Investigación de Operaciones - Unidad 1

Investigación de Operaciones

Unidad 1: Programación lineal

PROFR: ING. JUAN MANUEL RODRIGUEZ VAZQUEZ

ALUMNO: NAVARRO RAYO ADAIR

NÚMERO DE CONTROL: 10320933

Instituto Tecnológico de

Acapulco

Investigación de operaciones Unidad 1: Programación Lineal

AULA: 704 HORARIO: LUNES - JUEVES, 12:00 A 13:00

13 de Octubre de 2011

1. PROGRAMACIÓN LINEAL

1.1 Definición, desarrollo y tipos de modelos de investigación de operaciones

Las primeras actividades formales de investigación de operaciones se dieron en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial, cuando se encomendó a un equipo de científicos ingleses la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos. Al término de la guerra, las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil. Hoy en día, la investigación de operaciones es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones.

La Investigación de Operaciones (IO) o Investigación Operativa es una rama de las matemáticas que hace uso de modelos matemáticos y algoritmos con el objetivo de ser usado como apoyo a la toma de decisiones. Se busca que las soluciones obtenidas sean significativamente más eficientes (en tiempo, recursos, beneficios, costos, etc.) en comparación a aquellas decisiones tomadas en forma intuitiva o sin el apoyo de una herramienta para la toma de decisiones.

El primer paso crucial de cualesquiera de esos modelos es la definición de las alternativas o las variables de decisión del problema. A continuación, se usan las variables de decisión para construir la función objetivo y las restricciones del modelo. Terminados los tres pasos, el modelo de investigación de operaciones se suele organizar con el siguiente formato general:

Maximizar o minimizar la función objetivo

Sujeta a

restricciones

NAVARRO RAYO ADAIR - 10320933


Una solución del modelo es factible si satisface todas las restricciones. Es óptima sí, además de ser factible, produce el mejor valor (máximo o mínimo) de la función objetivo. Aunque los modelos de investigación de operaciones deben “optimizar” determinado criterio objetivo sujeto a un conjunto de restricciones, la calidad de la solución que se obtenga depende de la exactitud del modelo parar representar el sistema real.

En la investigación de operaciones no se tiene una sola técnica general con laque se resuelvan todos los modelos matemáticos que surgen en la práctica. En lugar de ello, la clase y la complejidad del modelo matemático determina la naturaleza del método de solución. La técnica más importante de investigación de operaciones es la programación lineal. Se diseña para modelos con funciones objetivos y restricciones estrictamente lineales. Hay otras técnicas, como la programación entera, en la que las variables toman valores enteros; la programación dinámica, en la que todo modelo original se puede descomponer en subproblemas más pequeños; la programación de re, en la que el problema se puede modelar como una red, y la programación no lineal, en la que las funciones del modelo no son lineales.

FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Un estudio de investigación de operaciones se basa en la labor de equipo, donde los analistas de investigación de operaciones, y el cliente trabajan hombro con hombro. Como herramienta de toma de decisiones, la investigación de operaciones es una ciencia y un arte. Es una ciencia por las técnicas matemáticas que presenta, y es un arte porque el éxito de todas las fases que anteceden y siguen a la resolución del modelo matemático depende mucho de la creatividad y la experiencia del equipo de investigación de operaciones.

Las fases principales de la implementación de la investigación de operaciones en la práctica comprenden:

1. La definición del problema implica definir el alcance del problema que se investiga. Su resultado final será identificar tres elementos principales del problema de decisión, que son: 1) la descripción de las alternativas de decisión; 2) La determinación del objetivo de estudio, y 3) la especificación de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.

2. La construcción del modelo implica traducir la definición del problema a relaciones matemáticas.

3. La solución del modelo es, con mucho, la fase más sencilla de todas las de la investigación de operaciones, porque supone el uso de algoritmos bien definidos de optimización. Un aspecto importante de la fase de solución del modelo es el análisis de sensibilidad.

4. La validación del modelo comprueba si el modelo propuesto hace lo que se quiere que haga, esto es, ¿predice el modelo en forma adecuada el



comportamiento del sistema que se estudia? El modelo es válido si, bajo condiciones de datos semejantes, reproduce el funcionamiento en el pasado.

5. La implementación de la solución de un modelo validado implica la traducción de los resultados a instrucciones de operación, emitidas en forma comprensible para las personas que administrarán al sistema recomendado.

TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

(a) Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión.

(b) Modelo de Simulación: Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se enlazan entre sí vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.

Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no está libre de inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos.

Modelos de Investigación de Operaciones de la ciencia de la administración: Los científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de decisiones.

Modelos Formales: Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el mundo real. Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos deterministicos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los datos que los modelos utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. En los modelos probabilísticos (o estocásticos), alguno de los datos importantes se consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos.

Modelo de Hoja de Cálculo Electrónica: La hoja de cálculo electrónica facilita hacer y contestar preguntas de “que si” en un problema real. Hasta ese grado la hoja de cálculo electrónica tiene una representación selectiva del problema y desde este punto de vista la hoja de cálculo electrónica es un modelo.



1.2 Formulación de modelos

Un modelo puede definirse como una abstracción selectiva de la realidad.

Los modelos deben de considerarse como vehículos o formas de resumir un problema de decisión en forma tal que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Posteriormente se tomará una decisión seleccionando la alternativa que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones posibles.

Los modelos más utilizados en la investigación de operaciones son los modelos matemáticos o simbólicos, los cuales constan principalmente de tres elementos:

1. Una función objetivo: Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la firma desea alcanzar.

2. Restricciones y decisiones: Debe haber cursos alternativos de acción o decisiones, uno de los cuales permite alcanzar el objetivo.

3. Variables de decisión: Debemos estar en capacidad de expresar las decisiones del problema, incorporándolas a la función objetivo y a las restricciones sobre decisiones, usando solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales. Es decir, debemos estar en capacidad de formular el problema como un modelo de programación lineal.

La solución a un modelo puede ser exacta pero no será útil a menos que el modelo ofrezca una representación adecuada de la situación real.

Este tipo de modelos se emplean cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión.

En el mundo real de la ciencia administrativa se utilizan por lo general dos modelos formales:

a) Los modelos deterministicos en los cuales los datos relevantes se dan por conocidos.

b) Los modelos probabilísticos o estocásticos son aquellos en que algunos de los datos importantes se consideran inciertos aunque se puede especificar la probabilidad asociada a esos datos.

Maximizar (Z) - Utilidades

1. Función objetivo ó



Minimizar (C) - Costos

Función objetivo (Z ó C) = C1X1+C2 X2+C3 X3+…+Cn Xn

Donde:

C j Son las conclusiones o costos asociados con cada una de las variables de

decisión.

X j Son las variables de decisión o las incógnitas que se tratan de encontrar.

j = 1 n

2. Restricciones

a11x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn+≤b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3+…+a2n xn+≤b2

am1 x2+am2 x3+am3 x3+…+amn xn+≤bm

Donde:

a ij Son los coeficientes tecnológicos que significa el recurso utilizado por

cada una de las variables de decisión en cada una de las restricciones.

b i Es la disponibilidad de recursos (las limitaciones). Donde i = 1 m.

3. Condición de no negatividad

x1 , x2 , x3 ,…,xn≥0



Ejemplo número 1:

La empresa “El Coloso S.A.” produce dos fuentes de poder para computadoras, del tipo A es de 250 watts y del tipo B es de 500 watts. El departamento contable ha calculado que la utilidad al vender el producto tipo A es de $100.00, y el tipo B es de $120.00. Cada producto debe pasar por 3 departamentos diferentes; para procesar la fuente de poder tipo A se utilizan 20 horas de proceso en el departamento 1, 30 horas en el departamento 2 y 10 horas en el departamento 3. La fuente de poder tipo B requiere de 30 horas en el departamento 1, 20 en el departamento 2 y 10 horas en el departamento 3.

El departamento 1 tiene una capacidad laboral de 1500 horas, el departamento 2 tiene la misma capacidad y el departamento 3 tiene una capacidad de 600. ¿Cuántas fuentes de poder de cada tipo se deberán producir de tal forma que la empresa maximice sus utilidades?



