İSTATİSTİK VE OLASILIK I

İSTATİSTİK VE OLASILIK I

Öğr. Gör. Berk Ayvaz

İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım

FakültesiEndüstri Mühendisliği

Bölümü

10. Hafta: Örnekleme Teorisi

2013

Modern istatistiğin en önemli görevi, anakütle parametrelerinin örneklem değerleri (örnek istatistikleri) yardımıyla tahmin edilmesine imkan sağlamaktır.

Uygulamada, bütün anakütlenin incelenmesi çoğu zaman mümkün olmamaktadır.

Bunun yerine söz konusu anakütleden alınan bir rassal örneklemin incelenmesi yoluna gidilmektedir.

Elde edilen örnek değerlerinin anakütle parametresi yerine kullanılabilmesi için iki önemli şart vardır.

1. Anakütledeki her birimin örneğe girme şansının eşit olmasıdır.

2. Örneğin yeterince büyük olmasıdır. Bu ikinci şarta göre anakütle büyü dükçe örneğin de büyük tutulması

gerekecektir.

Örnekleme Teorisi

Örnekleme ya iadeli veya iadesiz olur. Çekilen birimin anakütleye tekrar iade edilmesi halinde iadeli örnekleme, aksi halde iadesiz örnekleme söz konusudur.

Herhangi bir anakütle birimi, iadeli örneklemede örneğe bir kaç kere girebileceği halde, iadesiz örneklemede bir kere girer.

Örnekleme ya sınırlı veya sınırsız anakütleler için yapılır. Örneklemenin iadeli olarak yapıldığı sınırlı bir anakütle sınırsız

kabul edilir.

Örnekleme Teorisi

Bir anakütleden alınan RASSAL örneklerin her birisi için örnek istatis tikleri hesaplandığında örnek dağılımları ortaya çıkar.

Mesela her bir örneğin ortalaması hesaplanmışsa elde edilen dağılımı ortalamaların örnek dağılı mıdır.

Aynı şekilde, her örnek için p oranları hesaplandığında oranların örnek dağılımı elde edilmiş olur.

İki ayrı anakütlenin karşılaştırılması sözkonusu oldu ğunda ise farklarla ilgili örnek dağılımları ortaya çıkar. Her iki anakütleden alınan nA ve nB büyüklüğündeki örneklerin ortalamaları hesaplanmış ve bu ve değerleri arasındaki farklar tesbit edilmişse elde edilen dağılım ortala malar arası farkların örnek dağılımıdır.

Aynı şekilde, bu anakütlelerden alınan örnekler için oranlar hesaplanmış ve bu oranların anakütleler itibariyle gösterdikleri farklılıklar ortaya konulmuşsa elde edilen dağılım oranlar arası farkların örnek dağılımıdır.

Örnekleme Teorisi

Ortalamaların örnek dağılımının ortalaması anakütle ortalamasının iyi bir tahmincisidir.

Herbiri n hacimli çok sayıda örneğe ait ortalamaların gösterdiği dağılımın değişkenliği tek örneğin değişkenliğinden daha az olacaktır.

Ortalamaların örnek dağılımının değişkenliği standart hata terimiyle ifade edilir.

Aşırı değerlerin etkisinin önemli ölçüde yok edilmesi, ortalamaların örnek dağılımının değişkenliğini azaltıcı bir faktördür.

Anakütle standart sapması biliniyorsa standart sapma (standart hata),

eşitliği ile hesaplanır. Bu formül n Standart hata ortalamanın örnekleme dağılımının değişkenliğini

gösterir. Anakütle standart sapması bilinmiyor ve büyük örnek standart

sapması, anakütle standart sapmasının yerine kullanılıyorsa, anakütle standart hatasının tahmini değeri,

Ortalamaların Örnek Dağılımı

Sınırlı anakütleden iadesiz örnekleme yapılmışsa ve ise yukarıdaki standart hata değerleri düzeltme faktörü ile çarpılır.

Standart Z değerleri,

formülü ile hesaplanır. Ortalamaların örnek dağılımında X değerlerinin yerini değerinin

yerini ve değerinin yerini alır. Bu yüzden herhangi bir değerinin standart Z değerine

dönüştürmesinde aşağıdaki formül kullanılır.

Ortalamaların Örnek Dağılımı

Şehirlerarası telefon görüşmeleri = 8 dk ortalama ve = 2 dk standart sapma ile normal dağılım göstermektedir. Tesadüfi olarak 49 şehirlerarası telefon görüşmesi seçildiğinde;

a) Ortalamaların örnek dağılımının standart hatası ne olur?

b) Örnek ortalamalarının % kaçı 7.8 dk ile 8.4 dk arasında olur?

Örnek 1

a) =

b) = =-0.69

= =1.38

Örneklem ortalamalarının 7.8 dk ile 8.4 dk arasında olma ihtimali;

P(7.8)=P (-0.69 Z 1.38) = 0.2549+0.4162=0.6711

Çözüm 1

Türk telekomda çalışan bir operatörsünüz. Uzun mesafeli telefon görüşmeleri = 8 dk. & = 2 dk. İle normal dağılmakta. Eğer 25 aramalık örnekler seçerseniz örnek ortalamalarının % kaçı 7.8 & 8.2 dk. arasında olacaktır?

