprocal lattice

)ˆˆ)(2(1 zya

b +=π

)ˆˆ)(2(2 zxa

b +=π

)ˆˆ)(2(3 yxa

b +=π

)ˆˆˆ(21

2 zyxaa +−= )ˆˆˆ(

21

3 zyxaa −+=)ˆˆˆ(

21

1 zyxaa ++−=

-(28)

-(30)

Fcc lattice is the reciprocal lattice of the bcc lattice

Fig.12 Primitive basis vectors of the

body-centered cubic lattice

The volume of primitive cell

3321 2

1 aaaaV =×⋅=

-(29)



)ˆˆ)(/2( zxa ±±π)ˆˆ)(/2( zya ±±π

]ˆ)(ˆ)(ˆ))[(2( 213132332211 zyxa

bbbG vvvvvvvvv +++++=++=π

-(31)

가장 짧은 G vector들은 12개의 vectors

)ˆˆ)(/2( yxa ±±π

Primitive cell of the reciprocal lattice → described by321 ,, bbb

Vol. → 3321 )/2(2 abbb π⋅=×⋅

Fig 13 → regular rhombic dodecahedron (사방 12면체)

Solid state physics 에서는 역격자의 중앙에 있는

Wigner Seitz cell을 1st B.Z. 으로 택하는 관례가 있다

General reciprocal lattice (v1,v2,v3)

Fig. 13. First Brillouin zone of the body-centered cubic lattice




3) Reciprocal lattice to fcc latticePrimitive translation vector of the fcc (see Fig 14)

3321 4

1 aaaaV =×⋅=

)ˆˆ(21

2 zxaa += )ˆˆ(21

3 yxaa +=)ˆˆ(21

1 zyaa += -(34)

Vol. of primitive cell

Fcc의 reciprocal lattice

)ˆˆˆ)(2(1 zyxa

b ++−=π

)ˆˆˆ)(2(2 zyxa

b +−=π

)ˆˆˆ)(2(3 zyxa

b −+=π

BCC lattice is reciprocal to the FCC lattice

Vol. of primitive cell of the reciprocal lattice is 3)/2(4 aπ

Shortest G’s are 8 vectors )ˆˆˆ)(2( zyxa

±±±π

Fig. 14. Primitive basis vectors of the face-centered cubic lattice.



역격자 중앙에 있는 cell의 경계는 이들 8개 vector을 수직 2등분함으로 결정됨→이때 생기는 8면체의 꼭지는 6개의 다른 역격자 vector의 수직 2등분면에 의해

잘려진다

)ˆ2)(2( ya

±π )ˆ2)(2( z

a±

π)ˆ2)(2( xa

±π

)ˆ2)(2( xa

±π

1st B.Z. → Fig 15 (14면 존재, 꼭지가 잘린 팔면체)14면중 4각형으로 되어 있는 6개면을 연장하면

길이가 (4π/a)가 되고 Vol. 이 된다.

는 역격자 vector중 하나임 )( 32 값이기때문bb

+

3)4( aπ

Fig. 15. Brillouin zones of the face-centered cubic lattice. The cells are in reciprocal space, and the reciprocal lattice is body centered.





2.4 Fourier Analysis of the basis

회절조건 (Δk=G)이 만족되면 scattering amplitude는 식 18에 의해 결정됨

Crystal이 N개의 cell 로 되어 있을 경우

∫ =⋅−=cell

GG NSriGrdVnNF )exp()( -(39)

GS : structure factor

Defined as an integral over a single cell, with r=0 at one corner

Electron concentration n(r) as the superposition of electron concentration

functions nj associated with each atom j of the cell

rj= vector to the center of atom j

nj(r-rj) → contribution of that atom to the electron concentration at r

2. Reciprocal Lattice – Fourier Analysis of the basis

)18()exp()())'(exp()( −⋅∆−=⋅−= ∫ ∫ rkirdVnrkkirdVnF


The total e concentration at r due to all atoms in the cell is the sum

∑=

−=s

jjj rrnrn

1)()( -(40)

SG in equation 39 maybe written as integrals over the S atoms of a cell

∑∫ ⋅−−=j

jjG riGrrdVnS )exp()(

∑ ∫ ⋅−⋅−=j

jj iGdVnriG )exp()()exp( ρρ

Atomic form factor (fj)원자에 의존

Where jrr −=ρScattering power of the jth atom in the unit cell


-(41)

구조인자(SG)는 cell 내 S개 원자에 대한 적분

Geometric structureFactor

(Basis에 관한 것으로서 Geometric SF는 basis에 있는 원자의 위치에 관한 것Atomic form factor 은 각원자의 scattering power, 방향에 따른 효율 )


