ISBN: 978-958-8474-89-2

ISBN: 978-958-8474-89-2

Elementos de Matemáticas Básicas

Colección Perfiles

Elementos de Matemáticas Básicas

Carlos Gaviria Peña

Carlos Alberto Márquez Fernández

Diego Fernando Rangel Arciniegas

2020

x

Gaviria Peña, CarlosElementos de matemáticas básicas/ Carlos Gaviria Peña, Carlos Alberto Márquez Fernández,Diego Fernando Rangel Arciniegas.−−Medellín: Editorial Bonaventuriana, 2020

375 p. −−(Colección Perfiles)Incluye referencias bibliográficasISBN: 978-958-8474-89-2

1. Conjuntos numéricos 2. Álgebra 3. Funciones4. Ecuaciones e inecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones 6. Trigonometría

511,1(CDD23)G283

Elementos de matemáticas básicasc© Carlos Gaviria Peña, Carlos Alberto Márquez Fernández & Diego Fernando Rangel ArciniegasFacultad de IngenieríasColección PerfilesUniversidad de San Buenaventura MedellínColombia

c© Editorial Bonaventuriana, 2020Universidad de San Buenaventura MedellínCoordinación Editorial MedellínCarrera 56c No. 51-110 (Medellín)Calle 45 No 61− 40 (Bello)PBX: 57 (4) [email protected] -www.editorialbonaventuriana.usb.edu.co

Coordinador Editorial: Fraidy Alonso Alzate PamplonaAsistente Editorial: Ezequiel Quintero GallegoCorrección de estilo: Sor Natalia Alvarez MicoltaDiseño y diagramación: Carlos Gaviria Peña

Las opiniones, originales y citaciones son responsabilidad de los autores. La Universidad de San Buenaventurasalva cualquier obligación derivada del libro que se publica, por lo tanto, ella recaerá única y exclusivamentesobre los autores, y no compromete el pensamiento y la filosofía de la Universidad.

Los contenidos de esta publicación se encuentran protegidos por las normas de derechos de autor.

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin permiso escrito de la EditorialBonaventuriana.

ISBN: 978-958-8474-89-2

Cumplido el Depósito Legal (Ley 44 de 1993, Decreto 460 de 1995 y Decreto 358 de 2000).

Febrero de 2020

Andrés Felipe López, en su libro Investigación universal. Edmund Husserly Kurt Gödel, enseña que los objetos matemáticos son ineliminables,

prima facie funcionan como hipótesis, así como lo hacen los objetos físicos,y aseguran el contenido de los axiomas; así, los axiomas y

definiciones no pueden ser al albur, por el contrario deben hacer decedazo de las observaciones objetivas y verdaderas.

Dedico este libro a mis amigos, que cumplen la exigenciaimplícita a la cita anterior; ellos son: Cesar Guerra, Andrés López,

Alejandro Molina, Ezequiel Quintero, Juan Pablo Cardona,Carlos Monsalve, Andres Palacio, Rodrigo Varela,

José Daniel Hoyos, Nicolás Duque, Danny Gómez y Sebastián Suarez.

También lo dedico a mi hijo Juan Miguel Gaviria ya mi novia Alejandra Lopera Arredondo,

quienes siempre caminan a mi lado y son la luz que me guía.A mis padres Walter Gaviria y Edilma Peña;

a mis hermanos Sandra, Ana y Walter Gaviria.

Carlos Gaviria

A Dios por todas las bendiciones que me ha dado,a mis padres Anibal Márquez y Sol María Fernández por la formación dada,

a mi esposa María Isabel Grajales y a mi hijo Carlos David Márquezpor todo el amor y el apoyo que me dan cada día de manera incondicional,

a mis hermanos Maria Elena, Anibal, Edna, Pabla, Luz StellaDiana y Johana. A mis amigos Juan Bautista López, Alfedro Villareal y Carlos Gaviria.

Carlos Márquez

El presente libro es dedicado a mis padres,quienes han sido un apoyo incondicional para escribirlo.

A los profesores por sus grandes enseñanzay a mis compañeros por sus aportes y conocimientos

para llevar a cabo esta obra.

Diego Rangel

xxx

Sobre los Autores

Carlos Gaviria Peña

Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad de Antioquia (2006), magíster en Matemáticasde la Universidad EAFIT (2010), magíster en Ciencias-Estadística de la Universidad Nacional (2017),candidato a doctor en Ciencias-Estadística (2020). Se ha desempeñado como docente desde el año2006 en la Universidad de Antioquia, Universidad EAFIT, Universidad de Medellín e Instituto Tec-nológico Metropolitano. Actualmente, se desempeña como docente-investigador de la Universidad deSan Buenaventura en el área de ciencias básicas. Ha participado en proyectos de investigación en laUniversidad EAFIT y en la Universidad de San Buenaventura.

Carlos Márquez Fernández

Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad de Antioquia (1997), especialista en matemáti-cas aplicadas en Uniremington (2003) y magíster en la enseñanza de las ciencias exactas y naturalesde la Universidad Nacional de Colombia seccional Medellín (2010). Se ha desempeñado como docenteen el área de ciencias básicas a nivel de bachillerato y universitario en la Universidad de Antioquia,Instituto Tecnológico Metropolitano y Politécnico Jaime Isaza Cadavid. Actualmente, se desempeñacomo docente-investigador de la Universidad de San Buenaventura, en el área de ciencias básicas.Ha participado en proyectos en el área de modelación matemática y enseñanza de las matemáticasorientadas al desarrollo de competencias cognitivas.

Diego Fernando Rangel Arciniegas

Matemático de la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín (2005), cursando actualmenteestudios de maestría en Estadística en la misma universidad (2019). Se ha desempeñado como docenteen el área de ciencias básicas a nivel universitario en la Universidad Nacional, Universidad de Antio-quia, Universidad EIA y la Fundación Universitaria María Cano. Actualmente, se desempeña comodocente-investigador de la Universidad de San Buenaventura en el área de ciencias básicas. Ha parti-cipado en proyectos en el área de modelación estadística orientadas a la enseñanza de las Matemáticas.

