INTRODUZIONE

Esiste l’armonia al di fuoridell’intelligenza umana che cerca discoprirla nella natura?

H. Poincare

La matematica, vista nella giusta luce,possiede non soltanto verita ma anchesuprema bellezza - una bellezza fredda eaustera, come quella della scultura.

B. Russell

La Sezione Aurea e l’esempio piu famoso, la prova piu evidente, la manifestazione piu straordinariadella presenza della Matematica in Natura. E’ affascinante scoprire questa corrispondenza cosı solida efondata, tra due cose che si presentano cosı lontane e diverse tra loro. Da un lato, i conti che si fanno suun foglio di carta, costruzioni geometriche idealizzate o equazioni astratte di secondo grado; dall’altro, ipetali di un fiore che si puo trovare in tutti i prati, i semi di un girasole, la forma buffa di un cavolfiore ole proporzioni del corpo umano. L’utopia della Matematica e la concretezza della Natura. La certezza el’aleatorieta. Precisione e approssimazione. Sembrano una il contrario dell’altra, e mai si sospetterebbeun legame cosı profondo tra le due.Eppure si puo facilmente osservare la bellezza di una formula matematica rispecchiarsi in un fiore, capireil comportamento di un albero attraverso lo studio dei numeri, incontrare ragni e molluschi che usanoquotidianamente teoremi da ben prima che l’uomo li scoprisse. Si puo riscontrare la verita di un’equazionematematica nelle leggi della Natura. Questi sono i momenti piu belli di tutto lo studio della Matematica,quelli che rendono concreta una volta tanto questa scienza fatta di cose cosı astratte come equazioni,logaritmi e funzioni. Ho cercato di riassumere in queste pagine i momenti piu affascinanti che si possanoprovare quando si scoprono i piccoli trucchi, le magie, gli incantesimi e addirittura i miracoli di cui ecapace il rapporto aureo. E lungo il percorso, come in un museo, ho inserito anche alcune piccole vetrinedove sono esposti altri meravigliosi oggetti della matematica: i numeri irrazionali, i frattali, il triangolodi Tartaglia...Spero di essere riuscito nel mio intento: se siete arrivati a leggere fino a qui avrete comunque capitoche non sono un granche a scrivere, e forse sarebbe stato meglio se qualche altra persona si fosse presaquesto onore di guidarvi nel misterioso mondo di Φ, la sezione aurea. Io ce l’ho messa tutta per renderele cose piu chiare possibile, e soprattutto per non annoiarvi come se vi stessi propinando una lezione dimatematica. D’altra parte, non ho voluto nemmeno trascurare gli aspetti piu tecnici del discorso: horiportato una dimostrazione che utilizzi argomentazioni e concetti elementari di piu del 90% dei teoremiche troverete nella lettura, il che non e mica cosı scontato se si pensa che questi teoremi provengonoda epoche, luoghi, personaggi e contesti diversi all’interno del vasto minestrone della matematica. Manessuno vi obbliga a leggere le dimostrazioni: se non ne siete interessati, semplicemente potete saltarle.Insomma, nel bilanciare queste due cose, semplicita e rigore, spero solo di non aver combinato un pasticcio;a questo punto pero non posso fare altro che augurarvi buona lettura, sperando di suscitare anche in voile stesse emozioni che ho provato io scoprendo un poco alla volta la bellezza mozzafiato della sezione aurea.

Quasi dimenticavo. Il libro e fatto di tre parti, ciascuna per uno dei tre grandi filoni in cui si trovala sezione aurea: in algebra, in geometria, e in natura. A meno che non abbiate gia qualche minimaconoscenza su i numeri di Fibonacci e Φ, queste parti non sono slegate l’una dall’altra e andrebberolette in ordine... un minimo di definizioni e teoremi sono indispensabili per capire dove il rapporto aureospunti fuori in natura! Alla fine del libro troverete un’appendice che contiene tutto quello che ho preferitoscartare dal percorso principale per non appesantirlo troppo, perche poco attinente o troppo tecnico.

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LA SEZIONE AUREAIN ALGEBRA

Le forme create dal matematico, comequelle create dal pittore o dal poeta,devono essere belle; le idee, come i colorie le parole, devono legarsiarmoniosamente. La bellezza e ilrequisito fondamentale: al mondo non c’eun posto perenne per la matematicabrutta.

G.H.Hardy

... dico che quanto alla verita, di chedanno cognizione le dimostrazionimatematiche, ella e l’istessa che conoscela sapienza divina.

G. Galilei

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1 La parte aurea

Prima di poter parlare della sezione aurea vera e propria, dobbiamo spendere 5 minuti per capire da dovenasca questo numero. Prometto che saro breve. Visto che da qualche parte dobbiamo iniziare, iniziamointorno al VI secolo a.C. in Italia meridionale, con Pitagora e la sua scuola. Non c’e molta chiarezza suchi per primo scoprı la sezione aurea, ma la tradizione vuole che la scoperta debba essere attribuita adun certo Ippaso di Metaponto, discepolo di Pitagora. La prima testimonianza scritta pero ci proviene daEuclide (intorno al 300 a.C.), e dal suo strabiliante libro degli Elementi.

Gli Elementi sono il testo piu importante di tutta la matematica, ma cio non significa che dopo Euclidenessuno abbia scritto qualcosa di piu interessante. Com’e possibile che un libro cosı vecchio (stiamoparlando di 2300 anni fa!) sia ancora oggi di cosı fondamentale importanza? Un motivo e quella chepoeticamente viene chiamata l’immortalita della matematica. La matematica non e come la chimica, o lafisica: in questi ambiti, ipotesi e congetture che sono state pensate negli anni passati su come funziona ilmondo, possono rivelarsi (e si sono rivelate molte volte) errate col progredire della scienza. Ad esempio lateoria degli elementi di Aristotele, secondo la quale se si toglie uno dei quattro elementi dal suo ambiente,questi tende a tornarvi (come un sasso gettato nell’acqua che affondando tende ad andare verso la suasfera, quella della terra, mentre le bolle d’aria che si liberano nell’acqua tendono ad andare verso l’alto,ossia verso la sfera dell’aria), oggi non e piu considerata una teoria scientifica come poteva esserlo untempo. Oppure senza cercare troppo nel passato, fino al 1900 si ipotizzava l’esistenza dell’etere, unmezzo che riempie tutto lo spazio, anche il vuoto, attraverso il quale si sarebbero dovute propagare leonde elettromagnetiche o la luce. Un grosso granchio: l’etere non esiste, e il vuoto e, manco a dirlo,proprio vuoto. Dunque in fisica vecchie teorie possono essere completamente sradicate e rimpiazzate danuove. Questo pero non puo succedere in matematica, dove una volta che un teorema e stato dimostrato,quello che afferma diventa verita assoluta, inconfutabile, nessuno potra mai scoprire, un giorno, un nuovofenomeno che lo contraddica. E infatti, 2300 anni dopo la loro pubblicazione, la matematica che comparenegli Elementi di Euclide e ancora la nostra matematica. E se provaste a leggerne qualche brano, visorprenderebbe scoprire quanto questo libro sia cosı simile ai testi di algebra e geometria che si usanooggi nelle scuole superiori. Dunque un punto a favore degli Elementi. L’altro motivo di tutta questaesaltazione per questo libro, e che si tratta di una sintesi delle conoscenze matematiche degli antichigreci, e quindi contiene le basi dell’algebra e della geometria, indispensabili per qualsiasi risultato piuavanzato si voglia ottenere in matematica. Insomma, i teoremi che sono contenuti negli Elementi sono imattoncini con i quali si e costruita tutta la matematica che e venuta dopo.Anche se oggi li troveremmo un po’ noiosi e antiquati (e normale, dopo due millenni) gli Elementi furono

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concepiti come manuale scolastico, e sono stati usati fino a poco tempo fa a questo scopo. E’ rimastofamoso un aneddoto su Euclide insegnante: un allievo gli avrebbe chiesto un giorno quali vantaggi fosseroricavabili dallo studio della geometria; pare che Euclide abbia ordinato ad un suo servo di dare a quelgiovane una moneta e di scacciarlo, in quanto con la sua domanda si era dimostrato non solo venale maanche incapace di comprendere il vero significato e l’inestimabile valore della scienza.Gli Elementi si compongono di 13 libri, i primi 6 riguardanti la geometria piana, tre sulla teoria deinumeri, il decimo libro sulla teoria degli incommensurabili e gli ultimi tre sulla geometria solida. Ognilibro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate come delle specie di definizioniche servono a chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da altre proposizioni che sono invece verie propri problemi o teoremi: questi si differenziano fra di loro per il modo con cui vengono enunciatie la frase rituale con cui si chiudono: ’come dovevasi fare’ per i problemi, ’come dovevasi dimostrare’per i teoremi. I principi fondamentali esposti negli Elementi si distinguono in tre categorie: termini odefinizioni, postulati (di natura geometrica) e nozioni comuni (postulati anch’essi, ma di portata piugenerale).Piccola precisazione: pur essendoci anche molte sue nuove dimostrazioni, ovviamente non e stato Euclidea scoprire tutto quello che c’e scritto negli Elementi, come lui stesso, con modestia, fa notare. Il suolavoro e stato quello di raccogliere i risultati matematici che erano stati raggiunti al suo tempo e ordinarlicon scruplosita e chiarezza.

Si trova scritto nel libro VI degli Elementi:

Def: La parte aurea del segmento e il medio proporzionale tra ilsegmento stesso e l’altra parte in cui resta diviso. (Euclide)

Cercare la parte aurea di un segmento di lunghezza L

Applicando alla lettera la definizione di parte aurea cosı come ce la racconta Euclide, prendiamoun segmento di lunghezza L, e dividiamolo (per ora facciamo a occhio) in due parti tale cheuna sia il medio proporzionale tra il segmento di partenza e la rimanente seconda parte in cui erimasto diviso il segmento. Forse si capisce meglio cosa voglia dire quel ’medio proporzionale’ sescriviamo tutto quanto in simboli. Detta g questa speciale ’parte aurea’ del segmento, essa deveverificare la relazione:

L : g = g : (L− g) [1]

Esiste solo una misura possibile per g, e se facciamo le cose per bene, il segmento dovrebbespezzarsi come in Figura 1.

Figura 1: Il segmento di lunghezza L e la sua parte aurea g.

Euclide, nel libro 6 degli Elementi, proposizione 30, spiega un metodo geometrico per dividereun segmento in media e ultima ragione, come la chiama lui, ovvero come cercare la parte aureadel segmento.

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Elementi, libro VI, proposizione 30Suddividere un segmento dato in media e ultima ragione.

Figura 2: AG e la parte aurea del segmento AB assegnato.

Sia AB il segmento dato. Si richiede di suddividerlo in media e ultima ragione. Si tracci ilquadrato ABCD su AB. Si disegni il rettangolo DEFH, col lato DE costruito sul prolungamentodi DA, in modo che sia equivalente al quadrato ABCD e in modo che il quadrilatero AEFG chesi ottiene sia un quadrato. Dimostriamo che AG cosı ottenuto e la parte aurea di AB. Poiche percostruzione ABCD e equivalente a DEFH, sottraendo DAGH da entrambi, si ottiene che AEFGe equivalente a HGBC. Uguagliando le loro aree:

GH ×GB = AE ×AG

GH : AE = AG : GB

ma poiche GH = AB e AE = AG,

AB : AG = AG : GB

come dovevasi fare!

In realta e un metodo abbastanza scomodo. Se vi mettete tranquilli e provate a trovare la parteaurea di un segmento con questo metodo, impazzirete quando verra il momento di costruire ilrettangolo DEFH in modo che sia equivalente al quadrato ABCD e in modo che il quadrilateroAEFG sia un quadrato. Non fate quelle facce disperate, un metodo per trovare quel fatidicopunto G in quattro e quattr’otto esiste, ma lo incontreremo nella sezione di geometrica quandosara il momento.

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2 La sezione aurea

Def: La sezione aurea (o rapporto aureo) e il rapportotra la lunghezza del segmento e la lunghezza della sua parte aurea.

Si indica con la lettera greca Φ (phi).

Φ =L

gLa sezione aurea, questo numero cosı misterioso, non e altro che un rapporto che nasce dalsegmento e dalla sua parte aurea. Vale la pena ricordare che in geometria il rapporto tra lelunghezze di due segmenti ci dice quante volte il segmento che sta al denominatore puo esserecontenuto nel segmento che sta al numeratore. Per rendere le idee piu chiare, possiamo pensareche questo numero, il rapporto aureo, sia il numero di volte che il segmento L puo contenere lasua parte aurea g:

L

g= Φ =⇒ L = Φ g

Calcolare il valore di Φ

Ma siamo sicuri che questo rapporto aureo sia sempre lo stesso per qualsiasi lunghezza L scegliamo?Il dubbio e ragionevole: la parte aurea g di un segmento assume lunghezze diverse se scegliamomisure L diverse del segmento di partenza. Se prendiamo due segmenti ciascuno con la sualunghezza, diciamo L1 e L2, essi avranno parti auree di lunghezze diverse tra loro, che chiameremofantasiosamente g1 e g2. Chi ci dice che

L1

g1=

L2

g2= cost. = Φ

qualunque L1 e L2 prendiamo? Il modo migliore per rispondere a questa domanda e calcolarequesta costante Φ e vedere che essa non dipende da L (ora svegliatevi se stavate dormendo, percheil momento e solenne: stiamo per calcolare il rapporto aureo!). Partiamo nientemeno che dalladefinizione di parte aurea [1]:

L : g = g : (L− g)

g2 = L2 − g L

L2 − g L− g2 = 0

dividendo per g2 entrambi i membri facciamo saltar fuori Φ(L

g

)2

− L

g− 1 = 0

Φ2 − Φ− 1 = 0 [2]

L e sparito, abbiamo ottenuto un’equazione in cui l’unica incognita che compare e Φ, e quindirisolvendola otterremo un valore numerico per Φ, il valore vero e proprio del rapporto aureo, enon una soluzione che dipenda da L o da g.Per alimentare la suspence, prima di calcolare questo numero, fermiamoci a contemplare le primedue tra le mille arcane proprieta di Φ: dalla [2] si puo trovare mescolando tra di loro i terminiche Φ e quel numero che elevato al quadrato da come risultato se stesso piu uno.

Φ2 = Φ + 1 [3]

Oppure che Φ e quel numero il cui reciproco e dato da se stesso meno uno.

1 = Φ2 − Φ

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dividendo per Φ entrambi i membri si ha infatti

1Φ

= Φ− 1 [4]

Torniamo a noi. Risolvendo l’equazione di secondo grado come ci e stato insegnato alle superioripossiamo finalmente trovare il valore preciso di Φ. Rullo di tamburi, le due soluzioni sono:

Φ1,2 =1±√5

2

Ovvero, in notazione decimale, i numeracci 1.61803399... e -0.61803399...Naturalmente scartiamo la soluzione negativa, trattandosi Φ di un rapporto tra segmenti.

Φ = 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189...

Visto cosı non sembra tanto speciale. Si tratta di un numero che in notazione decimale haun’infinita sequenza di cifre dopo la virgola, che non seguono nessun ordine particolare. Eppurequeste cifre non sono messe a caso: se ne cambiassimo solo una di esse, i mille trucchi che viraccontero qui di seguito non funzionerebbero piu, comprese quelle due proprieta gia viste, la [3]e la [4]. Per quei malfidenti che non vi hanno creduto quando le abbiamo dimostrate, calcoliamocon la calcolatrice Φ2 e Φ−1. Come avevamo detto,

Φ2 = 2.61803399887498948482045868... = Φ + 1

Φ−1 = 0.61803399887498948482045868... = Φ− 1

Vediamo che per via di quella√

5, Φ e un numero irrazionale, come π. ’Irrazionale’ in matematicanon ha lo stesso significato che ha in italiano.Si dicono irrazionali quei numeri che non possono essere rappresentati sotto forma di frazione didue numeri interi. Ovvero, non esistono a e b interi tali che Φ = a

b . I numeri irrazionali sono inumeri non-razionali.Ci sono pero irrazionali e irrazionali. Proprio questi due numeri magici, Φ e π, che sembranoavere cosı tante cose in comune (sono irrazionali, uno e il rapporto tra segmento e parte aurea,l’altro e il rapporto tra circonferenza e diametro, sono entrambi due lettere greche!), in realtaappartengono a due specie di irrazionali diverse.Φ e un irrazionale algebrico perche il suo valore si trova come risultato di un’equazione algebricaa coefficienti interi, per la precisione la [2].π invece e un irrazionale trascendente perche non e soluzione di nessuna equazione algebrica acoefficienti interi.Dobbiamo ritenerci abbastanza fortunati che Φ sia un irrazionale algebrico, perche se fosse unirrazionale trascendente non esisterebbe un’espressione come 1+

√5

2 che ci permetta di calcolareabbastanza comodamente il suo valore decimale.

La biblioteca di Babele

Abbiamo visto come l’espansione decimale di Φ sia una tipica sequenza infinita di cifre casuali.I matematici ritengono (ma non e stato dimostrato!) che numeri di questo tipo, come anche√

2, π o e, possano contenere qualsiasi successione finita di cifre vi venga in mente, prima odopo, nella loro espansione decimale. In altre parole, in qualche punto di 1.6180339887498948...comparira ad esempio il vostro numero di telefono! Anche il numero della vostra carta di creditoe lı, in bella vista a chiunque abbia la pazienza di spingersi abbastanza avanti dopo la virgola.Qualunque numero pensiate, per quanto grande o strano sia, compare nella sequenza. Se costruiteun codice che assegni ad ogni lettera dell’alfabeto o simbolo di punteggiatura una sequenza di trecifre, potete decodificare in questo modo la Divina Commedia o l’Enciclopedia Britannica. Dopograndi sforzi, otterrete una sfilza enorme di numeri che, prima o poi, ritroverete anche all’internodell’espansione decimale di Φ. Ci sara perfino un punto in cui potrete trovare la Divina Commedia

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e l’Enciclopedia Britannica in fila una dopo l’altra, senza interruzioni in mezzo. Potrete trovareuna successione di cifre che codifica una qualsiasi opera sia stata o possa mai essere stampata!Borges, uno scrittore argentino, scrisse un interessante racconto riguardo a questo, La Bibliotecadi Babele, in cui descrive ’una biblioteca spazialmente infinita composta di sale esagonali, cheraccoglie disordinatamente tutti i possibili libri di 410 pagine in cui si susseguono sequenze dicaratteri senza ordine, in tutte le possibili combinazioni. Poiche i caratteri possono, per casualita,comporre frasi di senso compiuto, nella labirintica Biblioteca di Babele continuano a muoversi edaffannarsi gli uomini alla ricerca dei libri che saranno scritti o che non verranno mai scritti, indefinitiva alla ricerca del Libro che contiene la Verita Ultima. Anzi, sara presente non solo il librodella Verita, ma anche ogni sua possibile variante e perfino il suo opposto, e gli uomini non hannola possibilita di distinguerli. Si potrebbe osservare quindi che, proprio perche vi esistono tuttii possibili libri e tutte le verita e anche le falsita che vi si riescono a scrivere, nonche semplicisequenze senza alcun senso (puro rumore, quindi), in realta la Biblioteca non contiene alcunaInformazione!’

Consiglio utile: non provate mai a convertire l’espansione decimale di Φ in codice binario, percheotterreste una stringa di 0 e 1 che conterrebbe tutte le stringhe mai scritte o che possano esserescritte in binario. Tra i reati che commettereste, ci sarebbero violazione di copyright (di tutti ilibri, siti web, musica, film, software, incluso il source code di Windows per esempio), spionaggioe detenzione non autorizzata di dati personali (codici fiscali, carte di credito, password...).

La frazione continua

Gia entusiasti delle proprieta [3] e [4] prima scovate, andiamo a conoscere un’altra proprieta chenon manchera di stupire anche i piu scettici. Ma prima, un po’ di storia.In matematica la frazione continua e un’espressione del tipo

x = a0 +1

a1 + 1a2+

1a3+ 1

...

[5]

dove a0, a1, a2... sono numeri naturali.Sembra una cosa che fa scoppiare la testa, ma in realta le frazioni continue sono utili perche ciforniscono l’unico modo di rappresentare sotto forma di frazione i numeri irrazionali. ’Ma come’,diranno i lettori piu svegli a questo punto, ’i numeri irrazionali non si possono scrivere sotto formadi frazione proprio per definizione’. E in effetti c’e una piccola fregatura. La rappresentazionedei numeri irrazionali col metodo delle frazioni continue e infinita: nella [5], se x e un numeroirrazionale, quei puntini al denominatore piu basso nascondono una serie di frazioni di frazionidi frazioni che non termina mai.A questo punto, visto che ormai ve l’ho detto, vi chiederete come si fa a descrivere un numeroirrazionale, poniamo

√2, con questo metodo. Come sempre, tutto inizia beffardamente con lo

scrivere qualcosa di banale: √2 = 1 + (

√2− 1)

ora consideriamo (√

2 − 1) come il reciproco del suo reciproco. So che sembra perverso, maabbiate pazienza... √

2 = 1 +11√2−1

il prossimo passo e razionalizzare il denominatore della frazione al denominatore (se mi perdonateil groviglio di parole) moltiplicando il suo numeratore e il suo denominatore per

√2+1√2+1

√2 = 1 +

11√2−1

√2+1√2+1

√2 = 1 +

1√

2+11

10

√2 = 1 +

11 +

√2

[6]

Gia si inizia a vedere qualcosa di simile a una frazione continua. Coraggio che e quasi finito:l’ultimo problema che ci rimane da risolvere e scrivere in qualche altro modo quel

√2 che c’e al

denominatore, perche nella nostra frazione continua vogliamo solo numeri interi. Quale puo essereil modo con cui sostituire

√2? Eccolo lı, sotto i nostri occhi, guardate la [6]:

√2 = 1 + 1

1+√

2.

Sostituiamo questa espressione a√

2 e guadagniamo un altro denominatore per la nostra frazionecontinua. √

2 = 1 +1

1 + 1 + 11+√

2

√2 = 1 +

12 + 1

1+√

2

ogni volta che sostituite a√

2 l’espressione 1 + 11+√

2la vostra frazione continua aumenta di un

piano. √2 = 1 +

12 + 1

2+ 11+√

2

Se continuate all’infinito (ma no, molto piu semplicemente limitatevi ad aggiungere dei puntini)otterrete la graziosissima rappresentazione di

√2 in frazione continua:

√2 = 1 +

12 + 1

2+ 12+ 1

...

Che soddisfazione, chi l’avrebbe mai detto... uno piu uno fratto due piu uno fratto due... queicoefficienti a1, a2, a3... sono tutti dei 2. Sarebbe curioso scoprire che numero irrazionale salterebbefuori se invece fossero tutti degli 1, non vi pare? Chissa cosa sara, di sicuro un numero speciale.

x = 1 +1

1 + 11+ 1

1+ 1...

