I.S.C. - 4to Sem - Investigacion de Operaciones

UNIDAD 1: TEORIA GENERAL DE LA CALIDAD Y HERRAMIENTAS BASICAS

UNIDAD 1: PROGRAMACION LINEAL.

DEFINICION, DESARROLLO Y TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONESHistoria de la Investigacin de Operaciones. La primera actividad de Investigacin de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaa, donde la Administracin Militar llam a un grupo de cientficos de distintas reas del saber para que estudiaran los problemas tcticos y estratgicos asociados a la defensa del pas. El nombre de Investigacin de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares). Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos britnicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logsticos complejos, la planeacin de minas en el mar y la utilizacin efectiva del equipo electrnico. Al trmino de la guerra y atrados por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigacin de Operaciones a la resolucin de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamao y la complejidad de las industrias. Aunque se ha acreditado a Gran Bretaa la iniciacin de la Investigacin de Operaciones como una nueva disciplina, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo en este campo rpidamente creciente. La primera tcnica matemtica ampliamente aceptada en el medio de Investigacin de Operaciones fue el Mtodo Smplex de Programacin Lineal, desarrollado en 1947 por el matemtico norteamericano George B. Dantzig. Desde entonces las nuevas tcnicas se han desarrollado gracias al esfuerzo y cooperacin de las personas interesadas tanto en el rea acadmica como en el rea industrial. Un segundo factor en el progreso impresionante de la Investigacin de Operaciones fue el desarrollo de la computadora digital, que con sus tremendas capacidades de velocidad de cmputo y de almacenamiento y recuperacin de informacin, permitieron al tomador de decisiones rapidez y precisin. Si no hubiera sido por la computadora digital, la Investigacin de Operaciones con sus grandes problemas de computacin no hubiera crecido al nivel de hoy en da. Actualmente la Investigacin de Operaciones se est aplicando en muchas actividades. Estas actividades han ido ms all de las aplicaciones militares e industriales, para incluir hospitales, instituciones financieras, bibliotecas, planeacin urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercializacin.Caractersticas de la Investigacin de Operaciones. Es muy notable el rpido crecimiento del tamao y la complejidad de las organizaciones (empresas) humanas que se ha dado en estos ltimos tiempos. Tal tamao y complejidad nos hace pensar que una sola decisin equivocada puede repercutir grandemente en los intereses y objetivos de la organizacin y en ocasiones pueden pasar aos para rectificar tal error. Tambin el ritmo de la empresa de hoy implica que las DECISIONES se tomen ms rpidamente que nunca, pues el hecho de posponer la accin puede dar una decisiva ventaja al contrario en este mundo de la competencia. La palpable dificultad de tomar decisiones ha hecho que el hombre se aboque en la bsqueda de una herramienta o mtodo que le permita tomar las mejores decisiones de acuerdo a los recursos disponibles y a los objetivos que persigue. Tal herramienta recibi el nombre de Investigacin de Operaciones. De la definicin de Investigacin de Operaciones, como veremos en el siguiente apartado, podemos resaltar los siguientes trminos: organizacin, sistema, grupos interdisciplinarios, objetivo y metodologa cientfica. Una organizacin puede entenderse como un sistema, en el cual existen componentes; canales que comunican tales componentes e informacin que fluye por dichos canales. En todo sistema las componentes interactan unas con otras y tales interacciones pueden ser controlables e incontrolables. En un sistema grande, las componentes se relacionan de muchas maneras, pero no todas son importantes, o mejor dicho, no todas las interacciones tienen efectos importantes en las componentes del sistema. Por lo tanto es necesario que exista un procedimiento sistemtico que identifique a quienes toman decisiones y a las interacciones que tengan importancia para los objetivos de la organizacin o sistema. Uno de esos procedimientos es precisamente la Investigacin de Operaciones. Una estructura por la que no fluye informacin, no es dinmica, es decir, no podemos considerarla como un sistema. Por lo tanto podemos decir que la informacin es lo que da vida a las estructuras u organizaciones humanas. Los objetivos de toda organizacin sern siempre alcanzar el liderato en su rama, controlando la eficiencia y efectividad de todas sus componentes por medio de mtodos que permitan encontrar las relaciones ptimas que mejor operen el sistema, dado un objetivo especfico. Ante el tremendo avance que se ha dado en casi todas las ciencias en las ltimas dcadas, ya no es factible querer saber un poco de todo, sino ms bien especializarse en alguna rama de la ciencia. Los problemas que se presentan en las organizaciones no fcilmente se pueden resolver por un slo especialista. Por el contrario son problemas multidisciplinarios, cuyo anlisis y solucin requieren de la participacin de varios especialistas. Estos grupos interdisciplinarios necesariamente requieren de un lenguaje comn para poder entenderse y comunicarse, donde la Investigacin de Operaciones viene a ser ese puente de comunicacin. El enfoque de la Investigacin de Operaciones es el mismo del mtodo cientfico. En particular, el proceso comienza por la observacin cuidadosa y la formulacin del problema y sigue con la construccin de un modelo cientfico (por lo general matemtico) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hiptesis de que el modelo es una representacin lo suficientemente precisa de las caractersticas esenciales de la situacin como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean vlidas tambin para el problema real. Esta hiptesis se verifica y modifica mediante las pruebas adecuadas. Entonces, en cierto modo, la Investigacin de Operaciones incluye la investigacin cientfica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe ms que esto. En particular, la Investigacin de Operaciones se ocupa tambin de la administracin prctica de la organizacin. As, para tener xito, deber tambin proporcionar conclusiones positivas y claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite. La contribucin del enfoque de Investigacin de Operaciones proviene principalmente de:1. La estructuracin de una situacin de la vida real como un modelo matemtico, logrando una abstraccin de los elementos esenciales para que pueda buscarse una solucin que concuerde con los objetivos del tomador de decisiones. Esto implica tomar en cuenta el problema dentro del contexto del sistema completo.2. El anlisis de la estructura de tales soluciones y el desarrollo de procedimientos sistemticos para obtenerlas.3. El desarrollo de una solucin, incluyendo la teora matemtica si es necesario, que lleva al valor ptimo de la medida de lo que se espera del sistema (o quiz que compare los cursos de accin opcionales evaluando esta medida para cada uno).Definicin. Investigacin de Operaciones o Investigacin Operacional. Se puede definir de la siguiente manera: La Investigacin de Operaciones es la aplicacin por grupos interdisciplinarios del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organizacin.Metodologa de la Investigacin de Operaciones. El proceso de la Investigacin de Operaciones comprende las siguientes fases:1. Formulacin y definicin del problema.2. Construccin del modelo.3. Solucin del modelo.4. Validacin del modelo.5. Implementacin de resultados. Demos una explicacin de cada una de las fases:1. Formulacin y definicin del problema. En esta fase del proceso se necesita: una descripcin de los objetivos del sistema, es decir, qu se desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del sistema. Tambin hay que tener en cuenta las alternativas posibles de decisin y las restricciones para producir una solucin adecuada.2. Construccin del modelo. En esta fase, el investigador de operaciones debe decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisin con los parmetros y restricciones del sistema. Los parmetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a partir de datos pasados o ser estimados por medio de algn mtodo estadstico. Es recomendable determinar si el modelo es probabilstico o determinstico. El modelo puede ser matemtico, de simulacin o heurstico, dependiendo de la complejidad de los clculos matemticos que se requieran.3. Solucin del modelo. Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solucin matemtica empleando las diversas tcnicas y mtodos matemticos para resolver problemas y ecuaciones. Debemos tener en cuenta que las soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemticas y debemos interpretarlas en el mundo real. Adems, para la solucin del modelo, se deben realizar anlisis de sensibilidad, es decir, ver como se comporta el modelo a cambios en las especificaciones y parmetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parmetros no necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas.4. Validacin del modelo. La validacin de un modelo requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un mtodo comn para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema contine replicando el comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo.5. Implementacin de resultados. Una vez que hayamos obtenido la solucin o soluciones del modelo, el siguiente y ltimo paso del proceso es interpretar esos resultados y dar conclusiones y cursos de accin para la optimizacin del sistema. Si el modelo utilizado puede servir a otro problema, es necesario revisar, documentar y actualizar el modelo para sus nuevas aplicaciones.Estructura de los modelos empleados en la Investigacin de Operaciones. El enfoque de la Investigacin de Operaciones es el modelaje. Un modelo es una herramienta que nos sirve para lograr una visin bien estructurada de la realidad. As, el propsito del modelo es proporcionar un medio para analizar el comportamiento de las componentes de un sistema con el fin de optimizar su desempeo. La ventaja que tiene el sacar un modelo que represente una situacin real, es que nos permite analizar tal situacin sin interferir en la operacin que se realiza, ya que el modelo es como si fuera un espejo de lo que ocurre. Para aumentar la abstraccin del mundo real, los modelos se clasifican como 1) icnicos, 2) anlogos, 3) simblicos. Los modelos icnicos son la representacin fsica, a escala reducida o aumentada de un sistema real. Los modelos anlogos esencialmente requieren la sustitucin de una propiedad por otra con el fin de permitir la manipulacin del modelo. Despus de resolver el problema, la solucin se reinterpreta de acuerdo al sistema original. Los modelos ms importantes para la investigacin de operaciones, son los modelos simblicos o matemticos, que emplean un conjunto de smbolos y funciones para representar las variables de decisin y sus relaciones para describir el comportamiento del sistema. El uso de las matemticas para representar el modelo, el cual es una representacin aproximada de la realidad, nos permite aprovechar las computadoras de alta velocidad y tcnicas de solucin con matemticas avanzadas. Un modelo matemtico comprende principalmente tres conjuntos bsicos de elementos. Estos son: 1) variables y parmetros de decisin, 2) restricciones y 3) funcin objetivo.1. Variables y parmetros de decisin. Las variables de decisin son las incgnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parmetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisin con las restricciones y funcin objetivo. Los parmetros del modelo pueden ser determinsticos o probabilsticos.2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnolgicas, econmicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implcitas o explcitas) que restrinjan las variables de decisin a un rango de valores factibles.3. Funcin objetivo. La funcin objetivo define la medida de efectividad del sistema como una funcin matemtica de las variables de decisin. La solucin ptima ser aquella que produzca el mejor valor de la funcin objetivo, sujeta a las restricciones.Concepto de optimizacin. Una caracterstica adicional, que se mencion como de pasada, es que la Investigacin de Operaciones intenta encontrar la mejor solucin, o la solucin ptima, al problema bajo consideracin. En lugar de contentarse con slo mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de accin posible. An cuando debe interpretarse con todo cuidado, esta bsqueda de la optimalidad es un aspecto muy importante dentro de la Investigacin de Operaciones.reas de aplicacin de la Investigacin de Operaciones. Como su nombre lo dice, Investigacin de Operaciones significa hacer investigacin sobre las operaciones. Esto dice algo del enfoque como del rea de aplicacin. Entonces, la Investigacin de Operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conduccin y coordinacin de operaciones o actividades dentro de una organizacin. La naturaleza de la organizacin es esencialmente inmaterial y, de hecho, la Investigacin de Operaciones se ha aplicado en los negocios, la industria, la milicia, el gobierno, los hospitales, etc. As, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. Casi todas las organizaciones ms grandes del mundo (alrededor de una docena) y una buena proporcin de las industrias ms pequeas cuentan con grupos bien establecidos de Investigacin de Operaciones. Muchas industrias, incluyendo la area y de proyectiles, la automotriz, la de comunicaciones, computacin, energa elctrica, electrnica, alimenticia, metalrgica, minera, del papel, del petrleo y del transporte, han empleado la Investigacin de Operaciones. Las instituciones financieras, gubernamentales y de salud estn incluyendo cada vez ms estas tcnicas. Para ser ms especficos, se consideran algunos problemas que se han resuelto mediante algunas tcnicas de Investigacin de Operaciones. La programacin lineal se ha usado con xito en la solucin de problemas referentes a la asignacin de personal, la mezcla de materiales, la distribucin y el transporte y las carteras de inversin. La programacin dinmica se ha aplicado con buenos resultados en reas tales como la planeacin de los gastos de comercializacin, la estrategia de ventas y la planeacin de la produccin. La teora de colas ha tenido aplicaciones en la solucin de problemas referentes al congestionamiento del trfico, al servicio de mquinas sujetas a descomposturas, a la determinacin del nivel de la mano de obra, a la programacin del trfico areo, al diseo de presas, a la programacin de la produccin y a la administracin de hospitales. Otras tcnicas de Investigacin de Operaciones, como la teora de inventarios, la teora de juegos y la simulacin, han tenido exitosas aplicaciones en una gran variedad de contextos.orgenes de la investigacin de operacionesLa toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solucin y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o cuantitativo.El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la prctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientas matemticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es til cuando no se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que requiere de un anlisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solucin.La investigacin de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para hacer planes a futuro.En el ambiente socioeconmico actual altamente competitivo y complejo, los mtodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativas y prcticas apoyadas en una base cuantitativa slida.En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un conocimiento bsico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones que se le presenten.En organizaciones pequeas puede darse que el tomador de decisiones domine las herramientas cuantitativas y l mismo las aplique para apoyarse en ellas y as tomar sus decisiones.Desde al advenimiento de la Revolucin Industrial, el mundo ha sido testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamao y la complejidad de las organizaciones. Los pequeos talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de miles de millones de pesos. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento en la divisin del trabajo y en la separacin de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especializacin creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es las tendencia de muchas de las componentes de una organizacin a convertirse en imperios relativamente autnomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo con esto la visin de la forma en que encajan sus actividades y objetivos con los de toda la organizacin. Lo que es mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden terminar trabajando con objetivos opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la complejidad y la especializacin crecen, se vuelve ms difcil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera ms eficaz para la organizacin como un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la investigacin de operaciones (IO).Las races de la investigacin de operaciones se remontan a muchas dcadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el mtodo cientfico en la administracin de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigacin de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos blicos, exista una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operacin, en la forma ms efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran nmero de cientficos para que aplicaran el mtodo cientfico a ste y a otros problemas estratgicos y tcticos. De hecho, se les pidi que hicieran investigacin sobre operaciones (militares). Estos equipos de cientficos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de mtodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate areo ingls. A travs de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de proteccin, jugaron tambin un papel importante en la victoria de la batalla del Atlntico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaa en el pacfico.Al terminar la guerra, el xito de la investigacin de operaciones en las actividades blicas gener un gran inters en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosin industrial segua su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especializacin dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenz a ser evidente para un gran nmero de personas, incluyendo a los consultores industriales que haban trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran bsicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenz la dcada de 1950, estos individuos haban introducido el uso de la investigacin de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigacin de operaciones durante este perodo. Uno es el gran progreso que ya se haba hecho en el mejoramiento de las tcnicas disponibles en esta rea. Despus de la guerra, muchos cientficos que haban participado en los equipos de IO o que tenan informacin sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el mtodo simplex para resolver problemas de programacin lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas caractersticas de la investigacin de operaciones, como programacin lineal, programacin dinmica, lneas de espera y teora de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del trmino de la dcada de 1950.Un segundo factor que dio mpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de la computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran nmero de clculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrnica digital, con su capacidad para realizar clculos aritmticos, miles o tal vez millones de veces ms