Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Inspectoratul Județean Dâmbovița SSMR Filiala Dâmbovița
Colegiul Național ,,Ienăchiță Văcărescu’’, Târgoviște
Concursul de Matematică ’’CĂLIN BURDUȘEL’’
Ediția a VII-a, Târgoviște, 25 mai 2018
__________________________________________
Problema 1. Numerele naturale , ,x a b îndeplinesc simultan condițiile : restul împărțirii lui x la
a este 2 5b ; restul împărțirii lui x la b este 4 8a . Determinați restul împărțirii lui x la 6 .
Călin Burdușel
Problema 2. Determinați numerele prime , ,a b c știind că au loc simultan condițiile:
(i)Numerele , ,ab c bc a ca b sunt prime;
(ii) Cel puțin două din numerele 2 2 2, ,ab c bc a ca b sunt prime.
Problema 3. Fie ABCD un romb, având lungimea laturii 1 . Pe laturile BC și CD considerăm
punctele M și N respectiv , astfel încât 2MC CN MN și 2 m MAN m BAD .
Calculați m ABC .
Problema 4. Determinați numerele reale x pentru care are loc egalitatea
7 6 5 1989 1990 1991
1989 1990 1991 7 6 5
x x x x x x
Călin Burdușel
Notă: Timp de lucru 2 ore. Fiecare problemă este notată cu 10 puncte, 1 p fiind din oficiu.
Inspectoratul Județean Dâmbovița SSMR Filiala Dâmbovița
Colegiul Național ,,Ienăchiță Văcărescu’’, Târgoviște
Concursul de Matematică ’’CĂLIN BURDUȘEL’’
Ediția a VII-a, Târgoviște, 25 mai 2018
Barem de corectare
Problema 1.
Oficiu.............................................................................................................................................1p
2 5x ac b , cu 2 5b a ...................................................................................................1p
4 8x bk a , cu 4 8a b ....................................................................................................1p
7 21 1,2a a ......................................................................................................................2p
4 8 0 2a a ........................................................................................................................1p
0 2 5 2 3b b ..................................................................................................................2p
2 1, 3 3 2 6 3 3x c x k x x x c k r .................................................................2p
Problema 2.
Oficiu.............................................................................................................................................1p
Cel puțin unul din numerele , ,a b c este par. Presupunem că 2c ............................................1p
Arătăm că cel puțin unul din numerele a sau b este 3 .
Dacă a și 3 1b M , atunci 2 3ab , 2 3ab , contradicție..................................................1p
Dacă a și 3 2b M , atunci 2 3ab , 2 3ab , contradicție.................................................1p
Dacă 3 1a M și 3 2b M (sau invers) , atunci 4ab și 2 2b a (sau 4ab și 2 2a b ) nu
sunt prime, contradicție. Presupunem că 3b ...........................................................................1p
Arătăm că 5a
Pentru 5 1a M , obținem că 3 2a nu este prim, contradicție...............................................1p
Pentru 5 2a M , obținem că 3 4a și 2 6a nu sunt prime,contradicție...............................1p
Pentru 5 3a M , obținem că 2 9a și 2 6a nu sunt prime,contradicție...............................1p
Pentru 5 4a M , obținem că 6a nu este prim, contradicție................................................1p
În final, , , 2,3,5 ; 2,5,3 ; 3,2,5 ; 3,5,2 ; 5,2,3 ; 5,3,2a b c ........................................1p
Problema 3.
Oficiu.............................................................................................................................................1p
Fie S simetricul punctului C față de AD , iar P SD , BM DP ........................................1p
,ABM ADP AM AP BAM DAP ..........................................................................2p
BAD MAP ...........................................................................................................................1p
AN bisectoarea unghiului MAP .................................................................................................1p
MAN PAN MN ŃP ......................................................................................................1p
2MC CN MN MN BM ND DP DN NP .........................................................2p
, ,N P D coliniare, ABCD pătrat, deci 90m ABC .............................................................1p
Problema 4.
Oficiu.............................................................................................................................................1p
1991x ........................................................................................................................................1p
7 1989 6 1990 5 19910
1989 7 1990 6 1991 5
x x x x x x
...............................2p
1982 1996 1984 1996
7 1989 6 19907 1989 1990 6
1989 7 1990 6
x x
x x x x
1986 19960
5 19911991 5
1991 5
x
x x
..............................................................................................3p
Dacă1991 1996x , atunci membrul stâng al ecuației este strict pozitiv.................................1p
Dacă 1996x , atunci membrul stâng al ecuației este strict negativ...........................................1p
1996x ....................................................................................................................................................1p