Tabla de Contenido

Introducción 11

1. Conjuntos numéricos 14

1.1. Ideas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. El conjunto de los números naturales N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3. El conjunto de los números enteros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4. El conjunto de los números racionales Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.5. El conjunto de los números reales R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.6. El conjunto de los números complejos C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2. Algunos elementos del álgebra 73

2.1. Algunas definiciones y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.2. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.4. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.4.1. Factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.4.2. Factor común por agrupación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.4.3. Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4.4. Trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.4.5. Trinomio de la forma: x2n + bxn + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.4.6. Trinomio de la forma: ax2n + bxn + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.4.7. Suma y diferencia de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.4.8. Suma y diferencia de expresiones algebraicas de la forma xn ± an . . . . . . . . 1182.4.9. Factorización por división sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.5. Simplificación de expresiones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.6 Simplificación de expresiones que contienen radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3. Funciones 142

3.1. Algunos conceptos acerca de relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.2. Funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.2.1. Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.2.2. Función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.2.3. Función radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.3. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.3.1. Algunos conceptos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.3.2. Relaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.3.3. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.4. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.3.1. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.3.2. Funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.3.3. Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3.5. Funciones definidas por intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.6. Funciones de variable compleja. Algunas ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

4. Ecuaciones e inecuaciones 2204.1. Solución geométrica de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . 2214.2. Ecuaciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.3. Inecuaciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.4. Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.5. Ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2424.6. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2474.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5. Sistemas de ecuaciones lineales 2605.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones y elementos básicos . . . . . . . . . . . . . 2615.2. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675.3. Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715.4. Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3045.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

6. Trigonometría 3196.1. Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

6.1.1. Identidades pitagóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3256.2. Otras identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3296.3. Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3356.4. Ley de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3386.5. Algunos elementos de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3506.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Índice alfabético 367

Lista de figuras 370

Referencias 372

12 Elementos de matemáticas básicas

x

Todo saber, sea cual sea su naturaleza o intención, debe permanecer en la posesión de un objeto, elcual es la causa, la motivación y le da vida al conocimiento. Este último es uno de los principios epis-temológicos de valoración de la ciencia y, en consecuencia, es el que le da sentido a lo que se escribe eneste texto. Sin objeto no hay ciencia, si no fuera así, no tendría esta a donde dirigir las preguntas –deprimer orden o de otro orden– y estaría limitada para mostrar las soluciones. Los objetos se presentanante el hombre, sea de manera sensible o formal –el objeto no se dona completamente, solo algunas desus partes lo hacen, por que el resto de sus partes se presentan en progresión–; y este, motivado poraquello que se presenta, desea conocerlos y juzgarlos, generar conocimiento acerca de ellos, predicarlosya sea de manera lógica, ética o estética. Todo hombre, si decide llamarse hombre, está y vive con laobligación de ir en búsqueda de la verdad y, en consecuencia tiene que hacerse preguntas, las cuálesdebe resolver con base a ciertos elementos, sean empíricos o teóricos –preguntas alrededor de su regiónde conocimiento o preguntas de primer orden acerca de lo uno, el destino, la muerte o Dios–. De ma-nera metafórica, con relación a los objetos, el hombre camina en la oscuridad y es la intencionalidadla que le permite ir alumbrando los objetos o partes de los objetos. El papel de la universidad noes llenar a los estudiantes de datos, el papel de la universidad no es llenar, pues el estudiante llegalleno –sin embargo, no de conceptos bien elaborados–, por tanto, el papel de la universidad es vaciaral estudiante de los conceptos mal elaborados y reconceptualizar –siempre existe la posibilidad deactualizar el conocimiento, dicha tarea es infinita, es inexhausta–. La obligación al enseñar es entoncesdar luz al estudiante, darle la posibilidad de que se haga a herramientas necesarias y suficientes paraque se acerque de manera tangencial a la verdad, no importa cuánto tarde, no importa si es fácil odifícil, si en el camino que lo lleva a cumplir dicho objetivo se encuentra con obstáculos o emocionesque lo detengan, si en ocasiones se aleja del propósito y la ruta y tenga que comenzar de nuevo. Elpapel de la universidad es generar un pensamiento crítico, es enseñar a leer y a escribir, es mostrarlas bases de la ciencia y establecer referentes que permitan hacer una crítica consciente de las teoríasque se desarrollan, el papel de la universidad es mostrar la verdad.

Con base en estas ideas se presentan a continuación seis capítulos que permiten desarrollar algunas delas cuestiones mencionadas. En este texto, la mayoría de los objetos que se estudian son de naturalezaformal y los juicios que se lanzan acerca de ellos son de naturaleza lógica. Si bien el título del libroes Elementos de Matemáticas Básicas no es la pretensión decir que esta sea la base de la Matemática–lo cual no es cierto–, simplemente se quiere mostrar que en este libro se aprenden y se adquierenherramientas que se usarán en cursos de nivel superior. Por esta razón, el libro cuenta con una es-tructura formal en términos de axiomas, definiciones y teoremas, así como una gama muy amplia deobservaciones y ejemplos que permiten aclarar conceptos e ideas. Se hacen algunas demostraciones

Introducción 13

clásicas, que sirven de sustento para generar algoritmos y se muestra cómo se debe operar en ciertostópicos particulares.