rpido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigacin de operaciones. Un avance ms tuvo lugar en la dcada de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez ms rpidas, acompaado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las tcnicas al alcance de un gran nmero de personas. Hoy en da, literalmente millones de individuos tiene acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama e computadoras, desde las grandes hasta las porttiles, para resolver problemas de investigacin de operaciones.Naturaleza de la investigacin de operacionesComo su nombre lo dice, la investigacin de operaciones significa "hacer investigacin sobre las operaciones". Entonces, la investigacin de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conduccin y coordinacin de operaciones (o actividades) dentro de una organizacin. La naturaleza de la organizacin es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigacin de operaciones se ha aplicado de manera extensa en reas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitucin, las telecomunicaciones, la planeacin financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios pblicos, por nombrar slo unas cuantas. As, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.La parte de investigacin en el nombre significa que la investigacin de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigacin en los campos cientficos establecidos. En gran medida, se usa el mtodo cientfico para investigar el problema en cuestin. (De hecho, en ocasiones se usa el trmino ciencias de la administracin como sinnimo de investigacin de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observacin cuidadosa y la formulacin del problema incluyendo la recoleccin de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construccin de un modelo cientfico (por lo general matemtico) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hiptesis de que el modelo es una representacin lo suficientemente precisa de las caractersticas esenciales de la situacin como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean vlidas tambin para el problema real. Despus, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hiptesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validacin del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigacin e operaciones incluye la investigacin cientfica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe ms que esto. En particular, la IO se ocupa tambin de la administracin prctica de la organizacin. As, para tener xito, deber tambin proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.Una caracterstica ms de la investigacin de operaciones es su amplio punto de vista. Como qued implcito en la seccin anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. de esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organizacin de forma que el resultado sea el mejor para la organizacin completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explcita todos los aspectos de la organizacin sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella.Una caracterstica adicional es que la investigacin de operaciones intenta encontrar una mejor solucin, (llamada solucin ptima) para el problema bajo consideracin. (Decimos una mejor solucin y no la mejor solucin porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de accin posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en trminos de las necesidades reales de la administracin, esta "bsqueda de la optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigacin de operaciones.Todas estas caractersticas llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo mltiples aspectos del trabajo de investigacin de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigacin de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemticas, estadstica y teora de probabilidades, al igual que en economa, administracin de empresas, ciencias de la computacin, ingeniera, ciencias fsicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las tcnicas especiales de investigacin de operaciones. El equipo tambin necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideracin adecuada de todas las ramificaciones del problema a travs de la organizacin.Qu es la investigacin de operaciones?Como toda disciplina en desarrollo, la investigacin de operaciones ha ido evolucionando no slo en sus tcnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definicin sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engaosas, aqu seleccionamos dos de las mas aceptadas y representativas.La definicin de Churchman, Ackoff y Arnoff: La investigacin de operaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-mquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organizacin.De sta definicin se pueden destacar los siguientes conceptos:1. Una organizacin es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.2. En un sistema la informacin es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye informacin que ocasiona la interaccin entre ellas. Tambin dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organizacin se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de autocorreccin del sistema que permite evaluar los resultados en trminos de los objetivos establecidos.3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su anlisis y solucin se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes reas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje comn.4. La investigacin de operaciones es la aplicacin de la metodologa cientfica a travs modelos matemticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definicin de la sociedad de investigacin de operaciones de la Gran Bretaa es la siguiente:La investigacin de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la direccin y en la administracin de grandes sistemas de hombres, mquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo cientfico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propsito es el de ayudar a la gerencia a determinar cientficamente sus polticas y acciones.En relacin a sta definicin deben destacarse los siguientes aspectos:1. Generalmente se asocian los conceptos de direccin y administracin a las empresas de tipo lucrativo, sin embargo, una empresa es un concepto ms amplio, es algo que utiliza hombres, mquinas, materiales y dinero con un propsito especfico; desde ste punto de vista, se considera como empresa desde una universidad hasta una armadora de automviles.2. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema complejo, el cientfico debe representarlo en trminos de los conceptos que maneja, lo hace expresando todos los rasgos principales del sistema por medio de relaciones matemticas. A esta representacin formal se le llama modelo.3. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no significa predecir el futuro, pero si ser capaz de indicar muchas cosas acerca de la forma en que se puede esperar que un sistema opere en una variedad de circunstancias, lo que permite valorar su vulnerabilidad. Si se conocen las debilidades del sistema se pueden tomar cursos de accin agrupados en tres categoras: A) Efectuar cambios que lleven a la empresa o parte de ella a una nueva ruta; B) Realizar un plan de toma de decisiones; C) Instalar estrategias que generen decisiones. Cuando se aplica alguno de estos remedios, la investigacin de operaciones nos ayuda a determinar la accin menos vulnerable ante un futuro incierto.4. El objetivo global de la investigacin de operaciones es el de apoyar al tomador de decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su funcin basado en estudios cientficamente fundamentados.ENFOQUE DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES:la parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelstico, producto de sus creadores aunado a la presin de supervivencia de la guerra o la sinerga generada al combinarse diferentes disciplinas, una descripcin del enfoque es la siguiente. (Ver la figura 11).1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistema interactuan normalmente un gran numero de variables.2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema, llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido del sistema real.3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y simplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante las utilizacin de funciones matemticas.4. Se obtiene la solucin al modelo cuantitativo mediante la aplicacin de una o mas de las tcnicas desarrolladas por la IO.5. Se adapta e imprime la mxima realidad posible a la solucin terica del problema real obtenida en el punto 4, mediante la consideracin de factores cualitativos o no cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Adems se ajusta los detalles finales va el juicio y la experiencia del tomador de decisiones.6. Se implanta la solucin en el sistema real.La Investigacin de Operaciones obtiene la solucin del problema real indirectamente, y no como normalmente se intentara pasando directamente del problema real a la solucin real.METODOLOGA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESDefinicin del problema y recoleccin de datosLa mayor parte de los problemas prcticos con los que se enfrenta el equipo IO estn descritos inicialmente de una manera vaga. Por consiguiente, la primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del rea bajo estudio con otras reas de la organizacin, los diferentes cursos de accin posibles, los lmites de tiempo para tomar una decisin, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectar en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. Es difcil extraer una respuesta "correcta" a partir de un problema "equivocado"!Por su naturaleza, la investigacin de operaciones se encarga del bienestar de toda la organizacin, no slo de algunos de sus componentes. Un estudio de IO busca soluciones ptimas globales y no soluciones subptimas aunque sean lo mejor para uno de los componente. Entonces, idealmente, los