Vistenos en:www.pearsoneducacion.net

ISBN 978-607-32-0796-6

HAMDY A. TAHA

40

Novena edicin

HAMDY A. TAHA

Novena edicin

INVESTIGACINDE OPERACIONES

Novenaedicin

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ORA

TAHA

Esta novena edicin del reconocido libro de Taha contiene, de manera ms concisa que las anteriores, tanto el texto como el software de apoyo, con el fin de que el lector se enfoque de lleno en la puesta en ejecucin algortmica y prctica de las tcnicas de investigacin de operaciones.

El libro recalca que, si bien el modelado matemtico es la piedra angular de la IO, en la decisin final se deben tomar en cuenta factores incuantificables, como el comportamiento humano; asimismo, hace hincapi en que la definicin correcta de los problemas es la fase ms importante y ms difcil de la IO. Por ltimo, la obra presenta varias aplicaciones que utilizan ejemplos resueltos y problemas especficos.

Novedades en esta edicin: La nueva seccin 3.7 ofrece un marco de trabajo (sin necesidad de utilizar matemticas) sobre cmo

implementar los diferentes algoritmos de programacin lineal (simplex, simplex dual, simplex revisado y de punto interior) en cdigos comerciales, con el fin de incrementar la velocidad de cmputo y la precisin necesarias para resolver problemas muy grandes.

El nuevo captulo 10 cubre la heurstica y la metaheurstica diseadas para obtener buenas soluciones aproximadas a problemas de programacin entera y combinatoria.

El nuevo captulo 11, dedicado al importante problema del agente viajero, incluye varias aplicaciones y el desarrollo de algoritmos de solucin heursticos y exactos.

Todos los algoritmos de los captulos 10 y 11 se codificaron en Excel para una agradable experimen-tacin interactiva con los modelos.

En todos los captulos se agregaron numerosos problemas nuevos.

Tambin se actualiz el software TORA.

Para mayor informacin, visite:pearsoneducacion.net/taha

INVESTIGACINDE OPERACIONESINV

ESTIGA

CIN

DE O

PERACIO

NES

ANIVERSARIO

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Investigacinde operaciones

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Investigacinde operaciones

Novena edicin

Hamdy A. TahaUniversity of Arkansas, Fayetteville

TRADUCCINRodolfo Navarro Salas

Ingeniero MecnicoUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

REVISIN TCNICA

MXICOAlicia Nandeli Mercado Zepeda

Humberto Oviedo GaldeanoFrancisco Garca Mora

Academia de Investigacin de OperacionesUnidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera

y Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA)Instituto Politcnico Nacional

Mario lvarez GarcaDepartamento de Ingeniera Industrial

Instituto Tecnolgico Superior del Occidente del Estado de HidalgoUlises Mercado Valenzuela

Unidad de Estudios de Posgrado e InvestigacinInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Coacalco

ARGENTINAOsvaldo Facundo Martnez

Departamento de Ingeniera IndustrialUniversidad Tecnolgica Nacional

Facultad Regional Crdoba

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Authorized translation from the English language edition, entitled Operations Research: An Introduction,9th Edition, by Hamdy A. Taha, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall,Copyright 2011. All rights reserved.ISBN 9780132555937

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Operations Research: An Introduction, 9a.edicin, por Hamdy A. Taha, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall,Copyright 2011. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditora: Gabriela Lpez Ballesteros

e-mail: gabriela.lopezballesteros@pearson.com Editor de desarrollo: Bernardino Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin: Rodrigo Romero Villalobos

NOVENA EDICIN, 2012

D.R. 2012 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarseo transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, seaelectrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro,sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin laautorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0796-6ISBN VERSIN E-BOOK: 978-607-32-0797-3ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0798-0

PRIMERA IMPRESINImpreso en Mxico/Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 14 13 12 11

Datos de catalogacin bibliogrfica

TAHA, HAMDY A.

Investigacin de operaciones Novena edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2012

ISBN: 978-607-32-0796-6

rea: Matemticas

Formato: 18.5 3 23.5 cm Pginas: 824

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A Karen

Los ros no llevan agua,el sol las fuentes sec

Yo s donde hay una fuenteque no ha de secar el sol!La fuente que no se agota

es mi propio corazn

V. Ruiz Aguilera (1862)

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Contenido

Lo nuevo en esta edicin xxvAgradecimientos xxviReconocimientos xxxAcerca del autor xxxiMarcas registradas xxxiii

Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones 1

1.1 Introduccin 11.2 Modelos de investigacin de operaciones 11.3 Solucin del modelo de IO 51.4 Modelos de colas y simulacin 61.5 El arte del modelado 61.6 Ms que slo matemticas 71.7 Fases de un estudio de IO 91.8 Acerca de este libro 10

Bibliografa 11

Captulo 2 Modelado con programacin lineal 13

2.1 Modelo de PL con dos variables 132.2 Solucin grfica de la PL 16

2.2.1 Solucin de un modelo de maximizacin 162.2.2 Solucin de un modelo de minimizacin 24

2.3 Solucin con computadora, aplicando Solver y AMPL 272.3.1 Solucin de PL con Excel Solver 272.3.2 Solucin de PL con AMPL 31

2.4 Aplicaciones de programacin lineal 352.4.1 Inversin 352.4.2 Planificacin de la produccin y control de inventario 402.4.3 Planificacin de la mano de obra 482.4.4 Planificacin de desarrollo urbano 522.4.5 Mezcla y refinacin 572.4.6 Aplicaciones de PL adicionales 63Bibliografa 68

Captulo 3 Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad 69

3.1 Modelo de PL en forma de ecuacin 693.2 Transicin de la solucin grfica a la algebraica 72

vii

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viii Contenido

3.3 Mtodo simplex 763.3.1 Naturaleza iterativa del mtodo simplex 773.3.2 Detalles de clculo del algoritmo simplex 793.3.3 Resumen del mtodo simplex 85

3.4 Solucin artificial inicial 893.4.1 Mtodo M 893.4.2 Mtodo de dos fases 94

3.5 Casos especiales en el mtodo simplex 993.5.1 Degeneracin 993.5.2 ptimos alternativos 1023.5.3 Solucin no acotada 1043.5.4 Solucin no factible 106

3.6 Anlisis de sensibilidad 1083.6.1 Anlisis de sensibilidad grfica 1083.6.2 Anlisis de sensibilidad algebraica. Cambios

en el lado derecho 1143.6.3 Anlisis de sensibilidad algebraica.

Funcin objetivo 1233.6.4 Anlisis de sensibilidad con Tora, Solver,

y AMPL 1293.7 Temas de clculo en la programacin lineal 131

Bibliografa 136

Captulo 4 Dualidad y anlisis postptimo 137

4.1 Definicin del problema dual 1374.2 Relaciones primal-dual 141

4.2.1 Repaso de operaciones con matrices simples 1414.2.2 Diseo de la tabla simplex 1424.2.3 Solucin dual ptima 1434.2.4 Clculos con la tabla simplex 150

4.3 Interpretacin econmica de la dualidad 1534.3.1 Interpretacin econmica de las variables duales 1544.3.2 Interpretacin econmica de las restricciones

duales 1564.4 Algoritmos simplex adicionales 158

4.4.1 Algoritmo simplex dual 1594.4.2 Algoritmo simplex generalizado 164

4.5 Anlisis postptimo 1654.5.1 Cambios que afectan la factibilidad 1664.5.2 Cambios que afectan la optimalidad 171Bibliografa 174

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Contenido ix

Captulo 5 Modelo de transporte y sus variantes 175

5.1 Definicin del modelo de transporte 1755.2 Modelos de transporte no tradicionales 1825.3 Algoritmo de transporte 187

5.3.1 Determinacin de la solucin de inicio 1885.3.2 Clculos iterativos del algoritmo de transporte 1915.3.3 Explicacin del mtodo de los multiplicadores

con el mtodo simplex 1995.4 Modelo de asignacin 200

5.4.1 Mtodo hngaro 2015.4.2 Explicacin del mtodo hngaro con simplex 206Bibliografa 208

Captulo 6 Modelo de redes 209

6.1 Alcance y definicin de modelos de redes 2096.2 Algoritmo del rbol de mnima expansin 2126.3 Problema de la ruta ms corta 217

6.3.1 Ejemplos de aplicaciones de la ruta ms corta 2176.3.2 Algoritmos de la ruta ms corta 2216.3.3 Formulacin de programacin lineal del problema

de la ruta ms corta 2306.4 Modelo de flujo mximo 234

6.4.1 Enumeracin de cortes 2356.4.2 Algoritmo de flujo mximo 2366.4.3 Formulacin de programacin lineal en el modo

de flujo mximo 2446.5 CPM y PERT 247

6.5.1 Representacin en forma de red 2476.5.2 Clculos del mtodo de la ruta crtica (CPM) 2526.5.3 Construccin del cronograma 2556.5.4 Formulacin de programacin lineal de CPM 2616.5.5 Redes PERT 262Bibliografa 265

Captulo 7 Programacin lineal avanzada 267

7.1 Fundamentos del mtodo simplex 2677.1.1 Desde los puntos extremos hasta las soluciones

bsicas 2697.1.2 Tabla simplex generalizada en forma

matricial 272

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x Contenido

7.2 Mtodo simplex revisado 2757.2.1 Desarrollo de las condiciones de optimalidad

y factibilidad 2757.2.2 Algoritmo simplex revisado 278

7.3 Algoritmo de variables acotadas 2837.4 Dualidad 290

7.4.1 Definicin matricial del problema dual 2907.4.2 Solucin dual ptima 290

7.5 Programacin lineal paramtrica 2947.5.1 Cambios paramtricos en C 2957.5.2 Cambios paramtricos en b 297

7.6 Ms temas de programacin lineal 300Bibliografa 300

Captulo 8 Programacin de metas 301

8.1 Formulacin de una programacin de metas 3018.2 Algoritmos de programacin de metas 306

8.2.1 Mtodo de los pesos 3068.2.2 Mtodo preventivo 308Bibliografa 314

Captulo 9 Programacin lineal entera 315

9.1 Aplicaciones ilustrativas 3159.1.1 Presupuesto de capital 3169.1.2 Problema de cobertura de conjunto 3209.1.3 Problema de cargo fijo 3259.1.4 Restricciones Uno - u - otro y Si - entonces 330

9.2 Algoritmos de programacin entera 3359.2.1 Algoritmo de ramificacin y acotamiento 3369.2.2 Algoritmo de plano de corte 344Bibliografa 349

Captulo 10 Programacin heurstica 351

10.1 Introduccin 35110.2 Heurstica codiciosa (bsqueda local) 352

10.2.1 Heurstica de variable discreta 35210.2.2 Heurstica de variable continua 354

10.3 Metaheurstica 35710.3.1 Algoritmo de bsqueda tab 35810.3.2 Algoritmo de recocido simulado 36510.3.3 Algoritmo gentico 371

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Contenido xi

10.4 Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enteros 37610.4.1 Algoritmo tab aplicado a una PLE 37810.4.2 Algoritmo de recocido simulado aplicado a una PLE 38210.4.3 Algoritmo gentico aplicado a la PLE 386