Ci aspetteremmo che questo numero x sia un numero un pochino piu grande di 1, ma piu piccolo di2, perche si ottiene da 1 piu una frazione propria (cioe con denominatore maggiore del numeratore:il numeratore e 1, il denominatore e 1 piu qualcosa di positivo) e quindi compresa tra 0 e 1.Con grande sorpresa, notiamo che siccome il denominatore 1 + 1

1+ 11+ 1

...

della frazione continua

e illimitato, esso e proprio lo stesso x! (quel ! non e un fattoriale, e un punto esclamativo chedenota grande sorpresa). Togliere il primo piano, 1+ 1

... , di una sequenza illimitata di piani ugualitra loro, da ancora una sequenza illimitata di piani indistinguibile da quella di partenza. Magiedell’infinito... Se la sequenza fosse stata limitata il trucco non avrebbe funzionato.Allora possiamo riscrivere cosı:

x = 1 +1x

Ce l’abbiamo fatta, abbiamo ricondotto questo apparentemente difficile problema a una sempliceequazione fratta. Risolviamola portando entrambi i membri a comun denominatore e semplificandolo...

x2 = x + 1

x2 − x− 1 = 0

La riconoscete? E’ l’ormai famosa equazione di secondo grado [2], le cui soluzioni sono 1−√52 , che

va scartata perche negativa (mentre la nostra frazione continua e di sicuro un numero positivo),e... Φ!

Φ = 1 +1

1 + 11+ 1

1+ 1...

[7]

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Il numero piu irrazionale

Φ e amichevolmente conosciuto tra i matematici come il numero piu irrazionale tra gli irrazionali.Infatti Φ e il numero irrazionale che meno si presta ad essere approssimato con una frazione, equesto lo si puo vedere dalla sua rappresentazione in frazione continua.

La frazione continua di Φ trovata prima puo essere interrotta a qualsiasi livello, ad esempio 1 +1

1+ 11+1

, ottenendo cosı una frazione finita, ovvero un numero razionale, che dovrebbe approssimareΦ tanto meglio tanti piu piani lasciamo al denominatore.Poiche i coefficienti a0, a1, a2... della frazione continua sono tutti dei miseri 1, man mano cheaggiungiamo nuovi piani alla frazione, questa non cambia di molto, soprattutto quando ci spingiamoai piani molto bassi, perche stiamo modificando la frazione sommando al denominatore piu bassosoltanto un’unita.

1 +11

= 2

1 +1

1 + 11

= 1.5

1 +1

1 + 11+ 1

1

= 1.666...

1 +1

1 + 11+ 1

1+ 11

= 1.6

...

Di sicuro se aggiungessimo una cifra diversa anziche un piccolo 1, questa porterebbe una modificaun po’ piu sostanziale al denominatore e la frazione convergerebbe piu rapidamente al numeroirrazionale ad essa associato. Per questo motivo Φ e il numero piu difficile da approssimare conuna frazione, perche la sua rappresentazione in frazione continua converge piu lentamente al suovero valore di qualsiasi altro numero irrazionale. E’ come se Φ resistesse al procedimento di essererazionalizzato, meritandosi cosı la fama di numero piu irrazionale fra gli irrazionali.

La radice continua

In modo simile a quanto fatto con la frazione continua si puo calcolare

x =

√√√√1 +

√1 +

√1 +

√1 +√

...

Si vede facilmente che x e uguale a radice di uno piu se stesso perche√

1 +√

1 +√

1 +√... e

proprio x, e questo e reso possibile da quei tre puntini senza fine. Quindi ringraziamoli e scriviamo

x =√

1 + x

Eleviamo al quadrato entrambi i membri (ponendo x > 0 per le condizioni, sı, ok, non me lostavo dimenticando)

x2 = 1 + x

x2 − x− 1 = 0

la cui unica soluzione accettabile e Φ. Non c’e via di scampo, si finisce sempre lı.

Φ =

√√√√1 +

√1 +

√1 +

√1 +√

... [8]

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La retta di m = Φ (parte 1)

Sorprendete gli amici con questa domanda metafisica!Quanti punti a coordinate intere incontra la retta r : y = Φ x? E quanti punti a coordinaterazionali?

Figura 3: Nel piano cartesiano sono disegnate la retta y = Φ x e i punti a coordinate intere. Laretta non li attraversa. La retta non attraversa nemmeno i punti a coordinate razionali, (che nonsono disegnati perche sarebbero fittissimi e il piano diventerebbe tutto nero).

Risposta: solo l’origine. La retta sfiora, passa vicina quanto volete a numeri a coordinaterazionali, ma non li tocca mai. Si fa fatica a crederci, ma leggete la dimostrazione qui di seguito.Dimostrazione: se per assurdo P (m

n , kl ) con m, n, k, l interi, appartenesse alla retta, avremmo

che le sue coordinate soddisferebbero all’equazione della retta e quindi

P ∈ r ⇒ k

l= Φ

m

n

Φ =nk

lm

Assurdo, perche Φ e un numero irrazionale e non si puo scrivere sotto forma di frazione. Dunquenessun punto a coordinate razionali puo appartenere alla retta.

Un segmento L e la sua parte aurea g sono incommensurabili

Immaginiamo di voler misurare un segmento. In matematica misurare il segmento a significaprendere un altro segmento di riferimento u (l’unita di misura) e chiedersi quante volte u econtenuto in a. Se u e contenuto esattamente m volte in a, abbiamo che la misura del segmentoa rispetto ad u e m. E’ un po’ come se prendeste un metro da sarta, e scopriste che ci stannoesattamente m tacchette da 1cm nel segmento che volete misurare (il segmento finisce lı dove c’el’m-esima tacchetta).

Figura 4: Il segmento u e contenuto esattamente m volte in a. Si dice che a e u sonocommensurabili e a misura m rispetto a u.

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Se invece u non e contenuto un numero esatto di volte in a, possiamo provare a dividere u inn parti uguali e vedere se questa volta una di queste parti piu piccole 1

nu copre la lunghezzadel segmento di partenza con un numero esatto k di volte. Se succede cosı, allora la misuradel segmento a rispetto ad u e k

n . Nella vita pratica, il metro da sarta dell’esempio precedente,che non misura con precisione il segmento perche la tacca dell’ultimo centimetro oltrepassa lalunghezza del segmento, si trasforma in un righello con i millimetri, che sono 1

10 del centimetro.

Figura 5: Il segmento u non e contenuto un numero esatto di volte in a, ma il suo sottomultiploun e contenuto k volte in a. I segmenti a e u si dicono commensurabili e la misura di a rispettoa u e k

n .

Puo pero succedere, sorprendentemente, che, per quanto dividiamo il segmento u in parti semprepiu piccole, esse non coprano mai esattamente la lunghezza del segmento da misurare. Nemmenose scegliessimo un’infinitesima frazione di u riusciremmo a scomporre il segmento a in un numeroesatto di segmentini di quella minuscola lunghezza. Possiamo armarci dell’ultimo modello dimicroscopio e di un righello con unita di misura da un micron per fare in modo che l’ultimatacca dell’ultimo micron coincida con precisione con la fine del segmento da misurare, ma cio nonsuccedera mai, neanche scegliendo un’unita di misura ancora piu piccola. In questo caso si diceche a e u sono incommensurabili.

Figura 6: Per quanto si scelga piccolo il segmento un , non riusciamo a trovarne nessuno che sia

contenuto un numero esatto di volte in a. I segmenti a e u si dicono incommensurabili. Nonhanno nessun sottomultiplo razionale in comune.

Ora che abbiamo ripassato il significato di incommensurabilita, possiamo dimostrare che unsegmento L e la sua parte aurea g sono incommensurabili. Come vedremo, tutto e dovutoall’irrazionalita di Φ. In analogia all’esempio precedente, ora L e a e g e u.Se per assurdo L e g fossero commensurabili, esisterebbe una frazione m

n con m e n interi taleche L = m

n g, la misura di L rispetto a g. Ma poiche g e la parte aurea di L, si ha per definizioneche L = Φ g, da cui Φ = m

n . Assurdo, perche Φ e irrazionale.

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3 La sequenza di Fibonacci

Fibonacci (1175-1240) era un matematico pisano famoso principalmente per aver scritto il LiberAbaci, che e stato fondamentale per l’introduzione in Europa delle 9 cifre e dello 0: primasi facevano i calcoli con gli scomodissimi numeri romani. Ma Fibonacci e noto anche per lasequenza che porta il suo nome, che comparve per la prima volta in un suo libro, come soluzionead un problema riguardante la proliferazione dei conigli.

Immaginiamo di dover studiare l’evoluzione di una colonia di conigli (chi lo sa che sorprese cipotra mai riservare il futuro!). Supponiamo che:

• ogni coppia di conigli generi un’altra coppia ogni mese

• le coppie appena nate di conigli a loro volta si possano riprodurre dopo un mese (il tempodi giungere a maturazione).

Figura 7: In bianco le coppie vecchie, in grigio quelle giovani.

Immaginiamo di partire con una coppia di conigli giovane (1 coppia).Il mese dopo la coppia e diventata adulta (sempre 1 coppia), e quindi nel giro di un mese potradare alla vita un’altra coppia.Il terzo mese infatti troviamo la coppia di partenza e una coppia giovane di conigli (2 = 1+1).Il quarto mese, la coppia di partenza ha generato un’altra giovane coppia, mentre la seconda ematurata. In tutto quindi ci sono 3 coppie, due vecchie e una giovane (3 = 2+1).Il quinto mese, oltre alle 3 coppie del mese scorso, ne troviamo altre due concepite dalle coppieadulte (5=3+2).Di questo passo, dopo un anno ci ritroviamo sommersi da 144 coppie di conigli, dopo due anni lecoppie saranno diventate 46368.

Mettendo i numeri delle coppie di ciascun mese uno dopo l’altro si ottiene una successione, laSuccessione di Fibonacci signore e signori, in cui ogni termine e la somma dei due precedenti, e iprimi due numeri di partenza sono 1 e 1. Per sapere al n-esimo mese quante coppie di conigli cisaranno, basta sommare il numero di coppie dei due mesi precedenti.Per vederlo, osservate la Figura 7: il numero di coppie dell’n-esimo mese fn e dato dal numerodelle coppie gia esistenti, quelle che gia c’erano il mese prima, fn−1, a cui vanno sommati i coniglineonati, che sono tanti quante le coppie di conigli adulti del mese n − 1 (sono queste infatti lecoppie che possono partorire), che a loro volta sono tante quante il totale delle coppie del mesen− 2, fn−2. Otteniamo cosı

fn = fn−1 + fn−2 [9]

Non che questa formula ci aiuti molto per sapere quanti conigli ci saranno dopo n mesi. Infattiper conoscere l’n-esimo elemento della successione di Fibonacci fn dobbiamo prima sapere chi

15

sono fn−1 e fn−2, l’(n-1)-esimo e l’(n-2)-esimo elemento. A sua volta, per conoscere questi due,dobbiamo conoscere quelli che li precedono e cosı via. In pratica, per trovare il 100-esimo numerodi Fibonacci, dobbiamo prima calcolare i primi 99. Grazie molte, Fibonacci. Tali relazioni sidicono ’di ricorrenza’.

Un altro esempio di relazione di ricorrenza riguarda i numeri fattoriali. Per conoscere ad esempioil 100esimo numero fattoriale, dobbiamo prima sapere qual e il 99esimo e poi calcolare:

100! = 99!× 100

(non fatelo, perche risulta un numero con 158 cifre).Dunque la relazione per ricorrenza dei numeri fattoriali e:

n! = (n− 1)!× n

Per la vostra curiosita, pubblichiamo la sequenza di Fibonacci fino al 40esimo termine, cosı potetecercare se vi compare il vostro numero fortunato. La sequenza cresce velocemente...

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55(= f10),

89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765(= f20),

10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,

832040(= f30),

1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169,

63245986, 102334155(= f40)...

Che cosa centra tutto cio con la sezione aurea? Ancora un po’ di pazienza e (spero) tutto vi sarapiu chiaro...

Il triangolo di Tartaglia

Il triangolo di Tartaglia (detto anche di Pascal dal nome di colui che lo studio a fondo, ma scriveroTartaglia perche e piu patriottico) e il nascondiglio preferito di molte curiosita matematiche.Nonostante moriate dalla voglia di proseguire il discorso gia piu volte interrotto sulla sezioneaurea, vi voglio portare per 5 minuti a caccia di queste curiosita. Per farlo, niente fucili, avremosolo bisogno (indovinate un po’ !) del triangolo di Tartaglia.

Figura 8: Ogni numero e la somma dei due numeri superiori che gli sono adiacenti.

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In riferimento alla Figura 8, ogni numero e la somma dei due numeri superiori che gli sonoadiacenti. Ad esempio, se cercate il 20, vedrete che esso e la somma dei due 10 che gli stannosopra. Nessun trucco. Se non vi fa venire l’epilessia, potete anche immaginare tutto l’esterno deltriangolo come ricoperto di zeri, cosı anche i numeri 1 che stanno sui bordi del triangolo sono,come da definizione, la somma dei numeri superiori adiacenti: 1 + 0. In questo modo, il triangolodi Tartaglia viene generato da un 1 (il vertice del triangolo) in un mare di 0. A cascata, tutti glialtri numeri vengono generati da quell’1 di partenza.

• Della prima meraviglia matematica nascosta nel triangolo probabilmente ne avrete giasentito parlare a scuola: si tratta dei coefficienti degli sviluppi di potenze di un binomio.Forse queste potenze vi faranno tornare in mente qualcosa:(a + b)0 = 1(a + b)1 = a + b(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

e cosı via. Mentalmente cancellate tutte le lettere a e b da questi sviluppi e guardate cosane rimane: i coefficienti sono, in ordine, i numeri che compaiono nelle righe del triangolo.

Figura 9: I numeri delle righe sono i coefficienti degli sviluppi delle potenze di un binomio.

• La somma dei numeri che compaiono sull’n-esima riga (la prima viene considerata la riga0) e pari a 2n.Dimostriamo ad esempio che la somma dei numeri della quinta riga e 25. Per quanto dettonel punto precedente,

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Volendo prendere il binomio (1+1), il suo sviluppo sara:

(1 + 1)5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1

ma (1 + 1)5 = 25, e quindi 25 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1.

• Per chi conosce il calcolo combinatorio, i numeri di ciascuna riga possono anche essereinterpretati come i coefficienti binomiali di Newton. All’n-esima riga (la prima riga siconsidera n = 0) compaiono le combinazioni Ck,n con k che va da 0 a n da sinistra versodestra.Cosı ad esempio il quarto elemento della sesta riga, che e il 15, e anche conosciuto comeC4,6 (ricordando che n e k partono da 0).

• I numeri triangolari sono una sequenza di numeri che indicano quante lattine vi occorronose volete formare piramidi come quelle che bisogna colpire ai luna-park alte 1, 2, 3, 4,...piani. Per un solo piano, vi occorre 1 lattina; per 2 piani, ve ne occorrono 3 (due per la

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Figura 10: Servono 10 lattine per una piramide di 4 piani.

base, una per la punta); per 3 piani, ve ne occorrono 6 (tre per la base, due per il piano dimezzo, una per la punta); e cosı via.

Ma i numeri triangolari non sono famosi solo alle fiere e ai luna-park, perche l’n-esimonumero triangolare e anche la somma dei primi n numeri naturali. Ad esempio 10, il quartonumero triangolare, e la somma di 1+2+3+4.Essi si trovano nel triangolo lungo la terza diagonale (la prima diagonale contiene tutti 1;la seconda contiene i numeri naturali, utile nel caso vi dimenticaste cosa viene dopo il 7).

Figura 11: I numeri triangolari.

• Concediamoci un minutino di riposo da queste astrazioni complicate su binomi, lattine eluna-park, per gustarci delle opere d’arte che il triangolo di Tartaglia ci regala: ecco cosacompare se coloriamo di colori diversi le caselle con numeri pari e dispari.

Figura 12: Piu chiare sono le caselle con numeri pari.

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Da piu lontano, il triangolo assume una configurazione frattale:

In Figura 13 invece sono stati evidenziati i multipli di 5.

Figura 13: I multipli di 5 nel triangolo di Tartaglia.

• Se nel frattempo non li avete gia trovati voi in preda alla disperazione, finalmente vi mostrodove si nascondono i numeri di Fibonacci nel triangolo di Tartaglia. Basta evidenziare legiuste caselle e...

Figura 14: I numeri di Fibonacci sono la somma dei numeri che compaiono in queste diagonali.

In Figura 14, la somma dei numeri con lo stesso colore da un numero di Fibonacci:1+5+6+1=13, 1+6+10+4=21 e 1+7+15+10+1=34. Nelle diagonali piu su trovate i numeridi Fibonacci che vengono prima, piu giu tutti quelli che vengono dopo.Effettivamente, non e un mistero che i numeri di Fibonacci compaiano nel triangolo diTartaglia. Infatti si nota che ogni diagonale, per come e costruito il triangolo, e la sommadelle due diagonali che la precedono: e proprio la relazione di ricorrenza della sequenza diFibonacci. Ad esempio in figura ciascun numero della diagonale verde si ottiene sommandoi numeri immediatamente sopra di lui, cioe proprio quelli che appartengono alle diagonaligialla e azzurra. La diagonale verde e uguale alla gialla piu l’azzurra, le due diagonali che laprecedono. Come nella relazione di ricorrenza. Spiacente di avervi rovinato in poche righel’aura di mistero che circondava la comparsa della sequenza di Fibonacci nel triangolo,d’altronde in matematica spesso si rimane piu sorpresi quando si scopre il come e il perchepiuttosto che il cosa.In conclusione, il triangolo di Tartaglia ci permette di trovare l’n-esimo numero di Fibonaccisommando i numeri appartenenti alla n-esima diagonale del triangolo.

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I numeri di Φbonacci

Finalmente e arrivato il momento di scoprire il legame tra i numeri di Fibonacci e la sezioneaurea. Siccome siete stati pazienti a leggere fin qui, voglio ringraziarvi con un giochino: pensatedue numeri qualsiasi. Ora prendete la calcolatrice e costruite una sequenza simile a quella diFibonacci, in cui ogni numero e la somma dei due che lo precedono, a partire dai numeri cheavete pensato. Ad esempio, se avete pensato al 14 e al 3, la sequenza sara:

14, 3, 17, 20, 37, 57, 94, 151, 245, 396, 641, 1037, 1678...

Fermatevi al tredicesimo, e dividetelo per il dodicesimo. Non crederete alla calcolatrice:

un numero incredibilmente vicino alla sezione aurea! E’ proprio questo il legame tra i numeridi Fibonacci e la sezione aurea. La sequenza di Fibonacci, nata quasi per caso da un problemasulla proliferazione dei conigli, e la sequenza il cui rapporto tra un elemento e il suo predecessoreconverge piu velocemente a Φ. In simboli si scrive

limn→+∞

fn

fn−1

= Φ [10]

ovvero, il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi, all’aumentare di n, approssimasempre meglio Φ.Magari non ci avevate nemmeno fatto caso, ma non e scontato che questo rapporto converga: siail numeratore che il denominatore crescono al crescere di n, quindi si ha una forma indeterminata∞∞ . Si potrebbe verificare il caso in cui il numeratore cresca un po’ piu del denominatore, e cosıil limite esploderebbe a infinito. Al contrario, se il denominatore crescesse piu del denominatore,la frazione si ridurrebbe a zero. Invece con i numeri di Fibonacci non succede ne l’una ne’l’altra cosa, numeratore e denominatore crescono con la stessa velocita e il rapporto numeratore-denominatore riesce sempre a bilanciarsi stabilizzandosi a Φ.Questa convergenza fu dimostrata nel 1700 e, come si puo vedere dal seguente grafico, e unaconvergenza molto rapida:

Figura 15: In ascissa n, in ordinata il valore di fn

fn−1, che approssima sempre meglio Φ. Ad

esempio, per n = 9 si ha in ordinata f9f8

= 1.619....

Il mio computer dice che gia per n = 25 il rapporto f25f24

approssima correttamente Φ a 10 cifredopo la virgola. In realta pero la differenza tra Φ e il rapporto dei numeri di Fibonacci, perquanto si riduca sempre di piu, continua ad esserci.

Abbiamo verificato sperimentalmente che questi rapporti tendono sempre di piu a Φ, ma comesempre in matematica non si puo dire che una cosa sia vera finche non la si e dimostrata, altrimenti

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n fn

fn−1

2 11 = 1

3 21 = 2

4 32 = 1.5

5 53 = 1.6666...

6 85 = 1.6

7 138 = 1.625

8 2113 = 1.6153...

9 3421 = 1.6190...

10 5534 = 1.6176...

11 8955 = 1.6181...

12 14489 = 1.6179...

chi puo esserne sicuro. Come quella volta che si credeva che non esistessero x, y, z e w interi tali chex4+y4+z4 = w4 finche non si e trovato che 2.682.4404+15.365.6394+18.796.7604 = 20.615.6734.Per la dimostrazione iniziamo dall’unica cosa che finora conosciamo sui numeri di Fibonacci, laloro relazione per ricorrenza:

fn = fn−1 + fn−2

immaginiamo che n sia un numero molto grande, dal momento che quello che ci apprestiamo adimostrare, che fn

fn−1≈ Φ, e valido solo quando n e molto grande. Dividiamo entrambi i membri

per fn−1 in modo che salti fuori il rapporto che ci serve:

fn

fn−1= 1 +

fn−2

fn−1

essendo n molto grande, in particolare maggiore di 3, possiamo immaginare che esista fn−3. Dafn−1 = fn−2 + fn−3 si ha che:

fn

fn−1= 1 +

fn−2

fn−2 + fn−3

scriviamo la frazione come il reciproco del suo reciproco

fn

fn−1= 1 +

1fn−2+fn−3

fn−2

fn

fn−1= 1 +

1

1 + fn−3fn−2

Ancora, possiamo supporre che fn−2 = fn−3 + fn−4:

fn

fn−1= 1 +

1

1 + fn−3fn−3+fn−4

fn

fn−1= 1 +

11 + 1

fn−3+fn−4fn−3

fn

fn−1= 1 +

11 + 1

1+fn−4fn−3

...e si capisce dove si va a finire: piu n e grande, piu si ottiene la frazione continua che convergea Φ vista in precedenza, perche piu n e grande, piu possiamo spingerci ad aumentare via via idenominatori di questa frazione continua usando fn−5, fn−6, fn−7... e tutti i precedenti numeridella sequenza. Possiamo continuare cosı, fino al punto in cui, risalendo la sequenza di Fibonacci

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al contrario, arriviamo al suo primo termine, f1. La frazione continua che otteniamo non equindi proprio infinita: solo molto grande, tanto piu grande quanto piu n e grande. E tantopiu grande e la frazione, tanto meglio approssima bene la [7], cioe Φ. Dunque per n abbastanzagrande, fn

fn−1≈ Φ.

Come dovevasi dimostrare.

Progressioni geometriche

Una progressione a, b, c, d, e, ... si dice geometrica se ogni termine e λ volte quello che lo precede,e λ si dice ragione.Ad esempio 1, 2, 4, 8, 16, 32,... e una progressione geometrica di ragione 2 perche ogni terminee il doppio di quello che lo precede.Nel caso della sequenza di Fibonacci, piu i numeri della sequenza crescono, piu fn

fn−1= Φ, e quindi

piu fn = Φ× fn−1, ovvero ogni termine e Φ volte quello che lo precede. Si dice che la sequenzadi Fibonacci si comporta, a lungo termine, come una progressione geometrica di ragione Φ.