Örnek 2

10

Örnekleme dağılımı

.3830

.1915.1915

Standart normal dağılım

ZX

n

ZX

n

7 8 8

2 2550

8 2 8

2 2550

..

..

8

X = .4

7.8 8.2 0

Z = 1

-.50 Z.50X

Çözüm 2

Bir sanaayi kuruluşunda çalışanların gündelikleri 800 TL ortalama ve 90 TL standart sapmaya sahiptir. Rasgele seçilen 81 işçinin gündeliklerinin ortalamasının 810 TL ile 825 TL arasında olma olasılığı nedir?

Örnek 3

Çözüm 3

Bir üreticiye göre rulmanların ömrü ortalaması 36.000 standart sapması 4.000 mil olan bir normal dağılıma uymaktadır. 16 rulman içeren rassal bir örneklemde ortalama ömür 34.500 mildir. Buna göre rassal seçilen bir rulmanın ortalama değerde yada daha düşük ömre sahip olma olasılığı nedir?

Örnek 4

=1-0,9332=0,0668

Çözüm 4

15

Bir populasyon parametresini tahminlemek için şans değişkenleri kullanılır: Örnek ortalaması, örnek oranı, örnek medyanı…

Örnek hacmi arttıkça (n 30) ...

Örnekleme dağılışı normal dağılıma yaklaşır.

X

Merkezi Limit Teoremi


Evrenin dağılım şekli ne olursa olsun, basit rassal örneklem hacmi büyüdükçe, dağılımının örneklem dağılımı normal dağılıma yaklaşır.

Bu dağılımın ortalaması μ, varyansı dir. Örneklem hacmi n için yeterli büyüklük, kesin olmamakla birlikte

uygulamada n 30 birim olarak kabul edilmektedir. Eğer ortalaması μ ve varyansıolan normal dağılımlı bir evrenden

seçilmiş n hacimlik basit bir rassal örneklemin ortalaması ise ‘nın örnekleme dağılımı ortalaması μ, varyansı olan bir normal dağılımdır.

rassal değişkenin dağılımı normal olduğunda;


Eşitliğiyle standart değişkene dönüştürülür. Böylece, normal dağılımın özellikleri kullanılarak örneklem

aritmetik ortalamasından anakütle aritmetik ortalaması hakkında bilgi üretmek kolaylaşır.

Normal dağılan bir anakütleden, rassal olarak seçilebilecek birbirinden farklı nbirimlik mümkün bütün örneklemlerin seçildiğini, her örneklem için leri ve onların standart değerlerini hesaplandığını düşünelim.

Değerler aralığı − olan istatistiğin dağılımı (n-1) serbestlik derecesi (sd = n-1) ile t dağılımı adı verilen sürekli bir dağılım gösterir ve bu istatistik;

Burada; = şeklinde hesaplanır.


t dağılımı ortalaması sıfır olan tek modlu ve simetrik bir dağılımdır.

Dağılımın şekli standart normal dağılıma benzer fakat değişkenliği daha büyüktür.

Bu değişkenlik serbestlik derecesi ile ters orantılıdır. Örneklem hacmi artarken (sd = n-1)büyür, t değerinin

hesaplanmasında nin kullanılması nedeniyle ortaya çıkan değişkenlik küçülür ve t dağılımı standart normal dağılıma (z dağılımına) yaklaşır.


Otomobil lastiği üreticisi bir fabrikanın yöneticisi ürettikleri lastiklerin ortalama ömrünü lastiklerin katettiği km olarak tahmin etmek istiyor. Bu amaçla rassal olarak 100 lastik seçilmiş ve bu lastiklerin ortalama ömrünün = 40000 km ve standart sapmasının s=15000 km olduğu tespit edilmiştir. Yönetim, ürettikleri lastiklerin 35000 Km ömürlü olmasını planlamıştır.

Bu bilgileri kullanarak;

a) ’ nın örnekleme dağılımının ortalamasını hesaplayınız.

b) İstenen tahminleme yapılırken işlenebilecek hata nedir?

c) ’ nın standart z değerini hesaplayınız.

Örnek 5

E () = μ = 4000 km n= 100 lastik olduğu için standart hata (n 30 birim) anakütle standart

sapması bilinmediği için

= = = 150 km hesaplanır. Üretilen lastiklerin tümünün ömrünü yukarıdaki verilere

göre tahminlerken işlenebilecek hata düzeyi 150 km’dir bilgisi elde edilebilir.

==33,3

Çözüm 5

Oranların örnek dağılımının ortalaması, anakütle oranına eşittir. Bir örnekten elde edilen oranı p ve anakütle oranını P ile görterirsek,

oranların örnek dağılımının standart hatasını,

eşitliği ile elde ederiz. Sınırlı anakütlelerde yapılan iadesiz örneklemeler için standart hatanın

düzeltme faktörü ile çarpılması gerekir. Bir örnek oranının standart Z değeri,

eşitliği ile hesaplanır.