10.5 Introduccin a la programacin de restriccin (PR) 391Bibliografa 392

Captulo 11 Problema del agente viajero (TSP*) 395

11.1 Aplicaciones de ejemplo de TSP 39511.2 Modelo TSP matemtico 39711.3 Algoritmos TSP exactos 407

11.3.1 Algoritmo de ramificacin y acotamiento 40711.3.2 Algoritmo del plano de corte 410

11.4 Heursticas de bsqueda local 41211.4.1 Heurstica del vecino ms cercano 41311.4.2 Heurstica de inversin 413

11.5 Metaheursticas 41611.5.1 Algoritmo tab aplicado al modelo TSP 41611.5.2 Algoritmo de recocido simulado aplicado

al modelo TSP 42011.5.3 TSP Algoritmo gentico aplicado al modelo TSP 423Bibliografa 427

Captulo 12 Programacin dinmica determinstica 429

12.1 Naturaleza recursiva de los clculos de programacindinmica (PD) 429

12.2 Recursividad hacia adelante (avance) y hacia atrs(retroceso) 433

12.3 Aplicaciones de PD seleccionadas 43412.3.1 Modelo de la mochila/equipo de vuelo/carga

de contenedor 43512.3.2 Modelo de tamao de la fuerza de trabajo 44312.3.3 Modelo de reemplazo de equipo 44612.3.4 Modelo de inversin 44912.3.5 Modelos de inventario 453

12.4 Problema de dimensionalidad 453Bibliografa 456

Captulo 13 Modelos de inventario determinsticos 457

13.1 Modelo general de inventario 457

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xii Contenido

13.2 El papel (rol) de la demanda en el desarrollo de modelos de inventario 458

13.3 Modelos estticos de cantidad de pedido econmico (EOQ) 46013.3.1 Modelo EOQ clsico 46013.3.2 EOQ con reducciones de precios 46513.3.3 Cantidad de pedido econmica (EOQ) de varios

artculos con limitacin de almacenamiento 46913.4 Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica

(EOQ) 47113.4.1 Modelo de EOQ sin costo de preparacin 47313.4.2 Modelo de EOQ con costo de preparacin 476Bibliografa 487

Captulo 14 Repaso de probabilidad bsica 489

14.1 Leyes de probabilidad 48914.1.1 Ley de la adicin de probabilidad 49014.1.2 Ley de probabilidad condicional 491

14.2 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad 49214.3 Expectativa de una variable aleatoria 495

14.3.1 Media y varianza (desviacin estndar) de una variable aleatoria 496

14.3.2 Variables aleatorias conjuntas 49714.4 Cuatro distribuciones de probabilidad comunes 500

14.4.1 Distribucin binomial 50014.4.2 Distribucin de Poisson 50114.4.3 Distribucin exponencial negativa 50314.4.4 Distribucin normal 504

14.5 Distribuciones empricas 506Bibliografa 512

Captulo 15 Anlisis de decisiones y juegos 513

15.1 Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarquaanaltica (PJA) 513

15.2 Toma de decisiones en condiciones de riesgo 52315.2.1 rbol de decisiones. Basado en el criterio

del valor esperado 52315.2.2 Variantes del criterio del valor esperado 529

15.3 Decisin bajo incertidumbre 53715.4 Teora de juegos 541

15.4.1 Solucin ptima de juegos de suma cero entre dos personas 542

15.4.2 Solucin de juegos con estrategias combinadas 545Bibliografa 551

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Contenido xiii

Captulo 16 Modelos de inventario probabilsticos 553

16.1 Modelos de revisin continua 55316.1.1 Modelo EOQ probabilizado 55316.1.2 Modelo EOQ probabilstico 556

16.2 Modelos de un solo periodo 56016.2.1 Modelo sin preparacin

(Modelo Newsvendor) 56016.2.2 Modelo con preparacin (Poltica s-S) 564

16.3 Modelo de varios periodos 567Bibliografa 569

Captulo 17 Cadenas de Markov 571

17.1 Defincin de una cadena de Markov 57117.2 Probabilidades de transicin absolutas y de n pasos 57417.3 Clasificacin de los estados en una cadena

de Markov 57617.4 Probabilidades de estado estable y tiempos de retorno

medios de cadenas ergdicas 57817.5 Tiempo del primer paso 58317.6 Anlisis de los estados absorbentes 587

Bibliografa 592

Captulo 18 Sistemas de colas 593

18.1 Por qu estudiar las colas? 59318.2 Elementos de un modelo de colas 59518.3 Papel de la distribucin exponencial 59618.4 Modelos de nacimiento y muerte puros (relacin entre

las distribuciones exponencial y de Poisson) 60018.4.1 Modelo de nacimiento puro 60018.4.2 Modelo de muerte pura 604

18.5 Modelo de colas general de Poisson 60618.6 Colas de Poisson especializadas 611

18.6.1 Medidas de desempeo de estado estable 612

18.6.2 Modelos de un solo servidor 61618.6.3 Modelos de varios servidores 62318.6.4 Modelo de servicio de mquinas

(M/M/R):(GD/K/K), R , K 63318.7 (M/G/1):(GD/q/q)Frmula de Pollaczek-Khintchine

(P-K) 63618.8 Otros modelos de colas 638

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xiv Contenido

18.9 Modelos de decisin en colas 63818.9.1 Modelos de costos 63918.9.2 Modelo de nivel de aspiracin 643Bibliografa 645

Captulo 19 Modelado de simulacin 647

19.1 Simulacin Montecarlo 64719.2 Tipos de simulacin 65219.3 Elementos de la simulacin de evento discreto 653

19.3.1 Definicin genrica de eventos 65319.3.2 Muestreo de distribuciones de probabilidad 654

19.4 Generacin de nmeros aleatorios 66119.5 Mecnica de la simulacin discreta 663

19.5.1 Simulacin manual de un modelo de un solo servidor 663

19.5.2 Simulacin basada en una hoja de clculo del modelode un solo servidor 669

19.6 Mtodos para reunir observaciones estadsticas 67019.6.1 Mtodo de subintervalos 67119.6.2 Mtodo de rplica 673

19.7 Lenguajes de simulacin 674Bibliografa 676

Captulo 20 Teora de optimizacin clsica 677

20.1 Problemas no restringidos 67720.1.1 Condiciones necesarias y suficientes 67820.1.2 Mtodo de Newton-Raphson 681

20.2 Problemas restringidos 68320.2.1 Restricciones de igualdad 68320.2.2 Restricciones de desigualdad. Condiciones

de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 693Bibliografa 698

Captulo 21 Algoritmos de programacin no lineal 699

21.1 Algoritmos no restringidos 69921.1.1 Mtodo de bsqueda directa 69921.1.2 Mtodo del gradiente 703

21.2 Algoritmos restringidos 70621.2.1 Programacin separable 70721.2.2 Programacin cuadrtica 71521.2.3 Programacin estocstica 720

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Contenido xv

21.2.4 Mtodo de combinaciones lineales 72421.2.5 Algoritmo SUMT 726Bibliografa 727

Apndice A Tablas estadsticas 729

Apndice B Respuestas parciales a problemas seleccionados 733

ndice 779

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Material disponible en el sitioweb de este libro (en ingls)(www.pearsoneducacion.net/taha)

Chapter 22 Additional Network and LP Algorithms 22.1

22.1 Minimum-Cost Capacitated Flow Problem 22.122.1.1 Network Representation 22.122.1.2 Linear Programming Formulation 22.422.1.3 Capacitated Network Simplex Algorithm 22.9

22.2 Decomposition Algorithm 22.2022.3 Karmarkar Interior-Point Method 22.29

22.3.1 Basic Idea of the Interior-Point Algorithm 22.3022.3.2 Interior-Point Algorithm 22.31Bibliography 22.40

Chapter 23 Forecasting Models 23.1

23.1 Moving Average Technique 23.123.2 Exponential Smoothing 23.523.3 Regression 23.6

References 23.10

Chapter 24 Probabilistic Dynamic Programming 24.1

24.1 A Game of Chance 24.124.2 Investment Problem 24.424.3 Maximization of the Event of Achieving a Goal 24.8

References 24.11

Chapter 25 Markovian Decision Process 25.1

25.1 Scope of the Markovian Decision Problem 25.125.2 Finite-Stage Dynamic Programming Model 25.325.3 Infinite-Stage Model 25.7

25.3.1 Exhaustive Enumeration Method 25.725.3.2 Policy Iteration Method without Discounting 25.1025.3.3 Policy Iteration Method with Discounting 25.13

25.4 Linear Programming Solution 25.16References 25.20

xvii

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xviii Material disponible en el sitio web de este libro

Chapter 26 Case Analysis 26.1

Case 1: Airline Fuel Allocation Using Optimum Tankering 26.2Case 2: Optimization of Heart Valves Production 26.9Case 3: Scheduling Appointments at Australian Tourist

Commission Trade Events 26.12Case 4: Saving Federal Travel Dollars 26.16Case 5: Optimal Ship Routing and Personnel Assignment for Naval

Recruitment in Thailand 26.20Case 6: Allocation of Operating Room Time in Mount Sinai

Hospital 26.26Case 7: Optimizing Trailer Payloads at PFG Building Glass 26.30Case 8: Optimization of Crosscutting and Log Allocation at

Weyerhaeuser 26.36Case 9: Layout Planning for a Computer Integrated Manufacturing

(CIM) Facility 26.41Case 10: Booking Limits in Hotel Reservations 26.48Case 11: Caseys Problem: Interpreting and Evaluating

a New Test 26.51Case 12: Ordering Golfers on the Final Day of Ryder Cup

Matches 26.54Case 13: Inventory Decisions in Dells Supply Chain 26.56Case 14: Analysis of an Internal Transport System in

a Manufacturing Plant 26.59Case 15: Telephone Sales Manpower Planning at Qantas

Airways 26.62

Appendix C AMPL Modeling Language C.1

C.1 Rudimentary AMPL Model C.1C.2 Components of AMPL Model C.2C.3 Mathematical Expressions and Computed

Parameters C.11C.4 Subsets and Indexed Sets C.13C.5 Accessing External Files C.16C.6 Interactive Commands C.24C.7 Iterative and Conditional Execution of AMPL

Commands C.26C.8 Sensitivity Analysis using AMPL C.27C.9 Selected AMPL Models C.28

Bibliography C.40

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Material disponible en el sitio web de este libro xix

Appendix D Review of Vectors and Matrices D.1

D.1 Vectors D.1D.2 Matrices D.2D.3 Quadratic Forms D.13D.4 Convex and Concave Functions D.15

Problems D.15Selected References D.16

Appendix E Case Studies E.1

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Categorizacin porherramienta de los archivosen el sitio web*

AAMMPPLL::Modelo de asignacin, AppenCFilesProgramacin de citas, ch26Files

Programacin de metas (interactiva), AppenCFilesModelos de programacin entera

Algoritmo de ramificacin y acotamiento (interactivo), AppenCFilesSecuenciacin de trabajos, AppenCFilesPlanificacin de personal de ventas por telfono en Qantas, ch26FilesHospital Monte Sina, ch26FilesOptimizacin de PGF Glass, ch26FilesCobertura de conjuntos, AppenCFilesOrganizacin de rutas martimas, ch26Files

Modelos de programacin linealProgramacin de autobuses, ch2FilesAlmacenamiento de combustible, ch26FilesProduccin de vlvulas cardiacas, ch26FilesModelo de Reddy Mikks, AppenCFiles Renovacin urbana, AppenCFiles

Modelos de programacin no linealEOQ con limitacin, AppenCFiles PNL, AppenCFiles

Modelos de redCPM, AppenCFilesFlujo mximo, AppenCFilesRed capacitada de costo mnimo, AppenCFilesRuta ms corta, AppenCFiles

Modelo de transporte, AppenCFilesProblema del agente viajero (TSP)

Ramificacin y acotamiento (interactivo), AppenCFilesPlano de corte, AppenCFiles

EExxcceell::Proceso de jerarqua analtica (PJA), ch15FilesProbabilidades de Bayes, ch15FilesDecisiones bajo incertidumbre, ch15Files

xxi

*Todo el material incluido en el sitio web se encuentra en idioma ingls.

