Irrationale Kovarianten und elliptische Funktionen

Irrationale Kovarianten und elliptische Funktionen.

Von E. Study in Bonn.

Einige algebraisehe aber nicht rationale Kovarianten sind schon in den Anf~ngen der Lehre yon den Invarianten vorgekommen. Man w~nsehte die AuflDsungsformeln fiir die einfachsten algebrai- sahen Gleichungen in eine Form zu setzen, die dureh lineare Trans- :formationen nieht zerst5rt werden kann (Cayley [~58; Clebseh 1872).

Die vorliegende Arbeit bezieht sich auf einen verwandten~ eben- Jralls der Invariantentheorie eigentiimliehen Gegeastand.

Zuniiehst wird gezeigt, daft eine nicht spezialisierte" bin~tre Form vierter Ordnung F (x) = :F (Xo~ xl) auf 32 Arten als Produkt yon 'tier linearen Formen (r~x) dargestellt werden kann~ die g'ewisse einfache Anforderungen erftillen und i r r a t i ona l e K o v a r i a n t e n yon F(x) sind. Die G aloissehe Gruppe der Gleichung (32 t'n Grades)~ deren Wurzeln diese Formen sind~ umfafit (in die Regel und hSeh- stens) 24 .16 0perationen und dieses ist zugleieh die Zahl der geordneten Quadrupel yon Formen (rkx)~ so dal~ sieh also immer zw(tlf Quadrupel nur dureh ihre Anordnung unterscheiden. Zu je sechzehn geordneten Quadrupeln gehiirt dann noch ein System yon drei ebenfalls in bestimmte Reihenfolge gesetzten quadratischen Ko- varianten Q~ (x)~ Q2 (x), 0~ (x)~ die den Paarungen der vier Formcn entspreehen, und also 24 Tripel bilden. (w167 2--4.)

Von dieser kleinen Theorie werden sodann Anwendungen ge- macht auf die sogenannten Norma lges t a l t en biniirer biquadra- tiseher Formen (w167 5--8), und auf die yon Hermi te gefundene Transformation elliptiseher Integral% sowie auf anderes, das damit zusammenh~ingt. (w167 9--12.)

Einiges yon dem Vorzutragenden war sehon in einer i~lteren Arbeit enthalten ~), erscheint aberjetzt in stark umgearbeiteter Form und verbesserter Bezeiehnung.

Dal~ eine solche Untersuchung ohne viele Verwickelungen durchgefiihrt warden konnte~ beruht auf der hohen Ausbildung~ die die Lehre yon den elliptischen Funktionen in der Theorie yon

1) American Journal of Mathematics, Bd. 17 (1894).

2 5 0 E. S t u d y ,

W e i e r s t r a s s erreieht hat~). Die Zeiehenspraehe dieser Theorie er- mSglieht eine einfaehe Parameterdarsteltung der GrSgen [@kx),

I/~ (x), O~ (x),

1 V(~'o +9 = o u, VY (~) = ~- (+'~' (o). o (2 u),

1

1 I/(,~ ~i = o~ ~, 02 (~) = ~- o: (o). o~ (2 ~),

V(~J) = o~ ~, Q~ (~) = -~- o~ (o). o~ (2 ~),

WO 4 4 4.

(~' / ' = ~/e2---e 8 ~ / e 3 - - e I ~ e l - - c 2 . ~ ' u , 4

ist fiir : (= 1-, 2, 3; 2, 3, 1; 3, i~ 2. Diese Formeln enthalten in nuee alles, was yon dem Zu-

sammenhang der elliptisehen Funktionen mit tier Theorie der Ko- varianten yon F(x) bekannt geworden ist, und vieles andere dazu; sie vermitteln einen vollstiindigen Einbliek in diesen ganzen Kreis yon Tatsaehen. In der vorliegenden Arbeit werden jedoeh nut Gleiehungen benutzt, die aus den angefiihrten dutch Division ent- stehen und h(iehstens die Wurzelfunktionen I/~u--ez enthalten. Das ist etwas umstandlieher, tritgt aber der algebraisehen Seite des Gegenstandes besser Reehnung.

Im Algebraisehen besitzen wit ebenfalls ein feingeschliffenes Instrument in der ,symbolisehen Methode" yon Aronho ld und Clebsch, die der Bearbeitung yon Stoffen dieser Art besonders an- gepafit ist. In ihr ist eine Idee verwirklieht, die sehon Le ibn iz be- sehaftigt hatte und die zur Befriedigung" eines ahnliehen Bedtirfnisses

dy dient wie seine Symbole dx and f y dx: Die Formeln sind zu Bildern

des Gedankens geworden, tier yon ihnen aus rekonstruiert werden kann. Sic sind frei yon Nebensiiehliehem und StSrendem, frei yon Willktir, soweit Zeiehen es sein kSnnen, und daher bei einiger i3bnng bequem zu lesen. Ieh behalte diese Zeiehenspraehe, ohne deren Hilfe ieh bald genug steeken geblieben sein wtirde, aueh in der Darstel-

~) Einige der Weierstrassschen Definitionen mullten allerdings dutch andere ersetzt werden, was frtiher schon (vom Verfasser) aus anderem Orunde ausgefl~hrt worden ist. (Sphi~rische Trigonometrie, 1893.) Von w 9 an werden diese Definitfonen auch in tier vorliegenden Arbeit benutzt.

Irrationale Kovarianten und elliptisehe Funktionen. 251

lung bei~ was i ibr igens sehon wegen der Umst i indl iehkei t , a u sge - r eehne te r ~ Forme]n unvermeidl ich war . Um Wertungen~ die ich ftir Vorur te i le ha l t en mul~ k a n n ich mich nicht k i immern.

Erber die ~Nichtachtung, die die Leistungen der genannten Forscher in der neueren Literatur erfahren haben und fiber andere damit zusammenh~tngende Unzutrgglichkeiten habe ich reich im Vorwort zu einer Einleitung in die Inva- riantentheorie (1923) gei~ul~ert. Dazu hat Frl. E. iN o e t h e r (GOttingen, also dureh und dureh modern) eine Rezension geschrieben (J. d. D. M. V., 1927). Sie weil] es besser.

Unter anderem findet sie es lgcherlich, eine Invariante l i n e a r e r Formen symbolisch darstellen zu wollen. Aueh ich finde das liicherlich, 'aber aus ganz anderem Grunde.

Die Dame hat iibersehen: (1) Dal~ sie in dem kritisierten Buche nieht einmal etwas enffernt- _X_hnliches gefunden hat. (2)Dal~ aueh niehts derart darin stehen kann, da die linearen Formen Mittel, nicht 0bjekte des Symboli- sierens sind. Dal~ sie mir also nicht etwa (wie sie meint) eine Ungeschicklichkeit zugeschrieben hat, sondern eine Absurditiit, die aus ihrer eigenen Gedanken- werksr stammt. (3) Dal~ das Corpus d e l i c t i , eine Invariante yon sechs ter- n~tren linearen Formen, ausdrfickbar ist durch Invarianten yon je dreien unter ihnen; was zum AB C der Invariantentheorie geh5rt und gerade dort mit aller Deutliehkeit zu lesen steht, we Frl. iN. etwas anderes gefunden haben will.

Man kann aueh Gewissenhaftigkeit fibertreiben. Wer kritisieren will, wird am besten yon einem Buehe nur das Vorwort und allen~'alls einige Kapiteliiber- sehriften ]esen. 8o entsteht das Pathos der Distanz, und den Einzelheiten wird jede MSgliehkeit entzogen, Tticke zu fiben. H/~tte Fr. 1~. ihr sachverst/~ndiges Urteil lediglieh mit einem sehliehten D ix i oder G o e t t i n g i a l o e u t a est be- grtindet, so wfirde das schon fast ebenso tiberzeugend gewesen sein.

w

B e z e i e h n u n g e n .

Die homogenen Veri~nderlichen warden bier x o und xl genannt . Eine l ineare Fo rm wird mit

(CX)--~ C o 9 5 1 - C i x o

bezeiehnet. Eine tiblichere Bezeiehnung, e~ = c, x 1 + c~ x~, arbeitet mit der sogenannten

Kontragredienz. Die Koefflzienten werden anders transformiert als die Ver/~nderlichen, was im bin/~ren Gebiet keinen reehten Sinn hat und zu einer Menge nutzloser Umst/indliehkeiten n6tigt.

Is t dann F(x) i rgend eine bin~tre F o r m n tor 0rdnung~ so k a n n sie symbol i seh (oo x i - - a l xo) '~ gesehr ieben werden~ ki i rzer ( a x ) ~, im Fa l l e n - - 4 also

F ( . ) = . ) , .

H ( . ) = (h =) , = W

ist die H e s s e s c h e K o v a r i a n t e yon F ( x ) ,

T ( x ) = ( t . ) o = 2 (ah) (ax)~ (hx)"

ih re K o v a r i a n t e sechs ler O.dn~ang. Die be iden S t a m m i n v a r i a n t e n

252 E. Study,

yon F ( x ) heil~en - - wie in der heutigen Theorie der elliptischen Funktionen - -

1 (a a') '~, ga 1 ]t)' ; g2 - - y = ~- (a

die Diskriminante yon F(x) , die durchweg als yon Null verschieden vorausgesetzt werden soll, ist demnach

A=g.~---~ 27g~--16G.

Die in den angeffihrten Definitionen steekende Wahl gewisser Zahlen- koeffizienten rfihrt yon C a y l e y her. Sie ist sehr viel brauchbarer als die ent- sprechenden Bestimmungen in der Theorie der bin~ren Formen yon Clebsch~ die im fibrigen das Hauptwerk fiber unseren Gegenstand ist.

Man finder in dem Werke yon Clebsch~ wie auch in einigen Lehrbichern neueren Datums, den Nachweis, dag aus den aufge- z~hlten S t ammformen sich alle ganzen und rationalen Invarianten und Kovarianten yon F (x) zusammensetzen lassen, und dag zwischen den Stammformen selbst eine einzige Abhangigkeit,

T ~ -t- 4 H3 --g~ . H . F "z + ga �9 F3 = 0

besteht. Von sonstigen Eigenschaften unseres Formensystems sei nur

eine angefiihrt. Es ist

1 ~-{(ax) ~. ( h y ) ~ - - ( h x ) ~ . (ay) ~ } ----- ( x y ) . (tx)a (ty)z.

Diese Formel liefert immer dann, wenn ein linearer Faktor (cx) yon (ax) ~ bekannt ist, das Produkt der drei tibrigen Faktoren, und zwar auf die einfaehste Weise, dureh einen invarianten Prozeg: Aus (a c) 4 = 0 folgt

= i / - - 2 ( t x ) =

(h J "

Von dieser Bemerkung werden wir eine Anwendung zu maehen haben.