En el capítulo 1 se estudian los conjuntos numéricos N, Z, Q, R y C con la intención de resolverecuaciones y así estudiar las estructuras algebraicas 〈N, +, ·〉, 〈Z, +, ·〉, 〈Q, +, ·〉, 〈R, +, ·〉 y 〈C, +, ·〉.Si bien no se hace un estudio riguroso, pues la mayoría de las pruebas de los teoremas no se hacen,sí se escribe el capítulo con un formalismo matemático aceptable en términos de la distinción entrelos axiomas, definiciones y teoremas. En el capítulo 2 se estudian algunos elementos del álgebra y sehace un énfasis particular en el estudio de los polinomios de grado máximo n, los productos notables ylos métodos de factorización, de manera que estos conceptos básicos se utilicen para la simplificaciónde expresiones racionales y de expresiones que contienen radicales. En el capítulo 3 se estudian losconceptos de relación y función –que son la base de los cálculos diferencial e integral– y se construyende manera formal las funciones algebraicas y trascendentes. En el capítulo 4 se estudian métodospara solucionar ecuaciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas, así como métodospara resolver algunas inecuaciones polinómicas, racionales y aquellas que involucran el valor absoluto.La solución de sistemas de ecuaciones lineales se estudia en el capítulo 5, partiendo de sistemas deecuaciones lineales 2 × 2 y 3 × 3 y llegando a una teoría general que permite resolver sistemas deecuaciones lineales de orden m × n. En el capítulo 5 se aplica el método de eliminación Gaussianapara el estudio de las fracciones parciales que son de gran interés en cursos como Cálculo Integral yEcuaciones Diferenciales. Por último, en el capítulo 6 se hace el estudio de la trigonometría, pasandopor la verificación de las identidades trigonométricas, la solución de ecuaciones trigonométricas, el usode las leyes del seno y del coseno, terminando con algunos elementos de números complejos.

Con el estudio de estos seis capítulos se logra adquirir las bases teóricas necesarias para tomar cursostales como: Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo de Varias Variables, Ecuaciones Diferencia-les, Álgebra Lineal, entre otros. Además, cuando se está leyendo este texto, se aprenden a leer y aescribir problemas en contexto, demostraciones, enunciados que enriquecen la argumentación. De estamanera, además de construir las bases teóricas de los cursos mencionados, este texto permite fortalecerotro tipo de potencias intelectuales tales como la lectura y la escritura, así como el apropiamiento deprocedimientos que son útiles en la práctica. El material que aquí se presenta está dirigido a estudian-tes de ingeniería de primer semestre. Tenga en cuenta que los tópicos no se estudian al pie de la letraen un salón de clases, es decir, si bien en el texto se hace el trabajo de escribir con detalle algunosteoremas y ejemplos, es claro que en el aula no se cuenta con el tiempo para desarrollarlos con elmismo detalle; por esta razón, se sugiere al estudiante que toma el curso con este texto, ser conscientede que gran parte de lo que va a estudiar es trabajo independiente.

Carlos Gaviria, agosto del 2019

Conjuntos numéricos 15

x

Los números han figurado y han tenido un papel fundamental en las ciencias. La lógica junto con laaritmética son la base de la matemática y es natural preguntarse qué es el número. Esta no es unapregunta meramente matemática, de hecho, es una pregunta lógica, filosófica, matemática, metafísicay hasta espiritual. En el presente capítulo se estudiarán de manera tangencial1 algunos conceptosrelacionados con los conjuntos numéricos y para que dichos conceptos queden claros, la intención seráresolver un problema particular: la solución de ecuaciones e inecuaciones. Si se quiere un estudio másprofundo y formal acerca de los conceptos aquí trabajados, se sugiere estudiar los libros MatemáticasDiscretas de Gaviria, Buitrago, y Márquez (2015) e Introducción a la Teoría de Conjuntos de Oubiña(1976).

Antes de comenzar con el estudio de los conjuntos numéricos, a continuación se hace un estudio acercade algunos elementos de la teoría de conjuntos, con el fin de tener un lenguaje mínimo para abordarlos tópicos aquí desarrollados.

1.1. Ideas generales

De manera intuitiva, se puede pensar un conjunto como una reunión o colección de objetos de cualquiernaturaleza2,3. Dicha colección de objetos, puede ser finita, infinita o simplemente carecer de elementosu objetos. Dado que la escritura es muy importante en matemáticas, la notación debe ser clara yconcreta; por esta razón se describe a continuación como se denotan los conjuntos y sus elementos.

Notación. Para representar un conjunto se utilizan letras mayúsculas y latinas A, B, C, . . . y suselementos con letras minúsculas y latinas a, b, c, . . . También es usual denotar los conjuntos con letrasmayúsculas y latinas subindizadas4, por ejemplo A1, A2, A3, . . .

Como se mencionó, los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, por lo tanto, puede suceder que en elmomento de escribir sus elementos se presente la imposibilidad física de mostrarlos todos. Por estarazón, a continuación se dan dos formas de describir los conjuntos.

1Si bien en algunos momentos de este capítulo se usarán y mencionarán algunos conceptos de construcciones formalesde los conjuntos numéricos, no se harán las demostraciones y por esta razón se dice que se estudiarán de maneratangencial.

2Los objetos pueden ser cosas, es decir, los objetos pueden estar en relación con lo sensible o bien, los objetos puedenser formales, están presentes en el entendimiento.

3El objetivo del presente texto no es hacer un estudio formal ni profundo de la teoría de conjuntos, la intención esestudiar de manera intuitiva algunos conceptos.

4Esto es usual cuando se tiene una cantidad muy grande de conjuntos o el número de conjuntos es infinito.


Definición 1 Descripción de un conjunto

Describir un conjunto consiste en indicar cuáles son sus elementos de forma unívoca.

1. Un conjunto queda descrito por extensión cuando se listan la totalidad de elementos quelo conforman. Para escribir un conjunto por extensión se escribe el nombre del conjunto(como se dijo en la notación) seguido por un igual y se ubican todos sus elementos uobjetos entre llaves y separados por comas.