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xxii Categorizacin por herramienta de los archivos en el sitio web

Mtodos de bsquedaDictomo, ch21FilesSeccin dorada, ch21FilesNewton-Raphson, ch20Files

HeursticaVecino ms cercano en el problema del agente viajero (TSP), ch11/FilesCaminata aleatoria, ch11FilesInversiones en el problema del agente viajero (TSP), ch11/Files

Elaboracin de histogramas, ch23FilesInventario

Revisin continua, ch16FilesCantidad de pedido econmica (EOQ), ch11FilesPD general, ch11/FilesPD de Wagner-Whitin, ch11/FilesHeurstica de Silver-Meal, ch11/Files

Problema de la mochila, PD, ch10FilesManipulacin de matrices, AppenDFilesCadenas de Markov

Probabilidades absolutas, ch17Files Probabilidades de absorcin, ch17Files Tiempo de primer paso, ch117FilesMatriz de transicin en n pasos, ch17FilesProbabilidades de estado estable, ch17Files

MetaheursticaPLE, tab, ch11/FilesPLE, gentica, ch11Files

PLE de recocido simulado, ch11FilesTcnica del promedio mvil, ch23Files Colas

Poisson, ch18FilesFrmula de P-K, ch18Files

Regresin, ch23FilesSimulacin

Montecarlo (rea de un crculo), ch19Files Cola de un solo servidor, ch9FilesCola de varios servidores, ch19FilesGenerador de nmeros aleatorios, ch19Files Mtodo regenerativo (ciclos), ch19Files

Tablas estadsticas, electrnicas, ch14FilesTSP (Agente viajero)

Metaheurstica. Vea MetaheursticaHeurstica. Vea Heurstica

SSoollvveerr::Modelo de inventario de cantidad de pedido econmica (EOQ) con limitacin,ch11/Files Programacin entera de ramificacin y acotamiento, ch9Files

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Categorizacin por herramienta de los archivos en el sitio web xxiii

Modelos de programacin linealTOYCO, ch3Files, ch3FilesReddy Mikks, ch3FilesAnlisis de sensibilidad, ch3FilesRenovacin urbana, ch2Files

Modelos de redFlujo mximo, ch6FilesRed capacitada de costo mnimo, ch22FilesRuta ms corta, ch6Files

Programacin cuadrtica, ch21FilesProgramacin estocstica, ch21Files

TToorraa::Reemplazo de equipo, ch5FilesModelos de programacin entera

Ramificacin y acotamiento, ch9FilesPresupuesto de capital, ch9FilesCobertura de conjuntos, ch9FilesCargo fijo, ch9FilesUno - u - otro, Si - entonces, ch9FilesCortes en TSP, ch9Files

Modelos de programacin linealVariables acotadas, ch7Files Dieta, ch2FilesDiet, ch2Filesmtodo M, ch3Files Reddy Mikks, ch2Files Anlisis de sensibilidad, ch3FilesTOYCO, ch3FilesModelos de red

CPM (Mtodo de la ruta crtica), ch6FilesFlujo mximo, ch6Files PERT (Tcnica de evaluacin y revisin de programas), ch6FilesRuta ms corta, ch6Files Modelos de colas (Poisson), ch18FilesModelo de transporte, ch5Files

Juegos de suma cero, ch15Files

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Lo nuevo en esta edicin

Esta novena edicin contiene, de manera ms concisa que las anteriores, tanto el textocomo el software de apoyo, con el fin de que el lector se enfoque de lleno en la puestaen ejecucin algortmica y prctica de las tcnicas de investigacin de operaciones.

La nueva seccin 3.7 constituye un amplio encuadre (sin necesidad de utilizar ma-temticas) de cmo los diferentes algoritmos de PL, programacin lineal (simplex,simplex dual, simplex revisado y de punto interior) se ponen en ejecucin en cdi-gos comerciales (por ejemplo CPLEX y XPRESS) para incrementar la velocidadde cmputo y precisin necesarias para resolver problemas muy grandes.

El nuevo captulo 10 se ocupa de la heurstica y la metaheurstica diseadas paraobtener buenas soluciones aproximadas a problemas de programacin entera ycombinatoria. La necesidad de la heurstica y la metaheurstica es un reconoci-miento del hecho de que el desempeo de los algoritmos exactos ha sido menossatisfactorio desde el punto de vista computacional.

El nuevo captulo 11 est dedicado al importante problema del agente viajero.Incluye varias aplicaciones y el desarrollo de algoritmos de solucin heursticos yexactos.

Todos los algoritmos de los nuevos captulos 10 y 11 se codificaron en Excel parapermitir una conveniente experimentacin interactiva con los modelos.

Todos los modelos AMPL se movieron al apndice C* para complementar lasreglas sintcticas de AMPL presentadas en el apndice. Los modelos aparecenoportunamente en el libro con sus respectivas referencias.

A lo largo del libro se agregaron numerosos problemas nuevos. Se actualiz el software TORA. Con el fin de mantener una cantidad razonable de pginas impresas, hemos

pasado al sitio web* parte del material, entre el que se incluye el apndice AMPL.

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* Todo el material incluido en el sitio web se encuentra en idioma ingls.

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Agradecimientos

Pearson agradece a los profesores usuarios de esta obra y a los centros de estudio su apoyo y retroalimentacin, elemento fundamental para esta nueva edicin de Investigacin de operaciones.

ARGENTINA

Marisa Raquel De GiustiMara Teresa GuardarucciUniversidad Nacional de La Plata

MXICOCIUDAD DE MXICO

Guillermo Mrquez ArregunEscuela Superior de Computacin (ESCOM)Instituto Politcnico Nacional

Jorge Herrera AyalaEscuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica (ESIME)Instituto Politcnico Nacional

Alejandra Alcntara PachecoAraceli Guerrero HuertaDomingo Gonzlez ZigaErasto Vctor Vergara NavaFidel Cisneros MolinaJos Luis Arvizuo RiveraLuis Chvez GarcaManuel Roberto Montes de OrtizMara Mayra Vzquez JimnezPedro Azuara RodrguezUnidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA)Instituto Politcnico Nacional

Claudia Gmez WulschnerEdgar Possani EspinosaMiguel de Lascurin MorhanInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey

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Agradecimientos xxvii

Luis MoncayoInstituto Tecnolgico Autnomo de MxicoCampus Ciudad de Mxico

Eric Porras MusalemLino A. Notarantonio Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Santa Fe

Ral ChvezUniversidad Anhuac del Sur

Adolfo Miguel Castro GmezGema Esther Gonzlez FloresJos Luis Ruz D.Facultad de Contadura y AdministracinUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

Armando Popoca FloresDaniel Hadad CartasManuel Fuentes RuizMiguel ngel Aguirre PitolFacultad de EconomaUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

Bonifacio Romn TapiaEduardo Alejandro Hernndez GonzlezEfran Ramos TrejoLeonardo Bauelos SaucedoFacultad de IngenieraUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

Cuauhtmoc Tenopala GranadosUniversidad La Salle

ESTADO DE MXICO

ngel Daz PinedaArizbel Bailn SalgadoJeanette Lpez AlansFrancisco Quiroz AguilarMara de la Luz Dvila FloresMario Luis Chew Hernndez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Coacalco

Martha Eugenia Limn HernndezRodolfo Flores PinedaInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Cuautitln Izcalli

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xxviii Agradecimientos

Ciria Salinas LpezJorge CoriaMartha Chapa PlataVctor Jimnez GuidoInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Ecatepec

Francisco Franco UrzaJess Avendao MartnezInstituto Tecnolgico de Tlalnepantla

Martha Beatriz Martnez Ponce Instituto Tecnolgico de Toluca

Eduardo DazLuis E. HerreraManuel lvarez MadrigalInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Estado de Mxico

Karla ValenzuelaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Toluca

Fernando Lpez SolsGastn Vrtiz CamarnMnica Marina Mondragn IxtlahFacultad de IngenieraUniversidad Autnoma del Estado de MxicoCampus Toluca

Ral Arregun BustamanteUniversidad del Valle de MxicoCampus Toluca

Jorge Luis Surez Madariaga Florentino Almida Martnez Facultad de Estudios Superiores AcatlnUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

Andrs Gutirrez BrcenasJos Isaac Snchez GuerraMarco Antonio Hernndez Facultad de Estudios Superiores CuautitlnUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

GUANAJUATO

Jos Luis LagunaEscuela Profesional de Comercio y Administracin

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Agradecimientos xxix

Antonio Murillo MontoyaFrancisco Rodrguez S.Hugo Carrillo RodrguezJos Alfredo Jimnez GarcaJos Francisco Rodrguez SilvaJos Luis Martnez PichardoJuan Antonio Sillero PrezInstituto Tecnolgico de Celaya

Jos Enrique Gonzlez MartnezInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Len

Ricardo Ziga AlmanzaUniversidad de Celaya

Mario Cruz AlcarazUniversidad de Len

Fernando Gmez GuerraJorge Velzquez CentenoUniversidad Iberoamericana, Len

PUEBLA

Juan Carlos Ruiz ArenasUniversidad de Las Amricas

Carlos Gerardo Daz MarnGuillermo Francisco Lpez TorresMara del Pilar Len FrancoUniversidad Popular Autnoma del Estado de Puebla

SAN LUIS POTOS

Julio Csar Gonzlez MartnezUniversidad del Valle de MxicoCampus San Luis Potos

SINALOA

Ral SotoUniversidad de OccidenteUnidad Culiacn

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Reconocimientos

Quiero reconocer la importancia de las revisiones realizadas a la novena edicin por losprofesores Yahya Fathi (NCSU), Marc E. Posner (Ohio State University), Charu Chan-dra (University of Michigan, Dearbon), Yasser Hosni (University of Central Florida),M. Jeya Chandra (Penn State University) y Manbir Sodhi (Rhode Island University).

Como siempre, sigo en deuda con mis amigos y colegas por su continuo apoyodurante tantos aos: John Ballard (University of Nebraska, Lincoln), David Elizandro(Tennessee Tech University), Rafael Gutirrez (University of Texas, El Paso), JosPablo Nuo de la Parra (Universidad Popular Autnoma del Estado de Puebla), yJung-Fu Tsai (National Taipei University of Technology).