Die yon C l e b s e h geftihrten Rechnungen lassen sich sehr vereinfachen durch Anwendung einer pr~izisierten Fassung des H esseschen ~bertragungs- prinzips~). Da indessen eine Ausffihrung dieses Gedankens noch nicht vorliegt, so mul~ einstweilen noch auf das Buch yon C l e b s c h verwiesen werden. Es bildet die Grundlage ftir alles, was sich im folgenden auf Invariantentheorie bezieht.

3) Siehe des Verfassers Einleitung in die Invariantentheorie, 1, 1923, S. 255--257.

Irrationalo Kovarianten und elliptische Funktionen. 253

w

Die l i nea ren F o r m e n (rkx) und die q u a d r a t i s c h e n F o r m e n O~(x).

Ist die biquadratische Form F ( x ) irgendwie in ein Produkt linearer Formen zerlegt, die in eine b e s t i m m t e R e i h e n f o l g e gese tz t sind,

F (.) = (~o*) (~1 *) (~= *) (c= .),

so lassen sich flit dieselbe Form zwe ima l auf sechzehn Arten entsprechende Zerlegungen

F (X) : (r 0 X) (J~l X) (r 2 x) (r 3 x)

finden, deren Faktoren der Bedingung

(roX)=+(~lx)~+(, '=x)=+(r=x)~=0

geniigen, und aus denen dann die in den Formen (ck x) steckende ziemlich stSrende Unbestimmtheit verschwunden ist. Es ist n~tmlich, wenn ),, y., ~ die Indizcs L 2, 3 in irgend einer z y k l i s c h e n An- ordnung bedeuten, immer

e n t w e d e r (% r~,) - - (r~ r~) -- 0 o d e r (to rz) + (r~ r~) = O.

Wir betrachten den zweiten Fall, setzen

(~x)=p~ . (~x),

ferner (tick) = Cio c~ l - -c i l C~o - - (i k), und

V-(?-~) 1/ (t~',) c~_ V (o ~) [ (o ~) "

Wir erhalten dann leicht die Werte ,ok. Es folgt

f~11c~c=

(~ x) _ e= . (~= x), (~.= x) _ c= . (~= ,) . V c~ co.c~ Vc~c~c~

In diesen Formeln ist der Index o vor den ~ibrigen ausgezeiehnet. Setzen wir aber

C'~=O~, C' -- i 1

254 E. Study,

so erhalten wir eines yon drei weitcren ebenso gebauten GIeichnngs- systemen; ni~mlieh

C f

(~o x) = " . (~o ~), (r~,~) = l /c '~ c ' c ' . V c'~ c'~ c',,

Es gibt, bei best immter Anordnung der Formen (ckx), seehzehn Quadrupel yon Formen (rkx). Diese sind algebraische Kovar ian ten der Formen des geordneten Quadrupels (% z) . . . (~ x).

hndert man die Reihenfolge der gegebenen Formen, so ent- stehen auf diese Art im Ganzen 24.16 Quadrupel linearer Kova- rianten, deren Formen sich ebenfalls durch die Anordnung und sonst noeh um Faktoren voneinander unterscheiden, die immer aehte E inhe i t swurze ln sind. Unterwirft man die Formen (rkx) einer geraden Permutation~ so erhiilt man wieder ein solehes System; bei den ungeradcn Permutationen entsteht ein System der anderen genannten Art. Jedc einzelne Form (rkx) gehSrt zu achtundvierzig Systemen der cinch wie der anderen Art. (Vgl. S. 253.)

Wir bemerken nunmeh L da~

gesetzt werden kann, wobei Uberdies

el + e2 + e~ - -0

angenommen werden darf. Die linearen Abhiingigkeiten zwischen je dreien dcr Formen

( rkx) erhalten dementsprechcnd die Gestalt

- - ]/e~--ea (r o x) * - - Ve~--e-----~ (r 2 x) + Ve~--e--~ (r~ x) • 01

- - [ e z - - e l (ro x) + Vel e~ (rl x) * - - Ve2--e~ (r~ x) = O,

__ Ve~__e~ (ro X) - - Ve~--e~ (r~ z) + ~/~---~ (r2 x) * ~- 0.

Sie sind Sonderfiille der zwei Paare %, xl und Yo, Yl yon Veri~nderlichen enthaltenden identischcn Gleichungen

Irrationale Kovarianten und elliptische Funktionen. 255

(to ~) (roU) + ( ~ ) (r~u)+ (,'~ x) (r~U) + (r~z) (~ y) = 0,

(r o x) (r I ~t) - - (ra x) (r o y) + (r e x) (ra y) - - (r~ x) (r 2 y) -- 0,

(to ~) (r~ t z ) - - (~ ~) (,'o ~) + (r~ x) (r, ~ ) - - (~ ~) (~. y) = o,

(~o z) (~ y) - (,% x) (to ~) + (+~ x) (~ ~ ) - (~ ~) (r, y) = o;

(derselben Gleichungen, die zwischen den Quadraten der Funktionen O~ u, Ok v bestehen).

In iihnlicher Weise wie die Faktoren yon F(x) normieren wir nun auch die Funktionaldeterminanten der Produkte (Co x) (ca x) und (%x) (c,,x), die die mit den drei Paarungen der Nullstellen yon F(x) verbundenen Involutionen liefern. Wit schreiben sogleich die Polaren der zu definiercnden quadratischen Formen an:

(g~ x) (~. y)

= (,-o x) (~o y) + (~,~x) (~y) _ (r~ x) (r~ y) -t- (r~, x) (rv y)

2

= _ (,-o ~) i f . u) - (r~ x) (,% y) = _ (,-. x) (~o y) - - (,% x) (r . y)

_ (to x) (r~ u) + (~, z) (,-~ u) _ ( ~ x) (to u) + ( ~ x ) if,, u)

Drei quadratische Formen

. g~ (x) = @. x)~

sind damit~ in z y k l i s c h e r Ordnung, so erklih't, dag

T(~'~)~=I, Ttf~q~)=i, TLq~8).=i,

(~ ~) (~ q,) (~ ~) = 1,

und demzufolge

wird.

(~ q~) (q~ ~) (~ x) = - - ( ~ x)~

Durch die letzten Gleichungen Mlein sind die Formen Qz (x)

256 E. 8 f~u d y,

in der Weise v ie rdeu t ig bestimmt, dal~ bei gegebenen Nullstellen immer nur ein Vorzeiehenweehsel yon zweien unter ihnen m~iglieh ist.

Die Quadrate uud Produkte der Formen (rkx) erseheinen nunmehr als lineare Aggregate der Formen Q~(x):

(~'0 X) 2 --" V-~2 - - e~ . (~1 x) 2 -~ V~3 - - el �9 (~2 x) 2 "~- ~ el - - e2 . (~8 x ) 2

(r~ x) ~ -- V~2 - ez. (~ x) 2 - - ~ ez - - e ~ (7~ x) 2 - - ~ e~ - - e2 �9 (~8 x) 2

(r x) =

Ferner liegen sehel, das wir das s y z y g e t i s e h e Btisehel nennen wollen. es folgt

die Quadrate der Formen Qz (x) in einem Bii- Denn

w Das s y z y g e t i s c h e Btischel.

Zu dem s y z y g e t i s e h e n Biisehel gehtir t a u e h die bi- q u a d r a t i s e h e Form F(x)~ nebs t a l len ih reu r a t i o n a l e n Ko- v a r i a n t e n v ie r t e r Ordnung. Es ist ni~mlich:

e~. Q~ (x) + e 2 . Q~ (x) + e~. Q~ (x) = F(x),

el e2" Q2 (x) + .

Es versteht sich, dal~ zwisehen den Kovarianten (rkx), (~x)~ und den rationalen Kovarianten yon F(x) vielerlei Beziehungen stattfinden, die nicht ganz leicht zu tibersehen sind und also ein besonderes Studium erfordern. Einiges davon, das weiterhin benutzt werden wird, sei angeftihrt. Zuniiehst ist klar:

Die q u a d r a t i s e h e n Fo rmen Oz(x) sind K o m b i n a n t e n des s y z y g e t i s e h e n Biischels. Sie hangen daher a l l e in yon der K o v a r i a n t e T(x) ab. [Sie sind - - ebenfalls in der Regel irrationale - - Kovarianten yon T(x)].

Irrationalo Kowrianten und elliptische Funktion(~n. 257

Diese Abhi~ngigkeit selbst brauchen wir nicht, wohl aber den folgenden Satz:

In de r G l e i c h u n g (tx)3(ty)a=O sind die dre i Involu- t i o n e n z u s a m m e n g e f a $ t , die durch die Fo rmon Qz(x) be- s t i m m t werden .

Es ist n~mlich

= - - (tx)~ (t ~)~.

Die G l e i c h u n g (tx)a(ty)~=O ordne t somit j e d e m P u n k t e (x) die dre i P u n k t e zu, die mit (x) zusammen d ie N u l l s t e l l e n e ine r Form des s y z y g e t i s c h e n Btischels bi lden.

Identifizieren wir den Punkt (x) mit einer der b~ullstellen yon F(x)~ und ersetzen wit insbesondere das Zeichen-x durch rk, so erhalten wir

und hieraus wiederum, unter anderem

41~. ~r~)2(~x)~= (r~x). (tr~?(tx).

Die yon (cz) v e r s c h i e d e n e / q u l l s t e l l e der zwei ten Po la r c y o n (ok) in bczug au f die Form F(x) - - odor, was dasse lbe isL die bTullstelle der zwei ten Fo la r c yon (c~) in bczug auf das P r o d u k t der nach U n t e r d r i i c k u n g yon (ckx) tibrig- b l e i b e n d e n F a k t o r e n yon F(x) - - fi~llt h i c r n a c h znsammen mit der ~!ul ls te l lc der f t inf ten Po la rc yon (ok) in bezug auf ,die Form T(x).

Dieser Satz liefcrt, wie weiterhin deutlich werden wird, eine geomctrischc Deutung dcr Nullstellen tier Funktion p u.

Ein weiterer hierher geh0riger Lchrsatz ist: Der W u r f der v ier Nu l l s t c l l en der Form F(x) ist pro-

j c k t i v zu d e m W u r f der vier N u l l s t e l l e n q u a d r u p e l der F o r m e n

F(x), Q~ (x), Q~ (~), r (~)

des s y z y g c t i s c h e n Btischcls.