objetivos que se formulan debe coincidir con los de toda la organizacin. Sin embargo, esto no siempre es conveniente. Muchos problemas interesan nada ms a una parte de la organizacin, de manera que el anlisis sera innecesariamente besado si los objetivos fueran muy generales y si se prestara atencin especial a todos los efectos secundarios sobre el resto de la organizacin. En lugar de ello, los objetivos usados en un estudio deben ser tan especficos como sea posible, siempre y cuando contemplen las metas principales del tomador de decisiones y mantengan un nivel razonable de consistencia con los objetivos de los altos niveles.Las condiciones fundamentales para que exista un problema es que se establezca una diferencia entre lo que es (situacin actual) y lo que debe ser (situacin deseada u objetivo) y adems exista cuando menos una forma de eliminar o disminuir esa diferencia. Los componentes de un problema son: a) el tomador de decisiones o ejecutivo; b) los objetivos de la organizacin; c) el sistema o ambiente en el que se sita el problema; d) Los cursos de accin alternativos que se pueden tomar para resolverlo.Para formular un problema se requiere; a) identificar las componentes y variables controlables y no controlables del sistema; b) identificar los posibles cursos de accin, determinados por las componentes controlables; c) definir el marco de referencia dado por las componentes no controlables; d) definir los objetivos que se busca alcanzar y clasificarlos por orden de importancia; e) identificar las interpelaciones importantes entre las diferentes partes del sistema y encontrar las restricciones que existen.Formulacin de un modelo matemticoUna vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su anlisis. La forma convencional en que la investigacin de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemtico que represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se explorar la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemticos.El modelo matemtico est constituido por relaciones matemticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en trminos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar.Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en funcin de las cuales ser establecido. Luego, se procede a determinar matemticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo: a) la medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una funcin (ecuacin) llamada funcin objetivo; b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstculos para la consecucin del objetivo.Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximacin abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen ms manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solucin.Los modelos matemticos tienen muchas ventajas sobre una descripcin verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemtico describe un problema en forma mucho ms concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea ms comprensible y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. De esta manera, indica con ms claridad que datos adicionales son importantes para el anlisis. Tambin facilita simultneamente el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interpelaciones. Por ltimo, un modelo matemtico forma un puente para poder emplear tcnicas matemticas y computadoras de alto poder, para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para muchos tipos de modelos matemticos, para micro y minicomputadoras.Por otro lado, existen obstculos que deben evitarse al usar modelos matemticos. Un modelo es, necesariamente, una idealizacin abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificacin si se quiere que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representacin vlida del problema. El criterio apropiado para juzgar la validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de accin, para poder tomar una decisin que tenga sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos (es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante preciso. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlacin entre la prediccin del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un nmero considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes. Aunque esta fase de pruebas se haya colocado despus en el orden del libro, gran parte del trabajo de validacin del modelo se lleva a cabo durante la etapa de construccin para que sirva de gua en la obtencin del modelo matemtico.Obtencin de una solucin a partir del modeloResolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propsito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.La seleccin del mtodo de solucin depende de las caractersticas del modelo. Los procedimientos de solucin pueden ser clasificados en tres tipos: a) analticos, que utilizan procesos de deduccin matemtica; b) numricos, que son de carcter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulacin, que utiliza mtodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.Muchos de los procedimientos de solucin tienen la caracterstica de ser iterativos, es decir buscan la solucin en base a la repeticin de la misma regla analtica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una aproximacin.Prueba del modeloEl desarrollo de un modelo matemtico grande es anlogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versin, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, despus de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de programacin) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente vlidos. Aunque sin duda quedarn algunas fallas ocultas en el programa (y quiz nunca se detecten, se habrn eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable utilizarlo.De manera similar, es inevitable que la primera versin de un modelo matemtico grande tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parmetros no se estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada la dificultad de la comunicacin y la compresin de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, as como la dificultad de recolectar datos confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Con el tiempo, despus de una larga serie de modelos mejorados, el equipo de IO concluye que el modelo actual produce resultados razonablemente vlidos. Aunque sin duda quedarn algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quiz nunca se detecten), las fallas importantes se habrn eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validacin del modelo.Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los rboles". Entonces, despus de completar los detalles ("los rboles") de la versin inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u omisiones obvias. El grupo que hace esta revisin debe, de preferencia, incluir por lo menos a una persona que no haya participado en la formulacin. Al examinar de nuevo la formulacin del problema y comprarla con el modelo pueden descubrirse este tipo de errores. Tambin es til asegurarse de que todas las expresiones matemticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Adems, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parmetros de entrada y/o de las variables de decisin, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente revelador cuando se asignan a los parmetros o a las variables valores extremos cercanos a su mximo o a su mnimo.Un enfoque ms sistemtico para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos histricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solucin resultante hubieran tenido un buen desempeo, de haberse usado. La comparacin de la efectividad de este desempeo hipottico con lo que en realidad ocurri, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la prctica actual. Puede tambin indicar reas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es ms, el emplear las alternativas de solucin y estimar sus desempeos histricos hipotticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de accin.Cuando se determina que el modelo y la solucin no son vlidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodologa de la investigacin de operaciones.ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCIONUna solucin establecida como vlida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parmetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situacin se vuelve ms factible cuando algunos de los parmetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar informacin adicional sobre el comportamiento de la solucin debido a cambios en los parmetros del modelo. usualmente esto se conoce como anlisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variacin de los parmetros dentro de los cuales no cambia la solucin del problema.IMPLANTACIN DE LA SOLUCINEl paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado ste obstculo, se debe traducir la solucin encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuos que intervienen en la operacin y administracin del sistema. La etapa de implantacin de una solucin se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participacin de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodologa. Preparacin para la aplicacin del modeloEsta etapa es crtica, ya que es aqu, y slo aqu, donde se cosecharn los beneficios del estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquier defecto en la solucin que salga a la luz en este momento.El xito de la puesta en prctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la alta administracin como la gerencia operativa. Es ms probable que el equipo de IO obtenga este apoyo si ha mantenido a la administracin bien informada y ha fomentado la gua de la gerencia durante el estudio. La buena comunicacin ayuda a asegurar que el estudio logre lo que la administracin quiere y por lo tanto merezca llevarse a la prctica. Tambin proporciona a la administracin el sentimiento de que el estudio es suyo y esto facilita el apoyo para la implantacin.La etapa de implantacin incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigacin de operaciones de una cuidadosa explicacin a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relacin con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operacin. La gerencia operativa se encarga despus de dar una capacitacin detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de accin. Si tiene xito, el nuevo sistema se podr emplear durante algunos aos. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con la accin tomada para identificar cualquier modificacin que tenga que hacerse en el futuro.A la culminacin del estudio, es apropiado que el equipo de investigacin de operaciones documento su metodologa con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible. Poder obtener una rplica debe ser parte del cdigo de tica profesional del investigador de operaciones. Esta condicin es crucial especialmente cuando se estudian polticas gubernamentales en controversia.Introduccin a la programacin linealMuchas personas clasifican el desarrollo de la programacin lineal entre los avances cientficos ms importantes de mediados del siglo XX, su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de pesos a muchas compaas o negocios, incluyendo empresas medianas en los distintos pases industrializados del mundo; su aplicacin a otros sectores de la sociedad se est ampliando con rapidez. Una proporcin muy grande de los clculos cientficos en computadoras est dedicada al uso de la programacin lineal.Cul es la naturaleza de esta notable herramienta y qu tipos de problemas puede manejar. Expresado brevemente, el tipo ms comn de aplicacin abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma ptima). Con ms precisin, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Despus, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumir cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripcin es sin duda muy grande, y va desde la asignacin de instalaciones de produccin a los productos, hasta la asignacin de los recursos nacionales a las necesidades de un pas; desde la seleccin de una cartera de inversiones, hasta la seleccin de los patrones de envo; desde la planeacin agrcola, hasta el diseo de una terapia de radiacin, etc. No obstante, el ingrediente comn de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas.La programacin lineal utiliza un modelo matemtico para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programacin no se refiere a programacin en computadoras; en esencia es un sinnimo de planeacin. As, la programacin lineal trata la planeacin de las actividades para obtener un resultado ptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (segn el modelo matemtico) entre todas las alternativas de solucin.Aunque la asignacin de recursos a las actividades es la aplicacin ms frecuente, la programacin lineal tiene muchas otras posibilidades. de hecho, cualquier problema cuyo modelo matemtico se ajuste al formato general del modelo de programacin lineal es un problema de programacin lineal. An ms, se dispone de un procedimiento de solucin extraordinariamente eficiente llamado mtodo simplex, para resolver estos problemas, incluso los de gran tamao. Estas son algunas causas del tremendo auge de la programacin lineal en las ltimas dcadas.Modelo de programacin linealLos trminos clave son recursos y actividades, en donde m denota el nmero de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el nmero de actividades bajo consideracin. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehculos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversin en proyectos especficos, publicidad en un medio determinado y el envo de bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicacin de programacin lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una correspondera en forma individual a las alternativas especficas dentro de esta categora general.El tipo ms usual de aplicacin de programacin lineal involucra la asignacin de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso est limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinacin de esta asignacin incluye elegir los niveles de las actividades que lograrn el mejor valor posible de la medida global de efectividad.Ciertos smbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de programacin lineal. Estos smbolos se enumeran a continuacin, junto con su interpretacin para el problema general de asignacin de recursos a actividades.Z = valor de la medida global de efectividadxj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad jbi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad jEl modelo establece el problema en trminos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que x1,x2,....,xn se llaman variables de decisin. Los valores de cj, bi y aij (para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij tambin se conocen como parmetros del modelo.Forma estndar del modeloAhora se puede formular al modelo matemtico para este problema general de asignacin de recursos a actividades. En Datos necesarios para un modelo de programacin lineal que maneja la asignacin de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para: optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn,sujeta a las restricciones: a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2 . . . am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm X1 0, X2 0, ..., Xn 0.Suposiciones del Modelo de Programacin LinealProporcionalidadLa contribucin de cada actividad al valor de la funcin objetivo Z es proporcional al nivel de actividad xj, como lo representa el trmino cjxj en la funcin objetivo. De manera similar, la contribucin de cada actividad al lado izquierdo de cada restriccin funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el trmino aijxj en la restriccin. En consecuencia, esta suposicin elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier trmino de las funciones (ya sea la funcin objetivo o la funcin en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programacin lineal.ActividadEstablece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Esta suposicin garantiza que la contribucin total tanto a la funcin objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras tcnicas de la programacin matemtica, dependiendo de cada caso en particular.AditividadCada funcin en un modelo de programacin lineal (ya sea la funcin objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas.DivisibilidadLas variables de decisin en un modelo de programacin lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. As, estas variables no estn restringidas a slo valores enteros. Como cada variable de decisin representa el nivel de alguna actividad, se supondr que las actividades se pueden realizar a niveles fraccinales.Limitaciones del modelo de programacin linealModelo DeterminsticoEl modelo de PL involucra nicamente tres tipos de parmetros: Cj, aij y bi; de ah su sencillez y gran aplicacin. Sin embargo, el valor de dichos parmetros debe ser conocido y constante. Cuando el valor de los parmetros tiene un cierto riesgo o incertidumbre, pude utilizarse la programacin paramdica, la programacin estocstica, o realizarse un anlisis de sensibilidad.Modelo EstticoEn algunos modelos matemticos se han empleado con xito las ecuaciones diferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decidirse que la PL utiliza un modelo esttico, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente. Adquiriendo un poco de experiencia en la formulacin de modelos de PL, puede imbuirse la temporabilidad mencionada, con el uso de subndices en las variables.Modelo que no suboptimizaDebido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra la solucin ptima o declara que sta no existe. Cuando no es posible obtener una solucin ptima y se debe obtener alguna, se recurre a otra tcnica ms avanzada que la PL, la cual se denomina programacin lineal por metas.Impacto de la investigacin de operacionesLa investigacin de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigacin de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economa de varios pases. Hay ahora ms de 30 pases que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada pas cuenta con una sociedad de investigacin de operaciones.Sin duda, el impacto de la investigacin de operaciones continuar aumentando. Por ejemplo, al inicio de la dcada de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sera el rea profesional clasificada como la tercera de ms rpido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronostic tambin que, para el ao 2005, habra 100 000 personas trabajando como analistas de investigacin de operaciones.RIESGO AL APLICAR LA INVESTIGACIN DE OPERACIONESAl aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolucin de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes tcnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los mtodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los mtodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un mtodo especfico.Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodologa para resolver los problemas, as como los fundamentos de las tcnicas de solucin para de esta forma saber cundo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solucin.2. La mayora de los modelos slo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos mltiples.3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema prctico, debido a que los mtodos de enseanza y entrenamiento dan la aplicacin de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeos para razones de ndole prctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinin muy simplista e ingenua sobre la aplicacin de estas tcnicas a problemas reales.4. Casi nunca se realizan anlisis costo-beneficio de la implantacin de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantacin de un modelo.FUENTE: http://www.investigacion-operaciones.com/Historia.htm

