REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD RAFAEL BELLOSO CHACNFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVASESCUELA DE ADMNISTRACIN DE EMPRESASCTEDRA: INVESTIGACIN DE OPERACIONESSECCIN: E-312

INFORMECONCEPTOS BSICOS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES

PRESENTADO POR:

Br. Leal ,Yamaly C.I: 20775285Br. Sanchez, Sayara C.I: 20778370

Maracaibo, Septiembre de 2014NDICE

1. Investigacin de Operacin2. Importancia de Investigacin de Operacin3. Aspectos de la Investigacin de Operacin4. Toma de Decisin de la Investigacin de Operacin5. Origen de la Investigacin de Operacin6. Mtodo Cientfico7. Costo de Oportunidad8. Solucin ptima9. Solucin Factible10. Concepto de Holgura 11. Optimidad12. mbitos en los que se desarrolla la Investigacin de Operacin13. Programacin Lineal14. Mtodo de Programacin Lineal15. Teora de Decisiones (Incertidumbre, Riesgo)16. Administracin de Proyectos

1. Investigacin de OperacinThierauf la define como un mtodo cientfico para dar a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones con las operaciones que estn bajo su control. No obstante, Winstone lo describe como un enfoque cientfico en la toma de decisiones que busca el mejor diseo y operar un sistema; por lo regular en condiciones que requieren la asignacin de recursos escasos. Finalmente Prawda (2004), lo conceptualiza como una herramienta de aplicacin en grupos interdisciplinarios, del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-mquina) a fin de que produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organizacin. En base a lo antes mencionado, una posible definicin es: la Investigacin Operativa es la aplicacin del mtodo cientfico por equipos interdisciplinarios a problemas que comprenden el control y gestin de sistemas organizados (hombre- mquina); con el objetivo de encontrar soluciones que sirvan mejor a los propsitos del sistema (u organizacin) como un todo, enmarcados en procesos de toma de decisiones.

2. Importancia de Investigacin de OperacinSegn Tapia (2012), El principal objetivo de esta rea de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones. La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinstica, como en los Modelos de Programacin Matemtica, donde la teora de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilsticos. Hoy en da, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada ms complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologas para la formulacin matemtica de estos problemas y, conjuntamente, de mtodos y herramientas de resolucin, como los que provee la Investigacin de Operaciones.La investigacin de operaciones ha tenido un gran impacto en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. Por ejemplo, la organizacin la organizacin United Airlines tuvo un ahorro anual de 6 millones de pesos con la programacin de turnos de trabajo de oficina de reservaciones y aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mnimo. (Gerardo, 1990). Y as se podran mencionar un sin nmero de organizaciones que se han visto beneficiadas en gran medida por la Investigacin de Operaciones.

3. Aspectos de la Investigacin de OperacinSegn Tapia (2012), en esta disciplina se destacan las siguientes caractersticas esenciales: Una fuerte orientacin a Teora de Sistemas, La participacin de equipos interdisciplinarios, La aplicacin del mtodo cientfico en apoyo a la toma de decisiones.La contribucin del enfoque de Investigacin de Operaciones proviene principalmente de:a) La estructuracin de una situacin de la vida real como un modelo matemtico, logrando una abstraccin de los elementos esenciales para que pueda buscarse una solucin que concuerde con los objetivos del tomador de decisiones. Esto implica tomar en cuenta el problema dentro del contexto del sistema completo.b) El anlisis de la estructura de tales soluciones y el desarrollo de procedimientos sistemticos para obtenerlas.c) El desarrollo de una solucin, incluyendo la teora matemtica si es necesario, que lleva al valor ptimo de la medida de lo que se espera del sistema (o quiz que compare los cursos de accin opcionales evaluando esta medida para cada uno).4. Toma de Decisin de la Investigacin de OperacinLos procesos de decisin pueden desarrollarse bajo situaciones deterministas, aleatorias, de incertidumbre, o de competencia (adversas). Estas situaciones se modelan a travs de sistemas que tambin sern de tipo deterministas, aleatorios, inciertos o basados en situaciones de competencia (adversas). Los sistemas determinsticos interpretan la realidad bajo el principio de que todo es conocido con certeza. Los sistemas basados en situaciones aleatorias, de incertidumbre o de competencia, asocian la incertidumbre a los fenmenos a analizar, incertidumbre que puede resultar de la variacin propia de los fenmenos (variaciones que eluden a nuestro control, pero que tienen un patrn especfico) o incertidumbre resultante de la propia inconsistencia de esos fenmenos.Aplicando el mtodo cientfico, el Investigador de Operaciones construir uno o ms modelos (representaciones) del sistema, con sus operaciones correspondientes y sobre l realizar su investigacin. Los modelos de IO se pueden representar con ecuaciones las que, aunque puedan resultar complejas, tienen una estructura muy sencilla:

U = f (xi, yj)Segn restricciones:U es la utilidad o valor de ejecucin del sistema,xi son las variables no controlables, o dependientes, cuyos valores dependern delas interrelaciones y valores de las variables independientes.yj son las variables controlables, o independientes, con valores dados.f es una funcin en xi e yj.Frecuentemente se requieren una o ms ecuaciones o inecuaciones de las llamadas restricciones, para expresar el hecho de que algunas de las variables no controlables (o todas), pueden manejarse dentro de ciertos lmites. Por ejemplo, el tiempo de mquina asignado a la produccin de un producto siempre tendr valor positivo, y no ser mayor que el tiempo total disponible o asignado para tal fin; otro ejemplo, la suma del dinero presupuestado para cada departamento en un organizacin o industria no puede exceder la suma de dinero disponible, etc.Una vez obtenido el modelo, ste puede usarse para encontrar exacta o aproximadamente los valores ptimos de las variables no controlables, aquellas que producen la mejor ejecucin del sistema, es decir, la solucin al problema.

5. Origen de la Investigacin de OperacinPara Winston (1994), la bsqueda de la mejor solucin (mxima, mnima, o tambin la ptima) para una variedad de problemas ha divertido e intrigado al hombre a travs de las pocas. Euclides en su libro III, describi formas de encontrar las lneas rectas de mayor y menor longitud, desde un punto hasta la circunferencia de un crculo; y en el libro IV, el paralelogramo de mayor rea para un permetro dado. Los grandes matemticos de los siglos XVI a XVIII desarrollaron la teora y proceso de optimizacin que resuelven difciles problemas geomtricos, dinmicos y fsicos, tales como las curvas de revolucin mnima o la curva de descenso ms rpido.En general, la historia no se escribe con exactitud, pero si se pueden recopilar hechos que describan de alguna manera la evolucin conocida de acuerdo con escritos, estudios e investigaciones encontradas. Las tcnicas utilizadas en la aplicacin de la IO conducen al pasado siglo XX, pero tambin al pasado remoto de siglos como antecedentes. Para ello es conveniente fijarse en la idea fundamental de la IO que es elmtodo cientficocuyo origen exacto se desconoce. En escritos hechos hace milenios como es el Antiguo Testamento se menciona a Jetro, suegro de Moiss, como autor de un tratado de principios de organizacin y ms recientemente, en el antepasado siglo XIX, Charles Babbage es autor del trabajo On the Economy of Machinery and Manufactures. Al ingeniero Frederick Winslow Taylor, norteamericano de origen, se le reconoce la paternidad de la Administracin Cientfica debido a sus investigaciones sobre las obligaciones y tareas de los jefes de taller, as como tambin de la produccin diaria individual segn la capacidad del obrero para tareas especficas, definiendo as la divisin del trabajo mediante capacitacin, seleccin y adiestramiento de los trabajadores. Adems, Taylor aplic el anlisis cientfico a los problemas de manufactura, estableciendo normas de trabajo y la especializacin. Por su parte Henry L. Gant, plane las tareas de las mquinas para evitar demoras de produccin. As es posible fijar fechas de entrega con ms seguridad. Tambin contribuy al enfoque cientfico incluyendo el aspecto humano como integrante.Con el inicio del siglo XX, los investigadores tambin utilizaron procedimientos cientficos para analizar problemas localizados fuera de las ciencias puras como son la Fsica, la Qumica, la Biologa, entre otras ms, pero en la dcada que se inicia en 1910, Taylor se dedic a buscar la eficiencia para las tareas haciendo valer los estudios de tiempos y movimientos de Frank y Lillian Gilbreth eliminando movimientos innecesarios y desperdicios en cada tarea. En la misma dcada durante la 1. Guerra Mundial, se le confi a Thomas A. Edison el averiguar las maniobras ms eficaces de los barcos mercantes para disminuir los embarques perdidos por ataques de los submarinos enemigos. Edison emple un "tablero tctico" como modelo para simular las operaciones reales.Un ingeniero dans A. K. Erlang hizo experimentos relacionados con las fluctuaciones de la demanda telefnica en equipo automtico quedando estos trabajos como fundamento de muchos modelos matemticos que se usan actualmente en los estudios de Teora de Colas o Lneas de Espera. En 1937, a punto de empezar la Segunda Guerra Mundial, se junt en el Reino Unido a un equipo de matemticos, ingenieros y cientficos en reas bsicas, para estudiar los problemas estratgicos y tcticos asociados con la defensa del pas. Se form un equipo cuyo objetivo era determinar la utilizacin ms efectiva de los limitados recursos militares. En consecuencia, a las actividades de este grupo se le llam Investigacin Operacional, que es terminologa comn en el medio militar. Primero se les pidi ayuda para los militares en la utilizacin eficiente del radar para localizar aviones enemigos; despus en 1940 se reuni otro grupo, elcirco de Blackettencabezado por el distinguido fsico ingls P. Blackett para estudiar la actuacin del equipo de control de caones en el campo; haba tres fisilogos, cuatro matemticos, un fsico, un astrofsico, un oficial militar y un agrimensor.En los Estados Unidos de Norteamrica se motivaron por los xitos alcanzados por los grupos britnicos, en Abril de 1942 se decidi introducir la IO a nivel superior, emprendiendo tambin estudios tales como: problemas logsticos complejos, el desarrollo de patrones de vuelo para aviones y la planeacin de maniobras navales. En la Fuerza Area se le dio el nombre de Anlisis de Operaciones y en el Ejrcito y la Marina los de Investigacin de Operaciones y Evaluacin de Operaciones, respectivamente. Cuando termin la guerra, la necesidad de reconstruir en la Gran Bretaa, dio lugar al surgimiento de otros problemas de administracin en sectores de gobierno e industria los cuales demandaron la actuacin de los mismos cientficos especializados en la IO.Tambin en los Estados Unidos de Norteamrica, en la dcada de 1950 con el desarrollo y comercializacin de las computadoras, los investigadores de operaciones y la gente asociada con las operaciones de la ltima guerra, se percataron que los estudios realizados en la misma eran de gran utilidad, aplicados a los problemas industriales. La computadora y el desarrollo de la IO motivaron a los ejecutivos industriales y a los especialistas de esta disciplina para reunirse y provocar su rpido crecimiento.La Programacin Lineal (PL) tuvo un gran impulso para la investigacin industrial dando entrada las empresas a muchos especialistas; las tcnicas Pert, control de inventarios, y la simulacin, empezaron a emplearse con xito; en vez de los simples promedios, se incluyeron la probabilidad y la estadstica tan tiles en cualquier estudio moderno.Actualmente el uso de la IO es extenso en reas de: contabilidad, compras, planeacin financiera, mercadotecnia, planeacin de produccin, transporte y muchas otras ms, convirtindose en importante instrumento de competencia para los presupuestos y contratos.La siguiente tabla esboza parte de los estudios y tcnicas en que se apoyaron los grupos de IO en el desarrollo de esta disciplina.Antecedente histrico de Investigacin de Operaciones.- Desde el siglo XVI:

Figura 1. Tcnicas utilizadas en IO

Se puede observar que la IO fue desarrollada en el siglo XX con el apoyo, siglos atrs, de importantes aportaciones de cientficos que con su talento y dedicacin, dejaron slidos cimientos para los estudios de solucin en los sistemas actuales

6. Mtodo CientficoSegn Prawda, la naturaleza de la Investigacin de Operaciones radica en la aplicacin del mtodo cientfico.En particular, el proceso comienza por la observacin cuidadosa y la formulacin del problema, incluyendo la recoleccin de los datos pertinentes. Enseguida la construccin de un modelo cientfico, regularmente matemtico que represente al problema real y se establece una hiptesis de que el modelo es una representacin precisa de las caractersticas de la situacin de manera que las conclusiones obtenidas sean validas para el problema real. Despus se llevan a cabo las pruebas adecuadas para probar esta hiptesis y por ultimo modificarla si es necesario y eventualmente modificarla.Como se mencion anteriormente, la I.O. utiliza el mtodo cientfico, y como en toda metodologa, se requiere seguir una serie de pasos, como son:

1. La definicin del problema.2. Desarrollo de un modelo matemtico y la recoleccin de datos.3. Resolucin del modelo matemtico.4. Si la solucin encontrada, es vlida para el modelo entonces se implementa.5. Si la solucin encontrada, no es vlida, entonces hay modificarlo y formular un nuevo modelo que si se adecue al problema en cuestin.