258 E. Study,

Setzen wir niimlieh H (x) : F(x) -= - - z, oder (mit Rtieksieht auf folgende Darlegungen besser)

so folgt

H(y) _ ~ ( U ) - - - - z ,

F(y) -- z - - e~ ;

es ergeben sich also ftir z - - ~ , el, e2, e~, abgesehen yon Propor- tionalitiitsfaktoren, die genannten Formen des syzygetischen Biisehels. Fiir dieselben Werte eines Parameters y erhalten wir aber aus

(~ y) (c~ ~) _ (y-- ~) (e~-- ~)

oder

oder

0% y)

die ~Tullstellen (ok) oder (rk) der Form F(x). Setzt man y - z~ so werden damit beide Wtirfe projektiv aufeinander bezogen.

Der letzte Satz li~l~t noeh eine Verschiirfung zu, die aussagt~ dag zwi schen den GrSfien IF(x), O~(x)~ Q2(x), 03@) g a n z die- s e l b e n a l g e b r a i s e h e n Abh i~ng igke i t en s t a t t f inden~ wie z w i s e h e n g e w i s s e n V i e l f a e h e n de rWurze lg r t i l~en [(r--~x). Es empfiehlt sich, dieser Behauptung die folgende Fassung zu geben:

F i n d e n zwi schen den W u r z e l g r S g c n [e~--e~" u n d den F o r m e n (r~x), Q~(x)~ F(x) die a n g e g e b e n e n B e z i e h u n g e n s ta t t , so k a n n m a n bei j e d e r Wahl de r Wurzelgr t i l~en

I/v ~e~--e~-- --e~ aus den G l e i e h u n g e n

8

2 V-~(u) = 2 ~ = I / Y �9 I / ~ i - 4

4

2 Q~ (u) = 2 (q, u) ~ = F e, - e l . V (~-TU 4

Irrationalo Kovarianfen und elliptisehe Funktionen. 259

.die G r ~ $ e n r e c h t s b e s t i m m e n , w e n n d i e GrSi~en l i n k s ge- g e b e n s ind , und u m g e k e h r t .

8 4 4

Dies ist ein Saehverhalt, der einer nur-algebraisehen Betraehttmg leieht entgehen kann. Man ge]angt zu dieser Einsieht yon den elliptisehen Funktionen :aus: Die in der Einleitung erw/~hnten Formeln liefern unseren Satz unmittelbar. :[st er einmal gefunden, so kann seine Riehtigkeit nattirlieh aueh algebraiseh ohne weiteres festgestellt werden. Wir werden sparer hierauf zurtiekkommen, im Zusammenhang mit der Bemerkung, dab die letzten Formeln als eine pro- jektive Zuordnung zwisehen zwei elliptisehen Normalkurven vierter 0rdnung gedeutet werden k6nnen.

Nehmen wir an, es sei

so folgt noch 4

s(ty)0. V(~y)'=-Vg. V-6. V~z~,

und ffir zwei Paare yon Stellen 4:

16 (ty)~ ( t / ) ~ . (~y') = - - V-G. V ~ . (~ ~).

Lassen wir das Wertepaar Y'o, Y'I dem Wertepaar Y0, Yl benaehbart sein, schreiben wit also kurz

y ' = g + dy, z ' = z + dz,

so ergibt sich aus den beiden tetzten Gleichungen

(y dy) 1 (z d ~)

eine Beziehung zwischen zwei elliptischen Differentialen. (w 12.)

w

Die F o r m e n (r~x) als K o v a r i a n t e n y o n F (x ) .

Die 24 . 16 Quadrupel yon geordneten Formen (rkx) nliissen sieh auch finden lassen, wenn nut das Produkt F (x) gegeben ist. Dazu 15sen wir zuerst die Gleichung

4 s3--g~ s--g~ ~ 0

~ 6 0 E. S t;u d y,

auf, deren Diskriminante V-G- zykliseh wird. Ihre benutzten Invarianten e~ QT~ (x) erhalten wir dann

01 (x) +

~ 0~ (~:) + 2 e~ 0~ @) +

aus denen

folgt.

Gis t , und die also durch Adjunktion yon Wurzeln identifizieren wir mit den schon e~.~ e~. Zur Bestimmung der Kovarianten die Gleiehungen

O~ (x) + 0~ (x)= o,

~ O~ (~) + ~3 Q~ (x) = r (x),

e22 O~ (x) + e 3 Q~3 (x) - H(x),

- - H - - e ~ F __ I/ - - H - - e~ F

Von den hiernaeh auszuziehenden Quadratwurzeln sind nur zwei yon einander unabh~ngig~ da

2 VG-. 01 (x) . 0~ (x) . Q3 (x) = - - T (x)

ist. Weiterhin brauchen wir nun aueh die drei WurzelgrS~en

I/~--e~. Man wird demnaeh am besten zuerst diese Irrationalit~ten adjungieren, und dann erst~ mit Hilfe zweier weiterer Quadrat- wurzeln~ die WurzelgrS~en V-- H - - e~ F festlegen. Ist das geschehen, so kennt man die Formen Q~(x) und die Quadrate und Pro- dukte der Formen (rk x), die selbst demnaeh mit Hilfe e iner weiteren Quadratwurzel gefunden werden. 2 . 3 . 2 3 . 22 . 2 ~ 24 . 16.

Die 4 . 8 yon einander verschiedenen Formen (rkx) sind Wurzeln einer in der Regel irreduzibelen Gleiehung 32 t~ Grades~ deren Kenntnis wit zu der ausgef~hrten ~berlegung nieht n~tig hatten. Sie selbst ist auch nicht sonderlich einfaeh. Indessen reduziert sie sieh, sobald alas Produkt

4

V ~ ~ I /~ -~ = V~ als bekannt gilt, auf eine Gleiehung vierten Grades far die Quadrate der Quotienten

(~x)

V-G-' n~tmlieh auf die Gleichung

G . ~ s + ~ + 3f~ .~4 + 4 T . ~ 2 + F 2 -- 0,

Irrationalo Kovarianten und ellipfischo Funk~ionen. 261

die nur ganze rationale Invarianten und Kovarianten zu Koeffizienten hat.

ist eine auch sonst in der Theorie der biniiren Formen vierter 0rdnung vielfach auftretende Kovariante ~). Aus dem Gesagten folgt noeh:

Die Gruppe der 24.16 Ver t auschungen , die yon e inem Q u a d r u p e l yon g e o r d n e t e n K o v a r i a n t e n (r~x) zu al len so lchen Q u a d r u p e l n fiihren~ ist zug le ich die Ga lo i ssehe Gruppe. de r G le i chung 32 re" Grades , de ren Wurze ln die F o r m e n (rkx) sind.

In i~hnlicher Weise lassen sieh alle in unserem Zusammenhang auftretenden irrationalen Kovarianten behandeln, insbesondere die Formen O~ (x).

w

E i n l e i t e n d e s tiber Norma lges t a l t en .

Es soll jetzt das Vorgetragene auf einige tier Aufgaben ange- wendet werden, d i e sieh bei der Transformation elliptiseher Inte- grale dargeboten haben.

Die Form F(x) soll durch eine l i nea re T r a n s f o r m a t i o n (x0, x~)--~-(so, sl) - - oder durch mehrere solehe Transformationen --- in eine sogenannte Normalgestalt - - oder in deren mehrere - - iibergeftihrt werden. Dabei werde in allen Fiillen verlangt, die Frei- heir, die man in der Verftigung tiber die TransformationskoeNzienten hat, dahin auszunutzen, dai) die Zahl tier voneinander unabhangigen Koeffizienten tier transformierten Form F+(s) ein Minimum wird. Dieses Minimum ist eins oder zwei, je-naehdem man beliebige lineare Transformationen zuli~gt oder etwa nut solehe yon der De- terminante Eins. Die erste Frage wird zugleieh mit der zweiten beantwortet sein. Wit werden uns also nur mit dieser besehaftigen.

Um ein bestimmtes Problem zu erhalten, mug man an die transformierte Form F+(s) noeh weitere Forderungen stellen. Es werden ihrer nut drei angeftihrt werden, die die wiehtigsten zu sein seheinen.

Die zu bespreehenden Normalgestalten selbst sind liingst bekannt. Es handelt sieh aber hier um ihren Zusammenhang mit der Grundform F(x), ni~mlieh um den Naehweis i n v a r i a n t e r Prozesse, exp l i e i t e anzugebender linearer Transformationen, dureh die sie aus der Grundform hervorgehen. Als eine weitere Forderung kommt hierzu, dab die Normalgestalten aueh mit einem Minimum yon Irra- tionalitaten hergestellt werden sollen.

Eine nieht spezialisierte bin~re Form vierter Ordnung li~fit 2 . 4 automorphe lineare Transformationen yon der Determinante Eins zu:

4) Siehe besonders Th. M o r s c h h e u s e r , D ie R a u m k u r v e v i e r t e r O r d n u n g z w e i t e r Ar t . (Dissertation, Bonn 1928).

Monatsh, tUr Mathematik und PhyMk. XXXV. Band. 21

262 E. Study,

und diese Zahl erh~ht sich auf bekannte Art, wenn g8-~ 0 odor g 2 - - 0 ist. Betrachten wir also - - wie wit es tun wollen - - zwei Normalgestalten als nieht verschieden~ wenn sie gleiche Koeffizienten haben, so wird sich ,dieselbe" Normalgestalt immer durch acht odor zweimal acht odor dreimal acht lineare Transformationen erreichen lassen. Diese werden hier nicht aufgeziihlt (was tibrigens keinerlei Schwierigkeit bieten wiirde).

Zu beachten ist noch, da$ die zu suchenden linearen Trans- formationen immer paarweise auflreten mtissen. Aus jeder, die eine bestimmte Normalgestalt herbeiftihrt, entsteht eine andere, die dasselbe auf gleich-einfache Weise leistet, durch Zusatz der trivialen Transformation S'o = - - S o , S'~ : - - s ~ . Auch diese bewirkf ja, wie die identische lineare Transformation, die idcntischo ProjektivitRt. Geht man zu sogenannten gebrochenen linearcn Transformationen tiber, so f~llt in Folge hiervon immer eine Quadratwurzel weg. Dann aber hat man es nicht mehr mit Formen zu tune sondern wicder mit eben den nicht-homogenen Funktionen vierten odor dritten Grades, an deren Stelle mit gutem Grunde die Formen ein- gefiihrt worden sind.

w

Die Weie r s t r a s s sche N o r m a l g e s t a l t yon F(x). Wir wollen zun~tchst yon irgend einem geordneten Quadrupel

von Kovarianten (r~ x) ausgehen. Die Reduktion yon F (x) auf die Form

- - -480 . ( 8 ~ - - e l S o ) ( s l - ~ , ~ o ) ( s ~ - - ~ S o )

1 - -4so T {4 3 s ~ a} - - " s l - - Y ~ s l o - - Y 3 s o

erfolgt dann mit Hiffe der Gleiehungen

8

4 (~o x) = (c; s) = 4 So, 8 I/z- 2 - (c; s) = s I - c~ So.

