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RESISTANCE DES MATERIAUX
Travaux dirigés
Mercredi 22/04/2020Séance du 16h30 à 18h30
EXERCICE 1
Soit une poutre modélisée par sa ligne moyenne AB, le bâti supporte la poutre en A et B.1. Calculer la réaction en A et la réaction en B ;2. Calculer l’effort tranchant T et le moment fléchissant M.3. Tracer le diagramme de T et de MOn donne : la réaction en C égale 200 daN, la distance a=2m et la distance l=3m.
Corrigé
Les réactions RA et RB
(𝑀)𝐴 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 × 0 + (𝑅𝑐 × 𝑎) − (𝑅𝐵 × 𝑙) = 0
⟹ 𝑅𝐵 × 𝑙 = (𝑅𝑐 × 𝑎)
⟹ 𝑅𝐵 =(𝑅𝑐×𝑎)
𝑙=
(2𝑂𝑂×2)
3
⟹ 𝑅𝑩= 133,33 daN
𝐹𝑦 = 0
⟹ 𝑅𝐴 − 𝑅𝑐 + 𝑅𝐵 = 0⟹ 𝑅𝐴 = 𝑅𝑐 − 𝑅𝐵 = 200 − 133,33 = 66,66 𝑑𝑎𝑁
⟹ 𝑹𝒂= 66,66 daN
𝑅𝑩= 133,33 daN
𝑹𝒂= 66,66 daN
Corrigé• Effort tranchant et moment fléchissantSi 0< 𝑥 < a (𝑥𝜖 0, 𝑎 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 = 2𝑚)
En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:
• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝐴 + 𝑇 = 0⟹ 𝑇 = −𝑅𝐴
⟹ 𝑻 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒅𝒂𝑵
• 𝑀 = 0 ⟹ 𝑀 − 𝑅𝐴 × 𝑥 = 0
⟹ 𝑀 = 𝑅𝐴 × 𝑥
⟹ 𝑴 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒙 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)
Effort tranchant et moment fléchissant• Si a< 𝑥 < l (𝑥𝜖 𝑎, 𝑙 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 = 2𝑚 𝑒𝑡 𝑙 = 3𝑚)
Corrigé
En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:
𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝐴 − 𝑅𝑐 + 𝑇 = 0
⟹ 𝑇 = 𝑅𝑐 − 𝑅𝐴
⟹ 𝑻 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒅𝒂𝑵
𝑀 = 0 ⟹ 𝑀− 𝑅𝐴 × 𝑥 + 𝑅𝑐 × (𝑥 − 𝑎) = 0
⟹ 𝑀 = 𝑅𝐴 × 𝑥 − 𝑅𝑐 × 𝑥 − 𝑎
⟹ 𝑀 = 𝑅𝐴 − 𝑅𝑐 𝑥 + 𝑅𝑐 𝑎
⟹ 𝑴 = −𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒙 + 𝟒𝟎𝟎 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)
Corrigé
𝑥𝜖 0, 2 𝑻 = −𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒅𝒂𝑵 𝑴 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔 𝒙 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)
𝑥𝜖 2, 3 𝑻 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒅𝒂𝑵 M= −𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒙 + 𝟒𝟎𝟎 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)
𝑥 = 0 𝑻 = −𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒅𝒂𝑵 𝑴 = 0 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)
𝑥 = 2 𝑻 = −𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒅𝒂𝑵𝑻 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒅𝒂𝑵
