INTRODUZIONE AI SEGNALI - Intranet DEIBhome.deib.polimi.it/bernasco/corso_fss/matdid/dispense01.pdf · Andamento della tensione fra due punti di un circuito elettrico. t v(t)

1 INTRODUZIONE AI SEGNALI

INTRODUZIONE AI SEGNALI


insieme di quantità fisiche che variano rispetto ad una variabile o ad un insieme di variabili indipendenti.

[s1 , s2 , s3 ... sM] = f(x1 , x2 , x3 ... xN)

M-canali N-dimensioni

Segnale

La maggior parte dei segnali nasce come segnale continuo nelle variabili indipendenti(tempo, spazio, …).

Il numero di quantita' fisiche "osservate" costituisce il numero M di canali del segnale. Il numero di variabili indipendenti che definiscono l'"osservazione" e' il numero N di dimensioni del segnale.

s(t) monodimensionale


Esempi di segnali

Andamento della tensione fra due punti di un circuito elettrico.

t

v(t)


Esempi di segnali

Elettrocardiogramma


Esempi di segnali

Andamento, sul piano immagine di una fotocamera, dell’intensità luminosa.


L(x,y)1 canale (luminanza),

bidimensionale

[R,G,B] =f(x,y)3 canali, bidimensionale

x

yRed(x,y)

Green(x,y)

Blue(x,y)


I segnali rappresentano il comportamento di grandezze fisiche (ad es. tensioni, temperature, pressioni, ...) in funzione di una o piu’ variabili indipendenti (ad es. il tempo t, lo spazio x, ...).

I segnali monodimensionali sono rappresentati da funzioni di una sola variabile e possono essere:

• continui => se la variabileindipendente assume con continuita’ tutti i valori reali

Classificazione dei segnali (1)

-2 -1 0 1 2-0.5

0

0.5

1

t

)(tx


• discreti => se la variabile indipendente assume valori multipli interi di un intervallo prefissato


-5 0 5-0.5

0

0.5

1

n nx


• reali => se il segnale assume solo valori solo reali

• complessi => se il segnale assume valori complessi (parte reale + parte immaginaria oppure modulo + fase)


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

reale + immaginaria

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4Modulo + fase

Re[x(t)]=a(t)Im[x(t)]=b(t)

x(t)=a(t)+j b(t) con a(t) e b(t) segnali reali

|x(t)|=[a(t)2+ b(t)2]1/2

fase[x(t)]=atan[b(t)/a(t)]

t[s] t[s]


• periodici => se il segnale si ripete uguale a se stesso dopo un qualsiasiintervallo multiplo di un periodo di durata To.. L’inverso della durata del periodo viene detta frequenza fondamentale fo del segnale periodico.

Se y(t) e’ periodico di periodo di durata To , e con x(t) si indica l’espressione di un solo periodo, e’ evidente che il segnale periodico puo’ essere espresso come:


)()( ∑∞

−∞=

−=n

onTtxty

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

To

x(t)

t[s]


Energia dttxE ∫∞

∞−

= 2)(

dttxT

PT

TT ∫

−∞→

=2/

2/

2)(

1limPotenza media

dttxT

PT

T

T ∫−

=2/

2/

2)(

1Potenza media sull’intervallo T

Potenza istantanea2

)(txPi =

Energia e Potenza

Attenzione: non sono energie epotenze “fisiche”.

Attenzione: non sono energie epotenze “fisiche”.


Energia e Potenza

Un segnale a energia finita ha potenza nulla (segnale di energia).

Un segnale a potenza finita ha energia infinita (segnale di potenza).

Un segnale periodico ha sempre energia infinita e potenza finita se questa e’ finita su un solo periodo T0. In questo caso il calcolo della potenza diventa

Potenza media di un segnale periodico dttxT

Po

o

T

To∫

−

=2/

2/

2)(

1


Il segnale x(t-τ) e’ ritardato di τ rispetto a x(t)E’ traslato rigidamente verso destra

-200 -100 0 100 200-2

-1

0

1

2

)100( −tx

)(tx

Ritardo

t[s]


-200 -100 0 100 200-2

-1

0

1

2

)100( +tx

)(tx

Anticipo

Il segnale x(t+τ) e’ anticipato di τ rispetto a x(t)E’ traslato rigidamente verso sinistra

t[s]


Il segnale x(at) e’ scalato di a rispetto a x(t) E’ dilatato o compresso a secondo che |a|<1 o |a|>1

-200 -100 0 100 200-2

-1

0

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

tx

Scalatura della variabile t

)(tx

-200 -100 0 100 200-2

-1

0

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2

tx

t[s] t[s]


Costante

-50 -25 0 25

0

2

4

6

8

Ctx =)(

2CP =

∞=E Rettangolo

)(rect)( ttx =

0=P

1=E

-1 0 10

0.5

1

1.5

Costante e rettangolo

t[s] t[s]


Somma di segnali

-2 -1 0 1 20

1

2

y(t) = x(t) + rect(t)

x(t)

-2 -1 0 1 20

1

2

y(t)

t[s]

t[s]


-2 -1 0 1 20

1

2

y(t)

-2 -1 0 1 20

1

2

Moltiplicazione di segnali

y(t) = x(t) . rect(t)

x(t)

t[s]

t[s]


)(tri)( ttx =

0=P

3/2=E

-2 00

0.5

1

1.5

Segnale triangolare

1-1 t[s]


Esempio: rettangolo scalato e ritardato

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

3

1rect2

3

1rect2)( tttx

( ) ( )[ ] ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=+−=+−=

21

41tri412tri212tri)(

ttttx

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=T

tAtx

τrect.)(

0

A

T

τ

Disegnare i segnali:

t[s]