2. Para describir un conjunto por comprensión se tienen que dar las propiedades que satisfacenlos elementos del conjunto y solo ellos. La forma simbólica para expresar dicha propiedades:

A = x : P1(x), P2(x), . . . , Pk(x)

Donde cada Pi(x) para i = 1, 2, . . . , k, denota la propiedad que satisface el objeto x.

Ejemplo 1 Sea A el conjunto formado por los números pares mayores o iguales a 25 y menoreso iguales a 35. Por extensión, A se escribe como:

A = 26, 28, 30, 32, 34,

mientras que por comprensión A se escribe así:

A = x ∈ Z : 25 ≤ x ≤ 35 con x número par.

El ejemplo 1 muestra como se escribe un conjunto por extensión y por comprensión5 pues el conjuntoes finito y pequeño.

Los siguientes ejemplos6 se toman7 del libro Estadística descriptiva y probabilidad de Gaviria y Már-quez (2019a).

Ejemplo 2 Considere el experimento que consiste en lanzar una moneda al aire cuatro vecesy determinar qué cae. El conjunto de todos los posibles resultados Ω de dicho experimento estádado por:

Ω = CCCC, CCCS, CCSC, CSCC, SCCC, CCSS, CSSC, SSCC,

SCCS, SCSC, CSCS, SSSC, SSCS, SCSS, CSSS, SSSS.

5Puede ser que el lector conozca el concepto de número par o que al menos tenga una vaga idea del mismo, sinembargo, más adelante en este mismo capítulo se recuerda que es un número par. El mismo comentario se hace para elconcepto del orden ≤ en el conjunto de números enteros.

6Los ejemplos no son del todo triviales pero servirán de ayuda para el desarrollo de otro tipo de pensamiento, elpensamiento aleatorio.

7En algunos ejemplos se usa el concepto de k-tupla. Una k-tupla se entiende como un objeto de la forma (x1, x2, . . . , xk),donde cada xj pertenece a un conjunto A.


Ejemplo 3 Cerca a la Universidad de San Buenaventura hay un restaurante que ofrece a susclientes un menú ejecutivo. Un cliente puede elegir uno y solo uno de los siguientes ingredientes:

1. Una de dos sopas: frijoles(s1), consomé(s2).

2. Un seco con alguna de las tres carnes: res(c1), cerdo(c2), pollo(c3).

3. Uno de tres líquidos: guarapo(l1), claro(l2), té(l3).

4. Uno de dos postres: torta(p1), panelita(p2).

Si se elige un cliente al azar para determinar que menú elige se está frente a un experimentoaleatorio y el conjunto de todos los posibles resultados Ω, está dado por:

Ω = (s1, c1, l1, p1), (s1, c1, l1, p2), (s1, c1, l2, p1), (s1, c1, l2, p2), (s1, c1, l3, p1), (s1, c1, l3, p2),

(s1, c2, l1, p1), (s1, c2, l1, p2), (s1, c2, l2, p1), (s1, c2, l2, p2), (s1, c2, l3, p1), (s1, c2, l3, p2),




(s2, c3, l1, p1), (s2, c3, l1, p2), (s2, c3, l2, p1), (s2, c3, l2, p2), (s2, c3, l3, p1), (s2, c3, l3, p2)

Ejemplo 4 Una caja contiene una bola amarilla, dos verdes y tres rojas. Las bolas se eligen unapor una y en orden aleatorio hasta obtener una bola roja. Claramente esta acción satisface lascondiciones de experimento aleatorio. Se tiene que el conjunto de todos los posibles resultados delexperimento aleatorio Ω está dado por Ω : Conjunto formado por k-tuplas, donde k = 1, 2, 3, 4tales que la última componente es una bola roja.

De esta manera, si A = a1, V = v1, v2 y R = r1, r2, r3, son los conjuntos formados por lasbolas amarillas, verdes y rojas, respectivamente, entonces los siguientes son ejemplos de elementosde Ω: (r1), (v2, r1) y (a1, v1, r1).

Queda como ejercicio escribir todos los objetos del conjunto Ω.

Ejemplo 5 El conjunto formado por todos los números naturales pares es un conjunto infinito,por lo tanto, debe describirse por comprensión. Sea A el conjunto formado por todos los númerosnaturales pares. Las condiciones que debe satisfacer un objeto x para ser un objeto del conjuntoA son las siguientes:

1. x tiene que ser un número natural.

2. x tiene que ser múltiplo de 2 o de manera equivalente x debe ser divisible por 2.

Por lo tanto, el conjunto A se escribe por comprensión de la siguiente manera:

A = x : x es un número natural y x es múltiplo de 2.


Existen relaciones entre conjuntos y sus elementos y también existen relaciones entre conjuntos. Lassiguientes dos definiciones describen dichas relaciones.

Definición 2 Relación de pertenencia

Si a es un objeto del conjunto A, entonces se dice que a pertenece al conjunto A y se escribea ∈ A. Si el elemento a no es un objeto del conjunto A entonces se escribe a /∈ A y se lee a nopertenece al conjunto A.

Definición 3 Relación de inclusión

Sean A y B conjuntos. El conjunto A es subconjunto del conjunto B o A está incluido en B yse escribe A ⊆ B, si y solo si todo elemento de A también es elemento de B, es decir, A ⊆ B siy solo si para todo x, si x ∈ A, entonces x ∈ B.

Hay distintos tipos de conjuntos, dos de los cuales son usuales en matemáticas, el conjunto vacío yconjunto unitario, respectivamente. El conjunto vacío se introduce por necesidad, dado que cuando sehabla de operaciones entre conjuntos este juega un papel importante.

Definición 4 Conjunto vacío y conjunto unitario

1. El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos. Se denota por ∅.

2. Un conjunto se dice unitario si tiene un solo elemento.

Ejemplo 6 Denote por A el conjunto formado por las letras del abecedario latino, V el conjuntoformado por las vocales y C el conjunto formado por las consonantes. Nótese que se satisfacen lasrelaciones V ⊆ A, C ⊆ A, V 6⊆ C, entre otras.