Deseo expresar mi aprecio al personal de editorial y de produccin de Pearsonpor su ayuda durante la produccin de esta edicin.

HAMDY A. TAHAhat@uark.edu

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Acerca del autor

Hamdy A. Taha es profesor emrito de ingenieraindustrial en la University of Arkansas, donde en-sea, investiga y simula operaciones. Es autor deotros tres libros sobre programacin y simulacin,los cuales se han traducido a varios idiomas. Tam-bin es autor de varios captulos de libros, y susartculos tcnicos han aparecido en revistas comoEuropean Journal of Operations Research, IEEETransactions on Reliability, IIE Transactions, Inter-faces, Management Science, Naval Research Logis-tics Quarterly, Operations Research y Simulation.El profesor Taha recibi el premio Alumni por ex-celencia en investigacin y el premio NadineBaum por excelencia en la enseanza, ambos porparte de la University of Arkansas, as como otros

premios por investigacin y enseanza del Colegio de Ingeniera de esta misma uni-versidad. Tambin recibi el nombramiento de becario Fulbright Senior de la Univer-sidad Carlos III de Madrid, Espaa. Domina tres idiomas y se ha desempeado comoprofesor y consultor en Europa, Mxico y Medio Oriente.

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Marcas registradas

AMPL es una marca registrada de AMPL Optimization, LLC, 900 Sierra Place SE,Albuquerque, NM 87108-3379, EUA.

CPLEX es una marca registrada de ILOG, Inc., IBM Corporation, 1 New OrchardRoad, Armonk, Nueva York, 10504 10504-1722.

KNITRO es una marca registrada de Ziena Optimization Inc., 1801 Maple Ave. Suite6320, Evanston IL, 60201.

LOQO es una marca registrada de Princeton University, Princeton University,Princeton, NJ, 08544.

Microsoft es una marca registrada y Windows y Excel son marcas registradas deMicrosoft Corporation, One Microsoft Way Redmond, WA, 98052-7329.

MINOS es una marca registrada de Stanford University, 450 Serra Mall, Stanford, CA94305.

Solver es una marca registrada de Frontline Systems, Inc., P.O. Box 4288, InclineVillage, NV 89450.

TORA es una marca registrada de Hamdy A. Taha.

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CAPTULO 1

Qu es la investigacin de operaciones

1.1 INTRODUCCIN

Las primeras actividades formales de investigacin de operaciones (IO) se iniciaron enInglaterra durante la Segunda Guerra Mundial, cuando un equipo de cientficos empeza tomar decisiones con respecto a la mejor utilizacin del material blico. Al trminode la guerra, las ideas formuladas en operaciones militares se adaptaron para mejorarla eficiencia y productividad en el sector civil.

Este captulo presenta la terminologa bsica de la IO, que comprende el mode-lado matemtico, soluciones factibles, optimizacin y clculos iterativos. Hace hincapien que la definicin correcta del problema es la fase ms importante (y ms difcil) depracticar la IO.Tambin se recalca que si bien el modelado matemtico es la piedra an-gular de la IO, en la decisin final se deben tomar en cuenta factores incuantificables,como el comportamiento humano, por ejemplo. El libro presenta varias aplicacionesque utilizan ejemplos resueltos y problemas especficos.*

1.2 MODELOS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Imagine que tiene un compromiso de negocios que requiere 5 semanas de trasladocontinuo entre Fayetteville (FYV) y Denver (DEN). Sale de Fayetteville los lunes y re-gresa los mircoles. Un boleto regular de viaje redondo cuesta $400, pero se ofrece20% de descuento si el viaje redondo comprende un fin de semana. Un boleto sencilloen cualquier direccin cuesta 75% del precio regular. Cmo debe comprar los boletospara reducir el costo del traslado durante las 5 semanas?

*En el sitio web de este libro encontrar el captulo 26 (en ingls), el cual est dedicado por completo a lapresentacin del anlisis de casos totalmente desarrollados.

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2 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones

Podemos considerar la situacin como un problema de toma de decisiones, cuyasolucin requiere responder tres preguntas:

1. Cules son las alternativas de decisin? 2. Conforme a qu restricciones se toma la decisin?3. Cul es el criterio objetivo apropiado para evaluar las alternativas?

Se consideran tres alternativas razonables:

1. Comprar cinco boletos normales FYV-DEN-FYV para salir el lunes y regresar elmircoles de la misma semana.

2. Comprar un boleto FYV-DEN, cuatro DEN-FYV-DEN que abarquen fines desemana, y uno DEN-FYV.

3. Comprar un boleto FYV-DEN-FYV para el lunes de la primera semana y elmircoles de la ltima semana, y cuatro DEN-FYV-DEN para los viajes restan-tes. Todos los boletos en esta alternativa cubren por lo menos un fin de semana.

La restriccin en estas opciones es que pueda salir de FYV el lunes y regresar el mir-coles de la misma semana.

Un criterio objetivo obvio para evaluar la alternativa propuesta es el precio de losboletos. La alternativa que d el costo mnimo ser la mejor. Especficamente, tenemos:

Costo de la alternativa 1 5 5 3 400 5 $2000

Costo de la alternativa 2 5 .75 3 400 1 4 3 (.8 3 400) 1 .75 3 400 5 $1880

Costo de la alternativa 3 5 5 3 (.8 3 400) 5 $1600

La alternativa 3 es la mejor porque es la ms econmica.Aunque el ejemplo anterior ilustra los tres componentes principales de un mode-

lo de IO, los cuales son: alternativas, criterio objetivo y restricciones, las situaciones di-fieren por los detalles de la construccin de cada componente y la solucin del modeloresultante. Para ilustrar este punto, considere la formacin de un rectngulo de reamxima con un trozo de alambre de L pulgadas de longitud. Cul ser el mejor anchoy altura del rectngulo?

En contraste con el ejemplo de los boletos, el nmero de alternativas en esteejemplo no es finito; es decir, el ancho y la altura del rectngulo pueden asumir unacantidad infinita de valores porque son variables continuas. Para formalizar esta obser-vacin, las alternativas del problema se identifican definiendo el ancho y la alturacomo variables algebraicas

w 5 ancho del rectngulo en pulgadas,h 5 altura del rectngulo en pulgadas.

Con base en estas definiciones, las restricciones de la situacin pueden expresarse ver-balmente como

1. Ancho del rectngulo 1 altura del rectngulo 5 la mitad de la longitud del alambre.2. El ancho y la altura no pueden ser negativos.

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1.2 Modelos de investigacin de operaciones 3

Estas restricciones se traducen de manera algebraica como sigue

1. 2(w 1 h) 5 L2. w 0, h 0

Ahora el nico componente restante es el objetivo del problema; es decir, maxi-mizar el rea del rectngulo. Si z se define como el rea del rectngulo, el modelo com-pleto es

Maximizar z 5 wh

sujeto a

2(w 1 h) 5 L

w, h 0

Utilizando clculo diferencial, la mejor solucin de este modelo es la cualrequiere la construccin de una forma cuadrada.

Con los datos de los dos ejemplos anteriores, el modelo general de IO se organi-za en el siguiente formato general:

w = h = L4 ,

Maximizar o minimizar Funcin objetivo

sujeto a

Restricciones

Una solucin del modelo es factible si satisface todas las restricciones; es ptimasi, adems de ser factible, produce el mejor valor (mximo o mnimo) de la funcin ob-jetivo. En el ejemplo de los boletos, el problema considera tres alternativas factibles, yla tercera es la que produce la solucin ptima. En el problema del rectngulo, una al-ternativa factible debe satisfacer la condicin donde w y h son variablesno negativas. Esta definicin conduce a una infinidad de soluciones factibles y, a dife-rencia del problema de los boletos, el cual utiliza una sencilla comparacin de precios,la solucin ptima se determina aplicando clculo diferencial.

Aunque los modelos de IO estn diseados para optimizar un criterio objetivoespecfico sujeto a un conjunto de restricciones, la calidad de la solucin resultante de-pende de la exactitud con que el modelo representa el sistema real. Considere, porejemplo, el modelo de los boletos. Si no se identifican todas las alternativas dominantespara comprar los boletos, entonces la solucin resultante es ptima slo en relacincon las opciones representadas en el modelo. Especficamente, si se omite la alternati-va 3 en el modelo, entonces la solucin optima requerira que se compraran los bole-tos en $1880, la cual es una solucin subptima. La conclusin es que la solucin p-tima de un modelo es mejor slo para ese modelo. Si el modelo es una representacinrazonablemente buena del sistema real, entonces su solucin tambin es ptima parala situacin real.

w + h = L2 ,

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4 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones

CONJUNTO DE PROBLEMAS 1.2A1

1. En el ejemplo de los boletos, identifique una cuarta alternativa factible.2. En el problema del rectngulo, identifique dos soluciones factibles, e indique cul es la mejor.3. Determine la solucin ptima del problema del rectngulo (Sugerencia: Aplique la

restriccin para expresar la funcin objetivo respecto de una variable, luego utiliceclculo diferencial).

4. Amy, Jim, John y Kelly estn en la ribera de un ro y desean cruzar a la ribera opuesta enuna canoa, la cual slo puede llevar dos personas a la vez. Como Amy es la ms atltica,puede cruzar el ro remando en 1 minuto. Jim, John y Kelly lo haran en 2, 5 y 10 minutos,respectivamente. Si dos personas estn en la canoa, la persona ms lenta determina eltiempo de cruce. El objetivo es que las cuatro personas estn en la ribera opuesta en el menor tiempo posible.(a) Identifique por los menos dos planes factibles para cruzar el ro (recuerde que la

canoa es el nico medio de transporte y que no puede viajar vaca).(b) Defina el criterio para evaluar las alternativas.*(c) Cul es el menor tiempo para llevar a las cuatro personas al otro lado del ro?

*5. En un juego de bisbol, Jim es el lanzador y Joe es el bateador. Suponga que Jim puedelanzar una bola rpida o una curva al azar. Si Joe predice correctamente una curva,puede mantener un promedio de bateo de .500; de otra manera, si Jim lanza una curva yJoe est preparado para una bola rpida, su promedio de bateo se mantiene por debajode .200. Por otra parte, si Joe predice correctamente una bola rpida, mantiene unpromedio de bateo de .300, de lo contrario su promedio es de slo .100.(a) Defina las alternativas para este caso.(b) Determine la funcin objetivo para el problema, y describa en qu difiere de la

optimizacin comn (maximizacin o minimizacin) de un criterio.6. Durante la construccin de una casa, se deben recortar seis viguetas de 24 pies cada

una a la longitud correcta de 23 pies. La operacin de recortar una vigueta implica lasiguiente secuencia:

1 Un asterisco antes del nmero seala problemas cuya solucin aparece en el Apndice B.

Operacin Tiempo (segundos)

1. Colocar la vigueta en caballetes de aserrar 152. Medir la longitud correcta (23 pies) 53. Marcar la lnea de corte para la sierra circular 54. Recortar la vigueta a la longitud correcta 205. Apilar las viguetas recortadas en un rea designada 20

Intervienen tres personas: Dos deben realizar al mismo tiempo las operaciones 1, 2 y 5, yun cortador se ocupa de las operaciones 3 y 4. Hay dos pares de caballetes de aserrardonde se colocan las viguetas sin recortar, y cada par puede manejar tres viguetas.Sugiera un buen plan para recortar las seis viguetas.

