1

Filtri passivi 1

Introduzione ai filtriFiltri di ButterworthFiltri di Chebishev

Filtri passivi 2

2

Filtri passivi 3

Filtri passivi 4

3

Filtri passivi 5

Filtri passivi 6

4

Filtri passivi 7

Filtri passivi 8

5

Filtri passivi 9

N crescente

1/2

1

ωωωω0=1ωωωω

Filtri passivi 10

6

Filtri passivi 11

Filtri passivi 12

prolungando analiticamente s21(s) e s11(s)

( ))()(1)(essendo

212111 ssssss −−=

7

Filtri passivi 13

@

@ 2

2

2

Filtri passivi 14

@

@

8

Filtri passivi 15

(poli)

j

Filtri passivi 16

Hp. (R0=1)

jj

9

Filtri passivi 17

s

1

R0

Filtri passivi 18

10

Filtri passivi 19I filtri di Butterworth servono anche come base per i filtri digitali

Filtri passivi 20

L4C4L5C5

11

Filtri passivi 21

Filtri passivi 22

12

Filtri passivi 23

Filtri passivi 24

)(1)(21 sE

ssN

±=

Dal filtro passa-basso normalizzato, di cui si sono viste le tabelle, passiamo ora agli altri filtri, tramite delle trasformazioni in ω

13

Filtri passivi 25

ωωωωn ωωωω

Filtri passivi 26

L’induttanza diventa una capacità

La capacità diventa una induttanza

14

Filtri passivi 27

N.B. I filtri passa-basso avevano zeri di trasmissione all’infinito. Ora gli zeri sono nell’origine.

Filtri passivi 28

15

Filtri passivi 29

Filtri passivi 30

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Filtri passivi 31

Filtri passivi 32

17

Filtri passivi 33

Filtri passivi 34

18

Filtri passivi 35

Filtri passivi 36

Progetto di un filtro di Butterworth

In fase di progetto vengono fornite come specifiche

•L’ ATTENUAZIONE

• I LIMITI ESTREMI della banda passante e di quella oscura.

A partire dalle specifiche occorre determinare

•il grado del filtro N (il numero dei componenti)

•la frequenza di taglio f0

presenti nelle formule di trasformazione.

19

Filtri passivi 370>α

Filtri passivi 38

piccola attenuazione

grande attenuazione

massimo al rispettodB 3αff 0 =⇒=2N

20

Filtri passivi 39

Specifiche

Filtri passivi 40

10/2

21

21

10/2

21

21

10)(

)(log20

10)(

)(log20

s

p

js

js

js

js

ss

pp

α

α

ω

αωαα

ω

αωαα

−

−

≤

≥−⇒≥

≥

≤−⇒≤

I valori riportati in ordinate si ricavano dall’espressione di α

Si definisce inoltre la selettività del filtro

1<=s

p

ff

k

21

Filtri passivi 41

110

11010

10

−

−s

p

α

α

Filtri passivi 42

22

Filtri passivi 43

Filtri passivi 44

In cui e’ tutto noto tranne N

110

11010

10

−

−s

p

α

α

23

Filtri passivi 45

Caratteristica più ripida

Filtri passivi 46

24

Filtri passivi 47

Filtri passivi 48

HfLLL

FfCCC

nn

nn

µπω

µπω

1082

2162

00

00

===

===

n

n

LC

25

Filtri passivi 49

Specifiche

p

s

ffk =

110

11010

10

−

−s

p

α

α

Filtri passivi 50s s

p p

ffper ααffper αα

====

26

Filtri passivi 51

Filtri passivi 52

27

Filtri passivi 53

In alternativa si trasformano le specifiche dal passa-alto al passa-basso, ponendo