7. Costo de OportunidadDe acuerdo con Hernndez (2006) este costo representa el sacrificio de las alternativas abandonadas al producir una mercanca o servicio, o bien, el beneficio que se sacrifica al no seguir en un curso alternativo de accin. Los costos de oportunidad no se registran en las cuentas, pero son importantes al tomar muchos tipos de decisiones comerciales. Por otra parte, Gonzlez y Snchez (2002) sealan que cuando un dlar se reserva al inventario pierde la oportunidad de invertirse en otra parte. La oportunidad perdida representa gran parte del costo de mantenimiento de los inventarios.

8. Solucin ptimaUna caracterstica adicional de la investigacin de operaciones es que intenta encontrar una mejor solucin, llamada solucin ptima para el problema en cuestin. (Se dice una mejor solucin y no la mejor solucin porque es posible que existan muchas soluciones que puedan considerarse como las mejores.) En lugar de conformarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de accin posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en trminos de las necesidades reales de la administracin, esta bsqueda del mejor camino es un aspecto importante de la IO. (Hillier y Lieberman, 2010).

9. Solucin FactibleEn programacin lineal, cualquier conjunto de valores especficos de las variables de decisin se llama una solucin, aunque sea solo una posibilidad deseable o ni siquiera permitida. Una solucin factible es aquella para que todas las restricciones se satisfagan. (Hillier y Lieberman, 2010). Las solucin factible es, entonces, la que satisface las condiciones de no negatividad y todas las restricciones. 10. Concepto de Holgura En el mtodo de la ruta crtica (CPM) o PERTCPM para la planeacin control de proyectos y de acuerdo con Fresno y Aja (2005), la identificacin de las holguras en la red se efecta a travs de las diferencias entre los momentos de comienzo ms tempranos y ms tardos, as como entre los tiempos de finalizacin ms tempranos y ms tardos. La tarea de direccin de la ejecucin de las actividades de un proyecto queda restringida a la distribucin de las tareas dentro de estos espacios de tiempo (superiores a la duracin de actividades).

11. OptimidadEn palabras de uno de los lderes ingleses de la investigacin de operaciones, Samuel Eilon (citado por Hillier y Lieberman, 2010) optimizar es la ciencia de lo absoluto; satisfizar es el arte de lo factible(p.13). Los equipos de IO intentan incorporar el proceso de toma de decisiones la mayor cantidad posible de la ciencia de lo absoluto. Sin embargo, un equipo que trabaja con xito debe reconocer la necesidad ms importante del tomador de decisiones: obtener una gua satisfactoria para sus acciones en un periodo razonable. Por lo tanto, la meta de un estudio de investigacin de operaciones debe ser la realizacin del proceso de manera ptima, sin importar si implica una solucin ptima para el modelo. La optimizacin es un enfoque que busca la mejor solucin a un problema.Ahora bien, dentro de la programacin lineal existe condicin de optimalidad, si todos los coeficientes del rengln 0 (o sea, todas las variables de la solucin bsica complementaria) son no negativos. En otras palabras, cuando una solucin en un vrtice es igual mejor que todas las soluciones factibles en los vrtices adyacentes a ella, hay optimalidad. (Taha, 2004).

12. mbitos en los que se desarrolla la Investigacin de OperacinPara Tapia (2012), como su nombre lo dice, Investigacin de Operaciones significa "hacer investigacin sobre las operaciones". Esto dice algo delenfoque como del rea de aplicacin. Entonces, la Investigacin de Operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conduccin y coordinacin de operaciones o actividades dentro de una organizacin. La naturaleza de la organizacin es esencialmente inmaterial y, de hecho, la Investigacin de Operaciones se ha aplicado en los negocios, la industria, la milicia, el gobierno, los hospitales, etc. As, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. Casi todas las organizaciones ms grandes del mundo (alrededor de una docena) y una buena proporcin de las industrias ms pequeas cuentan con grupos bien establecidos de Investigacin de Operaciones. Muchas industrias, incluyendo la area y de proyectiles, la automotriz, la de comunicaciones, computacin, energa elctrica, electrnica, alimenticia, metalrgica, minera, del papel, del petrleo y del transporte, han empleado la Investigacin de Operaciones. Las instituciones financieras, gubernamentales y de salud estn incluyendo cada vez ms estas tcnicas.Para ser ms especficos, se consideran algunos problemas que se han resuelto mediante algunas tcnicas de Investigacin de Operaciones. La programacin lineal se ha usado con xito en la solucin de problemas referentes a la asignacin de personal, la mezcla de materiales, la distribucin y el transporte y las carteras de inversin. La programacin dinmica se ha aplicado con buenos resultados en reas tales como la planeacin de los gastos de comercializacin, la estrategia de ventas y la planeacin de la produccin. La teora de colas ha tenido aplicaciones en la solucin de problemas referentes al congestionamiento del trfico, al servicio de mquinas sujetas a descomposturas, a la determinacin del nivel de la mano de obra, a la programacin del trfico areo, al diseo de presas, a la programacin de la produccin y a la administracin de hospitales. Otras tcnicas de Investigacin de Operaciones, como la teora de inventarios, la teora de juegos y la simulacin, han tenido exitosas aplicaciones en una gran variedad de contextos.