Ejemplo número 2:

La fábrica de muebles “Papagayo” produce dos tipos de comedores; el estilo Acapulco y el estilo Chilpancingo. La venta del comedor estilo Acapulco nos deja una utilidad de $200.00 y la venta del otro deja una utilidad de $240.00. Los dos comedores requieren pasar por el departamento de construcción y de pintura. El comedor estilo Acapulco requiere de 6 horas en el departamento de construcción y 8 horas en el departamento de pintura. El estilo Chilpancingo requiere 12 horas en el departamento de construcción y 4 horas en el departamento de pintura. La capacidad del departamento de de construcción es de 120 horas y el de pintura es de 64 horas. El gerente desea saber cuántos comedores hacer da cata tipo de tal suerte que maximice su utilidad.



1.3 Método gráfico

Usualmente las gráficas no son el mejor método para resolver problemas de programación lineal del mundo real, ya que no podemos dibujar en más de tres dimensiones. No obstante, una solución gráfica para un problema de tres (o menos) dimensiones es efectiva para entender mejor la estructura de los modelos de programación lineal. Los gráficos sirven como tremenda ayuda para el entendimiento de la solución óptima de los modelos de programación lineal.

Procedimiento gráfico – Maximización

Paso 1. Representar gráficamente las restricciones del problema de programación lineal.

Paso 2. Ubicar todos los puntos de intersección de la gráfica.

Paso 3. Probar todos los puntos de intersección para observar cuál aporta el máximo beneficio.

Procedimiento gráfico – Minimización

Muchos problemas propios de los negocios requieren la minimización en algunos objetivos en lugar de la maximización. El procedimiento gráfico para la minimización es el mismo de la maximización con una pequeña modificación en el Paso 3. El Paso 3 para minimización sería: Probar todos los vértices para analizar cuál aporta el mínimo costo total.

Representación del método gráfico.



Ejemplo número 3:

La fábrica de muebles “Papagayo” produce dos tipos de comedores; el estilo Acapulco y el estilo Chilpancingo. La venta del comedor estilo Acapulco nos deja una utilidad de $200.00 y la venta del otro deja una utilidad de $240.00. Los dos comedores requieren pasar por el departamento de construcción y de pintura. El comedor estilo Acapulco requiere de 6 horas en el departamento de construcción y 8 horas en el departamento de pintura. El estilo Chilpancingo requiere 12 horas en el departamento de construcción y 4 horas en el departamento de pintura. La capacidad del departamento de de construcción es de 120 horas y el de pintura es de 64 horas. El gerente desea saber cuántos comedores hacer da cata tipo de tal suerte que maximice su utilidad.



Ejemplo número 4:

La fábrica de pinturas “La Condesa” fabrica dos tipos de pintura: para exterior y para interior. Para la fabricación de estas pinturas utiliza dos componentes básicos: el A y el B para la producción de estas pinturas. La disponibilidad máxima del componente A es de 6 toneladas diarias y la del B es de 8. Los requisitos diarios para la fabricación de la pintura exterior de la materia prima A es de 1 tonelada y del componente B son de 2 toneladas. Para la fabricación de la pintura interior se requieren 2 toneladas del componente A y 1 tonelada del componente B.

La utilidad que nos deja la venta de la pintura exterior por tonelada es de $3,000.00 y la pintura de interiores nos deja $2,000.00.

Determinar el número de toneladas de pintura de exteriores y de interiores que deberá fabricarse diariamente para maximizar su utilidad.

Determinar:

a) El modelo matemáticob) Resolver este problema usando el método gráfico



1.4 Fundamentos del método simplex

El método simplex, puede resolver problemas de programación lineal hasta con varios millares de variables y restricciones. Con el procedimiento gráfico, el método simplex encuentra la solución óptima (mínimo costo o máximo beneficio) en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Es decir, haciendo caso omiso del número de variables de decisión y restricciones, el método simplex usa la propiedad clave de un problema de programación lineal, el cual es:

Un problema de programación lineal siempre tiene una solución que está localizada en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles.

El método simplex es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los vértices de Optimalidad. El método simplex para (o termina) una vez que se haya encontrado la solución optima.

CONCEPTOS BÁSICOS DEL MÉTODO SIMPLEX

Variables de holgura

El método simplex requiere que las restricciones sean ecuaciones (o restricciones con relación de igualdad) en vez de inecuaciones (o restricciones con relación de desigualdad). Cualquier inecuación puede ser convertida en una ecuación agregando una cantidad no negativa en el “lado de menor valor de la inecuación”. A esa variable que se agrega se le conoce como variable de holgura y es importante mencionar que las variables de holgura nunca pueden ser negativas.

