Upload
dangnga
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Capitolo 1
Introduzione: la nascita della
geometria
Così come il concetto di numero e di calcolo vengono sviluppati molto prima
dell'inizio delle grandi civiltà, allo stesso modo è possibile individuare i primi
accenni di interesse per la geomteria nell'epoca preistorica. I primi storici
a parlare delle origini della geometria furono Erodoto (storico greco del V
secolo a.C.) ed Aristotele (�losofo greco del IV secolo a.C), entrambi attri-
buivano la nascita della geometria alla civiltà egizia, ma con ipetsi piuttosto
diverse: Erodoto attribuiva la nascita della geometria al bisogno pratico di
tracciare i con�ni delle terre dei contadini che venivano periodicamente can-
cellate dalle inondazioni del Nilo, Aristotele invece riteneva che la geometria
fosse nata in Egitto grazie alla presenza di una classe di sacerdoti agiati, che
avevano dunque tempo di dedicarsi a problemi astratti come la geometria.
Queste due ipotesi risultano al giorno d'oggi mal fondate e gli storici
sono più propensi a datare le origini dei concetti geometrici ben prima della
civiltà egizia, ad un momento in cui non era consuetudine misurare i con�ni
delle terre, nè, tanto meno, esistevano classi agiate che potevano concedersi
il lusso di pensare a concetti astratti.
D'altra parte queste due tesi richiamano molto le moderne ipotesi circa il
primo evolversi della geometria: gli storici sono infatti inclini a pensare che,
oltre che ad un motivo pratico (costruzione di cesti intrecciando rami), l'uo-
mo abbia sviluppato i primi concetti di geometria per un senso di bellezza
1
2CAPITOLO 1. INTRODUZIONE: LA NASCITA DELLA GEOMETRIA
Figura 1.1: Stonehenge: data la forma e la posizione si ritiene fosse un
osservatorio astronomico, ma data la presenza di un altare si ritiene fosse
legato a pratiche di tipo religioso. Particolarmente interessante dal nostro
punto di vista è la forte simmetria delle costruzione.
puramente estetico (vedi le decorazioni geometriche nei vasi). Un'altra ipo-
tesi è che la prima geometria sia fortemente legata al culto religioso, ipotesi
avallata dalla presenza di costruzioni a scopo di culto dalla forma spiccata-
mente geometrica (stonehenge, linee di nazca) e dal fatto che spesso la classe
sacerdotale fosse in qualche modo legata alla geometria (i tenditori di corde
in Egitto erano sia gli addetti alla misurazione della terra, sia i sacerdoti
che costruivano i templi, il primo trattato di geometia indiano si trova in
appendice ad un libro di culto).
Figura 1.2: Scimmia incisa nel deserto di Nazca, nel Perù meridionale
3
(a) Scimmia (b) Ragno
Figura 1.3: schema di due linee di Nazca: data la grandezza delle �gure
(sull'ordine delle centinaia di metri) queste �gure sono visibili solo a una
certa altezza, sono infatti state scoperte solo in tempi recenti sorvolando
la zona con un aeroplano. Per questo si ritiene che le �gure siano state
disegnate perchè fossero visibili solo dagli dei. Interessante per noi l'utilizzo
della similitudine (è improbabile che per disegnare tali �gure non siano partiti
da �gure più piccole).
Tutte queste ipotesi risultano verosimili e, ad oggi, la questione su cosa
abbia spinto l'uomo a sviluppare i primi concetti geometrici rimane una que-
stione aperta. Di certo comunque possiamo dire che l'uomo si è dimostrato
molto interessato a concetti quali similitudine, congruenza e simmetria ben
prima della nascita delle grandi civiltà.
Passiamo ora ad analizzare in che modo questi concetti sono stati svilup-
pati nelle diverse civiltà.
4CAPITOLO 1. INTRODUZIONE: LA NASCITA DELLA GEOMETRIA
Capitolo 2
La geometria nelle civiltà
antiche
2.1 Gli egizi
La maggiore fonte di informazione sulla geometria degli egizi si trova nel pa-
piro di Rhind, su cui troviamo risolti molti problemi riguardanti il calcolo di
aree e volumi con precisioni diverse. Tale papiro, conservato presso il British
Museum, rappresenta la fonte più estesa delle conoscenze matematiche della
civiltà egizia; scritto verso il 1650 a.C da uno scriba di nome Ahmes, che ci
informa che il contenuto è tratto da un esemplare composto tra il 2000 a.C.
e il 1800 a.C., è passato alla storia con il nome dell'antiquario scozzese che
lo comprò nel 1858.