Zun~chst n~tmlich sind diese Gleichungen miteinander vertr~glich. Bilden wit links wic rechts die Invarianten (ik)~ so erhalten wir gleiche Werte. Das heist, der Zusammenhang zwischen

Irrationalo Kovariant.en und ellipgische Funktionen. 263

den zwei Arten yon Ver~nderliehen wird durch eine lineare Trans- formation (:Co, x ~ ) ~ - ( s o , sj) yon der Determinante Eins dargestellt; nur haben wir~ was kein Nachteil ist, statt zweier Gleichungen ftir so und s~ deren vier. Da ferner

4 &

---:- y (r o r,~), 2 Ve~--ea V e a - e t V e l - e = = 2 V--G : V ~

ist, so steckt in unseren Gleichungen nur die einzige nicht schon in den Formen (rkx) enthaltene Irrationalitiit

Aus dem Produkt der Kovarianten (c~ s) aber fallen alle Irrationali- t~iten weg.

Es folgt noch (nachw 3 ) :

(~o ~) (~ ~o) ~ # *) 80 ~ 8 ~ 81 ~ 8

4 s ~ - g~ s~ s o --g~ s o {Vz-P

1 1 Die Gradzahlen yon So und s~ sind - - ~ - und ~-.

Setzen wir ferner

S1 8 - ' - - - -

80

und 4 4

k__C "

so er:halten wir ftir s-und S die Ausdriicke

5) Was hier (besonders mit Rticksicht au f den Inhalt der w167 9--12) dutch das einfaehe Zeichen S dargestellt ist, heiBt bei. W e i e r s t r a s s - - I--S-. In unserer Bezeichnung wird also s = p u, S = - - oO'u zu setzen sein.

21"

264 E. Study,

(fro)~ (tx) 2 (% x) ~ 3 (r o x) 2 V-A-. (r. x)

und

(vgl. w 4.) Statt die Kovariante (fox) auszuzeiehnen, hi~tten wir, mit

gleiehem Erfolg, aueh eine der drei anderen Kovarianten unseres Quadrupels auszeiehnen ki~nnen. Aber es liil~t sieh noeh mehr be- haupten :

I s t neben der Form F (x) ----. (a x) 4 noeh i rgend ein li- n e a r e r F a k t o r (ex) von ihr gegeben - - in Folge wovon

( ~ ) , = (~x) . - ~ (he)' - ( ~ ) . (ax)~

wird - - so l a s sen sich die K o v a r i a n t e n So und s~ sowie der t t a u p t b e s t a n d t e i l der W e i e r s t r a s s s c h e n N o r m a l g e s t a l t von F(x) den f o l g e n d e n Fo rme ln en tnehmen :

(cx) I (cd)~ (t c)6 }

1 (cd)~(dx)_ (tc)5(tx) - -16 (tc)~(tx)

~ - 2 [/(~a)~ (h~),[~ ~)~ { I/-(~y ) ~' 9.. s~ Y3 16 (tc)~ (tx) a

~ - ~ - ~ = i~d)~ V ~ ~

Ftir die Quotienten s und S ergeben sich hier~us die Werte

S ~

(t ~)~ (t x)

V~ (t~)~ (t~)~

Dabei ist noch

(c d) ~- (~ x) = ~ (a~)2 (a x)~


8

Ftir (cx)- (rkx) wird [ / ~ -- 2 ~/5..

Wir brauehen also zur Lierstellung dieser Normalgestalt immer nur eine einzige~ und zwar quadratisehe Irrationaliti~t. s und 8 ~ sind davon frei. Die 1%rmalgestalt selbst hat die sie vet anderen auszeieh- nende Eigensehaft, eindeutig bestimmt zu sein.

Um einen Teil des Vorgetragenen noch etwas auseinanderzu- legen~ fiihren wir die Zeichen

(~ x ) = 80, (~ ~) = ~,

ein. Dann folgt

(~ ) = 1 ; ( ~ ) , = o , (~)~ (~ ) = - - 1 ,

1

Aus der zweiten und vierten dieser Gleichungen ist ersichtlich~ wie die Nullstellen der Koordinaten So und s~ im Polarsystem der Form F(x) liegen.

Liegt die Normalgestalt vor~ so wird

- - 2 e,~ 818o - - (e~. + e~ e,) 80 ~ 81

w Die C a y l e y s e h e N o r m a l g e s t a l t yon F(x).

Die nunmehr zu betraehtende Normalgestalt erlaube ich mir nach dem zu benennen, der (bereits 1858) zuerst auf den Gedanken verfallen zu sein scheint, die Doppelpunkte der drei dureh die Null- stellen yon F(x) bestimmten Involutionen in ein- ftir allemal bestimmte Punkte eines bin~tren Gebietes So:Sl~

s--Slzo~ co; i~--i; 1 , - - 1 80

zu verlegen. Das werden also auch wir vor allen Dingen ver- langen~ a u ~ e r d e m aber~ da6 die transformierten Kovarianten 0~ (s) denselben Gleiehungen gentigen sollen~ die uns iiberhaupt zur Erklartmg tier Formentripel 01 (x)~ Q3 (x), Q~ (x) gedient hatten.

Ein solehes Tripel ist

* 2 " !2 9, (~ s) -~. (~o--~1)

266 E. Study,

Unterwerfen wir eine lineare Form lc0 8~--l~so den drei zu den Formen (~/~s)~ gehSrigen linearen Transformationen~ genauer gesagt, ftigen wir der Form (ks):lCoSl--~js o noch die Formen (/~ s) ----- (/c ~) (~/~*s) hinzu, so erhalten wir ein System yon vier linearen Formen. Diese aber geniigen nach Zusatz des gemeinsamen Faktors V iden Definitionsgleiehungen unserer Formen (rkx). So erhalten wir schliei~lich zwei lineare Transformationen yon der Deter- minante Eins~ die die gesuchte Normalgestalt herbeiftihren und in dem Formelsystem

(~o x) = (~: s) = IV. (ko 8 , - k, 8o), r

( ~ ) = (~ 8) = - - i V(. (ko 8~ + ~ So),

( ~ ~) = (r: 8) = ~ V~. (k~ 8~-- ko 80)

zusammengefagt sind. An Stelle der zuvor gebrauchten Zeichen (c'ks) treten hier, aus dem angegebenen Grunde~ die inhaltsreicheren (r~s).

Die Normalgestalt selbst ergibt sich dureh Ausmultiplizieren, wobei sich die Einheitswurzeln wegheben i insbesondere erhiilt man~ bei Auszeichnung des Index ;~,

F(x) F*(s) {k: : 2 ~ ~ 8 1 - kl 8o I {k~ 2 = = 8 ~ - - k o So} 2 2

�9 / ~(e~_e,) {s 1 k2s~~ {sl--k-2se~ 2 2 9, /C=

und schliei~lich

2 4

Der Homogeneitiitsgr~d yon s o und sl ist also Null. Zwischen den Parametern (Invarianten) /co, kl und den Inva-

rianten el, e2, e3 bestehen die Gleichungen


woraus noeh

1 4 4~ e~} e ~ = ~ { k o + k ~ j , e~ -- 1 2 1"-}- kl}'

1 { k2 2 4 9~ = - i # ]?o + 1~ o k, + k~ },

1 12 4 ,3 4 8 12 {k o - - _ _ 3ok o k 1 g3 = 33 kSo lz, + k 1 },

4 2 & 2 2 1 4

folgt. DiG Kovarianten Q~* (s) verhalten sigh versehieden, je nach- dem man annimmt, dal~ nut die Invarianten % % e8 bekannt sind, oder bereits die Parameter ko und k,. Im letzten Falle sind sie

Q~ (x) - Qz (s) - - ( ~ s) 2 - - 2 i . s, s o ,

* 2 .31_ 2 Q~ (x) = 0~ (~) = ( ~ s)~ = ~ s o ,

* * 2 2 @ (x) = Q,, (s) = ( ~ s) 2 = - - i (s, - - So) ;

im ersten k5nnen bei irgend zweien der drei Formen noeh Faktoren - - i hinzugefiigt werden.

Sind nut % % e3 bekannt, so erhalt man, jedesmal mit I-Iilfe yon zwei Quadratwurze]n, drei Zerlegungen yon F* (s) in je zwei quadratisehe Faktoren, die g l e i e h e D i s k r i m i n a n t e n (h~., A, oder A~) haben:

I F* (s) = i �9 i [I/~-Y~-~, < - ~ K - e ~ s, So - Ve~-~,~, s~] l,

268 E. Study,

F* (+)

Man kann hier die WurzelgrOi~en des Typus ]/e~--e~ ebenso- wohl = - - i [e~--e~ wie ~- i ~e~--e~ setzeu. Mit Rtieksieht auf die Theorie der elliptisehen Funktionen entscheiden wir uns j edoeh ftir die Annahme

Die Bestimmung yon ko und /fi erfordert~ in jedem der drei Falle, noch das Ausziehen einer weiteren Quadratwurzel. Aul~erdem sind noeh die Kovarianten so und s~ zu finden. Es ist bemerkens- wert, daft die neuen Ver~nderlichen aueh im vorliegenden Falle eine sehr einfaehe Bedeutung haben, dal~ sie namlieh Kombinanten des syzygetisehen Btisehels, mithin (irrationale) Kovarianten yon T(x) sin&

D i e V e r a n d e r l i e h e n der dem Index)~ und der z y k l i s c h e n 0 r d n u n g (k, ~., v) e n t s p r e c h e n d e n C a y l e y s e h e n N o r m a l g e s t a l t s ind g e e i g n e t - n o r m i e r t e l inea re F a k t o r e n der K o v a r i a n t e

vQ+(+)-+ Q+(+) vQ, Ix) ++ 8o V 2 , s l ~ I / 2

Jede dieser zwei Wurzelgr01~en bestimmt die andere: Ihr Pro- dukt ist einer zuvor aufgestellten Formel Zu entnehmen.

Die Cayleysche Normalgestalt existiert also in sechs Exem- plaren, zu deren Bestimmung die Aufl(isung der Gleiehung 4s3--g~s--g~--O dient. Die I n v a r i a n t e n et, e.2, e~ t r e t en in den K o e f f i z i e n t e n d iese r N o r m a l g e s t a | t l i nea r und h o m o g e n auf. Augerdem unterseheiden sich die Faktoren ko s l - k~ so, . . . , ,con den entspreehenden Formen (r~ s), . . . oder (ro x ) , . . . , nur um nume- risehe Faktoren. Sie haben nieht so einfache Symmetrieeigensehaften wie die Formen (rkx). Doeh sind aueh sie Wurzeln der Gleiehung 32 +~ Grades, der die Formen (rT~x) geniigen. Ungleieh diesen kSnnen sic reell ausfallen.