7. Se construye una pirmide (bidimensional) en cuatro capas. La capa inferior se compone de los puntos (equidistantes) 1, 2, 3 y 4; la siguiente incluye los puntos 5, 6 y 7; la terceracomprende los puntos 8 y 9, y la superior el punto 10. Lo que se quiere es invertir la

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1.3 Solucin del modelo de IO 5

pirmide (que la capa inferior incluya un punto y la superior cuatro) cambiando de lugarlos puntos.(a) Identifique dos soluciones factibles.(b) Determine el nmero mnimo de movimientos necesarios para invertir la pirmide.2

8. Cuenta con cuatro cadenas y cada una consta de tres eslabones slidos. Tiene que hacerun brazalete conectando las cuatro cadenas; romper un eslabn cuesta 2 centavos, yvolverlo a soldar 3 centavos.(a) Identifique dos soluciones factibles y evalelas.(b) Determine el costo mnimo para hacer el brazalete.

9. Los cuadros de una tabla rectangular de 11 filas y 9 columnas estn numerados ensecuencia del 1 al 99 con una recompensa monetaria oculta de entre 0 y 20 dlares,asignada a cada cuadro. El juego consiste en que un jugador elige un cuadradoseleccionando cualquier nmero de dos dgitos y luego restando al nmero seleccionadola suma de sus dos dgitos. El jugador recibe entonces la recompensa asignada al cuadroseleccionado. Sin importar cuntas veces se repita el juego, qu valores monetariosdeben asignarse a los 99 cuadros para minimizar la recompensa de los jugadores? Parahacer el juego interesante, asignar $0 a todos los cuadros no es una opcin.

1.3 SOLUCIN DEL MODELO DE IO

En la investigacin de operaciones no se cuenta con una tcnica general nica para re-solver todos los modelos que puedan surgir en la prctica. En su lugar, el tipo y comple-jidad del modelo matemtico determina la naturaleza del mtodo de solucin. Por ejem-plo, en la seccin 1.2 la solucin del problema de los boletos requiere una clasificacinsimple de las alternativas, basada en el precio de la compra total, mientras que la solucindel problema del rectngulo utiliza clculo diferencial para determinar el rea mxima.

La tcnica de IO ms importante es la programacin lineal. Est diseada paramodelos con funciones objetivo y restricciones lineales. Otras tcnicas incluyen la pro-gramacin entera (en la cual las variables asumen valores enteros), la programacindinmica (en la cual el modelo original puede descomponerse en subproblemas ms pe-queos y manejables), la programacin de red (en la cual el problema puede modelarsecomo una red), y la programacin no lineal (en la cual las funciones del modelo son nolineales). stas son slo algunas de las muchas herramientas de IO con que se cuenta.

Una peculiaridad de la mayora de las tcnicas de IO es que por lo general las so-luciones no se obtienen en formas cerradas (como si fueran frmulas), sino que msbien se determinan mediante algoritmos. Un algoritmo proporciona reglas fijas declculo que se aplican en forma repetitiva al problema, y cada repeticin (llamada ite-racin) acerca la solucin a lo ptimo. Como los clculos asociados con cada iteracinsuelen ser tediosos y voluminosos, es recomendable que estos algoritmos se ejecutencon la computadora.

Algunos modelos matemticos pueden ser tan complejos que es imposible resol-verlos con cualquiera de los algoritmos de optimizacin disponibles. En esos casos quizsea necesario abandonar la bsqueda de la solucin ptima y simplemente buscar unabuena solucin aplicando la heurstica, y la metaheurstica, o bien reglas empricas.

2 Los problemas 7 y 8 se tomaron y compendiaron de Bruce Goldstein, Cognitive Psychology: Mind,Research, and Everyday Experience, Wadsworth Publishing, 2005.

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6 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones

1.4 MODELOS DE COLAS Y SIMULACIN

Las colas y la simulacin estudian las lneas de espera. No son tcnicas de optimiza-cin; ms bien determinan medidas de desempeo de las lneas de espera, como tiem-po de espera promedio en la cola, tiempo de espera promedio para el servicio, y el usode las instalaciones de servicio.

Los modelos de colas utilizan modelos probabilsticos y estocsticos para analizarlneas de espera, y la simulacin estima las medidas de desempeo al imitar el compor-tamiento del sistema real. De cierto modo, la simulacin tiene ventajas para observar unsistema real, ya que la diferencia principal entre las colas y la simulacin es que los mo-delos de colas son puramente matemticos y, en consecuencia, estn sujetos a hiptesisespecficas que limitan el alcance de su aplicacin. La simulacin, por otra parte, es fle-xible y puede utilizarse para analizar prcticamente cualquier situacin de colas.

El uso de la simulacin no est exento de inconvenientes. El proceso de desarrollarmodelos de simulacin es costoso, tanto en tiempo como en recursos; adems la ejecu-cin de los modelos de simulacin suele ser lenta, aun con la computadora ms rpida.

1.5 EL ARTE DEL MODELADO

Los modelos desarrollados en la seccin 1.1 son representaciones exactas de situacionesreales. Esto es raro en la IO, ya que la mayora de las aplicaciones suelen implicardiversos grados de aproximacin. La figura 1.1 ilustra los niveles de abstraccin quecaracterizan el desarrollo de un modelo de IO.Abstraemos de la situacin real el mundoreal supuesto al concentrarnos en las variables dominantes que controlan el compor-tamiento del sistema real. El modelo expresa de una manera razonable las funcionesmatemticas que representan el comportamiento del mundo real supuesto.

Para ilustrar los niveles de abstraccin en el modelado, considere la TykoManufacturing Company, donde se producen varios recipientes de plstico. Cuando seemite una orden de produccin al departamento de produccin, las materias primasnecesarias se toman de las existencias de la compaa o se adquieren con proveedores

FIGURA 1.1

Niveles de abstraccin en el desarrollo de un modelo

Modelo

Mundo real

Mundo real supuesto

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1.6 Ms que slo matemticas 7

externos. Una vez que se completa un lote de produccin, el departamento de ventasse encarga de distribuir el producto a los clientes.

Una pregunta lgica al analizar la situacin de Tyko es la determinacin del ta-mao de un lote de produccin. Cmo puede un modelo representar esta situacin?

Al examinar todo el sistema se ve que algunas variables pueden incidir directa-mente en el nivel de produccin, incluida la siguiente lista (parcial) clasificada por de-partamentos.

1. Departamento de produccin: Capacidad de produccin expresada en funcin delas horas de mano de obra y mquina disponibles, inventario en proceso y normasde control de calidad.

2. Departamento de materiales: Existencias disponibles de materias primas, progra-mas de entrega de proveedores externos y limitaciones de almacenamiento.

3. Departamento de ventas: Pronstico de ventas, capacidad de las instalaciones dedistribucin, eficacia de las campaas publicitarias y el efecto de la competencia.

Cada una de estas variables afecta el nivel de produccin en Tyko. Sin embargo, es real-mente difcil establecer relaciones funcionales explcitas entre ellas y el nivel de pro-duccin.

Un primer nivel de abstraccin requiere definir los lmites del mundo real su-puesto. Reflexionando un poco, podemos aproximar el sistema real por medio de dosparmetros dominantes:

1. Tasa de produccin.2. Tasa de consumo.

La determinacin de la tasa de produccin implica variables como la capacidad de pro-duccin, las normas de control de calidad y la disponibilidad de las materias primas.Los datos de ventas determinan la tasa de consumo. En esencia, la simplificacin a par-tir del mundo real al mundo real supuesto se logra concentrando varios parmetrosdel mundo real en un nico parmetro del mundo real supuesto.

Ahora es ms fcil abstraer un modelo desde el mundo real supuesto. Con las tasasde produccin y consumo se pueden establecer medidas de exceso o escasez de inventa-rio. Entonces el modelo abstrado puede construirse para equilibrar los costos conflictivosde exceso y escasez de inventario; es decir, para minimizar el costo total del inventario.

1.6 MS QUE SLO MATEMTICAS

Debido a la naturaleza matemtica de los modelos de IO, tendemos a pensar que unestudio de investigacin de operaciones siempre est enraizado en el anlisis matem-tico. Aunque el modelado matemtico es fundamental en la IO, primero se deben ex-plorar mtodos ms sencillos. En algunos casos se puede obtener una solucin de sen-tido comn mediante observaciones sencillas. En realidad, como invariablemente elelemento humano afecta la mayora de los problemas de decisin, un estudio de la psi-cologa de las personas puede ser clave para resolver el problema. A continuacin sepresentan tres ejemplos que respaldan este argumento.

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8 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones

1. Al atender quejas sobre la lentitud de los elevadores en un gran edificio de ofi-cinas, el equipo de IO percibi la situacin en principio como un problema de lnea deespera que podra requerir el uso del anlisis matemtico o la simulacin de colas. Des-pus de estudiar el comportamiento de las personas que se quejaron, el psiclogo delequipo sugiri que se instalaran espejos de cuerpo completo a la entrada de los eleva-dores. Como por milagro, las quejas desaparecieron, ya que las personas se mantenanocupadas observndose a s mismas y a las dems mientras esperaban el elevador.

2. En un estudio de los mostradores de documentacin en un gran aeropuertoingls, un equipo de consultores estadounidenses y canadienses utiliz la teora decolas para investigar y analizar la situacin. Una parte de la solucin recomendaba uti-lizar letreros bien colocados que urgieran a los pasajeros cuya salida era en 20 minutosa que avanzaran al inicio de la cola y solicitaran el servicio de inmediato. La solucinno tuvo xito porque los pasajeros, en su mayora britnicos, estaban condicionados aun comportamiento muy estricto en las colas y, por consiguiente, se rehusaban a ade-lantarse a otros que esperaban en la cola.

3. En una fundidora de acero en India, primero se producen lingotes a partir delmineral de hierro, los cuales se utilizan despus en la fabricacin de varillas y vigas deacero. El gerente not una gran demora entre la produccin de los lingotes y su trans-ferencia a la siguiente fase de fabricacin (donde se elaboraban los productos finales).Idealmente, para reducir el costo de recalentamiento la fabricacin deba comenzar encuanto los lingotes salieran del horno. Al principio el problema se percibi como unasituacin de equilibrio de la lnea de produccin, el cual podra resolverse reduciendola produccin de lingotes o incrementando la capacidad del proceso de fabricacin. Elequipo de IO utiliz tablas sencillas para registrar la produccin de los hornos durantelos tres turnos del da. Se descubri que aun cuando el tercer turno comenzaba a las11:00 P.M., la mayora de los lingotes se producan entre las 2:00 y las 7:00 A.M. Una in-vestigacin ms a fondo revel que los operadores del turno preferan descansar msal principio del turno y luego compensar durante la madrugada la produccin perdida.El problema se resolvi nivelando la produccin de los lingotes a lo largo del turno.