Ejemplo 7 Si se consideran los conjuntos numéricos N, Z, Q, R y C, se pueden establecer lassiguientes relaciones de inclusión:

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.

A partir de la definición de inclusión8 se define la igualdad entre conjuntos.

Definición 5 Igualdad

Sean A y B conjuntos. Los conjuntos A y B son iguales y se escribe A = B si y solo si A ⊆ B yB ⊆ A, es decir, A es igual a B si tienen los mismos elementos.

8Cuando haya terminado este capítulo, el lector tendrá la capacidad de argumentar por qué se verifican las relacionesde inclusión en el ejemplo 7.


Sobre el conjunto formado por todos los conjuntos9, se definen algunas operaciones.

Definición 6 Unión

Sean A y B conjuntos cualesquiera. La unión entre A y B, la cual se denota como A ∪B, es elconjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos. Simbólicamente se puede expresarde la siguiente manera:

A ∪B = x | x ∈ A ∨ x ∈ B,

donde ∨ denota la disyunción.

Definición 7 Intersección

Sean A y B conjuntos cualesquiera. La intersección entre A y B, la cual se denota como A∩B,es el conjunto formado por los elementos que tienen en común A y B. Simbólicamente se puedeexpresar de la siguiente manera:

A ∩B = x | x ∈ A ∧ x ∈ B,

donde ∧ denota la conjunción.

Definición 8 Diferencia

Sean A y B dos conjuntos, la diferencia entre A y B la cual se denota como A−B es el conjuntoformado por los elementos que tiene A y que no tiene B. Simbólicamente se puede expresar dela siguiente manera:

A−B = x | x ∈ A ∧ x /∈ B.

Definición 9 Diferencia simétrica

Sean A y B dos conjuntos, la diferencia simétrica entre A y B la cual se denota como A B,es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión entre A y B, pero no a laintersección. Simbólicamente se puede expresar de la siguiente manera:

AB = x | x ∈ A ∪B ∧ x /∈ A ∩B

Otra forma de definir la diferencia simétrica es:

AB = x | x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ x | x ∈ B ∧ x /∈ A

9Se supone la existencia de universales para que operaciones como el complemento tengan sentido. En estadística, porejemplo, los conjuntos universales son necesarios y la operación complemento es vital para el cálculo de probabilidades.


Definición 10 Complemento

Sea U el conjunto universal y A un conjunto de tal manera que A ⊆ U . Se define el complementodel conjunto A, que se denota por A′, como el conjunto formado por los elementos que están enel conjunto universal, pero que no están en A. Simbólicamente se expresa:

A′ = x | x ∈ U ∧ x /∈ A

Definición 11 Producto cartesiano

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano entre A y B, que se denota porA×B, es el conjunto:

A×B = (x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B

El producto cartesiano servirá como base10 para construir los conceptos de relación y función que seestudiarán en el capítulo 3.

Ejemplo 8 Si A y B son los conjuntos A = 3, 4 y B = 5, 6, 7, entonces:

A×B = (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7).

Ahora, B × A es el conjunto B ×A = (5, 3), (5, 4), (6, 3), (6, 4), (7, 3), (7, 4). Note que A×B 6=B ×A, es decir, el producto cartesiano no es conmutativo.

El producto cartesiano se puede representar de varias formas (se hace el bosquejo con los conjuntosA y B del ejemplo 8), las más comunes son:

1. Diagrama sagital. El diagrama sagital es un diagrama de flechas, que permite relacionar los paresordenados entre el conjunto A y el conjunto B.

A B

4

3

5

6

7

A×B

Figura 1. Diagrama sagital del ejemplo 8.

10De manera informal e intuitiva, se entiende el conjunto universal U como un conjunto referencial. En los ejemplos 2,3 y 4 se puede ver el conjunto Ω como un conjunto universal.


2. Diagrama cartesiano

A

B

3 4

5

6

7

b b

b b

b b (4, 7)(3, 7)

(3, 6)

(3, 5)

(4, 6)

(4, 5)

Figura 2. Diagrama cartesiano correspondiente al conjunto A×B del ejemplo 8.

3. Tabla cartesiana

Tabla 1

Producto Cartesiano A×B del ejemplo 8

B

A×B 5 6 7

A3 (3,5) (3,6) (3,7)

4 (4,5) (4,6) (4,7)

4. Diagrama de árbol

3 6

5

7

4

5

6

7

A

B

A×B

Figura 3. Diagrama de árbol del ejemplo 8.

Observación. En el producto cartesiano A×B, al conjunto A se le denomina conjunto de partida yal conjunto B se le denomina conjunto de llegada.


1.2. El conjunto de los números naturales N

Como se mencionó, la intención es introducir algunos conceptos relacionados con los conjuntos numé-ricos de manera que al tener un objetivo claro –la solución de ecuaciones–, se estudien las principalespropiedades de los conjuntos numéricos: naturales N, enteros Z, racionales Q, reales R y complejosC. Para comenzar, se estudiará el conjunto de los números naturales N. Si bien este conjunto tieneuna construcción formal, se presentan algunos elementos y definiciones que permitirán comprender laspropiedades de N bajo las operaciones adición, multiplicación y potenciación, así como otras relacio-nadas con el orden. Las ideas en esta sección se introducen de manera informal, pues no se cuenta conteoría suficiente en este texto para llevar a cabo las pruebas de los teoremas que aquí se enuncian;sin embargo, la estructura matemática sí se conserva, es decir, si bien no se hacen las pruebas de losteoremas, sí se conservan las proposiciones y se escribe en un lenguaje matemático concreto y bienestructurado11. Para iniciar, en lo que sigue se presentan los Axiomas de Peano:

1. El 1 es un número natural.

2. Si n es un número natural entonces el sucesor de n, n + 1, también es un número natural.

3. El 1 no es sucesor de ningún otro número natural.

4. Si existen dos números naturales n y m tales que el sucesor de n y el sucesor de m son el mismo,entonces n = m.

5. Dado un conjunto A de números naturales, si se tiene que 1 ∈ A y además dado un número naturalcualquiera que está en A, se demuestra que el sucesor también pertenece a A, entonces A es elconjunto de los números naturales.

