IRISAN KERUCUT

OlehNeng Siva Afni N (0704318)

Iis Ismayani (070434)

Pengertian

Himpunan titik (x, y) yang memenuhi

persamaan

AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0 disebut

irisan kerucut. Secara geometris kurvanya

dapat diperoleh dengan memotong suatu

kerucut tegak lurus dengan suatu bidang

datar.

Jenis-jenis Irisan Kerucut

Lingkaran

EllipsParabola

Hiperbola

Lingkaran

Bidang irisan tegak lurus sumbu kerucut, hasil

irisannya berbentuk lingkaran. Hasil irisannya berbentuk lingkaran

Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran.

Y

r

O X

P(x,y)

jari-jari (r) merupakan jarak titik pusat

lingkaran terhadap lingkaran.

Persamaan Lingkarana. Persamaan Lingkaran dengan pusat di (0,0)

Perhatikan gambar disamping!Jarak dari titik P(x,y) ke pusat lingkaran (0,0) adalah:

PO =

<=> r =

<=> r2 =

22 00 yx

22 yx

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di (0,0) adalah:

r2 =

22 yx

22 yx

Y

r

O X

P(x,y)

b. Persamaan lingkaran dengan pusat di (a,b)

Y

r

OX

P(x,y)

A(a,b)

Perhatikan gambar disamping!Jarak dari titik P(x,y) ke pusat lingkaran A(a,b) adalah:

PA =

<=> r =

<=> r2 =

22 byax

22 byax

22 byax

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di (a,b) adalah:

r2 = 22 byax

Contoh SoalBuktikan bahwa adalah persamaan lingkaran dan kemudian tentukan pusat dan jari-jarinya.

0204222 yxyx

0204222 yxyx

204222 yxyx

41204412 22 yyxx

2541 22 yx

2541 22 yx

0204222 yxyx

Jawab:

<=> <=> <=><=>

<=>

Jadi, terbukti bahwa persamaan adalah persamaan lingkaran dengan pusat (-1,4) dan jari-jari 5

Bidang irisan sejajar dengan salah satu garis pelukis, hasil irisannya

berbentuk parabola.

Gambar 4

Hasil irisan berbentuk parabola

PARABOLA

Definisi Parabola:

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik P sedemikian sehingga jarak

P dari suatu titik tertentu selalu sama jaraknya dari suatu garis tertentu.

O

A

Y

X

A’

F(P,0)

P(x,y)

x = -pGambar 5

Titik tertentu itu disebut fokus, garis tertentu itu disebut direktriks.

Garis yang tegak lurus pada direktriks dan melalui fokus disebut sumbu

parabola. Perpotongan antara sumbu dan parabola disebut puncak

parabola.

Untuk memperoleh persamaan parabola, ambil sumbu-sumbu koordinat

yang fokus F mempunyai koordinat F(p,0) dan garis direktriks AA’

mempunyai persamaan x = -p, dan puncak parabola (0,0). (lihat gambar 5)

Pengambilan sumbu-sumbu koordinat itu menuju ke persamaan yang

paling sederhana. Menurut definisi, jarak PF harus sama dengan jarak dari P

ke AA’ (tegak lurus).

Jarak P ke AA’ adalah px

Jarak P ke F adalah 22 0 ypx

Sehingga diperoleh:

22 0 ypxpx ... (kedua ruas dikuadratkan)

2

222

ypxpx

2222 2 ypxppxx 22222 22 yppxxppxx

222 ypxpx

pxy 42

Jadi, persamaan parabola dengan fokus F(p,0) dan garis direktriks x= -p

adalah pxy 42

Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan-persamaan parabola

dengan fokus dan direktriks yang berbeda.

Persamaan-persamaan parabola tersebut dapat disajikan dalam tabel

berikut.

Puncak (0,0)

Persamaan

Fokus Direktriks

Sumbu parabol

a

Grafiknya

(p,0) x = -p Sumbu x Terbuka ke kanan

(-p,0) x =p Sumbu x Terbuka ke kiri

(0,p) y = -p Sumbu y Terbuka ke atas

(0,-p) y = p Sumbu y Terbuka ke bawah

pxy 42

pxy 42

pyx 42

pyx 42

Puncak (h,k)

Persamaan Fokus Direktriks

Sumbu parabola

Grafiknya

(h+p,k) x = h-p y=k Terbuka ke kanan

(h-p,k) x =h+p y=k Terbuka ke kiri

(h,k+p) y = k-p x=h Terbuka ke atas

(h,k-p) y = k+p x=h Terbuka ke bawah

hxpky 42

hxpky 42

kyphx 42

kyphx 42

Contoh:

Tentukan koordinat fokus, koordinat titik puncak, persamaan direktriks,

dan lukiskan grafiknya dari parabola dengan persamaan 34

1 2 xxy

Jawab:

Persamaan di atas diubah menjadi bentuk umum persamaan parabola, diperoleh

34

1 2 xxy

1244 2 xxy

41224 2 xy

1624 2 xy

22164 xy

2244 xy

442 2 yx

4142 2 yx

Persamaan 4142 2 yx merupakan persamaan parabola dengan

puncak (h,k) dengan persamaan kyphx 42maka grafik terbuka ke atas

sehingga diperoleh

P = 1, maka koordinat fokus F(-2, -4+1) = F(-2, -3)

Koordinat titik puncak: (-2, -4)

Persamaan direktriks: y = -4-1 = -5

Grafiknya

Pembuat nol:

3

41

16440

y

y

yx

2atau 6

42

1620 2

xx

x

xy

Gambar 6

Bidang irisan dengan sumbu kerucut membentuk sudut α, α < 900, hasil

irisannya berbentuk elips.