Variables básicas y soluciones básicas factibles

Si tenemos más variables que ecuaciones, podemos tener un conjunto extra de variables iguales a cero, obteniendo así un sistema con igual número de variables y restricciones. Una solución así es llamada una solución básica y, por supuesto, estamos interesados en encontrar soluciones básicas de tal manera que todas las variables tengan valores no negativos.

Las variables que tienen valores positivos en una solución básica factible son llamadas variables básicas, las otras variables, que tienen valor cero, son llamadas variables no básicas.

En resumen, los aspectos más importantes son:

1. Hay un vértice del conjunto de soluciones factibles que es la máxima utilidad.



2. Cada vértice del conjunto de soluciones factibles corresponde a una solución básica factible de las ecuaciones restricciones (obtenidas por la adición de variables de holgura a las inecuaciones).

3. Cada solución básica factible corresponde a una solución de vértice del conjunto de soluciones factibles.

A continuación se muestran los pasos del método simplex para resolver un problema de programación lineal:

Paso 0: Adicione las variables de holgura a todas las inecuaciones.

Paso 1: Encuentre uan solución básica factible inicial para el sistema de ecuaciones.

Paso 2: Encuentre una solución básica factible mejor.

Paso 3: Resuelva la nueva solución básica factible “Mejor”. Este paso tiene dos partes: determinar la variable a salir de la base y resolver para los nuevos valores de las variables básicas. Después de identificar las variables entrantes y salientes, se deben encontrar los valores de las restantes variables básicas.

RESÚMEN DE LOS ASPECTOS SOBRE EL MÉTODO SIMPLEX:

1. El método simplex encuentra una solución optima (o una solución básica óptica factible).

2. El método simplex es un método de cambio de bases. Una variable entra a la base, la variable básica entrante, y una variable sale de la base, la variable básica saliente.

3. El método de cambio de base implica el remplazo de un sistema de restricciones-ecuaciones por un sistema equivalente de restricciones-ecuaciones.

4. En un sistema de restricciones-ecuaciones, una ecuación puede ser reemplazada por una ecuación equivalente aplicando las operaciones siguientes:

O1: remplazar una ecuación por sí misma, tantas veces una constante

diferente de cero.

O2: remplazar una ecuación por sí misma, sumada a tantas veces una

constante diferente de cero otra ecuación de restricción.

5. El método simplex requiere que la función objetivo sea expresada de tal forma que cada variable básica, tenga como coeficiente 0.

6. El método simplex requiere que cada variable básica aparezca una y solamente una ecuación-restricción.



CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal utiliza modelos matemáticos para describir los problemas que se presentan. Utilizaremos el término de programación como un sinónimo de planeación y el adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo son funciones lineales. La programación lineal estudia problemas de minimizar o maximizar una función lineal con restricciones lineales.

Para identificar los problemas de optimización de recursos como problema de programación lineal se requieren de varias suposiciones:

Proporcionalidad: Esto significa que si se incrementa al doble el valor de una variable entonces se doblará la contribución al costo total y a cada una de las restricciones.

Aditividad: Esta suposición garantiza que el costo total es la suma de los costos individuales.

Divisibilidad: Esta suposición asegura que las variables de decisión se pueden dividir en cualquier nivel proporcional de modo que se permiten valores no enteros para las variables de decisión.

Optimalidad: En un problema de programación lineal una solución de máxima utilidad o mínimo costo siempre ocurre en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles.

Para aplicar la programación lineal se requieren las siguientes condiciones:

1. Deben de existir recursos limitados (trabajadores, dinero, etc.) de otra manera no habrá problema.

2. Debe de existir una función objetivo (maximizar utilidades o minimizar costos).

3. Debe de existir linealidad (proporcionalidad).

4. Deben de existir funciones homogéneas (los artículos producidos deberán ser idénticos o todas las horas disponibles serán igualmente productivas).



Los problemas de programación lineal se pueden plantear de diferentes formas equivalentes a través de manipulaciones apropiadas. Existen tres formas que son de bastante utilidad para el planteamiento de estos problemas. Estas son:

1. La forma canónica: Esta forma es de bastante utilidad al explorar la relación de dualidad. Un problema de programación lineal está en forma canónica si para un problema de:

1. Maximizar las variables son no negativas y las restricciones son de ≤ . De minimizar las variables son negativas y las restricciones son de≥.