∫ ⋅−= )exp()( ρρ iGdVnf jj

∑ ⋅−=j

jjG riGfS )exp(

Define the atomic form factor as

-(42)

Combine (41) & (42) to obtain the structure factor of the basis

-(43)

)()( 321332211 azayaxbbbrG jjjj ++⋅++=⋅

vvv

Usual form of this as in (1.4)eq

321 azayaxr jjjj ++= -(44)

)(2 321 jjj zyx vvv ++= π -(45)


Geometric Structure factor


(43) becomes

∑ ++−=j

jjjjG zyxifS ](2exp[)( 321321 vvvvvv π

S need not be real → S·S* is real

“SG 가 zero이면 G가 역격자 vector라고 해도 산란강도는 Zero가 된다.”

만약 우리가 cell을 택할 때 primitive cell을 택하지 않고 conventional cell을 택한다면?

→Basis (단위구조)는 변하지만 physical scattering 은 변화가 없다.

∴식 39에 의해

N1(cell) X S1(basis) = N2(cell) X S2(basis)

-(46)


Primitive Cell (bcc) = Conventional Cell (bcc)N X 1 = 1/2N X 2


Structure factor of the SC lattice


1) Structure Factor of the bcc latticebcc basis → identical atoms at (000) & )

21

21

21(

Thus S(v1v2v3)=f(1+exp(-iπ(v1+v2+v3))

f: atomic form factor

S=0 whenever the exp has -1

S=0 when v1+v2+v3=odd integer

S=2f when v1+v2+v3=even integer

Metallic Sodium(Na) → bcc structure

→Diffraction patterns do not contain (100) (300) (111) or (221)….

But (200) (110) (222) will be present

Bragg 법칙이 만족되는 경우라도 단위정의 원자의 특별한 배열 때문에 회절이 일어나지않는 경우가 존재


•Bragg law is a consequence of the periodicity of the lattice•Not refer to the composition of the basis of atoms associated with every lattice point.


What is the physical interpretation of the result that the (100) reflection vanishes?

π

π 1st plane

2nd plane

3rd plane

Phase difference 2π

bcc에서 (100) 반사가 일어나지 않는 이유는

인접면 간의 위상차가 π이므로 두면에서

반사하는 파의 진폭은 0111 =−=+ − πie

(100) Reflection normally occurs (cubic cell 에서 위상이 2π 다를 때)

But in bcc, the intervening plane is equal in scattering power to the other planes

→canceling the contribution

→cancellation of the (100) reflection occurs in the bcc lattice

because the planes are identical in composition



Structure factor of the BCC lattice


Structure factor of the BCC lattice


2) Structure factor of the fcc latticeBasis of the fcc structure →identical atoms at

식 46은

)21

210(),

210

21(),0

21

21(),000(

)])(exp[)](exp[)](exp[1(),,( 213132321 vvivvivvifvvvS +−++−++−+= πππ

If all indices are even integers

If all indices are odd integers → S=4f

If one of integer is even & two odd

If one odd & two even→ S=0


Fig. 17: FCC 구조를 하는 KCl과 KBr은 모두 홀수거나 짝수일때 회절peak가 나오지만 KCl의 경우 K 원자와 Cl 원자의 전자수가 같아 Simple Cubic lattice와 같은 회절을 한다.(scattering amplitude 가 전자수가 같아서 거의 같다 f(K+) = f(Cl-) Structure factor의 fK+ = fCl-)

FCC 이여야 하지만 Simple Cubic과 같이

보임.

FCC


(1) 단순격자

• 단위정에 원자 1개만이 원점(0.00)에 위치함

• 구조인자는 F = ƒe 2πi(h•0+k•0+l•0) = ƒe 2πi(0) = ƒ , 따라서 F2= ƒ2

이와 같이 F2는 h, k, l에 무관계이며 모든 반사에 대하여 모두 같은 값을 갖는다

(2) 저심격자(C공간격자)• 단위정에 2개의 같은 원자가 000, ½½0 에 위치함

• F = ƒe 2πi(0) + ƒe 2πi(h/2+k/2) = ƒ[1+ e πi(h+k)] , e nπi = (-1)n n: 정수항상 (h+k)= 정수 이므로 F 는 실수h,k가 비혼합지수일 때 e πi(h+k)=1 이므로 F=2ƒ 따라서 F2=4ƒ2

h,k가 혼합지수일 때 e πi(h+k)=-1 이므로 F=0

어느 경우라도 l 지수의 값은 구조인자에 영향을 주지않음즉, 반사가 일어나지 않는데 이러한 현상을 Extinction Rule(소멸칙)이라 한다

● 구조인자의 계산


(3) 체심격자(I공간격자)• 단위정에 2개의 같은 원자가 000, ½ ½ ½에 있음

• F = ƒe 2πi(0) +ƒe 2πi(h/2+k/2+l/2) = ƒ[1+e πi(h+k+l)] <h+k+l = 2n (n:정수)일 때> F = 2ƒ , F2=4ƒ2