La retta di m = Φ (parte 2)

Strabiliate i vostri amici indovinando i punti a coordinate intere a cui passa piu vicina la retta!Dalla [10], si puo ricavare che la retta y = Φ x sfiora sempre piu da vicino i punti (13;21), (21;34),(34;55)... quelli che hanno per ascissa e ordinata un numero di Fibonacci e il suo successivo.Infatti se Φ e circa 55

34 , allora la retta y = Φ x si potrebbe approssimare con la retta y = 5534x, che

passa proprio per (34;55).

Figura 16: La retta passa molto vicina al punto di coordinate (5;8).

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LA SEZIONE AUREAIN GEOMETRIA

La geometria ha due grandi tesori: uno eil teorema di Pitagora; l’altro lasuddivisione di una linea in media edestrema ragione. Possiamo paragonare ilprimo a una misura d’oro, e chiamare ilsecondo un prezioso gioiello.

Keplero

L’Universo e scritto in linguamatematica, e i caratteri son triangoli,cerchi ed altre figure geometriche, senza iquali mezzi e impossibile a intenderneumanamente parola; senza questi e unaggirarsi vanamente in un oscurolabirinto.

G. Galilei

23

24

4 La parte aurea

Ve lo ricordate il metodo di Euclide, libro 6, proposizione 30, per trovare la parte aurea delsegmento? Quello scomodo? Bene. E’ arrivato il momento che io vi tramandi il procedimentoper trovare la parte aurea di un segmento assegnato usando solo riga non graduata e compasso.Avete letto bene, per trovare la parte aurea vi bastano solo riga e compasso, come gli antichigreci. Ecco come si fa:

• Tracciate la perpendicolare passante per B al segmento dato.

• Trovate il punto medio M del segmento AB, e riportatene la misura sulla retta perpendicolareindividuando il punto C.

• Tracciate l’ipotenusa AC, e poi col compasso puntate in C con apertura CB in modo dariportare su AC la lunghezza di BC. Chiamate D il punto di intersezione.

• Puntate in A e riportate col compasso la misura AD su AB. Il punto individuato, G,individua la parte aurea AG del segmento.

Adesso, per non tirarla troppo per le lunghe, fidatevi di me se vi dico che l’AG che abbiamotrovato e la parte aurea di AB, e continuiamo il discorso sulla sezione aurea perche ci sonoancora mille cose interessanti da vedere... come? non vi fidate? Ho capito, ho capito, ecco ladimostrazione (ve le andate a cercare, pero!):

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Poniamo che il segmento di partenza AB abbia lunghezza L, allora BC e lungo L2 , perche e la

stessa misura di MB riportata sulla retta ortogonale. Dunque, per il teorema di Pitagora,

AC2 = AB2 + BC2 =⇒ AC =√

AB2 + BC2 =

√L2 + (

L

2)2 =

√5

2L

Anche CD, essendo lungo quanto BC, misura L2 . Dunque

AD = AC − CD =√

52

L− L

2=√

5− 12

L

Poiche AG = AD, allora anche AG =√

5−12 L.

AB

AG=

L√

5−12 L

=2√

5− 1=

2√5− 1

√5 + 1√5 + 1

=2(√

5 + 1)4

=1 +

√5

2= Φ

Il rapporto tra AB e AG e Φ: AG e quindi la parte aurea di AB.Come dovevasi fare!

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5 Il rettangolo aureo

Def: Il rettangolo aureo e un rettangolo il cui rapporto tra le misuredei suoi lati a e b e Φ.

a

b=

base

altezza= Φ ⇒ a = Φb [11]

Che delusione, eh? Dopo tutto quello che abbiamo visto sul segmento e la sua parte aurea, chissache grandi aspettative avevate sul rettangolo aureo! Invece sembra cosı banale, un rettangolo cheha per lati un segmento e la sua parte aurea... chi l’ha inventato poteva sforzarsi un po’ di piu!In realta dietro a questa semplice definizione si nasconde un vortice di meraviglie matematichein qualunque direzione si volti la testa.Per scovarle, ci serve prima di tutto un bel rettangolo aureo. Ecco come costruirne uno:

• Scegliete per prima cosa la lunghezza del lato minore del rettangolo, e costruite un quadratoche ha per lato quella lunghezza.

• Trovato il punto medio M del lato del quadrato AB, puntate il compasso in M con aperturaMC.

• Prolungate il lato AB e chiamate E la sua intersezione con la circonferenza. A, D ed E sonotre vertici del rettangolo aureo.

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• Completate il rettangolo tracciando la perpendicolare ad AE per E.

Credete ancora che vi stia truffando? Che il rettangolo che abbiamo ottenuto non sia aureo?Tenete la dimostrazione, malfidenti! Questa viene nientemeno che dagli Elementi di Euclide.

Poniamo AD=g, vogliamo mostrare che AEAD = Φ.

Per il teorema di Pitagora,

MC2 = MB2 + BC2 =⇒ MC =√

MB2 + BC2 =√

(g

2)2 + g2 =

√5

2g

ma ME ∼= MC e quindi ME =√

52 g. Ora possiamo calcolare il lato maggiore AE e fare il rapporto:

AE = AM + ME =g

2+√

52

g =1 +

√5

2g

AE

AD=

1+√

52 g

g=

1 +√

52

= Φ

Come dovevasi fare!

L’autoreplicabilita del rettangolo aureo

La prima interessante particolarita del rettangolo aureo (non funziona con nessun altro tipo direttangolo) e che si puo scomporre in un quadrato e in un altro rettangolo simile a se stesso, cioeun altro rettangolo aureo (come in Figura 17).

Figura 17: Il rettangolo aureo e somma di un quadrato e di un rettangolo aureo piu piccolo (pertrovare il quadrato e sufficiente tracciare un arco di circonferenza).

Come tutte le proposizioni, la proprieta qui sopra non e vera finche non e dimostrata. Dobbiamoprovare che se ritagliamo un quadrato dal rettangolo aureo di partenza il rettangolino che cirimane e effettivamente aureo. Se i lati del rettangolo di partenza misurano L e g, dobbiamoquindi dimostrare che g

L−g = Φ (perche g e L− g sono i lati del rettangolino in questione).Sfruttiamo l’unica ipotesi a nostra disposizione, ovvero che L

g = Φ perche il rettangolo di partenza

28

e aureo. Sostituendo L = Φg a L:

g

L− g=

g

Φg − g=

g

g(Φ− 1)=

1Φ− 1

Oh-oh. Il risultato del rapporto gL−g non e Φ, come ci aspettavamo. Ma basta rimaneggiare un

po’ la frazione ottenuta scrivendo ΦΦ al posto di 1 e...

1Φ− 1

=1

Φ− ΦΦ

=1

Φ2−ΦΦ

=11Φ

= Φ

In cui il penultimo passaggio e stato ottenuto servendosi della formula [2]: Φ2−Φ−1 = 0 ⇒Φ2 − Φ = 1. Per un pelo tutto e finito bene. Lasciatemelo scrivere,

g

L− g= Φ [11a]

Come dovevasi dimostrare!

Ora vi potrebbe sembrare una curiosita un po’ fine a se stessa questa cosa dello scomporre ilrettangolo aureo in un quadrato piu un altro rettangolo aureo. Ma tempo addietro, ci fu unmatematico che, quando gli mostrarono questa proprieta dei rettangoli aurei che ho appenamostrato a voi, venne colto dall’irrefrenabile raptus di scomporre qualsiasi rettangolo aureo glicapitasse a tiro. Quindi non si limito a scomporre il rettangolo aureo nero di partenza, trovandoun rettangolino aureo un po’ piu chiaro, ma proseguı dividendo pure questo rettangolino cheaveva ottenuto. In questo modo ne venne fuori un altro piu piccolo, che coloro di grigio. La suafollia lo spinse a scomporre anche questo, e tutti i successivi...

Figura 18: Il rettangolo aureo e somma di un quadrato piu un rettangolo aureo che a sua volta esomma di un quadrato piu un rettangolo aureo...

Non so chi fosse il matematico in questione, ma la sua scoperta ci regalera molte sorprese. Credoche quello strano tipo sia ancora impegnato a scomporre rettangoli aurei sempre piu minuscoli,ma non gli bastera l’eternita per finire il suo lavoro. Ci sono infiniti rettangoli aurei all’internodi un qualsiasi rettangolo aureo.

Simmetricamente, come un rettangolo aureo e fatto di tanti rettangolini aurei piu tanti quadrati,cosı un rettangolo aureo e dei quadrati possono generare tanti rettangoloni aurei. Si puo dimostrareinfatti che accostando un quadrato al lato maggiore di un rettangolo aureo si ottiene un nuovorettangolo aureo. La dimostrazione e del tutto simile a quella precedente:

In riferimento a Figura 19, affianchiamo ad un rettangolo aureo ABCD di lati L e g un quadratodi lato L. Dimostriamo che le misure del nuovo rettangolo, L e L + g, sono tali che L+g

L = Φ.Per ipotesi si ha che L

g = Φ.

L + g

L=

Φg + g

Φg=

1 + ΦΦ

Ma da [2], 1 + Φ = Φ2.L + g

L=

1 + ΦΦ

=Φ2

Φ= Φ [11b]

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Figura 19: Al rettangolo aureo ABCD e stato affiancato un quadrato. Si ottiene un nuovorettangolo aureo.

Come dovevasi dimostrare!

Il fratello del matematico di cui vi ho parlato in precedenza, quello pazzo, soffriva di una simileforma di nevrosi. Egli non puo fare a meno di accostare un quadrato al lato maggiore di ognirettangolo aureo incontri. Quando si e trovato di fronte al rettangolino nero, che e aureo, nonha resistito, e ha iniziato a disegnare quadrati su quadrati. Per distinguerli, sceglie dei colorisempre piu chiari. In questo istante stara tracciando un lato lungo qualcosa come 300 anni lucein prossimita di Alpha Centauri.

Figura 20: Al rettangolo aureo nero sono stati accostati quadrati che formano con esso rettangoliaurei piu grandi.

Figura 21: Un rettangolo aureo scomposto in tanti quadrati o tanti quadrati che formano unrettangolo aureo?

Fermatevi 5 minuti a contemplare la Figura 21. Se osservata a lungo, vi puo trasmettere una vagaidea dell’infinito. Focalizzate l’attenzione sui quadrati di varie dimensioni disposti a spirale che

30

compongono il rettangolo. Per conoscere l’infinitamente piccolo, dovete immaginare di proseguirela spirale di quadrati verso l’interno del rettangolo, proseguendo mentalmente la scomposizionedei rettangoli aurei che piaceva tanto al primo strano matematico che abbiamo incontrato. Iquadrati diventano sempre piu piccoli, e contemporaneamente si avvicinano spiraleggiando adun punto particolare, che in Figura 21 e da qualche parte all’interno del rettangolino aureo piupiccolo che non e stato ancora scomposto. Questo punto viene chiamato Occhio di Dio.Per conoscere l’infinitamente grande, dovete invece continuare a costruire quadrati sul latomaggiore dei rettangoli aurei che ottenete, per ottenere altri rettangoli sempre piu grandi, comefaceva il fratello di quel matematico strano. In poco tempo, vi ritroverete un rettangolo aureocapace di ricoprire la stanza in cui vi trovate. Continuate cosı, tracciate quadrati enormi, con latidella lunghezza di case, poi chilometri, fino a quando otterrete un rettangolo aureo che non puopiu essere contenuto nella vostra citta; non fermatevi e ricoprite continenti e oceani con i vostrirettangoli, superate i confini della galassia: i quadrati hanno lati sempre piu grandi, ogni voltache ne aggiungete uno vi spingete piu lontani da casa di anni luce. State ricoprendo l’universo direttangoli enormi, che si originano tutti dallo stesso punto, l’Occhio di Dio, che si trova a pochicentimetri dal vostro naso; e tutti con un rapporto tra i lati esattamente uguale a Φ.

Quanto misura il lato dell’n-esimo quadrato del vortice?

Ovvero quante volte dobbiamo scomporre un rettangolo aureo prima di ottenere un quadrato delvortice con il lato lungo quanto un atomo?Supponiamo di partire da un rettangolo di lati L e g, con g che misura 1 cm e ovviamente L

g = Φ,da cui L = Φcm.

Calcoliamo il lato del primo quadrato che disegniamo, g1.

g1 = L− g = Φg − g = (Φ− 1)g =g

Φ

dove l’ultimo passaggio e ottenuto dalla [4]: 1Φ = Φ− 1.

Per calcolare g2, inclinate di 90◦ verso destra la testa e considerate il secondo rettangolo aureo delvortice, quello che ha per lato minore g1 e lato maggiore g. Si puo applicare lo stesso ragionamentoa questo rettangolo, in cui al posto di g c’e g1, e al posto di cercare g1 si cerca g2. Analogamentesi ottiene che g2 = g1

Φ .Per ottenere il lato del successivo quadrato del vortice basta dividere quello precedente per Φ:g1 = g

Φg2 = g1

Φ = gΦ2

g3 = g2Φ = g

Φ3

...gn = gn−1

Φ = gΦn

Figura 22: Al centro dei quadrati e indicata la misura del lato.

31

Noi cerchiamo per quale n succede che gn sia minore di 3 Angstorm, il diamtero medio di unatomo, ovvero 3 · 10−10m che equivalgono a 3 · 10−8cm.

gn < 3 · 10−8

g

Φn< 3 · 10−8

1Φn

< 3 · 10−8

Φn >13· 108

n > logΦ(13· 108)

n > 35.9983

Dunque se iterate il procedimento della scomposizione del rettangolo aureo solo 36 volte, l’ultimoquadrato che disegnerete avra il lato lungo quanto il diametro di un atomo!

Cercare l’Occhio di Dio

L’Occhio di Dio, quel punto che sembra cosı sfuggevole e irraggiungibile perche si ottiene solodopo essersi slogati il polso per disegnare un’infinita sequenza di quadrati, in realta si puo trovarefacilmente tracciando due linee per le quali sono sufficienti solo i primi due rettangoli aurei.Infatti l’Occhio di Dio e il punto di intersezione tra le diagonali in Figura 33:

Figura 23: Il punto O e l’occhio di Dio, intersezione tra le diagonali dei primi due rettangoliaurei.

Per la dimostrazione, abbiamo bisogno di un risultato preliminare (Figura 24):

• La diagonale del rettangolo aureo ABCD passa per F (ovvero passa per un vertice del terzorettangolo aureo, FGCH, scomposizione del secondo rettangolo aureo EBCH).

E’ un Signor Risultato: se questo teorema fosse vero, potremmo tracciare con la massima facilitatutti i rettangoli aurei del vortice infinito! All’inizio, con solo i primi due rettangoli aurei (ABCDe EBCH), possiamo trovare il terzo, FGCH. Infatti tracciando la diagonale AC, ecco comparireF, vertice del terzo rettangolo aureo, dall’intersezione tra AC e EH!Ma il teorema funziona anche applicato al rettangolo aureo EBCH: la diagonale BH passa perK, vertice del quarto rettangolo aureo. Allora per trovare il quarto rettangolo ci basta tracciarela diagonale BH e il gioco e fatto: si trova K dall’intersezione tra BH e FG. E tracciando ladiagonale FC (che poi altri non e che una parte di AC) del terzo rettangolo aureo, si trova I chee un vertice del quinto rettangolo, e cosı via...Il procedimento funziona anche per il vortice che si allarga verso l’infinitamente enorme: seprolungate il lato AD e la diagonale BH, al loro incrocio troverete il terzo vertice del rettangoloaureo che li contiene entrambi, e cosı via pure qui.Ora che ci siamo fatti venire l’appetito, e arrivato il momento di dimostrare il teorema.

32

Figura 24: La diagonale AC passa per F?

La dimostrazione e semplice, veloce, e allo stesso tempo sorprendente, perche fa un uso direttodella definizione di rettangolo aureo. Un matematico geniale del secolo scorso, Paul Erdos, amavapensare che Dio possedesse un Libro transinfinito (un infinito piu grande dell’infinito) nel qualeerano scritte ’le migliori dimostrazioni di tutti i teoremi matematici, dimostrazioni eleganti eperfette. Non e necessario che crediate in Dio, ma dovete credere nel Libro’. Il piu grandecomplimento che Erdos poteva rivolgere al lavoro di un collega era ’viene dritto dal Libro’. Oranon so se questa dimostrazione venga dritta dal Libro, ma e elegante perche spiega tutto ilteorema in un passaggio.Se la diagonale AC effettivamente passasse per il punto F, allora i punti A, F e C sarebberoallineati e quindi i triangoli ABC e AEF dovrebbero essere simili perche omotetici. Dunque siavrebbe la proporzione

AB : BC = AE : EF [12]

Per dimostrare il teorema ci basta dimostrare che questa proporzione [12] sia vera.Se nel nostro rettangolo aureo chiamiamo AB = L, allora si ha che BC = g perche ABCD erettangolo aureo, e inoltre AE = g e EF = EB = AB − AE = L − g. Sostituendo tutto nella[12] si ottiene

L : g = g : L− g

che e proprio la definizione di parte aurea [1], quella proporzione che risale a Pitagora e ci e statatramandata da Euclide! Dunque la [12] effettivamente e vera: la diagonale AC passa per F.Come dovevasi dimostrare!

Ritorniamo al problema della ricerca dell’Occhio di Dio.Possiamo pensare di ricercare il punto manualmente, ovvero disegnando tutto il vortice di rettangoliaurei. Notate che i rettangoli sono di due tipi: ce ne sono di verticali e di orizzontali, alternatamente(ABCD e orizzontale, EBCH verticale, FGCH orizzontale...).Fermiamoci quando arriviamo al rettangolo aureo orizzontale grande quanto un elettrone. Questorettangolo e cosı piccolo che possiamo scambiarlo con un punto, chiamiamolo O. Se ancora nonvi sembra un punto, continuate pure a disegnare rettangoli sempre piu piccoli finche non arrivatealla grandezza di un quark o fin quanto vi basta. Io mi accontento, e mi fermo all’elettrone.Le diagonali di questo rettangolino orizzontale miserabile possono essere considerate dei puntianche loro, punti che per forza di cose devono coincidere con O.Ora tracciamo il rettangolo aureo seguente, che sara verticale. Anche lui e la sua diagonale,indovinate, sono approssimabili con un punto, e questo punto e sempre O (perche questo rettangolinoverticale e contenuto in quello orizzontale).Possiamo anche ritenere con una certa soddisfazione che questo O sia l’occhio di Dio. Infattil’occhio di Dio ha la particolarita di essere contenuto all’interno di ogni rettangolo del vortice. See contenuto nel nostro rettangolino infinitesimale, allora per forza deve coincidere anche lui con O.

33

Insomma. Rettangolino orizzontale, rettangolino verticale e loro diagonali: tutto e cosı piccoloche si confonde con O, l’occhio di Dio.

Figura 25: Le due diagonali contengono le diagonali di tutti i rettangoli aurei del vortice.

Adesso affermiamo che la diagonale AC contiene al suo interno la diagonale (quella diretta versoil basso a destra) di tutti i rettangoli orizzontali presenti nel vortice. Ad esempio AC contieneFC, la diagonale di FGCH; contiene FI, la diagonale di FKIN; e cosı via. Questo fatto l’abbiamogia dimostrato: il teorema precedente diceva che AC passa per F, quindi e vero che contiene FC.Ora basta applicare di nuovo il teorema al rettangolo FGCH, e si prova che la diagonale FC passaper I, quindi contiene FI. Allora e vero che AC contiene FC che contiene FI, come volevamo.Se AC contiene tutte le diagonali dei rettangoli orizzontali, allora contiene anche la diagonaledell’infimo rettangolino orizzontale grande quanto un elettrone, quindi contiene O.Ugualmente si vede che BH contiene al suo interno la diagonale (quella diretta verso l’alto adestra) di tutti i rettangoli verticali presenti nel vortice. Contiene HK, diagonale di FKJH;contiene LK, diagonale di QKIL; e conterra anche O, la ’diagonale’ del minuscolo rettangolinoverticale.Se O appartiene ad AC e anche a BH, allora non puo trovarsi che nella loro intersezione.Come dovevasi dimostrare!

Il rettangolo aureo e i numeri di Fibonacci

Prendete il rettangolo aureo in Figura 26. Ecco, ci siete cascati: quel rettangolo in realta non eaureo, anche se gli manca poco per esserlo. Infatti il rapporto tra i suoi lati e 13

8 = 1, 625, chee molto vicino a Φ = 1,618. Ma queste cose le saprete gia, visto che avrete riconosciuto a colpod’occhio che 13 e 8 sono due numeri di Fibonacci consecutivi, il cui rapporto approssima sempremeglio Φ tanto piu i numeri sono grandi nella sequenza.

Figura 26: Questo rettangolo non e aureo.

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I numeri di Fibonacci in pratica ci danno un modo per costruire un rettangolo abbastanzasimile a quello aureo, abbastanza almeno da ingannare l’occhio. Tanto per essere pignoli, pero,ricordiamo che non otterremo mai un rettangolo aureo assegnando ai lati due numeri consecutividella sequenza di Fibonacci. Il rapporto aureo e un numero irrazionale, mentre il rapporto tra duenumeri interi e sempre razionale. Anzi, questi rettangoli simil-aurei perdono anche la proprietadi autoreplicabilita nella direzione dell’infinitamente piccolo, che possiedono solo gli inimitabilirettangoli aurei doc, come si vede in Figura 27:

Figura 27: I lati dei quadrati sono tutti numeri di Fibonacci.

Scomponendo un rettangolo simil-aureo, otteniamo altri rettangoli piu piccoli ma sempre piulontani dalle misure di quello di partenza: se, infatti, il rettangolo di partenza aveva i lati inrapporto abbastanza vicino a Φ (1,625), l’ultimo rettangolo che otteniamo ha i lati che misurano2 e 1, dunque il rapporto e 2. Se scomponiamo anche questo rettangolo, otteniamo due quadratianziche un rettangolo piu un quadrato come per i veri rettangoli aurei. Non ci possiamo spingereoltre con la scomposizione. Il procedimento di scomposizione quindi e finito per i rettangoli simil-aurei: si arresta quando arriviamo al quadrato di lato 1. Non possiamo scendere nell’infinitamentepiccolo, e non si trova l’Occhio di Dio, come nel caso del rettangolo aureo.Pero possiamo muoverci nella direzione dell’infinitamente grande. In questo caso il rapportotra i lati migliora invece di peggiorare. Iniziamo accostando un quadrato di lato 13 cm al latomaggiore del rettangolo simil-aureo di lati 8 cm e 13 cm. Otteniamo un nuovo rettangolo simil-aureo, infatti i suoi lati misurano 13 cm e 21 cm: due numeri di Fibonacci. Possiamo affiancareun nuovo quadrato di lato 21 cm a questo rettangolo, e ricaveremmo un rettangolo simil-aureoancora piu grande. Volendo, si puo affiancare un quadrato anche a questo, fino alla nausea. Tuttii quadrati che affiancheremo avranno per lato un numero di Fibonacci (dalla Figura 27 si vedeinfatti la relazione di ricorrenza di Fibonacci: il lato di ogni quadrato ha per misura la sommadelle misure dei lati dei due quadrati precedenti); percio tutti i rettangoli che essi formerannosaranno rettangoli simil-aurei perche avranno due numeri di Fibonacci come misure dei lati. Piucontinuiamo ad aggiungere quadrati, piu i rettangoli simil-aurei che otterremo saranno semprepiu grandi e sempre piu simili ad un rettangolo aureo (perche il rapporto tra i lati e il rapportotra due numeri consecutivi sempre piu grandi della sequenza di Fibonacci, che tende a Φ).

