Introduzione: matematica classica ematematica moderna

M. Galuzzi

Milano, 2020

Storia della matematica: perche e come

Il titolo della slide riprende quello di un saggio di Andre Weildel 1980, ed e il modello espositivo che intendo adottare.1

Ovviamente ci sono anche molti altri modi di trattare la storiadella matematica.Per la storia della matematica nel piu generale contesto storicosi puo vedere ad esempio Suzuki (2009).O per il perdurare della tradizione legata ad un grande uomo(Pitagora) si puo vedere Ferguson (2011) (un po’ “divulgativo”,ma divertente).E ci sono naturalmente innumerevoli altri modi. Ma nel seguitosi cerchera di seguire il modello proposto da Andre Weil.

1Si puo vedere la traduzione in italiano in Weil (2002). Un’opera storicadi grande interesse e Weil (1993). Se si e interessati alle vicende umane diWeil si puo vedere Weil (1994); Weil e Weil (2018); Weil (2013).

Importanza dei classici

I In ogni insegnamento,- filosofico, letterario, musicale,scientifico, . . . ,- i classici hanno, e debbono avere, un ruolofondamentale.

I Questo e ancor piu vero per la matematica, per la qualeEuclide, Apollonio ed Archimede hanno posto alcunecaratteristiche essenziali.

I Il concetto di dimostrazione, e l’idea di un’esposizionesistematica dei contenuti di una disciplina partendo dapostulati, assiomi e procedendo in modo deduttivo apartire da essi, e dovuta sopra tutto agli Elementi diEuclide.

I Ancora oggi i primi elementi di geometria vengonoproposti, in genere, secondo il modello euclideo.2

2Le Grundlagen di Hilbert (una traduzione italiana in Hilbert (2009))sono un testo fondamentale che va ben oltre Euclide, ma, in genere, nonviene utilizzato per l’insegnamento.

Identita e differenza, 1

La matematica e il luogo per eccellenza delle “forme compiute”(Entwicklungsformen): risultati che, nel corso della storia,mantengono una fondamentale identita.Un primo esempio: l’irrazionalita di

√2.

√2 =

m

n⇒ m2 = 2n2.

Allora m e pari : m = 2p.

4p2 = 2n2 ⇒ 2p2 = n2.

Anche n e pari : Assurdo.

(1)

Nella formulazione di Aristotele: “i dispari diventino uguali aipari” (cf. (Aristotele, 2016, p. 532-533)).Oppure siamo di fronte ad un processo infinito...La sostanzarimane comunque la stessa (anche se solo con Gauss si ha ladimostrazione della fondamentale unicita della decomposizionein fattori primi.)

Identita e differenza, 2

Un secondo esempio: l’esistenza di infiniti numeri primi:La IX.20 degli Elementi (cf. (Euclide, 1970, p. 549-550)).

Per assurdo, siano solo A,B,Γ .

Si consideri A ·B · Γ + 1. Se e primo si ha un altro numeroprimo diverso da A,B,Γ .

Se non e primo e divisibile per un numero primo, adesempio A.

Ma se A divide A ·B · Γ + 1, poiche divide anche A ·B · Γdeve dividere l’unita. Assurdo.

Curiosita: Qual e la proprieta del numero 30031?

Aspetti caratteristici della matematica greca

Anche se siamo debitori nei confronti della matematica greca dimolti concetti ed in particolare dell’idea di dimostrazione visono anche aspetti che per noi hanno un ruolo importantementre hanno una presenza meno evidente nella matematicagreca.

I La simmetria in genere non viene ne evidenziata neutilizzata in modo diretto (per le dimostrazionimatematiche);

I vi sono pochi problemi di massimo e minimo ed hannouna forma molto particolare;3

I Il movimento ha un uso molto limitato;

I nella forma espositiva l’analisi, in genere, viene presuppostae viene esposta solamente la sintesi.