<h+k+l ≠ 2n 일 때> F = 0

(4) 면심격자(F공간격자)• 단위정에 4개의 같은 원자가 000, ½½0, ½0½ , ½0½ 에 위치함

F = ƒe 2πi(0) +ƒe 2πi(h/2+k/2) +ƒe 2πi(h/2+l/2) +ƒe 2πi(l/2+h/2)

= ƒ[1+e πi(h+k)+ e πi(k+l) + e πi(l+h)] <비혼합지수일 때> F=4ƒ 따라서 F2=16ƒ2

<혼합지수일 때> F=0• 반사는 (111),(200),(220) 등 에서 일어나지만, (100),(110),(112)등 에선 일어나지 않음

• 즉, 구조인자는 단위격자의 모양이나 크기에 관계없으며 다만 인자의 위치에만 관계된다는 것을 알아야 한다


(5)조밀육방정• 단위정에 2개의 같은 종류의 원자가 000, 1/3 2/3 1/2에 위치함

• F = ƒe 2πi(0) +ƒe 2πi(h/3+2k/3+l/2)

= ƒ{1+e 2πi[(h+2k)/3+l/2]} [※(h+2k)/3+l/2 값이 분수값을 가질수 있으므로 F는 복소수로 본다]따라서 |F|2 = 4ƒ2 cos2π[(h+2k)/3+l/2]

h, k, l로 잡을 수 있는 모든 값에 대한 정리는 다음과 같다

h+2k l F2

3n 홀수 03n 짝수 4ƒ2

3n±1 홀수 3ƒ2

3n±1 짝수 ƒ2 <n : 정수>


(6)NaCl 구조• 서로 다른 원자로 되어 있는 화합물 구조• 단위정에 4개의 Na 원자와 4개의 Cl원자가 다음 자리에 위치함

Na : 000 , ½½0, 0½½, ½0½ Cl : ½½½, ½00, 0½0, 00½

• 각 원자에 대한 원자산란인자가 구조인자의 식에 들어가야 한다

F = ƒNa[e 2πi(0) + e 2πi(h/2+k/2) + e 2πi(k/2+l/2) + e 2πi(l/2+h/2)] + ƒCl[e 2πi(h/2+k/2+l/2) + e 2πi(h/2) + e 2πi(k/2) + e 2πi(l/2)]

= ƒNa[1+ eπi(h+k) + e πi(k+l) + e πi(l+h)]+ ƒCl eπi(h+k+l) [1+ e-πi(k+l) + e-πi(l+h) + e-πi(h+k)]

= [1+ eπi(h+k) + e πi(k+l) + e πi(l+h)][ƒNa + ƒCleπi(h+k+l)]• Na 원자와 Cl 원자의 위치는 각각 면심병진(Face centering translation)에의하여 관계되어지며 즉, 첫째 괄호가 이 면심병진에 해당하고 NaCl이 면심격자를 가지고 있다는 것을 나타낸다혼합지수일 때 F = 0비혼합지수일 때 F = 4[ƒNa + ƒCleπi(h+k+l)]

h+k+l=2n일 때 F2=16(ƒNa+ƒCl)2

h+k+l≠2n일 때 F2=16(ƒNa -ƒCl)2


(7)ZnS (Zinc blend) 구조• Zinc blend 형 ZnS는 입방정이며, 격자상수는 5.41Å

• 단위정에 4개의 Zn원자와 4개의 S원자가 각각,Zn : ¼ ¼ ¼ + 면심병진S : 0 0 0 + 면심병진

• 혼합지수의 면에 대해 F = 0비혼합지수일 때 F = 4[ ƒS + ƒZnl(πi/2)(h+k+l) ] 이며, 공액복소수를 곱하여

|F|2 = 16 [ ƒS + ƒZn(πi/2)(h+k+l) ] [ ƒS + ƒZne-(πi/2)(h+k+l) ]|F|2 = 16 [ ƒS2 + ƒZn2 + 2ƒSƒZncos(π/2)(h+k+l)]

(h+k+l)이 홀수일 때 |F|2 = 16 ( ƒS2 + ƒZn2 )(h+k+l)이 2의 홀수배일 때 |F|2 = 16 ( ƒS2 - ƒZn2 )(h+k+l)이 2의 짝수배일 때 |F|2 = 16 ( ƒS + ƒZn )2