Die Haupteigenschaft der betrachteten ~ormalgest~lt yon F(x) erscheint bei C a y l e y ira F i f t h M e m o i r upon Q u a n t i c s (1858; Mathematical Papers, II, S. 5r ~hnliches findet sich dann auch bei C 1 e b s c h (1872) und @ o r dan (1887).

In der Literatur der elliptisehen Funktionen scheinen diese Ausfiihrungen gar nicht beachtet worden zu sein. Es haben abet F. K l e i n und R. F r i e k e denselben Gedanken von neuera entwickelt. Sie haben ihn auch erg~nzt durch Einftihrung der Parameter /c o und k~ sowie namentlich dadurch, dal~ sie diesen Stoff mit den Figuren des 0ktaeders und Wtirfels ia Yerbindung braehten. (Vor- lesungen tiber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, 1890, w167 127 13.)

Irrationalo Kovarianten und ellipt~sche Funktionen. 269

In der itlteren Literatur und meistens auch in der neueren finder sich, statt der hier betrachteten Normalgestalt, ausschliel]lieh die L e g e n d r e sche, die erhalten wird, wenn man ftir k ~ s 2 oder k ~ s ~ ein einfaches Zeiehen einftihrt.

Bei dieser Operation, so einfaeh sie ist, gehen alle im Texte besprochenen Eigenschaften verloren, ohne dal] irgend etwas gewonnen wiirde. Aueh far nume- rische Berechnungen ist die L e ge n dr e sche Normalgestalt nicht brauchbarer als die andere.

w Die R i e m a n n s e h e N o r m a l g e s t a l t yon F(x) 6).

Dies ist der einfaehste der zu betraehtenden Fiille. Es wird verlangt, drei der nunmehr irgendwie geordneten Nullstellen der Form

r ( x ) = ( ~ x ) (~x) (yx) (~x) ,

etwa (~)~ (~,), (~), in bestimmte Punkte s : 0o, 0, 1 zu verlegen. Daza mtissen natfirlich diese Nullstellen, besser zugehSrige Formen (ckx), einzeln bekannt sein, was die AuflSsung einer in der Regel affektfreien Gleiehung vierten Grades voraussetzt.

Eine solehe Gleiehung erhalten wir in i n v a r i a n t e r Ges ta l t aus unseren friiheren Formeln dureh Polarisieren. Wir setzen etwa

so dafi

p~ (x) = ( ~ ~)'~ = [ - (h ~)~ - ~ (~ x),

'~. (pl x) (pl y). (p~ x) (p~ v). @~ x) (p~ y) = - (t~)0 (ty)~

wird, und nehmen an, da~ aul~er G aueh F(x) yon Null versehieden ist. Formen (ckx) - die n ieh t u n s e r e K o v a r i a n t e n (rkx) sind! -

][assen sich dann ohne weiteres hinsehreiben. Jede einzelne ist ein Vielfaches eines Faktors des Produktes

(r

das den Wert

G . F(*_) . F ( x )

hat T). Damit haben wir aueh Zerlegungen der Form F(x) selbst in der vorausgesetzten Gestalt, ohne ginftihrung einer weiteren Irra- tionalitgt. Die Bestimmung der linearen Formen (~*s) usw. verlangt dann nur noeh das kusziehen einer Quadratwurzel. Sie erfolgt etwa so:

6) Der Name ist yon F. K l e i n vorgeschlagen worden. 7) Es ist das die sogenannte invariantentheoretische Aufl6sung der Glei-

ehungen vierten. Grades. Aus diesem Gesichtspunkt hatten sich die ~lteren Aft- toren (C a yl e y, C 1 e b s c h ~ G o r d a n) ftir irrationale Kovariante'n interessiert.

270 E. S tudy ,

F--(-ra) (a~) (}'r). (:~*) = ("-**) -~ 4 {(ey--e~) s 1 + (es--els) so}

- - ( r a ) ~'---(:~ a) (a ~)(} ~,) ' (~ ~) = (~* *) = - *~

- - (a ~)

F - - (r 8) (a ~) (~- r ) (Y ~) = (r* ~) = ,1 , - - (~ ~)

V ~ (y 8) (a~) ( .~ , ; ) (a x) = ( > 8) = - - < + , o .

( ~ )

(o)

(~)

81 Dabei i s t s - - - , und

8o

e y - e 5 ~ - - 4-

1

e~ - - ev ---- - - 4

Man Uberzeuge sich davon, dal~ man eine lineare Transforma- tion yon der Determinante Eins vor sich hat~ oder vidmchr deren zwei.

Der Punkt (:~) wird in den Punkt

transformiert. Die zugchSrige Normalgestalt selbst ist

= ~ ~o ( < - * o ) . { (e~-- ~) ~1 + (~ - -e~) 80 } 2 2

= - - 4 ( e ~ - - e ~ ) . s l So + 6 . -9 e~. s~ so - - 4 ( e ~ - - e ~ ) . s l so.

Also a u c h in d i e sem F a l l e s ind die K o e f f i z i e n t e n g a n z e l i n e a r e und h o m o g e n e F u n k t i o n e n y o n el~ e2, ea. Auch diese Normalgestalt existiert in seehs Exemplaren.


Die Invarianten g2, g3 und 5 sind

4 g ~ = ~ - ( e ~ e ~ ) . ( i - - d + d ~ ) ,

4 g3 -- ~ (e~--e~) 3. (1 + d) (1- -2 d ) (2 - -d ) ,

a ---- g:3--27 y~ = 16 G -- 16 (ev-- e~) 6 . d 2 (1--d)~.

Dureh Elimination yon ev--ea erhi~lt man die Proportion

= 4 ( l - - d + d'-)~ : (1 + d)~ (1- -2 d)~ (2-- d):

: 27 d~ (1 --d)~,

auf die nur verwiesen zu werden braucht, da sie sehon oft genug erSrtert worden ist.

Li~tit man etwa (~ x) mit der Kovariante (ro x) und (~ x), ('f x), (~ x) einmal mit (r~, x), (r, x), (r~ x), dann mit (rT, x)~ (r~ x), (r, x) zu- s~mmenfallen, so treten fur k, ,% v - - l , 2~ 3; 2~ 3, 1; 3, 1, 2 bereits alle sechs Werte des Doppelverhiiltnisses d auf. Im ersten Fttlle folgt

8 m

�9 8

I/z- �9 (~ x) = (c; x),

wo zu den sehon in den Formen (rk x) enthaltenen Irrationalititten

V wieder nur die eine quadratische Irrationalitiit = 2 I/G- hinzugetreten ist.

w Die e i n f a c h s t e n e l l i p t i s c h e n Geb i lde .

Wir betrachtcn jetzt ein b e s t i m m t e s ~ystem yon Kovarianten (rox). . . (r3x). Zwischen tier Quadratwurzel aus F(x) und den Wurze]grSBen I / ~ - ~ soll stets die Abh~ingigkeit

bestehen, so dal~ nur vier der fiinf Wurzelwerte willktirlieh gewiihlt 4

werden ktinnen. Ferner wollen wir aueh den WurzelgrSBen I/e~-e~ ~---

272 E. Study,

~ - ( r o bestimmte Werte tiber die weiterhin beilegen, n o a h v~ r -

fiigt werden wird. Wir erhalten dann ein elliptisches Gebilde, wie es der alteren

(yon den Integralen ausgehenden) Theorie zugrunde liegt, wenn wit mit den Veranderlichen xo und x~ die WurzelgrSge VF(x) zusammen- stellen. Mit diesem Gebilde sind dann noch unendlich viele ebenfalls elliptisehe Gebilde verbunden, yon denen wir nunmehr die drei betrachten wollen, die zu dem ersten die einfachsten Beziehungen haben. Sie sind bestimmt durch die folgenden Zusammenstellungen yon Verh~tltnisgr61~en :

I.

II. ~((~) : Q, (y): Q~ (y): o~ @.

Von dicsen Gebildcn ist das zweite wieder das, yon dem wir" soeben ausgegangen warcn. Nut haben wit start der beiden Koor- dinaten xo und x~ odor Yo und yl ihrer drci, O~ (Y), O~ (Y), Q3 (y) benutzt~ die dutch eine quadratische Gleichung verbunden sind. Da- durch ist erreicht, da~ die Darstellung des Gebildes ihrc Form nicht iindcrt, wenn die Veri~nderlichen yo and y~ einer linearen Transfor- mation unterworfen werden.

Die vier GrSgen II lassen sich deuten als homogene Koordi- naten der Punkte einer elliptischen Kurve vicrter Ordnung, der Basis eines Biischels yon Fl~tchen zwciter 0rdnung~ unter dencn der Kegel O~ + Q~ + Q~ = 0 eine Sonderstellung einnimmt. (Oder sie lassen sieh deuten als homogene Koordinaten einer Ebene der kor- relativen Figur, die dann unmittelbar zur Figur der konfokalen Flachen zweiter Klasse in Beziehung tritt.)

In ahnlieher Weise li~gt sich auch das Gebilde I deuten. Man hat dann wieder eine Raumkurve vierter Ordnung vor sieh, nun aber ohne ausgezeiehneten Kegel. Die zugeh(irigen Fl~tehen zweiter Ordnung sind in diesem Falle gegeben dureh die Gleiehung

(~o x) (~o/) + (~ x) (~ x') + (~ ~) (~ ~') + (~ ~) (~ x ~) = o,

s) Da$ in den drei F~llen verschiedene Paare you Ver~nderlichen Xo, xl, Yo, Yl, %, zl benutzt werden, ist nattirlich nebensachlich, wird aber die Darstel- lung erleichtern.


die fiir ( x ' ) : (re), (r,), (r2), (ra) die vier Kegel zweiter Ordnung liefert, die die Kurve enthalten.

Die genaue Beziehung zwisehen den beiden Kurven ist dem letzten Lehrsatz in w 3 zu entnehrnen. 8ie s ind z u e i n a n d e r kol- l inear .