3Naturalmente un’eccezione rilevante e data dal libro V delle Coniche diApollonio. Si veda Apollonius de Perge (2008), ma si tratta di un contenutodi assai diffcile valutazione.

La simmetria (per noi)Nel contesto matematico

La figura seguente suggerisce qualcosa in riferimento al puntoC?

Se la figura e completata nel modo seguente ci sembra di avereprecisi suggerimenti in merito a C. Ad esempio ci sembra“evidente” che la tangente in C debba essere perpendicolare aCH. Ma e qualcosa di estraneo alla natura del pensieromatematico greco.4 (Il concetto di funzione “moderno” creaqueste “suggestioni”?)

4Almeno nel contesto strettamente dimostrativo. Per un significato“culturale” piu generale si puo vedere Dehn (1932).

La I.5 degli ElementiUn uso “contenuto” della simmetria5

Nel triangolo ABC si ha AB = AC. Euclide dimostra in modoun po’ involuto (“pons asinorum”) che B = C.

5Interessante il commento di Proclo. Si veda (Proclo, 1978, pp.209-2014). Si noti pero che siamo nel V sec. d.C.

La tangente al cerchio: III.16Non vi e alcun uso della simmetria per dimostrare che laperpendicolare ad OP e la tangente.

Invece: ∠OPQ e retto; se la perpendicolare passa per Q, poicheOP = OQ, deve essere anche ∠PQO retto. Assurdo.

Il movimento negli Elementi

Per dimostrare l’uguaglianza di due triangoli che hanno due latie l’angolo compreso uguali Euclide utilizza il movimento.Altrettanto accade per la I.8 e la III.24.6

Hilbert, per eliminare questi “residui” di movimento, assume idue assiomi III.4, III.5. Deduce cosı facilmente i criteri dieguaglianza per i triangoli.7

6In Mugler (1958), sub voce âφαρµìζειν si hanno questi riferimenti epoco altro.

7Cf. (Hilbert, 2009, pp.66-73).

Un problema di massimo: la III.7 degli Elementi

Tra tutti i possibili segmenti PQ il segmento PA e quello dilunghezza massima.

Nel triangolo POQ si ha PO +OQ > PQ. Ma OQ = OAQuindi PO +OQ = PA > PQ. Si noti che PA e dato.

Un altro problema di massimo: la VI.27 degli ElementiLa VI.27: Utilissima, per Simson. Il Menone?

Tra tutti i parallelogrammi applicati su AB che manchino diparallelogrammi simili a ΓBE∆ e similmente disposti rispettoad esso, quello su AΓ = 1

2AB e il piu grande.La “quantita” che corrisponde al massimo e data, non vienecalcolata. Ma: a partire da cio che e dato si dimostra che . . .[Invece (Playfair, 1826, p. 464) . . . considerable liberty. . . riduzione alla II.5]

Visibilita geometrica della VI.27, 1

I due parallelogrammi della figura a destra, indicati con B, C,hanno uguale estensione.

Visibilita geometrica della VI.27, 2

Il parallelogramma A+ C = AQPR, con HQSP = C, haestensione uguale allo gnomone. “Manca” un parallelogrammaper ottenere un parallelogramma uguale a quello su AH, lameta di AB.

La costruzione dell’ellisseLa VI.27 e collegata all’ellisse (e ne giustifica il nome).

[AB = a,AP = b, AX = x,XY = y, con XY in direzioneassegnata . . . ]

La II.5. Una retta divisa in parti uguali e disugualiPer noi da questa proposizione segue che il quadrato su AC e ilmassimo fra le “quantita” della forma AD ×DB con AD +DBdato.

Ma se la retta AB va divisa in parti uguali e disuguali si puoporre D ≡ C?[Playfair: le esigenze didattiche giustificano la manomissione deiclassici?]

Fermat. Trasformazione del problema

Si veda (Fermat, 1922, vol. I, pp. 134-135). Si tratta dideterminare il valore massimo di una funzione.