Da tale fonte possiamo dire che gli egizi conoscevano con esattezza l'area
dei triangoli isosceli e rettangoli, che venivano ricondotte ad aree di ret-
tangoli con medesima altezza e metà base. In questi casi nella soluzione
del problema veniva anche accennata una giusti�cazione al calcolo, anche
se questo risulta ancora lontano dall'idea di dimostrazione. Un argomento
analogo viene portato nel calcolo dell'area del trapezio isoscele cha risulta
calcolata correttamente. E' da notare che tra i vari calcoli presenti sul pa-
piro sono mescolati risultati precisi con risultati approssimati: infatti per
trovare il l'area di un quadrilatero qualsiasi si moltiplicava la semisomma
dei lati opposti, metodo piuttosto impreciso. Tale mescolanza di precisione
5
6 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE
Figura 2.1: Equivalenza tra l'area del triangolo isoscele e l'area del rettangolo
con stessa altezza e metà base.
e di approssimazione è da attribuire al fatto che i problemi introdotti erano
sempre di utilità pratica, motivo per cui la precisione del risultato non era
particolarmente importante, dato che neppure gli strumenti utilizzati per la
misura avevano grande precisione.
Interessante risulta essere il modo in cui viene ricavata una formula per
calcolare il volume di un tronco di piramide a base quadrata: i calcoli ese-
guiti risultano infatti gli stessi che faremmo noi oggi con le nostre formule.
L'ipotesi più accreditata è che il solido sia stato scomposto in �gure di volu-
me noto (parallelepipedi, piramidi), per poi essere sommate nuovamente. Si
ritiene quindi che gli egizi facessero buon uso del principio di congruenza ed
equivalenza dei solidi per calcolare volumi anche complessi.
Figura 2.2: Possibile scomposizione del traonco di piramide.
Un altro aspetto interessante della geometria nelle civiltà antiche è il
2.1. GLI EGIZI 7
rapporto con il π. Nel papiro di Rhind troviamo testimonianza di come
venisse calcolata l'area di un cerchio: i passanggi conducono ad una formula
del tipo
A = d2(8/9)2
con A area e d diametro del cerchio. Tale formula ci fornisce la loro appros-
simazione di π che risulta essere π = 3, 16 circa, risultato piuttosto buono
considerando gli strumenti di misurazione dell'epoca e la generale poca pre-
cisione delle formule. Sembra che tale approssimazione derivi dal confronto
tra l'area di un cerchio e l'area di un ottagono inscritti nello stesso quadrato.
(a) Confronto area del cerchio con l'area
dell'ottagono
(b) calcolo area ottagono
L'autore avrebbe infatti stimato che le parti di cerchio che eccedevano
dall'ottagono erano pressapoco equivalenti alle parti dell'ottagono che ecce-
devano dal cerchio. In base a questo aveva ricondotto il calcolo dell'area
del cerchio al calcolo di tale ottagono. A questo punto, per calcolare l'area
dell'ottagono, si suppone che abbia diviso ogni lato del quadrato in 9 parti
e che abbia contato i quadratini che componevano la �gura: questi risultano
essere 63. Da quì, dato che 63 ∼ 64 = 82, riordinando i quadratini, possiamo
ottenere una �gura come questa, che giusti�ca la formula usata.
8 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE
Figura 2.3: Possibile riordinamento dei quadratini formanti l'area
dell'ottagono.
2.2 I babilonesi
Per quanto riguarda la matematica dei babilonesi, le fonti a cui facciamo
generalmente riferimento sono tavolette di argilla con iscrizioni a caratteri
cuneiformi. Le tavolette a contenuto matematico sono cisca 300. Alcune
risalgono al primo periodo sumerico (2100 a.C.), altre, un gruppo più ampio,
al periodo che va dall'era di Hammurabi (1700 a.C.) �no al 1500 a.C., ed
altre ancora risalgono ad un periodo più recente (600-300 a.C.). Le tavolette
a contenuto matematico possono essere ripartite in due grupi: le tabelle di
calcolo e i testi di problemi. Le prime avevano senza dubbio una funzione
pratica: sono infattti tavole di moltiplicazione e divisione nel sistema ses-
saggesimale, passaggi da un'unità di misura ad un'altra etc ... . I testi di
problemi sono elenchi di esercizi con o senza soluzione. Da osservare che
le soluzioni sono sempre legate ad un particolare caso, non ci sono mai nè
generalizzazioni, nè formule, nè teoremi.