𝑴 = 133,33(𝒅𝒂𝑵.𝒎)
𝑥 = 3 𝑻 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒅𝒂𝑵 𝑴 = 0 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)
Effort tranchant et moment fléchissant
EXERCICE 2
Soit une poutre AB sous l’action de trois forces extérieures : 𝑅𝐴 action d’appui en A, 𝑅𝐵 action d’appui en B et la charge répartie1) Déterminer l’action en A et B2) Déterminer T et M et tracer leur diagramme le long de AB
Corrigé• Les réactions Ra et RbCalcul de 𝐹𝑞 et de 𝑥𝐹𝑞 = 𝑞 × 𝐿 = 3 × 30 𝑑𝑎𝑁 = 90 𝑑𝑎𝑁
𝑥 =𝐿
2=
3
2= 1.5 𝑚
En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:
• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹𝑞 + 𝑅𝑏 = 0⟹ 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 = 𝐹𝑞
• (𝑀)𝐴 = 0⟹ 𝐹𝑞 × 𝑥 − 𝑅𝑏 × 𝑙 = 0
⟹ 1.5𝐹𝑞 − 3𝑅𝑏 =0
⟹ 𝑹𝒃 = 𝟒𝟓 𝒅𝒂𝑵
Donc 𝑹𝒂 = 𝑹𝒃 = 𝟒𝟓 𝒅𝒂𝑵 DCL
Corrigé• Effort tranchant et moment fléchissantCalcul de 𝐹𝑞 et de 𝑥
𝐹′𝑞 = 𝑞 × 𝐿 = 30 × 𝑥 = 30 𝑥 (𝑑𝑎𝑁)
𝑥′ =𝐿
2=
𝑥
2( 𝑚)
En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:
• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹′𝑞 + 𝑇 = 0⟹ 𝑇 = 𝐹′𝑞 − 𝑅𝑎
⟹ 𝑻 = 𝟑𝟎𝒙 − 𝟒𝟓 (𝒅𝒂𝑵)
• 𝑀 = 0 ⟹ 𝑀+ 𝐹′𝑞 × (𝑥 − 𝑥′) − 𝑅𝑎 × 𝑥 = 0
⟹ 𝑀 = 45 × 𝑥 − 30𝑥 ×𝑥
2
⟹ 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝟓𝒙 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)
Corrigé
Nous avons:
X (m) T (daN) M (daN.m)
0 -45 0
1.5 0 33.75
3 45 0
𝑻 = 𝟑𝟎𝒙 − 𝟒𝟓 (𝒅𝒂𝑵)
𝑴 = −𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝟓𝒙 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)
Diagramme des efforts tranchant et moment fléchissant
EXERCICE 3
Soit une poutre AB sous l’action de trois forces extérieures : 𝑅𝐴 action d’appui en A, 𝑅𝐵 action d’appui en B et la charge répartie1) Déterminer l’action en A et B2) Déterminer T et M et tracer leur diagramme le long de AB3) Calculer la contrainte normale max4) Représenter les contraintes normales si le diamètre de AB est égale à 40 sur un schéma.
• Les réactions Ra et Rb
Calcul de 𝐹𝑞 et de 𝑥𝐹𝑞 = 𝑞 × 𝐿 = 3 × 30 𝑑𝑎𝑁 = 90 𝑑𝑎𝑁
𝑥 =𝐿
2=
3
2= 1.5 𝑚
En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:
• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹𝑞 − 𝑅𝑐 + 𝑅𝑏 = 0⟹ 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 = 𝐹𝑞 + 𝑅𝑐 = 900 + 1200 = 2100 𝑁
• (𝑀)𝐴 = 0⟹ (𝐹𝑞× 𝑥) + (𝑅𝑐× 𝑎) − (𝑅𝑏 × 𝑙) = 0
⟹ 1.5 𝐹𝑞−3𝑅𝑏 + 2𝑅𝑐 =0
⟹𝑹𝒃 = 𝟏𝟐𝟓𝟎 𝑵
Donc 𝑹𝒂 = 𝟖𝟓𝟎 𝑵
Corrigé
Corrigé• Effort tranchant et moment fléchissantSi 0< 𝑥 < 2 (𝑥𝜖 0, 2 )
Calcul de 𝐹𝑞′ et de 𝑥
• 𝐹𝑞′ = 𝑞 × 𝐿 = 𝑞 × 𝑥 = 300 𝑥 (N)
• 𝑥 =𝐿
2=
𝑥
2