Hasil irisan berbentuk elips

Gambar 7

ELIPS

Definisi Elips:

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik P sedemikian sehingga jumlah

jarak P terhadap dua titik tertentu adalah tetap.

 

O X

Y

D(0,b)

A(-a,0) C(a,0)

B(0,-b)

F1(-p,0)

P(x,y)

F2(p,0)

Gambar 8

ab

p

e

ax

e

ax

Kedua titik tertentu itu disebut fokus-fokus elips.

Garis penghubung kedua fokus disebut sumbu panjang (sumbu mayor).

Garis melalui titik tengah kedua fokus dan tegak lurus terhadap sumbu

sumbu mayor disebut sumbu pendek (sumbu minor).

Titik potong kedua sumbu disebut pusat elips.

Titik potong elips dengan kedua sumbu disebut puncak elips (A, B, C, D).

Jarak A ke C dan B ke D masing-masing merupakan panjang dari sumbu

panjang dan sumbu pendek.

Persamaan elips dapat diperoleh dengan:

Pilih sumbu-sumbu yang berfokus

Misalkan jumlah jarak yang tetap adalah 2a berarti 2a > 2p atau a > p

 

)0,(dan )0,( 21 pFpF

Sehingga menurut definisi, diperoleh

2222

2222

2222

21

2

2

200

2

ypxaypx

aypxypx

aypxypx

aPFPF

Kuadratkan kedua ruas, maka diperoleh

222

222

222222222

2222222

444

2442

44

ypxaapx

ypxaapx

yppxxypxaayppxx

ypxypxaaypx

Kuadratkan kembali kedua ruas, maka diperoleh

...(1)

22

22

2

222222

22222222

222222224

22222224222

22224222

2224222

paaxpa

yaxpapaa

yaxpxapaa

yapapxaxaapxaxp

yppxxaapxaxp

ypxaapxaxp

Karena a > p, maka 0dan 2222 papa

Misalkan 0 ,222 bbpa

Maka persamaan (1) menjadi ...(2) 222222 bayaxb

Bagilah masing-masing ruas persamaan (2) dengan 22ba , maka diperoleh

1

2

2

2

2

22

22

22

22

22

22

b

y

a

x

ba

ba

ba

ya

ba

xb

Jadi, persamaan elips dengan fokus )0,(dan )0,( 21 pFpF adalah

1 2

2

2

2

b

y

a

x

Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan-persamaan elips

dengan fokus, sumbu mayor dan sumbu minor yang berbeda.

 Persamaan-persamaan elips tersebut dapat disajikan dalam tabel

berikut. Pusat (0,0)

Persamaan Fokus Sumbu mayor Sumbu minor

Terletak pada sumbu x

Terletak pada sumbu y

Terletak pada sumbu y

Terletak pada sumbu x

)0,(

)0,(

2

1

pF

pF

),0(

),0(

2

1

pF

pF

12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

2

a

y

b

x

Pusat (h,k)

Persamaan Fokus Sumbu mayor

Sumbu minor

y = k x = h

x= h y = k

),(

),(

2

1

kphF

kphF

),(

),(

2

1

pkhF

pkhF

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

1

2

2

2

2

a

ky

b

hx

Contoh:

Diketahui elips dengan persamaan 092844 22 yxyx

Tentukanlah:

a) Koordinat titik pusat elips

b) Panjang sumbu mayor dan

panjang sumbu minor

c) Koordinat fokus-fokus

d) Koordinat titik-titik puncak

e) Lukiskan grafiknya

 

Jawab:

Persamaan di atas diubah menjadi bentuk umum persamaan elips, diperoleh

...(*) 125

1

100

2

100142

4492142

9241442

92844

092844

22

22

22

22

22

22

yx

yx

yx

yx

yxyx

yxyx

Dari persamaan (*), dapat ditentukan

a) Koordinat titik pusat elips: (2,1)

b) Menghitung panjang sumbu mayor dan sumbu minor

525

101002

2

bb

aa

Panjang sumbu mayor = 2a = 2 x 10 =20 Panjang sumbu minor = 2b = 2 x 5 = 10

c) Mencari koordinat fokus

35

75

25100

22

p

p

p

bap

Koordinat fokus-fokus: )1,352(dan )1,352( 21 FF

d) Koordinat titik-titik puncak

A (2+10, 1) = A(12,1)

B (2-10, 1) = A(-8,1)

C (2, 1+5) = A(2,6)

D (2, 1-5) = A(2,-4)

Y

Gambar 9

X

(2,6)

(2,-4)

(2,1)(12,1)(-8,1)

e) Grafik

)1,352(1 F )1,352( 2 F

HIPERBOLA

Bidang irisan sejajar dengan sumbu kerucut hasil irisannya

berbentuk hiperbola

Hasil irisannya berbentuk hiperbola

Definisi Hiperbola