Endlieh liefert Ili , wenn die drei VerhiiltnisgrSgen der Reihe naeh rnit Zo, Z1, & bezeiehnet werden, eine ebene Kurve dritter Ordnung in der yon W e i e r s t r a s s herrtihrenden Gleiehnngsform

z0 z ~ = {4 z ~ - g ~ z, z~--g~ Zo ~} = o . Bleiben wit indessen irn binttren Gebiet, so l~l~t sieh yon dem

Gebilde I aussagen, daft es alas Gebilde II v i e r f a e h fiberdeekt und relativ zu ihrn unverzweigt ist. [Man identifiziere die 8tellen (x) and (y)]. Das Geb i lde I t i be rdeek t also das bini i re Gebie t Q1 (x) : 0~ (x) : Oa (x) oder Ol @ : O~ @ : 03 (g) aeh t f aeh , und es hat , r e l a t i v zu ihrn, s e e h z e h n V e r z w e i g u n g s p u n k t e , die zu v i e r e n dor t l iegen , wo das Geb i lde II se ine Verzwei- g u n g s p u n k t e hat , nt trnlieh tiber den S te l l en (y) = (to), (rl), (r2), (r~). Umgekehrt tiberdeekt das Gebilde II nur den vierten Teil von 1; die entspreehende Riernannsehe Fl~tehe mug zersehnitten and in vier Exemplaren aneinandergelegt werden, urn die zu I gehSrige Fl~tehe auszuftillen.

Und aueh das Gebilde III hat zu II eine ganz einfaehe Be- zitehung.

Naeh dern Satz auf Seite 257 kSnnen wir namlieh das bin~tre Gebiet des syzygetisehen Btisehels, dessen Parameter wir z genannt hatten, ebenfalls mit einem elliptisehen Gebilde tiberdeeken, und dieses wird an den genannten Stellen vier einfaehe Verzweigungs- punkte haben und vermSge tier Gleiehungen

y=z , Y=V4~- -g2y - -g~=~/4za - -g~z - -g~=Z

auf das Gebilde II projektiv bezogen werden kSnnen. Dieses weitere el[liptische Gebilde ist eben das Gebilde III. Es werden rnit den Ver- hiiltnisgrS~en F (g) und H (y) - - oder besser, - - H (y) - - , wie die Formel ftir z--ez es zeigt~ die Verhiiltnisgr(il~en F(y)~ --H(y) und I ' (y) : ~ zusarnrnengestellt, wodureh eben das Gebilde HI entsteht. Es ist aber

T (~) P~ (v) = _ .9 I / ~ . I I

F (~,) I/~ ~ (y) " = ~, ~,~

= _ 2 11 [ - H ( t , )-- ~ F (y) ~,~,~ VFT~(v)

Wit sehen hiermit: Die Geb i lde I, I I , I I i g e h S r e n d e r s e l b e n Klasse

e] i l ip t i scher Geb i lde an; d. h. sie l assen s ich w e c h s e l w e i s e - e i n d e u t i g und zug le i ch a n a l y t i s e h a u f e i n a n d e r abbi lden .

274 E. S t u d y ,

{ Auf 2 . co 2, ~ Arten oder auf doppelt so viele (y~ - -0) oder auf dreimal so vide Arten (g~ : 0 ) } . Mit einigen dieser Abbildungen, die algebraischen Charakter haben, und anderen, die ebenfalls algebraiseh, abet nicht eindeutig sind, wollen wir uns nunmehr besch~ftigen.

Wir benutzen nun einen Gedanken, dessen Ausfiihrung dureh das ganze hier verwendete System yon Bezeichnungen vorbereitet women ist: Wir iden t i f i z i e ren j e tz t die der Theo r i e der Form t/'(y) e n t s t a m m e n d e a ! n v a r i a n t e n g~, g~, ek, ~

[/e,--et~ mit den Gr~l~en, die in der Theo r i e der doppel t - p e r i o d i s c h e n F u n k t i o n e n d i e se lben N a m e n ftihreng).

Dann kSnnen wir zunAehst den folgenden Satz aussprechen: Die G l e i e h u n g e n

II a)

4 4

VG y)

( y ) -

(y) T (u) = ~, (~ ~), F (y) -- ~ (2 ~)~ r (u) I / ~

@--1~ 2, 3)

l ib )

1 (~o)~(~u) ~ 1 (t~o)~(ty) 2 (ro y)~ -- 8 ~G-. (to y)

4 I/'2 (tro)~ (ty)3 _,

4

__4V_ ~ . (a (ror~ y)3(a y)~ _-- 32 (t~ ro)~ (t y)9 __ ~" us I/V. (to ~)~

lo)

9) Siehe die zitierte Schrift fiber Trigonometlie. Das Bestehen der im Texte gen~nnten M6glichkeit liegt nunmehr ganz

nahe, bedarf aber immerhin einer Er0rterung, wegen der Mehrdeutigkeig der irrationalen Invarianten. Hierauf kann hier nicbt eingegangen werden.

Ygl. tibfigens auch die eingaags erw~iJanten Formeln, in denen Thetafuak- tioaen vorkommen.

lo) Ersetzt man r o dutch r~, so erh~tlt man ebenfalls richtige Gleichungen, wean man u durch u +co~ ersetzt.

IrrationNo Kovarianten und elliptische Funktionen. 275

sind alle m i t e i n a n d e r vertr~iglich. Sie o rdnen j e d e r Stel le des Gebi ldes I [die hier (y) genann t ist] Wer te des Argu- mentes u der e l l ip t i sehen F u n k t i o n e n zu, dis sich ledig l ieh um doppe l te Pe r ioden (4~) vone inande r un te r sche iden , und sie lassen u m g e k e h r t j edem solchen Wer t sys tem eine Stel le (y) des Gebi ldes I en tspreehen.

Unterdr t ick t man die drei ers ten Gle ichungen, so bleibt eine ebenfal ls e indeu t ige Z u o r d n u n g tibrig, in der j ede r Stel le des Gebildes II W e r t s y s t e m e yon u entspre- chert, die sieh nur um e infache Per ioden (2~) un te r sche iden .

Die beiden le tz ten Gle ichungen un te r IIa) o rdnen endl ieh j e de r Stel le des Gebildes III, ebenfal ls umkehrba r , solehe W e r t s y s t e m e des Argumen te s u zu~ die sich nu t um :halbe Pe r ioden (~) v o n e i n a n d e r un te rsehe iden .

Da alle reehter Hand vorkommenden Funktionen eindeutig yon dem Argument ~t abhKngen, so werden hiermit t r a n s z e n d e n t e P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g e n tier Gebi lde I, II, III behauptet.

Zum Beweise quadrieren wir zun~iehst beide Seiten der Glei= chungen erster Reihe unter II a). Wir erhalten dann drei lineare Glei- ehungen fiir ~Vu~ die sich auf Grund der festgestellten Eigenschaften der Kovarianten (r~y) sofort als gleichbedeutend erweisen. Umge- kehrt sind ebenso dis drei Gleichnngen ftir die Verhiiltnisgri~l~en Yo:Yl miteinander vereinbar, die man bei gegebenem Werte yon 3~u erhiilt, g u kann somit als Parameter unseres ursprtinglichen biniiren Gebietes angesehen werden. Dureh den Wert yon g u ist u bis auf das Vorzeichen und Vielfaehe yon Perioden bestimmt. Den Wertsystemen dieser Art aber entsprechen aeht Wertsysteme der Wurzelfunktionen ~ ~ ~ , V-gu-e3~ und jedem solchen Wertsystem entspreehen umgekehrt Wertsysteme yon u, die sieh nur um Vielfache doppelter Perioden voneinander unterseheidem Acht Wertsysteme haben abet auch die Quotienten yon Quadrat- wurzeln, die in unseren drei ersten Gleiehungen links stehen.

Hiermit ist unsere Behauptung bewiesen, soweit sie sich auf die drei ersten Gleiehungen unter II a) bezieht.

Die drei Gleichungen zweiter Reihe unter II a) erweisen sich sodann als algebraische Folgerungen aus den Gleichungen erster Peihe und der Abh~ingigkeit

auf Grund eines Hilfssatzes, der sogleieh angefUhrt werden wird. Nehmen wir das einstweilen als riehtig an, so ergeben sieh aueh die iwei letzten Oleiehungen nnter II a). Die Gleiehungen nnter II b) siind dann ebenfa!ls Folgerungen aus dem ersten Gleiehungstripel unter IIa); man hat das hinzuzunehmen, was in w 6 iiber die

276 E. S t u cry,

W e i e r s t r a s s s c h c blormalgestalt von Y (x) vorgetragen worden ist. Was dann zur Yervollstandigung unseres Lehrsatzes noch fehlt, braucht wohl nicht ausgeftihrt zu werden.

Der Satz~ auf den soeben Bezug genommen worden ist, ge- hSrt zu den Elementen der Theorie der ellil0tischen Funktionen, und sollte eigentlich wohl in jedem Lehrbuch stehen. Er ]antet:

Die F u n k t i o n e n des T r i p e l s VP(2u)-e~ nnd die des P a a r e s you, yo'u l a s sen s ich g e g e n s e i t i g r a t i o n a l durch- e i n a n d e r ausdr l i cken ,

Mit anderen Worten : Die b e i d e n F u n k t i o n e n k / J r p e r , die du rch das g e n a n n t e

T r i p e l und P a a r yon F u n k t i o n e n bes t imln t w e r d e n ~, s ind iden t i s eh .

Es findet sich

~0 r U

(woraus noch durch Quadrieren die bekannte Formel fiir YO (2 u) hervorgeht). Umgekehrt ist

~O g - - 6~" ~ / .

oder

und

11)

Berechnen wir nach dieser Vorschrift den Wert der Wurzel- funktion ~ (2 u ) - - ez , so erhalten wit nichts anderes als die Deft-

11) Vg]. z. B. T a n n e r y et Molk , l~14ments de la t h 4 o r i e des fonc - t i o n s e l l i p t i que s, Tafel XVI, wo die zweite Formel angefiihrt ist. - - Man beachte noch die sehr ~hnlich gebauten Gleichungen, die erha]ten werden, wean man u um eine halbe Periode vermehrt.

Irrationalo Kovarianten und elliptischo Funktionen. 277:

nitionsgleichung der Kovariante Qm (y). Der Satz tiber die Funktionen Vpu--e~ usw. ist hiemit vollsti~ndig bewiesen. Es ergibt sich aber noeh mehr:

Die G l e i c h u n g e n IIa) and IIb) z iehen ganz ana l oge G l e i e h u n g s s y s t e m e Bach sieh, d ie s ieh au f die Gebi lde I und III bez iehen .

E r se t z t man (y) und u du reh (x) und ~), und in dem zu-

g e h S r i g e n L e h r s a t z /5 dureh 2d~, so e rh~l t man e inen zweiten L e h r s a t z derar t .

Wir bezeiehnen die so entstehenden Formeln, ohne sie ausdriiek- 5eh hinzusehreiben, mit Ia) und [b).

Ein d r i f t e r g l e i e h a r t i g e r Satz wi rd e rha i t en , wenn

man (y) und u dureh z und 2u ersetz b sowie ~ du reh ~.