Structure factor of the FCC lattice


Structure factor of the FCC lattice




3) Atomic Form Factor (f)fj; is a measure of the scattering power of the jth atom in the unit cell

(Unit cell 내 j번째 전자가 아닌 원자의 scattering power의 척도)

→ involve the number and distribution of atomic electrons and the wavelength and angle of scattering of the radiation

한 원자로부터 scattered radiation은 원자내의 interference effects를 고려해야 함

(원자에 의해 어떤 방향으로 산란될 경우의 효율을 나타냄)

∫ ⋅−= )exp()( riGrdVnf jj

With the integral extended over the electron concentration associated with a single atom

r make an angle α with G G·r=Grcosα


-(49)


)cosexp()()(cos2 2 ααπ iGrrndrdrf jj −⋅= ∫

After integration over d(cosα) between -1 & 1

iGreernrdr

iGriGr

j

−−⋅⋅= ∫ )(2 2π

∫ =⋅= Zrrndrf jj2)(4π

If the same total e density were concentrated at r=0

Only Gr=0 lim sinGr/Gr = 1

∫ ⋅=Gr

Grrrndrf jjsin)(4 2π

fi 는 원자가 가진 전자의 총수(Z)와 같아 진다

# of atomic electrons


-(50)

-(51)


pointaatlocalizedeonebyscatteredaptituderadiationatomaninondistributieactualbyscatteredaptituderadiationofratiof =∴

G=0인 경우 fj=Z 가 다시 된다

X선 회절에서 관측되는 고체속의 전자분포는 자유원자의 전자분포와 거의 같다.

Fig.18 : fcc결정의 반사가 되는 면을 표시 (부분적으로 홀,짝 No reflection)


Fig. 18 Absolute experimental atomic scattering

factors for metallic aluminum

f가 sinθ/λ에 비례하므로 어떤 원자에서도 전방으로 산란될 때는( θ =0) f=Z가 되며 θ가 커질수록 개개의 전자에 의하여 산란된 파는위상이 맞아지지 않는 경우가 커진다.또 θ 가 일정하더라도 λ가 짧아지면 행로 차가 파장에 비해 커지므로산란 X선 사이의 간섭이 커진다.


2.5 QuasicrystalsFirst observed in 1984, cannot be indexed

to any Bravais lattice

→have symmetries intermediate between

a crystal and a liquid

Al-Mn(14%) Icosahedron(정20면체)

Small Mn atoms are each surrounded by 12 Al atoms

Arranged at the corners of an icosahedron

Quasicrystals are intermetallic alloys & very poor electrical conductors & nearly insulators with band well known band gap

Fig. 19. A quasicrystal tiling in two dimensions, after the work of Penrose.

2. Reciprocal Lattice - Quasicrystals


Quasicrystal : intermetallic alloy, poor electrical conductors nearly insulator

Great interest intellectually in expanding the definition of crystal lattice

Fig20 → computer generated diffraction pattern with 5 fold symmetry

Fig. 20. Photograph of the calculated Fourier transform (diffraction pattern) of an icosahedral quasicrystal along one of the fivefold axes, illustrating the fivefold symmetry

2. Reciprocal Lattice - Quasicrystals




Reciprocal lattice is the set of vectors G in Fourier space that satisfy the requirementG•T = 2p x integer for any translationT(n1, n2, …) = n1a1 + n2a2 (+n3a3 in 3-D)

How to find the G’s??Define vectors bi by

bi•aj =2πδij, where δij = 1 (i=j), δij = 0 (i≠j)If we define the vectorsG(m1, m2, …) = m1b1 + m2b2 (+m3b3 in 3-D)Where the m’s are integers, then clearly

G•T =2px integer for any T

Reciprocal lattice


Reciprocal Lattice and Translations

Note: Reciprocal lattice is defined only by the vectorsG(m1, m2, … ) = m1b1 + m2b2 + (m3b3 in 3D)

Where the m’s are integers and bi•aj =2πδij where δij =1 (i=j), δij =0 (i≠j)

The only information about the actual basis of atoms is in the quantitative values of the Fourier components nG in the Fourier analysis

∑ ⋅=G

G riGnrn )exp()(

∫ ⋅−=cell

G riGrdrnn )exp()(Inversion:

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Introduction to Solid State Physics Chapter 2hjeon.namoweb.net/lecture/chapter2.pdf · Semiconductor Materials Lab. Hanyang University1 1 Introduction to Solid State Physics. Chapter