Come ricoprire la vostra citta con n quadrati

Una citta di grandi dimensioni, come Roma, ha una superficie di circa 1200 km2. Se costruissimola spirale dei quadrati di Fibonacci, quella che diventa infinitamente estesa e produce rettangolisimil-aurei che vanno a toccare i confini dell’universo, partendo da un quadrato di lato 1 m quantiquadrati dovremo accostare per ricoprire la citta?

Immaginiamo di aver ripetuto il procedimento di accostare i quadrati tante volte, fino ad essereriusciti a ricoprire la citta con l’ultimo rettangolo simil-aureo che abbiamo ottenuto. Chiamiamon1 e n2 i due lati di questo rettangolo simil-aureo (rispettivamente maggiore e minore): essi sono

35

due numeri di Fibonacci, e possiamo considerarli abbastanza grandi, quindi vale la relazione

n1

n2≈ Φ ⇒ n1 = Φn2 [13]

L’area del rettangolo simil-aureo e data da n1 × n2, e vogliamo sapere per quali valori di n1 en2 succede che n1 × n2 > 1200km2 , ovvero quando il rettangolo ricopre la citta. Sostituendo la[13],

n1 × n2 > 1200km2

n22Φ > 1200km2

n22 > 741, 7km2

n2 > 27, 2km

Dunque il lato piu corto deve misurare piu di 27,2 km, cioe 27200 m. Inoltre deve essere unnumero di Fibonacci, perche i lati dei rettangoli simil-aurei sono sempre numeri di Fibonacci. Ilprimo numero di Fibonacci maggiore di 27200 e 28657, il ventitreesimo numero della sequenza.Questa sara la misura di n2. Invece n1, che era il lato piu lungo, sara il numero di Fibonaccisuccessivo, 46368.

n1 = 46368m n2 = 28657m

Essendo essi il ventitreesimo e il ventiquattresimo numero della sequenza, partendo da un quadratodi lato 1 m vi occorreranno solamente 23 passi per ricoprire Roma con un rettangolo simil-aureo!Sembrano cosı pochi perche non ci rendiamo bene conto di quanto la sequenza di Fibonacci crescain modo vertiginoso, ovvero di quanto i lati dei quadrati che costruiamo passino cosı in frettadall’ordine dei metri a quello delle migliaia di chilometri.

L’icosaedro

’Solidi platonici’ e un altro nome per dire ’solidi regolari’, ovvero quei solidi che sono formatida facce regolari (triangoli equilateri, quadrati, pentagoni...) tutte congruenti tra loro. I solidiplatonici sono questi (non cercatene altri, e stato dimostrato che sono solo cinque!):

• Tetraedro formato da 4 triangoli equilateri

• Esaedro o cubo formato da 6 quadrati

• Ottaedro formato da 8 triangoli equilateri

36

• Dodecaedro formato da 12 pentagoni

• Ultimo ma non ultimo, l’Icosaedro formato da 20 triangoli equilateri

Ed e proprio l’icosaedro quello che ci interessa. Infatti troncandolo nella maniera giusta (’spuntando’i suoi 12 vertici) i suoi 20 triangoli, privati dei loro 3 vertici, diventano 12 esagoni, e dove primac’erano i vertici dell’icosaedro, ora non rimane che un appiattimento a forma di pentagono.Abbiamo ottenuto un pallone da calcio!

Perdonatemi, non e il pallone da calcio che volevo mostrarvi ora. Ho scelto di soffermarmisull’icosaedro perche, dei cinque solidi platonici, e quello piu strettamente legato alla sezioneaurea. Rimboccatevi le maniche, perche lo sperimenteremo sul campo. Per non rovinare questopreziosissimo fascicolo, fotocopiate la pagina (vi do io il permesso) e ritagliate i tre rettangoliaurei lungo le linee:

Figura 28: Ritagliare i rettangoli aurei lungo le linee nere.

Ora incastrateli come in Figura 29 (questo passaggio richiede un certo impegno).

Figura 29: I tre rettangoli aurei individuano i vertici di un icosaedro.

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I vertici di questi tre rettangoli aurei (che sono in tutto 3× 4 = 12) individuano un icosaedro.So che sembra strano ritrovare la sezione aurea perfino in un solido composto da innocui triangoliequilateri che nulla hanno a che fare con Φ, quindi cerchero di convincervi con qualcosa diconcreto. Per la dimostrazione e sufficiente far vedere che tutti i triangoli ottenuti congiungendoi vertici sono equilateri (perche di conseguenza sarebbero anche tutti congruenti tra di loro: ognitriangolo ha in comune un lato con un altro triangolo, e quindi la misura del lato sarebbe semprela stessa).Dimostriamo che il triangolo ABC (ne ho scelto uno qualsiasi, ma chiaramente quanto diro quivale per qualunque altro dei 20 triangoli scegliamo) e equilatero.

Chiamando L il lato maggiore dei rettangoli aurei e g quello minore, come di consueto, vogliamodimostrare che il triangolo ABC ha tutti i lati di lunghezza g.BC = g per ipotesi. Ci rimane da controllare che AB = g (il lato AC si dimostra allo stessomodo di AB).Sia M il punto medio di BC. Per il teorema di Pitagora,

AB2 = BM2 + AM2 ⇒ AB =√

BM2 + AM2 [14]

Sappiamo che BM = g2 , ma non abbiamo AM. Sempre per Pitagora,

AM =√

MD2 + AD2 =

Ora, MD = L−g2 perche e uno dei due segmentini in cui rimane divisa la lunghezza L del

rettangolo chiaro una volta che le si e tolta la lunghezza g del rettangolo scuro. Invece AD = L2 .

=

√(L− g

2)2 + (

L

2)2 =

12

√(L− g)2 + L2 =

12

√(Φg − g)2 + (Φg)2 =

=g

2

√(Φ− 1)2 + Φ2 =

g

2

√2Φ2 − 2Φ + 1 =

ma dalla [3] Φ2 = Φ + 1, quindi

=g

2

√2(Φ + 1)− 2Φ + 1 =

g

2

√3 =

√3

2g

Sostituendo BM e il valore appena trovato di AM nella [14] si ottiene

AB =√

BM2 + AM2 =

√g2

4+

34g2 = g

Come dovevasi dimostrare!

38

6 La spirale logaritmica

Vi avevo promesso scoperte entusiasmanti ed effetti speciali a non finire quando abbiamo incontratoil vortice infinito di rettangoli aurei scoperto dal matematico nevrotico.

Figura 30: Il vortice di rettangoli aurei.

Prendete il compasso e tracciate un arco di circonferenza in ciascuno dei quadrati che risultanodal procedimento di scomposizione del rettangolo aureo, cosı:

Figura 31: All’interno del vortice passa una spirale logaritmica.

Avete ottenuto una curva che in matematica e famosa col nome di spirale logaritmica (per fare ipignoli, quella del disegno si chiamerebbe spirale aurea: tra le tante spirali logaritmiche, e l’unicache si riesce ad inscrivere nel rettangolo aureo). Anzi, a dire la verita, la linea che avete tracciatonon e precisissimamente una spirale logaritmica. Voglio dire, il vostro disegno e perfetto, sietestati bravi, pero una spirale logaritmica non e un’accozzaglia di archi di circonferenza come quelliche vi ho fatto disegnare: la curva che avete ottenuto e solo un’approssimazione molto buona diuna vera spirale logaritmica. Quest’ultima comunque passa per gli stessi vertici dei quadrati percui passa la nostra volgare imitazione. Ed entrambe tendono verso l’occhio di Dio.

Figura 32: La spirale piu chiara e la spirale logaritmica. Quella dietro, piu scura, e quellaapprossimata con archi di cerchio.

39

Il primo matematico a studiare approfonditamente questa spirale fu Jacques Bernoulli, importantespecificare il nome perche ben altri 13 componenti della sua famiglia diventarono illustri matematicicome lui. Egli scrisse un intero trattato sulla spirale logaritmica, ’Spira Mirabilis’. Rimase cosıaffascinato da questa figura che, prima di morire, chiese di incidere sulla sua lapide una spiralelogaritmica insieme al motto ’Eadem Mutata Resurgo’.

Eadem Mutata Resurgo

Eadem e un aggettivo femminile, sta per ’uguale’. Mutata se non sbaglio dovrebbe essere unparticipio passato, ’trasformata’, e Resurgo invece e la prima persona singolare di ’risorgere’,’risorgo’. Diamo una rimescolata alle parole come facevano gli antichi romani, e la frase vienetradotta con ’Trasformata, risorgo uguale’.Infatti ingrandendo una spirale logaritmica, vi ritroverete tra le mani la stessa identica spiraleche avevate all’inizio. Se prendete una lente di ingrandimento e fissate il ricciolo piu piccolo dellaspirale, sara la stessa cosa che guardare la spirale da piu distante.

Figura 33: La spirale logaritmica.

Esiste un modo di descrivere le curve del piano ’in coordinate polari’, con cui e comodo descriverecurve che, come la spirale logaritmica, si sviluppano intorno ad un punto centrale, l’origine.Mentre un punto in coordinate cartesiane viene descritto come in battaglia navale, da una coppiadi coordinate (x; y); in coordinate polari un punto e descritto dalla coppia (θ;r), dove θ e l’angoloorientato (positivo in senso antiorario, negativo in senso orario) che il punto forma con l’asse dellex, e r e la distanza del punto dall’origine. Un po’ come ’Attento, c’e l’insegnante a 30 metri, aore 3!’. Se un punto ha coordinate (π

4 ;3), vuol dire che si trova lungo la retta che forma un angolodi 45◦ con l’asse x, a distanza 3 dall’origine, piu o meno come in Figura 34.

Figura 34: Il punto P in coordinate cartesiane e (x,y); in coordinate polari e (θ;r).

40

Questo metodo delle coordinate polari in pratica ci segnala quanto devono distare dall’originei punti che compongono la curva, a seconda della loro posizione sul piano, o meglio della lorodistanza angolare dall’asse x, della loro ’rotazione’.Piu precisamente, le curve sono descritte da un’equazione (ad esempio r = 3θ + 1) che, per ognipunto P appartenente alla curva, ci fornisce la lunghezza r (distanza di P dall’origine) in funzionedell’angolo θ (formato dall’asse x e da OP). Se vogliamo sapere dove sta il punto della curva cheforma un angolo di 60◦ con l’asse x, basta che sostituiamo π

3 a θ nell’equazione della curva eotteniamo il valore della distanza r da O alla quale disegnarlo (nell’esempio r = π + 1). I valoriche puo assumere l’angolo θ non sono limitati a [0; 2π[, anzi, θ puo assumere un qualsiasi valorereale: in tal modo l’angolo e in grado di indicarci anche quanti giri P ha fatto intorno all’origine.Se ad esempio θ = 0, P sta sull’asse x; se θ = π

2 , P sta sull’asse y dopo aver fatto una rotazionedi 90◦ in senso antiorario a partire dall’asse x. θ = 2π vuol dire che P ha fatto un giro completodi 360◦ in senso antiorario, θ = 4π vuol dire che ne ha fatti due, θ = −π vuol dire che ha fattomezzo giro in senso orario...).

Figura 35: Una curva in coordinate polari. L’equazione ci da la lunghezza di r a secondadell’angolo θ formato dall’asse x e da P.

Ad esempio, l’equazioner = 1

definisce un cerchio di raggio 1 in coordinate polari. Infatti l’espressione del raggio non dipendeda θ, quindi vuol dire che qualsiasi angolo formi P con l’asse x, r, la sua distanza da O, dovraessere sempre 1.

Figura 36: In coordinate polari, la circonferenza ha equazione r = c.

Invece una curva con equazione (per semplicita, negli esempi supporremo sempre b > 1)

r = bθ [15]

41

e una spirale logaritmica: si vede infatti che, all’aumentare dell’angolo θ (cioe man mano che Psi sposta in verso antiorario sul piano), il suo raggio aumenta, e cioe P sara sempre piu distantedall’origine. Per esempio quando θ = π

2 , cioe P sta sull’asse y dopo aver fatto un quarto digiro in senso antiorario partendo dall’asse x, r assume il valore di b

π2 , quindi la curva attraversa

l’asse y a distanza bπ2 dall’origine. In seguito, quando P ha compiuto una rotazione di 180◦

(θ = π), e quindi si trova di nuovo sull’asse x, ma nella semiretta negativa, la distanza cheassume dall’origine e pari a bπ, maggiore di quella della posizione considerata precedentemente.Piu P ruota, piu si allontana dall’origine.Possiamo dire di piu: il raggio r aumenta esponenzialmente (nella [15] l’angolo θ e all’esponente dib: cio vuol dire che piu θ aumenta, piu follemente r schizzera verso valori in rapidissima crescita).

Figura 37: In coordinate polari, la spirale logaritmica ha equazione r = abθ.

Prendiamo in considerazione qualche facile posizione di P:Quando l’angolo che P forma con l’asse x e di 0◦, la distanza di P da O e r = b0 = 1. Per capircimeglio, il punto ha coordinate cartesiane (1;0).Dopo aver fatto un giro intero in senso antiorario, ovvero quando P e ritornato sull’asse x (questavolta pero θ = 2π), la sua distanza da O sara r = b2π.Un altro giro di 360◦ (cioe θ = 4π) e r = b4π = (b2π)2.Si capisce che P interseca l’asse x a distanza 1, b2π, (b2π)2, (b2π)3, (b2π)4, ... dall’origine: ladistanza cresce esponenzialmente. In altre parole, la distanza tra un giro e i successivi dellaspirale non e costante, ma aumenta man mano che ci si allontana dall’origine.

Figura 38: La distanza r di P da O aumenta esponenzialmente al crescere di θ.

L’angolo θ puo assumere anche valori negativi (cioe dalla posizione θ = 0, r = 1, P prende agirare in senso orario). In questo caso i valori di r saranno piu piccoli di 1 (perche r = bθ, con θesponente negativo, e le potenze ad esponente negativo sono minori di 1 se la base b e maggioredi 1 come nel nostro caso). Dunque il punto P si avvicinera sempre piu all’origine, senza peromai raggiungerla (infatti r sara sempre diverso da 0 perche e uguale a una potenza).Curiosamente, Torricelli dimostro che partendo da un punto P e muovendosi all’interno dellaspirale si deve girare attorno al centro infinite volte prima di raggiungerlo; tuttavia, la distanzatotale coperta da questo percorso e finita.

42

Figura 39: La spirale si avvicina a O quando θ assume valori negativi.

Insomma, la spirale logaritmica non ha inizio ne fine, rimane immutata a qualsiasi scala la siosservi, e il suo raggio aumenta esponenzialmente man mano che si allontana dall’origine.

Spirale logaritmica contro Spirale di Archimede

Esiste un’altra spirale famosa, la Spirale di Archimede, descritta da questa equazione polare (sisupponga θ ≥ 0: per θ < 0 si ottiene un braccio speculare a quello descritto di seguito rispettoad un asse):

r = b θ [16]

E’ facile vedere che si tratta anche in questo caso di una spirale perche il valore del raggio aumentaall’aumentare di θ, quindi piu il punto P gira intorno all’origine, piu aumenta la sua distanza daessa.Con la spirale di Archimede pero questa distanza aumenta meno che nel caso della spiralelogaritmica. Mentre con la spirale logaritmica il raggio aumentava esponenzialmente (θ stavaall’esponente), con la spirale di Archimede il raggio aumenta linearmente. C’e proporzionalitadiretta tra r e θ.Se proviamo, come abbiamo fatto prima, a cercare le intersezioni della spirale con l’asse x, ovveroa sostituire a θ tutti i multipli di 2π, si vede subito cosa cio comporta:Quando θ = 0, allora r = 0. Il punto P coincide con l’origine, perche e a distanza 0 da O.Quando θ = 2π, allora r = 2bπ.Quando θ = 4π, allora r = 4bπ.Quindi i valori dei raggi nei momenti in cui la spirale interseca l’asse x sono 0, 2bπ, 2(2bπ), 3(2bπ),4(2bπ), ... sono tutti a distanza costante d = 2bπ l’uno dall’altro. Cio vuol dire che la distanzatra un giro e il successivo e sempre la stessa.

Figura 40: La spirale di Archimede. Parte da 0 e la distanza tra un giro e l’altro e costante.

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Se accostate Figura 33 e Figura 40 potete divertirvi un mondo a trovare le differenze tra le dueimmagini:

• Nella spirale logaritmica il raggio aumenta esponenzialmente, in quella di Archimede linearmente.

• Nella spirale logaritmica la distanza tra giri successivi aumenta man mano che ci si allontanadall’origine, nella spirale di Archimede la distanza rimane costante.

• La spirale logaritmica non ha inizio ne fine, la spirale di Archimede parte dall’origine.

• Ingrandendo la curva, la spirale logaritmica rimane inalterata, quella di Archimede inveceno (da lontano, le distanze tra giri successivi della spirale si accorciano).

• La conchiglia del Nautilo e una spirale logaritmica: man mano che cresce, il Nautilo habisogno di sempre piu spazio, e le camere della sua conchiglia si allargano perche nellaspirale logaritmica la distanza tra due giri successivi cresce col progredire dei giri. Inoltrela forma del guscio rimane immutata, in tal modo il mollusco non ha bisogno di correggerel’equilibrio col passare del tempo.Il ragno invece preferisce la spirale di Archimede per tessere le sue ragnatele: deve costruireuna trama fitta in modo da acchiappare piu insetti possibile, percio ha bisogno che ladistanza tra un giro e l’altro della spirale rimanga costante e ridotta.

Purtroppo per Jacob Bernoulli, lo scalpellino incaricato di incidere la spirale logaritmica sullasua lapide si sbaglio e incise invece la spirale di Archimede.

44

7 Il triangolo aureo

Def: Il triangolo aureo e un triangolo iscoscele in cui l’ampiezzadell’angolo alla base e il doppio dell’ampiezza dell’angolo al vertice.

Figura 41: Nel triangolo aureo α = 2β.

E che c’entra questo con la sezione aurea? diranno i lettori che non si sono scordati del nostrofilo conduttore. C’entra in quanto nel triangolo aureo il rapporto tra il lato obliquo e la base eΦ.

lato obliquo del triangolo

base del triangolo= Φ [17]

Ora tutto ha piu senso, e ci e persino venuta la curiosita di sapere perche Φ compare pure qui.

Intanto misuriamo gli angoli α e β. Qualsiasi triangolo mantiene la somma dei suoi angoli internicostante a 180◦. Percio

α + α + β = 180◦

Ma α = 2β. Sostituendo nell’equazione si ottiene

2β + 2β + β = 180◦

5β = 180◦

β = 36◦

α = 2β = 72◦

Non so se vi aspettavate dei numeri piu tondi, o dei numeri piu strani tipo 1,618...◦. In questocaso mi spiace deludervi ma gli angoli esatti sono proprio questi, 36◦ e 72◦, secchi secchi.

Ora prendiamo riga e compasso e tracciamo la bisettrice dell’angolo α in B (sı, si puo farecon riga e compasso, tranquilli), ottenendo due angoli ampi β, 6 ABD e 6 DBC (Figura 42). Itriangoli ABC e ABD sono simili (e in particolare isosceli) perche hanno due coppie di angoliordinatamente congruenti:

• 6 CAB ∼= 6 DAB perche in comune;

• 6 ACB ∼= 6 ABD perche entrambi misurano β.

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Figura 42: La bisettrice di α divide il lato obliquo nella sua parte aurea.

In particolare vale la proporzione

AC : AB = AB : AD

Ma AB ∼= BD perche sono i lati obliqui del triangolo isoscele ABD. A sua volta, BD ∼= DCperche sono i lati obliqui del triangolo isoscele DBC (isoscele perche 6 DBC e 6 DCB misuranoα). Quindi AB ∼= DC, e la proporzione diventa

AC : DC = DC : AD

E’ proprio lei: la definizione euclidea di parte aurea [1].DC e il medio proporzionale tra il segmento AC e la parte che ne rimane, AD. Quindi DC ela parte aurea di AC. Magicamente, la bisettrice che abbiamo tracciato divide il lato AC giustogiusto nella sua parte aurea.

AC

DC= Φ

Ma DC e congruente ad AB, quindiAC

AB= Φ

Come dovevasi dimostrare!

Ricetta per costruire un triangolo aureo

Per questa costruzione avrete bisogno dei seguenti ingredienti:

• Riga

• Compasso

(preriscaldate il forno a 72◦)

• Tracciate un segmento lungo q.b. (quanto basta): questa sara la base del vostro triangolo.Tracciate la perpendicolare ad AB passante per A. Iniziate a scongelare il compasso.

46

• Tracciate il punto medio M di AB e riportate col compasso la distanza AM sulla perpendicolare,puntando in A, a temperatura ambiente.

• Puntando in D, riportate delicatamente col compasso la misura BD sulla perpendicolareottenendo cosı il punto E. Lasciate riposare qualche minuto.

• Montate a neve la perpendicolare per M al segmento AB. Puntate col compasso in A eapertura AE fino a incontrare la perpendicolare in C. Amalgamate bene il tutto.

• Il punto C che avete ottenuto e il vertice del triangolo, da servire freddo. Buon appetito!

47

Controlliamo se quello trovato e effettivamente un triangolo aureo.Dimostriamo che AE

AB = Φ. In questo modo, essendo AE ∼= AC, si ha l’ipotesi voluta, cioe che ilrapporto tra il lato obliquo AC e la base AB sia Φ.Sia AB = g, cerchiamo di calcolare AE:

AE = AD + DE = AD + DB = AD +√

AD2 + AB2 =g

2+

√(g

2)2 + g2 =

=g

2+

√g2 + 4g2

4=

1 +√

52

g

E quindi il rapporto cercatoAE

AB=

1+√

52 g

g=

1 +√

52

= Φ

Come dovevasi dimostrare!

Il triangolo aureo e la spirale logaritmica

Ora voglio presentarvi il nipote di quel matematico che era impazzito per i rettangoli aurei.Anche il nipote, come avrete indovinato, ha ereditato la psicosi del nonno (il figlio no, spessoqueste cose saltano una generazione). La sua fissazione pero non sono i rettangoli, ma i triangoliaurei: ogni volta che ne vede uno, non resiste alla tentazione di tracciare la bisettrice di uno deidue angoli alla base del triangolo. La prima volta che lo fece, ottenne una costruzione simile aFigura 42. Stava quasi per allontanarsi dal foglio, stanco ma soddisfatto, per andare a coricarsia letto, quand’ecco che i suoi occhi caddero sul triangolo ABD. Sembrava insopportabilmentesimile a un triangolo aureo... eh gia, non si sbagliava, era proprio un triangolo aureo: 6 ABDmisurava β, 6 DAB misurava α, e siccome la somma degli angoli interni deve sempre dare 180◦

come risultato, pure 6 BDA doveva misurare α.Come immaginate, il nipote non ando piu a dormire da quella sera, e in breve tempo ottenne lacostruzione a fianco.

Figura 43: Il nipote biseco tutti gli angoli di 72◦ che formano un vortice in senso orario.