2. Algunas restricciones son desigualdades.

3. Algunas limitaciones bi (el lado derecho de la restricción pueden ser negativas).

4. Algunas variables de decisión X j pueden ser negativas.

2. El método simplex solo puede aplicarse hasta que el problema se encuentre en la forma estándar. Se dice que un problema esta en la forma estándar si:

1. Todas las restricciones son ecuaciones.

2. Todas las variables son no negativas.

3. Las limitaciones de bi (el lado derecho de la restricción) son positivas.

4. La función objetivo puede ser de maximización o minimización.

3. La forma tabular: esta forma es muy útil para establecer la primera tabla del simplex. Esta tabla se logra al agregar las demás variables a la función objetivo y a las restricciones con coeficientes igual a cero (como todas las variables deben de participar en todas las ecuaciones se utiliza este artificio).



Estrategia para poder poner o convertir cualquier modelo de programación lineal en el modelo estándar:

1. Una restricción de tipo menor o igual ó mayor o igual ( ≤o≥ ) puede convertirse en una ecuación mediante la suma o la resta de una variable de holgura (slack).

Ejemplo:

2 x1+3 x2≤6 2 x1+3 x2+S1=6

2 x1+3 x2≥6 2 x1+3 x2−S1=6

2. El segundo miembro de una ecuación puede convertirse en un valor no negativo multiplicando ambos lados por menos uno (-1).

Ejemplo:

x1+4 x2=−6 −x1−4 x2=6

3. Se puede invertir la dirección de una desigualdad si ambos miembros los multiplicamos por menos uno (-1).

Ejemplo:

2 x1+6 x2≤8 −2 x1−6 x2≥−8

4. La minimización de una función es matemáticamente equivalente a la maximización negativa de esa función.

Ejemplo:

Min C = Max (-C)

Max = 2 x1+3 x2 Min C = −2 x1−3x2

5. Una ecuación puede ser reemplazada por dos desigualdades de sentido opuesto.

Ejemplo:

4 x1+3 x2≤6

4 x1+3 x2=6

4 x1+3 x2≥6





1.5 Aplicaciones diversas de programación lineal

Ejemplo número 5:

La fábrica de pinturas “La Condesa” fabrica dos tipos de pintura: para exterior y para interior. Para la fabricación de estas pinturas utiliza dos componentes básicos: el A y el B para la producción de estas pinturas. La disponibilidad máxima del componente A es de 6 toneladas diarias y la del B es de 8. Los requisitos diarios para la fabricación de la pintura exterior de la materia prima A es de 1 tonelada y del componente B son de 2 toneladas. Para la fabricación de la pintura interior se requieren 2 toneladas del componente A y 1 tonelada del componente B.

La utilidad que nos deja la venta de la pintura exterior por tonelada es de $3,000.00 y la pintura de interiores nos deja $2,000.00.

Determinar el número de toneladas de pintura de exteriores y de interiores que deberá fabricarse diariamente para maximizar su utilidad. Determinar usando la tabla simplex.



Ejemplo número 6:

La empresa “El Coloso S.A.” produce dos fuentes de poder para computadoras, del tipo A es de 250 watts y del tipo B es de 500 watts. El departamento contable ha calculado que la utilidad al vender el producto tipo A es de $100.00, y el tipo B es de $120.00. Cada producto debe pasar por 3 departamentos diferentes; para procesar la fuente de poder tipo A se utilizan 20 horas de proceso en el departamento 1, 30 horas en el departamento 2 y 10 horas en el departamento 3. La fuente de poder tipo B requiere de 30 horas en el departamento 1, 20 en el departamento 2 y 10 horas en el departamento 3.

El departamento 1 tiene una capacidad laboral de 1500 horas, el departamento 2 tiene la misma capacidad y el departamento 3 tiene una capacidad de 600. ¿Cuántas fuentes de poder de cada tipo se deberán producir de tal forma que la empresa maximice sus utilidades?



Bibliografía:

MOSKOWITZ, Herbert y WRIGHT, Gordon P. Investigación de Operaciones. Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México 1982. ISBN 968-880-041-4.

TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. 7ª edición. Editorial Pearson. México 2004. ISBN: 970-26-0498-2.

Páginas de Internet:

http://html.rincondelvago.com/investigacion-de-operaciones.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal


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