De estos ejemplos se pueden sacar tres conclusiones:

1. Antes de aventurarse en un complicado modelado matemtico, el equipo deIO debe explorar la posibilidad de utilizar ideas agresivas para resolver la situacin.La solucin del problema de los elevadores con la instalacin de espejos se bas en lapsicologa humana ms que en el modelado matemtico. Tambin es ms sencilla ymenos costosa que cualquier recomendacin que un modelo matemtico pudierahaber producido. Quizs esta sea la razn de que los equipos de investigacin de ope-raciones suelan recurrir a los conocimientos de personas externas que se desem-pean en campos no matemticos (el psicolgico en el caso del problema de los eleva-dores). Este punto fue aceptado y ejecutado por el primer equipo de IO en Inglaterradurante la Segunda Guerra Mundial.

2. Las soluciones se originan en las personas y no en la tecnologa. Cualquier so-lucin que no tome en cuenta el comportamiento humano probablemente falle. Auncuando la solucin matemtica del problema del aeropuerto britnico pudo haber sido

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1.7 Fases de un estudio de IO 9

razonable, el hecho de que el equipo consultor no se percatara de las diferencias cultu-rales entre los Estados Unidos e Inglaterra (los estadounidenses y los canadienses tien-den a ser menos formales) dio por resultado una recomendacin que no se podaponer en prctica.

3. Un estudio de IO no debe iniciar con el prejuicio de utilizar una herramientamatemtica especfica antes de que se justifique su uso. Por ejemplo, como la progra-macin lineal es una tcnica exitosa, existe la tendencia de utilizarla para modelarcualquier situacin. Esa forma de proceder suele conducir a un modelo matemticodel todo alejado de la situacin real. Por lo tanto, es imperativo que se analicen prime-ro los datos disponibles aplicando las tcnicas ms simples siempre que sea posible(por ejemplo, promedios, grficas e histogramas), para determinar el origen del proble-ma. Una vez que se define el problema, puede decidirse cul ser la herramienta msapropiada para la solucin.3 En el problema de la fundidora de acero, todo lo que senecesitaba para aclarar la situacin de la produccin de lingotes era la elaboracin detablas sencillas.

1.7 FASES DE UN ESTUDIO DE IO

Los estudios de investigacin de operaciones se basan en la labor de equipo, donde losanalistas de IO y el cliente trabajan codo con codo. Los conocimientos de modelado delos analistas de IO se deben complementar con la experiencia y cooperacin del clien-te para quien realizan el estudio.

Como herramienta de toma de decisiones, la IO es tanto una ciencia como unarte. Es una ciencia por las tcnicas matemticas que incorpora, y un arte porque elxito de las fases que conducen a la solucin del modelo matemtico depende en granmedida de la creatividad y experiencia del equipo de IO. Willemain (1994) manifiestaque una prctica [de IO] eficaz requiere ms que competencia analtica. Tambin re-quiere, entre otros atributos, juicio tcnico (es decir, cundo y cmo utilizar una tcni-ca dada), as como habilidades de comunicacin y supervivencia organizacional.

Es difcil prescribir cursos de accin especficos (semejantes a los que indica lateora precisa de la mayora de los modelos matemticos) para estos factores intangi-bles. Sin embargo, podemos ofrecer lineamientos generales para la implementacin dela IO en la prctica.

Para implementar la IO en la prctica, las fases principales son:

1. Definicin del problema.2. Construccin del modelo.3. Solucin del modelo.4. Validacin del modelo.5. Implementacin de la solucin.

3 Decidir sobre un modelo matemtico especfico antes de justificar su uso es como poner la carreta ade-lante del caballo, y me recuerda la historia de un viajero areo frecuente, paranoico en cuanto a la po-sibilidad de una bomba terrorista a bordo del avin. Calcul la probabilidad de que semejante desgraciapudiera ocurrir, y aunque result muy pequea no bast para calmar su angustia. Desde entonces, siemprellevaba una bomba en su portafolio porque, segn sus clculos, la probabilidad de que hubiera dos bom-bas a bordo era prcticamente cero!

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10 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones

La fase 3, que se ocupa de la solucin del modelo, es la mejor definida y por lo general lams fcil de implementar en un estudio de IO,porque maneja principalmente modelos ma-temticos precisos. La implementacin de las fases restantes es ms un arte que una teora.

La definicin del problema implica definir el alcance del problema investigado.Esta funcin debe ser realizada por todo el equipo de IO. El objetivo es identificar treselementos principales del problema de decisin: (1) descripcin de las alternativas dedecisin; (2) determinacin del objetivo del estudio, y (3) especificacin de las limita-ciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.

La construccin del modelo implica un intento de transformar la definicin del pro-blema en relaciones matemticas. Si el modelo resultante se ajusta a uno de los modelosmatemticos estndar, como la programacin lineal, se suele obtener una solucin utili-zando los algoritmos disponibles. Por otra parte, si las relaciones matemticas son dema-siado complejas como para permitir la determinacin de una solucin analtica, el equipode IO puede optar por simplificar el modelo y utilizar un mtodo heurstico, o bien consi-derar la simulacin, si es lo apropiado. En algunos casos, una simulacin matemticapuede combinarse con modelos heursticos para resolver el problema de decisin, comolo demuestran los anlisis de casos del captulo 26, que se encuentra en el sitio web.

La solucin del modelo es por mucho la ms sencilla de todas las fases de IO por-que implica el uso de algoritmos de optimizacin bien definidos. Un aspecto importan-te de la fase de solucin del modelo es el anlisis de sensibilidad. Tiene que ver con laobtencin de informacin adicional sobre el comportamiento de la solucin ptimacuando el modelo experimenta algunos cambios de parmetros. El anlisis de sensibi-lidad es particularmente necesario cuando no se pueden estimar con precisin losparmetros del modelo. En estos casos es importante estudiar el comportamiento de lasolucin ptima en el entorno de los parmetros estimados.

La validez del modelo comprueba si el modelo propuesto hace en realidad lo quedice que hace, es decir, predice adecuadamente el comportamiento del sistema que seestudia? Al principio, el equipo de IO debe estar convencido de que el resultado del mo-delo no contenga sorpresas. En otras palabras, tiene sentido la solucin? Los resul-tados sin intuitivamente aceptables? Del lado formal, un mtodo comn de comprobarla validez de un modelo es comparar su resultado con resultados histricos. El modelo esvlido si, en condiciones de datos de entrada iguales, reproduce de forma razonable eldesempeo pasado. Sin embargo, no suele haber seguridad de que el desempeo futurocontinuar copiando el comportamiento pasado. Adems, como el modelo se basa en elexamen cuidadoso de datos pasados, la comparacin propuesta casi siempre es favora-ble. Si el modelo propuesto representara un sistema nuevo (inexistente), no habra datoshistricos disponibles. En esos casos podemos utilizar la simulacin como una herra-mienta independiente para comprobar el resultado del modelo matemtico.

La implementacin de la solucin de un modelo validado implica la transforma-cin de los resultados en instrucciones de operacin comprensibles que se emitirn alas personas que administrarn el sistema recomendado. La responsabilidad de estatarea recae principalmente en el equipo de IO.

1.8 ACERCA DE ESTE LIBRO

Morris (1967) afirma que la enseanza de los modelos no es lo mismo que la en-seanza del modelado. Tuve en cuenta esta importante aseveracin durante la prepa-

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Bibliografa 11

racin de la novena edicin, e hice todo el esfuerzo posible por presentar el arte delmodelado en la IO con la inclusin de modelos realistas en el libro. Dada la importan-cia de los clculos en la IO, el libro analiza la forma en que los algoritmos tericos seacomodan en los cdigos de computadoras comerciales (vea la seccin 3.7). Tambinpresenta herramientas extensivas para realizar los clculos, que van desde TORAorientado al aspecto tutorial, hasta los paquetes comerciales Excel, Excel Solver yAMPL.

La investigacin de operaciones es tanto un arte como una ciencia; el arte dedescribir y modelar el problema, y la ciencia de resolver el modelo utilizando algorit-mos matemticos precisos. Un primer curso en la materia debe permitir al estudianteapreciar la importancia de ambas reas. Esto proporcionar a los usuarios de IO laclase de confianza que normalmente no se obtendra si la capacitacin se enfocara sloen el aspecto artstico de la IO, con el pretexto que las computadoras pueden liberar alusuario de la necesidad de entender por qu funcionan los algoritmos de solucin.

Las habilidades de modelado y clculo pueden mejorarse por el estudio de loscasos prcticos editados. Para ayudarle en este sentido, el captulo 26 en el sitio webincluye 15 casos totalmente desarrollados y analizados que comprenden la mayorparte de los modelos de IO que se presentan en este libro. Tambin se incluyen 50casos basados en aplicaciones de la vida real en el apndice E en el sitio web. Se dispo-ne de ms estudios de casos en peridicos y publicaciones. En particular, Interfaces(publicado por INFORMS) es una rica fuente de diversas aplicaciones de IO.

BIBLIOGRAFA

Altier, W., The Thinking Managers Toolbox: Effective Processes for Problem Solving andDecision Making, Oxford University Press, Nueva York, 1999.

Checkland, P., Systems Thinking, System Practice, Wiley, Nueva York, 1999.Evans, J., Creative Thinking in the Decision and Management Sciences, South-Western

Publishing, Cincinnati, 1991.Gass, S., Model World: Danger, Beware the User as a Modeler, Interfaces, vol. 20, nm. 3, pgs.

60-64, 1990.Morris, W., On the Art of Modeling, Management Science, vol. 13, pgs. B707-B717, 1967.Paulos, J., Innumeracy: Mathematical Illiteracy and Its Consequences, Hill and Wang, Nueva

York, 1988.Singh, S., Fermats Enigma, Walker, Nueva York, 1997.Willemain, T., Insights on Modeling from a Dozen Experts, Operations Research, vol. 42, nm.

2, pgs. 213-222, 1994.

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13

2.1 MODELO DE PL CON DOS VARIABLES

En esta seccin analizaremos la solucin grfica de una programacin lineal (PL) condos variables. Aun cuando en la prctica difcilmente ocurren problemas de dos varia-bles, el tratamiento proporciona fundamentos concretos para el desarrollo del algorit-mo simplex general que se presenta en el captulo 3.

Ejemplo 2.1-1 (La compaa Reddy Mikks)Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores con dos materias primas, M1 y M2.La tabla siguiente proporciona los datos bsicos del problema.

Toneladas de materia prima por tonelada de Disponibilidad diaria mxima

(toneladas)Pintura para exteriores Pintura para interiores

Materia prima, M1 6 4 24Materia prima, M2 1 2 6

Utilidad por tonelada ($1000) 5 4

Aplicacin de la vida real. Frontier Airlines adquiere combustible de unamanera econmicaLa carga de combustible de un avin puede hacerse en cualquiera de las escalas a lolargo de una ruta de vuelo. El precio del combustible vara entre escalas y se pueden ob-tener ahorros potenciales cargando ms combustible en un lugar ms econmico parausarlo en tramos de vuelo subsecuentes. La desventaja es que el peso adicional del com-bustible cargado har que se consuma ms gasolina. La programacin lineal (PL) y laheurstica se utilizan para determinar la cantidad ptima de carga de combustible queequilibre el costo del consumo excesivo frente a los ahorros en el costo del combustible.El estudio, realizado en 1981, arroj ahorros netos de aproximadamente $350,000 alao. El caso 1 en el captulo 26 en el sitio web, proporciona los detalles del estudio. Esinteresante que ahora, con el reciente aumento del costo del combustible, muchas ae-rolneas estn utilizando software para adquirir combustible con base en la PL.