Il nipote biseco tutti gli angoli di 72◦ disposti a formare un vortice in senso orario. Se uniamocon degli archi di circonferenza i vertici degli angoli da lui bisecati (piu il vertice di partenza)...

48

Magia! Una spirale logaritmica (o almeno una curva che la approssima molto bene)!

Figura 44: Gli archi di circonferenza sono stati tracciati puntando il compasso nei punti diintersezione tra le bisettrici tracciate di volta in volta e i lati obliqui dei triangoli.

49

8 Il pentagono

Il pentagono e da sempre stato il poligono piu ricco di significati per le civilta antiche. Non voglioannoiarvi parlandovi di storia, perche prima di tutto non piace neanche a me, ma ormai mi sonofregato con l’incipit di questo paragrafo e ora devo spendere due paroline su quali civilta e qualisignificati siano legati al pentagono.

Figura 45: Il pentagramma.

Il piu fanatico del pentagono fu di certo Pitagora, del quale, oltre ad essere un eccellentematematico puro, non va dimenticata la professione di filosofo e profeta religioso. Pensate che ilpentagramma, la stella a cinque punte che si ottiene tracciando tutte le diagonali del pentagono,era addirittura il segno di riconoscimento dei Pitagorici. Che cosa ci trovassero di tanto specialenel numero 5 e presto detto: 5 e 3 + 2, la somma del primo numero maschile (3) e del primonumero femminile (2). Percio per loro il 5 divento il numero dell’amore e del matrimonio. Ealla stella a 5 punte, che si puo tracciare con un’unica linea chiusa, attribuirono un significatomistico di perfezione, armonia tra anima e corpo. Per questo chiamavano il pentagramma colnome di ’salute’ (e mantenne questo significato di allontanamento della malattia fino all’epocadelle streghe). Si ritrovano pentagoni e pentagrammi in Egitto, in Grecia, in alchimia, nellamassoneria... il pentagono fu associato alla quintessenza, o visto come la stilizzazione di unafiamma che arde, o ancora di una figura umana con le braccia rivolte al cielo. Il pentagonosimboleggia l’infinito: dentro al pentagramma si forma un nuovo pentagono dentro al quale sipuo tracciare un nuovo pentagramma che individua un altro pentagono...

Figura 46: ab = b

c = cd = ... = Φ

50

...ed e facile vedere che se si ordinano i lati a, b, c, d, e, ... della Figura 46 dal maggiore al minore,il rapporto tra due numeri adiacenti e sempre Φ.Sembra che se iniziamo a dimostrare che tutti questi rapporti valgono Φ non finiamo piu, invecee semplice perche i rapporti in realta sono solo di due tipi che si ripetono in figure simili. A noibasta dimostrare che a

b = Φ e che bc = Φ dato che gli altri rapporti c

d , de ecc. ecc. provengono da

triangoli isosceli simili a quello a cui appartengono i lati a e b e a quello a cui appartengono b ec (ad esempio c

d e uguale a ab perche a e c, e b e d, sono lati corrispondenti di triangoli simili, in

grigio scuro in Figura 47, quindi il loro rapporto si conserva; per lo stesso motivo de = b

c ). Neiprossimi due paragrafi proveremo che a

b = Φ e che bc = Φ.

Figura 47: Triangoli simili sono evidenziati con lo stesso colore.

Il rapporto tra la diagonale e il lato del pentagono e Φ (ab = Φ)

Ma sı, dai, coraggio che l’avete riconosciuto: il triangolo di lati a e b e un triangolo aureo,dobbiamo solo dimostrarlo! Se fosse cosı, per la proprieta del triangolo aureo [17], poiche a e illato obliquo, e b la base del triangolo, il loro rapporto e Φ. Presa dal punto di vista del pentagono,la relazione diventa:

a

b=

diagonale del pentagono

lato del pentagono= Φ [18]

come volevamo dimostrare.

Figura 48: ABC e un triangolo aureo.

51

Ma ci rimane da provare che il triangolo di lati a e b e effettivamente un triangolo aureo.Calcoliamo l’ampiezza dei suoi angoli.Tutti sanno che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati e uguale a 180◦ × (n− 2).Nel caso del pentagono quindi, dove n = 5, la somma degli angoli interni varra 540◦.Per ottenere l’ampiezza di un singolo angolo interno del pentagono, diciamo 6 ADC, si divide540◦ per il numero di angoli, 5, perche essi sono tutti uguali, e si ottiene cosı che 6 ADC=108◦.Ora il triangolo ADC e isoscele perche DA e CD sono lati del pentagono, e quindi congruenti. Inparticolare, gli angoli alla base 6 DCA e 6 CAD sono congruenti. La somma degli angoli internidi ADC deve essere 180◦, percio:

180◦ = 6 DCA + 6 CAD + 6 ADC = 2 6 DAC + 108◦ ⇒ 6 DAC =180◦ − 108◦

2= 36◦

Ora che abbiamo 6 DAC, possiamo trovare 6 CAB:

6 CAB = 6 DAB − 6 DAC = 108◦ − 36◦ = 72◦

La dimostrazione e conclusa: ABC e isoscele perche i suoi lati obliqui sono diagonali del parallelogramma,e quindi sono congruenti. Allora 6 CAB ∼= 6 CBA = 72◦. Poiche la somma totale degli angoliinterni del triangolo e 180◦, 6 ACB non puo che essere 36◦, e quindi ABC e triangolo aureo.Come dovevasi dimostrare!

Lo gnomone aureo ( bc = Φ)

Quando abbiamo tracciato la bisettrice di un angolo alla base di un triangolo aureo, abbiamoosservato che il triangolo di partenza si e scomposto in un altro triangolo aureo piu piccolo, piuun triangolo isoscele dall’angolo al vertice ottuso, e dal nome strano (ma non ridete perche anchelui ha la sua dignita): gnomone aureo.

Figura 49: DBC e lo gnomone aureo.

E’ facile vedere, per le proprieta del triangolo aureo, che lo gnomone aureo ha due angoli allabase congruenti, 6 DBC ∼= 6 DCB = 36◦, per cui e isoscele; e l’angolo ottuso al vertice misura180◦ - 6 DBC - 6 DCB = 180◦ − 2× 36◦ = 108◦.A questo punto, riprendendo in mano la Figura 48, scopriamo che il pentagono e composto daun triangolo aureo ABC e due gnomoni aurei ADC e BCE.Lo gnomone aureo ha un’interessante proprieta, molto simile a quella del triangolo aureo [17]:

base dello gnomone

lato obliquo dello gnomone= Φ [19]

La differenza tra la [17] e la [19] e che numeratore e denominatore del rapporto sono scambiati.In entrambi i casi sta sempre al numeratore il lato piu lungo tra lato obliquo e base: nel triangolo

52

Figura 50: ADC e uno gnomone aureo.

aureo il lato obliquo, invece nello gnomone aureo la base.Possiamo dimostrare questa proprieta [19] senza muovere un dito: guardiamo Figura 50.Sfruttando il risultato precedente, cioe che nel pentagono il rapporto tra la diagonale e il lato e

pari a Φ, ricaviamo che

AC

AD= Φ ⇒ base dello gnomone

lato obliquo dello gnomone= Φ

perche AC e AD sono proprio la base e il lato obliquo dello gnomone aureo ADC.Come dovevasi dimostrare!

Mi sto dimenticando qualcosa, vero? Ah gia, dovevamo dimostrare che bc = Φ, o, in riferimento

a Figura 50, che ABAG = Φ. Ma cio e ovvio perche AB e AG sono la base e il lato obliquo dello

gnomone ABG, e quindi per la [19] il loro rapporto e Φ (ABG e gnomone perche 6 GAB =6 DAB−6 CAE

2 = 108◦−36◦2 = 36◦, da cui 6 ABG = 36◦ e 6 AGB=108◦).

Piccola notina finale sul pentagono: G divide la diagonale DB nella sua parte aurea. Infatti, perla [18]

DB

DA= Φ

ma poiche ADG e isoscele, DA ∼= DG:DB

DG= Φ

Il decagono

Sı, Φ si nasconde zitto zitto anche in tutti i decagoni regolari. Per farlo uscire allo scoperto,disegniamo la circonferenza circoscritta al decagono.Φ spunta fuori quando calcoliamo il rapporto tra il raggio e il lato del decagono:

r

l=

raggio circoscritto

lato del decagono= Φ [20]

Infatti, neanche a farlo apposta, l’angolo α di Figura 51 misura 360◦10 = 36◦... e allora il triangolo

ABO e un triangolo aureo! Ricordando la [17], nei triangoli aurei il rapporto tra lato obliquo ebase vale Φ. Ma per questo triangolo aureo, il lato obliquo e r e la base e l dunque

r

l= Φ

Come dovevasi dimostrare!

53

Figura 51: Nel decagono regolare, il lato e la parte aurea del raggio.

Tutto sommato questo risultato non e cosı inutile come sembra. Ad esempio ci permette dicalcolare sin 18◦. Attenzione studenti, che questo quesito e entrato a far parte dalla secondaprova del Liceo Scientifico per ben due anni, nel 2005 al P.N.I. e nel 2008!

Per pura combinazione 18◦ e l’ampiezza di un angolo alla circonferenza β che insiste su AB(perche e meta dell’angolo al centro α di 36◦). Dunque, se vi ricordate il teorema della corda,

l = 2r sin β

Poiche r = Φl (e ricordando che 1Φ = Φ− 1), sostituendo si ha

l = 2Φl sin 18◦ ⇒ sin 18◦ =1

2Φ=

Φ− 12

=√

5− 14

Come dovevasi dimostrare!

Se non vi piace il teorema della corda, basta dirlo. Potete sempre calcolare sin 18◦ usando la caravecchia definizione di seno.

Figura 52: Per definizione, sin 18◦ = BHOB .

Considerando il triangolo rettangolo OBH di Figura 52, per definizione si ha

sin 18◦ =BH

OB=

l2

r

Da cui sostituendo r = Φl si riottiene, come della dimostrazione precedente,

sin 18◦ =l

2Φl=

12Φ

=√

5− 14

Come dovevasi dimostrare!

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LA SEZIONE AUREAIN NATURA

...scoprirai piu cose camminando in unbosco che scorrendo le pagine di un libro.

Bernardo di Chiaravalle

Sono convinto che per mezzo dicostruzioni puramente matematiche siapossibile scoprire quei concetti che cidanno la chiave per comprendere ifenomeni naturali e i principi che lilegano tra loro.

A. Einstein

Ci sono piu cose in Cielo e sulla Terra,Orazio, di quante ne possa sognare lanostra filosofia.

W. Shakespeare

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9 La fillotassi

I miei piu scettici lettori potrebbero ancora avere l’insolenza di obiettare che, in fondo, trattandosiil rapporto aureo di un oggetto geometrico, e ovvio trovarlo in geometria, seppure in tanti casi esituazioni inaspettate. Ora pero vi voglio mostrare gli esempi piu significativi di come Φ non sitrovi solo in costruzioni geometriche o equazioni algebriche, ma anche nella natura incontaminata,quella che esisteva molto tempo prima che Euclide scrivesse gli Elementi o Pitagora scoprisse laparte aurea, e gia portava con se questo simbolo di un ordine geometrico intrinseco. E’ davveroincredibile come la natura sfrutti la geometria per sopravvivere, per sfruttare al meglio le risorsea sua disposizione, o anche solo per far nascere dei fiori magnifici.

La fillotassi e la scienza che studia come si dispongono nello spazio i nuovi rami, le foglie e i semiche sbocciano durante la crescita della pianta. Non spuntano a casaccio.

Per esempio se analizziamo il ramo di una pianta non di profilo, ma dall’alto, con la puntaorientata verso i nostri occhi, si vede che ogni foglia e posizionata a formare un certo angolorispetto alla foglia precedente. Per esempio, se l’angolo e 90◦, che e 1

4 di giro, dopo alcunegenerazioni di foglie si ottiene uno schema come in Figura 53 (le foglie che stanno ’davanti’ aquelle piu vecchie e le coprono, vengono disegnate nello schema al loro fianco, dalla parte oppostarispetto al fusto).

Figura 53: La foglia 1 nasce lungo la semiretta A. La seconda foglia nasce ruotata di 90◦ rispettoalla prima, quindi sulla semiretta B. La quinta foglia nasce lungo la stessa semiretta della prima.Sul fusto, le foglie 1 e 5 sono posizionate sulla stessa verticale.

Questo comportamento deriva dalla ricerca di privacy. Come i bagnanti, che in spiaggia sidispongono il piu possibile lontano dagli altri ombrelloni per non essere coperti dalla loro ombra,e per non essere disturbati dalle persone che li occupano, cosı le foglie cercano di ricavarsi unposticino che riceva piu sole e pioggia possibile, quindi ad esempio cercano di non trovarsiall’ombra delle vecchie foglie che stanno sopra di loro. Solo le piante con foglie molto piccoleo gli arbusti piu tontoloni avranno le foglie impilate verticalmente una sopra l’altra in linea retta,altrimenti il sole se lo prenderebbero solo quelle che stanno in cima al ramo.Un minimo di intelligenza la mostrano i tigli, che dispongono le loro foglie da due parti opposterispetto al fusto. Si dice che il tiglio ha un quoziente di fillotassi 1

2 , perche ogni foglia fa mezzogiro rispetto alla foglia precedente per trovare la sua collocazione.

57

Figura 54: Quoziente di fillotassi 12 : l’angolo tra una foglia e l’altra e di 360◦ × 1

2 = 180◦. Unafoglia a destra, una a sinista, una a destra, una a sinistra...

Ma la fillotassi dei tigli ha il difetto di lasciare molti spazi vuoti, e le foglie, anche se piu distanziate(perche alternate) rispetto a come sarebbero se fossero tutte impilate in verticale una sopra l’altra,sono comunque disposte in colonna, e questo e uno svantaggio.

Il nocciolo e il faggio si sono infurbiti un po’: hanno preso spunto dal tiglio e migliorato la suafillotassi con un quoziente 1

3 (ogni foglia fa un terzo di giro, cioe ruota di 120◦), ma non risolvonoil problema del sovrapponimento di foglie.

Figura 55: Quoziente di fillotassi 13 .

Il melo, alcune querce e l’albicocco hanno un quoziente di fillotassi 25 che fa sı che le foglie si

dispongano in cinque colonne: e un buon metodo perche, essendo le foglie disposte a spirale,devono nascere cinque nuove foglie prima che due foglie si trovino allineate lungo la stessaverticale. Quindi la distanza che c’e tra una foglia e l’altra appartenenti alla stessa colonnae quintuplicata rispetto a quella che avrebbero se fossero tutte disposte in una sola colonna.

Figura 56: Quoziente di fillotassi 25 . Ogni foglia fa una rotazione di 2

5 di giro rispetto allaprecedente, ovvero 2

5 × 360◦ = 144◦.

Il pero e il salice piangente hanno scelto come quoziente 38 . Vuol dire che tra una foglia e l’altra

che stanno sulla stessa verticale, ne nascono nel frattempo 8, ed esse compiono tre giri completidel fusto.

58

Figura 57: Quoziente di fillotassi 38 .

Devo continuare con gli esempi, o avete notato che tutti i quozienti citati sono rapporti tra numeridi Fibonacci?

12,

13,

25,

38

...

In realta, anche i numeri di Fibonacci non sono un ottimo affare (non portano buoni frutti, e il casodi dire). Finche il quoziente di fillotassi continua ad essere un numero razionale, continueremo adavere righe dritte nei grafici, e foglie sovrapposte. Le frazioni infatti producono una rotazione dellafoglia che e una porzione ’esatta’ di giro. Ad esempio 1

4 produce una rotazione di 90◦: bastano 4di queste rotazioni e ci ritroviamo al punto di partenza dopo un giro completo (4× 90◦ = 360◦).Se il quoziente e 2

5 , ovvero una rotazione di 360◦ × 25 = 144◦, dopo 5 rotazioni otteniamo un

multiplo di 360◦ (5 × 144◦ = 720◦) e questo vuol dire che dopo due giri completi siamo tornatisulla verticale della prima foglia.Per avere il massimo guadagno dello spazio dovremmo scegliere come quoziente un numeroirrazionale: in questo modo la rotazione della foglia e una porzione ’irrazionale’ di giro, chenon ha multipli razionali, ad esempio 83,849195738....◦, con una serie infinita di cifre dopo lavirgola. Con un angolo del genere, anche se nascessero 100 foglie, esse non si ritroverebbero mailungo la stessa verticale, perche continuando a ruotare di 83,849195738....◦ non produrremo maiun multiplo di 360◦, e quindi non torneremmo mai alla stessa posizione della foglia di partenza.Anche il numero irrazionale deve essere scelto con furbizia. Se scegliamo come quoziente difillotassi un numero irrazionale facilmente approssimabile con una frazione, ad esempio 1√

7(tra

una foglia e l’altra c’e un angolo di 1√7

di giro, ovvero 360◦ × 1√7

= 136, 1058...◦), si ottiene loschema in Figura 58.

Figura 58: Quoziente di fillotassi 1√7. Le foglie evidenziate sono separate da una rotazione piccola.

Non ci sono foglie che stanno sulla stessa verticale, ma ci sono foglie con distanza angolareravvicinata: l’angolo che formano quelle evidenziate in figura ad esempio e molto piccolo.

59

Se cerchiamo un numero il piu difficilmente approssimabile con una frazione, viene spontaneoprovare il numero piu irrazionale di tutti, che ci da un quoziente di fillotassi 1

Φ .

Figura 59: Quoziente di fillotassi 1Φ . Non ci sono spazi vuoti e le foglie sono il piu distanziate

possibile l’una dall’altra.

E’ la configurazione piu vantaggiosa che si possa trovare. Non ci sono spazi vuoti e le fogliesono il piu distanziate possibile l’una dall’altra. L’angolo che c’e tra una foglia e l’altra e paria 360◦ × 1

Φ ≈ 222, 5◦, o 137,5◦ (l’esplementare di 222,5◦) se si preferisce l’angolo minore, edeffettivamente si verifica che e cosı nella maggior parte delle piante.

Ma attenzione, perche basta sgarrare anche solo di un decimo di grado e...

Figura 60: Invece di 222,5...◦, l’angolo tra una foglia e l’altra e 222,6◦.

60

Questo sistema di disposizione e sfruttato anche dai semi del girasole: per occupare tutto lospazio ed essere piu distanziati possibile l’uno dall’altro, si dispongono esattamente come nelloschema di Figura 59.

In ogni schema di disposizione, come in ogni girasole, possiamo notare sempre la presenza di duespirali: una che gira verso destra e una che gira verso sinistra.

Il rapporto tra il numero di spirali antiorarie e il numero di spirali orarie approssima il quozientedi fillotassi. Nel primo schema di Figura 61 ad esempio sono 8 e 21 e 8

21 ≈ 1√7. Anche quando il

quoziente e un numero razionale ci sono due spirali, ma sono piu difficili da vedere. Nel secondoschema di Figura 61 le spirali sono 3 e 8 , il cui rapporto e esattamente 3

8 (nei quozienti razionaliil denominatore corrisponde al numero di spirali antiorarie, o meglio ’raggi’).

Figura 61: Un modo rapido di sapere quante siano le spirali orarie e contare quante foglie didistacco ci sono tra una foglia e l’altra della stessa spirale antioraria che appartengano entrambeallo stesso braccio di una spirale oraria (come nel secondo schema, in cui ci sono 21 foglie didistacco, segnate con puntini grigi). Infatti ogni spirale oraria deve attraversare quel braccio.

61

Come ci potremmo aspettare, i numeri di spirali nello schema con quoziente di rotazione 1Φ sono

numeri di Fibonacci, che approssimano bene il rapporto aureo (13 e 21, nella figura sotto).

Ecco perche il numero di spirali di semi al centro di girasoli, o di fiori in generale, corrispondequasi sempre a numeri di Fibonacci.I numeri di Fibonacci compaiono con una certa frequenza anche in tutti fiori, prime fra tutte leAstaracee (girasoli, margherite, ecc). Il numero dei petali di ogni fiore e di solito un numero diFibonacci, come 5, 13, 55 o persino 377, come nel caso della diaccola. Questo perche di solito ipetali di un fiore nascono alla fine di una delle due famiglie di spirali di semi, che sono un numerodi Fibonacci.

Ricordatevi di questa cosa la prossima volta che interrogherete un fiore con ’M’ama, non m’ama’.Tra i primi numeri della sequenza di Fibonacci sono piu frequenti i numeri dispari (5, 13, 21)rispetto ai pari (8, 34). Quindi, iniziando con ’M’ama’, avrete piu probabilita di avere successo!I matematici sono fatti cosı, amano ricordare sempre questi due esempi della presenza di Fibonacciin natura: le pigne (o ananas) e i cavolfiori. Le scaglie delle pigne si dispongono come i semidi girasole per non lasciare spazi scoperti. Uno studio di oltre 4mila pigne di dieci specie dipino rivelo che oltre il 98 per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nele spirali che sidiramavano in ogni direzione. Le scaglie dell’ananas sono ancora piu fissate per Fibonacci: nonuna sola eccezione fu trovata in un test compiuto su 2mila ananas. Invece nei cavolfiori, oggettiadorati dai matematici anche per la loro autosimilarita (la forma del cavolfiore e frattale, nelsenso che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, e non cambia aspettoanche se visto con una lente d’ingrandimento: Figura 62), nei cavolfiori dicevo, si individuanodue famiglie di spirali (orarie e antiorarie) contenenti ciascuna un numero di Fibonacci di spirali.

62

Figura 62: Dettagli sempre piu ingranditi di un cavolfiore ’romanesco’, dal sapore a meta tracavolfiore e broccoli. La struttura e frattale.

Galleria

Figura 63: Foglie disposte secondo angoli di 137,5◦.

63

Figura 64: Il numero di spirali in tutte queste immagini e sempre un numero di Fibonacci.

64

10 I numeri di Fibonacci in natura

Abbiamo gia visto come i numeri di Fibonacci spuntino fuori un po’ dappertutto, dalla riproduzionedei conigli al numero di petali di un fiore. Ci sono un altro paio di esempi curiosi: l’alberogenealogico delle api e la riflessione della luce su superifici con diversi indici di rifrazione.

L’albero genealogico di un’ape

Prima di tutto, occorre sapere che le api hanno un’insolita gerarchia sociale ed un insolito mododi riprodursi:

• In una colonia di api c’e un’ape speciale chiamata ape regina che produce uova. E’ un’apefemmina che alla nascita viene separata dalle altre api e nutrita con pappa reale.

• Ci sono i fuchi, che sono api maschio e non lavorano. Essi nascono dalle uova prodottedall’ape regina non fertilizzate da un altro fuco. Per questo i fuchi hanno solo un genitore,l’ape regina.

• Ci sono api operaie che sono tutte femmine ma non possono produrre uova. Esse nasconodalle uova prodotte dall’ape regina e fertilizzate da un fuco, percio hanno due genitori.

Ecco quindi la prima generazione di un albero genealogico di un’ape operaia e di un fuco.

L’albero genealogico di un fuco ha una particolarita interessante: ogni generazione e compostadi un numero di Fibonacci di antenati. In piu, questi si dividono in un numero di Fibonacci diantenati femmine e un numero di Fibonacci di antenati maschi (Figura 65).

• Un fuco ha un solo genitore femmina, l’ape regina.

• Ha 2 nonni, perche sua madre ha avuto due genitori, un maschio e una femmina.