Den so entstehenden Formeln ordnen wir die Zeiehen III a) und _mb__) :u.

Wir h~ttten nattirlieh auch sehon yon vorneherein etwa den Lehrsatz Ia) aufstellen kSnnen. Aus den Gleiehungen

(to x)

warden sieh dann die anderen

ergeben haben. Auf Grund dessen, was wir in w 3 (S. 258) gesehen haben, kann die Stelle (x)~ die nunmehr dem Gebilde II zu- zurechnen ist~ eindeutig-umkehrbar eine Stelle (y) des Gebildes I zu- geordnet werden, die mit der ersten dureh die Gleichungen

4 4

V(ro x)

verbunden ist. Damit erhalten wir gerade die Gleichungen

yon denen wir vorher ausgegangen waren. Genau so ergibt sich der Lehrsatz, der sich auf die Formeln

IIIa) und IIIb) bezieht. Das hiemit Bewiesene kSnnen wir kurz so ausdrticken:

Monatsh. ~tir Mathematik urtd Physik. XXXV. Band. 22

278 E. Study,

Wir g e l a n g e n yon dem Geb i lde I zu d era G e b i l d e II, u n d yon II zu I[I d u t c h V e r d o p p e l u n g des A r g u m e n t e s , das

im F a l l e I ~-~ im Fa l l e II u und ira F a l l e III 2u he ig t .

Natiirlich wtirde sich dieser Prozeg ins Unendliehe fortsetzen lassen. In umgekehrter Richtnng ist jedes Gebilde auf das vorher- gehende vierdeutig bezogen.

Um den algebraisehen Charakter der gefundenen Beziehungen deutlieh zum Ausdruck zu bringen~ fiihren wit noeh einige Zeiehen ein, deren mehrere aueh zuvor schon benutzt wordeu sind. Wir setzen

[ x = ~ = ~ i~ I / u ( u l )

-x=~+~-=/ ~-i~ = s ~ ( . [2c~)= s?'~,

II

III z g(2~)=g(2~+]~)= 1 ' ( - ~ ) 1~,~. - - = ~ - ~ u =~-

Zwischen X und x, Y und y, Z und z besteht dann dieselbe Abh~ngigkeit,

S = I , /4-s3--g2s--gs.

Die drei durch x und X~ y und 2=, z und Z bestimmten Funk- tionenkSrpcr [II, [II]~ [III] al~cr gehSren, w e n n i m m e r u als Ar- g u m e n t b e t r a e h t e t wird, zu verschiedenen Tripeln primitiver Pcrioden (tier Summc Null), ni~mlich zu den Tripcln

I II III (4%~ 4o~2~ 4~3), (2c%, 2o~2, 2%), (oh~ co~.~ ,%)~

oder zu mit dicsen iiquivalenten Tripeln. Wir setzcn behufs bequemer i)bersicht auch noch, in dor nun-

mehr eingeftihrten Bezeichnung, die Gleichungen her~ die den etwas verschlungenen Zusammenhang zwiscben unseren Gebilden vermitteln:

O~ (x)

- - - I / ~ - - 6 ~ ' 4 4

Ve,~-+. V~;~. i / ~ V~V~

Irrafionale Kovaxianten und ellipLischo Funktionen. 279

=

w 10.

Die H e r m i t e s e h e T r a n s f o r m a t i o n .

T r a n s f o r m a t i o n e n v e r w a n d t e r Art.

In unserer bisherigen Untersuehung ist uns mehrfaeh tin For- melpaar begegnet, das als eine Zuordnung yon Stellen der Gebilde II und III aufgefagt werden kann und in der nunmehr eingef'dhrten Bezeiehnung so aussieht:

H(g) T(v) F ( v ) - z, - - z .

F ( y ) [ F ( ~ )

Es ist das die Transformation, dureh die Hermi te bereits im Jahre 1852 die jetzt naeh W e i e r s t r a s s benannte Normalgestalt des tiberall-endliehen elliptisehen Integrals hergestellt hat.

Die erste Formel ordnet je vier Stellen unseres ursprtingliehen bin~ren Gebietes eine einzige Stelle z des zweiten bin~tren Ge- bietes zu, dessert Elemente die Punktquadrupel des syzygetisehen Btisehels sin& Dieses zweite Gebiet hatten wir mit dem Gebilde III ~iberdeekt. In Folge davon stellen beide Formeln zusammen, in der Riehtung yon links naeh reehts gelesen, die Verdoppelung des Ar- gumentes u (des Gebildes II) dar.

Ptihren wir aueh auf der linken Seite der letzten Gleiehung d i e in dem Zusammenhang

y2 = 4 y~--y~ y--g~

stehenden nieht homogenen Vergnderliehen ein, so erhalten wir

1 "2 (y2 4- -u + 2gay

2) 1 6 Y ~ - - - - g 4 + 3 y Y = Z .

Die AuflSsung dieser drei Gleichungen naeh y und Y ist dem angeftihrten Satz tiber die Funktionen I/~ (2u)--ez zu entnehmen:

22*

280 E. S~udy,

oder

y = ~ + V~---G V~---G~ + V~---~ V~--~ + I/~---~ V~-~---~, (V~-----~ + V~---~) [

Y = 2 . ( V ~ + V~--~d �9

( t /z-~ + V~----~O I

Dieses also ist die U m k e h r u n g der H e r m i t e s c h e n T r a n s f o r m a t i o n . Sie ist vierdeutig, liefert also nicht acht Werte- paare (y, Y)~ da die reehts vorkommenden Wurzelgriigen mit Z - - - - ~' (2 u) dutch die Gleichung

verkntipft sind. Sie ist aueh vSllig allgemein, nieht etwa an die Verwendung der besonderen Koordinaten (y, Y) and (z~ Z) gebun- den~ da wir ja diese dutch Kovarianten yon F(x) ausgedriiekt hatten.

~ndern wir die Vorzeichen yon zweien der Wurzelgriigen V~ez~ etwa die yon Vz---~-e~ nnd [/~'~-e~e,, so bleiben wir in derselben Transformation III - - k II, erhalten aber an Stelle yon y und Y andere Werte yz and Yz~ dieselben~ die sieh dureh die Substitution

(e,--e~o) (ez--e~)

ergeben. Die hierdnreh bewirkte Zuordnung (y, I/) - - k (yz~ Y>~) ist involutoriseh and kann als Erweiterung einer Projektivitgt angesehen werden~ die die Nullstellen oder Wurzelpunkte der Formen des syzygetisehen Btisehels paarweise vertauseht.

Dieselben Gleichungen~ wie zwi'schen den GrSgen y--e~ Y und ~ , Z bestehen nattirlieh auch zwischen den GrSgen x--e~ X and ~ff-~--e~ Y. Aus dem Gesagten geht" wiederum hervor~ da~ jede Stelle des Gebildes II yon vier Stellen des Gebildes I tiberlagert wird. Dies gilt insbesondere auch ftir die Verzweigungs-

Irrationale Kowrianten und elliptische Funktionen. 281

punkte des Gobildes II. Z. B. wird der Punkt y - oo tiberlagert von den Stellen

4 4 4

= o:_+ Ve --e :___ k - - e l :__ / e , - - e , ,

wo alle Vorzeiehenkombinationen zuliissig sind, mithin vier Wert- systeme erhalten werden.

Die nunmehr gefundene Transformation ist, a b w e i e h e n d yon dem Fa l l des f3bergangs yon III zn II, nur eine unter v ie r algebraisch-gleiehbereehtigten Transformationen. Bei den anderen tritt an Stelle des Verzweigungspunktes (ro) yon II einer der iibrigen Verzweigungspunkte. Sie werden erhalten vermSge der drei in den Formeln

V ez-- e---~ Vy~-e~

I / Yz --- e~,

zusammengefa[~ten Transformationen, die die Verzweigungspunkte des Gebildes II paarweise vertauschen (vgl. S. 280). Oder sie werden - - und zwar ziemlich viel einfacher - - erhalten durch Substi- tution yon

an Stelle yon

was ganz dasselbe leistet. Die doppelten Vorzeichen entsprechen den beiden als wesentlich-verschieden anzusehenden Verschiebnngen des Argumentes u~ die in der Formel

u*--u • (o~ + 2~)

enthalten sind. Aul~erdem zeigt sich noch, datl die t Iermitesche T r a n s '

formation eine ausgezeichnete ist tinter v ie r eindeutigen Transfor- mationen~ die in dem du tch die GrSl~en el, e~, e~ bes t immten

282 E. S tudy ,

R a t i o n a l i t i i t s b e r e i c h als mit ihr gteichberechfigt gelten kSnnen ~2). Die iibrigen ergeben sich aus der H e r m i t c s c h e n Transformation, wenn man sie mit der schon angefiihrten involutorischen Trans- farmation

z - - e ~

(z--e~)~

zusammcnsetzt Die drci fibrigen Transformationen sind also

F (~) -- z~- - e~ - - e).~

oder

2

-- -- Z~, Q~ (~)

- - ~ ( e~- - e~) O~ (~). O,, (~). V ~ _ _ z , �9 ~ : o~(~) o~,(~) -

Ftir die Stelle (z, Z) des Gebildes III ist bier die Stelle (z~, Z~) ei~ge/reten, die um eine halbe Periode des FunktionenkSrpers [III] verschoben ist :

z = - ~ ' (~ ~ ) ,

~) Sie ist unter vier Transformationen auf ~hnliche Art ausgezeichnet, wie im bin~ren Gebie~ x o : x~ die identische Projektivit~t (xy) = 0 ausgezeichnet ist unter den vier Projektivitiiten~ die in der Gleichung

l {(ax)~.(hy)4 (hx)4.(a y)4 } ____. (xy).(tx) 3 (t y)3=0

zusammengefa~r sind.

Irrationalo Kovarianten und elliI~t,isch~ Funktionen. 283

Dieselbe Transformation

(2 u') = (2 u) • ~o~

:hat augerdem noeh dis Gleiehungen zur Folge:

b),-~), = - ~ , l / z - Z = - ~ ,

I / ~ - - Z I / z - ~ V~7-- ~-Z V ~ ~ w ; I/~, ~- ~ = -+ , V ~ - ~ = �9 ,

Schlieglich seien noch einige spezielle geometrisehe Satze angefiihrt, die aus den entwiekelten Formeln abgelesen werden kfinnen und zur Erlauterung eines Umstandes dienen sollen, der in unserer Darlegung hervorgetreten ist: Es hatte sich gezeigt, dal~ der 8ber- gang yon III zu II nnd der yon II zu I, bei Halbierung des Argu- mentes, einen in a lgebra i scher ttinsieht verschiedenen Charakter haben.