CAPTULO 2

Modelado con programacin lineal

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14 Captulo 2 Modelado con programacin lineal

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puedeexceder la de pintura para exteriores en ms de una tonelada. Asimismo, que la demanda diariamxima de pintura para interiores es de dos toneladas.

Reddy Mikks se propone determinar la (mejor) combinacin ptima de pinturas para inte-riores y exteriores que maximice la utilidad diaria total.

Todos los modelos de IO, incluido el de PL, constan de tres componentes bsicos.

1. Las variables de decisin que pretendemos determinar.2. El objetivo (la meta) que necesitamos optimizar (maximizar o minimizar).3. Las restricciones que la solucin debe satisfacer.

La definicin correcta de las variables de decisin es un primer paso esencial en el desarrollo delmodelo. Una vez hecha, la tarea de construir la funcin objetivo y las restricciones es ms directa.

Para el problema de Reddy Mikks necesitamos determinar las cantidades diarias que sedeben producir de pinturas para exteriores e interiores. As, las variables del modelo se definencomo sigue:

x1 Toneladas producidas diariamente de pintura para exteriores

x2 Toneladas producidas diariamente de pintura para interiores

La meta de Reddy Mikks es maximizar (es decir, incrementar lo ms posible) la utilidaddiaria de ambas pinturas. Los dos componentes de la utilidad diaria total se expresan en funcinde las variables x1 y x2 como sigue:

Utilidad de la pintura para exteriores 5x1 (en miles de dlares)

Utilidad de la pintura para interiores 4x2 (en miles de dlares)

Si z representa la utilidad diaria total (en miles de dlares), el objetivo (o meta) de Reddy Mikksse expresa como sigue

Maximizar z 5x1 4x2

A continuacin definimos las restricciones que limitan el consumo de las materias primas yla demanda del producto. Las restricciones en las materias primas se expresan verbalmente como

El consumo diario de la materia prima M1 es de 6 toneladas por tonelada de pintura para exte-riores, y de 4 toneladas por tonelada de pintura para interiores. Por lo tanto

Consumo de materia prima M1 por ambas pinturas 6x1 4x2 toneladas/da

Asimismo,

Consumo de materia prima M2 por ambas pinturas 1x1 2x2 toneladas/da

Las disponibilidades diarias de las materias primas M1 y M2 son de 24 y 6 toneladas, respectiva-mente. As pues, las restricciones en las materias primas son

6x1 4x2 # 24 (Materia prima M1)

x1 2x2 # 6 (Materia prima M2)

aConsumo de una materiaprima por ambas pinturas

b aDisponibilidad mximade materia prima

b

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2.1 Modelo de PL con dos variables 15

La primera restriccin en la demanda del producto estipula que la produccin diaria de pin-tura para interiores no debe exceder a la de pintura para exteriores en ms de 1 tonelada, lo cualse traduce en

x2 x1 # 1 (Lmite del mercado)

La segunda restriccin limita la demanda diaria de pintura para interiores a 2 toneladas, es decir,

x2 # 2 (Lmite de la demanda)

Una restriccin implcita (o sobreentendida) requiere que todas las variables, x1 y x2, asu-man slo valores positivos o cero. Las restricciones, expresadas como x1 $ 0 y x2 $ 0 se conocencomo restricciones de no negatividad.

El modelo completo de Reddy Mikks es

Maximizar z 5x1 4x2sujeto a

(1)(2)(3)(4)(5)

Todos los valores de x1 y x2 que satisfacen las cinco restricciones constituyen una solucin fac-tible. De lo contrario la solucin es no factible. Por ejemplo, la solucin x1 3 toneladas por da yx2 1 tonelada por da es una solucin factible porque no viola ninguna de las cinco restricciones.Este resultado se confirma sustituyendo (x1 3, x2 1) en el lado izquierdo de cada restriccin.En la restriccin (1) tenemos 6x1 4x2 6 3 4 1 22, la cual es menor que el lado derechode la restriccin ( 24). Las restricciones 2 a 5 se comprueban de la misma manera (hgalo!). Porotra parte, la solucin x1 4 y x2 = 1, es no factible porque no satisface por lo menos una restric-cin, por ejemplo la restriccin (1): 6 4 4 1 28, la cual es mayor que el lado derecho ( 24).

La meta del problema es determinar la solucin ptima, es decir la mejor solucin factibleque maximice la utilidad total z. Primero utilizamos el mtodo grfico (seccin 2.2) para demos-trar que el problema de Reddy Mikks tiene una cantidad infinita de soluciones factibles, una pro-piedad compartida por todas las PL no triviales. Esto significa que el problema no puede ser re-suelto por enumeracin. En vez de eso, necesitamos un algoritmo que determine la solucinptima en una cantidad finita de pasos. El mtodo grfico en la seccin 2.2, y su generalizacin al-gebraica en el captulo 3, explican los detalles del algoritmo deseado.

Comentarios. El objetivo y la funcin de restriccin en todas las PL deben ser lineales.Adicionalmente, todos los parmetros (coeficientes de las funciones objetivo y de restriccin)del modelo se conocen con certeza.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.1A

1. Para el modelo de Reddy Mikks, defina las siguientes restricciones y exprselas con unlado izquierdo lineal y un lado derecho constante:*(a) La demanda diaria de pintura para interiores supera la de pintura para exteriores

por al menos una tonelada.(b) El consumo diario de materia prima M2 en toneladas es cuando mucho de 6 y por

lo menos de 3.

x1, x2 0x2 2

- x1 + x2 1x1 + 2x2 6

6x1 + 4x2 24

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16 Captulo 2 Modelado con programacin lineal

*(c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de pin-tura para exteriores.

(d) La cantidad mnima de pintura que debe producirse tanto para interiores comopara exteriores es de 3 toneladas.

*(e) La proporcin de pintura para interiores respecto de la produccin total de pinturapara interiores y exteriores no debe exceder de 5.

2. Determine la mejor solucin factible entre las siguientes soluciones (factibles y no facti-bles) del modelo de Reddy Mikks:(a) , .(b) , .(c) , .(d) , .(e) , .

*3. Para la solucin factible x1 2, x2 2 del modelo de Reddy Mikks, determine las canti-dades no usadas de las materias primas M1 y M2.

4. Suponga que Reddy Mikks vende su pintura para exteriores a un solo mayorista con undescuento. La utilidad por tonelada es de $5000 si el contratista compra no ms de 2 to-neladas diarias, y de $4500 en los dems casos. Exprese matemticamente la funcin objetivo. Es lineal la funcin resultante?

2.2 SOLUCIN GRFICA DE LA PL1

La solucin grfica incluye dos pasos:

1. Determinar el espacio de soluciones factibles.2. Determinar la solucin ptima de entre todos los puntos localizados en el espa-

cio de soluciones.

A continuacin se muestran dos ejemplos para mostrar cmo se manejan las fun-ciones objetivo de maximizacin y minimizacin.

2.2.1 Solucin de un modelo de maximizacin

Ejemplo 2.2-1

Este ejemplo resuelve el modelo de Reddy Mikks del ejemplo 2.1-1.

Paso 1. Determinacin del espacio de soluciones factibles.Antes que nada, considere las restricciones de no negatividad x1 $ 0 y x2 $ 0. En la fi-gura 2.1, el eje horizontal x1 y el eje vertical x2 representan las variables de pinturapara exteriores e interiores, respectivamente. As pues, las restricciones de no negativi-dad limitan las variables al primer cuadrante (sobre el eje x1 y a la derecha del eje x2).

x2 = -1x1 = 2x2 = 1x1 = 2x2 = 1.5x1 = 3x2 = 2x1 = 2x2 = 4x1 = 1

1 La solucin grfica de una PL con dos variables, aunque difcilmente es til en la prctica, proporcionaideas que son cruciales para entender el mtodo simplex algebraico general que se presenta en el captulo 3.El mdulo grfico interactivo TORA es en especial til para experimentar con el mtodo grfico. La seccin2.3 presenta los paquetes comerciales Excel Solver y AMPL. Su uso se demuestra mediante diversas aplica-ciones de PL prcticas en la seccin 2.4.

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2.2 Solucin grfica de la PL 17

Para tener en cuenta las otras cuatro restricciones, primero sustituya cada desi-gualdad con una ecuacin, y luego trace la lnea recta resultante localizando dos puntosdiferentes. Por ejemplo, despus de sustituir 6x1 4x2 # 24 con la lnea recta 6x1 4x2 24, se determinan dos puntos distintos haciendo x1 0 para obtener

y luego que x2 0 para obtener De este modo, la lnea 6x1 4x2 24que pasa por los puntos (0,6) y (4,0) es la lnea (1) que se muestra en la figura 2.1.

A continuacin consideramos el efecto de la desigualdad que divide el plano (x1, x2) en dos semiplanos, uno a cada lado de la lnea trazada. Slo una de estas dosmitades satisface la desigualdad. Para determinar el lado correcto seleccionamos(0,0) como punto de referencia. Si (0,0) satisface la desigualdad, entonces el lado enque est es el semiplano factible; de lo contrario, es el otro lado. El uso del punto dereferencia (0,0) se ilustra con la restriccin 6x1 4x2 # 24. Como 6 3 0 4 3 0 0es menor que 24, el semiplano que representa la desigualdad (1) incluye el origen (loque se indica con la direccin de la flecha en la figura 2.1).

Conviene seleccionar (0,0) por computadora como punto de referencia porquesiempre da un valor de cero al lado izquierdo de la restriccin. Sin embargo, si lalnea pasa por el origen, en ese caso debe usarse como punto de referencia cualquierotro punto que no est sobre la lnea.

La aplicacin del procedimiento de punto de referencia a todas las restriccionesdel modelo produce las restricciones que se muestran en la figura 2.1 (comprube-lo!). El espacio de soluciones factibles es el rea en el primer cuadrante que satisfacetodas las restricciones al mismo tiempo. En la figura 2.1 todos los puntos en o sobreel lmite del rea ABCDEF definen el espacio de soluciones factibles. Todos los pun-tos fuera de esta rea son no factibles.

x1 = 246 = 4.x2 = 244 = 6

FIGURA 2.1

Espacio factible del modelo de Reddy Mikks

5

1

16x1 4x2 24

Restricciones:

2x1 2x2 6

3x1 x2 1

4x2 2

5x1 0

6x2 03

2

4

6

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3

D

Espaciode soluciones

E

F

A B

C

4 5 6x1

x2

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18 Captulo 2 Modelado con programacin lineal

Momento de TORA.