• Ha 3 bis-nonni perche la sua nonna ha avuto due genitori ma suo nonno solo uno...

Figura 65: L’albero genealogico di un fuco. La generazione piu in alto nell’albero e composta da5 api femmine e 3 api maschio.

numero di genitori nonni bis-nonni bis-bis-nonni bis-bis-bis-nonnitotale 1 2 3 5 8

femmine 1 1 2 3 5maschi 1 1 2 3

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Un momento di riflessione

Quando e buio e provate a guardare dentro alla vetrina di un negozio, oltre a vedere l’interno,vedrete anche la vostra immagine riflessa sul vetro. Quasi come se si comportasse come unospecchio. Se guardate con piu attenzione, noterete che in realta le vostre immagini riflesse sonodue, quasi sovrapposte. Questo si verifica perche la vostra immagine non e riflessa solamentedalla superficie frontale del vetro, ma anche da quella che c’e dietro. Ogni rimbalzo della luce suuna superficie produce un riflesso.

Queste sono le direzioni della luce che abbiamo seguito:

• Una in cui non viene riflessa dal vetro, ed entra nel negozio.

• Una in cui viene riflessa dalla superficie esterna del vetro, e rispecchia la vostra immagine.

• Una in cui viene riflessa dalla superficie interna del vetro, e rispecchia una seconda volta lavostra immagine.

Oltre a queste, sono possibili anche direzioni piu complicate, in cui il raggio continua a rimbalzareper un po’ fra le due superfici, producendo molteplici riflessi della vostra immagine, prima ditornare all’aperto o entrare nel negozio. Noi non vediamo tutti questi riflessi perche man manoche la luce rimbalza, la vostra immagine diventa sempre piu debole.

Complichiamoci le cose come piace fare ai matematici. Se in vetrina mettessimo due pannellidi vetro affiancati, il raggio di luce avrebbe molte piu scelte di comportamento. Possiamoignorare il caso in cui la luce rimbalzi subito sulla prima superficie esterna del vetro: e banale, laluce rimbalza, si allontana e otteniamo solo un riflesso. Sono gli altri casi quelli interessanti.Ordiniamoli per numero di rimbalzi, ovvero per numero di riflessi prodotti (poiche ad ognirimbalzo viene prodotto un riflesso della vostra immagine):

Se consideriamo tutti i modi in cui il raggio puo cambiare direzione rimbalzando n volte, otteniamosempre un numero di Fibonacci (un rimbalzo: 2, due rimbalzi: 3, tre rimbalzi: 5, quattro rimbalzi:8 e cosı via...).

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Il problema delle scale

Un bambino cerca di arrampicarsi su una scala. Il massimo numero di gradini che puo superaree due; in altre parole, ogni volta che sale puo farlo di un gradino o due gradini per volta. Se n eil numero di gradini, in quanti modi diversi An il bambino puo arrampicarsi fino alla cima dellascala?

Se il gradino e uno solo, il bambino puo salirlo solo in un modo, quindi A1 = 1.Se i gradini sono due, puo superarli o uno alla volta, o tutti e due insieme, quindi A2 = 2.Se i gradini sono tre, le alternative sono: 1+1+1 oppure 2+1 oppure 1+2, quindi A3 = 3.Se i gradini sono quattro, le alternative sono: 1+1+1+1 oppure 2+2 oppure 2+1+1 oppure1+2+1 oppure 1+1+2, quindi A4 = 5.Se i gradini sono cinque, le alternative sono: 1+1+1+1+1 oppure 2+2+1 oppure 2+1+2 oppure1+2+2 oppure 2+1+1+1 oppure 1+2+1+1 oppure 1+1+2+1 oppure 1+1+1+2, quindi A5 = 8.1, 2, 3, 5, 8... sono i numeri della sequenza di Fibonacci.

Sempre Fibonacci... perche lo ritroviamo anche qui? Perche la struttura del problema nascondela stessa relazione di ricorrenza che definisce anche la sequenza di Fibonacci.Suddividiamo il numero totale di modi in cui il bambino puo arrampicarsi su sei gradini (A6) indue famiglie che messe insieme li comprendano tutti:

1. quelli in cui il bambino parte saltando due gradini

2. quelli in cui il bambino parte saltando un gradino solo

Il bambino ha solo queste due scelte alla partenza, quindi, qualsiasi percorso faccia, questo ricadeo nella famiglia 1 o nella famiglia 2. Chiaramente nessun percorso puo appartenere ad entrambele famiglie.Contiamo i percorsi che ricadono nella famiglia 1. Dopo aver salito i primi due gradini, al bambinone rimangono 4, che egli puo scalare in A4 modi diversi. Quindi il numero di percorsi appartenentialla famiglia 1 e A4.Contiamo i percorsi che ricadono nella famiglia 2. Dopo aver salito il primo gradino, al bambinone rimangono 5, che egli puo scalare in A5 modi diversi. Quindi il numero di percorsi appartenentialla famiglia 2 e A5.Poiche il numero totale di percorsi che il bambino puo fare e dato dal numero di percorsi cheiniziano saltando due gradini piu il numero di percorsi che iniziano saltando un gradino solo, siha che A6 = A4 + A5, o in generale

An = An−1 + An−2

la relazione di ricorrenza della sequenza di Fibonacci.

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11 Spirali logaritmiche in natura

Quano abbiamo parlato delle differenze tra spirale di Archimede e spirale logaritmica abbiamovisto che il ragno predilige la prima per le sue ragnatele, mentre il nautilus e i molluschi col gusciola seconda. Fa parte del fan club della spirale logaritmica anche un altro animale, il falco.Infatti un’altra famosa proprieta della spirale logaritmica e che una qualsiasi semiretta conorigine l’Occhio di Dio interseca la spirale sempre con lo stesso angolo (non per niente la spiralelogaritmica si chiama anche ’spirale equiangola’). Nella spirale aurea (la spirale logaritmicainscrittibile nel rettangolo aureo) questo angolo misura circa 73◦.

(maestro, attacchi con la musichina di Piero Angela)Il falco utilizza questa interessante proprieta della spirale logaritmica durante la caccia. Questorapace, capace di spingersi a una velocita in picchiata di 300 km/h, non utilizza mai traiettorierettilinee, che sarebbero le piu dirette, per scendere sulla sua preda. Infatti se cosı facessedovrebbe tenere la testa inclinata per non perderla mai di vista, dal momento che gli occhidel falco non guardano in avanti ma lateralmente. Studi in laboratorio in gallerie del ventohanno dimostrato che volando con la testa inclinata il falco perderebbe la sua aerodinamicita erallenterebbe notevolmente la velocita. Per questo il falco preferisce scendere a spirale anzichein linea retta: la spirale logaritmica gli consente di tenere sempre la testa dritta davanti a se,massimizzando la velocita, e contemporaneamente di tenere d’occhio la preda senza dover spostarelo sguardo, perche muovendosi lungo la spirale l’angolo tra la sua traiettoria e la preda rimanecostante.

Anche gli insetti sono animali matematici. Essi si avvicinano a una sorgente di luce seguendouna spirale logaritmica perche sono abituati ad avere la sorgente di luce a un angolo costanterispetto al loro percorso di volo. Siccome in genere il sole e l’unica sorgente di luce, volando inquesto modo ottengono un percorso praticamente rettilineo.

Ancora, i bracci delle galassie ’a spirale’ sono approssimativamente spirali logaritmiche. Si pensache la nostra stessa galassia, la Via Lattea, abbia quattro bracci spirali principali, ciascuno deiquali e una spirale logaritmica che forma un angolo di circa 78◦ con qualsiasi semiretta di centrol’Occhio di Dio.

Figura 66: La spirale M51 (Whirlpool Galaxy) nella costellazione dei ’Cani da caccia’.

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Il problema delle coccinelle

Quattro coccinelle stanno ai quattro vertici di un quadrato. All’improvviso, ogni coccinella iniziaa inseguire quella alla sua destra. Che traiettorie formano le coccinelle?

Le coccinelle tracciano quattro spirali logaritmiche. Infatti, per simmetria, a qualsiasi istante delloro percorso esse individuano i 4 vertici di un quadrato che si restringe e ruota man mano chele coccinelle ruotano tra loro. La prima coccinella ad esempio, trovandosi al vertice A’ di unquadrato centrato in O, e diretta verso B’ (altro vertice del quadrato), vedra il punto O sotto unangolo costante di 45◦ in qualsiasi momento della sua passeggiata. Allora la curva che traccerannosara la traiettoria di una spirale equiangola con centro in O: una spirale logaritmica.

Possiamo anche trovare la lunghezza del percorso delle coccinelle dalla partenza all’arrivo. Laseguente soluzione fu pubblicata da Martin Gardner nel suo libro, ’Mathematical puzzles anddiversions’ (1959).Poiche le coccinelle si trovano sempre ai 4 vertici di un quadrato, ’il percorso di ogni inseguitoresara sempre perpendicolare a quello dell’inseguito. Questo ci dice che mentre A, per esempio,si avvicina a B, non vi e alcuna componente del moto di B che lo avvicini o lo allontani da A[se entrassimo nei panni di A, ci sembrerebbe come se B non si avvicinasse ne si allontanasse danoi, ma come se fossimo solo noi a spostarci verso di lui]. Di conseguenza A raggiungera B nellostesso tempo che occorrerebbe se B rimanesse fermo. La lunghezza di ogni braccio di spirale e lastessa del lato del quadrato’.

Cambiando la forma del poligono di partenza, le traiettorie tracciate dalle coccinelle sono semprespirali logaritmiche (ma la lunghezza percorsa da ciascuna coccinella non e piu pari al lato delpoligono perche ora la direzione di B ha componenti diverse da zero rispetto alla direzione di A:questo vuol dire che il moto di B influisce sull’avvicinamento o allontanamento da A durante iltragitto).

Questo quesito non e solo un gioco matematico del secolo scorso: il problema puo essere esteso adaltri campi. Per esempio a quello militare, per l’analisi delle traiettorie dei missili ’intelligenti’.

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Galleria

Figura 67: Sezione di una conchiglia di Nautilus.

Figura 68: Anche tornado e cicloni dall’alto hanno una forma simile a una spirale logaritmica.

70

12 La sezione aurea nell’arte

La sezione aurea e da sempre associata alla bellezza in campo artistico. Il rettangolo aureoe ritenuto il rettangolo piu bello - detto cosı fa un po’ ridere - quello con le proporzioni piugradevoli alla vista. Seguendo questo pensiero, pittori, scultori e architetti hanno fatto uso delleproporzioni provenienti dal rapporto aureo per le loro creazioni. E’ vero che l’utilizzo di questeproporzioni puo rendere un quadro piu attraente?Secondo gli accaniti sostenitori di Φ, sı, e vero. Orde di fanatici, nel tentativo di dimostrareche le opere d’arte piu belle sono quelle legate a Φ, partono alla carica e vanno alla ricerca direttangoli aurei e proporzioni auree tra quadri, edifici e sculture, trovando la sezione aurea unpo’ dappertutto, anche, come nel caso delle piramidi, in civilta dove Φ probabilmente non eraancora stato scoperto. Bisogna stare attenti infatti quando si esamina un quadro alla ricercadi un rettangolo aureo: spesso si trova solamente perche lo si sta cercando, e non perche ci siadavvero. Questa caccia a Φ non e una ricerca cosı obbiettiva come puo sembrare, le misurazionispesso vengono effettuate prendendo come punti di riferimento punti arbitrari, e i rapportiottenuti spesso vengono considerati approssimativamente ’aurei’ anche quando in realta sonomolto distanti da 1.618, come 1.7, 1.9, 1.5...Questo pero non vuol dire che la sezione aurea in realta non appaia mai in arte, anzi. Moltipittori e scuoltori, accettando l’idea che la proporzione aurea sia una proporzione estetica, nehanno effettivamente fatto uso nelle loro opere; alcuni addirittura inconsciamente, ad esempioispirandosi alle proporzioni di altri artisti che a loro volta ne facevano uso.Infine c’e la via di mezzo: in un quadro, dove sono raffigurati cosı tanti elementi, e possibile cherapporti vicini a Φ possano effettivamente formarsi per fattori casuali, anche senza una specificavolonta dell’artista.Di seguito vedremo alcuni esempi di sezione aurea in arte: lascio decidere a voi quali di questeopere siano veramente auree, e quali invece siano solo delle Φ-bufale.

Tenete presente che in Antica Grecia gli scultori erano maniaci per le proporzioni delle sculture(ad esempio Fidia, oppure il canone di Policleto secondo cui la testa e 1

8 della lunghezza delcorpo...), quindi analizzare le opere antiche da un punto di vista maniacalmente geometrico none cosı assurdo come puo sembrare.

Figura 69: I greci conoscevano la sezione aurea (Euclide era greco!). L’immagine qui soprainscrive il Partenone di Atene in un rettangolo aureo, e mostra alcuni segmenti divisi nelle loroparti auree. L’architetto del Partenone fu Fidia, da cui il rapporto aureo ha preso il nome Φ.Le misure che dovrebbero provare la presenza di Φ nel Partenone sono pero da alcuni ritenutetroppo arbitrarie o imprecise.

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Figura 70: La costruzione del rettangolo aureo ABFD (l’altezza AD e ricavata dalla lunghezza diAE, parte aurea di AB) sovrapposta al Partenone.

Figura 71: Gli elementi della trabeazione del tempio di Atena a Paestum hanno misure che stannotra loro in rapporto aureo. Il tempio fu costruito ispirandosi alle dottrine pitagoriche, che in queltempo andavano diffondendosi in Italia meridionale.

Dopo il Medioevo molti artisti come Leonardo da Vinci, Piero della Francesca e Leon BattistaAlberti si interessarono alla sezione aurea e la consideravano quasi la chiave mistica dell’armonianelle arti e nelle scienze. La grande diffusione dei concetti legati alla sezione aurea tra i pittori siebbe intorno al 1500, con la pubblicazione del trattato ’De Divina Proportione’, di Luca Pacioli(alcune illustrazioni del libro erano di Leonardo da Vinci).

Figura 72: Nella Gioconda il rapporto aureo e stato individuato nelle dimensioni del viso, nell’areache va dal collo a sopra le mani, e in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani.

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Figura 73: Nell’Ultima Cena di Leonardo da Vinci, Gesu Cristo si puo inscrivere in un rettangoloaureo.

Figura 74: Con l’Uomo Vitruviano, Leonardo da Vinci studia le proporzioni umane secondoquanto scritto da Vitruvio nel suo ’De Architetura’: ’Il centro del corpo umano e inoltre pernatura l’ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta uncompasso sul suo ombelico, si tocchera tangenzialmente, descrivendo un cerchio, l’estremita delledita delle sue mani e dei suoi piedi.’ Leonardo stabilı che le proporzioni umane sono perfettequando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

Figura 75: Lo Sposalizio della Vergine di Raffaello. Nella seconda e terza figura, AD e la parteaurea di AC, ADGH e il quadrato che inscrive la circonferenza che include il tempio, e ACFH eun rettangolo aureo.

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Figura 76: La Parade de Cirque di George Seurat (1859-1891). A sostegno dei Φ-fanatici: lecomposizioni dei quadri di Seurat sono geometriche, e dietro di essi c’e uno studio matematicoapprofondito. A sostegno dei Φ-scettici: non abbiamo testimonianze in cui Seurat ammetta diaver fatto uso della sezione aurea.

Esistono pero anche diversi artisti che fecero senza dubbio uso della sezione aurea nelle loro opere:uno dei primi fu Paul Serusier (1864 - 1927) per sua stessa ammissione. E’ probabile che Serusierabbia appreso della sezione aurea durante una visita a un monastero di Benedettini, nel quale ungruppo di monaci stava ricavando una serie di opere a sfondo religioso basandosi su particolari’misure sacre’ tra cui la sezione aurea.Nel 1912 a Parigi una mostra cubista venne addirittura intitolata Section d’Or, ma nessuna delleopere presentate al suo interno conteneva alcun legame con Φ!Molti esperti concordano sul fatto che Piet Mondrian, il pittore che non faceva altro che dipingererettangoli in tinta unita separati da spesse linee nere verticali e orizzontali, non fece uso dellasezione aurea.

Figura 77: Pare che Mondrian si affidasse piu all’intuito piuttosto che alla matematica per leproporzioni dei suoi rettangoli.

Figura 78: L’ultima cena di Dalı e dipinta in un rettangolo aureo, e sono state usate proporzioniauree per le figure. Il poliedro che fluttua sul dipinto e un dodecaedro formato da 12 pentagoni.

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Nel XX secolo, una delle piu interessanti applicazioni della sezione aurea e stato il Modulor,letteralmente modulo d’oro (viene dal francese). Il suo inventore, l’architetto svizzero Le Corbusier,si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la successione di Fibonacci per le proporzioni di tuttigli spazi dedicati alla vita dell’uomo, e cerco di creare uno standard che fosse allo stesso tempoarmonico e funzionale alle esigenze della vita quotidiana. Infatti, secondo il suo ragionamento,essendo riscontrabile la sezione aurea nell’uomo, questa poteva essere la base su cui costruire conarmonia tutto l’ambiente circostante. Le Corbusier utilizzo gli schemi del Modulor in diversi suoiprogetti, ma nel complesso il Modulor non trovo grande seguito presso altri architetti, anzi fuspesso oggetto di critiche riguardanti l’inconsistenza delle sue basi teoriche.

Figura 79: Il Palazzo di Vetro dell’ONU, che molti Φ-fanatici portano come esempio di uso dellasezione aurea in architettura, in realta non e un rettangolo aureo. Le sue misure sono 154 me 87,5m, il cui rapporto e 1,72. I tre rettangoli in cui e diviso orizzontalmente pero sono trerettangoli aurei.

Il rettangolo piu bello?

Nell’800 ci fu un importante Φ-fanatico che di lavoro faceva lo psicologo. Si chiamava TheodorFechner, e tento di dimostrare sperimentalmente che il rettangolo aureo fosse il preferito dall’uomosu tutti gli altri rettangoli. Ecco i tre esperimenti con cui cerco di confermare la sua ipotesi:

• Il metodo della scelta: si chiede ai soggetti di scegliere quale fra i rettangoli mostrati fosseil piu bello.

• Il metodo della produzione: si chiede ai soggetti di disegnare il rettangolo che ritengono piubello.

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• Il metodo dell’uso: si misurano numerosi oggetti di uso quotidiano per verificare la presenzadel rapporto aureo.

Dei tre esperimenti, solo il primo sembro avere esito positivo: il 35% dei soggetti scelse ilrettangolo aureo.

Figura 80: Il metodo della scelta: l’esito dell’esperimento di Fechner.

Ma l’esperimento di Fechner era stato eseguito in modo corretto e oggettivo?

Fechner aveva mostrato a 347 persone una disposizione di 10 rettangoli di uguale area, con ilrapporto tra i lati in ordine crescente (da 1:1 - quindi un quadrato - a 1:2,5), in cui il rettangoloaureo occupava la settima posizione, chiedendo poi quale giudicassero piu gradevole, consentendoin caso di incertezza anche scelte multiple.Solo che:

• Alcuni rettangoli erano disegnati in verticale, altri in orizzontale, e questo poteva influiresulla scelta;

• Il rettangolo aureo occupava la posizione centrale nella lista dei rettangoli, e questo potevainfluire sulla scelta (era il rettangolo con le proporzioni medie tra quelli presentati);

• I soggetti erano a conoscenza del rettangolo aureo e delle convinzioni di Fechner.

L’esperimento venne ripetuto in condizioni sempre piu imparziali per tutto il ’900, e le indaginividero una diminuzione della preferenza per la sezione aurea, fino al suo completo azzeramento.

La piramide di Cheope

Possibile che gli egizi conoscessero la sezione aurea gia prima di Pitagora? La Piramide di Cheopeparrebbe confermare questa ipotesi: le sue proporzioni sembrano essere basate su Φ. Un altromistero sulla Grande Piramide da aggiungere alla lista, in compagnia di proprieta rigenerative,alieni e quant’altro.

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Il rapporto tra l’altezza di una faccia triangolare e il semilato della piramide misura Φ:

b

a= Φ

La piramide infatti ha il lato l che misura 230 m, da cui a = 115m. L’altezza h misura 147 m, equindi per Pitagora

b =√

a2 + h2 = 186, 64m

Con queste misure di a e b, in effetti

186, 64115

= 1, 6229 ≈ Φ

E’ un caso o gli egizi sapevano veramente quello che stavano facendo?

Sembra che si possa arrivare a risolvere una volta per tutte la questione dando ascolto all’astronomobritannico John Herschel che scrisse, citando Erodoto, che la ’Piramide [di Cheope e] caratterizzatadalla proprieta di avere ciascuna delle facce equivalente al quadrato costruito sull’altezza’. L’importanzadi questa frase sta nel fatto che questa proprieta ha come effetto collaterale quello di rendere ilrapporto tra a e b pari a Φ.Infatti, traducendo la frase di Erodoto/Herschel dal greco al ’matematichese’ si ha che

l × b

2= h2

Ma l = 2a e, per il teorema di Pitagora, h2 = b2 − a2: sostituendo,

2ab

2= b2 − a2

b2 − ab− a2 = 0

Dividendo entrambi i membri per a2 facciamo spuntare il rapporto che ci interessa, ba .

(b

a)2 − b

a− 1 = 0

Poniamo x = ba .

x2 − x− 1 = 0

Abbiamo ottenuto la solita equazione [2] la cui soluzione e sempre Φ. Dunque ba = Φ.

Tutto questo ragionamento e abbastanza convincente, se non fosse per un difetto di fondo: lafrase riportata da Erodoto e stata (per usare un eufemismo) tradotta male. L’originale dicevacosı: ’Per la costruzione della Piramide occorsero vent’anni. Essa e quadrata. Presenta da tuttii lati una faccia di otto plettri, un’altezza uguale. E’ di pietre levigate e perfettamente connesse,di cui nessuna misura meno di trenta piedi’.Dunque nessun riferimento a facce equivalenti al quadrato dell’altezza, e quindi nessun riferimentoa Φ. Anche Erodoto, il nostro testimone chiave, ci abbandona. Peccato, perche l’area di unafaccia della piramide l×b

2 = 115 × 186, 64 ≈ 21463 e il quadrato dell’altezza (h2 = 21609)sono effettivamente molto simili, ma sembra improbabile che cio derivi da una precisa sceltadei progettisti. A questo punto possiamo concludere che la presenza di Φ nella Grande Piramidesia solo una misteriosa e affascinante combinazione.

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13 Φ-mania

In internet si trovano in uguale percentuale siti di Φ-fanatici e siti di Φ-scettici. Inutile dire chei siti dei Φ-fanatici sono i piu divertenti. Ecco i posti piu impensabili in cui si puo trovare lasezione aurea: sara vero? a voi, come al solito, l’ardua sentenza.

Figura 81: Le carte di credito o le carte da gioco napoletane sono rettangoli aurei.

Figura 82: In questa figura ogni segmento e la parte aurea di quello alla sua destra. I segmentisono affiancati ad un corpo umano per evidenziarne le proporzioni auree.

Figura 83: Il segreto della vera bellezza? Proporzioni auree. E i vostri incisivi si inscrivono inun rettangolo aureo?

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Figura 84: Braccio e ossa delle dita in proporzione aurea.