La matematica dei babilonesi risulta molto legata al'algebra, in questo
modo anche la geometria sembra un semplice gioco di carattere algebrico,
risulta quindi sviluppata in modo molto diverso dalla geometria degli egizi
che si svilupò a partire da problemi pratici. I babilonesi conoscevano le
2.2. I BABILONESI 9
formuule per le aree dei triangoli isosceli e rettangoli, dei trapezi isosceli e
rettangoli ed in generale sapevano calcolare correttamente i volumi di trapezi
con base trapezi conosciuti. Nelle loro tavolette troviamo anche enunciate
alcune importanti proprietà geometriche: sapevano infatti che l'altezza dei
triangoli isosceli è anche mediana e bisettrice, che l'angolo inscritto in una
semicirconferenza è retto, conoscevano il teorema di Pitagora e utilizzavano
�uentemente il concetto di similitudine tra triangoli. Porto in particolare
l'esempio di un problema trovato in una tavoletta riguardante un problema di
similitudine. Il problema consiste nel trovare le lunghezze BD, AE, AD, DF
essendo note le misure dei lati del triangolo rettangolo AB = 45, AC = 60,
BC = 75 e l'area del triangolo ABD AABD = 486. Riportiamo i singoli
passaggi:
1) prendi il reciproco di 60 e moltiplicalo per 45: 160 4̇5 = 3
4
2) moltiplica questo per 2: 2 · 34 = 32
3) moltiplica questo per 486: 486 · 32 = 729
4)√729 = 27 = BD
Riscriviamo i passaggi cercandone il signi�cato:
1) 1AC ·AB = 3
4
2) 2 · ABAC = 3
2
3) 2 · ABAC ·AABD = 729
10 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE
L'area di ABD è data da 12 · (AB · AD) ma ABD è simile ad ABC quindi
ABAC = BD
AD per cui sostituendo in 3) abbiamo
2 · BDAD· 12BD ·AD = 729
e questo spiega l'ultimo passaggio:
√729 = BD.
E' interessante osservare che il procedimento di tale problema è iterabile per
trovare gli altri dati richiesti. Inoltre tale iterazione può procedere all'in�-
nito dato che è possibile costruire una successione in�nita di triangoli simili
(nel disegno sono visibili i primi). Probabilmente il problema è inventato o
fa parte di un esercizio per degli studenti, dato che risulta poco probabile
trovarsi a dover risolvere questo tipo di problema nella vita reale.
Per quanto riguarda la circonferenza, sembra che i babilonesi fossero so-
liti utilizzare un'approssimazione di π pari a 3. Tale approssimazione non
deve però essere presa come totale ignoranza (in alcuni scritti troviamo
π = 3, 125) ma semplice presa di coscienza che tale vaolre bastava per le
loro approssimazioni.
2.3 I cinesi
Per quanto riguarda i cinesi, il testo a cui più spesso si fa riferimento per la
cultura matematica è il Chui-chang suan-shu ovvero Nove capitoli sull'arte
matematica che riporta 246 problemi riguardanti tra l'altro l'agricoltura,
l'ingegneria, il calcolo e i triangoli rettangoli. Tale trattato risale al 250 a.C.
circa, ma non è ritenuto il più antico documento che riporti le conoscenze
matematiche di questa civiltà.
La matematica cinese primitiva risulta molto diversa da quella sviluppata
in periodi analoghi in altre parti del mondo, per questo motivo si ritiene che
si sia sviluppata in modo indipendente. Per quanto riguarda epoche meno
remote è più di�cile stabilire se ci furono in�ussi esterni.