Definicin:

La investigacin de operaciones (IO) aspira a determinar el mejor curso de accin (ptimo) de un problema de decisin con la restriccin de recursos limitados. El termino investigacin de operaciones muy a menudo esta asociado cas en exclusiva con la aplicacin de tcnicas matemticas para representar por medio de un modelo y analizar problemas de decisin. Aunque las matemticas y los modelos matemticos representan una piedra angular de IO, la labor consiste ms en resolver un problema que en construir y resolver modelos matemticos.

Los modelos de programacion lineal pueden verse como sigue:

Xo = F (X1,X2,...,Xn)

Restricciones s.a. gi(X1,X2,...,Xn) BI, I=1,2,...,m

Xj 0 , j=1,2,...,n

Ejercicio:

Diseo de la terapia radiactiva.

Sea:

X1: dosis de radiacin rayo 1

X2: dosis de radiacin rayo 2

MINIMIZAR DAO (Z)=0.4X1+0.5X2

0.3X1+0.1X2 2.7 (TEJIDO CRITICO)

0.5X1+0.5X2 = 6 (REGION DEL TUMOR)

0.6X1+0.4X2 6 (CENTRO TUMOR)

X1 0, X2 0

Ejercicio:

planeacin de la produccin.

Sea:

X1: unidades diarias producidas del producto 1.



Minimizar el beneficio (Z)= 3X1+2X2+5X3 (ganancia por unidad).

S.a.

1X1+2X2+1X3 430

3X1+0X2+2X3 460

1X1+4X2+0X3 420

X1 0, X2 0, X3 0

Determinar la produccion diaria optima para los 3 productos.

Sea:

X1: El nmero de acres de la granja 1 aplicado al cultivo de remolacha.



X4: El nmero de acres de la granja 1 aplicado al cultivo de algodn.



X7: El nmero de acres de la granja 1 aplicado al cultivo de sorgo.



Maximizar Z=400 (X1+X2+X3)+300(X4+X5+X6)+100(X7+X8+X9)

S.a.

las restricciones son disponibilidad de agua y total de acres para cada cosecha.

Terreno disponible

X1+X4+X7 400 (GRANJA 1)

X2+X5+X8 600 (GRANJA 2)

X3+X6+X9 300 (GRANJA 3)

Disponibilidad de agua

3X1+2X4+X7 600 (GRANJA 1)

3X2+2X5+X8 800 (GRANJA 2)

3X3+2X6+X9 375 (GRANJA 3)

Total de acres para cada cosecha

X1+X2+X3 600 (REMOLACHA)

X4+X5+X6 500 (ALGODON)

X7+X8+X9 325 (SORGO)

Igual porcin de area plantada

X1+X4+X7 = X2+X5+X8 (GRANJA 1 Y 2 ) 600(X1+X4+X7) 400(X2+X5+X8) = 0

400 600

X2+X5+X8 = X3+X6+X9 (GRANJA 2 Y 3 )

600 300

X3+X6+X9 = X1+X4+X7 (GRANJA 3 Y 1 )

300 400

Xj 0 , j = 1, 2, ... ,9.

METODO GRAFICO

SOLUCIN GRFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEALMuchos problemas de administracin y economa estn relacionados con la optimizacin (maximizacin o minimizacin) de una funcin sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades. La funcin por optimizar es la funcin objetivo. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivo. El sistema de igualdades o desigualdades a las que est sujeta la funcin objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las limitaciones sobre recursos como materiales y mano de obra) impuestas a la solucin (o soluciones) del problema. Los problemas de esta naturaleza se llaman problemas de programacin matemtica. En particular, aquellas donde la funcin objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programacin lineal.Un problema de programacin linealUn problema de programacin lineal consta de una funcin objetivo lineal por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades lineales.

Como ejemplo de un problema de programacin lineal en que la funcin objetivo debe maximizarse, considerese el siguiente problema de produccin con dos variablesEl granjero Lopez tiene 480 hectreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estacin crucial del verano. Dados mrgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, Cuntas hectreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?Cul es sta utilidad mxima?Maiz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo: Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs.

Solucin: Como primer paso para la formulacin matemtica de este problema, se tabula la informacin dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectreas de maz e y a las hectreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dlares, est dada por:P=40x+30y Que es la funcin objetivo por maximizar.MazTrigoElementos disponibles

Horas21

Hectreas11800

Utilidad por unidad$40$30480

La cantidad total de tiempo par hectreas para sembrar maz y trigo est dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. As se tiene la desigualdad:2x+y(800 En forma anloga, la cantidad de hectreas disponibles est dada por x+y, y sta no puede exceder las hectreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad. Por ltimo, si no queremos tener prdidas, x y y no pueden ser negativa, de modo que x(0 y(0 En resumen, el problema en cuestin consiste en maximizar la funcin objetivo P=40x+30ysujeta a las desigualdades2x+y(800 x+y(480 x(0 y(0

Solucin GrficaLos problemas de programacin lineal en dos variables tienen interpretaciones geomtricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programacin lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una regin plana cuya frontera est formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma grfica.