Figura 85: Hanno perfino inventato uno strumento le cui tre estremita stanno sempre in rapportoaureo tra di loro! Serve a misurare piu agevolmente la presenza di Φ negli oggetti di usoquotidiano.

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APPENDICI

Il matematico non puo creare qualcosaad arbitrio, proprio come non lo puo ilgeografo. Sia l’uno che l’altro possonosoltanto scoprire quello che gia c’e.

G. Frege

Il mondo delle idee che [la matematica]scopre o illumina, la contemplazionedella divina bellezza e ordine che induce,l’armoniosa connessione delle sue parti,l’infinita gerarchia e assoluta evidenzadelle verita di cui si occupa; questi, equelli simili, sono le fondamenta piustabili dei titoli della matematica per laconsiderazione umana, e rimarrannoirreprensibili e intatte dovesse l’universosrotolarsi come una mappa ai nostripiedi, e la mente dell’uomo fossequalificata a comprendere in una singolaocchiata tutto lo schema della creazione.

J. J. Sylvester

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14 Dimostrazione che√

5 e un numero irrazionale

Supponiamo per assurdo che√

5 sia razionale, ovvero che esistano a e b interi tale che

√5 =

a

b

Nel caso a e b abbiano qualche fattore comune, semplifichiamo la frazione dividendo per quelfattore, fino a ridurla ai minimi termini, ottenendo p

q . p e q non hanno fattori comuni.

√5 =

p

q

Eleviamo al quadrato

5 =p2

q2

p2 = 5q2

Si vede che p2 e multiplo di 5. Da questo discende che anche p e multiplo di 5.(infatti se p per assurdo non fosse multiplo di 5, avremmo che allora neanche p2 potrebbe esserloperche p2 = p× p, con p che non contiene 5 tra i propri divisori)Allora possiamo scrivere p come 5m per un qualche m numero intero.

(5m)2 = 5q2

25m2 = 5q2

5m2 = q2

Da cui si deduce che q2 e multiplo di 5. Da questo discende, con lo stesso ragionamento di prima,che anche q e multiplo di 5.Sia p sia q sono multipli di 5: ma questo e assurdo, perche per ipotesi p e q non hanno fattoricomuni. Siccome i nostri calcoli sono giusti, deve per forza essere sbagliata la supposizione cheabbiamo fatto all’inizio, cioe che

√5 fosse un numero razionale.

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15 Il numero 5 e Φ

Il valore di Φ si puo curiosamente rappresentare con una formula che utilizza solo numeri 5:

Φ = 50.5 × 0.5 + 0.5 [21]

Ma questo non e altro che un diverso modo di scrivere la formula che gia conosciamo. Infatti

50.5 × 0.5 + 0.5 =

=√

5× 12

+12

=

=1 +

√5

2Una formula un pochino piu originale per Φ, che utilizzi anch’essa solo numeri 5, e

Φ =

√5 +

√5

5−√5[22]

Riconduciamola alla solita forma a noi nota.√

5 +√

55−√5

=

=

√5 +

√5

5−√5· 5 +

√5

5 +√

5=

=

√(5 +

√5)2

25− 5=

= (5 +√

5)1√20

=

=5 +

√5

2√

5=

=√

5(√

5 + 1)2√

5=

=1 +

√5

2

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16 Il triangolo di Tartaglia e il calcolo combinatorio

Nel breve discorso che abbiamo fatto sul triangolo di Tartaglia, vi avevo detto che i numeri diciascuna riga del triangolo sono i coefficienti binomiali di Newton.Senza annoiarvi con definizioni, calcoli e notazioni di calcolo combinatorio, tentero di spiegarviin parole povere cosa questo significa.

• I numeri triangolari che abbiamo incontrato con le piramidi di lattine sono utili anche nelcalcolo combinatorio. Vi siete mai chiesti ad esempio quante coppie di due persone possiateformare avendo a disposizione 8 persone? (il problema e equivalente a: ’quante strette dimano vengono date tra 8 persone se tutti stringono la mano a tutti?’ perche ogni strettadi mano equivale ad una coppia di due persone).La risposta e il numero appartenente alla diagonale dei numeri triangolari (la terza diagonaledel triangolo) che compare alla riga numero 8 (la prima riga viene contata come riga 0):28.Una rapida verifica vi consente di controllare che con 2 soli elementi e possibile formareuna sola coppia (il numero triangolare che c’e alla riga 2 e 1). Tutto in ordine.

Figura 86: I numeri triangolari.

In generale, all’n-esima riga, partendo da 0, sulla terza diagonale viene indicato il numerodi coppie che e possibile formare con n elementi.

• Nel caso abbiate risposto affermativamente alla domanda precedente, vi siete mai chiestianche quanti trii di persone possiate formare avendo a disposizione 8 persone?

Figura 87: I numeri ’piramidali’.

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Il triangolo di Tartaglia ci dice anche questo. La risposta, in analogia all’esempio di prima,e il numero della quarta diagonale (quella immediatamente dopo la diagonale dei numeritriangolari) che compare alla riga numero 8 (partendo sempre da 0, posso smettere diricordarvelo?): 56.

In generale, all’n-esima riga, partendo da 0, sulla quarta diagonale viene indicato il numerodi trii che e possibile formare con n elementi.

Tanto per dare un nome a questi numeri, chiamiamoli piramidali, anche perche effettivamenterappresentano il numero di lattine che vi occorrono per costruire piramidi (questa voltatridimensionali!), per la precisione tetraedri, di lato 1, 2, 3, 4,...Se proprio volete saperlo, l’n-esimo numero piramidale e la somma dei primi n numeritriangolari.

• Continuando il nostro questionario, vi siete mai chiesti anche quanti quartetti di personepossiate formare avendo a disposizione 8 persone? Sapete gia dove cercare la risposta. E’ ilnumero della quinta diagonale (quella dopo la diagonale dei numeri piramidali) che comparealla riga numero 8 (partendo sempre da 0, giuro che e l’ultima volta che lo ripeto): 70.

In generale, all’n-esima riga, partendo da 0, sulla quinta diagonale viene indicato il numerodi quartetti che e possibile formare con n elementi.

Figura 88: I numeri ’iper-piramidali’.

Per analogia con gli esempi precedenti, se chiamassimo questi numeri iperpiramidali, cosarappresenterebbero? Il numero di lattine che vi occorrono per costruire tetraedri nellaquarta dimensione di lato 1, 2, 3, 4,...? Meglio cambiare velocemente discorso. Ci bastisapere che l’n-esimo numero iperpiramidale e la somma dei primi n numeri piramidali.

In generale in generale, all’n-esima riga, partendo da 0, sulla k-esima diagonale, partendo da0, viene indicato il numero di insiemi di k elementi che e possibile formare con n elementi.Il triangolo di Tartaglia si sta rivelando piu efficace di una calcolatrice!

I piu impazienti di voi che si sono avventurati oltre, alla sesta diagonale, e si sono chiestiquanti quintetti di persone si possono formare avendo a disposizione 8 persone, hannotrovato una sorpresa: 56, tanti quanti il numero di trii che si possono formare con 8 persone.Tranquilli, questo e normale, dal momento che per ogni trio che riuscite a formare prendendo3 persone da un insieme di 8, le 5 che vi avanzano formano un quintetto ogni volta diverso.Dunque, alla fine avrete tanti quintetti quanti trii riuscite a formare.

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17 Il triangolo di Sierpinski

Il triangolo di Sierpinski e un frattale, un oggetto geometrico che si ripete nella sua strutturaanche a scale diverse, e se ingrandito a qualsiasi scala non cambia mai aspetto.

Il triangolo di Sierpinski si ottiene togliendo di volta in volta da un triangolo equilatero uno opiu triangoli equilateri di dimensione sempre piu piccola, ripetendo infinite volte il procedimentoin figura.

Ogni triangolo ha un’area pari ai 34 di quella del suo precedente, perche ad ogni iterazione gli

viene sottratto un triangolo equilatero di area pari a 14 di quella del triangolo precedente.

An+1 = An × 34

In questo modo, se il triangolo di partenza ha area A, il triangolo di Sierpinski avra area

ASierpinski = A× 34× 3

4× 3

4× ... =

= A · limn→+∞

(34

)n

=[A · 0

]= 0

Il triangolo di Sierpinski ha area nulla.

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18 Costruzioni con riga e compasso

Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare segmenti ed angoli servendosiesclusivamente di una riga e di un compasso idealizzati, ossia non graduati, senza quindi lapossibilita di poter far riferimento alle tacche della riga per prendere misure o di poter ripetereuna data apertura che il compasso aveva avuto in precedenza.Sono queste le 5 operazioni base che sono lecite in questo tipo di costruzioni:

• dati due punti, tracciare la retta passante per essi (o, per estensione, prolungare un segmento);

• dati due punti A e B, tracciare una circonferenza di centro A e passante per B;

• determinare l’eventuale punto di intersezione di due rette;

• determinare gli eventuali punti d’intersezione di una circonferenza con una retta;

• determinare gli eventuali punti d’intersezione di due circonferenze.

E’ incredibile come solo con queste semplicissime operazioni sia possibile effettuare costruzionidi livello piu avanzato come trovare il punto medio di un segmento, tracciare la perpendicolaread una retta data, tracciare la bisettrice di un angolo, costruire un triangolo isoscele, costruireun poligono regolare di 3, 4, 5, 6... e anche di 2n − 1 (se 2n − 1 e numero primo) lati...Il problema della riga e compasso e che, mentre e possibile allungare segmenti fino a farli diventare

• il doppio del segmento di partenza AB

• √2 volte il segmento di partenza

• addirittura Φ volte il segmento di partenza

non e invece possibile farli diventare ad esempio π volte il segmento di partenza. Questo percheπ e un numero irrazionale trascendente, ed e stato dimostrato nel 1800 che i numeri irrazionalitrascendenti non sono costruibili con riga e compasso. Non e nemmeno possibile costruire laradice cubica di un numero razionale con riga e compasso, ma solo quelle quadrate o di indiceuna potenza di 2.

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Questo ostacolo e alla base di tre problemi che crucciavano gli antichi greci:

• la quadratura del cerchio

• la trisezione di un angolo

• la duplicazione di un cubo

La quadratura del cerchio

Far quadrare un cerchio di raggio r significa disegnare un quadrato di lato l con la stessa areadel cerchio.Calcoliamo che lunghezza dovrebbe avere questo lato l in confronto a r.

Acerchio = Aquadrato

r2π = l2

l =√

πr

Dunque per risolvere il problema basterebbe allungare r fino a farlo diventare√

π volte se stesso.Il problema e che π e un numero trascendente (e figuriamoci poi

√π!), quindi non e costruibile

con riga e compasso. Da qui l’impossibilita di realizzare il quadrato.

La trisezione di un angolo

Trisecare un angolo significa disegnare un angolo congruente alla terza parte dell’angolo dipartenza.E’ possibile farlo con riga e compasso solo per certi angoli particolari. Dimostriamo che con 60◦

ad esempio e impossibile.

89

Posizioniamo l’angolo di 60◦ in un sistema cartesiano, con vertice all’origine e semiretta dipartenza che sta sull’asse x. Dal disegno si capisce che sapendo disegnare il punto di coordinate(cos 20◦, sin 20◦) si riesce a trisecare l’angolo perche potremmo disegnare la semiretta dell’angolodi 20◦; viceversa, riuscendo a trisecare l’angolo riusciremmo a trovare quel punto grazie allacirconferenza di raggio unitario. Quindi il problema di trisecare l’angolo e il problema di trovarele coordinate del punto, diciamo trovare cos 20◦, sono equivalenti. Ma cos 20◦ non e costruibilecon riga e compasso, e da cio discende l’impossibilita di trisecare l’angolo.

La duplicazione del cubo

Duplicare un cubo di lato l1 significa costruire un cubo di lato l2 che abbia volume doppio rispettoal cubo di partenza.

Per costruire il secondo cubo, ci serve sapere quanto misura il suo lato l2. Sappiamo che

2 V1 = V2

2 l31 = l32

l2 = 3√

2l1

Dunque per risolvere il problema basterebbe allungare l1 fino a farlo diventare 3√

2 volte se stesso.Ma 3

√2 e una radice cubica, quindi non e costruibile con riga e compasso. Da qui l’impossibilita

di duplicare un cubo.

90

19 Perche i solidi platonici sono solo 5?

Ecco cosa penso, piu o meno, Pitagora, la prima volta che si dedico allo studio dei solidi regolari.

’Voglio scrivere sulla sabbia l’elenco delle figure solide tridimensionali che abbiano tutte le lorofacce congruenti a un poligono regolare. Inoltre voglio che i solidi siano convessi e abbiano tuttigli angoloidi della stessa ampiezza. Li chiamero solidi regolari. Speriamo che questa spiaggiabasti a contenerli tutti!Per non fare confusione, procedero con ordine iniziando a chiedermi quanti solidi si possanocostruire usando solo dei triangoli equilateri, poi passero ai quadrati, ai pentagoni e cosı via.Partiamo con i triangoli equilateri. Ogni solido regolare formato da triangoli equilateri saracaratterizzato da un numero preciso di questi triangoli che si incontrano con le loro punte performare ciascun vertice del poligono. Affiancando due triangoli soli non si puo formare nessunvertice, solo un foglio sottile. Il numero minimo di facce che si devono incontrare per poterformare un vertice di un poliedro e tre. Proviamo allora ad affiancare tre triangoli equilateri.

Perfetto. Piegando questi tre triangoli che ho disegnato sul papiro in modo che un lato del primoe un lato dell’ultimo triangolo si tocchino tra di loro, posso ottenere un vertice del mio primosolido regolare! E poi e facile immaginare come posso completare questo vertice fino a ottenereun solido regolare, perche mi basta incollare un altro triangolo e otterro un... tetraedro!

Proviamo a vedere se dall’incontro di quattro triangoli equilateri puo nascere un vertice.

Ma certo, perche no! Questo vertice assomiglia un po’ alle gigantesche Piramidi che ho visto inEgitto... solo che quelle non sono solidi regolari, perche la base e un quadrato e non un triangolo.Poco male, al posto di quel quadrato ci attacco quattro nuovi triangoli piegati a formare unvertice uguale a quello che ho appena costruito, capovolto, e ottengo un... ottaedro!

Facciamo incontrare ora cinque di questi triangoli a formare un vertice.

Eccolo! Ne e venuto fuori un altro, un po’ meno appuntito dei primi due che ho ottenuto! Chesolido posso formare ora aggiungendo ancora triangoli equilateri? Un po’ di immaginazione e...[in realta ci vuole tanta immaginazione, ma Pitagora e Pitagora] ecco un icosaedro!

Ora e la volta di fare incontrare sei triangoli equilateri.Brutte notizie... non c’e verso di ricavare nemmeno un vertice poco appuntito da questi seitriangoli, perche messi insieme mi danno un piano. Avrei bisogno di almeno una fessurina tra ilprimo e l’ultimo triangolo che ho disegnato per poterli piegare a formare un vertice. Nemmenocon sette, otto, nove o numeri maggiori di triangoli viene fuori un poliedro, perche affiancandosette triangoli, questi addirittura si sovrappongono tra di loro!

91

L’unica cosa che mi rimane da fare e cambiare poligono, ho gia trovato tutti i solidi regolari afaccia triangolare che esistano. Passiamo al quadrato.

Prendiamo tre quadrati, il numero minimo di poligoni che abbiano la possibilita di formare unvertice, affianchiamoli e pieghiamoli.

Che combinazione, ciascun quadrato viene ad essere perpendicolare agli altri due! Ho ottenutoun angoloide retto, che chiaramente posso completare con altri tre quadrati fino ad ottenere unesaedro, o come e meglio conosciuto, un cubo!Quattro o piu quadrati occupano tutto il piano, come nel caso dei sei triangoli, e non possoformare nessun vertice, e quindi nessun solido. E’ il turno dei pentagoni.

Perfetto, con tre pentagoni si forma un vertice. Se ne aggiungo altri nove, ottengo un dodecaedro,il mio quinto solido regolare.Quattro pentagoni non possono formare un vertice, perche il quarto si sovrappone al primo.Quindi c’e solo un solido con facce pentagonali. E che mi venga un colpo, non ne esiste nessunocon facce esagonali! Infatti partendo da tre esagoni affiancati, essi non possono formare un verticeperche coprono tutto il piano...

Forse gli ettagoni vanno bene? Neanche a parlarne, gia tre ettagoni si sovrappongono tra di loro!E non si possono fare incontrare per un vertice nemmeno tre ottagoni!

Novenagoni, decagoni... ci dev’essere qualche altro solido regolare! Macche, qualunque poligonocon piu di sei lati scelga, non riesco a formare nessun vertice. L’angolo di tutti questi poligonie troppo ampio perche se ne possano affiancare almeno tre senza che essi superino l’ampiezza diun angolo giro... Ho davvero finito. La spiaggia e rimasta praticamente vuota, ho scritto solocinque solidi regolari. Pensavo di trovarne di piu, mi ero portato via perfino il pranzo pensandodi metterci piu tempo... poco male, vediamo in agenda qual e il prossimo teorema che devodimostrare... ah! quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo... facile! Mi mettosubito al lavoro...’

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20 I primi 100 numeri di Fibonacci

1 : 12 : 13 : 24 : 35 : 56 : 87 : 138 : 219 : 3410 : 5511 : 8912 : 14413 : 23314 : 37715 : 61016 : 98717 : 159718 : 258419 : 418120 : 676521 : 1094622 : 1771123 : 2865724 : 4636825 : 7502526 : 12139327 : 19641828 : 31781129 : 51422930 : 83204031 : 134626932 : 217830933 : 352457834 : 570288735 : 922746536 : 1493035237 : 2415781738 : 3908816939 : 6324598640 : 10233415541 : 16558014142 : 26791429643 : 43349443744 : 70140873345 : 113490317046 : 183631190347 : 297121507348 : 480752697649 : 777874204950 : 12586269025

51 : 2036501107452 : 3295128009953 : 5331629117354 : 8626757127255 : 13958386244556 : 22585143371757 : 36543529616258 : 59128672987959 : 95672202604160 : 154800875592061 : 250473078196162 : 405273953788163 : 655747031984264 : 1061020985772365 : 1716768017756566 : 2777789003528867 : 4494557021285368 : 7272346024814169 : 11766903046099470 : 19039249070913571 : 30806152117012972 : 49845401187926473 : 80651553304939374 : 130496954492865775 : 211148507797805076 : 341645462290670777 : 552793970088475778 : 894439432379146479 : 1447233402467622180 : 2341672834846768581 : 3788906237314390682 : 6130579072161159183 : 9919485309475549784 : 16050064381636708885 : 25969549691112258586 : 42019614072748967387 : 67989163763861225888 : 110008777836610193189 : 177997941600471418990 : 288006719437081612091 : 466004661037553030992 : 754011380474634642993 : 1220016041512187673894 : 1974027421986822316795 : 3194043463499009990596 : 5168070885485832307297 : 8362114348984842297798 : 13530185234470674604999 : 218922995834555169026100 : 354224848179261915075

93

21 Φ a 2000 cifre dopo la virgola

Φ e un numero irrazionale, ovvero• Non puo essere scritto sotto forma di frazione a

b con a e b interi.

• Ha una sequenza infinita e non periodica di cifre decimali dopo la virgola.

Si puo calcolare l’espansione decimale di Φ

• calcolando il valore dell’espressione 1+√

52

• calcolando il rapporto tra numeri di Fibonacci successivi sempre piu alti, ma calcolarenumeri di Fibonacci alti e un procedimento lento

• calcolando il valore della frazione continua 11+ 1

1+ 11+...

, ma abbiamo visto che questa frazione

converge lentamente a Φ.

E’ quindi sul calcolo delle cifre decimali di√

5 che si basa il calcolo delle cifre di Φ. Piu dellapotenza del computer, e l’efficienza del metodo con cui si esegue il calcolo che puo ridurre i tempidi calcolo da ere geologiche (sic!) a millesimi di secondo.Nel 2000 bastavano solo 3 ore di tempo ed un computer di 700 Mhz e 512 Megabyte di RAM percalcolare oltre un miliardo e mezzo di cifre di Φ.I primi 17 miliardi di cifre sono stati calcolati da Alexis Irlande in 30 ore e salvati in un file di8 Gb (2 byte a cifra) il 29 febbraio 2008, su un computer Pentium dual core 64 bits da 3 GHz,utilizzando un programma scritto in linguaggio C per il calcolo di

√5, su sistema operativo Linux

Ubuntu 7.10. I precedenti record erano:

1998 : 10 000 000 cifre, Simon Plouffe

2000 : 1 500 000 000 cifre, Xavier Gourdon and Pascal Sebah

2002 : 3 141 000 000 cifre, Xavier Gourdon and Pascal Sebah

2007 : 10 000 000 000 cifre, Alexis Irlande

Il vostro numero di telefono compare completo di prefisso con buona probabilita tra i primi 17miliardi di cifre di Φ (nei primi 17 miliardi di cifre e contenuto l’81,73% di tutte le possibilicombinazioni di 10 cifre).Se fate a meno del prefisso, allora vi basta cercare tra le prime 162.818.631 cifre.Le prime 22 cifre contengono tutte le cifre da 0 a 9.Le prime 769 cifre contengono tutte le possibili sequenze di 2 cifre.Le prime 5.818 cifre contengono tutte le possibili sequenze di 3 cifre.Le prime 93.909 cifre contengono tutte le possibili sequenze di 4 cifre.Le prime 1.154.765 cifre contengono tutte le possibili sequenze di 5 cifre.Le prime 13.192.646 cifre contengono tutte le possibili sequenze di 6 cifre.Le prime 162.818.631 cifre contengono tutte le possibili sequenze di 7 cifre.Le prime 2.034.381.854 cifre contengono tutte le possibili sequenze di 8 cifre.La data del mio compleanno, 31/12/87, si trova alla posizione 53.231.Se Φ contiene tutte le possibili sequenze di cifre, si dice che e un numero universale.

Il numero di volte che compaiono le cifre da 0 a 9 nei primi 17 miliardi di cifre decimali di Φ emolto uniforme:0 : 1 700 032 8201 : 1 699 962 9672 : 1 699 965 9303 : 1 700 009 4334 : 1 699 996 976

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5 : 1 700 000 3056 : 1 700 011 2607 : 1 700 026 3138 : 1 700 025 7209 : 1 699 968 276 totale : 17 000 000 000Se le cifre compaiono con la stessa frequenza nell’espansione decimale di Φ, si dice che e unnumero normale.

L’attuale (settembre 2008) record di cifre di Φ calcolate al computer e di cento miliardi.

Ecco l’elenco delle prime 2000 cifre decimali di Φ: 1,...