Observación. A partir de estos axiomas se pueden hacer las siguientes inferencias.

1. El primer número natural12, si bien se introduce como axioma, es el número natural 1.

2. Existe un número natural que sucede a 1, el cual es 1 + 1. De la misma manera, existe un númeronatural que sucede a 1 + 1, el cual es (1 + 1) + 1. De esta manera, existen los naturales 1, 1 +1, (1 + 1) + 1, ((1 + 1) + 1) + 1, . . . Ahora, si n representa un número natural, según el axioma 2,existe n + 1, pero no solo esto es cierto, también existen los números naturales:

(n + 1) + 1, ((n + 1) + 1) + 1, . . .

3. De manera intuitiva, el conjunto de los número naturales tiene un primer elemento (el númeronatural 1), pero no tiene fin, es decir, el conjunto de los números naturales es un conjuntoinfinito. Esto puede intuirse dado que si n es un número natural, siempre existe el sucesor de n.

11Se hace una distinción entre lo formal e informal con relación a la escritura de las demostraciones de los teoremas. Sinembargo, se mencionan algunos elementos de la construcción de los números naturales desde la perspectiva de Peano. Seaclara que la construcción que hace Peano de los naturales es formal, sin embargo, como en este libro solo se mencionansin demostración los elementos de su teoría, entonces aquí se dice que es algo informal e intuitivo.

12Para Peano el número 1 es dado, sin embargo, la pregunta por el número –especialmente por el 1–, ha llevado pormedio del racionalismo a construir importantes teorías matemáticas y filosóficas.


En su construcción del conjunto de los números naturales, Peano considera tres términos primitivos:

1. Un conjunto, denotado por N.

2. Una constante, denotada por 1.

3. Una función13 de N en N, denotada por σ y llamada “siguiente de”, función que permite definir laadición, la multiplicación y la potenciación.

Peano, además introduce los siguientes axiomas alrededor de estos términos primitivos:

1. Si m y n con m 6= n son elementos cualesquiera del conjunto N entonces σ(m) 6= σ(n).

2. La constante 1 no tiene pre-imagen, esto es, no existe k ∈ N tal que σ(k) = 1.

3. Si un subconjunto M ⊆ N satisface las siguientes condiciones:

1. 1 ∈M .

2. Para todo m ∈M , si m ∈M entonces σ(m) ∈M .

Entonces se concluye que M = N. Este último axioma se conoce como el axioma de inducciónmatemática y permite construir el método de demostración llamado inducción matemática.

Según Peano, el conjunto de los números naturales, que se denota por N, es el conjunto:

N = 1, 2, 3, . . .,

donde 1 + 1 = 2, (1 + 1) + 1 = 3, etcétera.

Sobre el conjunto de números naturales se definen tres operaciones:

1. La adición, la cual se denota por “+”.

2. La multiplicación, la cual se denota por “·”.

3. La potenciación.

Observación. Se tiene que:

1. Si bien las operaciones adición, multiplicación y potenciación tienen una definición formal en tér-minos de funciones, es decir, se definen de manera técnica, en este texto no se escriben dichasdefiniciones, pues no se cuenta con la teoría en el texto para hacerlo; sin embargo, se cuenta conla suerte de que el lector quizás no conozca las definiciones formales de estas operaciones, perosí sabe, así sea de manera intuitiva, sumar y multiplicar.

13Si bien el concepto de función no se ha definido aún en este texto, es importante usarlo para establecer un contextoy un dominio de enunciación claro. Más adelante, cuando el lector estudie bien el concepto de función, podrá volver aeste punto y comprender de manera más clara y concreta el concepto de función “siguiente de”.


2. Estas son las únicas tres operaciones que se definen sobre el conjunto de los números naturales N.La resta, la división, la radicación y la logaritmación no son operaciones y no tienen sentido enN, pues su resultado no siempre es un número natural.

En la siguiente definición se describe la operación potenciación.

Definición 12 Potenciación en N

Sean x ∈ N y n ∈ N. Se tiene que:

1. x1 = x

2. xn = x · x · x · · · x︸︷︷︸

n veces

Se da lugar entonces a la estructura algebraica 〈N, +, ·〉. A continuación se enuncian sin demostración,cinco teoremas que establecen las propiedades de las operaciones adición, multiplicación y potencia-ción sobre el conjunto de los números naturales N.

Teorema 1 Propiedades del conjunto N bajo la adición

Para todo x, para todo y, para todo z, se verifica:

1. Propiedad clausurativa. Si x, y ∈ N, entonces x + y ∈ N.

2. Propiedad asociativa. Si x, y, z ∈ N, entonces (x + y) + z = x + (y + z).

3. Propiedad conmutativa. Si x, y ∈ N, entonces x + y = y + x.

4. Si x, y ∈ N, entonces x + y 6= x, es decir, no existe el módulo aditivo.

Observación. Bajo la adición sobre el conjunto de los números naturales N no se satisfacen la pro-piedad modulativa14 ni la ley de inversos15, esto se aclara con la intención de que el lector se deje guiarbajo los conceptos que se están estudiando en el texto y su creatividad no le juegue una mala pasadae intente discutir o incluir propiedades que no existen. Por otro lado, debe aclararse que la operaciónse llama adición, no suma. La adición es una función, mientras que la suma es un número natural, elque se obtiene a partir de x, y ∈ N bajo la operación adición “+”.