Si consideremos el problema del granjero Lpez, es decir, de maximizar P = 40x+ 30y sujeta a 2x+y(800 x+y(480 x(0, y(0 (7) El sistema de desigualdades (7) define la regin plana S que aparece en la figura 5. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce

como solucin factible. El conjunto S se conoce como conjunto factible. El objetivo es encontrar entre todos los puntos del conjunto S- el punto o los puntos que optimicen la funcin objetivo P. Tal solucin factible es una solucin ptima y constituyen la solucin del problema de programacin lineal en cuestin.

Como ya se ha observado, cada punto P(x,y) en S es un candidato para la solucin ptima del problema en cuestin, por ejemplo, es fcil ver que el punto (200, 150) est en S y, por lo tanto, entra en la competencia. El valor de la funcin objetivo P en el punto (200,150) est dado por P=40(200)+30(150)=12.500 . Ahora si se pudiera calcular el valor de P correspondiente a cada punto de S, entonces el punto (o los puntos) en S que proporcione el valor mximo de P formar el conjunto solucin buscado. Por desgracia, en la mayora de los problemas, la cantidad de candidatos es demasiado grande o, como en este problema, es infinita. As este mtodo no es adecuado.

Es mejor cambiar de punto de vista: en vez de buscar el valor de la funcin objetivo P en un punto factible, se asignar un valor a la funcin P y se buscarn los puntos factibles que correspondieran a un valor dado de P. Para esto supngase que se asigna a P el valor 6000. Entonces la funcin objetivo se convierte en 40x+ 30y = 6.000,una ecuacin lineal en x e y; por lo tanto, tiene como grfica una lnea recta L1 en el plano.

Est claro que a cada punto del segmento de recta dado por la interseccin de la lnea recta L1 y el conjunto factible S corresponde el valor dado 6000 de P. Al repetir el proceso, pero ahora asignando a P el valor de 12.000, se obtiene la ecuacin 40x+ 30y =12.000 y la recta L2 lo cual sugiere que existen puntos factibles que corresponden a un valor mayor de P. Obsrvese que la recta L2 es paralela a L1, pues ambas tienen una pendiente igual a 4/3. Esto se comprueba con facilidad escribiendo las ecuaciones en explcita de la recta.

En general, al asignar diversos valores a la funcin objetivo, se obtiene una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente igual a 4/3. Adems, una recta correspondiente a un valor mayor de P est ms alejada del origen que una recta con un valor menor de P. El significado es claro. Para obtener las soluciones ptimas de este problema, se encuentra la recta perteneciente a esta familia que se encuentra ms lejos del origen y que interseque al conjunto factible S. La recta requerida es aquella que pasa por el punto P(320,160) (Fig. 6), de modo que la solucin de este problema est dado por x=320, y=160 ( es decir que el granjero Lpez deber sembrar 320 hectreas de maz y 160 hectreas de trigo), lo que produce el valor mximo P=40(320)+30(160)=17.600.

No es casualidad que la solucin ptima de este problema aparezca como vrtice del conjunto factible S. De hecho, el resultado es consecuencia del siguiente teorema bsico de la programacin lineal, que se enuncia sin demostracin.Teorema 1Si en problema de programacin lineal tiene una solucin, entonces sta debe aparecer en un vrtice, o esquina, del conjunto factible S asociado con el problema. Adems, si la funcin objetivo P se optimiza en dos vrtices adyacente de S, entonces se optimiza en todos los puntos del segmento de recta que une estos vrtices, en cuyo caso existe una infinidad de soluciones al problema

En nuestro ejemplo los nicos vrtice del conjunto factible S son los puntos coordenados: (0,0); (400,0); (320,160); (0,480), llamados tambin puntos esquinas (Fig. 6). Un ejemplo en el que tendramos infinitas soluciones, es: VERTICEP=40x+40y

(0,0)0

(0,480)19.200

(320,160)19.200

(400,0)16.000

Supngase que la utilidad por hectreas es de $40 para ambos, maz y trigo. La tabla para este caso muestra la misma utilidad total en los vrtices(0,480) y (320,160). Esto significa que la lnea de utilidad en movimiento abandona la regin sombreada por el lado determinado por esos vrtices (adyacentes) , as todo punto en ese lado da una utilidad mxima. Todava es vlido, sin embargo, que la utilidad mxima ocurre en un vrtice.

El teorema 1 dice que la bsqueda de las soluciones a un problema de programacin lineal se puede restringir al examen del conjunto de vrtices del conjunto factible S relacionado con el problema. Como un conjunto factible S tiene un nmero finito de vrtices, el teorema sugiere que las soluciones a un problema de programacin lineal se puedan hallar inspeccionando los valores de la funcin objetivo P en los vrtices.Aunque el teorema 1 arroja un poco de luz acerca de la naturaleza de la solucin de un problema de programacin lineal, no indica cundo tiene solucin. El siguiente teorema establece ciertas condiciones que garantizan la existencia de la solucin de un problema de programacin lineal.Teorema 2: Existencia de una solucin Supngase un problema de programacin lineal con un conjunto factible S y una funcin objetivo P = ax + by. 1. Si S est acotado, entonces P tiene u valor mximo y n valor mnimo en S. 2. Si S no est acotado y tanto a como b son no negativos, entonces P tiene un valor mnimo en S, si las restricciones que definen a S incluyen las desigualdades x 0 e y 0. 3. Si S es el conjunto vaco, entonces el problema de programacin lineal no tiene solucin; es decir, P no tiene un valor mximo ni uno mnimo

El mtodo utilizado para resolver el problema del granjero Lpez recibe el nombre de mtodo de las esquinas. Este mtodo sigue un procedimiento muy sencillo para resolver los problemas de programacin lineal basado en el teorema1.Mtodo de las esquinas 1. Se grafica el conjunto factible. 2. Se encuentran las coordenadas de todas las esquinas (vrtices) del conjunto factible. 3. Se evala la funcin objetivo en cada esquina. 4. Se halla el vrtice que proporcione el mximo (mnimo) de la funcin objetivo. Si slo existe un vrtice con esta propiedad, entonces constituye una solucin nica del problema. Si la funcin objetivo se maximiza (minimiza) en dos esquinas adyacentes de S, entonces existe una infinidad de soluciones ptimas dadas por los puntos del segmento de recta determinado por estos dos vrtices.

Aplicaremos los conceptos antes emitidos al siguiente problema de nutricin, basado en los requerimientos, en el cual hay que minimizar la funcin objetivo.

Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto perodo de tiempo. Existen dos pldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada pldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada pldora de la marca B contiene10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2).Cules combinaciones de pldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Marca AMarca BRequerimientos mnimos

Hierro40 mg10 mg2400 mg

Vitamina B-110 mg15 mg2100 mg

Vitamina B-25 mg15 mg1500 mg

Costo por pldora (US$)0,06 0,08

Solucin: Sea x el nmero de pldoras de la marca A e y el nmero de pldoras de la marca B por comprar. El costo C, medido en centavos, est dado por C = 6x+ 8y que representa la funcin objetivo por minimizar.