La funzione e x · (a− x) = ABB′A′. Il massimo e per x = a2 .

Tra tutti i rettangoli di dato perimetro il quadrato e quello diarea massima.8

8Evidentemente il rettangolo ABB′A′ “manca” di un quadrato.

Betti e Brioschi: rigore ma . . .

Di tutti i parallelogrammi che possono essere inscritti in undato triangolo il massimo e quello la cui base e la meta di unlato del triangolo. [Il riferimento e a (Law, 1855, pp. 98-99).Law osserva che “That which has been substituted above is notonly more intelligible but admits of a shorter proof”. Ma l’ideasi trova gia in (Grandi, 1740, p. 122).]

Per completezza

EI = E′I. I parallelogrammi AHEF ed AIE′K hanno ugualeestensione.

Il problema puo trasformarsi

Con un triangolo rettangolo isoscele si ha la formulazione diFermat.

Il triangolo equilatero, inscritto in un cerchioSi costruisce facilmente, usando la IV.2.

Ma non mi pare vi sia la dimostrazione del fatto che il triangoloequilatero sia il piu grande possibile. [Cf. (Knorr, 1986, pp.92-93), (Gaiser, 1964, pp. 276-278).]

La IV.16. Il pentadecagono

Le costruzioni del triangolo equilatero e del pentagono vengonopresupposte (senza misure).

Un minimo in Apollonio: la V.4 delle Coniche9

Sia E = (p, 0) e sia y2 = 2px l’equazione della parabola. Tratutti i segmenti EP il segmento EA e quello di lunghezzaminima.

PN2 = AL ·AN = 2AE ·ANPE2 = PN2 + EN2 = 2AE ·AN + (AE − EN)2 = AE2 +AN2.

9Cf. (Heath, 1896, pp. 140-41). O, per una versione piu “filologica” siveda Apollonius de Perge (2008).

Apollonio “rivisitato”

Sia y2 = 2px l’equazione della parabola. La sottonormale e datada yy′ = p. Per tracciare da Q la normale, dobbiamo allora“avanzare” della qantita p per arrivare ad N e da qui tracciarel’ordinata. Se Q si avvicina ad E la lunghezza di PQ si avvicinaa quella di AE. Al limite, ecc. Ma non e questa la modalitadimostrativa di Apollonio.10

10E istruttivo confrontare Heath (1896) e Fried e Unguru (2001); ma sitenga conto sopra tutto di Apollonius de Perge (2008).

Sintesi senza analisiLa parte aurea di un segmento. La costruzione di Euclide nella II.11

Per noi : AB = a,AE = a2 ⇒ EB = a

√52 . Quindi

AH = a

√5

2− a.

AH e la soluzione positiva di a : x = x : (a− x).

Il lato del decagono regolare: analisi nascosta, la IV.10

Se α = 2π10 = BAD, allora BDA = ABD = 2α.

Si tracci la bisettrice CD dell’angolo ADB. Allora AC = CD.Ma DCB = ADB e, ancora per ipotesi ADB = ABD. QuindiDCB = DBC e quindi DC = DB.BAD = BDC e quindi DB e tangente al cerchio per i puntiA,C,D, e quindi AB × CB = BD2 = CD2 = AC2. Dalla II.11,segue che C e dato. Ma anche il cerchio di centro A e raggioAB e dato. Poiche BD = AC anche il punto D e dato. �

Lo sviluppo della matematica consente di “rivisitare”certe situazioni

In termini geometrici qualitativi, prima del calcolo:

Oggi, data y = f(x), con le ipotesi opportune11:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn).

11Cf. (Kress, 1998, pp. 102-103).

Separazione delle radici

Accanto a questa figura: l’equazione f(x) = x3 − 3x+ 1 = 0 hatre radici reali. Derivando si ha f ′(x) = 3x2 − 3 Una radicedell’equazione f(x) = 0 e compresa tra −1 e 1, le due radici dif ′(x) = 0.

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