Per quanto riguarda il calcolo del π troviamo che anticamente esso veniva
approssimato con 3, ma, a di�erenza dei babilonesi, si sviluppò un'intensa
ricerca per miglorare tale approssimazione. Quì infatti vennero trovati valori
2.3. I CINESI 11
come 3, 1547,√10 e 92
29 . Nel III secolo d.C. Liu Hui, importante commenta-
tore del Nove capitoli, calcolò la cifra 3, 14 utilizzando un poligono regolare di
96 lati e l'approssimazione 3,14159 con un poligono di 3072 lati. L'ossessione
dei cinesi per la determinazione del valore esatto di π reggiunse il suo apice
con Tsu Ch'ung-chih (seconda metà del V secolo d.C.) che calcolò 3, 1415927
come valore approssimato per eccesso e 3, 1415926 per difetto. Sembra però
che tale periza sia solo frutto di calcoli e non un'intuizione teorica. E' infati
possibile calcolare un'approssimazione buona quanto si vuole con il solo teo-
rema di Pitagora, costruendo poligoni inscritti in una circonferenza con un
numero sempre maggiore di lati.
Figura 2.4: Conoscendo la lunghezza di un lato PQ=s di un poligono regolare
di n lati inscritto in un cerchio di raggio r, l'apotema OM= u si puo' ricavare
con il teorema di Pitagora applicato al triangolo omq, la sagitta MR =
v = r − u diventa quindi calcolabile. Il lato RQ = w del poligono regolare
inscritto di 2n lati viene calcolato usando nuovamente il teorema di Pitagora
sul triangolo rettangolo MQR. Tutto il procedimento puo' essere sempli�cato
con la formula w2 = 2rv.
Per quanto riguarda il calcolo dell'area e dei volumi non c'è molto da
dire, i cinesi sapevano calcolare aree di tringoli, rettangoli e trapezi e volumi
di prismi, piramidi e coni. Da notare che anche negli scritti cinesi troviamo
spesso metodi corretti e approssimazioni senza alcuna distinzione.
Particolare attenzione merita invece il teorema di Pitagora, di cui abbia-
mo enunciato e dimostrazione geometrica nel libro piú antico, il Chou Pei
12 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE
Suan Ching. Riportiamo le parole dal testo originale:
�Dividiamo un rettangolo (diagonalmente) e poniamo che la lar-
ghezza sia di 3 unitá e la lunghezza di 4 unitá. La diagonale tra
i due angoli risulterá quindi di 5 unitá. Ora, dopo aver disegnato
un quadrato su questa diagonale, circoscriviamolo con mezzi ret-
tangoli come quello che é rimasto fuori in modo da formare una
tabella quadrata. I quattro mezzi rettangoli esterni che misura-
no 3 unitá di larghezza, 4 di lunghezza e 5 di diagonale, formano
in tal modo insieme due rettangoli di area 24; quindi (quando
questa viene sottratta dalla tabella quadrata di area 49) il rima-
nente ha un'area di 25 unitá. Questo procedimento viene detto
raggruppare rettangoli.�
La di�erenza tra dimostrazione euclidea e cinese é che per la dimostrazio-
ne euclidea é necessaria una notevole conoscenza delle proprietá geometriche
relative ad aree e triangoli identici. La dimostrazione cinese invece permette
che il teorema sia compreso e applicato con una certa facilitá a molti pro-
blemi pratici. Come applicazioni al teorema di Pitagora troviamo un intero
capitolo, chiamato �Angoli retti�, nel Chiu Chang Suan Shu dedicato a vari
problemi concreti. Per esempio in questo capitolo compare il famoso pro-
blema della canna che cresce al centro di uno specchio d'acqua: la canna
sporge di un piede dalla super�cie dello specchio d'acqua che misura 10 pie-
di quadrati, quando viene tirata verso il bordo dello stagno s�ora appena la
super�cie. Partendo da questi dati si chiede la profonditá dello stagno. Vi
é inoltre il problema del bambú spezzato che forma un triangolo rettangolo
2.3. I CINESI 13
naturale. La canna di bambú alta 10 piedi la cui cima spezzata tocca il
terreno a 3 piedi dalla radice. Trovare l'altezza del punto in cui é spezzata.
14 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE
Bibliogra�a
[1] Boyer C. B. 'Storia della matematica'
[2] Giacardi L., Roero S. C. 'La matematica delle civiltà antiche'
[3] Relazioni 2010
[4] Informazioni ricavate in rete.
15