ωω 1' e

f1f' ==

Le specifiche del passa-basso sono

'

ss

'

p p

f1 ' f

f'1per

f1 ' f

f'1per

ss

pp

ff

ff

=≥→≤≥

=≤→≥≤

αα

αα

Si calcolano N e f0 per il passa-basso imponendo

==

=='s

'p

ff' per

ff' per

s

p

αααα

Si realizza la rete e si effettuano le trasformazioni per tornare al passa-alto

nnn

nnn

n

CCfLC

LLfCL

sfsf

ss

00

00

'0

00

12

1

12

1

22

ωπ

ωπ

ππω

==→

==→

===

Filtri passivi 54

EsempioProgettare un filtro passa-alto che soddisfi le seguenti specifiche

≤≥≥≤

1kHz fper 5010kHzfper 1

dBdB

αα

Le specifiche del passa-basso corrispondente

≥≥≤≤

Hz10 fper 50Hz10f'per 1

-3

-4

dBdB

αα

382.21

)1052.1log(log

log

1052.110

23.0110110

1.01010

31

32/510/

10/

1

3

4

'

'

=⇒=⋅=≥

⋅=≅−−=

====

−

−

−

−

NkKN

k

ff

ff

k

s

p

p

s

s

p

α

α

28

Filtri passivi 55

Sovraspecificando in banda passante, si impone

40

3'

00

4'0

6

0

's

's

1028.4 Hz;10813.61f

Hz101.468fff

110log50

cui daff'per

−−

−

⋅=⋅==

⋅=→

+=

==

ω

αα

f

s

1 1

2

10-4/4.28 10-4/4.28

10-4/8.56

Passa-basso normalizzato Passa-alto

Filtri passivi 56

Specifiche

29

Filtri passivi 57

ωωωωns

ωωωωnp

−−−−ωωωωnp

−−−−ωωωωns

Filtri passivi 58

30

Filtri passivi 59

DiminuireAumentare

Filtri passivi 60

110110

10/

10/

−−

s

p

α

α

31

Filtri passivi 61

Filtri passivi 62

32

Filtri passivi 63

Filtri passivi 64

αα

33

Filtri passivi 65

Filtri passivi 66

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Filtri passivi 67

Filtri passivi 68

35

Filtri passivi 69

Filtri passivi 70

arccos(x)]cos[N(x)TN ⋅=

ℜ∈ℜ∈=+==

∈>≥=

pb,a,con ,cosh(p)jb)cos(as(x)]cos[Narcco(x)T cui da C,arccos(x) 1,xPer

1cosh(x)cos(jx) essendo

N

36

Filtri passivi 71

Filtri passivi 72

37

Filtri passivi 73

Filtri passivi 74

ε

38

Filtri passivi 75

Filtri passivi 76

e(s)ℜ

Im(s)

POLI

il cui numero dipende da N. Il rapporto tra i 2 assi dipende da ε.

39

Filtri passivi 77

ε

PN,ε è un polinomio con le radici nel semipiano sinistro

Filtri passivi 78

[ Per N pari, s21(0)=1/(1+εεεε2) ]

40

Filtri passivi 79

Filtri passivi 80

41

Filtri passivi 81

ε (ovvero da αp come vedremo).

Specifiche

Filtri passivi 82

Passa-basso normalizzato

2

21

2

21 )1(s)(s passante banda la in tutta che nota Si ≥ω

42

Filtri passivi 83

.

2

p

222p

11

10

)1log(10))1(1log(10)1(Dim.

εα

εεωαα

+=−

+=+=== Nnp T

Filtri passivi 84

43

Filtri passivi 85

Filtri passivi 86

pα

44

Filtri passivi 87

0.83 H

1.68 F1.68 F

Filtri passivi 88

0< )1(6 −≅ N

Chebyshev funziona quindi meglio di Butterworth, nel senso che le stesse prestazioni sono ottenute con meno componenti (N minore)

45

Filtri passivi 89

Specifiche

Filtri passivi 90

per il passa-basso era k=fp/fsp

46

Filtri passivi 91

sono apici, non esponenti

pαα = pαα =pα

Filtri passivi 92

47

Filtri passivi 93

Specifiche

Filtri passivi 94

48

Filtri passivi 95

Filtri passivi 96

49

Filtri passivi 97

Filtri passivi 98

Utilizzando un Chebyshev ed un Chebyshev inverso si hanno i FILTRI ELLITTICI. Essi permettono di ottenere la massima ripidità nella transizione tra le 2 bande, col n. minore di componenti.