13. Programacin LinealSegn Winston (2005), es una herramienta para resolver problemas de optimizacin. Para Hillier y Lieberman (2010) la programacin lineal abarca el problema general de asiganr de la mejor manera posible (ptima) recursos limitados capital de trabajo, mano de obra, materiales, mquinas, espacio a actividades que compiten entre s por ellos.Adems, la programacin lineal utiliza un modelo matemtico para describir el problema, es decir, involucra la planeacin de actividades para obtener un resultado ptimo, el cual alcance mejor la meta especificada de acuerdo con el modelo matemtico, entre todas las alternativas posibles.Desde el punto de vista de Mathur y Solow (2000) un problema de programacin lineal, es aquel en el que la funcin objetiva y todas las restricciones son lineales y todas las variables son continuas (pueden asumir valores fraccionales).Araya (2005) agrega que su nombre se deriva del hecho de que, tanto la ecuacin matemtica que representa el objetivo, como las funciones que representan las restricciones del sistema, son de primer grado, es decir, funciones lineales.Ante lo expuesto por los autores consultados, se puede sealar que la programacin lineal consiste en plantear un objetivo dentro de un problema que est sujeto a restricciones, y mediante el mtodo cientfico buscar la mejor manera de distribuir unos recursos, que son limitados, a unas actividades que compiten por dichos recursos.

14. Mtodo de Programacin LinealCastillo et. al. (2002) plantean que, lo que distingue un problema de programacin lineal (PPL) de cualquier otro problema de optimizacin es que todas las funciones que en el intervienen son lineales. Una nica funcin no lineal hace que el problema no pueda clasificarse como problema de programacin lineal. Tngase en cuenta adems que en este libro se considerar que los problemas tienen siempre un nmero finito de restricciones.La funcin (lineal) se denomina funcin objetivo o funcin de coste, y es la funcin de ha de optimizarse. Como casos especiales, el problema puede tener exclusivamente restricciones de igualdad, de desigualdad de un tipo, de desigualdad del otro tipo, desigualdades de ambos tipos, igualdades y desigualdades, etc. Salvo que se indique lo contrario, se consideran problemas de minimizacin.Solucin factible: Un punto x = (x1, x2, . . . , xn) que satisface todas las restricciones se denomina solucin factible. El conjunto de todas esas soluciones es la regin de factibilidad.Solucin ptima: Un punto factible tal que f(x) f() para cualquier otro punto factible x se denomina una solucin ptima del problema.El objetivo de los problemas de optimizacin es encontrar un ptimo global. Sin embargo, las condiciones de optimalidad slo garantizan, en general, ptimos locales, si stos existen. Sin embargo, los problemas lineales presentan propiedades que hacen posible garantizar el ptimo global:Formulacin del problema: Si la regin factible est acotada, el problema siempre tiene una solucin (sta es una condicin suficiente pero no necesaria para que exista una solucin). El ptimo de un PPLes siempre un ptimo global. Si x y y son soluciones ptimas de un PPL, entonces cualquier combinacin (lineal) convexa de los mismos tambin es una solucin ptima. Las combinaciones convexas de puntos con el mismo valor de la funcin de coste presentan el mismo valor de la funcin de coste. La solucin ptima se alcanza siempre, al menos, en un punto extremo de la regin factible.Dado que un PPL puede plantearse de diversas formas, para unificar su anlisis, es conveniente transformarlo en lo que normalmente se llama forma estndar. A veces, esta transformacin ha de realizarse antes de resolver el PPL y determinar el ptimo. Para describir un PPL en forma estndar son necesarios los tres elementos siguientes:1. Un vector c IRn2. Un vector no negativo b IRm3. Una matriz m n, ACon estos elementos, el problema lineal asociado y en forma estndar tiene la siguiente forma. Minimizar:Z = cT xsujeto aAx = bx 0 (4.9)donde cT x indica producto escalar de los vectores c y x, Ax es el producto de la matriz A y el vector x, y x 0 hace que todas la componentes de los vectores factibles sean no negativas. Los problemas de programacin lineal se estudian normalmente en esta forma. Tpicamente, n es mucho mayor que m.En resumen, un problema de programacin lineal se dice que est en forma estndar si y slo si1. Es de minimizacin.2. Slo incluye restricciones de igualdad.3. El vector b es no negativo.4. Las variables x son no negativas.