En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:
• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹𝑞′ + 𝑇 = 0
⟹ 𝑇 = 𝐹𝑞′−𝑅𝑎
⟹ 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎 𝒙 − 𝟖𝟓𝟎 (𝑵)
• 𝑀 = 0 ⟹ 𝑀 + (𝐹𝑞′ ×
𝑥
2) − 𝑅𝑎 × 𝑥 = 0
⟹ 𝑀 = 𝑅𝑎 × 𝑥 − 𝐹𝑞′ ×
𝑥
2= 850𝑥 − 300 𝑥 ×
𝑥
2
⟹ 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐 + 𝟖𝟓𝟎𝒙 (𝑵.𝒎)
Corrigé• Effort tranchant et moment fléchissantSi 2< 𝑥 < 3 (𝑥𝜖 2, 3 )
Calcul de 𝐹𝑞′ et de 𝑥
• 𝐹𝑞′ = 𝑞 × 𝐿 = 𝑞 × 𝑥 = 300 𝑥 (N)
• 𝑥 =𝐿
2=
𝑥
2
En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:
• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹𝑞′ − 𝑅𝑐 + 𝑇 = 0
⟹ 𝑇 = 𝐹𝑞′+ 𝑅𝑐− 𝑅𝑎
⟹ 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎 𝒙 + 𝟑𝟓𝟎 (𝑵)
• 𝑀 = 0 ⟹ 𝑀 + (𝐹𝑞′ ×
𝑥
2) + 𝑅𝑐× (𝑥 − 𝑎) − 𝑅𝑎 × 𝑥 = 0
⟹ 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐 − 𝟑𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝟒𝟎𝟎 (𝑵.𝒎)
𝑥𝜖 0, 2 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎 𝒙 − 𝟖𝟓𝟎 (𝑵) 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐 + 𝟖𝟓𝟎𝒙 (𝑵.𝒎)
𝑥𝜖 2, 3 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎 𝒙 + 𝟑𝟓𝟎 (𝑵) 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐 − 𝟑𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝟒𝟎𝟎 (𝑵.𝒎)
𝑥 = 0 𝑻 = −850 𝑁 𝑴 = 0 𝑵.𝒎
𝑥 = 1.5 𝑻 = −400 𝑁𝑴 = 937.5 𝑵.𝒎
𝑥 = 2 𝑻 = −250 𝑁𝑻 = 950 𝑁
𝑴 = 1100 𝑵.𝒎
𝑥 = 3 𝑻 = 1250 𝑁 𝑴 = 0 𝑵.𝒎
Effort tranchant et moment fléchissant
Corrigé
• Contrainte normale due au moment fléchissant
Corrigé
𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀
𝐼𝑧(±𝑦𝑚𝑎𝑥)
𝐼𝑧 =𝜋 𝐷4
64
or
donc 𝜎𝑚𝑎𝑥 = ±𝑀 × 64
𝜋 𝐷4 (𝑦𝑚𝑎𝑥)
𝜎𝑚𝑎𝑥 = ±1100×64
𝜋 40420 = ± 175,16 MPa
EXERCICE 4 Répondre en cochant la bonne réponse
Les matériaux des poutres étudiées sont supposés :
☐ Homogène et isotrope
☐ Continu et anisotrope
Les équations qui régissent le principe fondamental de la statique dans le plan sont au nombre de :
☐ Deux
☐ Trois☐ Six
Une section est dite soumise à la flexion pure si
☐𝑁 ≠ 0, 𝑇 ≠ 0 et 𝑀 ≠ 0
☐𝑁 = 0, 𝑇 = 0 et 𝑀 ≠ 0☐𝑁 = 0, 𝑇 ≠ 0 et 𝑀 ≠ 0
Pour qu’une poutre résiste en toute sécurité au cisaillement, il faut que :☐ 𝜎𝑚𝑎𝑥= 0☐ 𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒☐ 𝜏𝑚𝑎𝑥 < 𝜏𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
L’appui simple comporte ☐ Trois réactions inconnues☐ Une réaction inconnue☐ Deux réactions inconnues
L’axe neutre est le lieu des points où☐ La contrainte est maximale dans la section droite☐ La contrainte est nulle dans la section droite