14La propiedad modulativa de un conjunto X bajo la adición establece que existe e ∈ X tal que para todo x ∈ X secumple que x + e = e + x = x.

15La ley de inversos de un conjunto X bajo la adición establece que para todo x ∈ X existe y ∈ X tal que se verificax + y = y + x = e, donde e es el módulo de X bajo la adición.


Teorema 2 Propiedades del conjunto N bajo la multiplicación

Para todo x, para todo y, para todo z, se verifica:

1. Propiedad clausurativa. Si x, y ∈ N, entonces x · y ∈ N.

2. Propiedad asociativa. Si x, y, z ∈ N, entonces (x · y) · z = x · (y · z).

3. Propiedad conmutativa. Si x, y ∈ N, entonces x · y = y · x.

4. Propiedad modulativa. Existe 1 ∈ N tal que para todo x ∈ N, se sigue que x · 1 = 1 · x = x.

Observación. Nótese que la multiplicación sobre el conjunto de los números naturales N verifica algu-nas propiedades que satisface la adición (clausurativa, asociativa, conmutativa), pero además cumplela propiedad modulativa. Observe además que la ley de inversos no se satisface bajo la multiplica-ción. Como en el caso de la adición y la suma, la multiplicación y el producto no son lo mismo; lamultiplicación es una función, mientras que el producto es un número.

Además de las propiedades para la adición y la multiplicación, a continuación se enuncia un teoremaque muestra una propiedad que combina ambas propiedades.

Teorema 3 Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición

Para todo x ∈ N, para todo y ∈ N, para todo z ∈ N, se verifica:

x · (y + z) = x · y + x · z.

De esta manera, se tiene que la estructura algebraica 〈N, +, ·〉 es un sistema numérico16, pues sobre Nla adición y multiplicación son tales que:

1. Ambas son clausurativas.

2. Ambas son asociativas.

3. Ambas son conmutativas.

4. Se satisface la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición.

Además de las propiedades ya establecidas, existen otras que permitirán resolver ecuaciones en N.

Teorema 4

Para todo x ∈ N, para todo y ∈ N, para todo z ∈ N, se verifica:

1. Propiedad uniforme. Si x = y, entonces x + z = y + z y xz = yz.

2. Propiedad cancelativa. Si x + z = y + z, entonces x = y. Si xz = yz, entonces x = y.

16Es útil introducir conceptos como el de sistema numérico, pues toma sentido la construcción de otras estructurasalgebraicas, la estructuración del conocimiento es más elaborada, entre otras razones.


Observación. La prueba del teorema 4 no implica en ningún momento el uso de la resta o la división,por lo tanto:

1. La afirmación “de x + z = y + z se concluye que x = y en N”, no se argumenta de la siguienteforma: la z pasa a restar y se cancela con la otra z. Este argumento no tiene sentido, pues decirque la z pasa a el otro lado no es formal, además, la resta no existe, la propiedad modulativa nose verifica y tampoco la ley de inversos.

2. De manera análoga, la afirmación “de x · z = y · z se concluye que x = y en N”, no se argumentade la siguiente forma: la z pasa a dividir y se cancela con la otra z. Este argumento no tienesentido, pues decir que la z pasa a el otro lado no es formal, además, la división no existe.

A partir de las propiedades descritas arriba, se pueden resolver algunas ecuaciones. Antes de llevar acabo esta tarea, se define qué es una ecuación sobre el conjunto de los números naturales N.

Definición 13 Ecuación sobre N

Una ecuación de indeterminada x sobre el conjunto de los números naturales N, es un objetomatemático que satisface:

1. El objeto es una igualdad entre expresiones algebraicas que tienen sentido en N y que soncombinaciones de expresiones que se escriben en términos de la adición y la multiplicacióndadas en N.

2. El conjunto solución de la ecuación es un conjunto S = x0 : x0 ∈ N tal que al reemplazarx por x0 en el objeto, la igualdad se satisface.

Observación. A partir de la definición 13 se sigue que:

1. Las ecuaciones pueden ser lineales17,18 o no.

2. El conjunto solución de una ecuación puede ser: vacío, unitario, finito o infinito.

Observación. Mediante el uso de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adiciónse tiene que:

ax + bx = (a + b)x,

es decir, si se quieren sumar términos semejantes, basta con sumar los coeficientes de tales expresiones.

17Se dirá que una ecuación es lineal si involucra la indeterminada x a la primera potencia y no contiene productos dela indeterminada con ella misma, es decir, una ecuación que involucra sumas de la primera potencia de la indeterminada.

18Más adelante en este texto se estudiarán métodos que permiten resolver ecuaciones no lineales de manera algebraica.En cursos como métodos numéricos o análisis numéricos se estudian técnicas para resolver ecuaciones no lineales que nose pueden resolver de manera algebraica.


Ejemplo 9 Se resolverá en el conjunto N la ecuación 3x + 7 = 2x + 9.

A partir de 3x + 7 = 2x + 9, se concluye que 2x + x + 7 = 2x + 9, luego usando el teorema 4(propiedad cancelativa), se sigue que x + 7 = 9. Ahora, como 9 = 2 + 7, entonces x + 7 = 2 + 7 ynuevamente por la propiedad cancelativa, se tiene que x = 2. Por lo tanto, el conjunto soluciónde la ecuación 3x + 7 = 2x + 9 es el conjunto S = 2.