In den folgenden Siitzen gilt, wie bisher, u als Argument: Dis zu III, II, I gehSrigen FunktionenkSrper entspreehen verschiedenen Systemen primitiver Perioden.

Im Gebilde II[ l iegen dis vier halben Per ioden (die

imprimit ive 0 + ~ und dis drei pr imit iven ~ + 6 ) i n den

Verzweigungspunkten [(ro), (rz)].

Im Gebilde II l iegen die halben Per ioden (0 + 2~ r + 2(~) ebenfal ls in den Verzweignngspunkten [(ro)~ (rz)].

Die pr imi t iven Vier te lper ioden t iberlagern die Null- stel len oder Wurze lpunkte der Kovar ian te T(x), und insbe-

to), sondere i iber lagern die Vier te lper ioden ~ + ~ + 2~ dieNnll-

stel len des Fak to r s Q~(x) yon T @)18).

Im Gebilde I i iber lagern die vier halbert Per ioden (0 + ~ , 2 r -4- 4~) den Wurze lpunkt (%) yon /?(x), und die

~3) Entsprechendes kann nattlrlich auch yon dem Gebilde III ausgesagt werden.

t~brigens hat keine der iibrigen Kovarianten yon F(x) eine iihnliche Eigen- schaft wie T(x).

284 E. S~udy ,

primitiven Periodenviertel (~z + 4~, ~z+24 + 4~) t~berlagern zu v i e r e n j e e i n e n (rz) d e r d r e i t i b r i g e n W u r z e l p u n k t e .

Zwisehen den Funktionenk6rper [II], der dureh p u und jo'u bestimmt ist, und den K6rper [I], der dutch Adjunktion der drei Wurzelfunktionen [~---'~--e~e~ daraus entsteht, schalten sieh noeh drei andere Erweiterungen des K6rpers [II] ein~ deren einzelne [A] dadureh erhalten wird, dab man nur eine einzelne Wurzel- funktion [~u--% hinzunimmt.

Dieser KOrper [h] und das ibm entsprechende elliptische Gebilde A, das das Gebilde II nur doppelt iiberdeckt, haben nicht einen so einfachen Zusammen- hang mit dem Gebilde If, wie die bisher betrachteten K6rper and Gebilde. Aber auch sie haben noch eine enge Beziehung zur Invariantentheorie der Form F(x). Es sei~ beispielsweise, erw~hnt:

E ine h o m o g e n e F u n k t i o n n u l l t e n G r a d e s d e r F o r m e n (rkx)ge- h 6 r t d a n n und n u r d a n n dem K6rpe r [A] an, wean sie r a t i o n a l yon d~n F o r m e n (,,~x) se~bst n~d yon ae~ P r o d ~ k t e n V( - -~ r ~ ) ,rid I/(~tx)~/'~vx ) abh~tngt , und u m g e k e h r t k a n n jede F u n k t i o n des K 6 r p e r s [A] - - auf m a n n i g f a c h e Ar t -- so ausgedr t~ckt werden.

Man kann demnach das Gebilde A in ~hnlicher Weise deafen wie die Gebilde I und II: Die Verhaltnisgr61~en

(to ~): (r~ x) : G x ) : (,'~ x)

,sind (tiberzahlige) Koordinaten der Punkte einer elliptischen (hTormal-)Kurve vierter 0rdnung. start der vier ersten unter ihnen kann man~ nach S. 268~ auch die Gr6f~en

[// O~ (x) -- i Q~(x)

[~ ~_ V~ = e kl { i (ro.~) + (~ ~), - - ~ o { ,i ( ~ x) + (~ ~) },

[/-O~ (x) + i Q~ (x) -

V7 V~ = ,~ ~--~ { - ~ (~o x) + (~ x) } = y ~ { ~ % ~) - (~,, x) }

Cz(u)=

als Koordinaten einfiihren. Setzen wir noch

( ar ~ { --Th--~ / = .

so folgt

4 4 G_e---2 I/~_%

/


Zu dem Gebilde IA] = [q)~u, q)~'u] geh6ren, n a c h w 5, die Wurzelgr6gen

4 4

~@~--~v = - - ]/e --e---~ ~/%--e~ ,

und es geh6ren dazu die Funktionen

~ u = - - ~ - - - - , ~ - - e~

~ 1

_ _ e~ , ) 2 (r

(Vgl. H.A. S c h w a r z , Formelsammlung, 8.29, wo statt der C a y ] e y s c h e n Normalgesta]t unseres K6rpers eine Formel angegeben ist, die dem Rationalit~ts- bereich yon e,, e~, e 3 angeh6rt.)

w 12.

Das t ibe ra l l -end l iche In tegra l .

Schlul~bemerkungen.

Es versteht sieh~ daft infolge einer jeden der in den Para- graphen 6--8 ausgefiihrten Transformationen

/ (xd ) = [" (8d8)

wird, wobei Integrationswege und Grenzen in der durch die Trans- formation gegebenen Abh~ngigkeit stehen.

Dazu findet sieh noeh

Wenn also insbesondere die Weiers t rasssche Normalgestalt hergestellt werden soll, so erhiilt man

u -- ( ( Y ) (y d y)

-J(ro, V E(u) os d s

286 E. S t tt ct y,

wobei das Zeiehen s in der oberen Grenze des zweiten Integrals das deutliehere Zeichen (s, S) vertritt.

Znfolge der Existenz der Hermitesehen Transformation und der ihr koordinierten Transformationen sowie ihrer Umkehrungen und Wiederholungen lassen sieh dieselben Normalgestalten yon I n t e g r a l e n aueh auf unendlieh viele andere Arten herstellen. Ins- besondere erhalten wir Nr Integrale: die sieh anf die Gebilde I, II, III beziehen, die Gleiehungen

2 / f d x __ / d y l_~]~ d z u = - - - -2- ' u = - U ' u = - - z

und ebenso

u=-- x~'U=--d~ y~, u=-- ~ Zx "

Im Falle des ersten und zweiten Integrals tiberlagern die vier Stellen (x) des Gebildes I, die einer bestimmten Stelle @) des Ge- bildes II entspreehen, eben diese Stelle. im Falle des vierten und fiinften Integrals liegen die vier Stellen (xx) ebenfalls tibereinander, aber nicht tiber der Stelle (yx). Insbesondere liegt die mit x = ez be- zeichnete Stelle des Gebildes I, wie gesagt, in jedem der vier in der Formel aufgefiihrten FNle tiber der Stelle (to) oder y =-oo des Gebildes IL

Zu besserer Verdeutlichung mSgen die drei ersten Formeln noehmals und ausftihrlieher angesehrieben werden:

It. ~ _ 1 f (~) F(y) d (2~ (.v)

{ "(v) (ydy) __ *)~ dy }

III. u -- -- 9 d(~o) T (z) F (z)

Irrational~ Xova.rianten und elliptische Funktionen. 287

Dies bezieht sieh auf Transformationen, die in der Riehtung I - - ~ I I - - ~ - I I I eindeutig und in der nmgekehrten Riehtung vierdeutig sind. Wir haben aber aueh sehon gesehen, dal~ d ie drei elliptisehen Gebilde auch e i n d e n t i g aufeinander bezogen werden kSnnen, vermSge der Identifizierung der Wertepaare (x~ X), (y, Y), (z, Z) mit einem unter ihnen. Dann erhalten wir also dreimal des- selbe Integral

somit

f~ d s f (v ) (y dy) _

u = __ ~.;'z](_ ~) (x d x) _ _f(~) (y d y)

~ f(:) (zd~)

wo nun die Integrationswege und dig (der Unterseheidung halber besonders bezeichneten) Grenzen in der Abh~ingigkeit voneinander stehen, die in den letzten Gleichungen in w 9 enthalten ist.

Wir sind hiermit zu einem gewissen Absehlul~ unserer Unter- suehung gelangt. Auf andere Integrale, die sich ebenfalls in invariante Fonnen setzen lessen, soll nieht mehr eingegangen.werden, und im ganzen aneh nicht auf elliptisehe Funktionen mit mehreren Argumenten. Doch sei anhangsweise noch, als Beispiel fiir vieles derart, das Formelpaar

2 @ ~)~ = ~ (u + v),

V ( ~ ) ~ . (o x) (o y)3 ~ (a x)3 (~.~). V ~ - ~ = ~ (~ + v) (x~)~

erwi~hnt, ftir das sich aus dem Vorgetragenen eine genetische Her- leitung ergibt 1~).

Gesetzmi~l~igkeiten, die den erSrterten ~thnlieh sind, mtissen offenbar auch im Falle der h(iheren Geschlechter iiberall da bestehen~ wo die schon yon B. R i e m a n n (im Fragment XXXI) bctrach- teten und in der Folgezeit viel untersuehten W u r z e l f u n k t i o n e n auf- treten. Die Schwierigkeiten~ dig mit einer folgerechten Durchftihrung

14) Vgl. F. K l e i n , Math. Annalen, Bd. 27 (1886) = Abhandlungen, Bd. III (1923), S. 346--34:9.

Dureh die hier eingefahrten P a a r e yon Argumenten % v werden die Formeln zu den vorhergehenden in Beziehung gesetzt.

288 E. S~u d y, Irrationale Kovarianten and elliptische Fun~lone~.

des Programms der Invariantentheorie verbunden sind, steigen indessen sehr rasch mit wachsenden Geschlechtszahlen, und iihnliches tritt auch schon bei den elliptisehen Funktionen ein, wenn man yon der bier betrachteten einfaehsten ,Normalkurve '~ zu anderen tiber- geht. Diese Schwierigkeiten liegen im Wesen der Saehe. Man kann wohl nieht erwarten, dal~ man bei Verschiirfung der Forderungen~ besonders in Rticksieht auf Vollsti~ndigkeit der Einsicht in den Zu= sammenhang der zu untersuchenden Gebilde, eben so leieht wird vordringen kSnnen wie bei Besehriinkung auf Betrachtungen mehr qualitativer Natur, auf bloke Existenztheoreme, die immer etwas Halbes sind, ein Notbehelf und Surrogat ftir erschSpfende Ausftih= rungen. Das behandelte Beispiel, das einfaehste, das es gibt, mag vielleicht zu weiteren Untersuchungen i~hnlicher Art anregen.

Schliel~lich sei noch auf eine interessante Dissertation hinge- wiesen, in der zwar yon Invarianten nicht die Rede ist, mit deren Inhalt das Vorg'etragene aber doch einige Beriihrungspunkte hat: O s k a r S t a m p f l i , Der Z w e i t e i l u n g s k S r p e r der e l l i p t i s c h e n F u n k t i o n e n ~ StraSburg i. E.~ 1910.

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