⎪⎩

⎪⎨

⎧

<=>

==00

02/1

01

)()(

t

t

t

tutx

2

1=P∞=E

-1 -0.5 0 0.5-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Esponenziale reale

)()exp()( tuattx −=

0>aa

E2

1=

Scalino ed esponenziale reale

Scalino

t[s]t[s]


-1 0 10

0.5

1

1.5

T

1/T

( ) 1== ∫∞

∞−

dttA δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→ T

trect

Tt

T

1lim)(

0δ

L’impulso: definizione

L’impulso (detto anche delta di Dirac) puo’ essere definito come il rettangolodi base T e altezza 1/T, quando T tende a zero:

L’impulso e’ dunque un segnale localizzato nell’origine con baseinfinitesima, ampiezza infinita, ma area (integrale) unitaria:

t[s]


1 - Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso e’ uguale al valore del segnale in t=0 perl’impulso stesso

)()0(1

)0(lim

1)(lim)()(

0

0

txT

trect

Tx

T

trect

Ttxttx

T

T

δ

δ

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅

→

→

Proprieta’ dell’impulso

( ) ( )τδττδ −⋅=−⋅ txttx )()(

( ) )()( ττδ xdtttx =−∫∞

∞−

-200 -100 0 100 200-2

-1

0

1

2

x(t)1/T rect(t/T)

t[s]

( ) )0()( xdtttx =∫∞

∞−

δ2 – L’integrale di un segnale x(t) moltiplicato per l’impulsoe’ uguale al valore del segnale in t=0:

3 - Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato diτ e’ uguale al valore del segnale in t=τ per l’impulso stesso:

4 - L’integrale di un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di τ e’ uguale al valore del segnale in t=τ


t

δ (t)1

-2 1-1 2

2

-2

-1

2δ (t-1)

-2δ (t+2)

Simbolo dell’impulso


( )ϕπ += tfAtx o2cos)(

-1 -0.5 0 0.5 1-5

-2.5

0

2.5

5

( )422cos5)( ππ −= ttx

Ampiezza Frequenza Fase (iniziale)

oo f

T1

=

Periodo

2

2APm =

Cosinusoide

t[s]


Cosinusoide

-1 -0.5 0 0.5 1-10

0

10

-1 -0.5 0 0.5 1-10

0

10

Aum

enta l’ampiezza

-1 -0.5 0 0.5 1-5

0

5

-1 -0.5 0 0.5 1-5

0

5

Aum

enta la frequenza

( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

=+=

oo

o

ftfA

tfAtx

πϕπ

ϕπ

22cos

2cos)(

Aumentare la fase della cosinusoideequivale ad anticipare

Cosinusoide: ampiezza, fase, frequenza

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Aumenta la fase iniziale

t[s]

t[s]

t[s]

t[s]

t[s]


Legame fase-ritardo

x(t-τ) = A cos[2πf0 (t- τ)] = A cos[2πf0 t - 2πf0τ]

Ritardare di τ equivale a sfasare di -2πf0τ

2 f0

8 f0

4 f0

0 0.25 0.5 0.75 1Tempo [s]

f0

τ

Ritardare un segnale sinusoidale equivale a "modificare" la fase.

A pari ritardo τ , lo sfasamento e’ proporzionale alla frequenza della sinusoide.


Esponenziale complesso

|x(t)| = |A| = modulofase[x(t)] = (2π f0 t + φ) = fase

Formula di Eulero:

Fasore:

f0 positivo

f0 negativo

φ

Im

Re

[ ])2(exp)( 0)2( 0 φπφπ +== + fjAeAtx fj

)2sin()2cos( 00)2( 0 φπφπφπ +++=+ tfAjtfAeA tfj

X=A exp(jφ) x(t) = X exp(j2π f0 t )

A = ampiezza;φ = fase iniziale [rad];f0 = frequenza [1/s=Hz];ω0 = 2π f0=frequenza angolare [rad/s];T0 = 1/ f0 = periodo [s].

A


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4Modulo + fase

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

Componenti reale + immaginaria

Esponenziale complesso (Eulero) 1

{ }tfoπ2cos

{ }tfsin oπ2

Re{x(t)}

Im{x(t)}

1 { }tfoπ2

{ })2sin()2cos(

2exp)(

00

0

tfjtf

tfjtx

πππ

+==

t[s]

t[s]


{ } { }[ ]tfjtfj oo ππ 2exp2exp2

1−+=

{ }=tfoπ2cos

Re{x(t)}

Im{x(t)}

1/2

1/2

{ }=tfoπ2sin

{ } { }[ ]tfjtfjj oo ππ 2exp2exp

2

1−−=

Esponenziale complesso (Eulero) 2

{ }tfoπ2

{ }tfoπ2−


Esercizi

1 2

3

• Calcolare il periodo del segnale x(t)=sin(100 t)

• Calcolare il modulo del segnale complesso

x(t)=10 exp(j2πf1t) + 20 exp(j2πf2t)

• Dato il segnale g(t) riportato in figura, disegnare l’andamentodel segnale s(t)=g(-t/2 +1)

t [sec]

g(t)


Segnale numerico vs. segnale analogico

Numerico Analogico- programmabilità - velocità- stabilità nel tempo(prestazioni e segnali)

- trasportabilità- economicità

COPIA

COPIA COPIA

COPIA

Ogni volta che un segnale analogico viene riprodotto, trasmesso o duplicato subisceun degrado irreversibile a causa della presenza di rumore e della non idealita' dei dispositivi.

Un segnale numerico invece, finche' il disturbo non raggiunge una certa soglia(cioe' finche' il valore del campione e'riconoscibile), puo' essere rigenerato fedelmente.

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