61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 5028621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 10084754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 6076672635 44333 89086 59593 95829 05638 32266 13199 28290 26788 20006752 08766 89250 17116 96207 03222 10432 16269 54862 6296313614 43814 97587 01220 34080 58879 54454 74924 61856 95364 30086444 92410 44320 77134 49470 49565 84678 85098 74339 4422125448 77066 47809 15884 60749 98871 24007 65217 05751 79788 40034166 25624 94075 89069 70400 02812 10427 62177 11177 7805315317 14101 17046 66599 14669 79873 17613 56006 70874 80710 500

13179 52368 94275 21948 43530 56783 00228 78569 97829 7783478458 78228 91109 76250 03026 96156 17002 50464 33824 3776486102 83831 26833 03724 29267 52631 16533 92473 16711 1211588186 38513 31620 38400 52221 65791 28667 52946 54906 8113171599 34323 59734 94985 09040 94762 13222 98101 72610 7059611645 62990 98162 90555 20852 47903 52406 02017 27997 4717534277 75927 78625 61943 20827 50513 12181 56285 51222 4809394712 34145 17022 37358 05772 78616 00868 83829 52304 5926478780 17889 92199 02707 76903 89532 19681 98615 14378 0314997411 06926 08867 42962 26757 56052 31727 77520 35361 39362 1000

10767 38937 64556 06060 59216 58946 67595 51900 40055 5908950229 53094 23124 82355 21221 24154 44006 47034 05657 3479766397 23949 49946 58457 88730 39623 09037 50339 93856 2102423690 25138 68041 45779 95698 12244 57471 78034 17312 6453220416 39723 21340 44449 48730 23154 17676 89375 21030 6873788034 41700 93954 40962 79558 98678 72320 95124 26893 5573097045 09595 68440 17555 19881 92180 20640 52905 51893 4947592600 73485 22821 01088 19464 45442 22318 89131 92946 8962200230 14437 70269 92300 78030 85261 18075 45192 88770 5021096842 49362 71359 25187 60777 88466 58361 50238 91349 33331

22310 53392 32136 24319 26372 89106 70503 39928 22652 6355620902 97986 42472 75977 25655 08615 48754 35748 26471 8141451270 00602 38901 62077 73224 49943 53088 99909 50168 0328112194 32048 19643 87675 86331 47985 71911 39781 53978 0747615077 22117 50826 94586 39320 45652 09896 98555 67814 1069683728 84058 74610 33781 05444 39094 36835 83581 38113 1168993855 57697 54841 49144 53415 09129 54070 05019 47754 8616307542 26417 29394 68036 73198 05861 83391 83285 99130 3960720144 55950 44977 92120 76124 78564 59161 60837 05949 8786006970 18940 98864 00764 43617 09334 17270 91914 33650 13715 2000

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22 La potenza di Φ

Sappiamo che

Φ−1 =1Φ

= 0, 618033989... = Φ− 1

Φ = 1, 618033989...

Φ2 = 2, 618033989... = Φ + 1

Φ e un numero cosı strano che potremmo aspettarci che anche le sue potenze combinino qualcosadi inaspettato. Calcoliamone un po’, moltiplicando entrambi i membri della [3] per Φ:

Φ2 = Φ + 1 [3]

Φ3 = Φ2 + Φ

Φ4 = Φ3 + Φ2

...

Φn = Φn−1 + Φn−2

Ricorda la definizione per ricorrenza della sequenza di Fibonacci. Ogni potenza di Φ e uguale allasomma delle due potenze precedenti. Infatti la sequenza delle potenze di Φ (che battezzeremoamichevolmente ’serie di Φbonacci’ per non confonderci con quella di Fibonacci)

1 Φ Φ2 Φ3 Φ4 Φ5 Φ6 ...

puo essere vista come una sequenza di Fibonacci che invece di iniziare con 1 e 1, inizia con 1 e Φ.

n 0 1 2 3 4 5 6Φn Φ0 Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 Φ5 Φ6

1 Φ Φ + 1 Φ2 + Φ Φ3 + Φ2 Φ4 + Φ3 Φ5 + Φ4

1 Φ Φ + 1 2Φ +1 3Φ +2 5Φ +3 8Φ +51 1,618033... 2,618033... 4,236068... 6,854102... 11,090170... 17,944272...

La particolarita di questa serie di Φbonacci e che e l’unica simil-serie di Fibonacci in cui ilrapporto tra due elementi consecutivi della sequenza non approssima Φ... ma e proprio Φ!Ricapitolando, tutte le simil-serie di Fibonacci con numeri interi si comportano come seriegeometriche di ragione Φ a lungo termine. Tra queste, la serie di Fibonacci d.o.p. e quellala cui ragione converge piu velocemente a Φ. Invece la serie di Φbonacci vista qui sopra, in cuigli elementi possono anche essere numeri reali, e una serie geometrica di ragione Φ.

Un’altra bella stranezza di questa sequenza e che i suoi elementi diventano numeri sempre piuinteri. Ad esempio, Φ20 = 15126, 999933, Φ21 = 24476, 000040, Φ22 = 39602, 9999748... Ilmotivo di questo comportamento si puo spiegare osservando meglio la penultima riga della tabellaprecedente.

n 0 1 2 3 4 5 6Φn Φ0 Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 Φ5 Φ6

1 Φ Φ + 1 2Φ +1 3Φ +2 5Φ +3 8Φ +5

In questa riga e evidenziata la ricorrenza della serie: ogni elemento della sequenza e rappresentatocome somma dei due elementi precedenti. A parte il fatto che i coefficienti di quest’ultimariga sono tutti numeri di Fibonacci (e vabbe, ormai ci siamo abituati a vederli saltar fuoridappertutto), si vede che piu lontano si va con la sequenza, piu Φ viene moltiplicato per un

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numero di Fibonacci alto. Il risultato di questa moltiplicazione ci da un numero sempre piuintero, perche

fn

fn−1≈ Φ ⇒ fn−1 · Φ ≈ fn

La moltiplicazione di Φ per un numero di Fibonacci ci da (quasi) un numero di Fibonacci, chein particolare e un numero intero. Quindi tutti quei 3Φ +2, 8Φ +5, 34Φ+21 sono somma di unnumero quasi intero (34 ·Φ) piu un numero intero (21).Allora potenze molto elevate di Φ sono numeri quasi interi.

Se cerchiamo, allo stesso modo di prima, di calcolare le potenze negative di Φ (dividendo entrambii membri di [4] per Φ:

1Φ

= Φ− 1 [4]

1Φ2

= 1− 1Φ

1Φ3

=1Φ− 1

Φ2

...

1Φn

=1

Φn−2− 1

Φn−1

OvveroΦ−n = Φ2−n − Φ1−n

E cosı ad esempio Φ−2 = Φ0 − Φ−1 = 1− (Φ− 1) = 2− Φ.Cerchiamo una rappresentazione di questo tipo per tutte le potenze negative di Φ, come avevamofatto per quelle positive. Anche questa volta come coefficienti spuntano fuori numeri di Fibonacci:

n 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6Φn Φ0 1

Φ1

Φ21

Φ31

Φ41

Φ51

Φ6

1 Φ -1 Φ0 − Φ−1 Φ−1 − Φ−2 Φ−2 − Φ−3 Φ−3 − Φ−4 Φ−4 − Φ−5

1 Φ -1 2− Φ 2Φ− 3 5− 3Φ 5Φ− 8 13− 8Φ1 0,618033... 0,381966... 0,236067... 0,145898... 0,090169... 0,055728...

Come accade per tutte le potenze, questa successione di potenze negative di Φ tende a 0 manmano che l’esponente tende a −∞.

Figura 89: I punti neri sono i punti della curva ad ascissa intera. Per x → +∞ questi puntiavranno ordinate sempre piu intere.

97

Le potenze di Φ e Fibonacci

Osservando meglio queste due tabelle

n 0 1 2 3 4 5 6Φn Φ0 Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 Φ5 Φ6

1 Φ Φ + 1 2Φ +1 3Φ +2 5Φ +3 8Φ +5

n 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6Φn Φ0 1

Φ1

Φ21

Φ31

Φ41

Φ51

Φ6

1 Φ -1 2− Φ 2Φ− 3 5− 3Φ 5Φ− 8 13− 8Φ

si puo ricavare una formula che lega i numeri di Fibonacci alla rappresentazione della n-esimapotenza di Φ.

• Per esponente positivo:Φn = fnΦ + fn−1 [23]

• Per esponente negativo dispari:

Φ−n = fnΦ− fn+1 [23a]

• Per esponente negativo pari:

Φ−n = fn+1 − fnΦ [23b]

Notiamo che

• Se n e pariΦn + Φ−n = (fnΦ + fn−1) + (fn+1 − fnΦ) = fn−1 + fn+1

e intero

• Se n e dispari

Φn − Φ−n = (fnΦ + fn−1)− (fnΦ− fn+1) = fn−1 + fn+1

e intero

Disponiamo in una tabella queste somme, e a seconda che n sia pari o dispari, calcoliamone ilrisultato.

n 0 1 2 3 4 5 6Φn+ 1+ Φ + 1 + 3Φ +2 + 8Φ +5 ++Φ−n +1 +2− Φ +5− 3Φ +13− 8ΦΦn− Φ- 2Φ +1- 5Φ +3--Φ−n -(Φ -1) -(2Φ− 3) -(5Φ− 8)

Risultato 2 1 3 4 7 11 18

La sequenza di numeri

2 1 3 4 7 11 18 ...

e un’altra simil-serie di Fibonacci che inizia con 2 e 1. Prende il nome di Serie di Lucas.

98

23 Formula per l’n-esimo numero di Fibonacci

Calcolare il 100◦ numero di Fibonacci puo essere un procedimento lunghissimo e anche moltonoioso, se si usa la formula per ricorrenza

fn = fn−1 + fn−2

perche prima dobbiamo calcolare tutti i 99 elementi che precedono f100 nella sequenza. Non eun lavoro da poco. Anche i computer richiedono parecchio tempo quando si tratta di calcolareun numero di Fibonacci abbastanza alto.Ma non abbandonate le speranze, possiamo calcolare in un altro modo f100. Per nostra fortunainfatti qualcuno nel passato ha scoperto una formula che ci da l’n-esimo numero di Fibonaccisenza dover per forza calcolare gli n−1 termini che lo precedono. Anzi, le formule sono addiritturadue, il vostro unico problema sara l’imbarazzo della scelta.

Formula approssimata per l’n-esimo numero di Fibonacci

fn ≈ Φn

√5

[24]

Semplicissimo. Calcolate l’n-esima potenza di Φ, dividete per√

5 e il risultato che otterrete saraun numero con la virgola molto vicino al vostro numero di Fibonacci. Tanto piu vicino, tanto piuil numero di Fibonacci che cercate e grande, il che a noi va benissimo perche i primi 10 numeridella sequenza ormai li sappiamo a memoria. Ad esempio, secondo la formula

f15 ≈ Φ15

√5

= 609, 999...

e infatti, il sedicesimo numero di Fibonacci e 610!!! Alla faccia di f14, f13, f12 ecc.Vediamo com’e che funziona questa formula. Partiamo dalla relazione [23],

Φn = fn · Φ + fn−1

Poiche per n abbastanza grande fn

fn−1≈ Φ, si ha che fn−1 ≈ fn

Φ . Sostituendo, otteniamo

Φn ≈ fn · Φ +fn

Φ

Φn ≈ fn(Φ +1Φ

)

Φn ≈ fn(Φ +1Φ

) ⇒ fn ≈ Φn

(Φ + 1Φ )

Abbiamo quasi ottenuto la [24], ci rimane solo da dimostrare che (Φ + 1Φ ) =

√5.

Φ +1Φ

=1 +

√5

2+

21 +

√5

=

=(1 +

√5)2 + 4

2(1 +√

5)=

=1 + 2

√5 + 5 + 4

2(1 +√

5)=

=10 + 2

√5

2(1 +√

5)=

99

=5 +

√5

1 +√

5=

=√

5(√

5 + 1)1 +

√5

=√

5

Da cui

fn ≈ Φn

√5

Come dovevasi dimostrare!

Formula esatta per l’n-esimo numero di Fibonacci

Se non vi piacciono i compromessi, ed esigete che la vostra formula vi dia il numero di Fibonacci,senza virgole o decimali in difetto o in eccesso, la formula di Binet fa per voi.

fn =1√5

[(1 +√

52

)n

−(1−√5

2

)n][25]

Se provate con una calcolatrice, fn e piu laborioso da ottenere rispetto alla formula precedente(dovete schiacciare piu tasti), ma almeno il numero che calcolerete e con certezza il vero numerodi Fibonacci. Sembra un miracolo che una formula con cosı tante radici, frazioni e potenze possafornire un numero intero secco secco, eppure e cosı. Ad esempio

f15 =1√5

[(1 +√

52

)15

−(1−√5

2

)15]= 610

Potremmo considerare questa formula quasi come una revisione della formula approssimata, vistaprecedentemente. Infatti si puo riscrivere cosı:

fn =1√5

[(1 +√

52

)n

−(1−√5

2

)n]=

1√5

[Φn −

(1−√52

)n]=

=Φn

√5− 1√

5·(1−√5

2

)n

Ovvero la formula nuova si ottiene dalla formula vecchia, ’corretta’ con quel minuscolo addendo− 1√

5·(

1−√52

)n

che assume valori sempre piu piccoli all’aumentare di n. Questo addendo e quelnumero (molto vicino a 0) che sommato al risultato approssimato della formula vecchia lo rendeintero. Ad esempio

f15 =Φ15

√5

− 1√5·(1−√5

2

)15

= 609, 999...− (−0, 00032...) = 610

Dimostrazione (e noiosa, solo per i piu pignoli! ):

Dalla [23a] e dalla [23b] si ha che

• Per esponente negativo dispari: Per n positivo dispari:

Φ−n = fnΦ− fn+1 [23a] ⇒( 1

Φ

)n

= fnΦ− fn+1

• Per esponente negativo pari: Per n positivo pari:

Φ−n = fn+1 − fnΦ [23b] ⇒( 1

Φ

)n

= fn+1 − fnΦ

100

Nel caso di n dispari, raccogliamo un meno al secondo membro. Inoltre, nel caso n pari, poichel’esponente n di 1

Φ

n e pari, non cambia il risultato della potenza scambiare 1Φ con − 1

Φ :

• Per n positivo dispari: ( 1Φ

)n

= −(fn+1 − fnΦ) [23c]

• Per n positivo pari: (− 1

Φ

)n

= fn+1 − fnΦ [23d]

A questo punto ci si puo accorgere che la [23d] comprende anche la [23c], il caso n dispari (infatticambiando segno ad entrambi i membri della [23c], si ottiene la [23d] perche quando n e dispari

le potenze conservano il segno della base e quindi al primo membro −(

1Φ

)n

diventa(− 1

Φ

)n

).

Dunque da ora in poi, che n sia pari o dispari, ci concentreremo solo sulla [23d].

• Per n positivo (pari e dispari):

(− 1

Φ

)n

= fn+1 − fnΦ [23d]

Modifichiamo un’ultima volta la [23d] sostituendo Φ = 1Φ + 1 (dalla [4]: 1

Φ = Φ− 1):

(− 1

Φ

)n

= fn+1 − fn

( 1Φ

+ 1)

⇒(− 1

Φ

)n

= fn+1 − fn · 1Φ− fn

Ma poiche fn+1 = fn−1 + fn, si ha che fn+1 − fn = fn−1

(− 1

Φ

)n

= fn−1 − fn · 1Φ

[26]

Per la dimostrazione faremo uso della [23] e della [26]:

Φn = fn · Φ + fn−1 [23]

(− 1

Φ

)n

= fn−1 − fn · 1Φ

[26]

Sottraendole membro a membro

Φn −(− 1

Φ

)n

= fn

(Φ +

1Φ

)

Abbiamo gia dimostrato nel paragrafo precedente che(Φ + 1

Φ

)=√

5. Dunque

Φn −(− 1

Φ

)n

=√

5fn

fn =1√5

[Φn −

(− 1

Φ

)n]

fn =1√5

[(1 +√

52

)n

−(− (Φ− 1)

)n]

fn =1√5

[(1 +√

52

)n

−(1−√5

2

)n]

Come dovevasi dimostrare!

101

24 I tappeti magici

Un tappeto quadrato di lato 13 X 13 puo essere opportunamente tagliato e ricucito in modo daottenere un tappeto rettangolare di misure 8 X 21.Com’e possibile, dal momento che 13 X 13 = 169 ma 8 X 21 = 168?

Figura 90: Il tappeto tagliato (area=169).

Tagliamo il tappeto come in Figura 90, e poi ricuciamolo come in Figura 91.

Figura 91: Il tappeto ricucito (area=168).

Il nostro tappeto ha perso un’unita di area! Cos’e successo?

Se provate a disegnare il quadrato su un foglio molto grande in carta millimetrata, e dopo averlotagliato provate a ricucirlo, vi accorgerete che in realta i triangoli ADC e AEC che compongonoil rettangolo si sovrappongono leggermente lungo le loro ipotenuse. In particolare, la diagonaledel rettangolo non e una linea retta perche i tre punti A, B e C non sono allineati! Il trucco sta

102

nell’avere scelto delle misure che rendano i triangoli BFC e AEC quasi simili tra di loro.

EC

AE=

218

= 2, 625 ≈ Φ2 FC

BF=

135

= 2, 6 ≈ Φ2

Il rapporto tra i cateti di questi due triangoli e molto simile, e cio fa sembrare allineati i puntiA, B e C. Ma i punti sarebbero allineati solo se i rapporti tra i cateti fossero esattamente ugualitra loro!(Sono stati scelti numeri di Fibonacci per misure dei lati dei triangoli perche se e vero che ilrapporto tra un numero di Fibonacci e il precedente approssima Φ, allora vale anche che ilrapporto tra un numero di Fibonacci e due precedenti, come 21 e 8, o 13 e 5, approssima beneΦ2: fn

fn−1≈ Φ e fn−1

fn−2≈ Φ implica che fn

fn−2= fn

fn−1· fn−1

fn−2≈ Φ2 ).

Si possono fare altri esempi con misure diverse di tappeti quadrati che, diventando rettangolari,acquistano o perdono un’unita di area. Cio e dovuto al fatto che, all’interno della sequenza diFibonacci, qualsiasi numero della successione elevato al quadrato e uguale al prodotto dei duenumeri ad esso adiacenti, piu o meno uno (si dimostra per induzione...).

f2n = (fn−1 · fn+1)± 1 [27]

Ad esempio 212 = 13 · 34 − 1, oppure 52 = 3 · 8 + 1. Il primo membro dell’equazione da l’areadel tappeto quadrato, il secondo membro da l’area del tappeto rettangolare (come nel nostroesempio, 132 = 8 · 21 + 1).

103

25 Elenco delle formule usate

[1 ] L : g = g : (L− g) pag. 6

[2 ] Φ2 − Φ− 1 = 0 pag. 8

[3 ] Φ2 = Φ + 1 pag. 8

[4 ] 1Φ

= Φ− 1 pag. 9

[5 ] x = a0 + 1a1+ 1

a2+ 1

a3+ 1...

pag. 10

[6 ]√

2 = 1 + 11+√

2pag. 11

[7 ] Φ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1...

pag. 11

[8 ] Φ =

√√√√1 +

√1 +

√1 +

√1 +

√... pag. 12

[9 ] fn = fn−1 + fn−2 pag. 15

[10 ] limn→+∞fn

fn−1= Φ pag. 20

[11 ] base del rettangolo aureoaltezza del rettangolo aureo

= Φ pag. 27

[11a ] gL−g

= Φ pag. 29

[11b ] L+gL

= Φ pag. 29

[12 ] AB : BC = AE : EF pag. 33

[13 ] n1

n2≈ Φ ⇒ n1 = Φn2 pag. 36

[14 ] AB =√

BM2 + AM2 pag. 38

[15 ] r = bθ pag. 41

[16 ] r = b θ pag. 43

[17 ] lato obliquo del triangolo aureobase del triangolo aureo

= Φ pag. 45

[18 ] diagonale del pentagonolato del pentagono

= Φ pag. 51

[19 ] base dello gnomonelato obliquo dello gnomone

= Φ pag. 52

[20 ] raggio circoscritto deldecagonolato del decagono

= Φ pag. 53

[21 ] Φ = 50.5 × 0.5 + 0.5 pag. 84

104

[22 ] Φ =

√5+√

55−√5

pag. 84

[23 ] Φn = fnΦ + fn−1 per esponente positivo pag. 98

[23a ] Φ−n = fnΦ− fn+1 per esponente negativo dispari pag. 98

[23b ] Φ−n = fn+1 − fnΦ per esponente negativo pari pag. 98

[23c ](

1Φ

)n= −(fn+1 − fnΦ) per n positivo dispari pag. 101

[23d ](− 1

Φ

)n= fn+1 − fnΦ per n positivo pari e dispari pag. 101

[24 ] fn ≈ Φn√5

pag. 99

[25 ] fn = 1√5

[(1+√

52

)n −(

1−√52

)n]pag. 100

[26 ](− 1

Φ

)n= fn−1 − fn · 1

Φpag. 101

[27 ] f 2n = (fn−1 · fn+1)± 1 pag. 103

105

BIBLIOGRAFIA

• La Sezione Aurea - Mario Livio - Rizzoli / BUR, 2003

• Divertirsi con la Matematica - Peter M. Higgins - Edizioni Dedalo, 1999

• Il Mago dei Numeri - Hans M. Enzensberger - Einaudi, 1997

• L’Uomo che Amava Solo i Numeri - Paul Hoffman - Mondadori, 1999

• Enigmi e Giochi Matematici - Martin Gardner - Rizzoli / BUR, 2007

• Storia della Matematica - Carl B. Boyer - Mondadori, 1990

• L’Ultimo Teorema di Fermat - Simon Singh - Rizzoli / BUR, 2004

• Insalate di Matematica - Robert Ghattas - Sironi Editore, 2004

Sono inoltre stati utilizzate numerose pagine web, tra cui:

• http://wikipedia.org/

• http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

• http://www.sectioaurea.com/

• http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

• http://www.mathsisfun.com/numbers/nature-golden-ratio-fibonacci.html

• http://goldennumber.net/

• http://maven.smith.edu/ phyllo/

• http://demonstrations.wolfram.com/PhyllotaxisSpirals/

• http://www.magiadeinumeri.it/Sezione aurea.htm

• http://www.goldenmeangauge.co.uk/

• http://www.popmath.org.uk/rpamaths/rpampages/sunflower.html

• http://www.branta.connectfree.co.uk/fibonacci.htm

106

INDICE

INTRODUZIONE 1

LA SEZIONE AUREA IN ALGEBRA 3

1 La parte aurea 5

2 La sezione aurea 8

3 La sequenza di Fibonacci 15

LA SEZIONE AUREA IN GEOMETRIA 23

4 La parte aurea 25

5 Il rettangolo aureo 27

6 La spirale logaritmica 39

7 Il triangolo aureo 45

8 Il pentagono 50

LA SEZIONE AUREA IN NATURA 55

9 La fillotassi 57

10 I numeri di Fibonacci in natura 65

11 Spirali logaritmiche in natura 68

12 La sezione aurea nell’arte 71

13 Φ-mania 78

APPENDICI 81

14 Dimostrazione che√

5 e un numero irrazionale 83

15 Il numero 5 e Φ 84

16 Il triangolo di Tartaglia e il calcolo combinatorio 85

17 Il triangolo di Sierpinski 87

18 Costruzioni con riga e compasso 88

19 Perche i solidi platonici sono solo 5? 91

20 I primi 100 numeri di Fibonacci 93

107

21 Φ a 2000 cifre dopo la virgola 94

22 La potenza di Φ 96

23 Formula per l’n-esimo numero di Fibonacci 99

24 I tappeti magici 102

25 Elenco delle formule usate 104

BIBLIOGRAFIA 106

INDICE 107

108