El mdulo de PL grfico TORA controlado por men es til para reforzar su com-prensin de cmo se grafican las restricciones de PL. Seleccione en el . Despus de ingresar el modelo, en el men seleccione . En la pantalla de resultados podr interactuar con eltrazo de las restricciones, una a la vez, para ver cmo afecta cada restriccin el espa-cio de soluciones.

GraphicalQSolveSOLVE/MODIFYMAIN menu

Linear Programming

Paso 2. Determinacin de la solucin ptima:La cantidad de puntos de solucin en el espacio factible ABCDEF de la figura 2.1 esinfinita. En consecuencia, se requiere un procedimiento sistemtico para determinarla solucin ptima.

En primer lugar, la direccin en la cual se incrementa la funcin de utilidad z 5x1 4x2 (recordemos que estamos maximizando z) se determina asignando valores cre-cientes arbitrarios a z. Por ejemplo, la utilizacin de z 10 y z 15 (arbitrarios)equivaldra a trazar las dos lneas 5x1 4x2 10 y 5x1 4x2 15, que identifican ladireccin en la cual se incrementa z, como se muestra en la figura 2.2. La solucinptima ocurre en C, el punto en el espacio de soluciones ms all del cual cualquierincremento adicional producir la solucin no factible.

Los valores de x1 y x2 asociados con el punto ptimo C se determinan resolvien-do las ecuaciones asociadas con las lneas (1) y (2):

x1 + 2x2 = 6

6x1 + 4x2 = 24

FIGURA 2.2

Solucin ptima del modelo de Reddy Mikks

1

2

3

2

1

0 1 2 3 4x1

x2

DE

F

(Maximizar z 5x1 4x2)

z inc

remen

-

tndo

se

z 10

z 15

z 21

x1 2x2 6

x1 3 toneladasptima:x2 1.5 toneladasz $21,000

A B

C

6x1 4x2 24

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2.2 Solucin grfica de la PL 19

La solucin es x1 3 y x2 1.5 con z 5 3 3 4 3 1.5 21, que demanda unacombinacin de producto diaria de 3 toneladas de pintura para exteriores, y 1.5 tone-ladas de pintura para interiores. La utilidad diaria asociada es de $21,000.

Una caracterstica importante de la solucin de PL ptima es que siempre estasociada con un punto de esquina del espacio de soluciones (donde, en dos dimensio-nes, se intersecan dos lneas). Esto es cierto incluso si la funcin objetivo es paralela auna restriccin. Por ejemplo, si la funcin objetivo es z 6x1 4x2, la cual es parale-la a la restriccin 1, siempre podemos decir que la solucin ptima ocurre en elpunto de esquina B o C. En realidad, cualquier punto sobre el segmento de lnea BCser una solucin ptima alternativa (vea tambin el ejemplo 3.5-2); sin embargo, laobservacin importante en este caso es que los puntos de esquina B y C definen to-talmente el segmento de lnea BC.

Momento TORA.

Puede interactuar con TORA para ver que la solucin ptima siempre est asociadacon un punto de esquina. En la pantalla de resultados puede hacer clic en

para modificar los coeficientes de la funcin objetivo y resolver de nuevo grficamente el problema. Puede utilizar las siguientes funcionesobjetivo para comprobar la idea propuesta.

(a)(b)(c)(d)(e)(f)

La notable observacin de que la solucin ptima de PL siempre est asociada con un punto deesquina indica que su bsqueda puede limitarse a una cantidad finita de puntos (y no a una infi-nita). De hecho, en este pequeo ejemplo la solucin ptima se determina tan slo con enume-rar todos los puntos de esquina, como se muestra en la tabla siguiente:

z = -x1 - x2

z = -2x1 + x2

z = -x1 + 2x2

z = x1 + 3x2

z = 5x1 + 4x2

z = 5x1 + x2

View/Modify Input Data

Punto de esquina ( , )x2x1 z

A (0, 0) 0B (4, 0) 20C (3, 1.5) 21 (PTIMA)D (2, 2) 18E (1, 2) 13F (0, 1) 4

A medida que aumenta la cantidad de restricciones y variables, los puntos de esquina tam-bin lo hacen, y el procedimiento de enumeracin propuesto se hace computacionalmenteimprctico. No obstante, la observacin con respecto al rol de los puntos de esquina al identificarla solucin ptima es clave para el desarrollo del algoritmo algebraico general, llamado mtodosimplex, que se estudiar en el captulo 3.

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20 Captulo 2 Modelado con programacin lineal

CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.2A

1. Determine el espacio factible para cada una de las siguientes restricciones independien-tes, dado que x1, x2 $ 0.

*(a)(b)(c)(d)

*(e)2. Identifique la direccin de incremento de z en cada uno de los casos siguientes:

*(a)(b)(c)

*(d)3. Determine el espacio de soluciones y la solucin ptima del modelo de Reddy Mikks

para cada uno de los siguientes cambios independientes:(a) La demanda diaria mxima de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas.(b) La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 toneladas.(c) La demanda diaria de pintura para interiores es exactamente 1 tonelada mayor que

la de pintura para exteriores.(d) La disponibilidad diaria de la materia prima M1 es por lo menos de 24 toneladas.(e) La disponibilidad diaria de la materia prima M1 es por lo menos de 24 toneladas, y

la demanda diaria de pintura para interiores es mayor que la de pintura para exte-riores en por lo menos 1 tonelada.

4. Una compaa que funciona 10 horas al da fabrica dos productos en tres procesos se-cuenciales. La siguiente tabla resume los datos del problema:

Maximizar z = -3x1 + x2Maximizar z = -x1 + 2x2Maximizar z = -5x1 - 6x2Maximizar z = x1 - x2

- x1 + x2 0x1 - x2 02x1 - 3x2 12x1 - 2x2 5- 3x1 + x2 6

Minutos por unidad Utilidad

Producto Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3 unitaria

1 10 6 8 $22 5 20 10 $3

Determine la combinacin ptima de los dos productos.*5. Una compaa fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos

80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compaa no puede vender ms de100 unidades de A por da. Ambos productos utilizan una materia prima, cuya disponibi-lidad diaria mxima es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lbpor unidad de A y de 4 lb por unidad de B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50, res-pectivamente. Determine la combinacin ptima de productos para la compaa.

6. Alumco fabrica lminas y varillas de aluminio. La capacidad de produccin mxima seestima en 800 lminas o 600 varillas por da. La demanda diaria es de 550 lminas y 580varillas. La utilidad por tonelada es de $40 por lmina y de $35 por varilla. Determine lacombinacin de produccin diaria ptima.

*7. Una persona desea invertir $5000 durante el prximo ao en dos tipos de inversin. Lainversin A redita 5% y la inversin B 8%. La investigacin de mercado recomiendauna asignacin de por lo menos 25% en A y cuando mucho 50% en B. Adems, la inver-

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2.2 Solucin grfica de la PL 21

sin A debe ser por lo menos de la mitad de la inversin B. Cmo deben asignarse losfondos a las dos inversiones?

8. La divisin de educacin continua del Colegio Comunitario Ozark ofrece un total de 30 cur-sos cada semestre. Los cursos ofrecidos suelen ser de dos tipos: prcticos y de humanidades.Para satisfacer las demandas de la comunidad, se deben ofrecer por lo menos 10 cursos decada tipo cada semestre. La divisin estima que los ingresos por el ofrecimiento de cursosprcticos y humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000 por curso, respectivamente.(a) Idee una oferta de cursos ptima para el colegio.(b) Demuestre que el costo por curso adicional es de $1500, el cual es igual al ingreso

por curso prctico. Qu significa este resultado en funcin de la oferta de cursosadicionales?

9. ChemLabs utiliza las materias primas I y II para producir dos soluciones de limpiezadomstica, A y B. Las disponibilidades diarias de las materias primas I y II son de 150 y145 unidades, respectivamente. Una unidad de solucin A consume .5 unidades de la ma-teria prima I, y 0.6 unidades de la materia prima II, en tanto que una unidad de la solu-cin B consume 0.5 unidades de la materia prima I, y .4 unidades de la materia prima II.Las utilidades por unidad de las soluciones A y B son de $8 y $10, respectivamente. Lademanda diaria de la solucin A es de entre 30 y 150 unidades, y la de la solucin B va de40 a 200 unidades. Determine las cantidades de produccin ptimas de A y B.

10. La tienda de abarrotes Ma-and-Pa tiene un espacio de anaqueles limitado y debe utilizar-lo con eficacia para incrementar las utilidades. Dos marcas de cereal, Grano y Wheatie,compiten por un total de espacio de 60 pies2en anaqueles. Una caja de Grano ocupa .2 pies2, y una caja de Wheatie requiere .4 pies2. Las demandas diarias mximas de Granoy Wheatie son de 200 y 120 cajas, respectivamente. Una caja de Grano redita una utili-dad neta de $1.00 y la de una de Wheatie es de $1.35. Ma-and-Pa considera que como lautilidad neta de Wheatie es 35% mayor que la de Grano, a Wheatie se le debe asignar35% ms espacio que a Grano, lo que equivale a asignar aproximadamente 57% aWheatie y 43% a Grano. Usted qu piensa?

11. Jack es un estudiante novato en la Universidad de Ulern. Se da cuenta de que slo traba-jo y nada de diversin me hacen ser un chico aburrido. Jack desea distribuir su tiempodisponible de aproximadamente 10 horas al da entre las tareas y la diversin. Estima quedivertirse es dos veces ms entretenido que hacer tareas. Pero tambin desea estudiar porlo menos el mismo tiempo que le quiere dedicar a la diversin. Sin embargo, Jack com-prende que para cumplir con sus tareas no puede divertirse ms de 4 horas al da. Cmodebe distribuir su tiempo para maximizar su placer tanto de trabajar como de divertirse?

12. Wild West produce dos tipos de sombreros tejanos. El sombrero tipo 1 requiere el doblede mano de obra que el tipo 2. Si toda la mano de obra disponible se dedica slo al tipo2, la compaa puede producir un total de 400 sombreros tipo 2 al da. Los lmites demercado respectivos para el tipo 1 y el tipo 2 son de 150 y 200 sombreros por da, respec-tivamente. La utilidad es de $8 por sombrero tipo 1, y de $5 por sombrero tipo 2.Determine la cantidad de sombreros de cada tipo que maximice la utilidad.

13. Show & Sell puede publicitar sus productos en la radio y la televisin locales. El presu-puesto para publicidad se limita a $10,000 al mes. Cada minuto de publicidad en radiocuesta $15 y cada minuto de comerciales en televisin $300. Show & Sell quiere anunciar-se en radio por lo menos dos veces ms que en televisin. Por el momento, no es prcticoutilizar ms de 400 minutos de publicidad por radio al mes. Por experiencias pasadas, seestima que la publicidad por televisin es 25 veces ms efectiva que la de la radio.Determine la asignacin ptima del presupuesto a publicidad por radio y televisin.

*14. Wyoming Electric Coop posee una planta generadora de energa de turbina de vapor.Como en Wyoming abundan los depsitos de carbn, la planta genera su vapor concarbn. Esto, sin embargo, puede conducir a emisiones que no satisfagan las normas de la Agencia de Proteccin Ambie