Ejemplo 10 Se resolverá la ecuación 3x+2+7x+3 = 2x+4+4x+5. A partir de las propiedadesasociativa y conmutativa se tiene que:

3x + 2 + 7x + 3 = (3x + 2) + (7x + 3)

= (3x + 2) + (3 + 7x)

= 3x + (2 + 3) + 7x

= (3x + 5) + 7x

= 3x + (5 + 7x)

= 3x + (7x + 5)

= (3x + 7x) + 5

= 10x + 5

De manera análoga, es cierto que 2x + 4 + 4x + 5 = 6x + 9. Así como 3x + 2 + 7x + 3 = 10x + 5y 2x + 4 + 4x + 5 = 6x + 9, entonces 10x + 5 = 6x + 9. Ahora, a partir de 10x + 5 = 6x + 9, seconcluye que:

6x + 4x + 5 = 6x + 4 + 5,

al utilizar la propiedad cancelativa obtiene la ecuación 4x = 4 y usando de nuevo la pro-piedad cancelativa, se sigue que x = 1. De esta manera el conjunto solución de la ecuación3x + 2 + 7x + 3 = 2x + 4 + 4x + 5 es el conjunto S = 1.

Ejemplo 11 Se resolverá la ecuación 3x+1 = x+7+2x. A partir de las propiedades asociativa yconmutativa se obtiene 3x+1 = 3x+7. Al usar la propiedad cancelativa se sigue que 7 = 1, lo cuales absurdo. De esta manera, se tiene que el conjunto solución de la ecuación 3x + 1 = x + 7 + 2x

es el conjunto S = ∅.

Ejemplo 12 Se resolverá la ecuación 3x + 1 = x + 1 + 2x. A partir de las propiedades asociativay conmutativa se sigue que:

3x + 1 = 3x + 1.

Dado que se obtiene una identidad que se satisface para todo natural, entonces el conjuntosolución de la ecuación 3x + 1 = x + 1 + 2x es el conjunto S = N.


Teorema 5 Propiedades del conjunto N bajo la potenciación

Para todo a, b, m, n ∈ N se verifica:

1. an ∈ N.

2. am · an = am+n.

3. (a · b)n = anbn.

4. (am)n = am·n.

Observación. Es usual que en los primeros cursos que se estudian de matemáticas se cometan ciertoserrores de naturaleza operativa19. Por ejemplo, es muy común el siguiente error: dado que (a·b)n = anbn

se concluye de manera errónea que (a + b)n = an + bn, lo cual es falso. Se sugiere entonces que, cuandode matemáticas operativas se trata, se haga un buen uso de las propiedades y no se haga mal uso dela lógica o de la creatividad.

Definición 14 Divisibilidad sobre N

Sean a, b ∈ N. Se dice que b divide a a, o que b es un factor de a, o que a es múltiplo de b y seescribe b|a, si y solo si existe q ∈ N tal que a = bq.

Observación. Si a = bq, entonces q es único, pues si a = bq1, entonces bq1 = bq y mediante el uso dela ley cancelativa, se tiene que q1 = q.

Teorema 6 Propiedades de la divisibilidad

En el conjunto de los números naturales N se cumple que:

1. Para todo b ∈ N, b|b .

2. Para todo a ∈ N, 1|a.

3. Para todo b ∈ N, si b|1 entonces b = 1.

6. Para todo a ∈ N, para todo b ∈ N, si b|a y a|b, entonces a = b.

7. Para todo a ∈ N, para todo b ∈ N, para todo c ∈ N, si b|a y a|c, entonces b|c.

8. Para todo a ∈ N, para todo b ∈ N, para todo c ∈ Z, si b|a y b|c, entonces b|(a + c).

9. Para todo a ∈ N, para todo b ∈ N, si b|a, entonces b|ac para todo c ∈ N.

10. Para todo a ∈ N, para todo b ∈ N, para todo c ∈ N, si b|a y b|c, entonces b|(as + ct), paratodo s, t ∈ N.

19Por esta razón se le debe dar peso a la teoría y las pruebas de los teoremas, pues así se garantiza que estos erroresno ocurran. Ya se ha dicho que este no es un texto donde se hagan todas las pruebas, pero el lector puede investigarlaspor su cuenta.


Sobre el conjunto de números naturales N, se puede hacer una primera definición de número primo.Cuando se estudie el conjunto de los números enteros se retomará nuevamente el concepto de este tipoparticular de número. Para definir dicho concepto, se describe primero el concepto de máximo comúndivisor en la siguiente definición.

Definición 15 Máximo común divisor

Sean a, b ∈ N. Se dice que d ∈ N es el máximo común divisor (m.c.d.) de a y b, si y solo si:

1. d|a y d|b

2. Si c ∈ N es tal que c|a y c|b, entonces c|d.

Definición 16 Número primo

Sea x ∈ N. El número x es primo en N si y solo si x tiene exactamente 2 divisores, 1 y x.

Observación. Se tiene que:

1. El número natural 1 no es un número primo, pues el único divisor del 1 es el número 1.

2. El número 2 es primo pues sus divisores son 1 y 2. Como un número natural par distinto de 2 esun número natural que es divisible por 2, entonces todo número natural par distinto de 2 no esprimo.

3. No existe una regla que permita hallar un primo particular.

Definición 17 Número compuesto

Sea x ∈ N− 1. El número x es compuesto si y solo si no es primo.

A partir de la noción de número primo y número compuesto, tiene sentido hablar de factorización enN. Si x ∈ N es un número compuesto con x 6= 1, entonces x es susceptible de escribirse como productode factores primos. Por ejemplo 150 = 2×3×52, con 2, 3 y 5 números primos. Más adelante se hablaráde factorización con expresiones algebraicas.

Ejemplo 13 El número 24 es un número compuesto, pues es un número par. Para descomponeren factores primos el número 24 se procede así:

1. Se intenta dividir 24 entre el primer número primo, el número 2. Se sabe que el resultado dedividir 24 entre 2 es 12, luego 24 = 2× 12.

2. Se intenta dividir 12 entre el primer número primo, el número 2. El resultado es 6, por tanto12 = 2× 6, así 24 = 2× 2× 6.

3. Se intenta dividir 6 entre el primer número primo, el número 2. El resultado es 3, así 6 = 2×3,es decir, 24 = 2× 2× 2× 3.

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ISBN: 978-958-8474-89-2