Oranların Örnek Dağılımı

Büyük bir alış-veriş merkezinde 15 TL’dan alışveriş yapan müşterilerin %30’unun kredi kartı kullandığı tesbit edilmiştir.

15 TL’dan fazla alışveriş yapan 100 müşteri için oranların örnek dağılımının standart hatası ne olur?

15 TL’dan fazla alışveriş yapan 100 müşteriden %20 ile %25’inin kredi kartı kullanması ihtimalini bulunuz.

Örnek 6

a) = =0.0458b) = = -2.18 = = -1.09P(0)=P (-2.18 Z -1.09) = 0.4854+0.3621=0.1233

Çözüm 6

Bir imalatçı herbiri 100 elektrik ampülünden meydana gelen 1000 koli ampül gönderiyor. Ampüllerin %95 ’i sağlam olduğuna göre kolilerin kaç tanesinde,

a) 90 taneden az sağlam ampül

b) 98 veya daha fazla sağlam ampül çıkacağını hesaplayınız.

Örnek 7

a) = =0.0218 100 üründen 90’ı yani p = 0,90 için; = = -2.29

P()=0,011b) p=0,98 için; = = 1.38P(1.38)=0,0838

Çözüm 7

Ortalamalar arasındaki farkın örnek dağılımı sözkonusu olunca dağılı mın ortalamasını ve standart hatasını ile gösterebiliriz.

, birinci anakütlenin standart sapmasını; ise ikinci anakütlenin standart sapmasını; birinci anakütle için ömek büyüklüğünü; ise ikinci anakütle için örnek büyüklüğünü ifade ederse, ortalamalar arası farkların ömek dağılımının standart hatası,

+

Anakütle varyanslarının bilinmemesi durumunda örneklem varyansları kullanılır.

Ortalamalar Arası Farkların Örnek Dağılımı

İki farklı un fabrikasında paketlenen standart 1 kg’lık un pa ketleri test edilmiş ve birinci fabrikadan alınan 100 paketin ortalaması 1.03 kg, standart sapması 0.04 kg; ikinci fabrikadan alınan 120 paketin ortalaması 0.99 kg, standart sapması 0.05 kg bulunmuştur.

a) Anakütle standart sapmaları bilinmediği için örnek standart sapmalarından hareketle ortalamalar arası farkın standart hatasını bulunuz.

b) Ortalamalar arasındaki farkın = 0.05 kg’dan fazla olması ihtimalini bulunuz.

Örnek 8

a) + = + = 0.085

b) ==1,17P[()

Çözüm 8

Her iki anakütlenin ortalaması 1 kg olduğu için =0 dır.

A ve B firmalarının ürettikleri kabloların ortalama kırılma gücü sırasıyla 200 kg ve 180 kg, standart sapmaları ise 13,5kg ve 9kg’dir. A marka 100 parça kablo ile B marka 50 parça kablo teste tabi tutulduğunda A’nın ortalama kırılma gücünün B’den;

En fazla 17 kg fazla, En az 15 kg fazla olma olasılığı nedir?

Örnek 9

Çözüm 9

a) + = + = 1.86

== -1.61P[()

b) == -2.69P[()

Bu dağılımın ortalaması ve standart hatası,

eşitliği ile hesaplanır. Birinci anakütleden alınan örneğin hacmi ve ikinci anakütleden alınan

örneğin hacmi ise ile gösterilmiştir. İki örnek oranı arasındaki farka ait Z değerleri,

formülü yardımıyla hesaplanır, p değerleri örneklerden elde edilen oranları gös terir.

Oranlar Arası Farkların Örnek Dağılımı

Birinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.08 ve ikinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.05 olduğu bilinmektedir. Tesadüfi olarak birinci fabrikadan 100, ikinci fabrikadan 150 mamul seçilmiş ve birinci örnek teki kusurlu mamul oranı 0.09, ikinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.06 olarak gözlenmiştir.

a) Buna göre kusur oranları arasındaki farkın standart hatasını bulunuz.

b) Fabrikalardaki kusurlu mamul oran ları arasındaki farkın en fazla 0.01 olması ihtimalini hesaplayınız.

Örnek 10

a) =

b) = = - 0.62

Buna göre kusurlu mamul oranları arasındaki farkın en fazla 0.01 olması ihtimali,

P(Z -0.62) = 0.5 - 0.2324 = 0.2676

Çözüm 10

A fabrikasında imal edilen pillerin %80’i 200 saatin üzerinde performans sağlarken, B fabrikasında üretilen pillerin %73’ü 200 saatin üzerinde performans sağlayabilmektedir. A fabrikasından 50 ve B fabrikasından 60 pil incelemeye tabi tutulursa performans oranları arasındaki farkın en az %10 olma ihtimali nedir?

Örnek 11

Çözüm 11

a) =

b) = = 0.37

P(Z 0.37) = 0.3557

Documents

İSTATİSTİK VE OLASILIK I