15. Teora de Decisiones (Incertidumbre, Riesgo)En condiciones de riesgo, los beneficios asociados con cada alternativa de decisin estn representados por distribuciones de probabilidad, y la decisin puede basarse en el criterio de valor esperado, maximizacin de la utilidad esperada o la minimizacin del costo esperado. (Taha, 2004).De igual manera para Taha (2004) La toma de decisiones bajo incertidumbre, as como bajo riesgo, implica acciones alternativas cuyas retribuciones dependen de los estados de la naturaleza (aleatorios).Especficamente, la matriz de retribucin de un problema de decisin con m acciones alternativas y n estados de la naturaleza puede representarse como:

El elemento ai representa la accin i y el elemento s, representa el estado de la naturaleza j. La retribucin o resultado asociado con la accin ai y el estado sj es v(ai, sj).En la toma de decisiones bajo incertidumbre, la distribucin de probabilidad asociada con los estados sj, j 5 1,2,, n, o se desconoce o no puede ser determinada. Esta falta de informacin condujo al desarrollo de criterios de decisin especiales:1. Laplace2. Minimax3. Savage4. HurwiczEstos criterios difieren en el enfoque que adopte el tomador de decisiones ante el problema.

16. Administracin de ProyectosLa administracin de proyectos es una tcnica que permite determinar la duracin de un proyecto, el detectar las actividades que son clave para terminarlo en ese tiempo, el optimizar el uso de los recursos disponibles (Gonzlez, 1999).En este sentido, una de las etapas ms importantes de un proyecto es su planeacin; calcular cunto tiempo y recursos requiere, calcular la rentabilidad esperada. Una vez que el proyecto se aprueba y empieza a ejecutarse, el seguimiento o control es fundamental para el aseguramiento de su conclusin en el tiempo y al costo planeado, o minimizar el impacto de desviaciones que se puedan presentar en su desarrollo. Cuando el proyecto termina, una evaluacin final compara lo planeado contra lo real..

FUENTES CONSULTADAS

Araya, C. (2005). Historia del Derecho Constitucional Costarricense. Editorial Universidad Estatal a Distancia, EUNED. San Jos de Costa Rica, Costa Rica.Castillo, E., Conejo, A., Pedregal, P., Garca, R. y Alguacil, N. (2002). Formulacin y Resolucin de Modelos de Programacin Matemtica en Ingeniera y Ciencia. Universidad de Castilla-La Mancha. Espaa.Fresno, D. y Aja, J. (2005). Organizacin y Control de Obras. Universidad de Cambria, Cambria, Espaa.Gonzlez, A y Sanchez, G. (2000). Investigacin de Operaciones en la Ciencia Administrativa: Construccin de Modelos para la Toma de Decisiones con Hojas de Clculo Electrnicas. Editorial Pearson Educacin. Barcelona, Espaa.Gonzlez, F. (1999). Breve Introduccin a la Investigacin de Operaciones. Universidad Autnoma de San Luis Potos. Mxico, Mxico.Hernndez, G. (2006). Diccionario de Economa. Universidad Cooperativa de Colombia. Bogot, Colombia.Hillier, F. y Lieberman, G. (2010). Introduccin a la Investigacin de Operaciones. (9na. Ed.). Editorial Mc. Graw-Hill. Mxico, Mxico.Prawda, J. (2004). Mtodos y Modelos de Investigacin de Operaciones. Editorial Limusa. Mxico.Taha, H. (2004). Investigacin de Operaciones. Editorial Pearson Educacin. Madrid, Espaa.Tapia, L. (2012). Introduccin a la Investigacin de Operaciones. Universidad Equinoccial. Ecuador.Winston, W. (2005). Investigacin de Operaciones, Aplicaciones y Algoritmos. Editorial. Editorial Thompson Internacional. Barcelona, Espaa.