La cantidad de hierro contenida en x pldoras de la marca A e y el nmero de pldoras de la marca B est dada por 40x+10y mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad. 40x+10y(2400 Consideraciones similares con los requisitos mnimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades: 10x+15y(2100 5x+15y(1500 respectivamente. As el problema en este caso consiste en minimizar C=6x+8y sujeta a 40x+10y(2400 10x+15y(2100 5x+15y(1500 x(0, y(0

El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los vrtices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0).

Los valores de la funcin objetivo C en estos vrtices en la tabla que sigueVerticeC=6x + 8y

A (0,240)1920

B(30,120)1140

C(120,60)1200

D(300,0)1800

La tabla muestra que el mnimo de la funcin objetivo C=6x+8y ocurre en el vrtice B(30,120) y tiene un valor de 1140. As el paciente debe adquirir 30 pldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mnimo de $11,40. El mtodo de las esquinas es de particular utilidad para resolver problemas de programacin lineal en dos variables con un nmero pequeo de restricciones, como han demostrado los ejemplos anteriores, sin embargo su efectividad decrece con rapidez cuando el nmero de variables o de restricciones aumenta. Por ejemplo, se puede mostrar que un ejemplo de programacin lineal en tres variables y cinco restricciones puede tener hasta diez esquinas factibles. La determinacin de las esquinas factibles requiere resolver 10 sistemas 3x3 de ecuaciones lineales y luego comprobar que cada uno es un punto factible, sustituyendo cada una de estas soluciones en el sistema de restricciones. Cuando el nmero de variables y de restricciones aumenta a cinco y diez, respectivamente (que an es un sistema pequeo desde el punto de vista de las aplicaciones en economa), la cantidad de vrtice por hallar y comprobar como esquinas factibles aumenta hasta 252, y cada uno de estos vrtices se encuentra resolviendo el sistema lineal ...de 5x5! Por esta razn, el mtodo de las esquinas se utiliza con poca frecuencia para resolver problemas de programacin lineal, su valor reside en que permite tener una mejor idea acerca de la naturaleza de las soluciones a los problemas de programacin lineal a travs de su uso en la solucin de problemas de dos variables. FUENTE: http://www.investigacion-operaciones.com/Solucion_Grafica.htmMtodo grfico.

Supngase el usuario, que por un momento es dueo de una planta que produce nicamente dos tipos de cerveza: clara y obscura, Existen tecnologas bastantes para la elaboracin de cada uno de los tipos de cerveza, obviamente cada tecnologa a un costo diferente.

El usuario no sabe cul cual deba ser su produccin ptima semanal de cada producto, y por lo tanto se decide a identificar dos variables de decisin.

X1: miles de litros de cerveza clara a producir en una semana.

X2: miles de litros de cerveza obscura a producir en una semana.

El precio al mayoreo de 1 000 litros de cerveza clara es de $ 5 000.00 mientras que el precio al mayoreo de 1 000 litros de cerveza obscura es de $ 3 000.00.

El ingreso semanal de la venta de ambos productos sera:

Z = 5000 X1 +3000 X2Si el objetivo del usuario, como el de cualquier industrial, es el de maximizar los ingresos semanales, producira un gran volumen de X1 y X2 Cun grande? Por ejemplo, si produce y vende 100 000 litros de cerveza clara 100 000 litros de cerveza obscura en un a semana, un ingreso sera de

Z = 5000(100) +3000(100) = 800000.Recuerde que las unidades son el miles de litros y por eso es necesario dividir la produccin semanal entre 1000.

Para maximizar Z se debe incrementar X1 y X2 . Desgraciadamente hay restricciones fsicas en el sistema real de produccin que le impiden al dueo de la planta incrementar arbitrariamente la produccin de X1 y X2. Entre otras restricciones se pueden mencionar las siguientes: espacio de almacenamiento, capacidad de produccin, capital, mano de obra, etc.

Para facilidad de explicacin, solo se usarn 2 restricciones:

Restricciones de mano de obra.

Restricciones de costos de produccin.

Un estudio de tiempos y movimientos ha demostrado que para producir 1000 litros de cerveza clara se requiere un total de 3 obreros en el proceso de produccin. En cambio se requieren 5 obreros para producir 1000 litros de cerveza obscura. Se supone que la planta tiene un total de 15 obreros. Esto quiere decir que la produccin de X1 y X2 depende del nmero disponible de obreros. Esto puede representarse por la siguiente desigualdad:

INCLUDEPICTURE "http://www.itlp.edu.mx/publica/tutoriales/investoper1/image106.gif" \* MERGEFORMATINET

La desigualdad (2.2) dice que la cantidad de obreros utilizados en la produccin semanal de X1 y X2 no puede exceder de 15. Producir 100 000 litros de cerveza clara y 100 000 litros de cerveza obscura utilizaran 800 obreros, que exceden al lmite disponible.

Se supone que producir 1000 litros de cerveza clara le cuestan al dueo de la plana $500.00, mientras que 1000 litros de cerveza obscura le cuestan solamente $200.00. Su capital no le permite gastar ms de $1000.00 semanales en al produccin de X1 y X2 . Matemticamente esta restriccin puede expresarse as:

Cuyas dimensiones, son pesos. De nuevo la produccin de 100000 litros de X1 y X2 significaran un gasto semanal de $ 70000.00 que excede al lmite de 1000.

La pregunta a la que el dueo desea una solucin es la siguiente: Cuales deben ser los niveles de produccin semanal de cerveza clara X1 y de cerveza obscura X2 que maximicen el ingreso por concepto de venta semanal, sin exceder las restricciones de personal y de capital?

Matemticamente se trata de resolver el siguiente problema, llamado de programacin lineal

Maximizar

Z = 5000X1 +3000X2Sujeto a

3X1 + 5X2 =0La ltima restriccin (X1 >= 0, X2 > = 0), se llama condicin de no negatividad, y evita que los resultados den un absurdo negativo, que en este caso podra significar una produccin negativa (destruccin).

En un sistema de coordenadas rectangulares se puede describir grficamente, como el dueo de la planta puede resolver optimamente su programa de produccin semanal. Un eje del sistema medir la cantidad de cerveza clara X1 y X2 deben ser no negativas, se refiere nicamente al cuadrante derecho del sistema coordenado.

A continuacin se interpreta la representacin geomtrica de las desigualdades

3X1 + 5 X2 < = 15500X1+200X2

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I.S.C. - 4to Sem - Investigacion de Operaciones